Dinâmica do Movimento Circular

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1 Dinâmica do Movimento Circular 1. (Unesp 2014) Em um show de patinação no gelo, duas garotas de massas iguais giram em movimento circular uniforme em torno de uma haste vertical fixa, perpendicular ao plano horizontal. Duas fitas, F 1 e F 2, inextensíveis, de massas desprezíveis e mantidas na horizontal, ligam uma garota à outra, e uma delas à haste. Enquanto as garotas patinam, as fitas, a haste e os centros de massa das garotas mantêm-se num mesmo plano perpendicular ao piso plano e horizontal Note e adote: 7 1ano 3,14 10 s. O módulo da força gravitacional F entre dois corpos de massas M 1 e M 2, sendo r a distância entre eles, é dado por F = G M 1 M 2 /r 2. Considere as órbitas circulares. 3. (Fuvest 2014) Duas pequenas esferas, cada uma com massa de 0,2 kg, estão presas nas extremidades de uma haste rígida, de 10 cm de comprimento, cujo ponto médio está fixo no eixo de um motor que fornece 4 W de potência mecânica. A figura abaixo ilustra o sistema. Considerando as informações indicadas na figura, que o módulo da força de tração na fita F 1 é igual a 120 N e desprezando o atrito e a resistência do ar, é correto afirmar que o módulo da força de tração, em newtons, na fita F 2 é igual a a) 120. b) 240. c) 60. d) 210. e) (Fuvest 2014) Há um ponto no segmento de reta unindo o Sol à Terra, denominado Ponto de Lagrange L1. Um satélite artificial colocado nesse ponto, em órbita ao redor do Sol, permanecerá sempre na mesma posição relativa entre o Sol e a Terra. No instante t = 0, o motor é ligado e o sistema, inicialmente em repouso, passa a girar em torno do eixo. Determine a) a energia cinética total E das esferas em t = 5 s; b) a velocidade angular ω de cada esfera em t = 5 s; c) a intensidade F da força entre cada esfera e a haste, em t = 5 s; d) a aceleração angular média α de cada esfera, entre t = 0 e t = 5 s. Note e adote: As massas da haste e do eixo do motor devem ser ignoradas. Não atuam forças dissipativas no sistema. Nessa situação, ilustrada na figura acima, a velocidade angular orbital ω A do satélite em torno do Sol será igual à da Terra, ω T. Para essa condição, determine 4. (Epcar (Afa) 2013) Em um local onde a aceleração da gravidade vale g, uma partícula move-se sem atrito sobre uma pista circular que, por sua vez, possui uma inclinação θ. Essa partícula está presa a um poste central, por meio de um fio ideal de comprimento l que, através de uma articulação, pode girar livremente em torno do poste. O fio é mantido paralelo à superfície da pista, conforme figura abaixo. a) ωt em função da constante gravitacional G, da massa M S do Sol e da distância R entre a Terra e o Sol; b) o valor de ω A em rad/s; c) a expressão do módulo F r da força gravitacional resultante que age sobre o satélite, em função de G, M S,M T, m, R e d, sendo M T e m, respectivamente, as massas da Terra e do satélite e d a distância entre a Terra e o satélite. Ao girar com uma determinada velocidade constante, a partícula fica flutuando sobre a superfície inclinada da pista, ou seja, a partícula fica na iminência de perder o contato com a pista e, além disso, descreve uma trajetória circular com centro em C, também indicado na figura. Página 1

