Palavras-chave: Econofísica. Modelo SIR. Mercado Financeiro. Equações Diferenciais. Expoentes Característicos.
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1 INVESTIGANDO O MERCADO FINANCEIRO POR MEIO DE UM MODELO EMBASADO EM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NÃO- LINEARES INVESTIGATING THE FINANCIAL MARKET BY A MODEL EMBASED IN NON-LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS Carla Liliane Guedes Fonseca 1 Arthur Rodrigo Bosco de Magalhães 2 Resumo: Estudamos o mercado financeiro através de um modelo embasado em equações diferenciais não-lineares, com a intenção de contribuir para a modelagem de sistemas financeiros, considerados complexos, através de sistemas determinísticos simples com características estocásticas. Em analogia ao modelo SIR (Suscetíveis - Infectados - Recuperados), foi construído um modelo de mercado composto de quatro populações, infectados de compra, infectados de venda, suscetíveis de compra e suscetíveis de venda, que resultou em um sistema de quatro equações diferenciais não lineares. Além dessas equações, foi formulada a equação do preço, que relaciona duas destas populações. O modelo foi inicialmente investigado por meio de técnicas de Sistemas Dinâmicos e dele foram extraídas diferentes dinâmicas. Num segundo momento, foi inserida aleatoriedade no modelo para novas análises, o que, aparentemente, tornou as curvas de preço por ele produzidas mais parecidas com as curvas encontradas em séries reais. Em seguida, utilizamos a ferramenta estatística expoente de Hurst para investigarmos as curvas do modelo referentes ao preço, quanto a presença de correlações em seus pontos. Palavras-chave: Econofísica. Modelo SIR. Mercado Financeiro. Equações Diferenciais. Expoentes Característicos. Abstract: We study the financial market through a model based on nonlinear differential equations. The idea is to contribute to the modeling of financial systems, considered complex, through simple deterministic systems with stochastic features. Similar to the SIR model (Susceptible - Infected - Recovered), it builds a market model composed of four sectors: infected purchase, infected sale, susceptiblity of purchase and susceptibility of sale, which, in the SIR model, resulted in a system of four nonlinear differential equations. Besides these equations, the price equation was formulated, which relates two of these populations. The model was initially investigated by through Dynamic Systems techniques, and from the model were extracted several dynamics, all simulated in a specific program. Randomness was inserted into the model for further analysis, which apparently made the simulated price curves more similar to the curves found in a real series. Then we use the Hurst exponent statistical tool to investigate price model curves for the presence of correlations in their points. Keywords: Econophysics. SIR Model. Financial Market. Differential Equations. Characteristic Exponents. 1 Mestre em Modelagem Matemática e Computacional pelo Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, carlaguedes@terra.com.br. 2 Doutor em Física pela Universidade Federal de Minas Gerais, Professor associado do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, magalhaes@des.cefetmg.br. 81-1
2 1 INTRODUÇÃO É sabido que a grande quantidade de dados referentes ao mercado aumentou ainda mais nas últimas décadas. É cada vez maior esse volume de informações disponíveis para pesquisa. Com isso, o interesse dos matemáticos e físicos também cresceu bastante. Nesse contexto, a Hipótese de Mercado Eficiente (HME) é algo central. Uma de suas versões preconiza que não há como obter enormes lucros, fora da média do mercado, sem correr riscos também muito grandes. Para a HME, os preços são imprevisíveis e sua variação completamente aleatória, como se os investidores fossem totalmente racionais e incorporassem de pronto as novas