UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA"

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EMFÍSICA Fractais e Percolação na Recuperação de Petróleo Tese apresentada como requisito parcial para aobtenção do título de Doutor em Física. Autor: Orientador: Roosewelt Fonseca Soares Liacir dos Santos Lucena Natal, dezembro de 2007

2 Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Especializada do Centro de Ciências Exatas e da Terra - CCET. Soares, Roosewelt Fonseca. Fractais e percolação na recuperação de petróleo / Roosewelt Fonseca Soares. - Natal, RN, f. : il. Orientador : Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena. Tese (Doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-Graduação em Física. 1. Fractais - Tese. 2. Percolação - Tese. 3. Recuperação de petróleo - Tese. 4. Formas geométricas - Tese. I. Lucena, Liacir dos Santos. II. Título. RN/UF/BSE-CCET CDU 539.2

3 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EMFÍSICA BANCA EXAMINADORA Orientador: Liacir dos Santos Lucena Examinadores externos: Joaquim Elias de Freitas Murilo Pereira de Almeida Examinadores internos: Gilberto Corso (Co-orientador) Luciano Rodrigues da Silva i

4 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE Natal, 17 de dezembro de 2007 Autor: Título: Departamento: Grau: Roosewelt Fonseca Soares Fractais e Percolação na Recuperação de Petróleo Departamento de Física Teórica e Experimental Dr. Data da defesa: 17 de dezembro de 2007 Roosewelt F onseca Soares Assinatura do Autor ii

5 Agradecimentos Gostaria de expressar meus sinceros agradecimentos a todos aqueles que me ajudaram, de uma forma ou de outra, a desenvolver e realizar este trabalho. Em particular, e de modo especial, agradeço ao colega e grande amigo Joaquim Elias de Freitas pela idéia e iniciativa de trabalharmos juntos. Isto foi o começo de tudo. Ao professor Liacir dos Santos Lucena pela orientação segura, incentivo e entusiasmo constantes e, principalmente, pelas condições que criou para que eu pudesse conhecer e interagir com pessoas e centros do mais alto nível na atualidade. Ao professor Gilberto Corso pela co-orientação e pela participação sempre descontraída e de fundamental importância nos estudos que desenvolvemos. Ao colega Deílson Tavares cujas palavras de apoio e incentivo muito me ajudaram em momentos difíceis. À FINEP, PETROBRAS e FUNPEC, que através do projeto Estudo da Injeção Alternada de Água e Gás para Recuperação de Petróleo, Projeto WAG, possibilitaram conhecer e estudar alguns modelos novos de distribuição de poços de produção no Center for Polymer Studies na Boston University, com os professores Gerry Paul e H. E. Stanley. Ao professor Luciano Rodrigues da Silva que foi peça decisiva para nossa ida ao CPS-BU e essencial para o nosso entendimento com todo o grupo liderado pelo professor Stanley. Ao professor Carlos Chesman e seu orientando Charlie Salvador que fizeram várias evárias tentativas de reproduzir a propagação de um fluido em um meio poroso usando minúsculas esferas de vidro com o objetivo de digitalizar as imagens. Nada foi em vão, nada. Ao Departamento de Matemática pelo apoio recebido. Por fim agradeço àminhafamília pela paciência e confiança que todos sempre demonstraram. Natal, 17 de dezembro de iii

6 Dedico este trabalho aos meus pais Rui Soares Filgueira e Ana Nanú Fonseca Soares, ao meu irmão Rudson, à minha mulher Isis, aos meus filhos Marília, Lívia e Márcio, meu genro Marinho Neto e aos meus netinhos Artur e Caio. iv

7 Sumário Abstract xv Resumo xviii Apresentação xx 1 Fractais Introdução FractaisAuto-similareseAuto-afins DimensionalidadedeConjuntos Dimensão Topológica DimensõesFractais DimensãodeHausdorff DimensãodeContagemdeCaixas Dimensão de Escala Fractais Aleatórios Um Conjunto de Cantor Aleatório MedidasMultifractais Percolação Introdução Percolação por SítiosemumaRedeQuadrada v

8 2.3 Percolação por Ligações e Percolação Contínua ParâmetrodeOrdem DimensãoFractaldoAglomeradoInfinito Percolação em um Multifractal Introdução O Objeto Multifractal Q mf O Algoritmo de PercolaçãoeoEspectroMultifractal Simulações Numéricas Anisotropia e Limiar de Percolação no Suporte Multifractal Q mf Conclusões Física Estatística e Caminhos Mínimos na Recuperação de Petróleo Introdução Caminhos Mínimos Funções de Distribuição O Ansatz de Escala para Caminhos Mínimos Distribuição de Caminhos Mínimos em Múltiplos Poços Introdução O Caso Simétrico Os Casos Assimétricos Assimetria Interna Assimetria Externa ObservaçõesFinais Conclusões e Perspectivas 120 Apêndices 122 vi

9 A Fundamentação Matemática para o Espaço Métrico dos Fractais 123 A.1 Introdução A.2 Espaços Métricos A.3 Espaços Topológicos A.4 O Espaço Métrico (H (X),h) B Medida e Dimensão de Hausdorff 136 B.1 MedidadeHausdorff B.2 DimensãodeHausdorff C Teoria das Probabilidades 140 C.1 Introdução C.2 Probabilidade Condicional Referências Bibliográficas 144 vii

10 Lista de Figuras 1.1 Construção de 1883 do Conjunto de Cantor C desde C 0, chamado de iniciador e C 1 chamado de gerador. Observamos que C E e C D, as partes da esquerda e da direita, são réplicas de C escaladas pelo fator Construção da Curva de Koch F, desde F 0, chamado de iniciador, ef 1, chamado de gerador. Em cada estágio, o terço do meio de cada intervalo é substituído pelos outros dois lados de um triângulo eqüilátero Curva de Koch conhecida como Fractal Floco de Neve. F 0, um triângulo eqüilátero, é o estágio zero, F 1 com uma iteração, é o estágio um, F 2,com duas iterações, é o estágio dois, F 3,comtrês iterações, é o estágio três, F 4, com quatro iterações é o estágio quatro e F éacurvafloco de Neve Construção do Triângulo de Sierpinski E, desde E 0, chamado de iniciador, e E 1, chamado de gerador. Este conjunto apresenta duas das características comunsaosfractais:simetriaeauto-similaridade TapetedeSierpinski A Esponja de Menger é obtida a partir do iniciador, M 0 =[0, 1] [0, 1] [0, 1], e do gerador M 1. No limite, obtemos M Construção de uma Poeira de Cantor P Construçãodeuma PoeiradeCantor Construção de um fractal auto-similar B com duas razões de similaridades diferentes, desde B 0, chamado de iniciador, eb 1, chamado de gerador viii

11 1.10 Construção de um conjunto fractal auto-afim. Um quadrado sólido, A 0, chamado iniciador, é dividido em 3 4 = 12 partes retangulares iguais e as duas partes centrais são descartadas, formando A 1, o gerador. Repete-se o processo em cada um dos 10 retângulos sólidos de A 1,paraobterA 2,e assim por diante Construção de um conjunto fractal auto-afim. Um quadrado sólido, A 0, chamado iniciador, é dividido em 4 3 = 12 partes retangulares iguais. A metade dos retângulos se mantém e a outra metade é descartada, de modo que não haja dois retângulos com lados comuns em A 1, o gerador. Repetese o processo em cada um dos 6 retângulos sólidos de A 1,paraobterA 2,e assim por diante Construção de um conjunto fractal auto-afim. Um quadrado sólido, A 0, chamado iniciador, é dividido em 6 3 = 18 partes retangulares iguais. Oito desses retângulos se mantêm enquanto os outros dez são descartados do modo como mostrado na figura, para formar A 1, o gerador. Repete-se o processo em cada um dos oito retângulos sólidos de A 1,paraobterA 2,e assim por diante Estágio um da Curva de Peano chamado de iniciador Estágio dois da Curva de Peano chamado de gerador Terceiro estágiodacurvadepeano Quarto estágiodacurvadepeano Quinto estágiodacurvadepeano Sexto estágiodacurvadepeano Gráfico da Medida s-dimensional de Hausdorff do Conjunto de Cantor C, H s (C), versus s. A Dimensão de Hausdorff de C, dim H C,éovalorde s =ln2/ln 3 = 0, 6309 no qual H s (C), salta de infinito para zero Gráfico da Medida s-dimensional de Hausdorff da Curva de Koch F, H s (F ), versus s. A Dimensão de Hausdorff de F, dim H F, é o valor de s = ln 4/ln 3 = 1, 2618, no qual H s (F ), salta de infinito para zero ix

