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1 ISSN Trabalhos para Discussão Conornando os Pressuposos de Black & Scholes: Aplicação do Modelo de Precificação de Opções de Duan no Mercado Brasileiro Gusavo Silva Araújo, Claudio Henrique da Silveira Barbedo, Anonio Carlos Figueiredo e Eduardo Facó Lemgruber Ouubro/003

2 ISSN CGC / Trabalhos para Discussão Brasília nº 78 ou 003 P. 1-30

3 Trabalhos para Discussão Ediado por: Deparameno de Esudos e Pesquisas (Depep) ( Reprodução permiida somene se a fone for ciada como: Trabalhos para Discussão nº 78. Auorizado por Afonso San Anna Bevilaqua (Direor de Políica Econômica). Conrole Geral de Publicações Banco Cenral do Brasil Secre/Surel/Dimep SBS Quadra 3 Bloco B Ed.-Sede M1 Caixa Posal Brasília DF Telefones: (61) e Fax: (61) As opiniões expressas nese rabalho são exclusivamene do(s) auor(es) e não refleem, necessariamene, a visão do Banco Cenral do Brasil. Ainda que ese arigo represene rabalho preliminar, ciação da fone é requerida mesmo quando reproduzido parcialmene. The views expressed in his work are hose of he auhors and do no necessarily reflec hose of he Banco Cenral or is members. Alhough hese Working Papers ofen represen preliminary work, ciaion of source is required when used or reproduced. Cenral de Informações do Banco Cenral do Brasil Endereço: Secre/Surel/Diae Edifício-Sede º ss SBS Quadra 3 Zona Cenral Brasília DF Telefones: (61) 414 (...) 401, 40, 403, 404, 405, 406 DDG: Fax: (61) Inerne: hp://www.bcb.gov.br

4 Conornando os Pressuposos de Black & Scholes: Aplicação do Modelo de Precificação de Opções de Duan no Mercado Brasileiro Gusavo Silva Araújo Claudio Henrique da Silveira Barbedo * Anonio Carlos Figueiredo ** Eduardo Facó Lemgruber *** Resumo O modelo de precificação de opções de Duan é uma alernaiva ao modelo de Black & Scholes (B&S) que considera a heeroscedasicidade e a não normalidade dos reornos dos aivos. Ese rabalho analisa o desempenho e as caracerísicas desse modelo quando aplicado ao mercado brasileiro, especificamene em opções de compra da Telebrás no período julho de 1995 a junho de 000. Para isso, comparam-se os preços dados pelo modelo com os de mercado e com os do modelo de B&S. Para a consrução do modelo de Duan é selecionado, a cada semesre, um processo enre o GARCH (1,1), EGARCH (1,1) e TARCH (1,1). São empregadas rês esimaivas diferenes de volailidade no modelo: a implícia da equação de B&S, a hisórica, e a GARCH. Os resulados sugerem que as diferenças enre os preços gerados pelo modelo e os de mercado são menores ao precificar opções denro-dodinheiro, quando o modelo uiliza em sua consrução o processo EGARCH (1,1) e quando a volailidade empregada é a implícia de B&S. O modelo super-precifica acenuadamene a maioria das opções quando uiliza, em sua consrução, o GARCH (1,1) e sub-precifica as observações fora e nodinheiro quando o processo EGARCH (1,1) é empregado. As opções denro-do-dinheiro sempre são super-precificadas, independenemene do processo uilizado. Palavras-Chave: Neuralidade Local a Risco, Precificação de Opções, Modelo GARCH, Simulação de Mone Carlo, Opções de Telebrás Classificação JEL: G13 * Deparameno de Esudos e Pesquisas, Banco Cenral do Brasil. s: e ** Professor do IAG/PUC-Rio. *** Professor Coppead/UFRJ. 3