informações do mercado para a definição destes preços (MANTEGNA; STANLEY; CHRISS, 2000). Certamente existem muitas pessoas hoje em dia que buscam entender o funcionamento desse mercado com o intuito de derrubar essa teoria de eficiência. Muitos modelos têm sido construídos com esse objetivo, tais como modelos baseados em agentes que vem no formato de autômatos celulares (ATMAN; GONÇALVES, 2012) e modelos baseados em equações diferenciais (CAGINALP; ERMENTROUT, 1990). A motivação para este trabalho foi construir um modelo baseado em um modelo epidêmico, que permitisse estudar o comportamento de agentes financeiros. 2 MODELO O modelo aqui proposto é voltado para o comportamento de um universo de investidores dentro do mercado financeiro, diante de notícias externas e aleatórias. Tais notícias podem acarretar posições de compra ou de venda desses investidores. A intenção é realizar a mediação entre a chegada de notícias e o movimento dos preços. Sua inspiração veio do modelo epidêmico SIR, um modelo determinístico e compartimental, que descreve três estágios de uma doença (Suscetíveis
3 Infectados - Recuperados), através de três equações diferenciais não lineares (KERMACK; MCKENDRICK, 1927). Esse modelo, criado para o mercado financeiro, é composto de equações não-lineares que descrevem quatro populações de investidores, infectados de compra (1), infectados de venda (2), suscetíveis de compra (3) e suscetíveis de venda (4): (1) (2) (3) (4) onde a e α são constantes de imitação, e b e β constantes de recuperação. O sinal positivo representa o aumento da população e o sinal negativo sua diminuição. Os infectados são agentes que reagem imediatamente à notícia, comprando ou vendendo determinado ativo. Suas ofertas de compra ou de venda é que levam à variação nos preços (5). Os suscetíveis são agentes que não estão realizando ofertas, mas podem vir a tornar-se infectados (realizar ofertas) a partir do contato com esses últimos. São também considerados suscetíveis os infectados que já realizaram a transação desejada. A figura 1 ilustra esse modelo, cuja dinâmica pode ser descrita na forma a seguir. A população de infectados de compra é alimentada pelos suscetíveis de compra, que imitam os infectados após o encontro com os mesmos, e decrementada pelos infectados de compra que já realizaram a operação de compra. Com a aquisição de ativos, os até então infectados passam ao estado de suscetíveis, já que podem optar por vender tais ativos. Isso faz com que a população de suscetíveis de venda aumente. Essa mesma população diminui com a imitação de suscetíveis por infectados, que deixam essa condição de 81-3
4 suscetíveis através de uma decisão de venda. Os infectados de venda por sua vez, são alimentados pelos suscetíveis de venda que decidem imitá-los, e diminuem com a parcela de infectados de venda que já realizaram a operação de venda. Com a obtenção do dinheiro da venda podem vir a comprar novos ativos. Consequentemente, a população de suscetíveis de compra aumenta com esse fator e diminui quando os suscetíveis decidem que é hora de comprar. Figura 1 Representação da dinâmica do modelo. O modelo também conta com uma quinta equação para o preço: que relaciona o excesso de demanda, dado pela diferença entre as populações de infectados de compra e de venda, à variação relativa do preço (CAGINALP; BALENOVICH, 1999). 81-4
5 2.1. Modelo sem aleatoriedade O modelo foi analisado inicialmente por meio da análise dos autovalores de sua matriz jacobiana nos pontos críticos e foram simuladas diversas dinâmicas através do software MATLAB. O primeiro conjunto de pontos críticos encontrado (6) com é de fácil entendimento. Se não há infectados não há operações de compra ou venda. Além disso, é um ponto assintoticamente estável. Foi feita uma simulação para condições iniciais próximas deste conjunto de pontos críticos, onde as populações foram minimamente desviadas de seu ponto de equilíbrio e retornaram ao mesmo, dada a condição dos autovalores negativos da jacobiana neste ponto (figura 2). O segundo conjunto de pontos críticos, (7) com, é mais difícil de ser analisado por sua jacobiana, porém, de acordo com o critério de Routh- Hurwitz (DORF, 2013), os autovalores da jacobiana não têm parte real positiva. Novamente a simulação (figura 3) mostrou que as populações voltaram a ser atraídas pelo ponto de equilíbrio quando foram desviadas deste 81-5