2 Nessas condições, a velocidade linear da partícula deve ser igual a a) 3 g l 2 b) ( gl ) c) 3gl d) 4 2 ( gl ) 5. (Unesp 2013) A figura representa, de forma simplificada, o autódromo de Tarumã, localizado na cidade de Viamão, na Grande Porto Alegre. Em um evento comemorativo, três veículos de diferentes categorias do automobilismo, um kart (K), um fórmula 1 (F) e um stock-car (S), passam por diferentes curvas do circuito, com velocidades escalares iguais e constantes. Ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória a força exercida pelo banco da aeronave sobre o piloto que a comanda é: a) igual ao peso do piloto. b) maior que o peso do piloto. c) menor que o peso do piloto. d) nula. e) duas vezes maior do que o peso do piloto. 7. (Uff 2012) Uma criança se balança em um balanço, como representado esquematicamente na figura a seguir. Assinale a alternativa que melhor representa a aceleração a da criança no instante em que ela passa pelo ponto mais baixo de sua trajetória. a) b) c) As tabelas 1 e 2 indicam, respectivamente e de forma comparativa, as massas de cada veículo e os raios de curvatura das curvas representadas na figura, nas posições onde se encontram os veículos. TABELA 1 TABELA 2 Veículo Massa Curva Raio kart M Tala Larga 2R fórmula 1 3M do Laço R stock-car 6M Um 3R Sendo F K, F F e F S os módulos das forças resultantes centrípetas que atuam em cada um dos veículos nas posições em que eles se encontram na figura, é correto afirmar que a) F S < F K < F F. b) F K < F S < F F. c) F K < F F < F S. d) F F < F S < F K. e) F S < F F < F K. 6. (Ibmecrj 2013) Um avião de acrobacias descreve a seguinte trajetória descrita na figura abaixo: d) e) 8. (Fuvest 2012) Nina e José estão sentados em cadeiras, diametralmente opostas, de uma roda gigante que gira com velocidade angular constante. Num certo momento, Nina se encontra no ponto mais alto do percurso e José, no mais baixo; após 15 s, antes de a roda completar uma volta, suas posições estão invertidas. A roda gigante tem raio R = 20 m e as massas de Nina e José são, respectivamente, M N = 60 kg e M J = 70 kg. Calcule a) o módulo v da velocidade linear das cadeiras da roda gigante; b) o módulo ar da aceleração radial de Nina e de José; c) os módulos N N e N J das forças normais que as cadeiras exercem, respectivamente, sobre Nina e sobre José no instante em que Nina se encontra no ponto mais alto do percurso e José, no mais baixo. NOTE E ADOTE π = 3 Aceleração da gravidade g = 10 m/s 2 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Use quando necessário: 2 - Aceleração da gravidade g= 10m/s ; Densidade da água 3 3 ρ= 1,0g/cm = 1000kg/m - Velocidade da luz no vácuo 8 c = 3,0 10 m/s Página 2

3 - Constante de Planck h 6,63 10 = J s= 4,14 10 ev s; - Constante π= 3,14 9. (Ufjf 2012) A figura a seguir mostra um escorregador na forma de um semicírculo de raio R = 5,0 m. Um garoto escorrega do topo (ponto A) até uma altura h (ponto C) abaixo do topo, onde perde o contato com o escorregador. Nessa posição, a reta que passa pelo ponto C e pelo centro O do círculo faz um ângulo θ com a reta normal à base do semicírculo. A figura mostra também um ponto B que está entre o ponto A e o ponto C. Desprezando os atritos ou quaisquer perdas de energia: 11. (Epcar (Afa) 2011) Um garoto, que se encontra em repouso, faz girar, com velocidade constante, uma pedra de massa m presa a um fio ideal. Descrevendo uma trajetória circular de raio R num plano vertical, essa pedra dá diversas voltas, até que, em um dado instante, o fio arrebenta e ela é lançada horizontalmente, conforme ilustra a figura a seguir. a) faça o diagrama das forças que atuam sobre o garoto no ponto B e identifique cada uma das forças. b) calcule a altura h no momento em que o garoto perde o contato com o escorregador. c) calcule o valor da velocidade tangencial na situação do item (b). 