Capítulo. 2.Teoria das Probabilidades Definições Experiência aleatória

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1 ÍNDICE 2.TEORIA DAS PROBABILIDADES DEFINIÇÕES Experiêcia aleatória Espaço de resultados Acotecimeto ÁLGEBRA DOS ACONTECIMENTOS Uião de acotecimetos Itersecção de acotecimetos Acotecimeto cotrário Acotecimeto difereça Propriedades da Uião e da Itersecção de acotecimetos Acotecimetos icompatíveis ou mutuamete exclusivos DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADE Defiição clássica de probabilidade ou defiição a priori Defiição frequecista de probabilidade ou defiição a posterori AXIOMÁTICA DAS PROBABILIDADES (KOLMOGOROV) CONDICIONADA E INDEPENDÊNCIA Acotecimetos codicioados Acotecimetos idepedetes Teorema das probabilidades totais Teorema de Bayes REVISÕES SOBRE TÉCNICAS DE CONTAGEM...45

2 Capítulo 2 2.Teoria das Probabilidades 2.1. Defiições Experiêcia aleatória Etede-se por experiêcia aleatória qualquer acção que possa ser repetida as mesmas codições, ou em codições semelhates, que teha mais do que um resultado possível e que ão se possa prever qual o resultado. Exemplos 2.1: Laçameto de uma moeda Laçameto de duas moedas Laçameto de uma moeda até sair face Laçameto de um dado Escolha aleatória de uma pessoa um grupo de 5 pessoas Fabricar peças até que duas peças perfeitas sejam produzidas e cotar o úmero total de peças produzidas Fabricar uma lâmpada. Colocá-la um suporte, acedê-la e registar o tempo de fucioameto até fudir Um termógrafo regista a temperatura cotiuamete durate um período de 24 horas uma determiada localidade. As temperaturas, míima e máxima são registadas. 30

3 Espaço de resultados O espaço de resultados de uma experiêcia aleatória é uma represetação de todos os resultados possíveis dessa experiêcia aleatória. Em termos de otação vamos represetar o espaço de resultados pela letra S. Exemplos 2.2: Laçameto de uma moeda: S {cara, coroa}{f, C} Laçameto de duas moedas: S {(F, F), (F, C), (C, F), (C, C)} Laçameto de uma moeda até sair face: S {F, CF, CCF, CCCF, } Laçameto de um dado: S {1, 2, 3, 4, 5, 6} Escolha aleatória de uma pessoa um grupo de 5 pessoas: S {João, Sara, Pedro, Luísa, Paulo} Fabricar peças até que duas peças perfeitas sejam produzidas e cotar o úmero total de peças produzidas: S {2, 3, 4, 5,...} Fabricar um lâmpada. Colocá-la um suporte, acedê-la e registar o tempo de fucioameto até fudir: S {t : t 0} Um termógrafo regista a temperatura cotiuamete durate um período de 24 horas uma determiada localidade. As temperaturas, míima e máxima são registadas: S {(x, y) : x y} Se se admitir que a temperatura míima essa localidade ão poderá descer abaixo de um certo valor (m) e a temperatura máxima ão poderá subir acima de um certo valor (M): S {(x, y) : m x y M} 31

4 O úmero de elemetos de um espaço de resultados (cardial # de S) pode ser fiito Exemplos 1.2.1, 1.2.2, e 1.2.5, ou ifiito, sedo que este caso pode aida ser ifiito umerável (pode estabelecer-se uma correspodêcia biuívoca com o cojuto dos úmeros aturais, i. e, pode eumerar-se) Exemplos e 1.2.6, ou ifiito ão umerável Exemplos e Quado o úmero de elemetos de um espaço de resultados é fiito ou ifiito umerável o espaço de resultados diz-se discreto. Se o úmero de elemetos de um espaço de resultados é ifiito ão umerável o espaço de resultados diz-se cotíuo Acotecimeto Etede-se por acotecimeto, como algo que defie uma codição ou propriedade particular, que pode ou ão, ser satisfeita pelos resultados possíveis da experiêcia aleatória. A defiição do acotecimeto está sempre associada a uma experiêcia aleatória em particular. Em termos de otação os acotecimetos são represetados, geralmete, por letras maiúsculas. Ao acotecimeto que é costituído por apeas um resultado chama-se acotecimeto elemetar. Exemplos 2.3: Experiêcia: laçameto de uma moeda Exemplos de acotecimetos: A sair cara B sair coroa C ão sair em cara em coroa Experiêcia: laçameto de um dado Exemplos de acotecimetos: A sair o úmero 2 B sair o úmero 1 ou o úmero 5 C sair um úmero par D sair um úmero superior a Experiêcia: escolha aleatória de uma pessoa um grupo de 5. Exemplos de acotecimetos: 32

