VERSÃO 1. Prova Escrita de Matemática A. 12.º Ano de Escolaridade. Prova 635/2.ª Fase. Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos.

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1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO DecetoLei n.º 74/004, de 6 de maço Pova Escita de Matemática A.º Ano de Escolaidade Pova 65/.ª Fase 8 Páginas Dação da Pova: 50 mintos. Toleância: 0 mintos. 0 VERSÃO Na folha de espostas, indiqe de foma legível a vesão da pova (Vesão o Vesão ). A asência dessa indicação implica a classificação com zeo pontos das espostas aos itens do Gpo I. Utilize apenas caneta o esfeogáfica de tinta indelével, azl o peta, eceto nas espostas qe impliqem a elaboação de constções, de desenhos o de otas epesentações, qe podem se, pimeiamente, elaboados a lápis, sendo, a segi, passados a tinta. Utilize a éga, o compasso, o esqado, o tansfeido e a calcladoa gáfica sempe qe fo necessáio. Não é pemitido o so de coeto. Em caso de engano, deve isca de foma ineqívoca aqilo qe petende qe não seja classificado. Esceva de foma legível a nmeação dos gpos e dos itens, bem como as espetivas espostas. As espostas ilegíveis o qe não possam se claamente identificadas são classificadas com zeo pontos. Paa cada item, apesente apenas ma esposta. Se esceve mais do qe ma esposta a m mesmo item, apenas é classificada a esposta apesentada em pimeio lga. Paa esponde aos itens de escolha múltipla, esceva, na folha de espostas: o númeo do item; a leta qe identifica a única opção escolhida. Não apesente cálclos, nem jstificações. A pova incli, na página, m Fomláio. As cotações dos itens encontamse no final do ennciado da pova. Pova 65.V/.ª F. Página / 8

2 Fomláio Geometia Compimento de m aco de cicnfeência: a^aamplitde, em adianos, do ângloaocento; aioh Áeas de figas planas Losango: Tapézio: Diagonal maio # Diagonal meno Base maio Basemeno # Alta Polígono egla: Semipeímeto # Apótema Secto cicla: a ^a amplitde, em adianos, do ângloaocento; aioh Áeas de spefícies Áea lateal de m cone: g^ aioda base; ggeatizh Áea de ma spefície esféica: 4 ] aiog Volmes Piâmide: # Áeada base # Alta Cone: # Áeada base # Alta 4 Esfea: ] aiog Tigonometia sen] a bg= sena cosb senb cosa cos] a bg= cosa cosb sena senb tga tgb tg ] a bg= tga tgb Compleos n ^tcisih = t n cis ^nih tcisi = t cisb i k l ] k!! 0,, n e n! Ng n n n f Pobabilidades n = p f p n n v = p ] ng f p ^ nh ^ e hl = l e ^ a hl = l a ln a ^a! R ^ln hl l = log a l l ^ h = ln a n n Se X é N] nv, g, então: P] n v X n vg. 0, 687 P] n v X n vg , P] n v X n vg. 0997, Regas de deivação ^ vhl = l vl ^vhl = v l vl l v l = vl ` v j v ^ n n hl n = l ^n! Rh ^senhl = l cos ^cos hl =l sen ^tg hl = l cos Limites notáveis limb l = e n lim sen = " 0 lim " 0 lim ln ^ h = " 0 lim " lim " e = ln = 0 e p n = ^a! R ^n! Nh ^p! Rh ", h ", h Pova 65.V/.ª F. Página / 8

3 GRUPO I Na esposta a cada m dos itens deste gpo, selecione a única opção coeta. Esceva, na folha de espostas: o númeo do item; a leta qe identifica a única opção escolhida. Não apesente cálclos, nem jstificações.. O código de acesso a ma conta de é constitído po qato letas e tês algaismos. Sabese qe m código tem qato «a», dois «5» e m, como, po eemplo, o código aa5a5a Qantos códigos difeentes eistem nestas condições? (A) 05 (B) 0 (C) 5040 (D) 9. A tabela de distibição de pobabilidades de ma vaiável aleatóia X é a seginte. i 0 PX ^ = i h b a a Sabese qe: a e b são númeos eais; o valo médio da vaiável aleatóia X é 5 4 Qal é o valo de b? (A) 4 (B) (C) (D) 5. Nma ceta linha do tiânglo de Pascal, o penúltimo elemento é Escolhese, ao acaso, m elemento dessa linha. Qal é a pobabilidade de esse elemento se maio do qe 0 5? (A) 56 (B) 5 56 (C) 7 (D) 5 7 Pova 65.V/.ª F. Página / 8

4 4. Na Figa, está epesentada, nm efeencial o.n. Oy, pate do gáfico de ma fnção f, de 6 Sabese qe: y f f ^h= 4 a eta de eqação = é assíntota do gáfico de f ^ n h é ma scessão com temos 6 lim^ h n = O Qal é o valo de lim ` f_ n ij? (A) 4 (B) 4 (C) 5 (D) Figa 5. Na Figa, está epesentada, nm efeencial o.n. Oy, pate do gáfico da fnção f, de 6, 6, definida po f^h = ln c m Sabese qe: a eta é tangente ao gáfico da fnção f no ponto de abcissa a a inclinação da eta é, em adianos, 4 y Qal é o valo de a? (A) 4 (B) 9 a O f (C) (D) 5 Figa Pova 65.V/.ª F. Página 4/ 8