12 1.21 Três maneiras distintas de encontrar a Dimensão de Caixa de um subconjunto Ω do R n.(a) omenornúmero de bolas fechadas de raio δ que cobre Ω; (b) omenornúmero de cubos de lado δ que cobre Ω; e (c) onúmero de cubos da δ-malhaqueinterceptaω Em (a) um segmento de reta unitário com duas réplicas, N =2,em(b) um quadrado unitário com quatro réplicas, N = 4, eem(c) um cubo unitário com oito réplicas, N = 8, todas com fator de escala de ampliação b = Construção de um Conjunto de Cantor Aleatório C.Asrazões dos comprimentos I i1,..., i k,1 / I i1,..., i k têm a mesma distribuição estatística para cada i 1,..., i k, e similarmente para I i1,..., i k,2 / I i1,..., i k Construção da Medida Auto-similar do Conjunto de Cantor C. A massa em cada intervalo de C k na construção do Conjunto de Cantor, indicada pela área do retângulo, é dividida na proporção p 1 : p 2. Neste exemplo tomamos p 1 = 1 e p 3 2 = 2, ou seja, usamos a proporção 1 : 2, entre os dois subintervalos de C k+1. Continuando, este processo produzimos uma MedidaAuto-similarnoConjuntodeCantor Os primeiros passos da construção de um fractal dependente de uma probabilidade p. Neste exemplo, p =0, Rede quadrada Em (a), p = 0, todos os sítios estão vazios. Em (b) e(c), os sítios roxos são ocupados com, p =0, 2ep =0, 4, respectivamente, e estão isolados ou formam pequenos aglomerados. Em (d), p = 0, 6, os sítios amarelos formam um aglomerado percolante Aglomerados finitos de percolação por ligações em uma rede quadrada Percolação Contínua, modelo Queijo Suiço A magnetização espontânea, m, éoparâmetro de ordem em um sistema magnético. Abaixo de T c o sistema encontra-se em uma fase ordenada, m 0. Acima de T c o sistema encontra-se em uma fase desordenada, m = P é a probabilidade de um sítio pertencer ao aglomerado infinito. Éo parâmetro de ordem em sistemas de percolação. Para p<p c, P =0e para p>p c,0< P x

13 2.6 S éonúmero médio de sítiosdeumaglomeradofinito χ é a susceptibilidade magnética Os sítios pretos formam um aglomerado percolante em uma rede quadrada Os sítios coloridos formam aglomerados finitos. Mesmo considerando os efeitos de tamanho finito o aglomerado percolante apresenta uma auto-similaridade estatística Esta figura é uma ampliação de uma parte da figura anterior. Podemos observar uma auto-similaridade estatística Esta figura mostra os quatro primeiros passos na formação do multifractal Q mf. (a) Um segmento de reta vertical secciona o quadrado em duas partes, r =2es =3,cujarazão entre suas áreas é ρ = r/s =2/3. (b) Dois segmentos de retas horizontais dividem os retângulos na mesma razão ρ. (c) Indica o terceiro passo. (d) Indica o quarto passo. Em cada passo são mostradas as áreasdosblocoscorrespondentes Esta figura mostra o multifractal, Q mf, com um quadrado assinalado no centro. Tomamos n =12e(s, r) =(3, 2) Uma ampliação do quadrado assinalado na figura anterior Espectro das dimensões fractais D k de Q mf para n = 400 e (s, r) =(3, 2) Histograma das redes percolantes versus a probabilidade de ocupação p para os casos (s, r) =(1, 1), (s, r) =(2, 1), (s, r) =(4, 1) e (s, r) =(6, 1). As áreas sob as curvas estão normalizadas com a unidade Esta figura mostra, para os mesmos valores de (s, r) da Figura 3.5, um gráfico da fração das redes percolantes R L versus p. Foram usadas redes para se tomar a média Histograma das redes percolantes versus a probabilidade de ocupação p para diferentes tamanhos da rede. O gráfico mostra os picos em corcova que se aproximam quando n cresce. Nesta figura (s, r) =(6, 1) e 8 <n<18. Foram usadas redes para se tomar a média O objeto Q mf para ρ =1/3 en = 4. Introduzimos um quadrado no interior da figura para auxiliar a visualização xi

14 3.9 Apresentamos p c versus 1/L paraρ =2/3 (linha sólida) e ρ =1/4 (linha tracejada). Os valores acima correspondem a p b c e os valores abaixo correspondem a p e c.usamos4 n Apresentamos p c versus 1/L paraρ =2/3 (linha sólida) e ρ =1/4 (linha tracejada). Os valores acima correspondem a p b c e os valores abaixo correspondem a p e c. Usamos 4 n 10. Gráfico de p c med versus 1/L paraos mesmosdados Gráfico de p c med versus ρ. Os valores escolhidos de ρ estão indicados na figura.alinharetacorrespondeaomelhorajustelinear Dimensões típicas de reservatórios de petróleoedeamostras ReservatórioGirassolemAngola.Fonte:WorldOil Os sítios pretos formam um aglomerado percolante em uma rede quadrada Os sítios coloridos formam aglomerados finitos. A linha marron horizontal é a distância euclidiana, r, entre dois sítios do aglomerado percolante e a linha vermelha é um caminho mínimo, l, entre eles O quadrado preto vazio representa um poço injetor, o quadrado preto cheio representa um poço produtor, considerado como caso padrão. A linha marron horizontal é a distância euclidiana, r, e a linha vermelha éumcaminho mínimo de comprimento, l, entre eles Gráfico log-log da distribuição de caminhos mínimos, P(l r), no limiar de percolação para o caso padrão de um poço injetor e um poço produtor Em (a) a distribuição conhecida como five-spot e em (b) a distribuição conhecida como nine-spot Simetria interna. Um poço injetor, círculo vazio, no centro de uma distribuição simétrica de poços produtores, círculos cheios. (a) Doispoços produtores; (b) Quatro poços produtores; (c) Oitopoços produtores; (d) Dezesseis poçosprodutores xii

15 5.4 Um poço injetor no centro de uma distribuição simétrica de poços de produção. Os poços produtores estão em um círculo de raio R. Dois caminhos típicos estão indicados: Ω 1 éumcaminhocurtoquenão sai do círculo e Ω 2 é um caminho muito longo que sai do círculo onde se encontram os poços produtores Gráfico log-log da distribuição de caminhos mínimos, P(l A), versus l/r d min, no limiar de percolação para os arranjos da Figura 5.3. Nas simulações L = 500 e R = 64. Cinco casos correspondentes a 1, 2, 4, 8 e 16 poços produtores estãoindicadosnafigura Assimetria interna. Um poço injetor, círculo vazio, deslocado do centro, círculo sombreado, e uma distribuição simétrica de poços produtores, círculos cheios. (a) Doispoços produtores; (b) Quatro poços produtores; (c) Oito poços produtores; (d) Dezesseis poçosprodutores Assimetria interna. O centro da distribuição está representado pelo círculo sombreado, o injetor está deslocado do centro e quatro produtores distribuídos simetricamente sobre um círculo de raio R. As distâncias euclidianas r i,1 i 4 estãoindicadasporsetas Gráfico log-log da distribuição de caminhos mínimos, P(l A), versus l/r d min, no limiar de percolação para os arranjos da Figura 5.6. Nas simulações L = 500, R =64eR 1 = 32. Cinco casos correspondentes a 1, 2, 4, 8 e 16 poços produtores estãoindicadosnafigura Assimetria externa. Um poço injetor, círculo vazio,é exterior à distribuição simétrica de poços produtores, círculos cheios. Ocírculo sombreado representa o centro da distribuição. (a)doispoços produtores; (b) Quatro poços produtores; (c) Oitopoços produtores; (d) Dezesseis poços produtores Assimetria externa. O centro da distribuição está representado pelo círculo sombreado, o injetor está localizado fora da distribuição de quatro poços produtores distribuídos simetricamente sobre um círculo de raio R. As distâncias euclidianas r i,1 i 4, estãoindicadasporsetas xiii

