Lajes de Forma Especial
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- Baltazar Stachinski Fortunato
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1 Universidde Estdul de ringá Centro de Tecnologi Deprtento de Engenhri Civil Cpítulo 5 Ljes de For Especil Curso: Engenhri Civil Disciplin: Estruturs e Concreto II Bibliogrfi: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORAS TÉCNICAS. Projeto de estruturs de concreto: NBR 6118:. Rio de Jneiro, ABNT,. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORAS TÉCNICAS. Crgs pr o cálculo de estruturs de edificções. NBR 61:198. Rio de Jneiro, ABNT, 198. ROCHA, A.. Novo Curso Prático de Concreto Ardo. Vol. IV, Ed. Científic, TRANALLI, P. P.; SOUZA R. A. Ljes Tringulres e Concreto Ardo. In: V Encontro Tecnológico d Engenhri Civil e Arquitetur - ENTECA, 5, ringá - PR: Universidde Estdul de ringá, 5. 1
2 Suário 5.1- Introdução 5.- Ljes Circulres Generliddes 5..- Crg unifore totl 5..- Crg unifore prcil 5..- Exeplo Exeplo 5.- Ljes Tringulres Generliddes 5..- Cso de Tringulo Eqüilátero 5..- Cso de Triângulo Retângulo Isósceles 5..- Ljes e Triângulo Isósceles 5.1- Introdução Lje Circulr Lje Tringulr
3 5.- LAJES CIRCULARES Generliddes Pr cd ponto, consider-se, os oentos e plnos verticis: oento rdil r (contê o rio) oento tngencil t (perpendiculres o rio) Pel sietri d crg o centro d lje os oentos são constntes o longo de u círculo de rio r. 5.- LAJES CIRCULARES Generliddes As rdurs pode ser: Rdil e circulr, ou Segundo dus direções noris.
4 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Crg unifore totl ) Ljes siplesente poids no contorno: r l l 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Crg unifore totl ) Ljes siplesente poids no contorno: Os oentos e cd ponto situdo u distânci r do centro serão: q r ( + ν ) ( r ) 16 q t [ ( + ν ) r (1 + ν )] 16 onde: ν - coeficiente de Poisson - rio do círculo que contorn lje.
5 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Crg unifore totl Pr ν,: r t, q, q ( r ),6 q r oento áxio, no centro (r ): r t, q onde l é o diâetro d lje. q l 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Crg unifore totl Flech: f áx (5 + ν ) q 6 (1 + ν ) D onde D é o coeficiente de rigidez d lje, ddo pel fórul: E d D 1 (1 ν ) Pr ν,: f áx,78 q E d,9 q l E d 5
6 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Crg unifore totl b) Ljes Engstd no Contorno: r f áx l 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Crg unifore totl b) Ljes Engstd no Contorno: oentos e u ponto qulquer à distânci r do centro: r r t q 16 q 16 t [ (1 + ν ) r ( + ν )] [ (1 + ν ) r (1 + ν )] oento áxio positivo, no centro (r e ν,):,75 q,19 q l 6
7 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Crg unifore totl oento negtivo no contorno (ν,): r t q 8 q 8 q l q l LAJES CIRCULARES 5..- Crg unifore totl Flech: f áx q q l,11 6 D E d 7
