ANÁLISE DE PLACAS COM VARIAÇÃO DE ESPESSURA ATRAVÉS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

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1 ANÁLISE DE PLACAS COM VARIAÇÃO DE ESPESSURA ATRAVÉS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO EDUARDO WALTER VIEIRA CHAVES Dissertação apresetada à Escola de Egeharia de São Carlos, da Uiversidade de São Paulo, como parte dos requisitos para obteção do Título de Mestre em Egeharia de Estruturas. ORIENTADOR: Prof. Tit. Wilso Sergio Veturii São Carlos 997

2 ..., othig that has oce bee discovered ever loses its value or has to be discarded;... LOVE, A.E.H.

3 Aos meus avós pateros e materos e aos meus pais: Luciao Walter e Maria José, pois a vida me cocederam.

4 AGRADECIMENTOS AGRADECIMENTOS Ao Prof. Wilso Sergio Veturii, pela extraordiária orietação e paciêcia dedicadas a este trabalho, sem as quais seria difícil sua fialização. Agradeço-lhe também por me esiar que as coisas difíceis podem se torar fáceis. Aos professores do Departameto de Egeharia de Estruturas da Escola de Egeharia de São Carlos/USP, em especial ao Prof. Dr. João Batista de Paiva. Aos professores do Departameto de Egeharia Civil da UFPE, em especial ao Prof. Dr. Sílvio Romero Frej da Foseca Lima, pela orietação durate a graduação e pela amizade. Aos meus eteros professores: meus pais. A Ferado, Aa, Mauro, Adréa, Gustavo, Débora e Carol, pelo sague que os ue e por me apoiarem quado precisei, apesar da distâcia que os separa. Ao amigo e colega Eg. Rodrigo de Carvalho Soares pelo compaheirismo e amizade durate a graduação e o mestrado. Aos colegas do departameto em especial a: Eg a. Aa Maria Bradão pela amizade e pelo apoio técico dispesado esta dissertação; Eg. Alex de Sousa e Eg. Osvaldo de Holada pela hospitalidade. Aos fucioários do Departameto de Egeharia de Estruturas da Escola de Egeharia de São Carlos, especialmete a Rosi Aparecida Jordão Rodrigues, Maria Nadir Miatel e Rui Roberto Casale. Aos fucioários da Biblioteca Cetral, em especial a Mila Aiello, por fazer mais pelos aluos. Ao CNPq e à FAPESP que possibilitaram, através de bolsas de estudos, o desevolvimeto desta dissertação.

5 SUMÁRIO v SUMÁRIO APRESENTAÇÃO.... Cosiderações Gerais.... Revisão Bibliográfica Objetivos Coteúdo do Trabalho... 9 RELAÇÕES BÁSICAS: TEORIA DA ELASTICIDADE E PLACAS Itrodução.... Relação Deformação-Deslocameto....3 Lei Costitutiva Codições de Equilíbrio Forças de Superfície Elemetos Estruturais Placas Hipóteses e Relações Básicas da Teoria de Kirchhoff Campo de Deslocameto Campo de Deformação Campo de Tesão Esforços de Placas Equação Diferecial de Placas Esforço Cortate Equivalete Codições de Cotoro Placa com Espessura Variável... 33

6 SUMÁRIO vi. Esforços Segudo um Sistema Geérico de Coordeadas Equações de Placas em Coordeadas Polares Soluções Fudametais de Placas EQUAÇÕES INTEGRAIS PARA FLEXÃO DE PLACA Itrodução Equação Itegral de um Poto do Domíio da Placa com Espessura Costate Equação Itegral de um Poto do Domíio da Placa de Espessura Variável Equação Itegral para um Poto do Cotoro da Placa EQUAÇÕES ALGÉBRICAS DO MEC PARA PLACA DE KIRCHHOFF Itrodução Discretização do Cotoro Aproximação das Variáveis Aproximação Costate Aproximação Liear Cotíua Aproximação Liear Descotíua Aproximação Liear Mista Aproximação Quadrática Cotíua Aproximação Quadrática Descotíua Aproximação Quadrática Mista Aproximação Adotada Itegrais de Domíio Itegrais de Domíio para o Carregameto Itegrais de Domíio sobre as Células Defiição das Posições do Poto de Colocação Trasformação das Equações Itegrais em Equações Algébricas Propriedades da Matriz H... ~ 4.8 Deslocametos e Esforços para Potos Iteros Itegração sobre os Elemetos Itegração Numérica... 33