10. (Cesgranrio 2011) Uma esfera de massa igual a 3 kg está amarrada a um fio inextensível e de massa desprezível. A esfera gira com velocidade constante em módulo igual a 4 6 m/s, formando um cone circular imaginário, 15 conforme a figura abaixo. Sujeita apenas à aceleração da gravidade g, a pedra passou, então, a descrever uma trajetória parabólica, percorrendo uma distância horizontal x equivalente a 4R. A tração experimentada pelo fio toda vez que a pedra passava pelo ponto onde ele se rompeu era igual a a) mg b) 2 mg c) 3 mg d) 4 mg 12. (Ufla 2010) Um corpo desliza sem atrito ao longo de uma trajetória circular no plano vertical (looping), passando pelos pontos, 1,2,3 e 4, conforme figura a seguir. Considerando que o corpo não perde contato com a superfície, em momento algum, é correto afirmar que os diagramas que melhor representam as direções e sentidos das forças que agem sobre o corpo nos pontos 1,2,3 e 4 são apresentados na alternativa: a) O fio permanece esticado durante todo o movimento, fazendo um mesmo ângulo α com a vertical, cuja tangente é 8/15. A componente horizontal da tração no fio vale 16 N e é a força centrípeta responsável pelo giro da esfera. O volume do cone imaginário, em cm 3, é a) 280π b) 320π c) 600π d) 960π e) 1800π b) c) d) Página 3

4 13. (Ufla 2010) Uma esfera de massa 500 gramas desliza em uma canaleta circular de raio 80 cm, conforme a figura a seguir, completamente livre de atrito, sendo abandonada na posição P 1. Considerando g = 10 m/s 2, é correto afirmar que essa esfera, ao passar pelo ponto P 2 mais baixo da canaleta, sofre uma força normal de intensidade: intensidade da força de reação que a pista aplica no veículo é: (Adote g = 10m/s 2 ). a) N b) N c) 1800 N d) N e) N a) 5N b) 20N c) 15N d) πn 14. (Unesp 2010) Curvas com ligeiras inclinações em circuitos automobilísticos são indicadas para aumentar a segurança do carro a altas velocidades, como, por exemplo, no Talladega Superspeedway, um circuito utilizado para corridas promovidas pela NASCAR (National Association for Stock Car Auto Racing). Considere um carro como sendo um ponto material percorrendo uma pista circular, de centro C, inclinada de um ângulo α e com raio R, constantes, como mostra a figura, que apresenta a frente do carro em um dos trechos da pista. 16. (Ufop 2010) Uma estação espacial é projetada como sendo um cilindro de raio r, que gira em seu eixo com velocidade angular constante ω, de modo a produzir uma sensação de gravidade de 1g = 9,8 m/s 2 nos pés de uma pessoa que está no interior da estação. Admitindo-se que os seus habitantes têm uma altura média de h = 2 m, qual deve ser o raio mínimo r da estação, de modo que a variação da gravidade sentida entre os pés e a cabeça seja inferior a 1% de g? 17. (Ita 2009) A partir do repouso, um carrinho de montanha russa desliza de uma altura H = 20 3 m sobre uma rampa de 60 de inclinação e corre 20 m num trecho horizontal antes de chegar a um loop circular, de pista sem atrito. Se a velocidade do carro tem módulo constante, é correto afirmar que o carro a) não possui aceleração vetorial. b) possui aceleração com módulo variável, direção radial e no sentido para o ponto C. c) possui aceleração com módulo variável e tangente à trajetória circular. d) possui aceleração com módulo constante, direção radial e no sentido para o ponto C. e) possui aceleração com módulo constante e tangente à trajetória circular. 15. (Pucsp 2010) Um automóvel de massa 800 kg, dirigido por um motorista de massa igual a 60 kg, passa pela parte mais baixa de uma depressão de raio = 20 m com velocidade escalar de 72 km/h. Nesse momento, a Sabendo que o coeficiente de atrito da rampa e do plano horizontal é 1, assinale o valor do raio máximo que pode 2 ter esse loop para que o carrinho faça todo o percurso sem perder o contato com a sua pista. a) R = 8 3 m b) R = 4( 3-1)m c) R = 8( 3-1)m d) R = 4(2 3-1)m Página 4

