Física Experimental II

Transcrição

1 AULA 1

2 Física Experimental II

3 Primeira aula Como será a disciplina Equipe, critérios de avaliação, experimentos, datas importantes Revisão de pontos chave do semestre anterior Introdução à propagação de incertezas

4 Professores Alexandre Correia Bianca Jardim Mendonça Dimy Nanclares Fernandes Sanches Geovane Grossi Araújo de Souza José Fernando Diniz Chubaci Marco Bregant Raphael Liguori Neto Zwinglio Guimarães Filho

5 Estagiários André Cezar Pugliesi da Silva Cristofher Victor Vivas Palomares Elion Daniel Hack Ivan de Paula Miranda Luiz Fernando de Camargo Rodrigues

6 Experimentos 4 experimentos, grupos de 3 pessoas 3 experimentos regulares: Mecânica Eletricidade Termodinâmica 1 projeto A ser proposto pelo grupo

7 Critérios de Avaliação Caderno de Dados C1, C,C3 e C4 Apresentação do Projeto Eletivo C1 C C3 3Elet MC 8 Elet 0,3Apresentação 0,7C 4 Provas : (p1 : 8-30/08, p : 5-7/09, p3 : 16-18/10, P : 7-9/11) p1 p p3 P MP 5 Relatórios R R 3 1 MR Média Final M M P M 4 C M Se não M=min(M P,M C,M R ) R 4 ( MP 4 e MC 4 e MR 4) Frequência 70%

8 Calendário Aulas Apresentação e Revisão - de 07 a 09 de agosto Experimento 1 (3 aulas) - de 14 a 30 de agosto Experimento (3 aulas) - de 11 a 7 de setembro Experimento 3 (3 aulas) de 0 a 18 de outubro Experimento EL (4 aulas) de 3 de outubro a de novembro Datas importantes Provinha p1 8 a 30 de agosto Semana da Pátria - de 0 a 06 de setembro Provinha p 5 a 7 de setembro Provinha p3 16 a 18 de outubro Prova P 7, 8 e 9 de novembro Entrega de R1 04 de novembro Entrega de R 0 de dezembro

9 Conteúdo Formalizar aspectos gerais de análise de dados Aprofundar o método científico Propagação de incertezas Ajustes de funções lineares - método de mínimos quadrados Distribuições de probabilidade Testes de significância Redação científica

10 Bibliografia Página da disciplina Textos diversos, informações sobre experimentos, atividades extras Livros Fundamentos da Teoria de Erros, J.H. Vuolo Tratamento Estatístico de Dados em Física Experimental, O. Helene, V. Vanin

11 Física Experimental II Revisão de alguns tópicos do semestre anterior Incertezas Ajustes

12 O Método Científico Em resumo Identifique um problema Analise e conclua Formule hipóteses Experimente

13 Medidas Toda medida é uma comparação com um padrão, como por exemplo o quilograma-padrão. Dessa forma, medidas são sempre sujeitas a imperfeições e limitações.,65 ± 0,05 cm ou,65(5) cm Algarismos significativos: todos os que se tem certeza e o primeiro duvidoso. 3 significativos 3 significativos e x a t o e x a t o d u v i d o s o i n c e r t e z a u n i d a d e e x a t o e x a t o d u v i d o s o i n c e r t e z a u n i d a d e

14 Qualidade de uma medida Alta precisão Alta veracidade Alta precisão Baixa veracidade Precisão (precision): grau de concordância entre os valores obtidos em medições repetidas Está relacionada apenas a erros aleatórios Baixa precisão Alta veracidade Baixa precisão Baixa veracidade Veracidade (trueness): grau de concordância entre a média de infinitas medições repetidas e um valor de referência Está relacionada apenas a erros sistemáticos

15 Limitações de uma medida Nenhuma medida é exata! O erro é a diferença entre o valor medido e o valor verdadeiro (desconhecido) da grandeza: ε = x x 0 valor verdadeiro Como não conhecemos o valor verdadeiro, não podemos conhecer o erro, mas podemos estimá-lo. A incerteza é uma estimativa probabilística do módulo do erro. aleatórios FONTES DE ERROS sistemáticos

16 Limitações de uma medida Erros aleatórios são aqueles que afetam de maneira diferente cada um dos dados medidos. Provocam a variação dos valores obtidos em medições repetidas. Seu efeito pode ser reduzido aumentando-se o número de dados. Erros sistemáticos são aqueles que afetam de maneira igual todos os dados medidos. Seu efeito não depende do número de dados medidos. aleatórios FONTES DE ERROS sistemáticos

17 Representação de uma medida A incerteza é escrita com 1 ou algarismos significativos. A grandeza deve ser escrita até a mesma casa decimal que sua incerteza. Exemplo: Uma medida de tempo resultou no valor 1, s com incerteza de 0, s Opção 1: representar incerteza com 1 significativo σ = 0,005 s Nesse caso, o resultado seria apresentado como: T = 1,96 ± 0,005 s ou T = 1,96(5) s Opção : representar incerteza com significativos σ = 0,005 s Nesse caso, o resultado seria apresentado como: T = 1,96 ± 0,005 s ou T = 1,96(5) s