7 SUMÁRIO vii 4.9. Itegração Quase Sigular Itegração Sigular Represetações Algébricas Alterativas RESULTADOS E CONCLUSÃO Aplicação Numérica Exemplo Exemplo Coclusão BIBLIOGRAFIA...59

8 LISTA DE FIGURAS viii LISTA DE FIGURA FIGURA. - Deformação de um Sólido Tridimesioal... FIGURA. - Campo de Tesões em Três Dimesões FIGURA.3 - Tesões e Forças de Superfície um Tetraedro Ifiitesimal... 6 FIGURA.4 - Co-seos Diretores do Vetor ON... 7 FIGURA.5 - Tesões e Forças de Superfície o Caso Bidimesioal FIGURA.6 - Exemplo de Placa... 8 FIGURA.7 - Exemplo de Chapa FIGURA.8 - Exemplo de Casca... 9 FIGURA.9 - Exemplo de Sapata... 9 FIGURA.0 - Placa Delgada de Espessura t... 0 FIGURA. - Plao Médio Ideformado da Placa... FIGURA. - Plao Médio Deformado Coforme Teoria de Kirchhoff... FIGURA.3 - Plao Médio Deformado Coforme Teoria de Reisser-Midli.. FIGURA.4 - Deslocameto Positivo de um Poto Qualquer.... 4

9 LISTA DE FIGURAS ix FIGURA.5 - Placa Ates e Após o Carregameto... 5 FIGURA.6 - Distribuição de Tesões... 7 FIGURA.7 - Esforços Atuates em um Elemeto Ifiitesimal de Placa FIGURA.8 - Esforços em um Elemeto Diferecial ( dx. dx ) de Placa FIGURA.9 - Codições as bordas... 3 FIGURA.0 - Reação de Cato FIGURA. - Placa com Codições de Cotoro FIGURA. - Variação Liear da Rigidez FIGURA. - Sistemas de Coordeadas (x,x ) e (,s) FIGURA.4 - Tesões e Esforços o Elemeto abc FIGURA.5 - Mometo Volvete a Borda FIGURA.6 - Sistema de Coordeadas Cartesiaas e Polares FIGURA.7 - Vetores e s o Poto P do Cotoro da Placa... 4 FIGURA.8 - Resposta em p Devido a Distribuição Delta de Dirac δ( qp, ) FIGURA.9 - Fução Delta de Dirac FIGURA.30 - Forças Atuates o Círculo de Raio r e Cetro q FIGURA.3 - Potos de Carregameto q e de Resposta p FIGURA.3 - Sistema de Coordeadas (,s) e (m,u) FIGURA 3. - Placa Fiita Cotida em uma Placa Ifiita, Ω Ω FIGURA 3. - Estados de Carregametos Virtual g e Real g... 57

10 LISTA DE FIGURAS x FIGURA Sistema de Coordeadas (,s), Normal e Tagete ao Cotoro FIGURA Mometos Volvetes em um Cato i da Placa FIGURA Cotoro Circular Acrescetado a um Poto Q FIGURA 4. - Discretização do Cotoro da Placa FIGURA 4. - Geometria dos Elemetos de Cotoro FIGURA Elemeto de Cotoro Liear FIGURA Aproximação Costates FIGURA Aproximação Liear Cotíua FIGURA Fuções de Forma para Aproximação Liear Cotíua das Variáveis FIGURA Descotiuidade do Cotoro de uma Placa FIGURA Fução de Forma Liear Descotíua para as Variáveis FIGURA Fução de Forma Liear Mista para as Variáveis FIGURA Aproximação Quadrática Cotíua das Variáveis o Cotoro... 9 FIGURA 4. - Fuções de Forma para Aproximação Quadrática Cotíua das Variáveis FIGURA 4. - Fuções Iterpoladoras Quadráticas Descotíuas FIGURA Nós Duplos FIGURA Poto de Colocação FIGURA Placa com Carregameto Distribuído FIGURA Divisão do Domíio em Células Triagulares... 99

