AMOSTRAGEM. CENSO: Quando é investigada todas (sem exceção) as unidades de uma população.

Transcrição

1 AMOSTRAGEM CENSO X AMOSTRA População: Qualquer cojuto que possui, pelo meos, uma característica em comum. Exemplo: Produção de peças da Idústria X. A população pode ser fiita ou ifiita. População fiita: É aquela em que é possível eumerar todos os seus elemetos. População ifiita: É aquela em que ão é possível eumerar todos os seus elemetos. Uma população fiita pode ser trasformada, mediate processos operacioais, em ifiita. amostragem. Ex.: Retirar as fichas de uma ura e, depois de cada extração, repô-las. Pesquisa estatística: Pode ser feita através de dois processos: ceso e CENSO: Quado é ivestigada todas (sem exceção) as uidades de uma população. AMOSTRA: Uma amostra é qualquer subcojuto ão vazio de uma população. Pode ser uma amostra com caráter cietífico: probabilística ou sem caráter cietífico: ão probabilística. AMOSTRAGEM: É o processo através do qual é selecioada uma amostra de uma população. Nesta etapa defie-se quais uidades populacioais que irão fazer parte da amostra. As razões pelas quais opta-se por realizar uma pesquisa amostral ao ivés de um ceso são: Ecoomia de tempo; Ecoomia de custos; Ecoomia de trabalho; Quado a população for ifiita ou muito grade; Quado a ivestigação for destrutiva. Apesar do processo amostral apresetar estas vatages sobre o processo cesitário ele acaba perdedo em precisão, pois é estudado apeas um subcojuto da população. Nesse caso todo resultado de amostra está sujeito a um erro amostral, o que ão ocorre o ceso, porém este custa mais caro, leva mais tempo e dá mais trabalho, pricipalmete quado a população é muito grade. AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA E SUBJETIVA PROBABILÍSTICO: Quado todos os elemetos da população têm probabilidade cohecida, e diferete de zero, de ser icluídos a amostra. Nesse caso este tipo de amostragem é o que dá a melhor garatia de represetatividade da amostra em relação a população. 1

2 NÃO-PROBABILÍSTICO: Quado a seleção é subjetiva, ou seja, a escolha dos elemetos da amostra é feita de forma ão-aleatória, justificadamete ou ão. A chace que cada elemeto tem de ser selecioado a amostra é descohecida. Decorre disso que as probabilidades de serem idetificadas características semelhates da amostra e da população são pequeas ou icosistetes. Em sua amostragem é o processo de colher amostras. Nos processos de amostragem probabilística, cada elemeto da população ou estrato passa a ter a mesma chace de ser escolhido. Detre os processos de amostragem pode-se destacar três: amostragem casual ou aleatória simples, amostragem proporcioal estratificada e amostragem sistemática. a) Amostragem casual ou aleatória simples: Defiição: Uma amostra aleatória simples ( A A S ) é aquela em que cada elemeto da população tem mesma chace de pertecer a amostra. É um sorteio, por exemplo, para retirar uma amostra de 9 aluos de uma sala de 90 aluos, utilizasse um sorteio com todos os úmeros dos aluos escritos em papéis detro de um saco. Para amostras grades utiliza-se a Tabela de Números Aleatórios. AMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃO: Uma amostra é dita com reposição quado as uidades amostrais são devolvidas à população, após cada extração. AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO: Quado a uidade amostral que é ivestigada ão volta ovamete para a população. Nesse caso utilizamos este tipo de amostragem para pequeas amostras. A difereça básica etre um tipo e outro de amostragem é a possibilidade de um elemeto ser ou ão cosiderado mais de uma vez a amostra que está sedo produzida. b) Amostragem proporcioal estratificada: É comum termos populações que se dividam em subpopulações (estratos) e como cada estrato pode ter um comportameto diferete do outro, a amostra deve cosiderar a existêcia desses estratos e a sua proporção em relação à população. Exemplo: supodo que uma sala de aula seja composta de 54 meios e 36 meias. Determie uma amostra de 9 pessoas: Sexo População Cálculo Proporcioal Amostra Masculio x 9 / 90 5,4 5 Femiio x 9 / 90 3,6 4 Total Posteriormete, utiliza-se a tabela de úmeros aleatórios para escolher 5 meios e 4 meias. Verifica-se que foi realizado um arredodameto dos úmeros 5,4 e 3,6. Esse arredodameto é efetuado utilizado as regras de arredodameto cietífico. Exercício: Em uma escola existem 50 aluos, distribuídos em séries coforme a tabela. Obteha uma amostra de 40 aluos e preecha a tabela.