6 Figura 2 Evolução das populações e do preço para condições iniciais simétricas, com e. Figura 3 Evolução das populações e do preço para condições iniciais simétricas, com e 81-6
7 2.2. Modelo com aleatoriedade O modelo foi impactado com novas notícias imprevisíveis, de forma a apresentar curvas mais parecidas com curvas reais de mercado. Foram inseridos dois tipos de aleatoriedade. O primeiro mantém a liquidez do mercado inalterada e o segundo, varia essa liquidez. Mantendo a liquidez inalterada. As chegadas de notícias foram implementadas nas simulações da seguinte maneira: a cada passo de tempo de tamanho em que a dinâmica é calculada, há probabilidade de chegar uma notícia boa ou ruim. Se a notícia é boa, o número de infectados de compra ( ) é aumentado e se a notícia é ruim o número de infectados de venda ( ) é aumentado. Para todo aumento de por uma dada quantidade temos um decremento de pela mesma quantidade, ou seja, essa aleatoriedade modela a transformação de suscetíveis em infectados, mantendo a liquidez do mercado inalterada. O grau em que a notícia é boa ou ruim também varia aleatoriamente. Assim, o aumento de será dado por, onde é uma variável aleatória com distribuição uniforme entre 0 e 1: (8) e analogamente para (9) A figura 4 representa uma dinâmica com excesso de liquidez, onde a quantidade total de dinheiro é maior que a quantidade de ações disponíveis. Aqui o preço sobe devido a esse excesso, mas continua mantendo um equilíbrio em torno de um valor mais alto que o valor inicial, Para outros casos testados, o efeito é o mesmo. Quando as condições iniciais sugerem falta de liquidez, 81-7
8 o preço cai, mas tende a um equilíbrio abaixo do valor inicial,. Quando as condições iniciais são iguais, ou seja,, o preço reflete tais impactos aleatórios, mas continua próximo ao valor inicial. Figura 4 Evolução das populações e do preço para condições iniciais e, e,, com Variando a liquidez. O modelo foi inicialmente construído como um modelo no equilíbrio, em relação à população de investidores, assim toda mudança causada pela aleatoriedade acontecia de forma balanceada e a relação entre a quantidade total de dinheiro e de ações não mudava. O que ocorria era a transição de um estado (suscetível) para outro (infectado), mantendo-se o grupo inicial de investidores. Ocorriam oscilações condizentes com os impactos causados pelas notícias, mas o preço tendia sempre a um mesmo equilíbrio. Agora o impacto de notícias externas tende a chamar a atenção de outros investidores, aumentando descontinuamente o número de suscetíveis. 81-8
9 Se a notícia for considerada boa, teremos mais investidores aguardando para fazer uma oferta de compra, ou seja, aumentará o número de suscetíveis de compra pela entrada de novos agentes nessa condição. Uma notícia boa também tem o efeito de reduzir o número de suscetíveis de venda, o que, neste modelo, ocorre na mesma proporção do aumento dos suscetíveis de compra, mantendo o número total de agentes constante. No caso de uma notícia ruim, a situação é similar, com o aumento do número de suscetíveis de venda e a correspondente diminuição do número de suscetíveis de compra. Desta forma, a liquidez é variada. A cada passo de tempo de tamanho ocorrido durante a dinâmica, existe uma probabilidade de chegarem notícias impactantes, e estas podem ser diferentes em sua natureza. Se boa, a notícia faz com que a proporção de