11 LISTA DE FIGURAS xi FIGURA Região Carregada Ω g FIGURA Discretização do Cotoro do Carregameto FIGURA Defiição do Sistema de Coordeadas de uma Células Triagular i FIGURA Célula Itera e os Sistemas de Coordeadas ( x, x), ( ξ, ξ) e ( r,θ ) FIGURA 4. - Posições do Poto de Colocação.... FIGURA 4. - Coeficiete de Posicioameto a... FIGURA Recuo do Nó Duplo FIGURA Fução Quadrática o Elemeto de Itegração... 7 FIGURA Movimeto de Corpo Rígido - Traslação... FIGURA Movimeto de Corpo Rígido - Rotação... FIGURA Fuções de Forma Global φ FIGURA Coordeadas Adimesioais η e ξ FIGURA Elemeto de Cotoro Liear Descotíuo... 4 FIGURA Variação Liear da Rigidez o Cotoro da Placa... 4 FIGURA Posição do Poto Sigular ξ s FIGURA Fução de Forma φ FIGURA Fução de Forma φ FIGURA Fução de Forma φ

12 LISTA DE FIGURAS xii FIGURA Mometo Elástico e Mometo Iicial FIGURA 5. - Placa Quadrada, de Espessura Costate, Apoiada em Dois Lados Opostos e Egastada os Outros Dois FIGURA 5. - Placa Quadrada Apoiada em Dois Lados Opostos e Livre os Outros Dois

13 LISTA DE TABELAS xiii LISTA DE TABELAS TABELA 5. - Discretização Via Elemeto de Cotoro - Placa de Espessura Costate...5 TABELA 5. - Discretização Via Elemeto Fiito...5 TABELA 5. - Discretização Via Elemeto de Cotoro - Placa de Espessura Costate...55

14 LISTA DE SÍMBOLOS xiv LISTA DE SÍMBOLOS : operador diferecial escalar, = + + x x x : coordeada que percorre o cotoro;, : coordeadas dos limites do cotoro o qual se realiza a itegração; 3 j Ω Ω g Ω ε β c Ω δ ij δ( qp, ) : cotoro ifiito; : elemeto de cotoro; : coordeada de domíio; : área do carregameto distribuído; : região do domíio; : agulosidade do cato da placa; : domíio ifiito; : delta de Kroecker; : delta de Dirac; λμ, : costates de Lamé; ν ξ φ ~ T : coeficiete de Poisso; : poto ode se aplica a equação itegral; : matriz que cotém as fuções de forma; σ ij b i C ijkλ : tesor das tesões; : forças volumétricas; : tesor de quarta ordem que cotém as costates elásticas;

15 LISTA DE SÍMBOLOS xv D ci D o : rigidez à flexão da placa correspodete ao cato; : rigidez à flexão da placa fudametal; Dx (, x ) : variação da rigidez à flexão da placa; E : módulo de elasticidade logitudial do material; g : carregameto uiformemete distribuído; g : carregameto fudametal, geralmete é o delta de Dirac; tx (, x ) : espessura variável da placa; m ij : tesor dos mometos iteros; M i M M s M s : Vetor que cotém os mometos o cotoro; : mometo extero por uidade de comprimeto para a flexão a direção ormal ao cotoro; : mometo extero por uidade de comprimeto para a flexão a direção tagecial ao cotoro; : mometo volvete extero por uidade de comprimeto; : vetor uitário ormal ao cotoro o plao da placa; i : co-seos diretores da ormal em relação ao eixo i; N c N cel N el N Npi N subel p i p ~ P ~ q i : úmero total de catos o cotoro da placa; : úmero total de células : úmero de elemetos de cotoro; : úmero total de ós de cotoro; : úmero total de potos iteros; : úmero de subelemetos : compoetes das forças de superfícies; : vetor das forças iteras ao elemeto; : vetor das forças em todos os ós; : são as forças cortates segudo as direções do sistema global de coordeadas;

16 LISTA DE SÍMBOLOS xvi r : distâcia de ode se aplicou o carregameto uitário ao poto ode se deseja obter a força ou deslocameto a solução fudametal; r,θ : sistema de coordeadas polares; R : raio de curvatura do cotoro o poto P; R c : reação de cato; R c s T ~ : valor de R c a solução fudametal; : vetor uitário tagete ao cotoro o plao da placa; : matriz de trasformação de coordeadas; u, u, u3 : compoetes de deslocametos correspodete ao sistema cartesiao x,y,z; u ~ : vetor dos deslocametos iteros ao elemeto; U ~ ε ij V V : vetor dos deslocametos em todos os ós; : represeta as compoetes de deformação o sistema global; : cortate equivalete por uidade de comprimeto; : valor de V a solução fudametal; w: deslocameto a direção do eixo x 3 ; w c w w c : deslocameto do cato da placa; : valor de w a solução fudametal; : deslocameto fudametal do cato i da placa; w : rotação ormal ao cotoro w s : rotação tagecial ao cotoro; w x : rotação cotida a direção do eixo x ; w x : rotação cotida a direção do eixo x ; w : valor de w a solução fudametal; w, ij : curvaturas; w, ij : valor de w, ij a solução fudametal; x, x, x3 : sistema de coordeadas cartesiaas;