5 1. Inrodução O modelo de precificação de opções mais empregado pelos mercados financeiros é o de Black & Scholes (1973). A consagração dese modelo se deve principalmene à sua facilidade de aplicação e às suas pequenas diferenças em relação aos preços de mercado. Porém, exisem alguns vieses sisemáicos, já amplamene esudados, associados ao modelo de Black & Scholes (B&S), a saber, a sub-precificação de opções fora-do-dinheiro (Black, 1975; Gulekin e al, 198), a sub-precificação de opções de ações com baixa volailidade (Gulekin e al, 198; Whaley, 198) e a sub-precificação de opções com curo empo para vencimeno (Black, 1975; Whaley, 198). Oura evidência já bem documenada é o sorriso da volailidade (volailiy smile/smirk). Ese ermo se refere ao fao de se ober, simulaneamene, volailidades implícias disinas para diferenes opções da mesma ação, o que é consaado com o formao convexo do gráfico da curva de volailidade implícia em relação ao preço de exercício (Rubinsein, 1985; Sheikh, 1991; Derman e Kani, 1994; Duan, 1996). Exise, ainda, o fao de volailidades implícias da mesma ação, colhidas ao mesmo empo de opções com o mesmo preço de exercício, serem diferenes para vencimenos disinos (Black, 1975; Whaley, 198; Heynen e al, 1994). Enre as premissas do modelo de B&S, em-se que os reornos dos aivos-objeo são normalmene disribuídos e que a volailidade dos reornos é consane ao longo do empo. Porém, como já largamene documenado pela lieraura, os reornos das ações possuem propriedades como as caudas largas, assimeria e variância muável ao longo do empo (Black, 1976). No mercado brasileiro, Adler e al. (1999) e Lanari (000) ambém consaam que a premissa de volailidade consane do preço das ações não é verificada. A primeira enaiva bem sucedida de se modelar economericamene essas propriedades foi feia por Engle (198) ao inroduzir os processos ARCH. i Bollerslev (1986) esende o méodo ao desenvolver o processo GARCH. ii, iii Desde o início da década de 90, os eses processos vêm sendo uilizados para examinar preços de opções (Engle e Musafa, 199; Day e Lewis, 199; Noh, Engle e Kane, 1994). Porém, o arcabouço eórico para o modelo de precificação de opções de Duan, ou modelo de precificação de opções GARCH, somene foi desenvolvido por Duan (1995), ao inroduzir o conceio locally risk-neural valuaion relaionship (LRNVR). Assim 4

6 sendo, o modelo de Duan, ao conrário do de B&S, é um modelo de precificação de opções que leva em cona a heeroscedasicidade dos reornos dos aivos e a não normalidade de suas disribuições. O presene rabalho é o primeiro exame aprofundado do modelo de Duan no mercado brasileiro de opções. Procura-se verificar como o modelo se compora no mercado brasileiro, especificamene em opções de compra da Telebrás, ao confronar os preços enconrados ao se empregar o modelo com os de mercado e com os do modelo de B&S. Na consrução do modelo de Duan, foi selecionado, enre os processos GARCH (1,1), TARCH (1,1) e o EGARCH (1,1), o que mais se ajusava a cada semesre esudado. Para ambos modelos, as observações de opções são precificadas uilizando a volailidade hisórica, a volailidade implícia dada pelo modelo de B&S do dia úil imediaamene anerior iv e a volailidade esimada por um processo GARCH. Exisem algumas caracerísicas que são pariculares a esse rabalho em relação a ouros que raam do modelo de Duan: a cada dia úil, os parâmeros do processo GARCH uilizados na consrução do modelo são re-esimados (ou seja, o modelo de Duan é diferene para cada dia úil); uma das volailidades uilizada como parâmero de enrada do modelo é a volailidade implícia obida a parir do mesmo conrao de opção do dia úil anerior; oura volailidade uilizada, a esimada por um processo GARCH, ambém em seus parâmeros re-esimados diariamene; e, além da verificação das diferenças em relação ao mercado em vários períodos diferenes e com relação à proximidade do dinheiro, há ambém a invesigação acerca da sub e super-precificação das opções. O resane dese rabalho esá organizado da seguine forma: na próxima seção são realizadas uma sucina revisão do modelo de Duan e uma breve comparação com o modelo de B&S; na erceira seção é descria a meodologia do rabalho; a quara seção cobre a amosra e os eses empregados; os resulados obidos são apresenados na quina seção; e a sexa e úlima seção apresena as conclusões e sugesões para invesigações adicionais. 5

7 . Revisão Bibliográfica.1 O Modelo de Duan O fundameno eórico do modelo de Duan foi desenvolvido em Duan (1995), quando o auor esende o conceio de neuralidade a risco de Rubinsein (1976) e Brennan (1979). Devido à complexidade dos processos GARCH, uma versão generalizada de neuralidade a risco foi desenvolvida: o conceio Locally Risk-Neural Valuaion Relaionship (LRNVR). No LRNVR, a variância é consane para apenas um período à frene. Assim, diferenemene do modelo de B&S, o modelo de Duan leva em consideração o faor prêmio de risco caracerísico do aivo-objeo. As premissas perinenes ao modelo são as seguines: (a) O preço do aivo-objeo segue o movimeno geomérico browniano; (b) A volailidade dos reornos do aivo-objeo segue um processo GARCH; e (c) Para um período à frene, a volailidade dos reornos do aivo-objeo é consane. Se o preço de um aivo-objeo (S), como por exemplo uma ação, segue o movimeno geomérico browniano, em-se que d ln S = ( µ 0,5σ ) d + ε, onde µ é o reorno logarímico esperado do aivo, σ é a volailidade no insane, e ε é uma variável aleaória que possui uma disribuição normal com média zero e variância σ d. v Enão, como µ, sob condições de log-normalidade, é igual a exp( r + λσ ), onde λ é a unidade de prêmio de risco, e r é o reorno logarímico do aivo livre de risco, ambos para um período, em-se que o preço do aivo objeo para um período segue o seguine processo: S = S exp[ + λ σ 0,5σ + ε ] (1) -1 r É assumido que σ, a variância condicional de ε, segue um processo GARCH, como por exemplo o GARCH (1,1) simérico de Bollerslev (1986). A dinâmica ε é governada pela lei de probabilidade P com respeio a Φ -1, o conjuno de odas as informações aé o período. Assim, ε Φ ~ (0, ), sob a medida P; e 1 N σ σ () = + + ω αε 1 βσ 1 6

