A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO CAMPO ADITIVO NO TERCEIRO ANO DO CICLO

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1 A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO CAMPO ADITIVO NO TERCEIRO ANO DO CICLO Claudia Gomes Araujo Gabriela Barbosa Faculdade de Educação da Baixada Fluminense FEBF/UERJ Programa de Pós-Graduação em Educação, Cultura e Comunicação Eixo: Pesquisa e Práticas Educacionais Categoria: Pôster RESUMO: Neste trabalho apresentamos os resultados parciais da pesquisa intervencionista que está sendo realizado junto aos alunos do 3º ano do ciclo em uma escola pública do município de Duque de Caxias, Rio de Janeiro. Fundamentadas na Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud, criamos e analisamos uma intervenção de ensino constituída por jogos visando compreender os procedimentos empregados pelos alunos na resolução de problemas aditivos e colaborando para que os mesmos avancem nesse conhecimento. A intervenção foi precedida por um teste diagnóstico em que foi constatada a necessidade de atividades que integrem a construção do conceito de número e dos principais conceitos pertencentes ao campo aditivo. Entre os resultados obtidos até o momento, destacamos que na medida em que os alunos compreendem as propriedades do sistema de numeração decimal e as empregam efetuando cálculos mentais ocorrem também avanços nos processos de resolução de problemas aditivos. Palavras-chave: Teoria dos Campos Conceituais; Problemas Aditivos; Cálculo mental; Sistema de Numeração Decimal. A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO CAMPO ADITIVO NO TERCEIRO ANO DO CICLO Atuando nos últimos anos, como professora e formadora no ensino da matemática, na Rede Municipal de Duque de Caxias em contato professoras e alunos, professoras relatam que os alunos chegam ao terceiro ano do ciclo ainda sem saber ler e escrever e que sua maior preocupação é alfabetizar seus alunos no que diz respeito à Língua Portuguesa. Acreditam que eles só serão capazes de resolver problemas quando já tiverem se apropriado da leitura e da escrita, deixando, por assim dizer, o trabalho de matemática de lado. A escola tem um grande desafio pela frente: trabalhar desde cedo os conhecimentos matemáticos para que no terceiro ano se possam realmente aprofundar os conteúdos em relação ao trabalho com problemas aditivos.

2 Buscamos em nossa pesquisa investigar: Como se caracterizam os processos desenvolvidos pelos alunos do terceiro do ciclo na resolução de problemas do campo aditivo? As intervenções através dos jogos contribuem como ferramentas para a aprendizagem do cálculo mental e, por conseguinte, para resolução das Estruturas Aditivas? Fundamentação teórica: Este trabalho teve como objetivo desenvolver, analisar e avaliar uma proposta de ensino centrada nos problemas de estrutura aditiva (EA) associada aos Campos Conceituais (CC). Para desenvolver este projeto, buscamos apoio importante na Teoria dos Campos Conceituais (TCC). Ela foi desenvolvida na década de 70 pelo psicólogo francês Gérard Vergnaud e tem uma forte herança da teoria de Piaget. Essa teoria trata da conceitualização no campo da Didática das Ciências. Segundo Vergnaud (1986, p.84), Um campo conceitual pode ser definido como um conjunto de situações cujo domínio requer uma variedade de conceitos, procedimentos e representações simbólicas em estreita conexão. Um Campo Conceitual é, ao mesmo tempo, um conjunto de situações e um conjunto de conceitos. A aquisição do sentido ou significados de um conceito ou conhecimento é realizada a partir da confrontação das situações-problema. As crianças constroem um campo conceitual através de experiências vividas na escola ou no seu meio social, por meio de interações com objetos e sujeitos. A aprendizagem acontece com ou sem a interferência da escola. Como afirma Santana (2010, p.29)...a aprendizagem é um fator que atua na construção do conhecimento da criança. Por exemplo, no âmbito escolar, muitas vezes ela depende diretamente da atuação do professor (suas escolhas, planejamento e desenvolvimento de experimentos didáticos). No âmbito social, depende de fatores alheios à vontade ou interferência do professor ou da escola, dentre eles: a alimentação, a estrutura familiar, o apoio da família. A TCC não é somente uma teoria de ensino de conceitos explícitos e formalizados. Trata-se de uma teoria psicológica do processo de conceitualização do real, que permite localizar e estudar continuidades e rupturas entre conhecimentos do ponto de vista de seu conteúdo conceitual, Vergnaud (1990, p. 133). Segundo Vergnaud (1986), a Terna de sustentação de um conceito se apresenta em três conjuntos: S As situações que tornam os conceitos significativos. (combinação de tarefas)

