Colectânea de Problemas Análise e Síntese de Algoritmos

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1 Colectânea de Problemas Análise e Síntese de Algoritmos João Marques Silva Departamento de Engenharia Informática Instituto Superior Técnico (IST)/INESC-ID joao.marques.silva@dei.ist.utl.pt Vers~ao Inicial: Junho 2003 URL: jpms/teaching/reports/

2 Resumo O presente documento agrega os problemas de avaliação dos testes e exames da disciplina Análise e Síntese de Algoritmos (ASA), desenvolvidos ao longo dos anos lectivos de 2000/2001, 2001/2002 e 2002/2003. Os objectivos do documento são por um lado organizar os problemas por tópicos leccionados e pelo grau de dificuldade que apresentam, e por outro disponibilizar aos alunos uma colectânea de problemas de apoio ao estudo de ASA. i

3 Conteúdo Introdução 1 Revisão de Algoritmos e Estruturas de Dados 3 Problemas do Tipo Problemas do Tipo Algoritmos para Grafos & Programação Linear 9 Problemas do Tipo Problemas do Tipo Problemas do Tipo Síntese de Algoritmos & Tópicos Adicionais 126 Problemas do Tipo Problemas do Tipo Problemas do Tipo Completude NP & Algoritmos de Aproximação 179 Problemas do Tipo Problemas do Tipo Problemas do Tipo ii

4 iii

5 Problemas de ASA 1 Introdução A presente colectânea de problemas agrega exercícios de avaliação dos testes e exames da disciplina Análise e Síntese de Algoritmos, ao longo dos anos lectivos de 2000/2001, 2001/2002 e 2002/2003. Os exercícios estão organizados em quatro partes principais, que representam as partes principais da matéria leccionada: Revisão de Algoritmos e Estruturas de Dados Os tópicos cobertos incluem: Notação Estruturas de dados elementares Algoritmos de procura e ordenação Algoritmos para Grafos & Programação Linear Os tópicos cobertos incluem: Representação de grafos Algoritmos elementares em grafos Árvores abrangentes de menor custo Caminhos mais curtos Fluxo máximo Fluxos de custo mínimo Programação linear e algoritmo Simplex Síntese de Algoritmos & Tópicos Adicionais Os tópicos cobertos incluem: Programação dinâmica Algoritmos greedy Análise amortizada Emparelhamento de cadeias de caracteres Completude NP & Algoritmos de Aproximação Os tópicos cobertos incluem: Problemas NP completos Algoritmos de aproximação A organização em quatro partes principais, embora de alguma forma arbitrária, pretende reflectir a organização da disciplina ao longo dos vários anos lectivos, e agregar partes relacionadas da matéria. Além dos problemas estarem agregados em quatro partes principais, em cada parte os problemas estão organizados por grau de dificuldade. Optou-se por classificar cada problema num de três graus possíveis de complexidade: Tipo 1 Problemas de resolução simples, que exigem apenas a aplicação dos conceitos leccionados. Tipo 2 Problemas de média dificuldade, que requerem normalmente conhecimentos aprofundados dos tópicos. Tipo 3 Problemas de dificuldade elevada, que requerem conhecimentos aprofundados dos tópicos, e normalmente alguma criatividade. Relativamente às soluções dos problemas propostos, para os problemas de escolha múltipla apresenta-se normalmente apenas a resposta pretendida e em alguns casos alguns comentários adicionais. Para os restantes problemas apresenta-se normalmente um esboço da solução pretendida, transmitindo as ideias principais e omitindo os detalhes. Existe um conjunto reduzido de problemas adaptado do livro da disciplina [?]

6 Problemas de ASA 2 (CLRS), para os quais não se apresenta qualquer solução (por sugestão dos autores do livro). O objectivo da não inclusão de resoluções detalhadas é motivar os alunos para tentarem efectivamente a resolução dos problemas. No entanto, numa futura versão deste documento antevê-se a inclusão de respostas detalhadas para todos os problemas, com o intuito de servirem de apoio ao corpo docente da disciplina. Agradecimentos Quero agradecer a contribuição dos docentes que ao longo dos anos lectivos de 2000/2001, 2001/2002 e 2002/2003 deram apoio na leccionação da disciplina de Análise e Síntese de Algoritmos: Francisco Moreira Couto (em 2000/2001), Luís Guerra e Silva (em 2001/2002) e Vasco Miguel Manquinho (em 2002/2003). Esta contribuição reflecte-se na sugestão de alguns dos problemas, bem como na revisão dos enunciados.

7 Problemas de ASA 3 Parte I. Revisão de Algoritmos e Estruturas de Dados

8 Problemas de ASA 4 Problemas do Tipo 1

9 Problemas de ASA 5 I.1.1 Considere o seguinte vector de números inteiros: 8, 14, 7, 16, 10, 6, 5, 12, 11, 15, 9 No algoritmo HeapSort, durante a execução da função BuildHeap, indique qual o número de vezes que a função Heapify (ou SiftDown) é invocada. a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 f. 7 g. 8 h. 9 i. 0 Solução: A resposta certa é a d.

10 Problemas de ASA 6 I.1.2 Na execução do algoritmo BuildHeap indique qual o número mínimo de execuções da operação SiftDown que são necessárias para transformar a tabela: num amontoado. a. 2 b. 1 c. 4 d. 3 e. 6 f. 7 g. 5 h. 9 i. 8 10, 15, 11, 8, 3, 13, 12, 6, 1, 9, 2, 7, 5, 4 Solução: A resposta certa é a d.

11 Problemas de ASA 7 Problemas do Tipo 3

12 Problemas de ASA 8 I.3.1 Considere uma matriz A, com dimensão (n n), em que cada entrada a ij apenas pode tomar o valor 0 ou o valor 1, a ij {0, 1}. Admita que as linhas e as colunas são monotonicamente crescentes, a ij a ik, 1 j k n e a ij a kj, 1 i k n. Proponha um algoritmo eficiente para contar o número de 0 s na matriz A, e analise a sua complexidade. Indique também o menor e o maior número de comparações de valores que o algoritmo pode realizar. Solução: Uma solução possível é numa primeira fase começar com a posição (n, 1). Se o valor for 0, deslocar para a coluna 2 (e somar n ao total de 0 s). Se o valor for 1, deslocar para a linha n 1. O objectivo desta primeira fase é encontrar a separação entre 0 s e 1 s. Numa segunda fase, o objectivo é deslocar a análise até à primeira linha ou até à última coluna, contando a cada passo o número de 0 s por coluna. Claramente, o tempo de execução do algoritmo é O(n) (apenas O(n) posições analisadas, cada uma em tempo constante). O menor número de comparações é n (toda a matriz só com 0 s ou só com 1 s), e o maior é 2n.

13 Problemas de ASA 9 Parte II. Algoritmos para Grafos & Programação Linear

14 Problemas de ASA 10 Problemas do Tipo 1

15 Problemas de ASA 11 II.1.1 Considere o grafo da figura seguinte. Admita que a DFS analisa os vértices por ordem lexicográfica. Após a execução da DFS, indique o valor da expressão: d[d] + d[e] f[c] b c a d e a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7 f. 8 g. 9 h. 10 i. 11 Solução: A resposta certa é a e.

16 Problemas de ASA 12 II.1.2 Na execução do algoritmo de Prim, seja κ[u] o valor da estimativa key[u] quando o vértice u é incluído na MST, e seja σ[u] a ordem pela qual o vértice u é incluído na MST (σ[a] = 1). Para o grafo da figura considere que o algoritmo é executado tendo o vértice a como vértice raíz. Nestas condições, indique qual o valor da expressão: σ[d] + σ[f] + σ[b] (κ[d] + κ[f] + κ[b]) 3 4 b e g a 7 d 5 13 i c f h 1 2 a. 8 b. 9 c. 10 d. 11 e. 12 f. 4 g. 5 h. 6 i. 7 Solução: A resposta certa é a a.

