UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EMFÍSICA Fractais e Percolação na Recuperação de Petróleo Tese apresentada como requisito parcial para aobtenção do título de Doutor em Física. Autor: Orientador: Roosewelt Fonseca Soares Liacir dos Santos Lucena Natal, dezembro de 2007

2 Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Especializada do Centro de Ciências Exatas e da Terra - CCET. Soares, Roosewelt Fonseca. Fractais e percolação na recuperação de petróleo / Roosewelt Fonseca Soares. - Natal, RN, f. : il. Orientador : Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena. Tese (Doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-Graduação em Física. 1. Fractais - Tese. 2. Percolação - Tese. 3. Recuperação de petróleo - Tese. 4. Formas geométricas - Tese. I. Lucena, Liacir dos Santos. II. Título. RN/UF/BSE-CCET CDU 539.2

3 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EMFÍSICA BANCA EXAMINADORA Orientador: Liacir dos Santos Lucena Examinadores externos: Joaquim Elias de Freitas Murilo Pereira de Almeida Examinadores internos: Gilberto Corso (Co-orientador) Luciano Rodrigues da Silva i

4 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE Natal, 17 de dezembro de 2007 Autor: Título: Departamento: Grau: Roosewelt Fonseca Soares Fractais e Percolação na Recuperação de Petróleo Departamento de Física Teórica e Experimental Dr. Data da defesa: 17 de dezembro de 2007 Roosewelt F onseca Soares Assinatura do Autor ii

5 Agradecimentos Gostaria de expressar meus sinceros agradecimentos a todos aqueles que me ajudaram, de uma forma ou de outra, a desenvolver e realizar este trabalho. Em particular, e de modo especial, agradeço ao colega e grande amigo Joaquim Elias de Freitas pela idéia e iniciativa de trabalharmos juntos. Isto foi o começo de tudo. Ao professor Liacir dos Santos Lucena pela orientação segura, incentivo e entusiasmo constantes e, principalmente, pelas condições que criou para que eu pudesse conhecer e interagir com pessoas e centros do mais alto nível na atualidade. Ao professor Gilberto Corso pela co-orientação e pela participação sempre descontraída e de fundamental importância nos estudos que desenvolvemos. Ao colega Deílson Tavares cujas palavras de apoio e incentivo muito me ajudaram em momentos difíceis. À FINEP, PETROBRAS e FUNPEC, que através do projeto Estudo da Injeção Alternada de Água e Gás para Recuperação de Petróleo, Projeto WAG, possibilitaram conhecer e estudar alguns modelos novos de distribuição de poços de produção no Center for Polymer Studies na Boston University, com os professores Gerry Paul e H. E. Stanley. Ao professor Luciano Rodrigues da Silva que foi peça decisiva para nossa ida ao CPS-BU e essencial para o nosso entendimento com todo o grupo liderado pelo professor Stanley. Ao professor Carlos Chesman e seu orientando Charlie Salvador que fizeram várias evárias tentativas de reproduzir a propagação de um fluido em um meio poroso usando minúsculas esferas de vidro com o objetivo de digitalizar as imagens. Nada foi em vão, nada. Ao Departamento de Matemática pelo apoio recebido. Por fim agradeço àminhafamília pela paciência e confiança que todos sempre demonstraram. Natal, 17 de dezembro de iii

6 Dedico este trabalho aos meus pais Rui Soares Filgueira e Ana Nanú Fonseca Soares, ao meu irmão Rudson, à minha mulher Isis, aos meus filhos Marília, Lívia e Márcio, meu genro Marinho Neto e aos meus netinhos Artur e Caio. iv

7 Sumário Abstract xv Resumo xviii Apresentação xx 1 Fractais Introdução FractaisAuto-similareseAuto-afins DimensionalidadedeConjuntos Dimensão Topológica DimensõesFractais DimensãodeHausdorff DimensãodeContagemdeCaixas Dimensão de Escala Fractais Aleatórios Um Conjunto de Cantor Aleatório MedidasMultifractais Percolação Introdução Percolação por SítiosemumaRedeQuadrada v