3 I - Os invariantes (objetos, propriedades e os conhecimentos contidos nos esquemas.) R - As representações simbólicas que podem ser usadas para pontuar e representar esses invariantes e, portanto, representar as situações e os procedimentos. Para que os estudantes se apropriem de um determinado conceito faz-se necessária a apropriação dessa terna. E é por meio das situações a resolver que um conceito adquire significado para a criança. Neste particular Barbosa, (2008, p.45) registrou que: Na verdade, estabelece-se uma relação dialética entre as características específicas do conceito e tais situações e problemas. Afinal, também, podemos afirmar que são justamente as características específicas do conceito a ser construído que irão orientar o trabalho do professor na escolha de situações a serem enfrentadas pela criança. As aprendizagens matemáticas se baseiam nas relações estabelecidas pelos problemas e não em que operação aplicar ao problema proposto. O Campo Conceitual abrange os problemas de estrutura multiplicativa e aditiva. Em nossa pesquisa, analisamos os procedimentos utilizados para resolver problemas aditivos. Vergnaud (2009, p. 197) compreende: Por problemas de tipo aditivo, estamos entendendo todos aqueles cuja solução exige tão somente adições ou subtrações, do mesmo modo pelo qual entendemos por estruturas aditivas as estruturas em que as relações em jogo são formadas exclusivamente por adições ou subtrações. Na escola, muitas vezes, a adição e a subtração são entendidas apenas como operações opostas: ganhar e juntar corresponde à adição; já perder e tirar, à subtração. Os processos de adição e subtração apresentam diversas situações que dão sentido aos conceitos bem como os invariantes e as representações. Vergnaud (2009, p. 200) apresenta seis categorias no Campo Aditivo: Primeira Categoria: Duas medidas se compõem para resultar em uma terceira Segunda Categoria: Uma transformação opera sobre uma medida para resultar em outra medida. Terceira Categoria: Uma relação liga duas medidas. Quarta Categoria: Duas transformações se compõem para resultar em uma transformação.

4 Quinta Categoria: Uma transformação opera sobre um estado relativo (uma relação) para resultar em um estado relativo. Sexta Categoria: Dois estados relativos (relações) se compõem para resultar em um estado relativo. A partir das categorias que Vergnaud estabeleceu, Magina (1997) propôs outra organização: protótipos e mais quatro extensões: 1ª, 2ª, 3ª. e 4ª, cuja ordem é tomada segundo a apropriação que as crianças fazem dos problemas do campo aditivo. Quanto mais complexo o problema, maior o grau de sofisticação de suas estruturas. Seguem os exemplos: Protótipos- São problemas em cuja resolução a maioria das crianças bem novas (5 ou 6 anos) não apresenta dificuldade. Já está relacionada com suas primeiras experiências com a no campo aditivo (juntar, ganhar, perder, dar). São os problemas simples em busca do todo a partir do valor de suas partes (composição), ou em que são dados os estado inicial, uma transformação, e pede-se o estado final (transformação). Seguem exemplos de problemas protótipos. Na gaveta de Antônio tem 6 balas de chocolate e 4 de morango. Quantas balas há na gaveta? (Em busca do todo através da adição) Carol tinha 12 adesivos comprou 4 adesivos. Com quantos adesivos Carol ficou? (Em busca do estado final através da adição) Carol tinha 12 adesivos. Perdeu 4 adesivos na escola. Com quantos adesivos ficou? (Em busca do estado final através da subtração) 1ª extensão Trata dos problemas de transformação, com a transformação desconhecida e composição, com uma das partes desconhecidas. Carol tinha 8 adesivos deu alguns e ficou com 4 adesivos. Quantos adesivos ela deu? (Em busca do valor da transformação, onde o estado inicial é maior que o estado final). Carol tinha 4 adesivos comprou alguns e ficou com 8 adesivos. Quantos adesivos ela comprou? ((Em busca do valor da transformação, onde estado inicial é menor que o estado final)