17 Problemas de ASA 13 II.1.3 Na execução do algoritmo de Dijkstra, seja δ(s, u), o peso do caminho mais curto de s para u. Seja d[u] = δ(s, u) o peso da estimativa do caminho mais curto de s para u quando o vértice u é extraído da fila de vértices, e seja σ[u] a ordem pela qual o vértice u é extraído da fila de vértices (com σ[s] = 1). Para o grafo da figura, considere a s e indique o valor da expressão: σ[c] + σ[e] (d[b] + d[e]) b 4 d 1 2 a 1 4 e 3 c 2 a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 f. 6 g. 7 h. 8 i. 9 Solução: A resposta certa é a b.

18 Problemas de ASA 14 II.1.4 Considere a aplicação do algoritmo de Floyd-Warshall. Para o grafo da figura seguinte, calcule o valor da expressão: d (0) 12 + d(4) 12 + d(5) a. 4 b. 9 c. 14 d. 19 e. 24 f. 29 g. 34 h. 39 i. 44 Solução: A resposta certa é a f.

19 Problemas de ASA 15 II.1.5 Considere o processo de repesagem dos arcos no algoritmo de Johnson. Para o grafo da figura seguinte, calcule o valor da expressão: ŵ(u, v) (u,v) E a 5-3 b d c e f a. 6 b. 11 c. 16 d. 21 e. 26 f. 31 g. 36 h. 41 i. 46 Solução: A resposta certa é a d.

20 Problemas de ASA 16 II.1.6 Considere a aplicação do algoritmo de Edmonds-Karp. Admita que c (k) f (u, v) é a capacidade residual entre os vértices u e v após k passos do algoritmo. Nestas condições, para o grafo da figura determine o valor da expressão seguinte: c (1) f (b, c) + c(2) (b, c) + c(3) (b, c) f f b 9 c a f 10 9 d 4 e a. 7 b. 12 c. 17 d. 22 e. 27 f. 32 g. 37 h. 42 i. 47 Solução: A resposta certa é a e.

21 Problemas de ASA 17 II.1.7 Considere o seguinte grafo dirigido: b c a d e Relativamente a este grafo, considere a aplicação da BFS, tendo a como vértice fonte. Nestas condições, após a aplicação da BFS, indique o valor da expressão: a. 7 b. 5 c. 2 d. 9 e. 6 f. 1 g. 3 h. 8 i. 4 d[c] + d[e] + 2 d[d] d[b] Solução: A resposta certa é a b.

22 Problemas de ASA 18 II.1.8 Considere o seguinte grafo não dirigido. 4 4 b d g a 5 e 5 i c f h 2 2 Qual o custo de uma MST? a. 12 b. 22 c. 24 d. 18 e. 17 f. 19 g. 14 h. 13 i. 23 Solução: A resposta certa é a e.

23 Problemas de ASA 19 II.1.9 Para o grafo da figura, no cálculo dos caminhos mais curtos a partir do vértice 1, quantas vezes é que o algoritmo de Dijkstra actualiza as chaves dos vértices, após a inicialização? a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7 f. 8 g. 9 h. 10 i. 11 Solução: A resposta certa é a d.

24 Problemas de ASA 20 II.1.10 Considere o seguinte grafo dirigido: b c a d e Relativamente a este grafo, indique o número total de arcos no fecho transitivo G = (V, E ). a. 10 b. 11 c. 12 d. 13 e. 14 f. 15 g. 16 h. 17 i. 18 Solução: A resposta certa é a g.

25 Problemas de ASA 21 II.1.11 Considere a rede de fluxo representada, com fonte em a e destino em f. 5 b 10 c 9 a 6 3 f 10 d 6 e 2 Indique o par de valores que representa, respectivamente, o número de caminhos de aumento que é necessário considerar na execução do algoritmo de Edmonds-Karp, e o valor do fluxo máximo. a. 1, 10 b. 2, 10 c. 3, 10 d. 4, 10 e. 1, 11 f. 2, 11 g. 3, 11 h. 4, 11 i. 5, 11 Solução: A resposta certa é a c.

26 Problemas de ASA 22 II.1.12 Relativamente ao grafo seguinte, considere a aplicação do algoritmo de préfluxo genérico, e indique qual das afirmações está correcta. a h=5,e=0 2/2 2/2 b h=1,e=0 1/1 2/2 1/2 c h=0,e=0 d h=1,e=1 a. Podemos aplicar uma operação de Relabel ao vértice a. b. Podemos aplicar uma operação de Relabel ao vértice b. c. Podemos aplicar uma operação de Relabel ao vértice c. d. Podemos aplicar uma operação de Relabel ao vértice d. e. Podemos aplicar uma operação de Push de a para b. f. Podemos aplicar uma operação de Push de a para d. g. Podemos aplicar uma operação de Push de b para c. h. Podemos aplicar uma operação de Push de b para d. i. Não se pode executar qualquer operação de Push ou Relabel. Solução: A resposta certa é a d.

27 Problemas de ASA 23 II.1.13 Considere o grafo não dirigido da figura seguinte Indique qual o custo de uma MST? a. 23 b. 24 c. 20 d. 19 e. 17 f. 21 g. 22 h. 18 i. 25 Solução: A resposta certa é a c.

28 Problemas de ASA 24 II.1.14 Considere o seguinte grafo dirigido. r u x s v y t w z Após a aplicação da BFS (a partir do vértice s), indique o valor da expressão seguinte (considere d[s] = 0): a. 12 b. 7 c. 14 d. 10 e. 8 f. 11 g. 13 h. 9 i. 6 d[t] + d[v] + d[x] + d[y] + d[z] Solução: A resposta certa é a h.

29 Problemas de ASA 25 II.1.15 Considere a rede de fluxo seguinte. a 3 b 3 4 c 4 9 f d 8 e 3 Após a execução do algoritmo de Edmonds-Karp, indique qual o par de valores f, n obtido, os quais representam, respectivamente, o valor do fluxo máximo e o número de caminhos de aumento. a. 10, 4 b. 11, 3 c. 12, 4 d. 10, 5 e. 12, 5 f. 11, 4 g. 12, 3 h. 10, 3 i. 11, 5 Solução: A resposta certa é a f.

30 Problemas de ASA 26 II.1.16 Para o grafo da figura seguinte, e após a identificação dos caminhos mais curtos com fonte s, indique qual o resultado da expressão: δ(s, a) + δ(s, d) + δ(s, e) 4 a 1 1 s d e c b 2 a. 16 b. 10 c. 15 d. 14 e. 12 f. 17 g. 13 h. 18 i. 11 Solução: A resposta certa é b.

31 Problemas de ASA 27 II.1.17 Considere o grafo da figura seguinte. Relativamente à execução do algoritmo de Floyd-Warshall qual dos conjuntos de valores seguintes está correcto? a. D (0) 2,4 =, Π(0) 2,4 = NIL, D(3) 2,5 = 4, Π(3) 2,5 = 4 b. D (0) 2,4 =, Π(0) 2,4 = NIL, D(3) 2,5 =, Π(3) 2,5 = NIL c. D (0) 2,4 = 4, Π(0) 2,4 = 3, D(3) 2,5 = 4, Π(3) 2,5 = 4 d. D (0) 2,4 = 4, Π(0) 2,4 = 2, D(3) 2,5 = 5, Π(3) 2,5 = 4 e. D (0) 2,4 =, Π(0) 2,4 = NIL, D(3) 2,5 = 6, Π(3) 2,5 = 3 f. D (0) 2,4 = 4, Π(0) 2,4 = 2 D(3) 2,5 = 4, Π(3) 2,5 = 4 g. D (0) 2,4 = 4, Π(0) 2,4 = 2, D(3) 2,5 = 5, Π(3) 2,5 = 2 h. D (0) 2,4 = 4, Π(0) 2,4 = 3, D(3) 2,5 = 6, Π(3) 2,5 = 3 i. D (0) 2,4 = 4, Π(0) 2,4 = 2, D(3) 2,5 = 6, Π(3) 2,5 = 3 Solução: A resposta certa é a i.