5 ( 3 1 ) e) R = 40 3 m 18. (Ita 2009) Considere um pêndulo simples de comprimento L e massa m abandonado da horizontal. Então, para que não arrebente, o fio do pêndulo deve ter uma resistência à tração pelo menos igual a: a) mg. b) 2 mg. c) 3 mg. d) 4 mg. e) 5 mg. 19. (Pucrj 2009) Um brinquedo de parque de diversões consiste (veja as figuras a seguir) de um eixo vertical girante, duas cabines e um suporte para os cabos que ligam o eixo às cabines. O suporte é uma forte barra horizontal de aço, de L = 8,0 m de comprimento, colocada de modo simétrico para poder sustentar as cabines. Cada cabo mede d = 10 m. Quando as pessoas entram nas cabines, o eixo se põe a girar e as cabines se inclinam formando um ângulo? com a vertical. O movimento das cabines é circular uniforme, ambos de raio R. Considere a massa total da cabine e passageiro como M = 1000 kg. d) tem sentido contrário ao da velocidade. 21. (Unifesp 2007) A trajetória de uma partícula, representada na figura, é um arco de circunferência de raio r = 2,0 m, percorrido com velocidade de módulo constante, v = 3,0 m/s. O módulo da aceleração vetorial dessa partícula nesse trecho, em m/s 2, é a) zero. b) 1,5. c) 3,0. d) 4,5. e) impossível de ser calculado. 22. (Ita 2007) Um corpo de massa m e velocidade V 0 a uma altura h desliza sem atrito sobre uma pista que termina em forma de semicircunferência de raio r, conforme indicado na figura. Determine a razão entre as coordenadas x e y do ponto P na semicircunferência, onde o corpo perde o contato com a pista. Considere a aceleração da gravidade g. Suponha que θ = 30. Considere g = 10 m/s 2 para a aceleração gravitacional e despreze todos os efeitos de resistência do ar. a) Desenhe na figura anterior o raio R de rotação, para a trajetória da cabine do lado direito, e calcule seu valor. b) Desenhe na figura anterior as forças agindo sobre a cabine do lado esquerdo. Qual a direção e o sentido da força resultante Fr sobre esta cabine? c) Sabendo que as forças verticais sobre a cabine se cancelam, calcule a tensão no cabo que sustenta a cabine. d) Qual o valor da força centrípeta agindo sobre a cabine? 20. (Pucmg 2009) Um objeto percorre uma circunferência em movimento circular uniforme. A força resultante sobre esse objeto: a) é nula, porque não há aceleração. b) é dirigida para o centro. c) é tangente à velocidade do objeto (Ufjf 2007) Em alguns tipos de corridas de carros, os circuitos podem ser descritos com boa aproximação como sendo compostos de duas semicircurferências de raios R = 100 m e duas retas de comprimentos L = 900 m, como mostra a figura a seguir. Suponha que um dos pilotos faz com que o carro por ele pilotado percorra o circuito como descrito a seguir. O carro faz as curvas de raio R, com o módulo da velocidade constante, vr= 60 m/s, e tão logo sai das curvas, imprime uma aceleração constante até atingir 1 das retas, permanecendo com uma velocidade 3 constante de 100 m/s num outro trecho. Desacelera com aceleração constante no último 1 da reta, chegando 3 Página 5

6 novamente a curva com a velocidade vr. Para este carro, calcule: 25. (Fgv 2007) No momento em que o braseiro atinge o ponto mais baixo de sua trajetória, considerando que ele descreve um movimento no sentido anti-horário e que a trajetória é percorrida com velocidade constante, dos vetores indicados, aquele que mais se aproxima da direção e sentido da força resultante sobre a lata é a) a aceleração centrípeta sofrida pelo carro nas curvas, e a razão entre esta aceleração e a aceleração gravitacional g (considere g = 10 m/s 2 ). b) o tempo total gasto pelo carro para dar uma volta no circuito completo. 