16 5.11 Gráfico log-log da distribuição de caminhos mínimos, P(l A), versus l/r d min, no limiar de percolação para os arranjos da Figura 5.9. Nas simulações L = 500, R =16eR 1 = 16. Cinco casos correspondentes a 1, 2, 4, 8 e 16 poços produtores estãoindicadosnafigura A.1 Um conjunto A esuaδ-vizinhança A δ A.2 (a) Um conjunto aberto - existe uma bola contida no conjunto centrada em cada ponto do conjunto. (b) Um conjunto fechado - o limite de qualquer seqüência convergente de pontos do conjunto está no conjunto. (c) A fronteiradoconjuntoem(a)ou(b) A.3 Um caminho f 0 queconectaospontosx e y é deformado continuamente, enquanto permanece fixado em x e y, para tornar-se um segundo caminho f A.4 Em um espaço multiplamente conexo não existem caminhos que possam ser continuamente deformados a partir do caminho f 0 até coincidir com o caminho f 1. Existe uma espécie de buraco entre f 0 e f B.1 Conjuntos reescalados por um fator λ, o comprimento cresce pelo fator λ, (comprimento λ); a área por um fator λ 2,(área λ 2 ); e a medida s-dimensional de Hausdorff por um fator λ s,(h s λ s ) B.2 Gráfico de H s (F ) versus s para um conjunto F. A dimensão de Hausdorff éovalordes no qual ocorre o salto de para xiv

17 Lista de Tabelas 2.1 Limiares de percolação para vários tipos de redes selecionados. Em todos oscasos,somenteprimeirosvizinhosformamaglomerados Valores exatos a e melhores estimativas numéricas b para os expoentes críticos em modelos de percolaçãoemagnetismo Valores de p c, d f,eβ para vários multifractais caracterizados pelos diferentes pares (s, r) Estimativa de Δp max e[s/(s + r)] n para vários passos n Valores de p c e ζ med para diversos pares (s, r) xv

18 Abstract The complex behavior of a wide variety of phenomena that are of interest to physicists, chemists, and engineers has been quantitatively characterized by using the ideas of fractal and multifractal distributions, which correspond in a unique way to the geometrical shape and dynamical properties of the systems under study. In this thesis we present the Space of Fractals and the methods of Hausdorff-Besicovitch, box-counting and Scaling to calculate the fractal dimension of a set. In this Thesis we investigate also percolation phenomena in multifractal objects that are built in a simple way. The central object of our analysis is a multifractal object that we call Q mf. In these objects the multifractality comes directly from the geometric tiling. We identify some differences between percolation in the proposed multifractals and in a regular lattice. There are basically two sources of these differences. The first is related to the coordination number, c, which changes along the multifractal. The second comes from the way the weight of each cell in the multifractal affects the percolation cluster. We use many samples of finite size lattices and draw the histogram of percolating lattices against site occupation probability p. Depending on a parameter, ρ, characterizing the multifractal and the lattice size, L, the histogram can have two peaks. We observe that the probability of occupation at the percolation threshold, p c,forthe multifractal is lower than that for the square lattice. We compute the fractal dimension of the percolating cluster and the critical exponent β. Despite the topological differences, we find that the percolation in a multifractal support is in the same universality class as standard percolation. The area and the number of neighbors of the blocks of Q mf show a non-trivial behavior. A general view of the object Q mf shows an anisotropy. The value of p c is a function of ρ which is related to its anisotropy. We investigate the relation between p c and the average number of neighbors of the blocks as well as the anisotropy of Q mf. In this Thesis we study likewise the distribution of shortest paths in percolation systems at the percolation threshold in two dimensions (2D). We study paths from one given point to multiple other points. xvi

19 In oil recovery terminology, the given single point can be mapped to an injection well (injector) and the multiple other points to production wells (producers). In the previously standard case of one injection well and one production well separated by Euclidean distance r, the distribution of shortest paths l, P(l r), shows a power-law behavior with exponent g l =2.14 in 2D. Here we analyze the situation of one injector and an array A of producers. Symmetric arrays of producers lead to one peak in the distribution P(l A), the probability that the shortest path between the injector and any of the producers is l, while the asymmetric configurations lead to several peaks in the distribution. We analyze configurations in which the injector is outside and inside the set of producers. The peak in P(l A) for the symmetric arrays decays faster than for the standard case. For very long paths all the studied arrays exhibit a power-law behavior with exponent g = g l. xvii

20 Resumo O comportamento complexo de uma ampla variedade de fenômenos que são de interesse de matemáticos, físicos, químicos e engenheiros é caracterizado quantitativamente por meio de idéias de distribuições de fractais e multifractais, que correspondem de modo único à forma geométrica e a propriedades dinâmicas dos sistemas em estudo. Nesta tese apresentamos o Espaço dos Fractais eosmétodos de Hausdorff-Besicovitch, de Contagem de Caixas edeescala, para calcular a Dimensão Fractal de um Conjunto. Estudamos também fenômenos de percolação em objetos multifractais construídos de maneira simples. O objeto central de nossas análises é um objeto multifractal que chamamos de Q mf. Nestes objetos a multifractalidade surge diretamente da sua forma geométrica. Identificamos algumas diferenças entre percolação nos multifractais que propusemos e percolação em uma rede quadrada. Existem basicamente duas fontes destas diferenças. A primeira está relacionada com o número de coordenação, c, quemudaao longo do multifractal. A segunda vem da maneira como o peso de cada célula no multifractal afeta o aglomerado percolante. Usamos muitas amostras de redes de tamanho finito e fizemos o histograma de redes percolantes versus a probabilidade de ocupação p. Dependendo de um parâmetro, ρ, que caracteriza o multifractal e o tamanho da rede, L, o histograma pode ter dois picos. Observamos que a probabilidade de ocupação no limiar de percolação, p c,paraomultifractal, em suporte d =2,é menor do que para a rede quadrada. Calculamos a dimensão fractal do aglomerado percolante e o expoente crítico β. A despeito das diferenças topológicas, encontramos que a percolação em um suporte multifractal está na mesma classe de universalidade da percolação padrão. Aárea e o número de vizinhos dos blocos de Q mf apresentam um comportamento não-trivial. Uma visão geral do objeto Q mf mostra uma anisotropia. O valor de p c éuma função de ρ que está relacionada com esta anisotropia. Analisamos a relação entre p c eo número médio de vizinhos dos blocos, assim como, a anisotropia de Q mf. Nesta tese estudamos também a distribuição de caminhos mínimos em sistemas percolativos no limiar de percolação em duas dimensões (2D). Estudamos caminhos que começam em um determinado ponto e terminam em vários outros pontos. Na terminologia da indústria do petróleo, ao ponto inicial dado associamos um poço de injeção (injetor) e aos outros pontos associamos poços de produção (produtores). No caso padrão apresentado anteriormente de um poço de injeção e um poço de proxviii