17 LISTA DE SÍMBOLOS xvi i x ~ X N ~ : vetor das coordeadas do ó do elemeto; : vetor de coordeadas do ó do elemeto;

18 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS xviii LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS MDF - Método das Difereças Fiitas; MEF - Método dos Elemetos Fiitos; MEC - Método dos Elemetos de Cotoro; DKT - Discrete Kirchhoff Theory

19 RESUMO xix RESUMO CHAVES, E.W.V. (997). Aálise de placas com variação de espessura através do método dos elemetos de cotoro. São Carlos. 7p. Dissertação (Mestrado) - Escola de Egeharia de São Carlos, Uiversidade de São Paulo. Este trabalho trata da formulação do Método dos Elemetos de Cotoro para o problema de flexão de placas através da teoria clássica de Kirchhoff. Êfase especial é dada a placas com variação de espessura uma vez que este tema é muito pouco abordado. O estudo de flexão de placas com variação de espessura é exercica em vários campos, tais como egeharia civil, egeharia aeroespacial e projeto de máquias. Adotou-se uma variação liear da rigidez, resultado as equações itegrais de deslocametos com termos de domíios, que serão tratados por discretização do domíio em células. Palavras-chaves: Placas - elemetos de cotoro - rigidez variável.

20 ABSTRACT xx ABSTRACT CHAVES, E.W.V. (997). Aálise de placas, cosiderado variação de espessura, através do método dos elemetos de cotoro. São Carlos, p. Dissertação (Mestrado) - Escola de Egeharia de São Carlos, Uiversidade de São Paulo. This work deals with the formulatio of the Boudary Elemet Method applied to plate bedig problem usig the Kirchhoff s theories. Special emphasis is give to plates with varyig thickess sice this subject is ot much tackled. The study of the bedig of plates of variable thickess is pursued i various fields, such as civil egieerig, aerospace egieerig, ad the desig of machies. It was adopted liearly varyig rigidity, givig itegral equatios of displacemets with domai terms, that will be treated by domai discretizatio ito cells. Keywords: Plate bedig - boudary elemets - varyig thickess.

21 APRESENTAÇÃO APRESENTAÇÃO. Cosiderações Gerais A grade maioria dos problemas em egeharia é goverada por equações difereciais, as quais satisfazem as codições de equilíbrio e de compatibilidade, jutamete com codições de cotoro apropriadas e codições iiciais. Podedo apresetar complexidade a geometria do sólido bem como materiais com leis costitutiva complexas. Como resultado soluções aalíticas (exatas) desses problemas são praticamete impossíveis de serem obtidas; para cotorar esses problemas têm sido utilizados métodos uméricos para a determiação de soluções aproximadas, que hoje são viáveis em muitos problemas complexos devido ao adveto dos computadores. Um método umérico pode ser do tipo diferecial ou itegral depededo do tipo de represetação feita para desevolver o problema. Os métodos uméricos mais largamete cohecidos e utilizados são o Método das Difereças Fiitas (MDF) e o Método dos Elemetos Fiitos (MEF), ambos do tipo diferecial, isto é: solução obtida a partir da equação diferecial do problema. O método das difereças fiitas é o mais atigo desses métodos, tedo surgido provavelmete o século passado. Sua sistematização pode ser vista em SOUTHWELL (946), e é utilizado aida hoje, a solução de diversos problemas de egeharia. Este método trasforma equações difereciais em equações algébricas válidas apeas os ós detro do domíio, através de aproximações das derivadas por difereças fiitas, equato que o MEF trasforma o próprio domíio em uma série de subdomíios fiitos ou elemetos coectados através de seus ós cujas variáveis sobre cada elemeto são goveradas por fuções aproximadoras cotíuas. O MEF tem sua divulgação a partir dos trabalhos de TURNER et alii, em 956, ARGYRIS (969) e CLOUGH (960). Apesar de ter sido COURANT (943) quem