8 2.3 Percolação por Ligações e Percolação Contínua ParâmetrodeOrdem DimensãoFractaldoAglomeradoInfinito Percolação em um Multifractal Introdução O Objeto Multifractal Q mf O Algoritmo de PercolaçãoeoEspectroMultifractal Simulações Numéricas Anisotropia e Limiar de Percolação no Suporte Multifractal Q mf Conclusões Física Estatística e Caminhos Mínimos na Recuperação de Petróleo Introdução Caminhos Mínimos Funções de Distribuição O Ansatz de Escala para Caminhos Mínimos Distribuição de Caminhos Mínimos em Múltiplos Poços Introdução O Caso Simétrico Os Casos Assimétricos Assimetria Interna Assimetria Externa ObservaçõesFinais Conclusões e Perspectivas 120 Apêndices 122 vi

9 A Fundamentação Matemática para o Espaço Métrico dos Fractais 123 A.1 Introdução A.2 Espaços Métricos A.3 Espaços Topológicos A.4 O Espaço Métrico (H (X),h) B Medida e Dimensão de Hausdorff 136 B.1 MedidadeHausdorff B.2 DimensãodeHausdorff C Teoria das Probabilidades 140 C.1 Introdução C.2 Probabilidade Condicional Referências Bibliográficas 144 vii

10 Lista de Figuras 1.1 Construção de 1883 do Conjunto de Cantor C desde C 0, chamado de iniciador e C 1 chamado de gerador. Observamos que C E e C D, as partes da esquerda e da direita, são réplicas de C escaladas pelo fator Construção da Curva de Koch F, desde F 0, chamado de iniciador, ef 1, chamado de gerador. Em cada estágio, o terço do meio de cada intervalo é substituído pelos outros dois lados de um triângulo eqüilátero Curva de Koch conhecida como Fractal Floco de Neve. F 0, um triângulo eqüilátero, é o estágio zero, F 1 com uma iteração, é o estágio um, F 2,com duas iterações, é o estágio dois, F 3,comtrês iterações, é o estágio três, F 4, com quatro iterações é o estágio quatro e F éacurvafloco de Neve Construção do Triângulo de Sierpinski E, desde E 0, chamado de iniciador, e E 1, chamado de gerador. Este conjunto apresenta duas das características comunsaosfractais:simetriaeauto-similaridade TapetedeSierpinski A Esponja de Menger é obtida a partir do iniciador, M 0 =[0, 1] [0, 1] [0, 1], e do gerador M 1. No limite, obtemos M Construção de uma Poeira de Cantor P Construçãodeuma PoeiradeCantor Construção de um fractal auto-similar B com duas razões de similaridades diferentes, desde B 0, chamado de iniciador, eb 1, chamado de gerador viii

11 1.10 Construção de um conjunto fractal auto-afim. Um quadrado sólido, A 0, chamado iniciador, é dividido em 3 4 = 12 partes retangulares iguais e as duas partes centrais são descartadas, formando A 1, o gerador. Repete-se o processo em cada um dos 10 retângulos sólidos de A 1,paraobterA 2,e assim por diante Construção de um conjunto fractal auto-afim. Um quadrado sólido, A 0, chamado iniciador, é dividido em 4 3 = 12 partes retangulares iguais. A metade dos retângulos se mantém e a outra metade é descartada, de modo que não haja dois retângulos com lados comuns em A 1, o gerador. Repetese o processo em cada um dos 6 retângulos sólidos de A 1,paraobterA 2,e assim por diante Construção de um conjunto fractal auto-afim. Um quadrado sólido, A 0, chamado iniciador, é dividido em 6 3 = 18 partes retangulares iguais. Oito desses retângulos se mantêm enquanto os outros dez são descartados do modo como mostrado na figura, para formar A 1, o gerador. Repete-se o processo em cada um dos oito retângulos sólidos de A 1,paraobterA 2,e assim por diante Estágio um da Curva de Peano chamado de iniciador Estágio dois da Curva de Peano chamado de gerador Terceiro estágiodacurvadepeano Quarto estágiodacurvadepeano Quinto estágiodacurvadepeano Sexto estágiodacurvadepeano Gráfico da Medida s-dimensional de Hausdorff do Conjunto de Cantor C, H s (C), versus s. A Dimensão de Hausdorff de C, dim H C,éovalorde s =ln2/ln 3 = 0, 6309 no qual H s (C), salta de infinito para zero Gráfico da Medida s-dimensional de Hausdorff da Curva de Koch F, H s (F ), versus s. A Dimensão de Hausdorff de F, dim H F, é o valor de s = ln 4/ln 3 = 1, 2618, no qual H s (F ), salta de infinito para zero ix