21 dução, separados por uma distância euclidiana r, a distribuição de caminhos mínimos l, P(l r), apresenta um comportamento de lei-de-potência com expoente g l =2, 14 em 2D. Analisamos a situação de um injetor e uma matriz A de produtores. Configurações simétricas de produtores levam a uma distribuição, P(l A), com um único pico, que é a probabilidade que o caminho mínimo entre o injetor e a matriz de produtores seja l, enquanto que as configurações assimétricas levam a vários picos na distribuição P(l A). Analisamos situações em que o injetor está foraesituações em que o injetor está nointeriordoconjuntodepoços produtores. O pico em P(l A) nas configurações assimétricas decai mais rápido do que no caso padrão. Para os caminhos muito longos todas as configurações estudadas exibiram um comportamento de lei-de-potência com o expoente g g l. xix

22 Apresentação Quando se trata do assunto fractais, é comum ouvirmos perguntas do tipo O que são fractais?, O que é dimensão fractal?, Como podemos encontrar a dimensão de um fractal e o que isto significa?, ou, Como podemos aplicar matemática aos fractais?. Esta tese está dividida em cinco capítulos e três apêndices. O primeiro capítulo tenta responder alguns destes questionamentos sobre fractais e dá umapequenanoção sobre a construção de fractais matemáticos conhecidos, trata da dimensionalidade de conjuntos, assim como, da dimensão topológica e dos métodos de Hausdorff-Besicovitch, de contagem de caixas edeescala para encontrar a dimensão fractal de um conjunto. Mostramos também algumas propriedades geométricas dos fractais e estudamos conjuntos fractais auto-similares e auto-afins, exemplos da teoria dos números, da matemática pura e alguns fractais aleatórios. Apresentamos no Apêndice A uma fundamentação matemática para o Espaço Métrico dos Fractais enoapêndice B damos uma breve introdução sobre Medida de Hausdorff e Dimensão de Hausdorff. No Capítulo 2 fazemos uma introdução à Teoria da Percolação, onde definimos percolação por sítios em uma rede quadrada, percolação por ligações e percolação contínua. Tratamos também do parâmetro de ordem em sistemas magnéticos e em sistemas percolativos, do comprimento de correlação, ξ, dosexpoentes críticos β, ν e γ e da dimensão fractal do aglomerado infinito. No Capítulo 3 estudamos fenômenos de percolação em objetos multifractais construídos de maneira simples e recursiva. O objeto central deste capítulo é um multifractal que chamamos de Q mf. No Capítulo 4 damos uma noção de algumas aplicações da Física Estatística àindústria do petróleo através da utilização das leis de escala da teoria da percolação e apresentamos a probabilidade condicional, P(l r), que dois sítios em um aglomerado percolante, separados por uma distância euclidiana r, estejam a uma distância química l. No Apêndice C falamos um pouco sobre Teoria das Probabilidades e Probabilidade Condicional. No Capítulo 5 apresentamos uma distribuição de caminhos mínimos em sistemas percolativos no limiar de percolação em duas dimensões (2D). Estudamos caminhos que começam em um determinado ponto e terminam em vários outros pontos. xx

23 Capítulo 1 Fractais Uma geometria capaz de incluir montanhas e nuvens existe agora. Como tudo em ciência, esta nova geometria tem raízes muito extensas e profundas. Benoît Mandelbrot 1.1 Introdução No passado a matemática era, quase que exclusivamente, associada a conjuntos e funções cujos métodos clássicos do cálculo podiam ser aplicados. Conjuntos ou funções que não fossem suficientemente regulares tendiam a ser ignorados como patologias e não eram dignos de estudo. Certamente eram considerados como curiosidades individuais e, apenas raramente pensados como pertencentes a uma classe à qual se pudesse aplicar uma teoria geral. Esta atitude mudou nas últimas quatro décadas, houve a compreensão que vale a pena estudar a matemática dos objetos não regulares e muito progresso se obteve nesta área durante este tempo. Além disso, os conjuntos irregulares se mostraram muito mais adequados do que as figuras da geometria euclidiana clássica na representação de vários fenômenos naturais. A geometria fractal [1], tem uma estrutura muito mais abrangente para o estudo destes conjuntos irregulares chamados fractais. Os fractais se enquadram em duas categorias, determinísticos e aleatórios. EmFísica os fractais se encontram na categoria aleatórios, no entanto, iniciamos este trabalho 1

24 tratando com alguns exemplos determinísticos. Nas próximas seções damos uma visão superficial sobre alguns exemplos mais simples e mostramos como construir um conjunto fractal apresentando algumas de suas características principais e damos também uma noção sobre algumas definições de dimensão de um fractal [2, 3, 4]. 1.2 Fractais Auto-similares e Auto-afins O primeiro exemplo de fractal que apresentamos, éoconjunto de Cantor, (Georg Cantor, ), que denotamos por C [5]. OconjuntoC é um dos fractais mais conhecidos, um dos mais fáceis de serem construídos e foi obtido pela primeira vez em 1883 [6]. Para construir o conjunto C, começamos com um intervalo unitário fechado, C 0 =[0, 1], (1.1) ver Figura 1.1. Em seguida, retiramos de C 0 o intervalo ( 1, 2 3 3),queé o terço aberto do meio, e denotamos o conjunto fechado restante por C 1. Consideremos os intervalos fechados, [ C 00 = 0, 1 ] [ 1, C 01 = 3 3, 2 ] [ ] 2, C 02 = 3 3, 1. Temos que, C 1 = C 00 C 02. (1.2) Depois, retiramos de C 1 os intervalos ( 1, ( 2 9 9) e 7, 8 9 9),quesão os terços abertos do meio de cada intervalo fechado de C 1, e denotamos o conjunto fechado resultante por C 2. Consideremos agora, os intervalos fechados, [ ] [ ] [ ] 1 2 C 000 =, C 001 =, C 002 =, Então, C 020 = 0, 1 9 [ 2 3, 7 9 ], C 021 = 9, 2 9 [ 7 9, 8 9 ], C 022 = 9, 1 3 [ ] 8 9, 1. C 2 = C 000 C 002 C 020 C 022. (1.3) 2

25 0 1/3 2/3 1 C0 C 1 C 2 C 3 C 4 C E C D C 5 C Figura 1.1: Construção de 1883 do Conjunto de Cantor C desde C 0, chamado de iniciador e C 1 chamado de gerador. Observamos que C E e C D, as partes da esquerda e da direita, são réplicas de C escaladas pelo fator 1 3. Continuando este processo de retirada dos terços abertos do meio de cada intervalo fechado do estágio anterior, obtemos uma seqüência de conjuntos fechados C k, onde cada um contém os seus sucessores, e C k+1 é obtido retirando-se os terços abertos do meio de cada intervalo fechado de C k, ou seja, C 0 C 1 C 2 C k. Então, C k consiste de 2 k intervalos de comprimentos 3 k. Logo, o comprimento de, C k,é dado por, ( ) k 2 L(C k )=, (1.4) 3 onde, k =0, 1, 2, 3,... Assim, o Conjunto de Cantor é definido por, C = C k. (1.5) k=0 Deste modo, C pode ser considerado como o limite de uma seqüência de conjuntos C k, quando k tende a infinito, isto é, C = lim k C k, (1.6) 3

Universidade de São Paulo/Faculdade de Educação Seminários de Ensino de Matemática (SEMA-FEUSP) Coordenador: Nílson José Machado

Universidade de São Paulo/Faculdade de Educação Seminários de Ensino de Matemática (SEMA-FEUSP) Coordenador: Nílson José Machado 1 Universidade de São Paulo/Faculdade de Educação Seminários de Ensino de Matemática (SEMA-FEUSP) Coordenador: Nílson José Machado maio/2010 Algumas ideias sobre Fractais na Escola Básica Marisa Ortegoza

Leia mais

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010. Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Leia mais

Somatórias e produtórias

Somatórias e produtórias Capítulo 8 Somatórias e produtórias 8. Introdução Muitas quantidades importantes em matemática são definidas como a soma de uma quantidade variável de parcelas também variáveis, por exemplo a soma + +

Leia mais

ENCONTRO RPM-UNIVERSIDADE DE MATO GROSSO DO SUL Roteiro de aulas do mini-curso: A Escavadeira de Cantor Novembro de 2013 Mário Jorge Dias Carneiro