8 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Crg unifore prcil Pr: oentos fletores rdil e tngencil e flech e qulquer ponto de u lje circulr Pode ser usds s tbels de N. V. Nikitin. Coeficientes e função dos vlores: onde: ρ r e r é distânci do ponto considerdo o centro d plc; b b o rio d superfície de crg; e o rio totl d plc. 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Crg unifore prcil Os oentos e flech e cd ponto são ddos pels fóruls: K p b r K p b t t r p b f K f D Os coeficientes de K r, K t e K f são encontrdos n TABELA e função de /b e ρ. 8
9 5.- LAJES CIRCULARES Tbel : Plc circulr co u crg uniforeente distribuíd e u superfície circulr Coeficiente ρ -,1,85,,699 (Relção do rio d crg sobre o rio d plc),,,5,6,7,55,691,77,55,85,8,658,9,57 1,,1875,1,5756,675,6,55,57,,5,7,69,,1856,,,17,6,6,,777,,9,51,165,18,,1,7,6,579,66,,8,71,9,9,176,,91,,,586,816,877,719,7,189,1887,1575 K r,5,17,175,188,19,,,5,19,195,1678,16,6,171,188,11,177,155,1555,1677,178,16,1,1,7,89,88,918,95,966,15,116,11,1,11,956,8,558,561,57,89,61,66,68,7,78,776,675,9,6,65,69,77,87,,16,5,57,8,56 1, Coeficiente 5.- LAJES CIRCULARES Tbel : Plc circulr co u crg uniforeente distribuíd e u superfície circulr ρ,1, (Relção do rio d crg sobre o rio d plc),,,5,6,7,8,9 1, -,85,699,55,691,77,55,85,658,57,1875,1,856,765,6,58,65,5,55,7,68,9,1869,,65,661,587,5176,5,977,85,,619,6,185,,551,5,57,89,9,85,96,971,57,188,1819,,791,75,69,8,66,677,7,881,5,1,1775 K t,5,,,18,95,7,5,118,767,1,6,1719,6,771,75,68,565,99,187,97,66,6,1979,165,7,9,7,16,1,88,917,77,6,179,1879,1569,8,58,,99,91,8,658,81,7,,176,17,9,76,79,78,68,5,1,61,79,187,16,169 1,,5,87,5,81,,187,5,1887,17,187,15 9
10 Coeficiente 5.- LAJES CIRCULARES Tbel : Plc circulr co u crg uniforeente distribuíd e u superfície circulr ρ,1, (Relção do rio d crg sobre o rio d plc),,,5,6,7,8,9 1,,1875,185,1791,179,168,19,166,1,186,96,781,1,187,181,1759,168,1585,17,19,11,17,9,77,,1719,176,1667,16,1516,11,196,1169,1,891,7,,1571,156,159,177,19,115,11,19,968,86,698,,19,18,158,117,158,118,19,991,879,76,65 K f,5,119,118,116,11,18,1,91,86,769,666,557,6,97,965,99,9,887,8,78,716,69,55,6,7,78,7,7,7,677,6,6,55,9,9,59,8,96,9,86,7,56,,6,7,5,9,5,9,5,8,,8,9,18,,188,169,18,1 1, 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Exeplo 1 Clculr u lje circulr poid ns bords, considerndo f ck P, ço CA-5, sobrecrg de, kn/, h 1c e cobriento de rdurs de,5 c. Detlhr s rdurs e verificr flech. l 6 1
11 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Exeplo 1 Resolução: Ações: g h γ,1 5, KN / q, KN / c Crg Totl (p): P g+ q 6, KN / 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Exeplo 1 oento áxio no centro: ql 6, 6 r t 1,8 KN / fck, 1, / fcd KN c γ 1, c fyk 5 fyd,8 KN / c γ 1,15 s 11
12 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Exeplo 1 Altur útil (supondo brrs de 1 ): 1, d',5+,c d h d' 9c Áre d rdur: d 1, 1 1,8 X 1, 5 d 1 1 1, ,5 bw d fcd, , X 1, 88 c Doínio II 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Exeplo 1 Áre d rdur: d 1, 1 1,8 As fyd d X (, ), 8 ( 9, 1,88 ) As,1 c / φ1 φ cc/ / 16 18c, ,5 / Asín 1 1,8 c c / cc 1 A efet s,.,6c φ1 c / 18c 1