22 APRESENTAÇÃO primeiro usou o coceito de discretização da região a ser tratada para problemas de torção de St. Veat. A história mais detalhada sobre o MEF pode ser ecotrada em CLOUGH (990), ROBINSON (985) e GUPTA & MEEK (996). O crescimeto do método só foi possível devido ao avaço tecológico dos equipametos computacioais. Este método torou-se o mais utilizado por diversas áreas da egeharia, mostrado-se extremamete eficiete para a solução de problemas práticos. Atualmete, é empregado em sistemas computacioais para a aálise de estruturas, iclusive com a cosideração de resposta ão-lieares, que só foi possível devido a um melhor cohecimeto do comportameto dos materiais. O MEF apreseta muitas vatages sobre o MDF tais como melhor coformidade para a geometria do domíio, mais fácil aplicabilidade das codições de cotoro e mais fácil costrução de malhas de tamaho variável. Essas vatages têm feito do MEF o método umérico mais utilizado etre cietistas e egeheiros, mesmo apresetado etrada e saída de dados trabalhosas, especialmete em problemas que apresetam o cotoro bem complexo. Este tipo de problema pode ser cotorado através de Pré e Pós- Processadores com geração automática de malhas com recursos gráficos. O Método dos Elemetos de Cotoro (MEC), que é baseado a formulação itegral do problema, tem emergido há 30 aos como uma ferrameta computacioal poderosa. Este método ecessita apeas da discretização do cotoro e ão da discretização do domíio como o MDF e MEF. Esse fato faz o MEC mais eficiete do que o MEF para um grade úmero de problemas, embora em certos casos o MEC ecessita-se também da discretização do domíio em células para sua completa formulação. Para algus problemas a combiação dos dois métodos cria um arrajo umérico excelete. O MEC tem sido utilizado com grade sucesso em problemas de elastostática, potecial, problemas elastoplásticos, viscoplasticidade, elastodiâmica, aálise da fratura, codução de calor, electromagetismo, iteração solo-estrutura, iteração estrutura-fluido e etc. O MEC só pode ser aplicado se uma solução fudametal da equação diferecial é cohecida, as cohecidas fuções de Gree. Basicamete existem dois tipos de MEC: Direto e Idireto. Direto: Nesta formulação as variáveis físicas reais do problema aparecem as equações itegrais.

23 APRESENTAÇÃO 3 Idireto: Na formulação idireta as equações itegrais são expressas completamete em termo de uma solução sigular uitária da equação diferecial origial. Para isso utiliza-se variáveis fictícias distribuídas o cotoro que ão tem sigificado físico.. Revisão Bibliográfica Apesar de apeas as últimas três décadas ter crescido o iteresse dos pesquisadores pelo MEC, as equações itegrais, base do desevolvimeto dessa técica, são cohecidas há muito tempo. Segudo ELLIOT, foi ABEL, em 83, quem primeiro deduziu uma equação itegral para o tratameto de um problema físico, o pêdulo isôcroo. Posteriormete, em 837, LIOUVILLE trasformou um problema de valor iicial em uma equação itegral, que a resolveu por aproximações sucessivas. Foi em 903 que FREDHOLM publicou um trabalho rigoroso sobre equações itegrais. Até 950, apeas problemas de valores de cotoro relativos a casos particulares foram estudados, baseados sempre as equações itegrais lieares de Fredholm. A itrodução do segudo problema fudametal de cotoro para o campo das aálises elásticas é devida a KUPRADZE (965), que utilizou a teoria de Fredholm em equações com itegrais sigulares. Os trabalhos otáveis de autores russos como MUSKHELISHVILI (953), MIKHLIN (957), SMIRNOV (964), GAKHOV (966) e IVANOV (976) deram eorme cotribuição ao iício de uma ova era do uso das equações itegrais para resolução de problemas físicos. Os métodos desevolvidos por Trefftz e Prager em 97 e 98, respectivamete, para resolução de equações itegrais a mecâica dos fluidos devem ser cosiderados como os precursores da modera técica de itegração de cotoro. O método da equação itegral como uma ferrameta prática, geral e eficiete começa a aparecer a década de 60, um período caracterizado pela difusão do uso dos computadores, observado-se uma cosiderável expasão e desevolvimeto do método durate a década de 70. O trabalho de RIZZO (967) é o primeiro que trata as equações itegrais como forma de técica umérica. Certamete esse trabalho é também o primeiro a