12 1.21 Três maneiras distintas de encontrar a Dimensão de Caixa de um subconjunto Ω do R n.(a) omenornúmero de bolas fechadas de raio δ que cobre Ω; (b) omenornúmero de cubos de lado δ que cobre Ω; e (c) onúmero de cubos da δ-malhaqueinterceptaω Em (a) um segmento de reta unitário com duas réplicas, N =2,em(b) um quadrado unitário com quatro réplicas, N = 4, eem(c) um cubo unitário com oito réplicas, N = 8, todas com fator de escala de ampliação b = Construção de um Conjunto de Cantor Aleatório C.Asrazões dos comprimentos I i1,..., i k,1 / I i1,..., i k têm a mesma distribuição estatística para cada i 1,..., i k, e similarmente para I i1,..., i k,2 / I i1,..., i k Construção da Medida Auto-similar do Conjunto de Cantor C. A massa em cada intervalo de C k na construção do Conjunto de Cantor, indicada pela área do retângulo, é dividida na proporção p 1 : p 2. Neste exemplo tomamos p 1 = 1 e p 3 2 = 2, ou seja, usamos a proporção 1 : 2, entre os dois subintervalos de C k+1. Continuando, este processo produzimos uma MedidaAuto-similarnoConjuntodeCantor Os primeiros passos da construção de um fractal dependente de uma probabilidade p. Neste exemplo, p =0, Rede quadrada Em (a), p = 0, todos os sítios estão vazios. Em (b) e(c), os sítios roxos são ocupados com, p =0, 2ep =0, 4, respectivamente, e estão isolados ou formam pequenos aglomerados. Em (d), p = 0, 6, os sítios amarelos formam um aglomerado percolante Aglomerados finitos de percolação por ligações em uma rede quadrada Percolação Contínua, modelo Queijo Suiço A magnetização espontânea, m, éoparâmetro de ordem em um sistema magnético. Abaixo de T c o sistema encontra-se em uma fase ordenada, m 0. Acima de T c o sistema encontra-se em uma fase desordenada, m = P é a probabilidade de um sítio pertencer ao aglomerado infinito. Éo parâmetro de ordem em sistemas de percolação. Para p<p c, P =0e para p>p c,0< P x

13 2.6 S éonúmero médio de sítiosdeumaglomeradofinito χ é a susceptibilidade magnética Os sítios pretos formam um aglomerado percolante em uma rede quadrada Os sítios coloridos formam aglomerados finitos. Mesmo considerando os efeitos de tamanho finito o aglomerado percolante apresenta uma auto-similaridade estatística Esta figura é uma ampliação de uma parte da figura anterior. Podemos observar uma auto-similaridade estatística Esta figura mostra os quatro primeiros passos na formação do multifractal Q mf. (a) Um segmento de reta vertical secciona o quadrado em duas partes, r =2es =3,cujarazão entre suas áreas é ρ = r/s =2/3. (b) Dois segmentos de retas horizontais dividem os retângulos na mesma razão ρ. (c) Indica o terceiro passo. (d) Indica o quarto passo. Em cada passo são mostradas as áreasdosblocoscorrespondentes Esta figura mostra o multifractal, Q mf, com um quadrado assinalado no centro. Tomamos n =12e(s, r) =(3, 2) Uma ampliação do quadrado assinalado na figura anterior Espectro das dimensões fractais D k de Q mf para n = 400 e (s, r) =(3, 2) Histograma das redes percolantes versus a probabilidade de ocupação p para os casos (s, r) =(1, 1), (s, r) =(2, 1), (s, r) =(4, 1) e (s, r) =(6, 1). As áreas sob as curvas estão normalizadas com a unidade Esta figura mostra, para os mesmos valores de (s, r) da Figura 3.5, um gráfico da fração das redes percolantes R L versus p. Foram usadas redes para se tomar a média Histograma das redes percolantes versus a probabilidade de ocupação p para diferentes tamanhos da rede. O gráfico mostra os picos em corcova que se aproximam quando n cresce. Nesta figura (s, r) =(6, 1) e 8 <n<18. Foram usadas redes para se tomar a média O objeto Q mf para ρ =1/3 en = 4. Introduzimos um quadrado no interior da figura para auxiliar a visualização xi