13 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Exeplo 1 Recoend-se rdur negtiv de bord: Visndo evitr possíveis fissurções no engstento prcil existente entre s ljes e s vigs de bord. Asbord 1, 5 c / ínio, ,5 bord / φ 1 / As 1 1,8 c / c φ6. cc/ 17c LAJES CIRCULARES 5..- Exeplo 1 Flech iedit: i p l,9 E d Cobinção de ções quse pernente: F d, ser ψ, Fgi, k + jfqj k 1
14 E E E cs cs 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Exeplo 1 Flech Diferid: Deforção lent: pode ser considerdo de odo proxido, dobrndo-se flech iedit. f totl i ódulo de elsticidde:,85 E 76 f ck ci, i f + ck f (P) 1.87,7P 1.87,7 1 i kn 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Exeplo 1 Cobinção quse pernente: p g + ψ q +,,9 QP kn j Flech iedit: pqp l,9 6 i,9,9,16 1, 6c E d 1.87,7 1,9 Flech totl: totl i 1,6, c 1
15 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Exeplo 1 Flech devido pens crg cidentl: q kn Flech iedit: q l 6 q,9,9,1 1, c E d 1.87,7 1,9 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Exeplo 1 Verificções NBR 6118: ou sej : liite, Pqp liite, q l 6,c < 5 5 l 6 1,7c > q 5 5 totl,c 1,c 15
16 g 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Exeplo 1 Verificções: Portnto será necessário uentr ltur d lje pr que se cupr flech longo przo! Pr h 1c 5,1,5 kn p,5 +,,15 kn QP p g + q,5 + 6,5 kn pqp l,15 6 i,9,9,1 1, c E d 1.87,7 1,9 1,,c li ( OK) totl i 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Exeplo 1 Detlhento: Ø6. c/17-1 Ardur positiv - Ø1 c/18 c Ardur negtiv - Ø6. c/17 c 16
17 5.- LAJES CIRCULARES Exeplo Clculr e diensionr lje do exeplo 1, levndo e considerção que exist condições de engstento ns bords. Esforço: áxio oento positivo no centro: p l 6,5 6 r t,1kn / 5,86 5, LAJES CIRCULARES Exeplo oentos negtivos no contorno: p l 6,5 6 r 7,kN / p l 6,5 6 t 1,17kN / Áre d rdur: k (KN./) X (c) Doínio As ín As cálc As dotdo,1,6 II 1,8 1, φ 6. c/ 17c -7, 1,1 II 1,8,5 φ 6. c/ 1c -1,17,18 II 1,8, φ 6. c/ 17c 17
18 5.- LAJES CIRCULARES Exeplo Cobinção quse pernente: p g + ψ q,5 +,,15 QP kn j Flech iedit: pqp l,15 6 i,11,11,, c E d 1.87,7 1,1 Flech totl: totl i,, 6c 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Exeplo 1 Flech devido pens crg cidentl: q kn Flech iedit: q l 6 q,11,11,, c E d 1.87,7 1,1 18
19 5.- LAJES CIRCULARES 5..- Exeplo 1 Verificções NBR 6118: liite, Pqp liite, q l 6,c > 5 5 l 6 1,7c > q 5 5 totl,6c,c 5.- LAJES CIRCULARES Exeplo Detlhento: Ø6. c/1-1 Ardur positiv - Ø6. c/17 c Ardur negtiv 6Ø6. c/17 19
20 5..1- Generliddes Clssificção ds ljes tringulres qunto o forto: Eqüilátero (três ldos iguis), Isósceles (dois ldos iguis) e Retângulo isósceles (dois ldos iguis unidos 9 ) 5..- Cso de Tringulo Eqüilátero Pr bords siplesente poid no contorno: Ardurs e dus direções, de neir prlel e perpendiculr u dos ldos. y B,6. y L P1 P C x x b A,7.