32 Problemas de ASA 28 II.1.18 Considere o grafo da figura: a b c d e f Pretende-se executar uma DFS que maximize o valor da expressão: f[a] + d[d] + f[b] Indique qual das ordens seguintes, para considerar os vértices na execução da operação DFS-visit, permite obter o maior valor da expressão anterior: a. a, d, b, e, c, f b. c, d, f, e, b, a c. d, a, e, b, f, c d. c, f, b, e, a, d e. f, c, e, b, d, a f. c, e, f, b, a, d g. f, e, b, d, c, a h. c, e, b, f, d, a i. e, f, d, c, b, a Solução: A resposta certa é a a.

33 Problemas de ASA 29 II.1.19 Considere o grafo dirigido da figura: s a c 1 3 b 1 1 d 2 1 t Após o cálculo dos caminhos mais curtos a partir de s, indique qual o valor da expressão: δ(s, c) + δ(s, b) + δ(s, t) a. -6 b. -5 c. -1 d. 1 e. -3 f. -7 g. 0 h. -2 i. -4 Solução: A resposta certa é a b.

34 Problemas de ASA 30 II.1.20 Considere o grafo dirigido da figura: u -2-1 a -1-1 b -1 3 v -2 c -1 d 1 Indique qual o valor do peso do arco (b, v) após a repesagem realizada pelo algoritmo de Johnson. a. 3 b. 1 c. 5 d. -2 e. 0 f. 4 g. -1 h. 2 i. 6 Solução: A resposta certa é a b.

35 Problemas de ASA 31 II.1.21 Considere o grafo não dirigido da figura: r s u v w x z Na execução do algoritmo de Prim (tendo como raíz o vértice r) indique qual a sequência de vértices analizados. a. r, s, w, z, x, u, v b. r, w, x, s, z, v, u c. r, w, s, x, u, z, v d. r, w, z, u, v, x, s e. r, w, s, u, x, v, z f. r, w, u, z, x, s, v g. r, s, x, w, v, z, u h. r, w, x, z, u, v, s i. r, s, w, x, z, v, u Solução: A resposta certa é c.

36 Problemas de ASA 32 II.1.22 Para o grafo seguinte, indique qual o valor da MST? r 5 v 3 4 s t 3 u 4 a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9 f. 10 g. 11 h. 12 i. 13 Solução: A resposta certa é a g.

37 Problemas de ASA 33 II.1.23 Para o grafo seguinte, e após o passo de repesagem do algoritmo de Johnson, indique o valor da expressão: ŵ(a, c) + ŵ(b, d) + ŵ(c, e) b -3 d 1 2 a -1-2 e 2 c 1 a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 f. 6 g. 7 h. 8 i. 9 Solução: A resposta certa é a d.

38 Problemas de ASA 34 II.1.24 Considere o grafo da figura seguinte. 10 v 1 v s 10 5 t v 2 Seja c (i) f (u, v) a capacidade residual do arco (u, v) após a iteração i do algoritmo de Edmonds-Karp. Nesta situação calcule o valor da expressão: a. 50 b. 45 c. 40 d. 35 e. 30 f. 25 g. 20 h. 15 i. 10 c (1) f (v 2, t) + c (2) f (s, v 1) + c (3) f (s, v 1) Solução: A resposta certa é a.

39 Problemas de ASA 35 II.1.25 Para o grafo seguinte, qual o valor de ŵ(b, d) após a aplicação do Algoritmo de Johnson. b -3 d -1 2 a -2-2 e 2 c 1 a. -4 b. -3 c. -2 d. -1 e. 0 f. 1 g. 2 h. 3 i. 4 Solução: A resposta certa é a f.

40 Problemas de ASA 36 II.1.26 Considere o grafo seguinte. Quais dos valores estão correctos para o algoritmo de Floyd-Warshall? a. D (0) 3,2 =, Π(0) 3,2 = NIL, D(3) 3,2 = 2, Π(3) 3,2 = 4 b. D (0) 3,2 =, Π(0) 3,2 = NIL, D(3) 3,2 = 2, Π(3) 3,2 = 1 c. D (0) 3,2 =, Π(0) 3,2 = NIL, D(4) 3,2 = 2, Π(4) 3,2 = 4 d. D (0) 3,2 =, Π(0) 3,2 = NIL, D(4) 3,2 = 2, Π(4) 3,2 = 1 e. D (0) 3,2 = 1, Π(0) 3,2 = 3, D(3) 3,2 = 1, Π(4) 3,2 = 3 f. D (0) 3,2 = 1, Π(0) 3,2 = 3, D(3) 3,2 =, Π(3) 3,2 = NIL g. D (0) 3,2 =, Π(0) 3,2 = NIL, D(4) 3,2 = 1, Π(3) 3,2 = 3 h. D (0) 3,2 =, Π(0) 3,2 = NIL, D(4) 3,2 =, Π(4) 3,2 = NIL i. D (0) 1,3 =, Π(0) 1,3 = NIL, D(4) 1,3 =, Π(4) 1,3 = NIL Solução: A resposta certa é d.

41 Problemas de ASA 37 II.1.27 Considere o grafo não dirigido representado na figura, no qual os pesos dos arcos a, b, c, d, e e f são desconhecidos e formam o tuplo P =< 2, 3, 4, 5, 6, 6 >. Identifique uma permutação de P que associada a < a, b, c, d, e, f > permita obter um grafo com o maior número possível de árvores abrangentes de menor custo (MSTs). Qual é esse número? a f e b c d a. 1 b. 3 c. 5 d. 7 e. 2 f. 4 g. 6 h. 8 i. Superior a 8 Solução: A resposta certa é a i.

42 Problemas de ASA 38 II.1.28 Considere um grafo dirigido G = (V, E), cuja matriz de pesos é dada por: W = Considere as matrizes D (k) resultantes de cada iteração do algoritmo de Floyd- Warshall. Qual das seguintes hipóteses é verdadeira: a. D (1) 4,5 =, D(2) 3,4 =, D(4) 2,4 = b. D (1) 4,5 = 3, D(2) 3,4 = 2, D(4) 2,4 = 1 c. D (1) 4,5 = 1, D(2) 3,4 = 1, D(4) 2,4 = d. D (1) 4,5 = 2, D(2) 3,4 = 2, D(4) 2,4 = 1 e. D (1) 4,5 = 2, D(2) 3,4 = 5, D(4) 2,4 = 1 f. D (1) 4,5 = 1, D(2) 3,4 = 3, D(4) 2,4 = 2 g. D (1) 4,5 =, D(2) 3,4 = 3, D(4) 2,4 = 2 h. D (1) 4,5 = 3, D(2) 3,4 = 5, D(4) 2,4 = 1 i. Nenhuma das anteriores Solução: A resposta certa é a e.

43 Problemas de ASA 39 II.1.29 Considere a rede de fluxo representada no grafo da figura v 1 v 3 20 s t 6 v 2 v Assumindo que c (k) f (u, v) é a capacidade residual entre o vértice u e o vértice v após k iterações do algoritmo de Edmonds-Karp, indique o valor da seguinte expressão: c (1) f (v 3, v 1 )/2+c (1) f (v 4, v 2 )+c (2) f (v 3, v 1 )+c (2) f (v 4, v 2 ) c (3) f (v 2, v 1 ) c (3) f (v 3, t)+c (3) f (s, v 1) a. 10 b. 7 c. 20 d. 22 e. 16 f. 26 g. 15 h. 2 i. Nenhuma das anteriores Solução: A resposta certa é a e.