24 APRESENTAÇÃO 4 propor a formulação direta para o tratameto das equações itegrais do problema elástico. As formulações até etão apresetadas são baseados o procedimeto idireto. Iicialmete o método apareceu com o termo BIEM (Boudary Itegral Equatio Method) itroduzido por RIZZO (967) já como técica alterativa das equações itegrais. Outros autores seguido a mesma termiologia como CRUSE (969), (973) e (974). CRUSE & RIZZO (968) apreseta uma formulação do método das equações itegrais de cotoro, para aálise de problema elastodiâmico usado trasformadas de Laplace com relação ao tempo. RIZZO & SHIPPY (968) utilizam o método das equações itegrais de cotoro, cosiderado a elasticidade liear e sugerido o uso de sub-regiões para o tratameto dos domíios ão homogêeos. Em 97, CRUSE & VANBUREN aplicaram pela primeira vez a formulação a um sólido tridimesioal, cosiderado a ifluêcia de um crack e SWEDLOW & CRUSE (97) apresetaram uma formulação para simulação de materiais elastoplásticos, aisotrópicos e compressíveis, cosiderado aida a relação tesão-deformação com ecruameto. Partido de Sweldlo & Cruse, e utilizado outros critérios que permitiram a modelação dos efeitos itegrais, RICCARDELLA (973) aplica o método das equações itegrais de cotoro a aálise tridimesioal de tesões, apresetado, aida, algus exemplos uméricos. Este trabalho é cosiderado um marco detro do método por ser o primeiro a resolver problemas o campo da elastoplasticidade, utilizado a formulação direta e por servir de base para trabalhos que o sucederam. O emprego das equações itegrais para a resolução de problemas poteciais, também de importâcia para a ciêcia da egeharia, é apresetado em trabalhos ateriores ao artigo de RIZZO (967). JASWON (963) e SYMM (963) apresetaram um processo umérico para a resolução da equação itegral de cotoro de Fredholm. O grade avaço os chamados métodos de cotoro tem sua origem a tese de LACHAT (975), apresetada à Uiversidade de Southamptom, tratado de problemas bi e tridimesioais. Esse trabalho apreseta um eficiete tratameto umérico utilizado elemetos curvos de seguda ordem com opções de variação liear, quadrática e cúbica para as aproximações das variáveis do problema. As itegrais são calculadas umericamete por um sofisticado esquema de itegração

25 APRESENTAÇÃO 5 através das fórmulas da quadratura gaussiaa. Foi em 978 que BREBBIA usou a termiologia BEM (Boudary Elemet Method) que pode ser obtida como um caso especial de técica dos resíduos poderados, assim estabelecedo uma coecção etre as várias técicas uméricas existetes. A partir de 978, com a publicação do primeiro livro de BREBBIA (978), aida que bastate simples, torou-se o MEC mais cohecido e estudado em diversos cetros importates de pesquisa. A primeira aplicação para problemas de flexão em placas, utilizado as equações itegrais, foi itroduzida por JASOW et alii (967), que propôs a solução da equação biarmôica, via equação itegral e posteriormete aplicou-se a solução de placas JASOW (968). ALTIERO & SIKARSKIE (978) apresetaram uma técica que cosiste em cosiderar a placa real cotida em uma placa fictícia, cuja fução de Gree é cohecida. Posteriormete, WU & ALTIERO (979) estederam esta técica para icluir codições arbitrárias de cotoro. Um trabalho similar foi desevolvido por TOTTENHAM (979), que também apresetou uma formulação itegral para cascas abatidas. A formulação direta para placas foi simultaeamete itroduzida por BEZINE (978a), (978b) e STERN (979), (983). Bezie apresetou uma formulação itegral usado elemetos costates e seus resultados se restrigiram ao estudo de cargas cocetradas. Ster desevolveu uma formulação itegral geral, mas ão levou em cota a possibilidade da descotiuidade das codições de cotoro os ós de cato. GOU-SHU (986), HARTMANN & ZOTEMANTEL (986), adotaram esquema de iterpolação hermitiaa para a flecha e discutiram o tratameto das itegrais de domíio, a cosideração de vículos o domíio e as sigularidades que ocorrem a formulação direta via teoria de Kirchhoff. Adotado aida as hipóteses de Kirchhoff, PAIVA (987) utilizou várias alterativas para aálise de placas, ora usado equações itegrais para flecha e sua derivada primeira a direção ormal ao cotoro, ora usado duas equações de flecha para dois potos sigulares, um o cotoro e outro fora do domíio. Esta aálise foi estedida a placas combiados com vigas e pilares.