3 Séries População Cálculo Proporcioal Amostra 1a 35 a 3 3a 30 4a 8 5a 35 6a 3 7a 31 8a 7 Total c) Amostragem sistemática É quado a amostragem é feita através de um sistema possível de ser aplicado pois a população já se ecotra ordeada. Exemplo 1: em uma liha de produção, a cada 10 ites fabricados, retira-se 1 para ispeção, tem-se uma amostra de 10 % da população. Exemplo : em uma rua com 900 prédios, deseja-se uma amostra de /50 18 (50 grupos de 18 prédios cada). Faz-se um sorteio etre 1 e 18, por exemplo 4, etão pesquisaríamos o 4 o prédio da rua, o o, o 40 o, 58 o, assim por diate. Exercícios: 1) Uma uiversidade apreseta o seguite quadro relativo aos seus aluos do curso de Matemática. Obteha uma amostra proporcioal estartificada de 100 aluos. Série Qtde Amostra 1a 85 a 70 3a 80 4a 75 Total 100 ) Uma cidade X apreseta o seguite quadro relativo às suas escolas de 1 o grau: Escola Homes Mulheres Total Amostra Homes Mulheres Total A B C D E F Total 10 Obteha uma amostra proporcioal estratificada de 10 estudates. 3

4 3) Utilizado a tabela de úmeros aleatórios, obteha uma amostra de 10 pessoas de uma sala de aula com 85 aluos, utilize a 10 a e a 11 a colua para começar o sorteio. 4) Ordee uma amostra de 15 elemetos de uma população ordeada formada por 10 elemetos, sabedo que o elemeto de ordem 149 a ela pertece? Distribuição Amostral de Médias Se a partir de uma certa população, calcula-se a média de todas as amostras possíveis de mesmo tamaho, teremos uma distribuição amostral de médias. Propriedades de uma distribuição amostral de médias: 1º Propriedade: A esperaça de X é a média da população. E (X) µ º Propriedade: O desvio padrão da distribuição amostral de medias de uma população ifiita é da pela expressão. _ σ x σ 3ºPropriedade: O desvio padrão da distribuição da média cosiderado uma população fiita é dado pela expressão. N σ σ x. N 1 ode, N N 1 é dito fator de correção para populações fiitas. Exercícios: 1.Uma população cosiste de 5 úmeros: 1, 3, 5, 7 e 9. a) Determie os parâmetros média e variâcia absoluta. b) Determie o úmero de amostras possíveis de tamaho, que podemos obter da população em questão, adotado-se o esquema de AAS, sem reposição. c) Cosiderado a variável x, baseado em todas as amostras possíveis sem reposição, determie a média e o desvio padrão da distribuição amostral de x. a) µ x N