24. (Pucsp 2007) 26. (Fgv 2007) A figura representa em plano vertical um trecho dos trilhos de uma montanha russa na qual um carrinho está prestes a realizar uma curva. Despreze atritos, considere a massa total dos ocupantes e do carrinho igual a 500 kg e a máxima velocidade com que o carrinho consegue realizar a curva sem perder contato com os trilhos igual a 36 km/h. O raio da curva, considerada circular, é, em metros, igual a a) 3,6 b) 18 c) 1,0 d) 6,0 e) 10 TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: Vendedores aproveitam-se da morosidade do trânsito para vender amendoins, mantidos sempre aquecidos em uma bandeja perfurada encaixada no topo de um balde de alumínio; dentro do balde, uma lata de leite em pó, vazada por cortes laterais, contém carvão em brasa (figura 1). Quando o carvão está por se acabar, nova quantidade é reposta. A lata de leite é enganchada a uma haste de metal (figura 2) e o conjunto é girado vigorosamente sob um plano vertical por alguns segundos (figura 3), reavivando a chama. Dados: π = 3,1 g = 10 m/s 2 Mantendo o movimento circular de raio 80 cm, a menor velocidade que a lata deve possuir no ponto mais alto de sua trajetória para que o carvão não caia da lata é, em m/s, a) 2 b) 2 c) 2 2 d) 4 e) (Ita 2006) Uma estação espacial em forma de um toroide, de raio interno R 1, e externo R 2, gira, com período P, em torno do seu eixo central, numa região de gravidade nula. O astronauta sente que seu "peso" aumenta de 20%, quando corre com velocidade constante v no interior desta estação, ao longo de sua maior circunferência, conforme mostra a figura. Assinale a expressão que indica o módulo dessa velocidade. Página 6

7 a) v = 6 2πR P a) I b) II c) III d) II e III e) I e II 29. (Pucsp 2006) Um automóvel percorre uma curva circular e horizontal de raio 50 m a 54 km/h. Adote g = 10 m/s 2. O mínimo coeficiente de atrito estático entre o asfalto e os pneus que permite a esse automóvel fazer a curva sem derrapar é a) 0,25 b) 0,27 c) 0,45 d) 0,50 e) 0,54 b) v = c) v = d) v = e) v = 1 5 2πR 2 6 P 5 2πR P 5 2πR P 6 2πR P 30. (Unicamp 2006) Um pêndulo cônico é formado por um fio de massa desprezível ezível e comprimento L = 1,25 m, que suporta uma massa m = 0,5 kg na sua extremidade inferior. A extremidade superior do fio é presa ao teto, conforme ilustra a figura a seguir. Quando o pêndulo oscila, a massa m executa um movimento circular uniforme num plano horizontal, e o ângulo que o fio forma com a vertical é q = 60. a) Qual é a tensão no fio? b) Qual é a velocidade angular da massa? Se for necessário, use: sen 60 = 0,87, cos 60 = 0, (Pucsp 2006) Durante uma apresentação da Esquadrilha da Fumaça, um dos aviões descreve a trajetória circular da figura, mantendo o módulo de sua velocidade linear sempre constante. 31. (Ufmg 2006) Durante uma aula de Física, o Professor Raimundo faz uma demonstração com um pêndulo cônico. Esse pêndulo consiste em uma pequena esfera pendurada na extremidade de um fio, como mostrado nesta figura: Sobre o descrito são feitas as seguintes afirmações: I - A força com a qual o piloto comprime o assento do avião varia enquanto ele percorre a trajetória descrita. II - O trabalho realizado pela força centrípeta que age sobre o avião é nulo em qualquer ponto da trajetória descrita. III - Entre os pontos A e B da trajetória descrita pelo avião não há impulso devido à ação da força centrípeta. Somente está correto o que se lê em Nesse pêndulo, a esfera descreve um movimento circular com velocidade de módulo constante, em um plano horizontal, situado a 1,6 m abaixo do ponto em que o fio está preso ao teto. A massa da esfera é 0,40 kg, o raio de sua trajetória é 1,2 m e o comprimento do fio é 2,0 m. Considere a massa do fio desprezível. Despreze, também, qualquer tipo de atrito. Página 7