8 Pode-se uilizar, nese modelo, quaisquer especificações para a variância, ais como o EGARCH (Nelson, 1991), o TARCH (Glosen e al., 1993) ou o NGARCH (Engle e Ng, 1993) vi, desde que os reornos do aivo sigam o processo especificado. vii No modelo de Duan exise apenas uma fone de aleaoriedade, ε, que faz pare da fórmula do preço do aivo-objeo - equação (1). A volailidade do reorno para um período à frene é conhecida, dado o conjuno de informações Φ. Duan (1995) define uma medida de preço Q absoluamene conínua com respeio a P, e sob a qual um mais o reorno condicional esperado do aivo-objeo é igual a exp(r) ao invés de exp(r + λσ), como era sob a medida P; a variância condicional para um período à frene, conudo, é a mesma para ambas as medidas, uma vez que ela já era conhecida. Porano, como a média condicional de um mais o reorno condicional esperado é independene de qualquer parâmero relaivo à preferência do invesidor, a medida Q é dia saisfazer uma locally risk-neural valuaion relaionship (LRNVR). Porém, a medida Q não saisfaz a neuralidade a risco global uma vez que a variância não é conhecida para odo o período. Se a variância for consane, a LRNVR se reduz ao convencional risk-neural valuaion relaionship. Porano, o LRNVR é uma versão generalizada de neuralidade a risco. Assim sendo, uma medida de preço em equilíbrio Q saisfaz o conceio locally risk-neural valuaion relaionship (LRNVR) se, para qualquer valor do aivo-objeo, S, as seguines condições são saisfeias: Q é muuamene e absoluamene conínua com respeio a P; S 1 + é log-normalmene disribuído sob Q; S S E Q ( + 1 φ ) = exp(r +1 ); e S Var Q S+1 (ln( )φ ) = Var P S+1 (ln( )φ ). S S 7

9 Como a medida Q saisfaz o LRNVR, o prêmio de risco λ não deve esar presene na equação que modela o preço do aivo-objeo. Para isso, subsiui-se a variável aleaória ε nas equações 1 e por ξ λσ. Desa forma, sob a medida de preço Q, em-se que: S = S exp[ 0,5σ + ξ ] (3), -1 r onde ξ Φ 1 ~ N(0, σ ), σ = ω + α( ξ 1 λσ 1) + βσ 1 (4). O modelo de variância condicional obido é o modelo GARCH assimérico nãolinear de Engle e Ng (1993) - NGARCH. Porano, opções de um aivo que segue o radicional GARCH, simérico e linear, podem ser avaliadas como se o aivo seguisse um modelo GARCH assimérico não-linear com a unidade de prêmio de risco, λ, sendo o parâmero de alavancagem. Se λ > 0, o impaco na variância de surpresas negaivas no reorno é maior que o de surpresas posiivas. Esse efeio assimérico na volailidade ambém é denominado na lieraura de efeio alavancagem. É imporane observar que o LRNVR não elimina a unidade de prêmio de risco. Ela afea a inovação na variância condicional sob Q, a qual, por sua vez, afea o preço do aivo-objeo. Como o modelo de Duan não possui um algorimo fechado para o cálculo do preço das opções européias, como o modelo de B&S, ele uiliza a simulação de Mone Carlo, méodo que vem sendo cada vez mais empregado em finanças devido à grande diminuição dos cusos compuacionais. O valor da opção de compra (C ) na daa, com preço de exercício K, é obido ao se desconar, à axa livre de risco, o valor esperado do pagameno final sob a medida Q: C Q = exp(-r(t - ))E [max (S - K, 0) φ ], T onde T é o prazo de vencimeno da opção. O valor da opção de venda européia (P ) na daa pode ser calculado uilizandose a relação de paridade enre as opções de compra e as opções de venda. 8