5 σ x µ N ( ) σ 8,83 b) Adotado-se o processo de A A S sem reposição com amostras de tamaho, tem-se: 1, 3 1, 5 1, 7 1, 9 3, 5 3, 7 3, 9 5, 7 5, 9 7, 9 amostras Médias amostrais P( x) x i. P( x) x² i. P( x) 1;3,0 0,10 0,0 0,40 1;5 3,0 0,10 0,30 0,90 1;7 4,0 0,10 0,40 1,60 1;9 5,0 0,10 0,50,50 3;5 4,0 0,10 0,40 1,60 3;7 5,0 0,10 0,50,50 3;9 6,0 0,10 0,60 3,60 5;7 6,0 0,10 0,60 3,60 5;9 7,0 0,10 0,70 4,90 7;9 8,0 0,10 0,80 6,40 Σ 1 5,00 8,00 c) _ N σ σ x. N 1 _ σ x ,866() 1,73 σ ( X ) ( Σ X PX ) ( Ε ( X )) 8 5 1,73. Uma variável apreseta média 56 e variâcia 6,7. Cosiderado todas as amostras possíveis de tamaho 100 que podem ser selecioadas dessa população, utilizado o processo de AAS sem reposição, determie. µ 56 σ² 6,7 100 a) A média da distribuição amostral de médias. b) A variâcia absoluta da distribuição amostral de médias. c) O desvio padrão da distribuição amostral de médias. a) E( x _ ) µ 56 5

6 b) σ x σ σ 6, ,067 c) σ x 6,7 0,58 0,067 4º) Propriedade Seja X uma variável aleatória ormalmete distribuída com média µ e desvio padrão σ. A variável aleatória x obtida de todas as amostras possíveis de tamaho, terá distribuição ormal com média x µ e desvio padrão σ x.portato podemos associar a V.A. X uma V.A. padroizada: X µ Z ~ N(0,1) _ σ x 3. Sabedo-se que o peso, dado em gramas, de determiado produto, produzido por uma fábrica está ormalmete distribuído com média 400 e desvio padrão 40g, determiar. a) A probabilidade da média de 1 amostra de tamaho 100, pertecer ao itervalo [390;410]. b) A probabilidade da média de 1 amostra de tamaho 5, pertecer ao itervalo [390;410]. c) A probabilidade da média de 1 amostra costituída por 400 artigos pertecer ao itervalo [390;410]. µ 400; σ 40; 100 a) P (390 x 410) P (z1 z z) σ σ g σ x Z1, Z 4,5 0,9938-0,006 0,9876 -,5,5 b) 5 6

7 P (390 x 410) 0,78871 _ σ x σ Z 8 1, Z1 1,5 8-1,5 1,5 c)p (390 x 410) Z1 5 σ x σ Z Quato maior a amostra mais chace existe para acertar o valor do parâmetro. Distribuição amostral da proporção Parâmetro proporção p da população Estatística proporção p da amostra Propriedades: 1ªPropriedade: E p p : a expectativa ou média da distribuição amostral de proporção correspode ao parâmetro populacioal proporção. ªPropriedade: O desvio padrão da distribuição amostral de proporções para populações ifiitas é dado pela fórmula. 7

8 σ p p. 1 p 3ª Propriedade: O desvio padrão da distribuição amostral de proporções para populações fiitas é: σ p p. 1 p N N 1 4ª Propriedade: A estatística proporção amostral P, que associa a variável padroizada z é: z P p ~ N 0,1 σ p Exercício: 1. Sabedo que 80% das uidades produzidas por determiada fábrica são classificadas como artigo de exportação. Cosiderado a extração de uma amostra aleatória de 64 uidades: a) determie a probabilidade que a proporção de uidades classificadas como artigos de exportação assumir um valor abaixo de 76%. b) Cosidere o mesmo euciado para uma amostra de 100 uidades. a) p 0,8 64 P ( P -0,76) P (z - 0,8) 0,119 1,19% b) P (P 0,76) P (Z -1,0) 0, ,87%. Numa eleição determiado cadidato recebeu 46% dos votos. Determie a probabilidade de que um escrutíio efetuado em 1 votates se obteha a maioria em favor do cadidato. 8