8 Com base nessas informações: a) DESENHE e NOMEIE, na figura, as forças que atuam na esfera. RESPONDA: Quais são os agentes que exercem essas forças? b) CALCULE a tensão no fio. c) CALCULE a energia cinética da esfera. 32. (Unifesp 2003) Antes de Newton expor sua teoria sobre a força da gravidade, defensores da teoria de que a Terra se encontrava imóvel no centro do Universo alegavam que, se a Terra possuísse movimento de rotação, sua velocidade deveria ser muito alta e, nesse caso, os objetos sobre ela deveriam ser arremessados para fora de sua superfície, a menos que uma força muito grande os mantivesse ligados à Terra. Considerando o raio da Terra de m, o seu período de rotação de s e π 2 = 10, a força mínima capaz de manter um corpo de massa 90kg em repouso sobre a superfície da Terra, num ponto sobre a linha do Equador, vale, aproximadamente, a) 3 N. b) 10 N. c) 120 N. d) 450 N. e) 900 N. 33. (Cesgranrio 2002) Um brinquedo comum em parques de diversões é o "bicho-da-seda", que consiste em um carro com cinco bancos para duas pessoas cada e que descreve sobre trilhos, em alta velocidade, uma trajetória circular. Suponha que haja cinco adultos, cada um deles acompanhado de uma criança, e que, em cada banco do carro, devam acomodar-se uma criança e o seu responsável. Para que, com o movimento, o adulto não prense a criança contra a lateral do carro, é recomendável que o adulto ocupe o assento mais do centro da trajetória, pois o movimento os empurrará em sentido com uma força proporcional ao raio da trajetória. Preenche correta e respectivamente as lacunas acima a opção: a) próximo - a esse centro - diretamente. b) próximo - a esse centro - inversamente. c) afastado - a esse centro - diretamente. d) afastado - oposto a esse centro - diretamente. e) afastado - oposto a esse centro - inversamente. 34. (Ufrj 2002) Pistas com curvas de piso inclinado são projetadas para permitir que um automóvel possa descrever uma curva com mais segurança, reduzindo as forças de atrito da estrada sobre ele. Para simplificar, considere o automóvel como um ponto material. a) Suponha a situação mostrada na figura anterior, onde se representa um automóvel descrevendo uma curva de raio R, com velocidade V tal que a estrada não exerça forças de atrito sobre o automóvel. Calcule o ângulo α de inclinação da curva, em função da aceleração da gravidade g e de V. b) Suponha agora que o automóvel faça a curva de raio R, com uma velocidade maior do que V. Faça um diagrama representando por setas as forças que atuam sobre o automóvel nessa situação. 35. (Uerj 2001) O globo da morte apresenta um motociclista percorrendo uma circunferência em alta velocidade. Nesse circo, o raio da circunferência é igual a 4,0m. Observe o esquema a seguir: O módulo da velocidade da moto no ponto B é 12m/s e o sistema moto-piloto tem massa igual a 160kg. Determine a componente radial da resultante das forças sobre o globo em B. 36. (Ufrj 2000) A figura mostra o perfil de um trilho vertical JKLM cujo trecho KLM é circular de centro em C e raio R. Um bloco de pequenas dimensões é abandonado a uma altura h=r/2 acima do plano horizontal que contém o centro C e passa a deslizar sobre o trilho com atrito Página 8

9 desprezível. a) Determine a direção e o sentido da velocidade v do bloco no instante em que ele passa pelo ponto L e calcule seu módulo em função de R e da aceleração da gravidade g. b) Determine a direção e o sentido da resultante F das forças que atuam sobre o bloco no instante em que ele passa pelo ponto L (informando o ângulo que ela forma com a horizontal) e calcule seu módulo em função da massa m do bloco e da aceleração da gravidade g. Página 9