18 Usando gráficos para interpretar resultados

19 Qualidade de um ajuste Esse ajuste está razoável?

20 Qualidade de um ajuste Há mais pontos de um lado da reta que do outro NÃO É UM BOM AJUSTE Esse ajuste está razoável?

21 Qualidade de um ajuste Esse ajuste está razoável?

22 Qualidade de um ajuste Há um equilíbrio no número de pontos dos dois lados da reta Esse ajuste está razoável?

23 Qualidade de um ajuste Há um equilíbrio no número de pontos dos dois lados da reta MAS... há uma tendência ou estrutura na posição dos pontos em relação à reta NÃO É UM BOM AJUSTE Esse ajuste está razoável?

24 Qualidade de um ajuste Esse ajuste está razoável?

25 Qualidade de um ajuste Equilíbrio no número de pontos dos dois lados da reta Sem tendência na posição dos pontos em cada lado ESTE É UM BOM AJUSTE Esse ajuste está razoável?

26 Linearização de gráficos

27 Linearização de gráficos

28 Frequentemente a linearização de uma função permite uma análise mais simplificada do problema Exemplos: Linearização de funções Função original Exemplo de Linearização Função linearizada z t = z 0 + g t y = z, x = t, a = g, b = z 0 y = b + ax T L = π L g y = T, x = L, a = 4π g, b = 0 y = ax + b F t = A 0 sin(ωt) y = F, x = sin(ωt), a = A 0, b = 0 y = ax + b I z = I 0 e μz y = log I, x = z, a = μ, b = log(i 0 ) y = b + ax

29 Desvio padrão e desvio padrão da média Desvio Padrão Desvio Padrão da Média Notação σ σ m Equação σ = 1 N 1 i=1 N x i x σ m = σ N Interpretação Dispersão das medidas efetuadas Dispersão esperada das médias caso o experimento seja refeito várias vezes Exemplo de uso Estimar a incerteza das medidas individuais devida aos efeitos aleatórios Estimar a incerteza do valor médio de uma grandeza devida aos efeitos aleatórios

30 Desvio padrão e desvio padrão da média Usamos o desvio padrão para caracterizar a dispersão de medidas, como constantes elásticas de molas, ou tempos de queda. Usamos o desvio padrão da média para estimar a incerteza dessas grandezas por causa dos erros aleatórios. No caso do tempo de queda, no entanto, queríamos também calcular a aceleração média de queda: a = h t COMO calcular σ a a partir de h, σ h, t, σ t???

31 Propagação de Incertezas Física Experimental II Com slides preparados por Zwinglio Guimarães e Márcia Rodrigues

32 A incerteza A incerteza é fundamental para indicar a dúvida em resultados experimentais O resultado de um experimento é composto tanto pelo valor quanto pela incerteza Toda grandeza calculada a partir de valores obtidos experimentalmente tem incerteza PROBLEMA: Como propagar as incertezas dos dados medidos para grandezas calculadas com esses dados?

33 Exemplo: experimento de queda (016 turma de quarta-feira à tarde) Duas formas equivalentes de visualizar os dados

34 Exemplo: experimento de queda Interpretação do desvio-padrão amostral como a incerteza devida aos efeitos aleatórios em cada um dos dados

35 Exemplo: experimento de queda Outra forma de visualizar o desvio-padrão da amostra

36 A incerteza do tempo médio de queda: N t m = 1 N i=1 t i σ m =? É razoável supor que a incerteza do tempo médio de queda seja menor do que a incerteza de cada um dos tempos (uma vez que esses dados basicamente estão sujeitos a erros aleatórios). De fato, a incerteza da média devida aos erros aleatórios é dada pelo desvio-padrão da média, que é menor que o desvio-padrão amostral: σ m = σ N

37 Um cuidado ao se lidar com muitos dados: Como o desvio-padrão da média pode ser bem menor que o desviopadrão dos dados os erros sistemáticos podem se tornar relevantes.

38 Incerteza da aceleração média de queda: Algumas ideias fundamentais a = h t σ a =? É razoável supor que as incertezas das duas grandezas medidas diretamente (h e t) irão contribuir para a incerteza de a: σ a[h] Contribuição da incerteza da altura da queda para a incerteza de a. σ a[t] Contribuição da incerteza do tempo de queda para a incerteza de a. 1º PROBLEMA: Como calcular essas contribuições?

39 Incerteza da aceleração média de queda: Algumas ideias fundamentais σ a[h] a = h t σ a =? É razoável supor que as incertezas das duas grandezas medidas diretamente (h e t) irão contribuir para a incerteza de a: σ a[t] Uma forma intuitiva de estimar essas contribuições é ver quanto muda o valor calculado de a por causa das incertezas de h e de t: σ a[h] a h + σ h, t a h, t σ a[t] a h, t + σ t a h, t º PROBLEMA: Como combinar essas duas contribuições?