10 Os parâmeros de GARCH podem ser esimados não só a parir de preços à visa dos aivos-objeo, como ambém a parir dos preços das opções, viii aravés do emprego de écnicas economéricas como a máxima verossimilhança e o princípio dos mínimos quadrados.. Modelo de Duan X Modelo de Black&Scholes Sob a premissa da homoscedasicidade dos reornos de um aivo-objeo, na qual o modelo de B&S se baseia, quando o que governa realmene os processos é a heeroscedasicidade, a neuralidade a risco deve ser global (e não local) a fim de se maner a consisência do modelo. Desa forma, o processo homoscedásico uilizado pelo modelo de Black & Scholes (B&S) é um caso especial do modelo de Duan que pare da premissa que a variância é consane aé o vencimeno da opção. Nese caso, uma medida de variância a ser uilizada na fórmula de B&S, a fim de se comparar os dois modelos, seria a variância esacionária (incondicional) de GARCH sob a medida P, igual a σ = ω /(1 α β ), uma vez que esa medida de volailidade pode ser definida como a variância média de longo prazo. ix, x Essa variância não possui correlação com os reornos passados. A disribuição dos preços do aivo-objeo é log-normal e não depende do caminho da variância, apenas da variância média. No modelo de Duan, a variância dos reornos do aivo-objeo para o período imediaamene poserior é conhecida sob as informações correnes, e, conseqüenemene, a disribuição dos reornos do aivo-objeo é log-normal para um período à frene. Além desse período, as variâncias são esocásicas e dependem de qual processo GARCH foi assumido. Assim sendo, a disribuição da variância condicional de um período fuuro não é log-normal e a disribuição do preço final do aivo-objeo provavelmene não é log-normal, dado o caminho da variância condicional para um período. Se a unidade de prêmio de risco, λ, for pequena e a disribuição condicional do preço final do aivo-objeo puder ser considerada log-normal (i.e., os parâmeros de GARCH α e β forem pequenos), o preço dado pelo modelo de Duan é aproximadamene o preço enconrado pelo modelo de B&S. 9

11 3. Meodologia Os parâmeros necessários ao cálculo do preço de uma opção pelo modelo de Duan são os parâmeros de GARCH e da média condicional, a coação da ação do dia do pregão, xi a axa de juro prefixada da daa do pregão aé a daa do vencimeno da opção, o empo para o vencimeno da opção e a volailidade da ação. Para cada semesre esudado, foi escolhido o processo GARCH mais adequado enre os processos GARCH (1,1), TARCH (1,1) e o EGARCH (1,1). Os dois úlimos ornam possível modelar o efeio alavancagem no cálculo da volailidade. A esimação dos parâmeros de GARCH e da média condicional foi realizada uilizando o programa Eviews 4.0, que emprega o méodo de máxima verossimilhança para resíduos normais. As equações dos processos GARCH são descrias a seguir: GARCH (1,1): σ ω + αε βσ, = onde ω, α e β devem ser maiores que zero e α + β < 1; TARCH (1,1): σ = ω + αε 1 + γd 1ε 1 + βσ 1, onde d = 1 se ε < 0; e ε 1 ε 1 EGARCH (1,1): Ln( σ ) = ω + α + γ + βln( σ 1 ) σ σ 1 1 Para odos os processos acima, a média condicional dos reornos é, com base na equação (1), igual a r 0,5σ + λ σ. A escolha do processo GARCH que melhor se enquadra em cada semesre foi feia com base nos p-valores da esimaiva de cada parâmero e nos criérios Schwarz (1978) e Akaike (1970). xii Além disso, os processos selecionados deveriam ser esacionários. O processo EGARCH (1,1) foi o escolhido em seis dos dez semesres: 95., 96., 98.1,98., 99.1 e 99. e o GARCH (1,1) foi o processo escolhido nos resanes. 10