21 5..- Cso de Tringulo Eqüilátero oentos áxios (pr ν, ): N direção x O oento áxio x ocorre pr u distânci igul,7. sendo igul ltur do triângulo equilátero. N direção y O oento áxio y ocorre u distânci igul,6.. x p y p Cso de Tringulo Eqüilátero No centro de grvidde do triângulo equilátero: Flech áxi: f p p, 1 97 D E d E.d 1( 1 ν D ) oentos fletores: x y ( 1+ ν) p 5 p 6, 9 1
22 Xx 5..- Cso de Triângulo Retângulo Isósceles As rdurs pode ser disposts de neir prlel e perpendiculr à hipotenus. y y x x b c Xx x A Xy y 5..- Cso de Triângulo Retângulo Isósceles N direção x d norl à hipotenus: Os oentos são negtivos junto o cnto A (vértice do ângulo reto) Se torn positivos junto à digonl. oento áxio: y X x p 8 x p 5 x x
23 5..- Cso de Triângulo Retângulo Isósceles N direção prlel à hipotenus: o oento y é positivo, prtindo de zero n hipotenus e crescendo rpidente té se nter quse constnte o se proxir do vértice A do ângulo reto. oento áxio: y y p 6 x c Xy y 5..- Cso de Triângulo Retângulo Isósceles Flech áxi: f, x 1 p.. E.d Observção: Os oentos n lje e triângulo retângulo isósceles se proxi d etde do oento fletor que seri obtido pr u lje qudrd de ldo. Assi, o cálculo pode ser feito, de u odo proxido, tondo u lje qudrd de ldo,7 x.
24 5..- Cso de Triângulo Retângulo Isósceles Arção negtiv no cnto do ângulo reto: Arção n direção d bissetriz deste ângulo Espçento igul o ds rdurs positivs Copriento dos ferros ior ou igul /. b A 5..- Ljes e Triângulo Isósceles A Tbel 1 fornece os coeficientes pr obtenção: oentos áxios x n direção norl à bse, y n direção prlel à bse de ljes e for de triângulo isósceles poid nos três ldos. Flech áxi; Reções totis R b n bse e R l nos ldos do triângulo isósceles.
25 5.- LAJES TRIANGULARES 5..- Ljes e Triângulo Isósceles Tbel 1 - Coeficientes pr obtenção de esforços e ljes tringulres isósceles B bse e H ltur do triângulo B/H,5,55,6,65,7,75,8,85,9,95 1, f,16,196,177,16,1,19,116,1,9,8,76 x,96,67,,,,86,7,55,1,7,1 y,9,,197,191,186,181,178,175,17,169,166 r b,,1,6,198,19,18,176,17,165,161,157 r l,89,8,1,86,6,,5,9,195,19,17 R f x x.p.b y y.p.b B rb.p.b RL r l.p.b x f. p.b D 1,1 1, 1, 1, 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9,,65,555,69,9,6,7,5,19,17,159,19,17,155,11,18,118,18,99,9,81,161,15,15,15,16,118,111,15,99,9,18,1,1,18,1,118,11,18,1,1,15,19,16,115,15,97,9,8,79, Exeplo de Triângulo Equilátero Clculr e detlhr s rdurs de u lje co forto de triângulo equilátero poid ns três bords. Ddos: y C; CA-5; q,kn/ h 1c; c no c;,,,59 x, 5
26 5..5- Exeplo de Triângulo Equilátero Resolução: Ações: g 5,1,5 p kn g + q,5 + 5,5 kn oentos áxios ns direções x e y: x p y p 6 Sendo,59 ltur do triângulo equilátero Exeplo de Triângulo Equilátero Resolução: oentos áxios ns direções x e y: p 5,5,59 x,8kn. / p 5,5,59 y,8kn. / 6 6 Altur útil (supondo brrs de 6, ): φx d h c,6 x no 1, 7,68c φy d h c,6 y no φx 1,,6 7,5c 6