9 INFERÊNCIA Latim: INFERENTIA Ato de iferir (tirar por coclusão). Admite-se uma proposição como verdadeira, que ão seja cohecida diretamete, através da relação dela com outras proposições já sabidamete verdadeiras. Casos especiais: Iferêcia Dedutiva (certa). Iferêcia Idutiva (icerta, há um ível de probabilidade evolvido). Ex.: Dedutiva: Premissa pricipal - um dos âgulos de um triâgulo retâgulo tem sempre 90º. Premissa secudária - T é um triâgulo retâgulo. Coclusão: T tem um âgulo de 90º (particular geral). Idutiva: 107 semetes são platadas, deseja-se saber quatas darão flores bracas e quatas vermelhas. Há um ível de probabilidade evolvido para cada flor (cor) (geral particular). ESTIMAÇÃO É o processo com a fialidade de estimar parâmetros populacioais através de amostras. Com resultados calculados a amostra (estatística amostrais) estima parâmetros populacioais. ESTIMATIVAS PONTUAIS E INTERVALARES ESTIMATIVAS PONTUAIS O parâmetro média populacioal µ, pode ser estimado através de um úico valor ão-tedêcioso x. Ex.: x 0 logo, 0 é uma estimativa de µ Parâmetro variâcia populacioal σ² através do estimados ão-tedêcioso s². Ex.: s²,3, etão,3 é uma estimativa de σ². Parâmetro proporção p, através do estimador p ão-tedêcioso. Ex.: p 0,6 é estimativa de p. 9

10 Itervalo de Cofiaça I C Um itervalo de cofiaça dá um itervalo de valores, cetrado a estatística amostral, o qual julgamos, com um risco cohecido de erro, estar o parâmetro da população. I C para média da população, desvio padrão cohecido Neste caso cosideramos que a média amostral segue uma distribuição ormal com: 1. σ x σ N - para população 'ifiita 0, ode é o tamaho da amostra, σ - o desvio padrão da população, σ x - desvio padrão da média.. σ x σ N N 1 - para população fiita, sedo que o termo N N 1 fator de correção fiita. é chamado de Assim estabelecedo a cofiaça desejada, podemos determiar o itervalo detro do qual temos a cofiaça desejada - x±erro, ode erro z σ x. Logo : x±z σ x. Lembrado que a cofiaça determia o valor de z,ou seja, se queremos uma cofiaça de 90%, temos -> 90%/ 45%, o que pela tabela implica em z 1,64 Exemplos: 1-) Sabe-se que um determiado equipameto corta peças com um desvio padrão de 0,5 mm. Se uma amostra de 50 barras acusou média de 90, mm, determie a verdadeira média detro de um itervalo de cofiaça de 95%. -) Uma empacotadeira tem desvio padrão cohecido de 5 g. Uma amostra de 30 pacotes retirados de um lote de 500, registrou um peso médio por pacote de 50 g. Obteha a verdadeira média detro de um itervalo de cofiaça de 99%. 10

11 Exercício: 1-) Para uma amostra de 50 firmas tomadas de um parque idustrial o.º médio de empregados por firma é 40,4, este parque idustrial há um total de 380 firmas. Determie o iterva-lo de cofiaça de 95% para estimar o.º médio de trabalhadores por firma do parque idustrial, admitido-se que esta variável tem distribuição ormal, com desvio padrão de 55,7. I C para média da população, desvio padrão descohecido e população ormalmete distribuída. a-) Amostra 30 (grade)ormal ou ão, pois 30, distribuição se comporta como ormal. 1. σ x s. σ x s N N 1 Exemplo: A empresa ABC eviou um questioário a 100 pessoas de uma população de 4000 clietes pergutado qual seria sua provável ecessidade em relação a certo produto, o semestre seguite. As respostas estão a tabela abaixo. Número provável de uidades Número de clietes Σ fi.xi fi.xi² Σ Costrua o itervalo de cofiaça de 95,45% para a provável: a) ecessidade média de 4000 clietes. 100 N