12 Os parâmeros de GARCH, λ e r foram esimados para cada dia úil sempre com base nos reornos logarímicos de uma janela móvel de um ano. Assim sendo, o modelo de Duan é diferene para cada dia úil. A esimação dia-a-dia ambém foi realizada no programa Eviews 4.0. As axas de juro prefixadas para odos os prazos de vencimenos das opções foram exraídas dos conraos de fuuros de DI-1dia negociados na BM&F. O méodo de inerpolação empregado é o fla forward. xiii A parir da série de preços de fechameno da Telebrás ajusada para dividendos, derivam-se as séries de reornos diários, calculados pela forma logarímica, R = Ln(P /P -1 ), onde R é o reorno relaivo ao dia e P represena a coação de fechameno para o dia. São uilizadas rês esimaivas para o parâmero volailidade: a hisórica, a calculada por processos GARCH e a implícia, de acordo com o modelo de B&S, do dia úil imediaamene anerior da mesma opção que se esá querendo precificar. xiv A volailidade hisórica para cada dia úil é o desvio-padrão amosral da série de 1 reornos imediaamene aneriores a ese dia, xv 0,5 1 ( R ) i R DP his = 1 0. i= O processo GARCH escolhido para o cálculo da volailidade para cada semesre foi o mesmo uilizado no modelo de Duan. Para a obenção da volailidade implícia de B&S, os parâmeros necessários foram obidos direamene de observações no mercado, a saber, o preço de fechameno do aivo-objeo, xvi o empo para o vencimeno da opção, o preço de exercício da opção, a axa de juro prefixada da daa do pregão aé a daa do vencimeno da opção e o preço de mercado da opção. As volailidades implícias foram calculadas por inermédio de processo ieraivo. A volailidade diária implícia equivalene foi calculada dividindo-se a anual pela raiz de 5. O procedimeno de precificação pelo modelo de Duan nese rabalho em como base o mesmo procedimeno adoado por Duan (1995). Desa forma, são uilizadas as equações (3) e (4) e são realizadas simulações de Mone Carlo para a precificação de cada observação de opção. 11

13 Para a precificação pelo modelo de B&S são uilizados os mesmos parâmeros empregados na obenção da volailidade implícia, exceo o preço de mercado. As volailidades uilizadas são as mesmas que são empregadas no modelo de Duan. 4. Amosra e Teses A amosra inicial consise de séries de preços de fechameno de ações xvii e opções de compra das empresas Telebrás coadas na Bolsa de Valores de São Paulo (BOVESPA). xviii Para o cálculo do valor das opções foi uilizado o preço da ação livre de ajuses. Para o cálculo dos reornos, os preços foram ajusados para dividendos. xix Os dados referenes às opções foram coleados por meio de conao com a BOVESPA. Os preços de exercício das observações de opções fornecidos pela Bolsa já esavam ajusados para dividendos. O esudo abrange o período de julho de 1995 a junho de 000, o que oaliza 36 vencimenos de opções. xx A escolha dese período se deve ao fao de ele englobar vários períodos de esabilidade e de crise. Os preços de Telebrás de julho de 1994 a junho de 1995 ambém foram uilizados, uma vez que a janela para a deerminação dos parâmeros da volailidade GARCH é de um ano. A escolha da Telebrás foi realizada em virude das opções de compra das ações desa Empresa possuírem as séries mais líquidas no período esudado. Foram descaradas da amosra inicial as observações de opções que apresenavam dados incorreos e as em que o valor de mercado era menor que a diferença enre o preço da ação e o valor presene do preço de exercício, para se eliminar as possibilidades de arbiragem, de forma a reduzir o problema de assincronismo advindo do uso de preços de fechameno. Para a uilização da volailidade implícia do dia úil imediaamene anerior, deveria haver negociação nese dia. Porano, ambém foram descaradas da amosra as observações em que não houve negociação do mesmo conrao de opção no dia úil imediaamene anerior. Assim sendo, a amosra final coném observações. Se o baixo número de negócios fizesse com que a diferença enre os preços dados pelo modelo e os de mercado fosse significanemene maior, as observações de 1

14 opções com baixa liquidez ambém seriam reiradas da amosra. Similarmene, se diferenças médias das observações com menores empos para vencimeno fossem significanemene maiores, elas seriam reiradas da amosra. Para uma melhor análise dos resulados, a amosra foi dividida em 10 semesres e as observações de opções foram agrupadas de acordo com a razão enre o preço a visa da Telebrás e o valor presene do preço de exercício da opção (proximidade do dinheiro). Dese modo, elas foram classificadas como fora-do-dinheiro, quando esa relação era menor que 0,95, no-dinheiro, quando se siuou enre 0,95 e 1,05 e denro-dodinheiro, quando era maior que 1,05. xxi A Tabela 1 apresena a quanidade de observações de opções em cada semesre, divididas de acordo com a proximidade do dinheiro. A diferença média enre o preço de mercado e o preço dado pelo modelo é dada por SQD / n, onde SQD é soma dos quadrados das diferenças percenuais enre eses preços e n é o número de observações das opções. A diferença percenual em cada observação é dada por (P M - P m )/P m, onde P M é o preço da observação dado pelo modelo e P m é o preço de mercado. Deve-se aenar para o fao de que a diferença percenual que se obém para uma observação de opção sub-precificada pode ser no máximo, em valores absoluos, 100%, enquano para as super-precificadas não há limie. Para opções de baixo valor, as fora-do-dinheiro, esse problema se orna críico. Tabela 1 Quanidade de Observações de Opções em Cada Semesre, Divididas de Acordo com a Proximidade do Dinheiro Semesre Fora-do-dinheiro No-Dinheiro Denro-do-Dinheiro Toal * ** *** * Período em que ocorreu a crise asiáica ** Período em que ocorreu a crise russa. *** Período em que ocorreu a desvalorização cambial brasileira. 13