44 Problemas de ASA 40 II.1.30 Considere o grafo não dirigido da figura Qual o custo de uma MST? a. 20 b. 21 c. 22 d. 23 e. 24 f. 25 g. 26 h. 27 i. 28 Solução: A resposta certa é a e.

45 Problemas de ASA 41 II.1.31 Considere o grafo dirigido apresentado. u v w x y z Sejam d e f os tempos de descoberta e finalização de um algoritmo de procura em profundidade (DFS) com origem em u e que percorre os vértices por ordem lexicográfica. Indique o valor da seguinte expressão: a. 24 b. 26 c. 28 d. 30 e. 32 f. 34 g. 36 h. 38 i. 40 d(u) + f(v) + d(w) + f(x) + d(y) + f(z) Solução: A resposta certa é a g.

46 Problemas de ASA 42 II.1.32 Considere o grafo dirigido e pesado apresentado. 6 b 3-2 c a d 1 e Considerando que δ(u, v) é o peso do caminho de menor peso de u para v, determine o valor da seguinte expressão: a. -4 b. -3 c. -2 d. -1 e. 0 f. 1 g. 2 h. 3 i. 4 δ(a, b) + δ(a, c) δ(a, e) δ(a, d) Solução: A resposta certa é a d.

47 Problemas de ASA 43 II.1.33 Considere a rede de fluxo representada, com fonte em a e destino em f. 5 b 9 c 4 a 3 6 f 10 d 2 e 9 Sabendo que c (k) f (u, v) é a capacidade residual entre os vértices u e v após k passos do algoritmo de Edmonds-Karp, determine o valor da seguinte expressão: a. 10 b. 11 c. 12 d. 13 e. 14 f. 15 g. 16 h. 17 i. 18 c (1) f (b, a)/2 + c(1) (d, a) + c(2) (b, c) + c(3) (e, c) + c(4) (e, f) f f f f Solução: A resposta certa é a b.

48 Problemas de ASA 44 II.1.34 Considere o seguinte grafo não dirigido Qual o custo de uma MST? a. 21 b. 17 c. 12 d. 24 e. 32 f. 10 g. 19 h. 22 i. 13 Solução: A resposta certa é a b.

49 Problemas de ASA 45 II.1.35 Considere o seguinte grafo dirigido. u v w t x y z r Sejam d e f os tempos de descoberta e finalização de um algoritmo de procura em profundidade (DFS) com origem em r, indique o valor da seguinte expressão: a. 69 b. 71 c. 62 d. 53 e. 24 f. 45 g. 47 h. 49 i. 33 d(u) + f(v) + d(w) + f(x) + d(y) + f(z) + d(t) + f(r) Solução: A resposta certa é a a.

50 Problemas de ASA 46 II.1.36 Considere o seguinte grafo dirigido e pesado. b 6 2 a -2 c -2 d -1-3 Aplicando o Algoritmo de Johnson, indique o valor da seguinte expressão: ŵ(a, b) + ŵ(b, c) + ŵ(c, a) + ŵ(b, d) + ŵ(d, c) + ŵ(d, a) a. 15 b. 17 c. 1 d. 3 e. 9 f. 11 g. 13 h. 5 i. 7 Solução: A resposta certa é a e.

51 Problemas de ASA 47 II.1.37 Considere a rede de fluxo representada. 5 b 9 c 4 a 3 6 f 10 d 2 e 9 Sabendo que c (k) f (u, v) é a capacidade residual entre os vértices u e v após k passos de uma implementação do Algoritmo de Ford-Fulkerson onde em cada passo é seleccionado o caminho mais longo, determine o valor da seguinte expressão: a. 14 b. 17 c. 18 d. 10 e. 13 f. 15 g. 16 h. 11 i. 12 c (1) f (b, a) + c(1) (d, a) + c(2) (b, c) + c(3) (e, c) + c(4) (e, f) f f f f Solução: A resposta certa é a e.

52 Problemas de ASA 48 II.1.38 Considere o corte ({a,b},{c,d}) do grafo apresentado, e para esse corte diga qual das afirmações está correcta: b a c 3 d 5 a. o arco leve têm peso 3 b. o arco com peso 3 não é leve mas é seguro c. existem dois arcos leves d. nenhum arco é leve e. Nenhuma das respostas anteriores Solução: A resposta certa é a b.

53 Problemas de ASA 49 II.1.39 Para o grafo da figura seguinte indique quantas MST s se podem obter (para qualquer um dos métodos estudados). b a c 3 d 5 a. 3 b. 2 c. 1 d. 0 e. Nenhuma das respostas anteriores Solução: A resposta certa é a c.

54 Problemas de ASA 50 II.1.40 Para o grafo da figura seguinte, e para qualquer MST, que vértices ficam ligados directamente a todos os nós? b a c 3 d 5 a. a b. a, b c. b d. b, c e. Nenhuma das respostas anteriores Solução: A resposta certa é a a.

55 Problemas de ASA 51 II.1.41 Considere o grafo apresentado com o vértice a como raiz. Qual dos seguintes arcos pertence à SPT (Shortest Path Tree)? b 1 4 a 2 c 5 d 4 1 a. b d b. b c c. a d d. c d e. Nenhuma das respostas anteriores Solução: A resposta certa é a d.

56 Problemas de ASA 52 II.1.42 Considere o grafo apresentado com o vértice a como raiz. Qual a complexidade de aplicar o algoritmo, estudado para este tipo de grafos, por forma a encontrar a SPT? b a c 5 d 1 a. O(E log(e)) b. O(E log(v )) c. O(V 2 ) d. O(V 3 ) e. Nenhuma das respostas anteriores Solução: A resposta certa é a e.

57 Problemas de ASA 53 II.1.43 Considere o grafo da figura seguinte. Quantos arcos contém o fecho transitivo do grafo? b a c d a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. Nenhuma das respostas anteriores Solução: A resposta certa é a b.

58 Problemas de ASA 54 II.1.44 Considere o grafo apresentado. Quais dos valores estão correctos para o algoritmo de Floyd-Warshall? a. D (0) 2,4 = 4, Π(0) 2,4 = 2, D(4) 2,4 = 3, Π(4) 2,4 = 2 b. D (0) 2,4 =, Π(0) 2,4 =, D(4) 2,4 = 4, Π(4) 2,4 = 3 c. D (0) 2,4 =, Π(0) 2,4 =, D(4) 2,4 = 3, Π(4) 2,4 = 2 d. D (0) 2,4 = 4, Π(0) 2,4 = 2, D(4) 2,4 = 3, Π(4) 2,4 = 3 e. Nenhuma das respostas anteriores Solução: A resposta certa é a d.

59 Problemas de ASA 55 II.1.45 Para o grafo seguinte calcule o valor do fluxo máximo. v s 5 t v 2 a. 15 b. 20 c. 25 d. 30 e. Nenhuma das respostas anteriores Solução: A resposta certa é a c.

60 Problemas de ASA 56 II.1.46 correcta. Em relação ao grafo da figura, indique qual das afirmações seguintes está b a c d a. O grafo não é bipartido. b. O grafo é bipartido mas o conjunto L de vértices é vazio. c. O grafo é bipartido mas o conjunto R de vértices é vazio. d. O grafo é bipartido e L = {a, b} e R = {c, d}. e. O grafo é bipartido e L = {a, c} e R = {b, d}. f. O grafo é bipartido e L = {a, d} e R = {b, c}. g. O grafo é bipartido e L = {a} e R = {b, c, d}. h. O grafo é bipartido e L = {b} e R = {a, c, d}. i. O grafo é bipartido e L = {c} e R = {a, b, d}. Solução: A resposta certa é a e.

61 Problemas de ASA 57 II.1.47 Qual o valor do maximum bipartite macthing para o grafo da figura seguinte? b a c d a. um b. dois c. três d. quatro e. cinco f. seis g. sete h. oito i. nove Solução: A resposta certa é a b.