40 Questões sobre propagação de incertezas que precisamos saber como lidar: Qual é a forma adequada de calcular a contribuição da incerteza das grandezas medidas sobre a grandeza de interesse? Como devem ser combinadas as contribuições devidas à incerteza de duas (ou mais) grandezas? Para responder à essas questões é necessário usar a expressão geral de propagação de incertezas

41 Lei de propagação de incertezas: ideias gerais da dedução para função de 1 variável w = w(x) definição do desvio-padrão de w: n σ 1 w = lim n n i=1 w i w 0 Expansão de w em série de Taylor: w i = w(x i ) w x 0 + w x x i x 0 n σ 1 w = lim n n i=1 = w x lim n 1 w x x i x 0 n n i=1 x i x 0 σ w = w x σ x

42 Lei de propagação de incertezas: ideias gerais da dedução para função de variáveis w = w(x, y) w i w x 0, y 0 + w x x i x 0 + w y y i y 0 n σ 1 w = lim n n i=1 = w x + w x lim n w y 1 w x x i x 0 n n i=1 lim n + w y y i y 0 x i x 0 + w y 1 n n i=1 x i y 0 y i y 0 lim n 1 n n i=1 y i y 0 σ w = w x σ x + w y σ y + w x w y cov x, y

43 Lei geral de propagação de incertezas: w = w(x, y, ) σ w = w x σ x + w x w y + w y σ y cov x, y + + Com grandezas (x, y, ) estatisticamente independentes (covariâncias iguais a 0): σ w = w x σ x + w y σ y +

44 Exemplos σ w = w x σ x + w y σ y + w z σ z + Soma e/ou subtração: w = x + y z w x = 1 w y = 1 w z = 1 σ w = σ x + σ y + σz +

45 Exemplos σ w = w x σ x + w y σ y + w z σ z + Relação linear: w = ax + b

46 Exemplos σ w = w x σ x Relação linear: + w y σ y + w z σ z w = ax + b + Constantes exatas (ou com incerteza desprezível) w x = a σ w = aσ x σ w = a σ x

47 De volta ao caso da média de N dados: x m = N i=1 xi x m N x i = 1 N σ xm = N i=1 1 N σ x i = 1N σ x1 + 1N σ x + Como os σ xi são iguais: σ = σ x xm N σ xm = σ x N

48 Exemplos σ w = w x σ x + w y σ y + w z σ z + Produto de grandezas w = axy w x = ay w y = ax σ w = ayσ x + axσ y

49 Exemplos σ w = w x σ x + w y σ y + w z σ z + Produto de grandezas w x = ay w y = ax σ w w = axy w = ayσ x axy + axσ y axy σ w w = σ x x + σ y y Mesmo princípio para a razão entre duas grandezas

50 Exemplos σ w = w x σ x + w y σ y + w z σ z + Volume de um cilindro: V = π 4 φ h V φ = π 4 φh V h = π 4 φ σ V = π 4 φh σ φ + π 4 φ σ h

51 Exemplos σ w = w x σ x + w y σ y + w z σ z + Volume de um cilindro: V = π 4 φ h V φ = π 4 φh V h = π 4 φ σ V V = σ φ φ σ V V = + σ h h π 4 φh σ φ π 4 φ h + π 4 φ σ h π 4 φ h

52 Aplicação da lei geral de propagação de incertezas no planejamento de experimentos (casos de grandezas estatisticamente independentes) w = w(x, y, ) σ w = w x σ x + w y σ y + σ w = σ w x + σw y + Composição da incerteza final devida às diversas fontes é feita pela soma quadrática das contribuições Dominada pelo maior termo Indica a incerteza a ser reduzida

53 Aplicação da lei de propagação de incertezas 1) Determinar a aceleração média de queda considerando só o primeiro dado medido: t =, 66 ± 0, 14 s A incerteza de cada dado é o desvio-padrão amostral (com até Alg. Sig.): 0,14 s Valor:,66 s

54 Aplicação da lei de propagação de incertezas 1) Determinar a aceleração média de queda considerando só o primeiro dado: Incerteza: 0,14 s Valor:,66 s t =, 66 ± 0, 14 s h = 34,0 ± 0,5 m σ a = a h σ h + a t σ t a = a h, t = h t σ a = 0,14 m s + 1,0 m s a = 9,611 m s a = (9, 6 ± 1, 0) m s A maior contribuição para a incerteza de a vem da incerteza de t medir melhor o tempo

55 Aplicação da lei de propagação de incertezas ) Aceleração média de queda considerando todos os 398 dados: t =, 590 ± 0, 007 s

56 Aplicação da lei de propagação de incertezas ) Determinar a aceleração média de queda considerando todos os 398 dados: t =, 590 ± 0, 007 s h = 34,0 ± 0,5 m σ a = a h σ h + a t σ t a = a h, t = h t σ a = 0,15 m s + 0,055 m s a = 10,14 m s a = (10, 14 ± 0, 16) m s Agora, quem mais contribui para a incerteza de a é a incerteza no h medir a altura