15 Para verificar se as diferenças percenuais do modelo uilizando cada volailidade são significanemene disinas, foi realizado o ese de diferença enre médias para amosras pareadas. A esaísica do ese é dada por D n S d, onde D é a média das subrações das diferenças percenuais, S d é o desvio padrão amosral dessas subrações e n é o número de observações. 5. Resulados É verificado se o número de negócios de cada observação influencia na diferença enre os preços de mercado e os preços dados pelo modelo de Duan. Para as rês volailidades uilizadas, a região de maiores diferenças se siua geralmene na faixa cenral de número de negociações (enre 30 e 30 negócios). Desa forma, como a menor liquidez não significou maiores diferenças médias para odas as esimaivas de volailidade, não são desprezadas as observações de opções com menores números de negócios. O Gráfico 1 apresena os resulados somene para a volailidade implícia de B&S. xxii 5,00% Gráfico 1 - Relação enre o Nº de Negócios e a Diferença Média Percenual enre os Preços do Modelo de Duan, Uilizando a Volailidade Implícia de B&S, e os de Mercado 0,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% 1998 a a a a a a a a a a a a 4 5 a 9 17 a 0 11 A 13 7 e

16 O Gráfico mosra, para cada volailidade empregada, a relação enre o empo para vencimeno e a diferença média percenual enre os preços de mercado e os dados pelos modelos de Duan. Como as diferenças médias para as observações com menores empos de vencimeno não são significanemene maiores para ambas os modelos, esas observações não foram descaradas. Gráfico - Relação enre o Tempo para Vencimeno e a Diferença Média Percenual enre os Preços do Modelo de Duan e os Preços de Mercado para cada Volailidade Empregada 0,00% 18,00% 16,00% 14,00% 1,00% 10,00% 8,00% 6,00% 4,00%,00% 0,00% 44 a 5 40 a a a a 33 8 a 30 5 a 7 a 4 19 a 1 16 a a a 1 7 a 9 4 a 6 1 a 3 GARCH Hisórica Implícia A Tabela apresena as diferenças médias, para oda a amosra e para a amosra dividida em semesres, para as rês volailidades empregadas para o modelo de Duan. Para oda a amosra, o modelo apresena a menor diferença média para a volailidade implícia de B&S do dia úil anerior, seguido da volailidade hisórica e da volailidade dada por um processo GARCH (pelo ese esses valores são esaisicamene diferenes a um nível de significância de 1%). As rês maiores diferenças médias enre o preço de mercado e o preço dado pelo modelo Duan ocorrem em semesres em que o processo GARCH uilizado na precificação de opções foi o GARCH (1,1) os semesres 96.1, 97. e Os semesres 97. e 99.1, períodos em que ocorreram graves crises (asiáica e desvalorização cambial), são os únicos em que a diferença média do modelo com a volailidade hisórica é maior que a do modelo com as demais volailidades, o que pode ser devido ao fao dese méodo de esimação capar mais lenamene as alerações na volailidade dos reornos. Porém, o mesmo fao não é noado em 98. (semesre em que ocorreu a crise da Rússia). De uma maneira geral, os semesres de crise não 15

17 proporcionam as maiores diferenças médias enre os preços do modelo e os preços de mercado. Tabela - Diferenças Médias enre o Preço de Mercado e o Preço dado pelo Modelo de Duan para Toda a Amosra e por Semesre, Considerando as Volailidades Empregadas Período Hisórica GARCH Implícia de B&S Processo GARCH uilizado no Modelo Toal 5,44% 5,5% 4,57% 95. 1,88%,18% 1,59% EGARCH (1,1) ,9% 13,99% 11,31% GARCH (1,1) 96. 4,14% 5,43% 4,40% EGARCH (1,1) ,86% 3,84% 3,83% GARCH (1,1) 97. 9,68% 5,85% 3,9% GARCH (1,1) ,31% 4,30% 3,33% EGARCH (1,1) 98.,16%,31%,3% EGARCH (1,1) ,33%,63%,38% EGARCH (1,1) 99.,9%,06%,9% EGARCH (1,1) ,9% 14,36% 11,98% GARCH (1,1) A Tabela 3 apresena as diferenças médias enre o preço de mercado e o preço dado pelo modelo de Duan para cada semesre em relação à proximidade do dinheiro, considerando as rês volailidades empregadas. Mais uma vez é níido que as diferenças são maiores para os semesres 96.1, 97. e o O ouro semesre em que o processo GARCH (1,1) é uilizado na consrução do modelo, o 97.1, ambém apresena grandes diferenças, principalmene para as observações fora e no-dinheiro. Pode-se observar que, para odas volailidades uilizadas, as diferenças são sempre menores para as observações de opções denro-do-dinheiro, enquano que são maiores para as fora-do-dinheiro. Para as observações no e denro-do-dinheiro, a volailidade hisórica quase sempre apresena as maiores diferenças médias. Para as observações no-dinheiro, a volailidade implícia de B&S obém as menores diferenças médias em quase odos os semesres. A Tabela 4 é semelhane à Tabela 3, exceo que se raa do modelo B&S. Ao se comparar as duas abelas, há diferenças menores do Modelo Duan, em relação ao preço de mercado, apenas em alguns semesres, para as volailidades Hisórica e calculada por um processo GARCH e para observações forado-dinheiro. xxiii 16