suscetíveis de compra cresça. Se ruim, a notícia faz com que a proporção de suscetíveis de venda ( ) cresça., (10), onde é um coeficiente, e é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo. Se a notícia é boa. Se a notícia é ruim. Isso se, de acordo com a fórmula acima, e forem maiores que zero. Se, de acordo com a fórmula (10), algum deles ( ou ) tornar-se menor que zero, o decréscimo a ser efetuado deve levá-lo a zero, com o correspondente acréscimo na outra variável. Foi simulada uma dinâmica análoga à da figura 4, cujas condições iniciais e parâmetros representam um excesso de liquidez ( ). Diferentes patamares são encontrados quando o preço busca o equilíbrio após cada notícia externa (figura 5). As demais simulações realizadas comportaram-se como o esperado, para todas as representações de condições iniciais. 81-9
10 Figura 5 Evolução das populações e do preço para condições iniciais,, com e,, e 3. EXPOENTE DE HURST O expoente de Hurst está relacionado a eficiência de mercado. É uma ferramenta que analisa séries temporais para determinar se existe ou não correlação ao longo delas (CARBONE; CASTELLI; STANLEY, 2004). Um expoente de Hurst maior que 0,5 indica que há persistência na série temporal, ou seja, se o último movimento foi ascendente (descendente) há maior probabilidade de que o próximo movimento seja igualmente ascendente (descendente). Já valores menores que 0,5 implicam anti-persistência, e valores iguais a 0,5 ocorrem quando não há tendência. Somente esse último está de acordo com a Hipótese de Mercado Eficiente. Sendo assim, séries reais devem apresentar expoentes próximos de 0,5. Para calcularmos os expoentes do modelo, suas curvas foram formatadas até estarem em conformidade com curvas reais, que normalmente são dadas por candlesticks completos, onde quatro séries temporais são representadas 81-10
11 (séries de preços de abertura, de preços de fechamento, de preços de alta e de preços de baixa). Para tanto foi criado um programa, no software Matlab, que dividiu as séries temporais em intervalos de tamanhos pré-determinados, e atribuiu ao primeiro ponto desse intervalo o preço de abertura, ao último ponto o preço de fechamento, ao ponto máximo (incluídos preços de abertura e fechamento já calculados) o preço de alta e ao ponto mínimo (também considerando o intervalo todo) o preço de baixa. Tal intervalo consiste no tamanho do candle. Foram utilizados candles de tamanhos 5, 10, 15 e 20. Na figura 6 temos um exemplo de curva com candles criada pelo modelo. Figura 6 Exemplo de uma curva produzida pelo modelo, definida por candles de tamanho 15. Condições iniciais simétricas,,,, com,, e 81-11
12 Figura 7 Figura 6 em detalhe. Foram feitas 100 simulações de 5000 pontos para cada conjunto de parâmetros testados. Os parâmetros alterados foram os referentes à segunda forma de aleatoriedade, que é dada por novas notícias imprevisíveis que alteram descontinuamente o número de agentes suscetíveis. O método utilizado foi o DFA (Detrended Fluctuation Analysis), e o cálculo foi aplicado para as séries do modelo que simulavam preços de fechamento, novamente com o auxílio do software Matlab. No candle de tamanho 5 os expoentes de Hurst possuem um valor aproximado de 0,42 quando a probabilidade da chegada de notícias imprevisíveis é 10%, chegam a 0,5 quando essa mesma probabilidade cai para 0,6% e então passam de 0,5 quando a probabilidade chega a 0,2% (figura 8). No candle de tamanho 10 temos expoentes próximos de 0,41 quando a probabilidade de tais notícias chegarem for igual a 10%. Estes só se aproximam de 0,5 quando o percentual diminui para 0,4% e então superam este valor (0,5) quando a probabilidade chega a 0,2% (figura 8). Mudando para o candle de tamanho 15, temos comportamentos semelhantes para os expoentes. Aqui também atingem o valor aproximado de 81-12