27 5..5- Exeplo de Triângulo Equilátero Áre d rdur: X 1,5 A s f 1 d 1,5 b d d w yd d ( d, X ) f cd k (kn./) X (c) Doínio A s (c /) A s,in (c /) Brrs x,8,15,5 1,5 φ6. c/c y,8,16,6 1,5 φ6. c/c Exeplo de Triângulo Equilátero Ardur de bord: Visndo evitr possíveis fissurções no engstento prcil existente entre s ljes e s vigs de bord. Asbord 1, 5 c / ínio, ,5 bord / φ 1 / As 1 1,5 c / c φ6. cc/ c 1 L / 59/6,75c - 65c 7
28 5..5- Exeplo de Triângulo Equilátero Flech iedit: i p, 1 E d Cobinção de ções quse pernente: p g + ψ q,5 +,, QP kn j E E E cs cs 76 ódulo de elsticidde:,85 E f ck ci, f ck (P) 1.87,7P 1.87,7 1 kn Exeplo de Triângulo Equilátero Flech iedit: pqp l i,1 E d,,59 i,1 1.87,7 1,75,5,5c Flech totl: totl i,5, 5c 8
29 5..5- Exeplo de Triângulo Equilátero Flech devido pens crg cidentl: q kn Flech iedit:,59 q,1,, c 1.87,7 1, Exeplo de Triângulo Equilátero Verificções NBR 6118: liite, Pqp liite, q l 59 1,c > 5 5 l 59,7c > 5 5 totl q,5c,c 9
30 5..5- Exeplo de Triângulo Equilátero Detlhento: 9 Ø6. c/c - 65 Ø6. c/c Ardur positiv Ø6. c/ c Ardur negtiv Ø6. c/ c Exeplo de Triângulo Retângulo Isósceles Clculr e detlhr s rdurs de u lje co forto de triângulo retângulo isósceles, poid ns três bords. Ddos: C; CA-5; q 5,kN/ h 1c; c no,5c; 7,7 5, 5,
31 5..6- Exeplo de Triângulo Retângulo Isósceles Resolução: Ações: g 5,1,5 kn p g + q, ,5 kn oentos áxios n direção x norl à hipotenus: X x x p 7,5 5, kn 8 8 p 7,5 5, 5kN Exeplo de Triângulo Retângulo Isósceles Resolução: oento áxio n direção y, prlel à hipotenus: y p 6 7,5 5, 6,97kN. / Altur útil (supondo brrs de 8 ): φx d h c 1,5,8 7, no 1 c 1
32 5..6- Exeplo de Triângulo Retângulo Isósceles Áre d rdur: X 1,5 1 d 1,5 b d d w f cd A s f yd d ( d, X ) k (kn./) X (c) Doínio A s (c /) A s,in (c /) Brrs X x -,,8 1,9 1,5 φ6. c/c x,5,7 1,67 1,5 φ6. c/16c y,97,6 1,9 1,5 φ6. c/c Exeplo de Triângulo Retângulo Isósceles Ardur de bord: Visndo evitr possíveis fissurções no engstento prcil existente entre s ljes e s vigs de bord. Asbord 1, 5 c / ínio, ,5 bord / φ 1 / As 1 1,5 c / c φ6. cc/ c 1 L / 5/88,5c - 88c N direção x norl à hipotenus.
33 5..6- Exeplo de Triângulo Retângulo Isósceles Flech iedit: i p, 1 E d Cobinção de ções quse pernente: p g + ψ q,5 +, 5, QP kn j E E E cs cs 76 ódulo de elsticidde:,85 E f ck ci, f ck (P) 1.87,7P 1.87,7 1 kn Exeplo de Triângulo Retângulo Isósceles Flech iedit: pqp l i,1 E d i, 5,,1 1.87,7 1 Flech totl:,71 totl i,, 66c,,c
34 5..6- Exeplo de Triângulo Retângulo Isósceles Flech devido pens crg cidentl: q 5 kn Flech iedit: 5, 5, q,1,1, 1c 1.87,7 1, Exeplo de Triângulo Retângulo Isósceles Verificções NBR 6118: liite, Pqp liite, q l 5,c > 5 5 l 5 1,c > 5 5 totl q,66c,1c
35 5..6- Exeplo de Triângulo Retângulo Isósceles Detlhento: Ø6. c/16c Ø6. c/c 9 Ø6. c/c c Ø6. c/c Ardur positiv Ø6. Ardur negtiv Ø6. 5
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