14 3.9 Apresentamos p c versus 1/L paraρ =2/3 (linha sólida) e ρ =1/4 (linha tracejada). Os valores acima correspondem a p b c e os valores abaixo correspondem a p e c.usamos4 n Apresentamos p c versus 1/L paraρ =2/3 (linha sólida) e ρ =1/4 (linha tracejada). Os valores acima correspondem a p b c e os valores abaixo correspondem a p e c. Usamos 4 n 10. Gráfico de p c med versus 1/L paraos mesmosdados Gráfico de p c med versus ρ. Os valores escolhidos de ρ estão indicados na figura.alinharetacorrespondeaomelhorajustelinear Dimensões típicas de reservatórios de petróleoedeamostras ReservatórioGirassolemAngola.Fonte:WorldOil Os sítios pretos formam um aglomerado percolante em uma rede quadrada Os sítios coloridos formam aglomerados finitos. A linha marron horizontal é a distância euclidiana, r, entre dois sítios do aglomerado percolante e a linha vermelha é um caminho mínimo, l, entre eles O quadrado preto vazio representa um poço injetor, o quadrado preto cheio representa um poço produtor, considerado como caso padrão. A linha marron horizontal é a distância euclidiana, r, e a linha vermelha éumcaminho mínimo de comprimento, l, entre eles Gráfico log-log da distribuição de caminhos mínimos, P(l r), no limiar de percolação para o caso padrão de um poço injetor e um poço produtor Em (a) a distribuição conhecida como five-spot e em (b) a distribuição conhecida como nine-spot Simetria interna. Um poço injetor, círculo vazio, no centro de uma distribuição simétrica de poços produtores, círculos cheios. (a) Doispoços produtores; (b) Quatro poços produtores; (c) Oitopoços produtores; (d) Dezesseis poçosprodutores xii

15 5.4 Um poço injetor no centro de uma distribuição simétrica de poços de produção. Os poços produtores estão em um círculo de raio R. Dois caminhos típicos estão indicados: Ω 1 éumcaminhocurtoquenão sai do círculo e Ω 2 é um caminho muito longo que sai do círculo onde se encontram os poços produtores Gráfico log-log da distribuição de caminhos mínimos, P(l A), versus l/r d min, no limiar de percolação para os arranjos da Figura 5.3. Nas simulações L = 500 e R = 64. Cinco casos correspondentes a 1, 2, 4, 8 e 16 poços produtores estãoindicadosnafigura Assimetria interna. Um poço injetor, círculo vazio, deslocado do centro, círculo sombreado, e uma distribuição simétrica de poços produtores, círculos cheios. (a) Doispoços produtores; (b) Quatro poços produtores; (c) Oito poços produtores; (d) Dezesseis poçosprodutores Assimetria interna. O centro da distribuição está representado pelo círculo sombreado, o injetor está deslocado do centro e quatro produtores distribuídos simetricamente sobre um círculo de raio R. As distâncias euclidianas r i,1 i 4 estãoindicadasporsetas Gráfico log-log da distribuição de caminhos mínimos, P(l A), versus l/r d min, no limiar de percolação para os arranjos da Figura 5.6. Nas simulações L = 500, R =64eR 1 = 32. Cinco casos correspondentes a 1, 2, 4, 8 e 16 poços produtores estãoindicadosnafigura Assimetria externa. Um poço injetor, círculo vazio,é exterior à distribuição simétrica de poços produtores, círculos cheios. Ocírculo sombreado representa o centro da distribuição. (a)doispoços produtores; (b) Quatro poços produtores; (c) Oitopoços produtores; (d) Dezesseis poços produtores Assimetria externa. O centro da distribuição está representado pelo círculo sombreado, o injetor está localizado fora da distribuição de quatro poços produtores distribuídos simetricamente sobre um círculo de raio R. As distâncias euclidianas r i,1 i 4, estãoindicadasporsetas xiii