ENCONTRO RPM-UNIVERSIDADE DE MATO GROSSO DO SUL Roteiro de aulas do mini-curso: A Escavadeira de Cantor Novembro de 2013 Mário Jorge Dias Carneiro ENCONTRO RPM-UNIVERSIDADE DE MATO GROSSO DO SUL Roteiro de aulas do mini-curso: A Escavadeira de Cantor Novembro de 203 Mário Jorge Dias Carneiro Introdução O que é um número real? A resposta formal e

Leia mais

Geometria Fractal No Ensino Fundamental e Médio

Geometria Fractal No Ensino Fundamental e Médio Geometria Fractal No Ensino Fundamental e Médio João César Maciel Valim 1, Viviane Colucci 1 Acadêmico do Curso de Matemática Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual do Oeste

Leia mais

BC-0506: Comunicação e Redes Leis de Potência

BC-0506: Comunicação e Redes Leis de Potência BC-0506: Comunicação e Redes Leis de Potência Santo André, 2Q2011 1 Leis de Potência Introdução Distribuições de probabilidade Leis de potência e escalas logarítmicas Interpretando as leis de potência

Leia mais

APLICAÇÕES DA TEORIA DA PERCOLAÇÃO À MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO

APLICAÇÕES DA TEORIA DA PERCOLAÇÃO À MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA APLICAÇÕES DA TEORIA DA PERCOLAÇÃO À MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

Fractais e o Geogebra: Construindo a curva de Koch

Fractais e o Geogebra: Construindo a curva de Koch Fractais e o Geogebra: Construindo a curva de Koch Regis Alessandro Fuzzo Universidade Estadual do Paraná Campo Mourão Brasil regisfuzzo@gmail.com Talita Secorun dos Santos Universidade Estadual do Paraná

Leia mais

Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e

Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e MÓDULO 2 - AULA 13 Aula 13 Superfícies regradas e de revolução Objetivos Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas

Leia mais

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto

Leia mais

Dimensão Fractal. REMat. 1 Introdução. REVISTA ELETRÔNICA DE MATEMÁTICA www2.jatai.ufg.br/ojs/index.php/matematica contato: remat.ufg@gmail.

Dimensão Fractal. REMat. 1 Introdução. REVISTA ELETRÔNICA DE MATEMÁTICA www2.jatai.ufg.br/ojs/index.php/matematica contato: remat.ufg@gmail. Dimensão Fractal Míriem Martins da Silva Bolsista de Iniciação Cientíca do Instituto Federal de Goiás - Campus Jataí miriemmartins@yahoocombr Wallysonn Alves de Souza Professor do Instituto Federal de

Leia mais

APLICAÇÕES DA DERIVADA

APLICAÇÕES DA DERIVADA Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,

Leia mais

TETRAEDROS DE SIERPINSKI: UMA PROPOSTA DE ATIVIDADE PARA O ENSINO DE GEOMETRIA

TETRAEDROS DE SIERPINSKI: UMA PROPOSTA DE ATIVIDADE PARA O ENSINO DE GEOMETRIA TETRAEDROS DE SIERPINSKI: UMA PROPOSTA DE ATIVIDADE PARA O ENSINO DE GEOMETRIA Beatriz VolpatoGarcia biazinhavolpato@hotmail.com Cláudia Vanessa Cavichiolo Colégio Estadual Professor Lysímaco Ferreira

Leia mais

A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br

A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina0.com.br Funções Reais CÁLCULO VOLUME ZERO - Neste capítulo, estudaremos as protagonistas do longa metragem

Leia mais

Pré-Seleção OBM Nível 3

Pré-Seleção OBM Nível 3 Aluno (a) Pré-Seleção OBM Nível 3 Questão 1. Hoje é sábado. Que dia da semana será daqui a 99 dias? a) segunda-feira b) sábado c) domingo d) sexta-feira e) quinta feira Uma semana tem 7 dias. Assim, se

Leia mais

Caderno de Respostas

Caderno de Respostas Caderno de Respostas DESENHO TÉCNICO BÁSICO Prof. Dr.Roberto Alcarria do Nascimento Ms. Luís Renato do Nascimento CAPÍTULO 1: ELEMENTOS BÁSICOS DO DESENHO TÉCNICO 1. A figura ilustra um cubo ao lado de

Leia mais

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Notasdeaula Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos

Leia mais

TEORIA DOS CONJUNTOS Símbolos

TEORIA DOS CONJUNTOS Símbolos 1 MATERIAL DE APOIO MATEMÁTICA Turmas 1º AS e 1º PD Profº Carlos Roberto da Silva A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar

Leia mais

QUESTÃO 1 ALTERNATIVA B

QUESTÃO 1 ALTERNATIVA B 1 QUESTÃO 1 ALTERNATIVA B A diferença entre o que há na primeira balança e o que há a balança do meio é exatamente o que há na última balança; logo, na última balança deve aparecer a marcação 64 41 = 23

Leia mais

CONTEÚDOS DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA

CONTEÚDOS DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA CONTEÚDOS DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA 6ºANO CONTEÚDOS-1º TRIMESTRE Números naturais; Diferença entre número e algarismos; Posição relativa do algarismo dentro do número; Leitura do número; Sucessor e antecessor;

Leia mais

INE 7001 - Procedimentos de Análise Bidimensional de variáveis QUANTITATIVAS utilizando o Microsoft Excel. Professor Marcelo Menezes Reis

INE 7001 - Procedimentos de Análise Bidimensional de variáveis QUANTITATIVAS utilizando o Microsoft Excel. Professor Marcelo Menezes Reis INE 7001 - Procedimentos de Análise Bidimensional de variáveis QUANTITATIVAS utilizando o Microsoft Excel. Professor Marcelo Menezes Reis O objetivo deste texto é apresentar os principais procedimentos

Leia mais

Exercícios Teóricos Resolvidos

Exercícios Teóricos Resolvidos Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar

Leia mais

UM TEOREMA QUE PODE SER USADO NA

UM TEOREMA QUE PODE SER USADO NA UM TEOREMA QUE PODE SER USADO NA PERCOLAÇÃO Hemílio Fernandes Campos Coêlho Andrei Toom PIBIC-UFPE-CNPq A percolação é uma parte importante da teoria da probabilidade moderna que tem atraído muita atenção

Leia mais

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013 Álgebra Linear Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru 19 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Matrizes e Determinantes 3 1.1 Matrizes............................................ 3 1.2 Determinante

Leia mais

Fractais. Turma: 2ºD. Unidade: Norte. Nomes: Filipe Barnes, Jefferson Chaurais, Leonardo Marques.

Fractais. Turma: 2ºD. Unidade: Norte. Nomes: Filipe Barnes, Jefferson Chaurais, Leonardo Marques. Fractais Turma: 2ºD Unidade: Norte Nomes: Filipe Barnes, Jefferson Chaurais, Leonardo Marques. Conteúdo a ser abordado Temos um mundo a nossa volta, onde tudo nos parece perfeito, logo há uma busca incansável

Leia mais

. Para que essa soma seja 100, devemos ter 56 + 2x donde 2x = 44 e então x = 22, como antes.

. Para que essa soma seja 100, devemos ter 56 + 2x donde 2x = 44 e então x = 22, como antes. OBMEP 008 Nível 3 1 QUESTÃO 1 Carlos começou a trabalhar com 41-15=6 anos. Se y representa o número total de anos que ele trabalhará até se aposentar, então sua idade ao se aposentar será 6+y, e portanto

Leia mais

2. Método de Monte Carlo

2. Método de Monte Carlo 2. Método de Monte Carlo O método de Monte Carlo é uma denominação genérica tendo em comum o uso de variáveis aleatórias para resolver, via simulação numérica, uma variada gama de problemas matemáticos.