5 Na gaveta de Antônio tem 12 balas de chocolate e morango. 8 balas são de morango. Quantas são as balas são de chocolate? (Em busca do valor de uma das partes) 2ª extensão São os problemas de comparação, cujas situações são estabelecidas na relação entre uma terna: o referente, o referido e a relação. Nessa extensão é explorada a busca pelo valor do referido. Vicente tem 5 anos. Tais tem 7 anos a mais que ele. Quantos anos tem Tais? (em busca do valor do referido através de uma adição) Taís tem 7 anos e Vicente 5 anos a menos que ela. Quantos anos tem Vicente? (em busca do valor do referido através de uma subtração) 3ª extensão Envolve também problemas de comparação, onde referente e o referido são conhecidos. O que se busca é o valor da relação. Taís tem 7 anos e Vicente tem 5 anos. Quem tem mais anos? Quantos a mais? (em busca do valor da relação através de uma adição) Taís tem 7 anos e Vicente tem 5 anos. Quem tem menos anos? Quantos a menos? (em busca do valor da relação através de uma subtração) 4ª extensão Apresentam-se os problemas que envolvem transformação, em que se desconhece o valor do estado inicial e de comparação, em que se desconhece o valor do referente. Francisca tem alguns chaveiros em sua coleção e ganhou 7 chaveiros de sua filha, ficando com 18. Quantos chaveiros Francisca tinha antes? (Problema de transformação em busca do valor do estado inicial, através de uma subtração) Francisca tem alguns chaveiros em sua coleção deu 7 chaveiros para sua filha, ficando com 18. Quantos chaveiros Francisca tinha antes? (Problema de transformação em busca do valor do estado inicial, através de uma adição) Pedro tem algumas balas e João tem 9 balas a mais que Pedro. Sabendo que João tem 17 balas, quantas balas tem Pedro? (Problema de comparação em busca do valor do referente a partir dos valores do referido e da relação, através de uma subtração.)

6 Pedro tem algumas balas e João tem 9 balas a menos que Pedro. Sabendo que João tem 17 balas, quantas balas tem Pedro? (Problema de comparação em busca do valor do referente a partir dos valores do referido e da relação, através de uma adição.) Para cada um dos tipos de problemas, a escolha sobre a operação a ser usada depende do que é pedido no enunciado. A incógnita pode estar em qualquer parte do enunciado. Não precisamos dar importância ao uso de palavras-chave. As crianças devem analisar os dados do problema para decidir o melhor procedimento a ser usado. Com várias possibilidades de chegar ao valor final, o aluno tem mais autonomia e criatividade. Para resolver os problemas, eles analisam os dados e usam procedimentos próprios. O professor propõe discussões em grupo, o aluno aprende a argumentar para justificar o resultado obtido e mostrando que procedimentos foram utilizados. O percurso do raciocínio é valorizado, seja ele feito por meio de procedimentos próprios ou de algoritmos. Vergnaud (2011, p. 16) afirma que a aquisição das Estruturas Aditivas é um processo que demanda tempo. Longo prazo refere-se inevitavelmente a uma perspectiva de desenvolvimento: não é em alguns dias ou em algumas semanas que uma criança adquire uma competência nova ou compreende um conceito novo, mas, sim, ao longo de vários anos de escola e de experiência. É a esse processo que a teoria dos campos conceituais se refere. Entre as primeiras competências adquiridas pelas crianças de quatro ou cinco anos relativas ao espaço e aos raciocínios sobre grandezas, por exemplo, e as competências que ainda trazem dificuldades à parte dos adolescentes de quinze anos, observam-se numerosas etapas e processos, filiações e rupturas. Optamos por trabalhar com os problemas tipo protótipo e os de 1ª e 2ª extensão, porque que são categorias que os alunos podem levar um tempo mais curto para se apropriar, enquanto que as de 3ª e 4ª extensão exigem mais complexidade e podem ser trabalhadas no 4º e 5º ano. Metodologia A trajetória de nossa pesquisa ajudou-nos a compreender que adotar a pesquisaação como concepção metodológica seria a melhor forma de compreender a realidade, agir sobre ela e envolver ativamente os alunos, pois segundo Thiollent (1994), é um processo que se modifica continuamente pela ação e reflexão da prática do pesquisador. Primeiramente diagnosticamos o problema que pretendemos melhorar, formulamos as estratégias de ação, desenvolvemos essas estratégias, avaliamos sua eficiência, ampliamos a compreensão da nova situação e, por fim, traçamos os mesmos passos para a nova situação prática. A pesquisa-ação tem se constituído um procedimento voltado para a