26 APRESENTAÇÃO 6 ABDEL-AKHER & HARTLEY (988), (989a), (989b) estudaram basicamete os problemas evolvedo as sigularidades que aparecem os itegrados itero. Segudo SILVA (996), a eficiêcia e as vatages do Método dos Elemetos de Cotoro para aálise de placas, baseada a Teoria clássica, efatizadas por HARTMANN (988), chega a superar o método dos elemetos fiitos para este tipo de problema. Vários trabalhos foram publicados os últimos tempos tratado de placas fias como PILTNER & TAYLOR (989), KATSIKADELIS & ARMENÀKAS (984), SAPOUNTZAKIS & KATSIKADELIS (99), VITOORAPORN & MOSHAIOV (989). O equacioameto de placas apoiadas sobre base elástica foi iicialmete abordado por TOTTENHAM (979), tedo como base as hipóteses de Wikler e Kirchhoff. Nesta mesma liha surgiram os trabalhos de KATSIKADELIS & ARMENÀKAS (984a), (984b), COSTA JR.& BREBBIA (985a), (985b), (986), BEZINE (988) e SILVA(988). KATSIKADELIS & KALLIVOKAS (986), (988), retomado o estudo de placas sobre base elástica, adotou o modelo biparamétrico de Pasterak para simular a ligação solo-placa. KATSIKADELIS (99) itroduziu a formulação do problema a ocorrêcia de grades deslocametos, tedo como base as equações de Vo Kármá, permitido comportameto ão liear etre o deslocameto e a resposta do solo. Outro problema importate é a aálise de placas com ão-liearidade geométrica devido à ocorrêcia de grades deslocametos. Este assuto, de grade iteresse para a egeharia de estruturas, foi tratado por TANAKA (98), KAIYA & SAWAKI (984) e YE & LIN (985). O trabalho de TANAKA (98) aalisou placas fias elásticas com grades deslocametos e apresetou uma formulação itegral e icremetal equivalete às equações de Vo Kármá, equato que o trabalho de KAMIYA & SAWAKI (984) baseou-se a equação de Bergar. Podem-se citar outros trabalhos esta área como os divulgados por SAWAKI et alii (989), KATSIKADELIS & NERANTZAKI (988), KAMIYA et alii (98) e KAMIYA (989).

27 APRESENTAÇÃO 7 O problema evolvedo vibração livre e forçada em placas fias elásticas foi apresetado por PROVIDAKIS & BESKOS (989). AKKARI & HUTCHINSON (988) além de estudarem vibrações em placas fias, estederam suas aálises, cotemplado placas espessas. Uma aálise elastodiâmica de placas, com iteração solo-estrutura é feita em BARRETTO (995) ode tato a placa quato o solo são aalisados via o MEC. A ão-liearidade física em placas, evolvedo deformação leta, plasticidade e fratura, foi objetivo de muitos estudos realizados por MUKERJEE & MORJARIA et alii (989), (98) e MORJARIA et alii (98a), (98b). A aálise do comportameto elastoplástico de placas fias via Kirchhoff foi desevolvida por MOSHAIOV & VORUS (986), usado um esquema de carregameto icremetal, com a cosideração de mometos fletores plásticos iiciais, calculado por processo iterativo. A placa é dividida em células iteras, ode as compoetes do mometo plástico são admitidas costates. RIBEIRO (99) atuou esta mesma área cosiderado campos de mometos iiciais o domíio da placa, permitido-se com isto, a aálise de efeitos de gradiete de temperatura, além da cosideração do comportameto ão-liear do material. Também esta liha de pesquisa, tem-se CHUEIRI (994) que tratou da aálise elastoplástica de placas, com as hipóteses da Teoria de Kirchhoff. A istabilidade de placas sujeitas à cargas o seu próprio plao foi aalisada por COSTA JR. (985) e também por BEZINE et alii (985), utilizado-se células iteras para o cálculo da itegração de domíio. A aálise de placas através da Teoria de Reisser foi iicialmete tratada por WEEËN (98a), (98b). KARAM (986), usado como referêcia os trabalhos de Weeë, demostrou a eficiêcia do método, através de vários exemplos de placas isotrópicas em regime elástico liear. RIBEIRO & VENTURINI (994), seguido a formulação de WEEËN (98a), (98b), tomavam os potos das cargas fora do domíio, evitado com isto algumas sigularidades. Os trabalhos de BARCELOS & SILVA (987) e WESTPHAL & BARCELOS (989) abordaram também a flexão de placas usado as hipóteses de Reisser, idetificado fuções livres e fuções esseciais como compoetes da solução fudametal. A ão-liearidade geométrica