18 Tabela 3 - Diferenças Médias enre o Preço de Mercado e o Preço dado pelo Modelo de Duan por Semesre, Considerando as Volailidades Empregadas e em Relação à Proximidade do Dinheiro Fora-do-Dinheiro No-Dinheiro Denro-do-Dinheiro Período Implícia Implícia Implícia Hisórica GARCH Hisórica GARCH Hisórica GARCH de B&S de B&S de B&S 95. 4,06% 4,8% 3,3%,46%,58% 1,93% 1,9% 1,18% 1,7% ,60% 39,34% 31,% 17,00% 14,16% 11,74% 13,59% 4,73% 6,4% 96. 7,36% 10,89% 8,71% 5,81% 7,03% 5,90% 6,59% 3,3% 3,18% ,43% 13,8% 13,63% 7,37% 7,15% 6,89% 5,73%,90%,87% ,14% 10,49% 6,75% 7,10% 6,4% 5,97% 9,80% 3,13% 3,07% ,4% 8,5% 6,46% 8,70% 6,50% 5,50% 3,39%,11%,04% 98.,97% 3,87% 3,90% 5,89% 3,4% 3,1% 3,57% 1,59% 1,54% ,9% 4,71% 4,50% 6,5% 5,35% 4,31% 3,88%,90%,5% 99. 4,13% 3,96% 4,61% 4,85% 3,77% 3,46%,39%,04%,6% ,49% 3,77% 19,55% 7,39% 7,0% 9,16% 7,64% 5,3% 8,44% Tabela 4 - Diferenças Médias enre o Preço de Mercado e o Preço dado pelo Modelo de B&S por Semesre, Considerando as Volailidades Empregadas e em Relação à Proximidade do Dinheiro Fora-do-Dinheiro No-Dinheiro Denro-do-Dinheiro Período Implícia Implícia Implícia Hisórica GARCH Hisórica GARCH Hisórica GARCH de B&S de B&S de B&S ,0% 14,0% 3,6% 4,88%,58% 1,17% 1,38% 1,18% 0,45% ,90% 8,69%,16% 3,0% 14,16% 0,91% 0,69% 4,73% 0,30% 96. 3,71% 3,61% 1,48% 1,8% 7,03% 0,65% 0,4% 3,3% 0,34% 97.1,59%,60%,08% 1,8% 7,15% 0,90% 0,30%,90% 0,5% ,01% 14,95% 1,93% 3,13% 6,4% 1,19% 0,7% 3,13% 0,63% ,37% 37,94%,59% 4,03% 6,50% 1,07% 1,10%,11% 0,78% ,60% 19,60%,10%,61% 3,4% 1,8% 0,86% 1,59% 0,73% ,64% 4,64% 1,96%,35% 5,35% 1,03% 0,63%,90% 0,55% 99. 3,13% 3,1% 1,79% 1,79% 3,77% 0,80% 0,47%,04% 0,34% ,0% 3,0%,98% 1,74% 7,0% 1,3% 0,80% 5,3% 0,86% A Tabela 5 mosra as proporções de sub e super-precificação, em relação ao preço de mercado, do modelo de Duan, uilizando as rês volailidades empregadas, para oda a amosra. Os resulados são similares para qualquer volailidade uilizada: o modelo de Duan obém um preço maior que o preço de mercado em aproximadamene 60% das observações de opções. Tabela 5 Percenuais de Sub-precificação e Super-precificação do Modelo Duan para Toda a Amosra para cada Volailidade Empregada Volailidade Implícia da Volailidade Hisórica Fórmula de B&S do Dia Úil Anerior Volailidade Calculada por um Processo GARCH Subprecificação Superprecificação Subprecificaçãprecificaçãprecificaçãprecificação Super- Sub- Super- 39,05% 60,95% 39,57% 60,43% 39,88% 60,1% 17