16 5.11 Gráfico log-log da distribuição de caminhos mínimos, P(l A), versus l/r d min, no limiar de percolação para os arranjos da Figura 5.9. Nas simulações L = 500, R =16eR 1 = 16. Cinco casos correspondentes a 1, 2, 4, 8 e 16 poços produtores estãoindicadosnafigura A.1 Um conjunto A esuaδ-vizinhança A δ A.2 (a) Um conjunto aberto - existe uma bola contida no conjunto centrada em cada ponto do conjunto. (b) Um conjunto fechado - o limite de qualquer seqüência convergente de pontos do conjunto está no conjunto. (c) A fronteiradoconjuntoem(a)ou(b) A.3 Um caminho f 0 queconectaospontosx e y é deformado continuamente, enquanto permanece fixado em x e y, para tornar-se um segundo caminho f A.4 Em um espaço multiplamente conexo não existem caminhos que possam ser continuamente deformados a partir do caminho f 0 até coincidir com o caminho f 1. Existe uma espécie de buraco entre f 0 e f B.1 Conjuntos reescalados por um fator λ, o comprimento cresce pelo fator λ, (comprimento λ); a área por um fator λ 2,(área λ 2 ); e a medida s-dimensional de Hausdorff por um fator λ s,(h s λ s ) B.2 Gráfico de H s (F ) versus s para um conjunto F. A dimensão de Hausdorff éovalordes no qual ocorre o salto de para xiv

17 Lista de Tabelas 2.1 Limiares de percolação para vários tipos de redes selecionados. Em todos oscasos,somenteprimeirosvizinhosformamaglomerados Valores exatos a e melhores estimativas numéricas b para os expoentes críticos em modelos de percolaçãoemagnetismo Valores de p c, d f,eβ para vários multifractais caracterizados pelos diferentes pares (s, r) Estimativa de Δp max e[s/(s + r)] n para vários passos n Valores de p c e ζ med para diversos pares (s, r) xv

18 Abstract The complex behavior of a wide variety of phenomena that are of interest to physicists, chemists, and engineers has been quantitatively characterized by using the ideas of fractal and multifractal distributions, which correspond in a unique way to the geometrical shape and dynamical properties of the systems under study. In this thesis we present the Space of Fractals and the methods of Hausdorff-Besicovitch, box-counting and Scaling to calculate the fractal dimension of a set. In this Thesis we investigate also percolation phenomena in multifractal objects that are built in a simple way. The central object of our analysis is a multifractal object that we call Q mf. In these objects the multifractality comes directly from the geometric tiling. We identify some differences between percolation in the proposed multifractals and in a regular lattice. There are basically two sources of these differences. The first is related to the coordination number, c, which changes along the multifractal. The second comes from the way the weight of each cell in the multifractal affects the percolation cluster. We use many samples of finite size lattices and draw the histogram of percolating lattices against site occupation probability p. Depending on a parameter, ρ, characterizing the multifractal and the lattice size, L, the histogram can have two peaks. We observe that the probability of occupation at the percolation threshold, p c,forthe multifractal is lower than that for the square lattice. We compute the fractal dimension of the percolating cluster and the critical exponent β. Despite the topological differences, we find that the percolation in a multifractal support is in the same universality class as standard percolation. The area and the number of neighbors of the blocks of Q mf show a non-trivial behavior. A general view of the object Q mf shows an anisotropy. The value of p c is a function of ρ which is related to its anisotropy. We investigate the relation between p c and the average number of neighbors of the blocks as well as the anisotropy of Q mf. In this Thesis we study likewise the distribution of shortest paths in percolation systems at the percolation threshold in two dimensions (2D). We study paths from one given point to multiple other points. xvi