28 APRESENTAÇÃO 8 devido a ocorrêcia de grades deslocametos, aalisada sob a teoria de Reisser, foi formulada por XIAO-YAN et alii (990). A solução de placas retagulares com variação de espessura tem sido de iteresse de muitos ivestigadores, durate as últimas décadas, e em diferetes áreas, tais como egeharia civil, egeharia aeroespacial, em projetos de máquias e em estruturas resistete a terremotos. Em caso de placas com espessura variável, a equação diferecial que govera este tipo de problema tem vários coeficietes, e este fato aumeta a dificuldade de solução. Há solução de placas circulares e aelares com variação da espessura ao logo do raio, sujeitas a carregametos assimétricos, bem como placas retagulares com variação da espessura em apeas uma direção. Neste âmbito de estudo pode-se citar: TIMOSHENKO & WOINOWSKY-KRIEGER (959), CHEN (976), BARES (979), FERTIS & MIJATOV (989). Um perfil com espessura variável e arbitrário só pode ser tratado via método umérico, tal como Método dos Elemetos Fiitos-MEF. Embora haja bastate aplicação do método dos elemetos de cotoro para aálise de flexão de placas com espessura costate, como já foi citado ateriormete, este método ão tem sido empregado com muita freqüêcia para aálise de placas com espessura variável. Isso é devido a ão possibilidade de obteção da solução fudametal da equação que govera o problema. Pode-se citar algus autores que trabalharam esta área como: SAPOUNTZAKIS & KATSIKADELIS (99), GOSPODINOV (988), DETO et alii (988)..3 Objetivos O presete trabalho tem a fialidade de explaar o assuto de placas delgadas com espessura costate e variável baseada a teoria de Kirchhoff, utilizado a formulação direta do Método dos Elemetos de Cotoro (MEC).

29 APRESENTAÇÃO 9 O MEC tem sido bastate utilizado para aálise de flexão de placas com espessura costate, obtedo-se bos resultados tato para deslocametos quato para esforços. Com a implemetação da variação de espessura em placas, este trabalho dará base para desevolvimeto de aálise de pavimeto de edifício, tabuleiro de potes, e etc., sedo suficiete a imposição de codições iteras ao elemeto de placa e associação com outros elemetos estruturais através do acoplameto com o Método dos Elemetos Fiitos e da utilização de sub-regiões ode a espessura da laje é costate. No tratameto da itegral de domíio do problema de espessura variável será ecessário da utilização de aproximações defiidas as células iteras. Para atigir tais objetivos será ecessário a implemetação em microcomputador de toda a formulação requerida pelo método. A liguagem de programação adotada tem como compilador o FORTRAN PowerStatio versão Coteúdo do Trabalho No Capítulo, são apresetados algus coceitos da teoria da elasticidade para melhor etedimeto do assuto e apreseta também a teoria de placas, destacado-se os coceitos básicos e as equações da teoria de Kirchhoff para a flexão de placas, bem como as soluções fudametais dos deslocametos e esforços de placa, que são utilizados a formulação. No Capítulo 3, determiam-se as equações itegrais relativas aos deslocametos para potos do domíio e do cotoro, assim como, faz-se a trasformação das itegrais de domíio, relativas ao carregameto, em itegrais sobre o cotoro da região carregada. Estas equações itegrais são obtidas tato para problema de flexão de placa com espessura costate quato para o de variável. No Capítulo 4, as equações itegrais são discretizadas com a utilização de fuções aproximadoras sobre o cotoro, represetado deslocametos e esforços. Trasformam-se, assim, as equações itegrais em equações algébricas lieares. No Capítulo 5, são apresetados algus resultados que serão processados pelo sistema e comparados com algus exemplos obtidos aaliticamete. Neste mesmo capítulo são feitas as coclusões.

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