7 resolução de problemas práticos, tornando o pesquisador um participante que intervém nos rumos da ação de acordo com o decorrer da pesquisa, ajustando, avaliando modificando os procedimentos se necessário. Os dados apresentados neste trabalho foram suscitados a partir de um pré-teste em que participaram 15 alunos do terceiro ano do ciclo, organizados em dois momentos distintos. No primeiro momento os alunos resolveram 8 problemas do campo aditivo do tipo protótipos, 1ª e 2ª extensão (Magina, 2001) com números de ordem de grandeza menor e num segundo momento resolveram problemas do mesmo tipo com números de ordem de grandeza das dezenas. A tabela abaixo mostra o percentual de acertos em cada tipo de problema. Tabela 1- Desempenho dos alunos de acordo de com o tipo de problema Tipo de situação-problema % de acertos Números < % de acertos Números > Protótipo composição (Todo desconhecido) 93% 40% Protótipo transformação ( adição/estado final desconhecido) 93% 47% Protótipo transformação (subtração/ estado final desconhecido 93% 60% Composição ( uma das partes desconhecida) 1ªextensão 87% 27% Transformação desconhecida (adição F>I) 1ª extensão 80% 20% Transformação desconhecida (subtração F<I) 1ª extensão 87% 40% Comparação (adição) Referido desconhecido 2ª extensão 80% 27% Comparação (subtração) Referido desconhecido 2ª extensão 60% 20% Após a aplicação do pré-teste, foi possível verificar que o maior número de acertos está nas situações-problema com números de ordem de grandeza menor, mas quando a ordem de grandeza destes aumentou, o número de acertos diminuiu consideravelmente. Analisando melhor essa questão, foi constatado que os alunos ainda não compreendiam o Sistema de Numeração Decimal e suas propriedades, principalmente o valor posicional dos algarismos, o que dificultava a resolução de problemas na hora de utilizar procedimentos próprios (cálculo mental) ou fazer algoritmos. Percebeu-se que seria necessário um trabalho que desenvolvesse essas habilidades de cálculo, para que fosse possível começar um trabalho com resolução de problemas. Além das dificuldades envolvidas no ensino das Estruturas Aditivas, não foi possível realizar as intervenções com toda a turma, como era nossa primeira intenção, devido ao grande número de falta dos alunos e da estrutura da escola. Selecionamos então, um grupo de quatro alunos que desde então participa de encontros sob nossa intervenção.

8 Nesses encontros buscamos utilizar estratégias que levassem os alunos a autonomia para resolução de problemas, preparando-os para um espaço de diálogo e interação. Facilitando assim a aprendizagem, e permitindo que construíssem seu conhecimento com participação ativa e a cooperação de todos os envolvidos, oferecendo oportunidades para discussão, reflexão e o encorajamento para arriscar e descobrir em grupo. Com esse objetivo, utilizamos o jogo como uma atividade de intervenção na qual os alunos pudessem interagir com as situações vivenciadas, gerando representações simbólicas que os auxiliassem na compreensão das estruturas aditivas. Acreditamos que a dificuldade de compreensão de problemas aditivos tem um forte componente representacional e, por isso, ensinar o aluno a representar problemas aditivos em contextos que lhes são familiares como um jogo pode auxiliá-los na compreensão dos mesmos. Nossa opção pelo trabalho com jogos se dá por seu grande potencial didático, que extrapola o âmbito do conteúdo Matemático propriamente dito, conforme apontado por Macedo (2000, p. 23) [...]a discussão desencadeada a partir de uma situação de jogo, mediada por um profissional, vai além da experiência e possibilita a transposição das aquisições para outros contextos. Isto significa considerar que as atitudes adquiridas no contexto de jogo tendem a tornar-se propriedade do aluno, podendo ser generalizadas para outros âmbitos[...] Esta pesquisa utilizou o jogo Rouba Monte Starepravo (2006) como recurso didático, que provou ser um jogo bastante atrativo para crianças de nove anos e está oportunizando a criação de várias situações-problema. Em nossa versão do jogo, utilizamos baralhos com cartas de Às a 10, retirando as cartas figuradas e mantendo o Às com valor de 1 e confeccionamos também cartas de 11 a 99. No jogo o número de participantes é de quatro alunos. Na mesa ficam dois montes de cartas e cada jogador retira uma carta de cada monte e coloca-as à sua frente com as faces numeradas para baixo. Dando início ao jogo, cada um vira suas cartas e soma ou subtrai os valores (conforme o combinado). Aquele que obtiver o valor mais alto fica com as todas as cartas. Em caso de empate, cada jogador abre mais duas cartas e quem tiver a maior resultado da soma ou subtração na rodada fica com as cartas. Vence aquele que no final do jogo, tiver ganhado mais cartas. O objetivo é que os estudantes desenvolvessem estratégias de cálculos de adições e subtrações, podendo utilizar os dedos para a contagem, decompor os números em diferentes parcelas ou outros procedimentos. Primeiramente, utilizamos as cartas de Às a 10 e, posteriormente, introduzimos as cartas de valor maior (11 a 99) para que se apropriassem gradativamente do cálculo mental, memorizando as somas mais simples para aumentar seu