5 A escolher uma pessoa loira B escolher o João C escolher um pessoa com mais de 1.80 m de altura Experiêcia: laçameto de uma moeda até sair face. Exemplos de acotecimetos: A serem ecessários três laçametos B serem ecessários o máximo três laçametos C serem ecessários pelo meos três laçametos Fala-se a ocorrêcia de um acotecimeto (ou diz-se que um acotecimeto ocorreu) se o resultado da experiêcia pertece a esse acotecimeto. Fala-se a ão ocorrêcia de um acotecimeto (ou diz-se que o acotecimeto ão ocorreu) se o resultado da experiêcia ão pertece a esse acotecimeto. Exemplo 2.4: Se ao realizarmos a experiêcia do Exemplo o resultado for a saída da face 2 pode dizer-se que ocorreu o acotecimeto A, ão ocorreu o acotecimeto B, ocorreu acotecimeto C e ão ocorreu o acotecimeto D. É muito importate otar que a mesma defiição de acotecimeto pode represetar acotecimetos diferetes se estivermos a falar de experiêcias aleatórias diferetes. Exemplo 2.5: O acotecimeto A sair úmero par tem um sigificado diferete se estivermos a falar da experiêcia laçameto de um dado ou se estivermos a falar da experiêcia que cosiste em escolher de forma aleatória uma carta de um baralho completo. 33

6 2..2. Álgebra dos acotecimetos Uião de acotecimetos É o acotecimeto que ocorre se e só se pelo meos um dos acotecimetos ocorrer: Uião de A comb A B { x: x A x B} A B A B Itersecção de acotecimetos É o acotecimeto que ocorre se e só se todos os acotecimetos ocorrerem: Itersecçã ode AcomB A B { x: x A x B} A B A B 34

7 Acotecimeto cotrário Dado o acotecimeto A defie-se como acotecimeto cotrário de A, o acotecimeto A que ocorre se e só se A ão ocorrer: Cotrário de A A { x: x S x A} A Acotecimeto difereça Dados dois acotecimetos A e B, defie-se o acotecimeto difereça como sedo o acotecimeto que ocorrerá se A ocorrer e B ão ocorrer. A B, A B A B { x: x A x B} A B A B 35

8 Propriedades da Uião e da Itersecção de acotecimetos Propriedade Uião Itersecção Comutativa Associativa A B B A A B B A A ( B C) ( A B) C A ( B C) ( A B) C Distributiva A ( B C) ( A B) ( A C) A ( B C) ( A B) ( A C) Idempotêcia Complemeto Leis de De Morga Existêcia de elemeto eutro Existêcia de elemeto absorvete A A A A A A A A S A A A B A B A B A B A A A S A A S S A Acotecimetos icompatíveis ou mutuamete exclusivos Dois acotecimetos A e B são icompatíveis (ou mutuamete exclusivos) se A B, ou seja, se A ocorre etão B ão ocorre; se B ocorre etão A ão ocorre o símbolo, represeta o acotecimeto impossível, isto é, o acotecimeto que ão é satisfeito por ehum dos resultados possíveis da experiêcia. Aos acotecimetos que são satisfeitos por qualquer resultado do espaço de resultados, damos o ome de acotecimeto certo e represetamos por S. 36

9 2.3. Defiições de probabilidade Defiição clássica de probabilidade ou defiição a priori A probabilidade de um certo acotecimeto ocorrer, quado o úmero de elemetos do espaço de resultados é fiito, é igual ao quociete etre o úmero de resultados que satisfazem o acotecimeto e o úmero de resultados possíveis da experiêcia. Exemplo 2.6: º de resultados favoráveis a A P( A ) (1) º de resultados possíveis Cosidere a experiêcia aleatória laçameto de uma dado e os acotecimetos referidos o Exemplo 1.3.1: { 1, 2, 3, 4, 5, 6} # 6 S S { 2} # A 1 A " sair o úmero 2" P ( A) #A #S 1 6 { 1,5} # B 2 B " sair o úmero1ou o úmero 5" P ( B) # B # S 2 6 { 2,4,6} # C 3 C " sair um úmero par" P ( C) #C #S 3 6 D " sair um úmero superior a 7" # D 0 P ( D) #D # S