62 Problemas de ASA 58 II.1.48 Qual das seguintes afirmações está correcta, em relação ao seguinte grafo, considerando o algoritmo de preflow-push genérico. 2/2 b h=1,e=0 1/2 a h=5,e=0 2/2 1/1 0/2 c h=0,e=0 d h=0,e=3 a. Podemos executar um relabel ao vértice a. b. Podemos executar um relabel ao vértice b. c. Podemos executar um relabel ao vértice c. d. Podemos executar um relabel ao vértice d. e. Podemos executar um push na seta de a para b. f. Podemos executar um push na seta de a para d. g. Podemos executar um push na seta de b para c. h. Podemos executar um push na seta de b para d. i. Não se pode executar nenhuma operação. Solução: A resposta certa é a d.

63 Problemas de ASA 59 II.1.49 Considere o grafo da figura seguinte: b 2 2 a -1 c 2 d -2 2 Após a aplicação do algoritmo de Johnson obtemos: a. ŵ(d, c) = 1 b. ŵ(d, c) = 2 c. ŵ(d, c) = 3 d. ŵ(d, c) = 4 e. ŵ(d, c) = 4 f. ŵ(d, c) = 3 g. ŵ(d, c) = 2 h. ŵ(d, c) = 1 i. ŵ(d, c) = 0 Solução: A resposta certa é a a.

64 Problemas de ASA 60 II.1.50 Considere o grafo da figura seguinte Na aplicação do algoritmo de Floyd-Warshall a este grafo, quais dos valores seguintes estão correctos? a. D (0) 2,3 = 4, Π(0) 2,3 = 1, D(4) 2,3 = 4, Π(4) 2,3 = 1 b. D (0) 2,3 = 5, Π(0) 2,3 = 2, D(4) 2,3 = 5, Π(4) 2,3 = 2 c. D (0) 2,3 =, Π(0) 2,3 =, D(4) 2,3 = 5, Π(4) 2,3 = 2 d. D (0) 2,3 =, Π(0) 2,3 =, D(4) 2,3 = 4, Π(4) 2,3 = 1 e. D (0) 2,3 = 4, Π(0) 2,3 = 1 D(4) 2,3 = 5, Π(4) 2,3 = 2 f. D (0) 2,3 = 5, Π(0) 2,3 = 2, D(4) 2,3 = 4, Π(4) 2,3 = 1 g. D (0) 2,3 =, Π(0) 2,3 = 1, D(4) 2,3 = 5, Π(4) 2,3 = 2 h. D (0) 2,3 = 4, Π(0) 2,3 =, D(4) 2,3 = 5, Π(4) 2,3 = 2 i. D (0) 2,3 =, Π(0) 2,3 =, D(4) 2,3 =, Π(4) 2,3 = Solução: A resposta certa é a f.

65 Problemas de ASA 61 II.1.51 Indique qual o valor do fluxo máximo para o grafo seguinte. v s 2 t 3 6 v 2 a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 f. 6 g. 7 h. 8 i. 9 Solução: A resposta certa é h.

66 Problemas de ASA 62 II.1.52 Para o grafo da figura seguinte, quantas MST distintas é possível obter? v v 1 v 4 1 v a. uma b. duas c. três d. quatro e. cinco f. seis g. sete h. oito i. nove Solução: A resposta certa é a d.

67 Problemas de ASA 63 II.1.53 Qual das seguintes sequências é uma ordenação topológica para o grafo seguinte? v 2 v 1 v 4 v 3 a. v 1,v 2,v 3,v 4 b. v 1,v 2,v 4,v 3 c. v 1,v 4,v 2,v 3 d. v 2,v 1,v 4,v 3 e. v 2,v 1,v 3,v 4 f. v 4,v 1,v 3,v 2 g. v 2,v 4,v 3,v 1 h. v 2,v 4,v 1,v 3 i. v 3,v 1,v 2,v 4 Solução: A resposta certa é a b.

68 Problemas de ASA 64 II.1.54 Para a rede de fluxos seguinte diga qual o caminho de aumento mais atractivo no grafo residual respectivo, i.e. o que causa o maior aumento do fluxo entre as duas extremidades. v 1 s 2/3 0/3 0/3 0/1 2/2 2/3 v 2 t a. s t b. s v 1 t c. s v 2 t d. s v 1 v 2 t e. s v 2 v 1 t f. s v 1 s t g. s t v 2 t h. s v 1 v 2 v 1 t i. t v 1 v 2 s Solução: A resposta certa é a e.

69 Problemas de ASA 65 II.1.55 Para o grafo seguinte, qual o valor de ŵ(c, d) após a aplicação do Algoritmo de Johnson. b -3 d 1 2 a -1-2 e 2 c 1 a. -4 b. -3 c. -2 d. -1 e. 0 f. 1 g. 2 h. 3 i. 4 Solução: A resposta certa é a e.

70 Problemas de ASA 66 II.1.56 Para o grafo seguinte, calcule o valor do fluxo máximo. 10 v 1 v 3 s t v 2 a. 50 b. 45 c. 40 d. 35 e. 30 f. 25 g. 20 h. 15 i. 10 Solução: A resposta certa é a f.

71 Problemas de ASA 67 II.1.57 Para o grafo seguinte, indique qual o número de MSTs. r 5 v 3 4 s t 3 u 4 a. 10 b. 9 c. 8 d. 7 e. 6 f. 5 g. 4 h. 3 i. 2 Solução: A resposta certa é a g.

72 Problemas de ASA 68 II.1.58 Calcule a solução do programa linear seguinte. a. 10 b. 12 c. 14 d. 16 e. 18 f. 20 g. 8 h. 6 i. 4 max x 1 2x 2 + x 3 s.a. x 1 + 2x 2 + x x 1 + x 2 x 3 6 x 1 + 3x 2 9 x 1, x 2, x 3 0 Solução: A resposta certa é a b.

73 Problemas de ASA 69 II.1.59 Calcule a solução do programa linear seguinte. a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 f. 10 e. -2 g. 0 h. 7 i. 3 max x 1 + 2x 2 s.a. 3x 1 + 4x 2 = 12 2x 1 x 2 12 x 1, x 2 0 Solução: A resposta certa é a c.

74 Problemas de ASA 70 Problemas do Tipo 2

75 Problemas de ASA 71 II.2.1 Considere os algoritmos de fluxo máximo baseados em preflow-push. Admita um grafo G = (V, E), com V = {s x 0, x 1, x 2, x 3, x 4 t} e E = {(s, x 1 ), (x 1, x 2 ), (x 2, x 3 ), (x 3, t)}. Admita também que c(s, x 1 ) = 10, c(x 1, x 2 ) = 10, c(x 2, x 3 ) = 5, c(x 3, t) = 10. Nesta situação qual o maior número de operações de Relabel que é possível obter (sem contar com a inicialização de s)? a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10 f. 11 g. 12 h. 13 i. 14 Solução: A resposta certa é a d.

76 Problemas de ASA 72 II.2.2 Considere uma DAG G = (V, E), N = V. Seja v V um vértice de G, e sejam t m (v) e t M (v) respectivamente o menor e o maior indíce de v para todas as ordenações topológicas de G, com 1 t m (v) t M (v) N. Nestas condições indique para o vértice v qual o menor tempo de fim (f[v]) que é possível obter para qualquer DFS realizada sobre G. a. 2 t M (v) + 2 b. 2 t m (v) + 2 c. 2 (N t M (v)) + 2 d. 2 (N t m (v)) + 2 e. t m (v) + t M (v) f. 2(t m (v) + t M (v)) + 2 g. (t M (v)+t m(v)) 2 (tm (v) tm(v)) h. N + 2 i. N (t m (v) + t M (v)) + 2 Solução: A resposta certa é a c.