13 0,5 na probabilidade 0,4%. Até agora os expoentes de Hurst aumentam à medida que a probabilidade de chegarem notícias imprevisíveis diminui, a persistência das séries é ascendente (figura 8). Por fim, temos o candle de tamanho 20, cujo comportamento não foge ao descrito anteriormente, para outros candles. Os expoentes de Hurst crescem à medida que a probabilidade da chegada de novas notícias diminui. Quando tal probabilidade é 10% o valor do expoente de Hurst é próximo de 0,44 e se aproxima de 0,49 quando essa probabilidade diminui para 0,4%, porém ultrapassa os 0,5 na última probabilidade calculada (0,2%) (figura 8). Figura 8 Média dos expoentes de Hurst para as séries de preços de fechamento simuladas pelo modelo, nos tamanhos de candle 5, 10, 15 e 20. Condições iniciais simétricas,,, e parâmetros, e São representadas seis aleatoriedades diferentes,,, =, e
14 3 CONCLUSÃO Conseguimos modelar a dinâmica de quatro tipos de agentes financeiros (infectado de compra, infectado de venda, suscetível de compra e suscetível de venda), através de quatro equações diferenciais inspiradas no modelo SIR. O modelo também contou com a ajuda de uma equação para o preço, relacionada com a interação de dois destes grupos de agentes (Infectado de compra e Infectado de venda), responsáveis pela movimentação do mesmo. Fizemos uso de ferramentas matemáticas da área de Sistemas Dinâmicos para análise do modelo, começando pelo estudo dos autovalores de sua matriz jacobiana calculada em seus pontos críticos. Estudamos estes pontos críticos e investigamos sua estabilidade. Em um dos casos fizemos uso do critério de Routh-Hurwitz. Realizamos simulações, analisando o comportamento do modelo para diversos casos em que a dinâmica tende para a estabilidade do preço. Dinâmicas que tendem para estabilidade são um bom ponto de partida para simulação do Mercado Financeiro. Como o modelo determinístico não apresentou curvas parecidas com curvas reais, introduzimos aleatoriedade no modelo de duas formas diferentes. Para o cálculo estatístico do expoente de Hurst foram produzidos candlesticks a partir das curvas sintéticas, uma vez que dados empíricos costumam vir neste formato. Observamos que um parâmetro importante na dinâmica do modelo está ligado à aletoriedade inserida, mais especificamente, à probabilidade de chegada de novas notícias imprevisíveis, que impactam o número de agentes suscetíveis. Simulamos então, diferentes probabilidades de chegada destas notícias a cada passo de tempo (10%, 1%, 0,6%, 0,5%, 0,4% e 0,2%), e concluímos que as séries se tornam mais persistentes à medida que o volume de chegada dessas notícias diminui. REFERÊNCIAS ATMAN, A. P. F.; GONÇALVES, B. A. Influence of the Investor s Behavior on the Complexity of the Stock Market. Brazilian Journal of Physics, v. 42, n. 1-2, p , ISSN
15 CAGINALP, G.; BALENOVICH, D. Asset flow and momentum: deterministic and stochastic equations. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1999, v. 357, n. 1758, p ISSN X. Disponível em: < CAGINALP, G.; ERMENTROUT, G. B. A kinetic thermodynamics approach to the psychology of fluctuations in financial markets. Applied Mathematics Letters, 1990, v. 3, n. 4, p ISSN CARBONE, A.; CASTELLI, G.; STANLEY, H. E. Time-dependent Hurst exponent in financial time series. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2004, p DORF, R. C; BISHOP, R. H. Sistemas de Controle Modernos p. ISBN ISBN-10: ISBN-13: KERMACK, W. O.; MCKENDRICK, A. G. A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics p. Disponível em: < MANTEGNA, R. N.; STANLEY, H. E.; CHRISS, N. A. An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance v p. ISSN ISBN Edição especial - XX ENMC (Encontro Nacional de Modelagem Computacional) e VIII ECTM (Encontro de Ciência e Tecnologia dos Materiais), realizado entre 16 e 19 de outubro de 2017 na cidade de Nova Friburgo RJ. Editor Mateus das Neves Gomes 81-15
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