9 repertório de cálculos simples que servem como base para fazer o cálculo pensado ou refletido. O cálculo mental tem papel importante na construção dos conhecimentos matemáticos. E como Parra (1996, p. 189) afirma: Os procedimentos de cálculo mental se apoiam nas propriedades do sistema de numeração decimal e nas propriedades das operações, e colocam em ação diferentes tipos de escrita numérica, assim como diferentes relações entre os números. Através do jogo, como situação-problema sugerimos que os alunos tentassem resolver as situações e registrassem seus procedimentos. No decorrer do jogo fazíamos intervenções para que as crianças refletissem sobre seus procedimentos de cálculo e sobre as propriedades dos números envolvidos no jogo.. Resultados Parciais Parra (1996, p. 195) afirma que as aprendizagens no terreno do cálculo mental influem na capacidade de resolver problemas. Nossa pesquisa tem demonstrado que o jogo Rouba Monte é recurso valioso para o avanço dos alunos nesse terreno. Durante o jogo os alunos se depararam com várias situações-problema. Nos primeiros encontros, os estudantes calculavam o valor da soma ou da subtração contando os dedos. E agora já se apropriam do cálculo mental para resolver os problemas. Sob nossa intervenção as crianças socializam seus procedimentos e ajudam seus parceiros a avançar no conhecimento da adição e da subtração. Após o jogo, realizam problemas aditivos em outro contexto e discutem seus procedimentos com o grupo. Concordamos com Vergnaud (2011, p.26) quando afirma que: O professor é um mediador essencial, evidentemente, mas seu papel não se limita a acompanhar a atividade dos alunos, tutelando-os: a presente contribuição tenta mostrar que, na profissionalização do professor, são essenciais as duas funções, a da escolha das situações a serem propostas aos alunos, e a da representação de sua estrutura conceitual por meio de formas simbólicas acessíveis. Para que o professor possa ser um mediador eficaz assegurando que seus alunos realmente aprendam a resolver problemas de diversas extensões, seja utilizando procedimentos próprios, é necessário que ele se aproprie desse conhecimento. Estamos constatando que o conhecimento docente em relação aos Campos Conceituais e ao cálculo mental é adstrito e há um longo caminho a ser percorrido, pois a aquisição desses conhecimentos demanda tempo e investimento por parte dos professores.

10 É responsabilidade da escola, criar espaços de auto-formação, onde os professores estudem e troquem experiências com seus pares, instrumentalizando-os a fazer um trabalho consistente na matemática. No cotidiano escolar percebemos que há um divórcio entre os alunos e a matemática, o que nos parece sugerir que a escola não está cumprindo seu papel de promover uma aprendizagem verdadeira nessa área de conhecimento. Acreditamos que a Matemática, além de beneficiar no indivíduo a capacidade de resolver problemas da vida cotidiana, contribui com a construção de conhecimento em outras áreas. Referências BARBOSA, G. O Teorema Fundamental da Aritmética: Jogos e problemas com alunos do sexto ano do Ensino Fundamental f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) Faculdade de Educação, Pontifícia Universidade Católica São Paulo, São Paulo. MACEDO, L. Aprender com jogos e situações-problema. Porto Alegre: Artmed, MAGINA, S.; CAMPOS,T; NUNES,T., GITIRANA,V. Repensando Adição e Subtração: Contribuições da Teoria dos Campos Conceituais, Ed. PROEM Ltda, São Paulo, 2001 PARRA, C. Cálculo Mental na escola primária. In: PARRA, Cecilia. Didática da Matemática. Porto Alegre: Artmed, 1996, p. 186 a 226. SANTANA, E. Estruturas Aditivas - O suporte didático influencia a aprendizagem do estudante f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) Faculdade de Educação, Pontifícia Universidade Católica São Paulo, São Paulo. STAREPRAVO, A. Jogos para ensinar e aprender matemática. Curitiba: Coração Brasil, THIOLLENT, M. Metodologia da pesquisa-ação. São Paulo: Cortez, VERGNAUD, G. Psicologia do desenvolvimento cognitivo e didática das matemáticas. Um exemplo: as estruturas multiplicativas. Análise Psicológica, 1, 1986, p La théorie de champs conceptuels. Recherches en Didactique de Mathématiques, 1990, vol 10, n 2.3, pp Pensée Sauvage: Grenoble, França. A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino da matemática na escola elementar. Curitiba: Ed UFRP, O longo e o curto prazo na aprendizagem da matemática - Educar em Revista, Curitiba, Brasil, n. Especial, jan Disponível em: < > Acesso em: 25 de março de 2014.

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