77 Problemas de ASA 73 II.2.3 Relativamente à execução do algoritmo DFS num grafo G = (V, E), ligado, não dirigido, com n vértices, indique qual das frases seguintes está incorrecta. a. O número de tempos de descoberta e de fim distintos é 2n. b. A floresta de DFS tem apenas uma árvore. c. Um arco (u, v) é um arco para trás se d[u] d[v] e v tem cor cinzenta. d. A soma do número de arcos para a frente e de cruzamento é zero. e. Existem vértices u e v, com (u, v) E, tal que [d[u], f[u]] [d[v], f[v]] =. f. Para qualquer vértice folha u numa floresta da árvore de DFS verifica-se f[u] = d[u] + 1 g. Para qualquer vértice interno u numa floresta da árvore de DFS não se verifica f[u] = d[u] + 1. h. A complexidade é O(V + E). i. A complexidade é O(V 2 + E 2 ). Solução: A resposta certa (i.e. a frase incorrecta) é a e.

78 Problemas de ASA 74 II.2.4 Indique qual das frases seguintes está incorrecta. a. A remoção de um arco de um grafo G = (V, E) não implica um aumento do número de SCCs. b. Na execução da DFS, o número de tempos de início e fim é 2 n, em que n representa o número de vértices, tanto para grafos dirigidos como para grafos não dirigidos. c. Num grafo não dirigido, a existência de mais do que uma MST implica existência de arcos com o mesmo peso. d. O número de passos de colapsagem de árvores no algoritmo de Boruvka é limitado superiormente em log n. e. Existem grafos, com arcos com pesos negativos, para os quais a aplicação do algoritmo de Dijkstra produz o resultado correcto. f. Após a aplicação do algoritmo de Bellman-Ford, é possível enumerar os arcos de um ciclo negativo em O(V + E). g. Admitindo que V = O(E), e recorrendo a um amontoado binário, o algoritmo de Dijkstra tem complexidade O(E log V ). h. Se numa iteração do algoritmo de Bellman-Ford nenhum valor d[v] é alterado, então o algoritmo pode retornar a indicação da inexistência de ciclos negativos a partir do vértice fonte s. i. Na execução de uma DFS num DAG, não podem existir vértices com arcos de entrada que apresentem tempos de fim superiores a vértices sem arcos de entrada. Solução: A resposta certa (i.e. a frase incorrecta) é a i.

79 Problemas de ASA 75 II.2.5 Considere o problema da identificação do fecho transitivo de um grafo. Admita um grafo G = (V, E), com vértices V = {v 1, v 2,..., v n } e arcos E = {(v i, v i+1 ), i = 1,..., n 1}. Nestas condições, qual a variação no número de arcos após o cálculo do fecho transitivo? a. n (n 1)/2 b. n (n 1)/2 1 c. n (n 1) d. n (n 1) 1 e. n 2 /2 3 n/2 + 1 f. n 2 /2 n/2 1 g. 2 n h. 2 n 2 i. 2 n + 2 Solução: A resposta certa é a e.

80 Problemas de ASA 76 II.2.6 Considere a aplicação do algoritmo Relabel-To-Front para o cálculo do fluxo máximo. Admita uma rede de fluxo G = (V, E), com vértices V = {v 1 s, v 2,..., v n t} e arcos E = {(v i, v i+1 ), i = 1,..., n 1}, cada arco com capacidade c(v i, v i+1 ) = n i + 1, i = 1,..., n 1. Nestas condições, após a execução do algoritmo Relabel-To- Front, qual a altura máxima para os vértices no conjunto V {s, t}? a. 2 n 2 b. 2 n 1 c. 2 n d. n 2 f. n 1 e. n + 1 g. n h. 1 i. 2 Solução: A resposta certa é a a.

81 Problemas de ASA 77 II.2.7 Indique qual das frases seguintes está incorrecta. a. Após a execução do algoritmo de Floyd-Warshall, a existência de ciclos negativos pode ser determinada em O(n). b. Na execução do algoritmo de Bellman-Ford, se o processo de relaxação dos arcos não altera a estimativa do peso do caminho mais curto de qualquer vértice, então o algoritmo pode terminar e retornar o valor TRUE. c. Em qualquer algoritmo de pré-fluxo a altura máxima é não superior a 2 V 1. d. Para qualquer algoritmo de pré-fluxo com complexidade assimptótica Ω( N 3 ), o número de operações de Push não saturante é Ω( N 3 ). e. Existem redes de fluxo para as quais o método de Ford-Fulkerson pode não terminar. f. Na execução do método de Ford-Fulkerson, qualquer arco (u, v) de qualquer caminho de aumento p verifica (u, v) E. g. A complexidade do algoritmo de Edmonds-Karp é O( V 5 ). h. O algoritmo de Floyd-Warshall permite identificar ciclos negativos. i. Na execução de algoritmos de fluxo máximo baseados em caminhos de aumento, se todas as capacidades têm valor inteiro, então qualquer aumento de fluxo tem valor inteiro. Solução: A resposta certa (i.e. a frase incorrecta) é a f.

82 Problemas de ASA 78 II.2.8 Indique qual das frases seguintes está incorrecta. a. A complexidade assimptótica do algoritmo para o fluxo de custo mínimo baseado em cancelamento de ciclos é O(V E 2 U C). b. Dado que o problema de programação linear é resolúvel em tempo polinomial, então o problema de fluxo de custo mínimo também é resolúvel em tempo polinomial. c. Dado um qualquer programa linear, o algoritmo Simplex termina, e retorna a solução correcta ou uma indicação de que o programa linear não é exequível ou de que não tem solução limitada. d. Sendo z a solução do programa linear primal, e sendo w a solução do problema linear dual, verifica-se que z w. e. Dado que o problema de fluxo máximo é resolúvel em tempo polinomial e dado que o problema de fluxo máximo é redutível em tempo polinomial ao problema de fluxo de custo mínimo, então o problema de fluxo de custo mínimo é resolúvel em tempo polinomial. f. A redução de um programa linear para a forma slack tem complexidade polinomial no número de variáveis e de restrições do problema original. g. No algoritmo para o fluxo de custo mínimo baseado em cancelamento de ciclos não é possível utilizar o algoritmo de Dijkstra. Solução: A resposta certa (i.e. a frase incorrecta) é a e.

83 Problemas de ASA 79 II.2.9 Relativamente à execução do algoritmo DFS num grafo G = (V, E), ligado, dirigido, com n vértices e m arcos, indique qual das frases seguintes está incorrecta. a. O valor n representa um limite superior no número de arcos da floresta de DFS. b. O valor n representa um limite superior no número de árvores na floresta de DFS. c. O valor n 1 representa um limite superior no número de arcos de cruzamento. d. Podem existir vértices u, com arcos de entrada e arcos de saída, tais que f[u] = d[u] + 1. e. Podem existir vértices u e v, com (u, v) E, tal que [d[u], f[u]] [d[v], f[v]] =. f. Para cada vértice v, os valores possíveis para os tempos de descoberta d[v] e de fim f[v] variam entre 1 e 2n. g. A soma do número de vértices brancos, cinzentos e pretos é constante. h. É possível identificar um arco para trás (u, v) tal que [d[u], f[u]] [d[v], f[v]]. i. O número de valores distintos de d[u] na DFS é não inferior ao número de valores distintos de d[u] na BFS, executada no mesmo grafo e relativa a um qualquer vértice inicial s. Solução: A resposta certa (i.e. a frase incorrecta) é a c.

84 Problemas de ASA 80 II.2.10 Num grafo G = (V, E), não dirigido, ligado, o maior número de arcos para trás (back-edges) que é possível obter após a aplicação da DFS é: a. n b. n(n 1) 2 c. 2n 1 d. e. n(n+1) 2 (n 1)(n 2) 2 f. 2 n 1 n 2 g. n 1 h. 2 n 1 i. 2 n Solução: A resposta certa é a e.