10 Se o úmero de elemetos do espaço de resultados for ifiito ão umerável, mas puder ser associada uma medida geométrica m(s) comprimeto, área ou volume, etão a probabilidade de ocorrêcia do acotecimeto A será: comprimeto de A P( A) ou comprimeto de S área de A P( A) ou área de S volume de P( A) volume de A S Exemplo 2.7: Cosidere a seguite experiêcia aleatória: dois potos x e y são seleccioados ao acaso a recta real R tais que 3 x 0 e 0 y 2. Calcule a probabilidade de que a distâcia etre x e y seja iferior a 2. Resolução: O espaço de resultados (S) são todos os potos (x, y) do rectâgulo O acotecimeto (A) são todos os potos (x, y) tais que d y x < 2, ou seja, todos os potos pertecetes ao triâgulo y 0 limitado pelas rectas y x 2, x 0 e 2 2 área de A 2 2 P( A) área de S

11 Defiição frequecista de probabilidade ou defiição a posterori A defiição clássica de probabilidade tem a vatagem de os proporcioar uma aálise teórica cosistete sobre as probabilidades (ver secções seguites). No etato, a sua aplicação directa é um pouco limitativa visto exigir o cohecimeto prévio de todos os resultados possíveis da experiêcia aleatória bem como que estes sejam equiprováveis. Numa situação em que tal ão é possível utilizamos o coceito de probabilidade frequecista. A probabilidade frequecista é obtida através do seguite processo: 1º - Repete-se a experiêcia vezes (suficietemete grade). 2º - Dos resultados obtidos cotam-se quatos satisfazem o acotecimeto A ( A resultados) A probabilidade de A ocorrer uma futura repetição da experiêcia é dada por: Exemplo 2.8: P ( A) A fa (2) Cosidere a experiêcia aleatória laçameto de uma dado e os acotecimetos referidos o Exemplo 2.3.1, e que temos motivos para crer que o dado é viciado, i. e, que as a saída de cada uma das faces ão é equiprovável. Neste caso, para podermos calcular a probabilidade de cada um dos acotecimetos teremos que realizar a experiêcia um úmero suficiete grade de vezes. Admita-se que se laçou o dado 600 vezes e que se obteve os seguites resultados: Face N úm ero de vezes Como 600 teremos { 2} 80 A " sair o úmero 2" A A 80 P( A) 0, { } B"sair o úmero 1 ou o úmero 5" 1, 5 B P( B) B 0, { 2,4,6} C " sair um úmero par" C 39

12 P( C) C 285 0, D " sair um úmero superior a 7" 0 ( D) P D D 2.4. Axiomática das probabilidades (Kolmogorov) Os axiomas são um cojuto de propriedades que se aceitam como verdadeiras (ão ecessitam de demostração). Axioma 1: P ( A) 0, qualquer que seja o acotecimeto A. Axioma 2: P ( S) 1 Axioma 3: Se A,B S ea B etão P ( A B) P( A) + P( B) Uma cosequêcia importate da axiomática é que: 0 P ( A) 1 Os teoremas que a seguir se apresetam já são propriedades que são susceptíveis de demostração: Teorema 1: P ( ) 0 Teorema 2: P( A) 1 P( A) Teorema 3: P( A B) P( A B) P( A) P( A B) Teorema 4: P( A B) P( A) + P( B) P( A B) Pode também demostrar-se, com base o Teorema 4, que para três acotecimetos A, B e C: P( A B C) P( A) + P( B) + P( C) P( A B) P( A C) P( B C) + P( A B C) Teorema 5: A B P( A) P( B) 40

13 De otar que um acotecimeto impossível tem probabilidade zero de ocorrer (Teorema 1), mas, o etato, existem acotecimetos que têm probabilidade zero de ocorrer e ão são acotecimetos impossíveis, são os chamados acotecimeto raros. De igual forma, os acotecimetos certos têm probabilidade 1 (Axioma 2), mas existem acotecimetos a que atribui probabilidade 1 sem, o etato, serem acotecimetos certos, são os acotecimetos quase certos Codicioada e idepedêcia Acotecimetos codicioados Dados dois acotecimetos A e B tais que P ( B) > 0 ocorrer sabedo que o acotecimeto B se realizou é calculada por :, a probabilidade de A P( AB) P( A B) (3) P( B) Da mesma forma o caso de P ( A) > 0, a probabilidade de B ocorrer sabedo que o acotecimeto A se realizou é calculada por : P( BA) P( A B) (4) P( A) Acotecimetos idepedetes Dois acotecimetos são idepedetes se: P ( AB) P( A) ou P ( BA) P( B) (5) ou aida, através de (35) e de (36) podemos cocluir que se A e B são dois acotecimetos idepedetes etão: P ( A B) P( A) P( B) (6) Se A e B são acotecimetos idepedetes etão podemos afirmar que também são acotecimetos idepedetes: 1. A e B 2. A e B 3. A e B 41