5 6. Seja f ma fnção de domínio R Sabese qe: lim ` f^h j = " lim f^h= " lim f^h= " lim f^h= " Em qal das opções segintes as das eqações definem assíntotas do gáfico da fnção f? (A) = e y = (B) = e y = (C) y = e y = (D) y = e y = 7. Seja k m númeo eal, e sejam z = i e z = ki dois númeos compleos. Qal é o valo de k paa o qal z z é m imagináio po? (A) (B) (C) (D) 6 8. Na Figa, está epesentado, no plano compleo, m polígono egla [ABCDEFGHI ] Os vétices desse polígono são as imagens geométicas das aízes de índice n de m númeo compleo z O vétice A tem coodenadas (0, ) F Im(z) E Qal dos númeos compleos segintes tem po imagem geomética o vétice F? G D (A) cis 7 8 H O C Re(z) (B) cis 8 I B (C) cis A (D) cis 5 9 Figa Pova 65.V/.ª F. Página 5/ 8

6 GRUPO II Na esposta a cada m dos itens deste gpo, apesente todos os cálclos qe tive de efeta e todas as jstificações necessáias. Atenção: qando, paa m esltado, não é pedida a apoimação, apesente sempe o valo eato.. Seja o conjnto dos númeos compleos... Seja n m númeo natal. i 4 n # 6 cis c 6 Detemine cis c m 5 Apesente o esltado na foma tigonomética. m, sem ecoe à calcladoa... Seja a!, E 4 ; Sejam z e z dois númeos compleos tais qe z cisa e z cis a = = c m Moste, analiticamente, qe a imagem geomética de z z, no plano compleo, petence ao.º qadante.. A empesa AP comecializa pacotes de açúca... Seja Y a vaiável aleatóia «massa, em gamas, de m pacote de açúca comecializado pela empesa AP». A vaiável aleatóia Y sege ma distibição nomal de valo médio 6,5 gamas e desvio padão 0,4 gamas. Um pacote de açúca encontase em condições de se comecializado se a sa massa estive compeendida ente 5,7 gamas e 7, gamas. Detemine o valo apoimado da pobabilidade de, em 0 desses pacotes de açúca, eatamente oito estaem em condições de seem comecializados. Apesente o esltado na foma de dízima, com apoimação às milésimas... Considee o poblema seginte. «A empesa AP petende aplica, jnto dos ses fncionáios, m pogama de eedcação alimenta. De ente os 500 fncionáios da empesa AP vão se selecionados 0 paa fomaem m gpo paa feqenta esse pogama. A Joana e a Magaida são imãs e são fncionáias da empesa AP. Qantos gpos difeentes podem se fomados de modo qe, pelo menos, ma das das imãs, a Joana o a Magaida, não seja escolhida paa esse gpo?» Apesentamse, em segida, das espostas coetas. II) 500C 498 C II) 498C 498 C 0 8 Nma composição, apesente o aciocínio qe condz a cada ma dessas espostas. 9 0 Pova 65.V/.ª F. Página 6/ 8

7 . Seja W o espaço de esltados associado a ma ceta epeiência aleatóia, e sejam A e B dois acontecimentos (A Ì W e B Ì W), com PB ^ h! 0 Moste qe P^A B ; Bh P^A ; Bh = 4. Considee a fnção f, de domínio R, definida po Z ] sen se 0 ] ] f ek = ^ h [ se = 0 com k! R ] e 4 ] se 0 \ Resolva os itens segintes, ecoendo a métodos eclsivamente analíticos. 4.. Detemine k, de modo qe lim f^h = f ^0h " Estde a fnção f qanto à eistência de assíntotas veticais do se gáfico. 4.. Seja g ma fnção, de domínio R, cja deivada, gl, de domínio R, é dada po gl^h= f^h Estde a fnção g qanto ao sentido das concavidades do se gáfico e qanto à eistência de pontos de infleão. 5. Considee a fnção f, de domínio 67, 06, definida po f^h = e ln^ h Sejam A e B os pontos de intesecção do gáfico de f com a bissetiz dos qadantes paes, e seja d a distância ente os pontos A e B Detemine d, ecoendo à calcladoa gáfica. Na sa esposta, deve: epodzi o gáfico da fnção o os gáficos das fnções qe tive necessidade de visaliza na calcladoa, devidamente identificado(s), inclindo o efeencial; assinala os pontos A e B indica as coodenadas dos pontos A e B com aedondamento às centésimas; apesenta o valo de d com aedondamento às centésimas. Pova 65.V/.ª F. Página 7/ 8

8 6. Na Figa 4, está epesentado o qadado [ABCD] D C Sabese qe: AB = 4 AE = AH = BE = BF = CF = CG = DG = DH é a amplitde, em adianos, do ânglo EAB H G E F! 0, E 4 ; A B Figa Moste qe a áea da egião sombeada é dada, em fnção de, po a ^ h = 6^ tg h 6.. Moste qe eiste m valo de compeendido ente e paa o qal a áea da egião 5 sombeada é 5 Se tiliza a calcladoa em eventais cálclos nméicos, sempe qe pocede a aedondamentos, se das casas decimais. FIM COTAÇÕES GRUPO I. a 8....(8 5 pontos) pontos GRUPO II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos 40 pontos 60 pontos TOTAL pontos Pova 65.V/.ª F. Página 8/ 8