85 Problemas de ASA 81 II.2.11 Indique qual das seguintes frases está incorrecta. a. O número de SCCs num grafo G = (V, E), dirigido, é O(V ). b. A complexidade de listar os elementos ligados de um grafo G = (V, E) não dirigido é O(V + E). c. A complexidade para identificar SCCs num grafo G = (V, E), dirigido, é O((V + E) log V ). d. A existência de múltiplas MSTs implica a existência de múltiplas ocorrências de pelo menos um valor de peso dos arcos. e. Em grafos dirigidos, o número de ordenações topológicas no pior caso é Ω(2 V ). f. Num grafo G = (V, E), dirigido, acíclico, a existência de 1 única ordenação topológica v 1,..., v k implica a existência de um único caminho entre v 1 e v k em G. g. A complexidade para identificar SCCs num grafo G = (V, E), dirigido, no pior caso é Ω(V + E). h. A complexidade do algoritmo de Kruskal é O((V + E) log V ), quando baseado na utilização de um amontoado. i. O número de operações de colapsagem de árvores no algoritmo de Boruvka é O(log V ). Solução: A resposta certa (i.e. a frase incorrecta) é a f.

86 Problemas de ASA 82 II.2.12 Considere a rede de fluxo da figura v 1 v 3 v s 2 t 2000 v 2 v 4 v Para este grafo, indique qual o maior número de caminhos de aumento que é possível utilizar na aplicação do método de Ford-Fulkerson. a b c d e f g h i Solução: A resposta certa é a d.

87 Problemas de ASA 83 II.2.13 Indique qual das frases seguintes está incorrecta. a. Para redes de fluxo em que as capacidades apresentam valores racionais, qualquer implementação do algoritmo de Ford-Fulkerson termina em tempo finito e calcula o valor correcto. b. Entre todas as implementações possíveis do método de Ford-Fulkerson, e para qualquer rede de fluxo, o algoritmo de Edmonds-Karp requer o menor número de caminhos de aumento. c. Existem redes de fluxo para as quais algumas implementações do método de Ford- Fulkerson não terminam. d. A aplicação do algoritmo de Edmonds-Karp assegura que o comprimento (no número de arcos) dos caminhos de aumento é monotonicamente crescente, tendo como valores possíveis o conjunto {1,..., V 1}. e. O número de caminhos de aumento na execução do algoritmos de Edmonds-Karp é O(V E). f. Após a execução do algoritmo de Floyd-Warshall, a complexidade assimptótica adicional para identificar a existência de ciclos negativos é O(V ). g. Na execução do algoritmo de Bellman-Ford, a complexidade assimptótica para identificar a existência de ciclos negativos é O(E). h. Para grafos com ciclos negativos, as complexidades assimptóticas do algoritmo de Johnson e do algoritmo de Bellman-Ford são iguais. i. Num grafo dirigido acíclico é possível encontrar os caminho mais curtos entre todos os pares de vértices em O(V (V + E)). Solução: A resposta certa (i.e. a frase incorrecta) é a b.

88 Problemas de ASA 84 II.2.14 Indique qual a menor complexidade de um algoritmo eficiente para identificar um corte mínimo de uma rede de fluxo G = (V, E), após a execução de um algoritmo para cálculo do fluxo máximo. a. V. b. E. c. E log V. d. E log E. e. V E. f. V E 2. g. V 2 E. h. 2 V. i. 2 E. Solução: A resposta certa é a b.

89 Problemas de ASA 85 II.2.15 Indique qual das frases seguintes está incorrecta. a. Na aplicação do algoritmo de Edmonds-Karp, o número de aumentos de fluxo é O(V E). b. Para grafos onde E = O(V ), a complexidade assimptótica do algoritmo genérico de pré-fluxo não é menor do que a complexidade assimptótica do algoritmo de Edmonds-Karp. c. A complexidade assimptótica do algoritmo Relabel-To-Front é inferior à do algoritmo de pré-fluxo genérico porque o número de operações de Push não saturante é menor. d. Na aplicação do algoritmo de pré-fluxo genérico a altura máxima de um vértice não excede 2 V 1. e. Na aplicação do algoritmo de pré-fluxo genérico, o número total de actualizações das alturas é menor do que 2 V 2. f. É possível reduzir a complexidade assimptótica do algoritmo genérico de pré-fluxo através da redução do número de operações de Push saturante. g. Para redes de fluxo com capacidades não necessariamente racionais, e por escolha adequada dos caminhos de aumento, é possível o algoritmo de Ford-Fukerson não terminar, e ficar a uma distância arbitrariamente pequena de um valor de fluxo incorrecto. h. A complexidade assimptótica do algoritmo de Ford-Fulkerson, para o cálculo do emparelhamento bipartido máximo, é menor do que a complexidade assimpótica do algoritmo de pré-fluxos genérico para redes de fluxo arbitrárias. i. A complexidade assimptótica do algoritmo de Ford-Fulkerson, para o cálculo do emparelhamento bipartido máximo, é menor do que a complexidade assimpótica do algoritmo de Edmonds-Karp para redes de fluxo arbitrárias. Solução: A resposta certa (i.e. a frase incorrecta) é a f.

90 Problemas de ASA 86 II.2.16 Relativamente aos problemas de caminhos mais curtos em grafos, para um grafo G = (V, E), com n = V e m = E, indique qual das seguintes frases está incorrecta. a. Na aplicação do algoritmo de Bellman-Ford, o número de relaxações é O(n m). b. No algoritmo de Johnson, a execução do processo de repesagem é opcional sempre que todos os arcos tenham peso não negativo. c. No algoritmo de Johnson, e após a repesagem dos arcos, podem existir arcos com peso igual a 0. d. No cálculo do fecho transitivo, o número de arcos adicionados é O(n 2 ). e. No algoritmo de Johnson, um limite superior no valor absoluto da maior actualização de pesos é max (u,v) E { w(u, v) }. f. Na execução do algoritmo de Floyd-Warshall, a ordem pela qual os vértices são considerados pode ser qualquer, utilizando para tal uma adequada permutação dos vértices. g. Após a aplicação do algoritmo de Floyd-Warshall, a complexidade para encontrar ciclos negativos é O(n). h. Para o problema dos caminhos mais curtos com fonte única num DAG, o número de relaxações é O(n + m). i. É possível encontrar o fecho transitivo de um DAG em O(n m). Solução: A resposta certa (i.e. a frase incorrecta) é a f.

91 Problemas de ASA 87 II.2.17 Considere um grafo G = (V, E), dirigido, com as seguintes características: O conjunto de vértices é V = {s, x 1,..., x n }. Existe um arco de s para qualquer outro vértice de G, i.e. (s, x i ) E, 1 i n. Existe um arco entre os vértices x i e x i+1, i.e. (x i, x i+1 ) E, 1 i n 1. Nestas condições, qual o número de árvores de DFS distintas, com raíz s, que é possível construir? a. 2 n 1 b. n 2 2 c. n + 1 d. 2 n e. n f. 2 n+1 1 n(n 1) g h. n 1 i. n(n+1) 2 1 Solução: A resposta correcta é a a.

92 Problemas de ASA 88 II.2.18 Indique qual o menor limite superior na complexidade assimptótica do algoritmo de Edmonds-Karp para redes de fluxo onde todos os arcos têm capacidade unitária. (Admita que V = O(E).) a. E 2 b. V 2 E c. V E d. V E 2 e. V 2 f. E log E g. E log V h. E i. V 2 log V Solução: A resposta certa é a c.