12 b-) Amostras pequeas ( < 30) a distribuição deve ser sempre t (variâcia descohecida). s x t. µ x+ t. s Exemplo: Foi testada uma amostra de 15 cápsulas de certa medicameto com relação ao coteúdo de icotiamida, obtedo-se uma média de mg e um desvio padrão de 4mg. Ecotre-os limites de cofiaça para média de icotiamida das cápsulas deste medicameto, cosiderado um ível de cofiaça de 95%. 1 - α 95% 15 x S 4 Tabela t Graus de liberdade ível de sigificâcia 1-0,95 0,05 t14; 0,05 >,145 -,145,145,145. [19,78 ; 4,] _ 4 x, I C para a proporção: Aqui temos: 1. σ p p. 1 p. σ p p. 1 p N N 1 p x E ovamete o erro é obtido pelo produto de z e σ p. Assim teremos: p p± z σ p 1

13 Exemplos: 1-) Laçado-se uma moeda 90 vezes, obteve-se 54 caras. É possível dizer que esta moeda é hoesta com base em um itervalo de cofiaça de 96%? -) Uma pesquisa realizada um dia etre 100 clietes de um supermercado revelou que 0% deles sempre compram pão e leite. Qual a verdadeira proporção de clietes que sempre compram pão e leite, com um ível de cofiaça de 95,5%? (Leve em cosideração que diariamete o supermercado atede a cerca de 500 clietes) 3-) Deseja-se cohecer o ível de desemprego em uma certa comuidade, com este objetivo realizou-se uma amostra aleatória de 900 pessoas que idicou uma taxa de desemprego de 9%. Ache o itervalo de cofiaça de 90% para proporção de desemprego esta comuidade. 13

14 DIMENSIONAMENTO DA AMOSTRA Para a estimação da média Erro fixado e σ cohecido z² σ² o (população ifiita com repos.) E² Quado as populações são fiitas é cosiderado o coeficiete: N. o N + o Exemplo: Deseja-se estimar a reda média dos moradores do bairro A da cidade C, sabedo-se que o desvio padrão da reda é de 300 UM. Exige-se um erro absoluto de 0 UM e uma cofiaça de 95% os resultados. a) Qual deve ser o tamaho da amostra? b) Supodo que exista moradores o bairro A, qual o tamaho de amostra a ser utilizado? R: 864 e 736 Erro fixado e σ descohecido o z².s² E² N. o N + o (população ifiita - com rep.) (pop. fiita - sem repos.) Exemplos: 1-) Supoha-se que em uma escola deseja-se uma estimativa da altura média dos estudates, com erro de 5cm de cofiaça de 99%. A variâcia das alturas é estimada em 65. a) Qual deve ser o tamaho da amostra? b) Supodo que a escola teha 00 aluos, qual o tamaho da amostra? 14

15 -) Quatos estabelecimetos idustriais devem ser examiados a fim de se estimar o úmero médio de empregados por estabelecimeto com erro de 10% e cofiaça de 95%? (coeficiete de variação do º de empregados é estimado em 60%) 3-) Admita 500 estabelecimetos, qual deve ser o tamaho da amostra. R: 138 e 108 Para a estimação da proporção Erro rel. fixado e pq cohecidos Z² p.q o (pop. admitida ifiita - com repos.) Er² N. o (pop. fiita - sem repos.) N + o Exemplo: Uma amostra prelimiar de 50 famílias foi selecioada de famílias. Costatou-se que a amostra 30 famílias possuiam reda superior a UM. Qual o tamaho da amostra a ser selecioada, com ível de cofiaça de 95%, para um erro de estimação de famílias com reda de UM seja o máximo de 5%? R: 369 e 338 Erro relativo fixado e pq descohecidos. Admite-se o maior valor de p.q tal que p + q 1. Isto sigifica que p q 0,5 e p.q 0,5. Exemplo: A proporção de agricultores que utilizam implemetos agrícolas deve ser estimada para uma população de agricultores. Exige-se um ível de cofiaça de 95% e um erro de 5% os resultados. Qual o tamaho da amostra? R: 384 ou

16 Tabela de úmeros aleatórios

17