19 Ao se comparar o desempenho do modelo de Duan com o de B&S (Tabela 6), observa-se que os resulados desse úlimo modelo são mais próximos de 50%, apesar de, apresenar ambém, para qualquer volailidade, um maior número de observações super-precificadas em relação ao preço de mercado. Tabela 6 Percenuais de Sub-precificação e Super-precificação do Modelo de B&S para Toda a Amosra para cada Volailidade Empregada Volailidade Implícia da Volailidade Hisórica Fórmula de B&S do Dia Úil Anerior Volailidade Calculada por um Processo GARCH Subprecificação Superprecificação Tabela 7 - Percenuais de Sub-precificação e Super-precificação do Modelo Duan para cada Semesre, para a Volailidade Implícia da Fórmula de B&S do Dia Úil Anerior, e em Relação à Proximidade do Dinheiro Período Fora-do-Dinheiro No-Dinheiro Denro-do-Dinheiro Subprecificação Superprecificação Subprecificação Superprecificação Subprecificação Superprecificação ,7% 8,8% 68,59% 31,41% 3,6% 67,74% ,04% 89,96% 15,49% 84,51% 49,4% 50,58% 96. 8,98% 91,0% 3,74% 96,6% 37,50% 6,50% 97.1,36% 97,64% 0,8% 99,18% 41,51% 58,49% ,9% 66,71% 13,83% 86,17% 38,39% 61,61% ,10% 37,90%,% 77,78% 36,33% 63,67% ,55% 1,45% 85,61% 14,39% 36,79% 63,1% ,11% 0,89% 94,38% 5,6% 4,68% 57,3% ,69% 1,31% 75,89% 4,11% 34,74% 65,6% ,36% 83,64% 5,41% 94,59% 37,67% 6,33% Subprecificaçãprecificaçãprecificaçãprecificação Super- Sub- Super- 46,40% 53,60% 46,51% 53,49% 48,86% 51,14% A Tabela 7 é semelhane às Tabelas 5 e 6, exceo que a amosra esá dividida de acordo com a proximidade do dinheiro e por semesre, e que o modelo de Duan somene é apresenado com a volailidade implícia da fórmula de B&S do dia úil anerior. Essa volailidade foi escolhida por er apresenado as menores diferenças dos preços dados pelo modelo em relação aos de mercado. Pode-se verificar que nos semesres em que o GARCH (1,1) é empregado (96.1, 97.1, 97. e 00.1) há uma acenuada super-precificação das observações de opções. Essa super-precificação é maior para as fora-do-dinheiro e menor para as denro-do-dinheiro. Nos ouros semesres, exceuando-se o 96., há uma acenuada sub-precificação das observações de opções fora e no-dinheiro (nas observações no-dinheiro, o semesre

20 ambém foge a regra). Em odos os semesres, há super-precificação, em relação ao preço de mercado, das opções denro-do-dinheiro. 6. Conclusões e Considerações Finais Ese rabalho esuda o comporameno do modelo de precificação GARCH (modelo de Duan) ao precificar opções da Telebrás. Para a consrução do modelo, é selecionado o processo que mais se adequa a cada semesre enre o GARCH (1,1), EGARCH (1,1) e TARCH (1,1). Três volailidades diferenes são uilizadas como parâmero de enrada do modelo: a hisórica, a calculada por um processo GARCH e a volailidade implícia da equação de B&S do dia úil imediaamene anerior. Para desenvolver a invesigação, a amosra foi dividida em semesres e quano à proximidade do dinheiro. Foi esudado ambém a super ou sub-precificação das opções pelo modelo de Duan em relação ao preço de mercado. O modelo ainda é comparado ao de B&S quano às diferenças em relação aos preços de mercado. Nos semesres em que o modelo de Duan uiliza em sua elaboração o GARCH (1,1), as diferenças médias enre o preço de mercado e o preço dado pelo modelo foram maiores, o que indica que o processo EGARCH (1,1) se encaixa melhor nese modelo de precificação ao lidar com opções da Telebrás no período esudado. O processo TARCH (1,1) não foi selecionado em nenhum semesre. As crises agudas, de uma forma geral, não levaram a maiores diferenças médias enre os preços do modelo e os preços de mercado. Para oda a amosra, as diferenças médias enre o preço de mercado e o preço dado pelo modelo de Duan são menores quando ese uiliza a volailidade implícia do modelo de B&S do dia úil imediaamene anerior. Ese fao se configura em uma disorção, uma vez que como o modelo de Duan uiliza o conceio de heeroscedasicidade dos reornos, a volailidade calculada por um processo GARCH deveria apresenar diferenças menores que a implícia do modelo de B&S (o qual pressupõe volailidade consane aé o vencimeno da opção). Em relação à proximidade do dinheiro, as diferenças médias enre o preço de mercado e o preço dado pelo modelo de Duan são menores para as observações denrodo-dinheiro, seguidas das no-dinheiro. 19

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