14 Exemplo 2.9: Cosidere-se a experiêcia aleatória que cosiste em retirar, ao acaso, uma peça de um cojuto de peças das quais uma é defeituosa. Defiam-se os acotecimetos: A a peça tirada é defeituosa B a peça tirada é ão defeituosa Etão P( P( A) B) A é um acotecimeto raro 1B é um acotecimeto quasecerto Exemplo 2.10: O Ferado desloca-se para o trabalho utilizado como meio de trasporte o comboio. Ao logo dos aos o Ferado reparou que quado apaha o comboio usual, o das 7:55, 10% das vezes chega atrasado. A liha a que o Ferado pertece (a liha da Azambuja) é uma liha com algus problemas e os comboios avariam com alguma frequêcia. Estima-se que a probabilidade de um certo comboio avariar é de 1 %. Temos etão dois acotecimetos: A O Ferado chegar atrasado quado apaha o comboio das 7:55 B O comboio do Ferado avariar Com as seguites probabilidades: P ( A) 0.1 e P ( B) Supohamos que o Ferado se ecotra detro do comboio das 7:55 e este avariou a meio do trajecto. Que cosequêcias para a probabilidade do acotecimeto A? Resposta: Nesta situação temos uma iformação adicioal que é o facto de sabermos que o acotecimeto B ocorreu. Portato temos um acotecimeto ovo que é: 42

15 B A O Ferado chegar atrasado quado apaha o comboio das 7:55 sabedo que este avariou Como é lógico a probabilidade de A B é com certeza superior à probabilidade de A. Podemos etão cocluir que o acotecimeto B ifluecia o acotecimeto A pelo que estes ão são acotecimetos idepedetes. Exemplo 2.11: Neste exemplo vamos verificar a lógica da fórmula (35) que permite calcular probabilidades de acotecimetos codicioados: Cosideremos a experiêcia aleatória que cosiste o laçameto de um dado equilibrado. Defiamos os seguites acotecimetos: A sair úmero maior que 3 {4, 5, 6} P ( A) 1 2 B sair úmero par {2, 4, 6} P ( B) 1 2 Supohamos que o dado é laçado e alguém vê o resultado, mas ão o revela. Apeas os iforma que o resultado é um úmero par. Qual é agora a probabilidade de ocorrer o acotecimeto A? Resposta: Neste mometo temos a iformação adicioal de que o acotecimeto B ocorreu. Queremos calcular a probabilidade de A ocorrer sabedo que B ocorreu, ou seja P ( AB). Como sabemos que B ocorreu os resultados possíveis passaram a ser { 2 4, 6} Como queremos saber a probabilidade de A os resultados favoráveis são { 6} 2 Logo, P ( AB). 3 Se utilizarmos a fórmula (4) obtemos, ecessariamete o mesmo resultado: P( A B) P ( AB). P( B) 3 3 6,. 4,. Desevolvedo a equação (35) e a equação (36) obtemos a seguite fórmula que os permite calcular a probabilidade de itersecção de dois acotecimetos: P ( A B) P( AB) P( B) P( BA) P( A) (7) 43

16 Teorema das probabilidades totais Cosideremos o seguite cojuto de acotecimetos, A1, A2,..., A um espaço de resultados. Este cojuto defie uma partição do espaço de resultados se: A A... A S 1 2 A A, i, j com i j i ( A ), i P i j > 0 A 1 A 2 S... A Seja B um outro acotecimeto defiido o mesmo espaço de resultados. Se soubermos a probabilidade de B ocorrer dado que ocorreu cada um dos A i, podemos calcular a probabilidade total de B ocorrer: P( B) i 1 P( A i B) P( Ai) P( BAi) i 1 (8) Teorema de Bayes Se A1, A2,..., A, é uma partição de S com P( Ai) > 0, i 1, 2,...,, etão: P( A P( A ) P( BA j j jb) com j 1, 2 P( A ) P( BA ) i 1 i i ),..., (9) 44