Leia mais

Figuras geométricas. Se olhar ao seu redor, você verá que os objetos. Nossa aula. Figuras geométricas elementares

Figuras geométricas. Se olhar ao seu redor, você verá que os objetos. Nossa aula. Figuras geométricas elementares A UU L AL A Figuras geométricas Se olhar ao seu redor, você verá que os objetos têm forma, tamanho e outras características próprias. As figuras geométricas foram criadas a partir da observação das formas

Leia mais

QUESTÃO 1 ALTERNATIVA B

QUESTÃO 1 ALTERNATIVA B 1 QUESTÃO 1 Marcos tem 10 0,25 = 2,50 reais em moedas de 25 centavos. Logo ele tem 4,30 2,50 = 1,80 reais em moedas de 10 centavos, ou seja, ele tem 1,80 0,10 = 18 moedas de 10 centavos. Outra maneira

Leia mais

ficha 3 espaços lineares

ficha 3 espaços lineares Exercícios de Álgebra Linear ficha 3 espaços lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 3 Notação Sendo

Leia mais

Sinopse da Teoria da Escolha

Sinopse da Teoria da Escolha 14.126 Teoria dos Jogos Sergei Izmalkov e Muhamet Yildiz Outono de 2001 Sinopse da Teoria da Escolha Esta nota resume os elementos da teoria da utilidade esperada. Para uma exposição em detalhes dos quatro

Leia mais

Num cilindro as bases são círculos. O perímetro do círculo é igual ao comprimento da circunferência que limita o círculo.

Num cilindro as bases são círculos. O perímetro do círculo é igual ao comprimento da circunferência que limita o círculo. 1. Círculos e cilindros 1.1. Planificação da superfície de um cilindro Num cilindro as bases são círculos. O perímetro do círculo é igual ao comprimento da circunferência que limita o círculo. A planificação

Leia mais

36ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeira Fase Nível 3 Ensino Médio

36ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeira Fase Nível 3 Ensino Médio 36ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeira Fase Nível 3 Ensino Médio Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AL BA ES MG PA RS RN SC Terça-feira,

Leia mais

Cálculo numérico. ln 1 = 0. Representação numérica. Exemplo. Exemplos. Professor Walter Cunha. ln 1. I s

Cálculo numérico. ln 1 = 0. Representação numérica. Exemplo. Exemplos. Professor Walter Cunha. ln 1. I s Representação numérica Cálculo numérico Professor Walter Cunha Um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam

Leia mais

A noção de função é imprescindível no decorrer do estudo de Cálculo e para se estabelecer essa noção tornam-se necessários:

A noção de função é imprescindível no decorrer do estudo de Cálculo e para se estabelecer essa noção tornam-se necessários: 1 1.1 Função Real de Variável Real A noção de função é imprescindível no decorrer do estudo de Cálculo e para se estabelecer essa noção tornam-se necessários: 1. Um conjunto não vazio para ser o domínio;

Leia mais

a soma dois números anteriores da primeira coluna está na segunda coluna: (3m +1) + (3n +1) = 3(m + n) + 2.

a soma dois números anteriores da primeira coluna está na segunda coluna: (3m +1) + (3n +1) = 3(m + n) + 2. OBMEP 01 Nível 3 1 QUESTÃO 1 ALTERNATIVA A Basta verificar que após oito giros sucessivos o quadrado menor retorna à sua posição inicial. Como 01 = 8 1+ 4, após o 01º giro o quadrado cinza terá dado 1

Leia mais

Cálculo do conjunto paralelo

Cálculo do conjunto paralelo Cálculo do conjunto paralelo Vamos usar letras maiúsculas A; B, etc para representar conjuntos e letras minusculas x, y, etc para descrever seus pontos. Vamos usar a notação x para descrever a norma de

Leia mais

1 Geometria de referências: pontos, eixos e planos

1 Geometria de referências: pontos, eixos e planos 1 Geometria de referências: pontos, eixos e planos Pontos, eixos e planos são entidades bastante usadas como referências em sistemas CAE/CAE/CAM. Por isso a importância em estudar como definir pontos,

Leia mais

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea 2 O objetivo geral desse curso de Cálculo será o de estudar dois conceitos básicos: a Derivada e a Integral. No decorrer do curso esses dois conceitos, embora motivados de formas distintas, serão por mais

Leia mais

UFRN 2013 Matemática Álgebra 3º ano Prof. Afonso

UFRN 2013 Matemática Álgebra 3º ano Prof. Afonso UFRN 203 Matemática Álgebra 3º ano Prof. Afonso 3 2. (Ufrn 203) Considere a função polinomial f ( x) = x 3x x + 3. a) Calcule os valores de f ( ), f ( ) e f ( 3 ). b) Fatore a função dada. c) Determine

Leia mais

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

1 Propriedades das Funções Contínuas 2

1 Propriedades das Funções Contínuas 2 Propriedades das Funções Contínuas Prof. Doherty Andrade 2005 Sumário 1 Propriedades das Funções Contínuas 2 2 Continuidade 2 3 Propriedades 3 4 Continuidade Uniforme 9 5 Exercício 10 1 1 PROPRIEDADES

Leia mais

Aula 18 Elipse. Objetivos

Aula 18 Elipse. Objetivos MÓDULO 1 - AULA 18 Aula 18 Elipse Objetivos Descrever a elipse como um lugar geométrico. Determinar a equação reduzida da elipse no sistema de coordenadas com origem no ponto médio entre os focos e eixo

Leia mais

As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:

As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem: 1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia. Introdução O Cálculo Numérico

Leia mais

PASSEIOS ALEATÓRIOS E CIRCUITOS ELÉTRICOS

PASSEIOS ALEATÓRIOS E CIRCUITOS ELÉTRICOS PASSEIOS ALEATÓRIOS E CIRCUITOS ELÉTRICOS Aluno: Ricardo Fernando Paes Tiecher Orientador: Lorenzo Justiniano Díaz Casado Introdução A teoria da probabilidade, assim como grande parte da matemática, está

Leia mais

ATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço reservado para a mesma.

ATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço reservado para a mesma. 2ª Fase Matemática Introdução A prova de matemática da segunda fase é constituída de 12 questões, geralmente apresentadas em ordem crescente de dificuldade. As primeiras questões procuram avaliar habilidades

Leia mais

Matemática. Subtraindo a primeira equação da terceira obtemos x = 1. Substituindo x = 1 na primeira e na segunda equação obtém-se o sistema

Matemática. Subtraindo a primeira equação da terceira obtemos x = 1. Substituindo x = 1 na primeira e na segunda equação obtém-se o sistema Matemática 01. A ilustração a seguir é de um cubo com aresta medindo 6 cm. A, B, C e D são os vértices indicados do cubo, E é o centro da face contendo C e D, e F é o pé da perpendicular a BD traçada a

Leia mais

Faculdades Pitágoras de Uberlândia. Matemática Básica 1

Faculdades Pitágoras de Uberlândia. Matemática Básica 1 Faculdades Pitágoras de Uberlândia Sistemas de Informação Disciplina: Matemática Básica 1 Prof. Walteno Martins Parreira Júnior www.waltenomartins.com.br waltenomartins@yahoo.com 2010 Professor Walteno

Leia mais

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas?

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas? Recorrências Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios aditivo e multiplicativo. Para resolver esses problemas recorremos a outros recursos: as recursões

Leia mais

Computação Gráfica Interativa

Computação Gráfica Interativa Computação Gráfica Interativa conceitos, fundamentos geométricos e algoritmos 1. Introdução Computação Gráfica é a criação, armazenamento e a manipulação de modelos de objetos e suas imagens pelo computador.

Leia mais

Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.

Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel. Matemática Essencial Equações do Primeiro grau Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ Resumo: Notas de

Leia mais

22 SÉCULOS A MEDIR ÁREA

22 SÉCULOS A MEDIR ÁREA SÉCULOS A MEDIR ÁREA MIGUEL ABREU E ANA CANNAS DA SILVA. O teorema favorito de Arquimedes Das geniais descobertas e invenções de Arquimedes (87- AC), conta-se que a sua favorita terá sido a de que a superfície

Leia mais

O azulejo articulado de Eduardo Nery

O azulejo articulado de Eduardo Nery O azulejo articulado de Eduardo Nery Jorge Rezende (Grupo de Física-Matemática (GFMUL) e Departamento de Matemática (DMFCUL) da Universidade de Lisboa.) Neste artigo consideramos apenas azulejos quadrados

Leia mais

A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y

A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y 5 Taxa de Variação Neste capítulo faremos uso da derivada para resolver certos tipos de problemas relacionados com algumas aplicações físicas e geométricas. Nessas aplicações nem sempre as funções envolvidas

Leia mais

Canguru Matemático sem Fronteiras 2009

Canguru Matemático sem Fronteiras 2009 Duração: 1h30min Destinatários: alunos do 1 ano de Escolaridade Nome: Turma: Não podes usar calculadora. Há apenas uma resposta correcta em cada questão. As questões estão agrupadas em três níveis: Problemas

Leia mais

Fundamentos da Matemática Fernando Torres. Números Complexos. Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508

Fundamentos da Matemática Fernando Torres. Números Complexos. Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508 Fundamentos da Matemática Fernando Torres Números Complexos Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508 Sumário 1. História...3 2.Introdução...4 3. A origem de i ao quadrado igual a -1...7 4. Adição, subtração,

Leia mais

Chapter 2. 2.1 Noções Preliminares

Chapter 2. 2.1 Noções Preliminares Chapter 2 Seqüências de Números Reais Na Análise os conceitos e resultados mais importantes se referem a limites, direto ou indiretamente. Daí, num primeiro momento, estudaremos os limites de seqüências

Leia mais

Energia conservada em uma mola. Introdução. Materiais Necessários

Energia conservada em uma mola. Introdução. Materiais Necessários Intro 01 Introdução A energia é algo intangível e, portanto, as medidas de energia envolvem, necessariamente, processos de medidas indiretas. Em outras palavras, para medir energia, medimos outras grandezas

Leia mais

INTRODUÇÃO AO AUTOCAD

INTRODUÇÃO AO AUTOCAD INTRODUÇÃO AO AUTOCAD O AUTOCAD é um software que se desenvolveu ao longo dos últimos 30 anos. No início o programa rodava no sistema D.O.S., o que dificultava um pouco seu uso. Com o surgimento do sistema

Leia mais

Tutorial: Abrindo Vídeos e Medindo Comprimentos no ImageJ

Tutorial: Abrindo Vídeos e Medindo Comprimentos no ImageJ 1 1. Introdução Tutorial: Abrindo Vídeos e Medindo Comprimentos no ImageJ O ImageJ é um software livre (freeware) que pode ser obtido gratuitamente no site http://rsb.info.nih.gov/ij/. Esse software é

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 3

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 3 Linhas de Força Mencionamos na aula passada que o físico inglês Michael Faraday (79-867) introduziu o conceito de linha de força para visualizar a interação elétrica entre duas cargas. Para Faraday, as

Leia mais

6) Estatística Gráfica:

6) Estatística Gráfica: Estatística Descritiva Básica prof. Ilydio Pereira de Sá 36 UNIDADE II: ESTATÍSTICA GRÁFICA E MEDIDAS DE POSIÇÃO OU TENDÊNCIA CENTRAL Gráficos: barras, colunas, histogramas e polígonos de freqüências.

Leia mais

SUMÁRIO. Introdução... 3

SUMÁRIO. Introdução... 3 SUMÁRIO Introdução..................................... 3 1 Consultas por Similaridade e Espaços métricos............. 5 1.1 Consultas por abrangência e consultas aos k-vizinhos mais próximos... 5 1.2

Leia mais

Basicão de Estatística no EXCEL

Basicão de Estatística no EXCEL Basicão de Estatística no EXCEL Bertolo, Luiz A. Agosto 2008 2 I. Introdução II. Ferramentas III. Planilha de dados 3.1 Introdução 3.2 Formatação de células 3.3 Inserir ou excluir linhas e colunas 3.4

Leia mais

REFLEXÃO DA LUZ: ESPELHOS 412EE TEORIA

REFLEXÃO DA LUZ: ESPELHOS 412EE TEORIA 1 TEORIA 1 DEFININDO ESPELHOS PLANOS Podemos definir espelhos planos como toda superfície plana e polida, portanto, regular, capaz de refletir a luz nela incidente (Figura 1). Figura 1: Reflexão regular

Leia mais

Probabilidade. Distribuição Normal

Probabilidade. Distribuição Normal Probabilidade Distribuição Normal Distribuição Normal Uma variável aleatória contínua tem uma distribuição normal se sua distribuição é: simétrica apresenta (num gráfico) forma de um sino Função Densidade

Leia mais

Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2)

Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2) Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2) Nessa aula continuaremos nosso estudo sobre limites de funções. Analisaremos o limite de funções quando o x ± (infinito). Utilizaremos o conceito

Leia mais

Universidade Federal do Rio de Janeiro - IM/DCC & NCE

Universidade Federal do Rio de Janeiro - IM/DCC & NCE Universidade Federal do Rio de Janeiro - IM/DCC & NCE Processamento de Imagens Tratamento da Imagem - Filtros Antonio G. Thomé thome@nce.ufrj.br Sala AEP/033 Sumário 2 Conceito de de Filtragem Filtros

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA

Leia mais

BCC204 - Teoria dos Grafos

BCC204 - Teoria dos Grafos BCC204 - Teoria dos Grafos Marco Antonio M. Carvalho (baseado nas notas de aula do prof. Haroldo Gambini Santos) Departamento de Computação Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Universidade Federal

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 4

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 4 Lei de Gauss Considere uma distribuição arbitrária de cargas ou um corpo carregado no espaço. Imagine agora uma superfície fechada qualquer envolvendo essa distribuição ou corpo. A superfície é imaginária,

Leia mais

Experimento. Guia do professor. Qual é o cone com maior volume? Secretaria de Educação a Distância. Ministério da Ciência e Tecnologia

Experimento. Guia do professor. Qual é o cone com maior volume? Secretaria de Educação a Distância. Ministério da Ciência e Tecnologia geometria e medidas Guia do professor Experimento Qual é o cone com maior volume? Objetivos da unidade 1. Dado um círculo de cartolina, investigar qual seria o cone com maior volume que se poderia montar;

Leia mais

Curso: Logística e Transportes Disciplina: Estatística Profa. Eliane Cabariti. Distribuição Normal

Curso: Logística e Transportes Disciplina: Estatística Profa. Eliane Cabariti. Distribuição Normal Curso: Logística e Transportes Disciplina: Estatística Profa. Eliane Cabariti Distribuição Normal 1. Introdução O mundo é normal! Acredite se quiser! Muitos dos fenômenos aleatórios que encontramos na

Leia mais

Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia

Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia ENG 1403 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia Guilherme P. Temporão 1. Introdução Nas últimas duas aulas, vimos como circuitos com

Leia mais

Poliminós e o Tabuleiro de Xadrez Prof. Onofre Campos (onofrecampos@secrel.com.br) Prof. Carlos Shine (cyshine@yahoo.com)

Poliminós e o Tabuleiro de Xadrez Prof. Onofre Campos (onofrecampos@secrel.com.br) Prof. Carlos Shine (cyshine@yahoo.com) Poliminós e o Tabuleiro de Xadrez Prof. Onofre Campos (onofrecampos@secrel.com.br) Prof. Carlos Shine (cyshine@yahoo.com) 1. O dominó Você já deve conhecer o dominó. Não vamos pensar no jogo de dominós

Leia mais

Canguru Matemático sem Fronteiras 2014

Canguru Matemático sem Fronteiras 2014 http://www.mat.uc.pt/canguru/ Destinatários: alunos do 9. o ano de escolaridade Nome: Turma: Duração: 1h 30min Não podes usar calculadora. Em cada questão deves assinalar a resposta correta. As questões

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos. Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

A probabilidade representa o resultado obtido através do cálculo da intensidade de ocorrência de um determinado evento.