93 Problemas de ASA 89 II.2.19 Considere uma rede de fluxo G = (V, E), com vértice fonte s e vértice destino t, e com a seguinte organização: Os vértices estão organizados por níveis. O vértice s está colocado no nível 0. O vértice t está colocado no nível j + 1. Em cada nível i, 1 i j, estão colocados 2 i vértices. Cada vértice u colocado no nível i, 0 i j, apenas tem arcos para 2 vértices no nível i + 1, com 0 i j 1, e tal que dois vértices u e v no nível i estão ligados a vértices distintos no nível i + 1. Todos os vértices no nível j têm um único arco para o vértice t. A capacidade de cada arco (u, v) E, com u no nível i e v no nível i+1, 0 i j, é dada por 2 2(j i) 1. Nestas condições, qual o valor do somatório das alturas de todos os vértices após a execução do algoritmo de pré-fluxos genérico? Sugestão: Observe que n i=0 2i = 2 n+1 1. a. (2 j + j/2) b. (j + 1)(2 j+1 + j/2) c. (2 j+2 + j/2 + 2) d. e. j (j+1) 2 j 2 2 f. j (2 j + j/2) g. (2 j+1 + j/2 + 1) j (j 1) h. 2 i. (j + 2) (2 j+2 + j/2) Solução: A resposta correcta é a b.

94 Problemas de ASA 90 II.2.20 Indique qual das seguintes frases está incorrecta. a. É possível identificar os caminhos mais curtos no número de arcos, entre um vértice fonte e todos os restantes vértices de um grafo, em O(V + E). b. Num grafo dirigido acíclico não é possível listar todos os caminhos em tempo polinomial em V e E. c. Num grafo dirigido, o algoritmo de Dijkstra garante a correcta identificação dos caminhos mais curtos, de um vértice fonte s para todos os outros vértices, apenas se os pesos dos arcos forem não negativos. d. A complexidade assimptótica do algoritmo de Bellman-Ford no melhor caso é sempre maior do que a complexidade assimptótica do algoritmo de Dijkstra no pior caso. e. Para grafos esparsos, a complexidade assimptótica do algoritmo de Johnson é inferior à complexidade assimptótica do algoritmo de Floyd-Warshall. f. O algoritmo de Floyd-Warshall pode ser executado em grafos contendo arcos com peso negativo e com ciclos negativos. g. Na execução do método de Ford-Fulkerson, com capacidades de valores racionais, o número de caminhos de aumento é sempre finito. h. Na execução do algoritmo de Edmonds-Karp o número de caminhos de aumento é sempre finito, e limitado assimptoticamente por O(V E). i. A complexidade assimptótica do algoritmo de pré-fluxo genérico no pior caso é sempre menor do que a complexidade assimptótica do algoritmo de Edmonds- Karp no melhor caso. Solução: A resposta certa (i.e. a frase incorrecta) é a i.

95 Problemas de ASA 91 II.2.21 Indique qual a menor complexidade assimptótica de um algoritmo para calcular o número de caminhos mais curtos entre um par de vértices (i, j) após a aplicação do algoritmo de Floyd-Warshall. (Considere que n representa o número de vértices.) a. n 3 log n b. n log n c. n 2 log n d. n 2 e. 1 f. 2 n g. n 3 h. n! i. n Solução: A resposta certa é a d.

96 Problemas de ASA 92 II.2.22 Considere um grafo dirigido, G = (V, E), com n 2 vértices, em que os vértices se encontram organizados por linhas e colunas (n linhas e n colunas). Um vértice na posição (i, j), v ij, tem os seguintes arcos: Um arco para o vértice na posição (i + 1, j + 1), desde que 1 i n 1, 1 j n 1. Um arco para o vértice na posição (i, j + 1), desde que 1 i n, 1 j n 1. Um arco para o vértice na posição (i + 1, j), desde que 1 i n 1, 1 j n. Finalmente, existem M n 2 arcos de vértices em posições (i, j) para vértices em posições (k, l), com i < k, j < l, e com M constante. Cada arco do grafo entre as posições (i, j) e (k, l), i.e. (v ij, v kl ), tem um peso ω(v ij, v kl ). Nestas condições, indique qual a menor complexidade assimptótica para encontrar o caminho mais curto entre os vértices nas posições (1, 1) e (n, n). a. n 2 log n b. n log n c. 2 n d. n 3 log n e. n 2 f. n g. n 4 h. n 4 log n i. n 3 Solução: A resposta certa é a e.

97 Problemas de ASA 93 II.2.23 Indique qual das frases seguintes é incorrecta. a. A complexidade assimptótica (no pior caso) do algoritmo de Floyd-Warshall é independente da existência de ciclos negativos. b. Para grafos densos o algoritmo de Bellman-Ford tem a mesma complexidade assimptótica que o algoritmo de Floyd-Warshall. c. Para grafos densos o algoritmo de Dijkstra tem a mesma complexidade assimptótica que o algoritmo de Bellman-Ford. d. No algoritmo de pré-fluxos o número de operações de Relabel é O(V 2 ). e. No algoritmo de pré-fluxos a complexidade da operação de Push é O(1). f. No algoritmo de pré-fluxos a complexidade da operação de Relabel é Ω(V ). g. A complexidade assimptótica do algoritmo de Bellman-Ford no melhor caso é sempre maior do que a complexidade assimptótica do algoritmo de Dijkstra no pior caso. h. Na execução do algoritmo de Edmonds-Karp o número de caminhos de aumento é sempre finito, e limitado assimptóticamente por O(V E). i. Na execução do método de Ford-Fulkerson, com capacidades de valores racionais, o número de caminhos de aumento é sempre finito. Solução: A resposta certa (i.e. a frase incorrecta) é a c.

98 Problemas de ASA 94 II.2.24 Indique a menor complexidade assimptótica para identificar a existência de ciclos negativos, atíngiveis a partir de um qualquer vértice, em grafos dirigidos e pesados. a. V + E. b. V log V. c. E log E. d. E log V. e. V E. f. V E log V. g. V E log E. h. V 2 log V. i. V 2 log E. Solução: A resposta certa é a e.

99 Problemas de ASA 95 II.2.25 Indique qual a menor complexidade assimptótica de um algoritmo eficiente para resolver o problema dos caminhos mais curtos entre todos os pares de vértices num grafo dirigido acíclico. (Admita E = Ω(V ).) a. V + E. b. V log V. c. E log E. d. E log V. e. V E. f. V E log V. g. V E log E. h. V 2 log V. i. V 2 log E. Solução: A resposta certa é a e.

100 Problemas de ASA 96 II.2.26 Considere um grafo dirigido G = (V, E), com n vértices, em que V = {v 1, v 2,..., v n } e E = {(v i, v i+1 ), i = 1,..., n 1} {(v n, v 1 )}. Após a execução de um algoritmo para identificação do fecho transitivo G = (V, E ), indique qual o valor de E E, isto é o número de arcos adicionais criados pela execução do algoritmo. a. 2n 1. b. 2n. c. 2n + 1. d. n 2 2n + 1. e. n 2 n + 1. f. n 2 n. g. n 2 2n. h. 2 n n + 1. i. 2 n 2n + 1. Solução: A resposta certa é a g.

101 Problemas de ASA 97 II.2.27 Considere o algoritmo genérico de pré-fluxo (push-relabel) para cálculo do fluxo máximo. O tuplo m R, m P, M R, M P representa respectivamente: o menor número de operações de relabel, m R. o menor número de operações de push, m P. o maior número de operações de relabel, M R. o maior número de operações de push, M P. realizadas durante a execução do algoritmo, e após a inicialização. Para o grafo da figura, indique qual o tuplo m R, m P, M R, M P com os valores correctos. b a 1 d 10 c 10 a. 1, 3, 3, 5. b. 2, 4, 3, 5. c. 1, 3, 3, 5. d. 2, 2, 3, 5. e. 2, 4, 4, 6. f. 3, 5, 4, 6. g. 3, 4, 4, 8. h. 3, 5, 5, 8. i. 3, 4, 5, 8. Solução: A resposta certa é a d.