17 2.6. Revisões sobre técicas de cotagem Admitido a equiprobabilidade dos acotecimetos elemetares o cálculo da probabilidade de um acotecimeto A, resume-se à cotagem do úmero de casos possíveis associados à experiêcia aleatória e do úmero de casos favoráveis à ocorrêcia desse acotecimeto A. Existem duas regras básicas de cotagem: Regra da adição: se um acotecimeto A puder ocorrer de m maeiras distitas e um acotecimeto B puder ocorrer de maeiras distitas, e os acotecimetos A e B ão puderem ocorrer simultaeamete, etão o acotecimeto A ou B pode ocorrer de m+ maeiras. Regra da multiplicação: se um acotecimeto A puder ocorrer de m maeiras distitas e um acotecimeto B puder ocorrer de maeiras distitas, etão o acotecimeto A e B pode ocorrer de m maeiras. Relativamete à amostragem, importa defiir dois coceitos básicos: ordeação e reposição/repetição: Uma amostra diz-se ordeada se se cosidera relevate a ordem pela qual os elemetos estão dispostos. Caso cotrário, diz-se ão ordeada. Uma amostra é retirada sem reposição quado cada elemeto do cojuto apeas puder fazer parte da amostra somete uma vez. Se ão há limite ao úmero de vezes que cada elemeto pode etrar a amostra, a amostra diz-se com reposição. Em sítese: REPOSIÇÃO/REP. ORDEM Ordeados ARRANJOS Não ordeados COMBINAÇÕES Sem reposição/repetição C r A r Simples! ( r)!! r r! ( r)! Com reposição/repetição Completos Γ r α r r + r 1 r Relembre-se que! primeiros iteiros) e que 0! 1 Exemplo 2.12: (lê-se factorial) é! ( 1) produto dos 45

18 Cosideremos o cojuto {a,b,c,d}. Quatas amostras de dimesão 1 (com 1 elemeto) se podem fazer? Resposta: Pretede-se saber quatas amostras de dimesão 1 (r1) podem existir a partir de um cojuto que tem 4 elemetos (4) e que são ecessariamete 4: {{a}, {b}, {c}, {d}} Recorredo à aálise combiatória teremos com 4 e r1: A α1 1 1 Γ 4 Podedo cocluir-se que o caso da amostra ter apeas um elemeto é irrelevate falar em ordeação e reposição. Exemplo 2.13: Cosideremos o mesmo cojuto {a, b, c, d}. Quatas amostras de dimesão 2 se podem fazer? Resposta: Neste caso como a amostra tem dimesão 2 (r2) já é relevate saber se é ordeada ou ão e se existe ou ão reposição. Temos, assim, quatro situações: 1. Ordeadas e sem reposição arrajos simples: 4 4! A ! {(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(a,d),(d,a),(b,c),(c,b),(b,d),(d,b),(c,d),(d,c)} 2. Ordeadas e sem reposição arrajos completos: α {(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(a,d),(d,a),(b,c),(c,b),(b,d),(d,b),(c,d),(d,c), (a,a),(b,b),(c,c),(d,d)} 3. Não ordeadas e com reposição combiações simples: 4 2 4! 2!2! {(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)} 4. Não ordeadas e com sem reposição combiações completas: 46

19 Γ {(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)} Algumas vezes, estamos apeas iteressados em saber de quatas maeiras podemos ordear um cojuto que tem elemetos diferetes. Tal situação é o que se costuma desigar por permutações de elemetos: P! Note-se que as permutações se podem cosiderar como um caso particular dos arrajos simples quado r :!! A! ( )! 0! Exemplo 2.14: De quatas maeiras podemos ordear os elemetos do cojuto {a, b, c}? Resposta: Como 3, e os elemetos são todos diferetes, termos 3! 6 {(a b c),(a c b),(b a c),(b c a),(c a b),(c b a)} P 3 Se os elemetos ão forem todos diferetes, o úmero de ordeações é obviamete iferior a! são as chamadas permutações com repetição. Assim, se os elemetos temos 1 iguais etre si, 2 iguais etre si e diferetes dos 1,..., r iguais etre si e diferetes dos 1, 2,..., r-1 e r, o úmero de ordeações possíveis é: P,,...,!!... ; 1, 2,...,r 1 2 r 1! 2 r! 47

20 Exemplo 2.15: De quatas maeiras podemos ordear os elemetos do cojuto {a, a, b}? Resposta: Como 3 e os elemetos ão são todos diferetes pois temos 1 2 (existem 2 3! a ) e 2 1 (existe apeas 1 b ) teremos P 3;2,1 3 2! 1! {(a a b),(a b a),(b a a)} 48

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