A probabilidade representa o resultado obtido através do cálculo da intensidade de ocorrência de um determinado evento. Probabilidade A probabilidade estuda o risco e a ocorrência de eventos futuros determinando se existe condição de acontecimento ou não. O olhar da probabilidade iniciou-se em jogos de azar (dados, moedas,

Leia mais

CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV

CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV FGV ADM /dezembro/20 MATEMÁTICA APLICADA 0. A Espaço Inteligente Empreendimentos Imobiliários fez o lançamento de um edifício, com conjuntos comerciais a R$.800,00

Leia mais

CÁLCULO DE INCERTEZA EM ENSAIO DE TRAÇÃO COM OS MÉTODOS DE GUM CLÁSSICO E DE MONTE CARLO

CÁLCULO DE INCERTEZA EM ENSAIO DE TRAÇÃO COM OS MÉTODOS DE GUM CLÁSSICO E DE MONTE CARLO ENQUALAB-28 Congresso da Qualidade em Metrologia Rede Metrológica do Estado de São Paulo - REMESP 9 a 2 de junho de 28, São Paulo, Brasil CÁLCULO DE INCERTEZA EM ENSAIO DE TRAÇÃO COM OS MÉTODOS DE GUM

Leia mais

Integrais Duplas e Coordenadas Polares. 3.1 Coordenadas Polares: Revisão

Integrais Duplas e Coordenadas Polares. 3.1 Coordenadas Polares: Revisão Cálculo III Departamento de Matemática - ICEx - UFMG Marcelo Terra Cunha Integrais Duplas e Coordenadas Polares Nas primeiras aulas discutimos integrais duplas em algumas regiões bem adaptadas às coordenadas

Leia mais

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS MATEMÁTICA 2 PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS MATEMÁTICA 2 PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS 1 MATEMÁTICA PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ ESTUDO DAS DERIVADAS (CONCEITO E APLICAÇÕES) No presente capítulo, estudaremos as

Leia mais

Consequências Interessantes da Continuidade

Consequências Interessantes da Continuidade Consequências Interessantes da Continuidade Frederico Reis Marques de Brito Resumo Trataremos aqui de um dos conceitos basilares da Matemática, o da continuidade no âmbito de funções f : R R, mostrando

Leia mais

METODOLOGIAS ESTATÍSTICAS APLICADAS A DADOS DE ANÁLISES QUÍMICAS DA ÁGUA PRODUZIDA EM UM CAMPO MADURO DE PETRÓLEO

METODOLOGIAS ESTATÍSTICAS APLICADAS A DADOS DE ANÁLISES QUÍMICAS DA ÁGUA PRODUZIDA EM UM CAMPO MADURO DE PETRÓLEO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA CT CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CCET PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE PETRÓLEO - PPGCEP DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Leia mais

Simulação de um catálogo espectrofotométrico III ABC do método de Monte Carlo. Laerte Sodré Jr. Fevereiro, 2011

Simulação de um catálogo espectrofotométrico III ABC do método de Monte Carlo. Laerte Sodré Jr. Fevereiro, 2011 Simulação de um catálogo espectrofotométrico III ABC do método de Monte Carlo Laerte Sodré Jr. Fevereiro, 2011 O começo: População e Amostra População: uma coleção completa de objetos (pessoas, animais,

Leia mais

www.cefetcampos.br/softmat

www.cefetcampos.br/softmat COORDENAÇÃO DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO CPPG TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO NO PROCESSO DE ENSINO- APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA www.cefetcampos.br/softmat 2 1- Introdução A linguagem LOGO foi desenvolvida

Leia mais

Cálculo Numérico Computacional Lista 09 integral aproximada

Cálculo Numérico Computacional Lista 09 integral aproximada ORIENTAÇÃO ORIENTAÇÃO 2 Cálculo Numérico Computacional Lista 09 integral aproximada tarcisio@member.ams.org T. Praciano-Pereira Dep. de Matemática alun@: Univ. Estadual Vale do Acaraú 3 de março de 2008

Leia mais

6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D

6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D 6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D Até agora estudamos e implementamos um conjunto de ferramentas básicas que nos permitem modelar, ou representar objetos bi-dimensionais em um sistema também

Leia mais

Plano Curricular de Matemática 9º ano - 2014 /2015-3º Ciclo

Plano Curricular de Matemática 9º ano - 2014 /2015-3º Ciclo Plano Curricular de Matemática 9º ano - 2014 /2015-3º Ciclo Tema/Subtema Conteúdos Metas Nº de Aulas Previstas Org.Trat.Dados / Planeamento Estatístico Especificação do problema Recolha de dados População

Leia mais

Desenho Técnico. Desenho Projetivo e Perspectiva Isométrica

Desenho Técnico. Desenho Projetivo e Perspectiva Isométrica Desenho Técnico Assunto: Aula 3 - Desenho Projetivo e Perspectiva Isométrica Professor: Emerson Gonçalves Coelho Aluno(A): Data: / / Turma: Desenho Projetivo e Perspectiva Isométrica Quando olhamos para

Leia mais

GUIA DO PROFESSOR ATIVIDADE: RAIO DA TERRA

GUIA DO PROFESSOR ATIVIDADE: RAIO DA TERRA GUIA DO PROFESSOR ATIVIDADE: RAIO DA TERRA 1 - RESUMO DA ATIVIDADE Como exemplo de um método de medida, vamos mostrar como há três séculos antes de Cristo, Eratóstenes mediu o raio da Terra, utilizando

Leia mais

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Lic. Eng. Biomédica e Bioengenharia-2009/2010 Para determinarmos um valor aproximado das raízes de uma equação não linear, convém notar inicialmente

Leia mais

Distribuição de Freqüência

Distribuição de Freqüência Distribuição de Freqüência Representação do conjunto de dados Distribuições de freqüência Freqüência relativa Freqüência acumulada Representação Gráfica Histogramas Organização dos dados Os métodos utilizados

Leia mais

Bem, produto interno serve para determinar ângulos e distâncias entre vetores e é representado por produto interno de v com w).

Bem, produto interno serve para determinar ângulos e distâncias entre vetores e é representado por produto interno de v com w). Produto Interno INTRODUÇÃO Galera, vamos aprender agora as definições e as aplicações de Produto Interno. Essa matéria não é difícil, mas para ter segurança nela é necessário que o aluno tenha certa bagagem

Leia mais

Capítulo 1 Erros e representação numérica

Capítulo 1 Erros e representação numérica Capítulo 1 Erros e representação numérica Objetivos Esperamos que ao final desta aula, você seja capaz de: Pré-requisitos Identificar as fases de modelagem e os possíveis erros nelas cometidos; Compreender

Leia mais

Contagem I. Figura 1: Abrindo uma Porta.

Contagem I. Figura 1: Abrindo uma Porta. Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 4 Contagem I De quantos modos podemos nos vestir? Quantos números menores que 1000 possuem todos os algarismos pares?

Leia mais

NIVELAMENTO MATEMÁTICA 2012

NIVELAMENTO MATEMÁTICA 2012 NIVELAMENTO MATEMÁTICA 202 Monitor: Alexandre Rodrigues Loures Monitor: Alexandre Rodrigues Loures SUMÁRIO. LOGARITMOS... 3.. Mudança de base... 3.2. Propriedades dos logaritmos... 4 2. DERIVADAS... 4

Leia mais

XXXVI OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (11 de agosto de 2012) Nível (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental)

XXXVI OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (11 de agosto de 2012) Nível (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental) Instruções: XXXVI OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (11 de agosto de 2012) Nível (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental) Folha de Perguntas A duração da prova é de 3h30min. O tempo

Leia mais

Representação de números em máquinas

Representação de números em máquinas Capítulo 1 Representação de números em máquinas 1.1. Sistema de numeração Um sistema de numeração é formado por uma coleção de símbolos e regras para representar conjuntos de números de maneira consistente.

Leia mais