19 In oil recovery terminology, the given single point can be mapped to an injection well (injector) and the multiple other points to production wells (producers). In the previously standard case of one injection well and one production well separated by Euclidean distance r, the distribution of shortest paths l, P(l r), shows a power-law behavior with exponent g l =2.14 in 2D. Here we analyze the situation of one injector and an array A of producers. Symmetric arrays of producers lead to one peak in the distribution P(l A), the probability that the shortest path between the injector and any of the producers is l, while the asymmetric configurations lead to several peaks in the distribution. We analyze configurations in which the injector is outside and inside the set of producers. The peak in P(l A) for the symmetric arrays decays faster than for the standard case. For very long paths all the studied arrays exhibit a power-law behavior with exponent g = g l. xvii

20 Resumo O comportamento complexo de uma ampla variedade de fenômenos que são de interesse de matemáticos, físicos, químicos e engenheiros é caracterizado quantitativamente por meio de idéias de distribuições de fractais e multifractais, que correspondem de modo único à forma geométrica e a propriedades dinâmicas dos sistemas em estudo. Nesta tese apresentamos o Espaço dos Fractais eosmétodos de Hausdorff-Besicovitch, de Contagem de Caixas edeescala, para calcular a Dimensão Fractal de um Conjunto. Estudamos também fenômenos de percolação em objetos multifractais construídos de maneira simples. O objeto central de nossas análises é um objeto multifractal que chamamos de Q mf. Nestes objetos a multifractalidade surge diretamente da sua forma geométrica. Identificamos algumas diferenças entre percolação nos multifractais que propusemos e percolação em uma rede quadrada. Existem basicamente duas fontes destas diferenças. A primeira está relacionada com o número de coordenação, c, quemudaao longo do multifractal. A segunda vem da maneira como o peso de cada célula no multifractal afeta o aglomerado percolante. Usamos muitas amostras de redes de tamanho finito e fizemos o histograma de redes percolantes versus a probabilidade de ocupação p. Dependendo de um parâmetro, ρ, que caracteriza o multifractal e o tamanho da rede, L, o histograma pode ter dois picos. Observamos que a probabilidade de ocupação no limiar de percolação, p c,paraomultifractal, em suporte d =2,é menor do que para a rede quadrada. Calculamos a dimensão fractal do aglomerado percolante e o expoente crítico β. A despeito das diferenças topológicas, encontramos que a percolação em um suporte multifractal está na mesma classe de universalidade da percolação padrão. Aárea e o número de vizinhos dos blocos de Q mf apresentam um comportamento não-trivial. Uma visão geral do objeto Q mf mostra uma anisotropia. O valor de p c éuma função de ρ que está relacionada com esta anisotropia. Analisamos a relação entre p c eo número médio de vizinhos dos blocos, assim como, a anisotropia de Q mf. Nesta tese estudamos também a distribuição de caminhos mínimos em sistemas percolativos no limiar de percolação em duas dimensões (2D). Estudamos caminhos que começam em um determinado ponto e terminam em vários outros pontos. Na terminologia da indústria do petróleo, ao ponto inicial dado associamos um poço de injeção (injetor) e aos outros pontos associamos poços de produção (produtores). No caso padrão apresentado anteriormente de um poço de injeção e um poço de proxviii

21 dução, separados por uma distância euclidiana r, a distribuição de caminhos mínimos l, P(l r), apresenta um comportamento de lei-de-potência com expoente g l =2, 14 em 2D. Analisamos a situação de um injetor e uma matriz A de produtores. Configurações simétricas de produtores levam a uma distribuição, P(l A), com um único pico, que é a probabilidade que o caminho mínimo entre o injetor e a matriz de produtores seja l, enquanto que as configurações assimétricas levam a vários picos na distribuição P(l A). Analisamos situações em que o injetor está foraesituações em que o injetor está nointeriordoconjuntodepoços produtores. O pico em P(l A) nas configurações assimétricas decai mais rápido do que no caso padrão. Para os caminhos muito longos todas as configurações estudadas exibiram um comportamento de lei-de-potência com o expoente g g l. xix

22 Apresentação Quando se trata do assunto fractais, é comum ouvirmos perguntas do tipo O que são fractais?, O que é dimensão fractal?, Como podemos encontrar a dimensão de um fractal e o que isto significa?, ou, Como podemos aplicar matemática aos fractais?. Esta tese está dividida em cinco capítulos e três apêndices. O primeiro capítulo tenta responder alguns destes questionamentos sobre fractais e dá umapequenanoção sobre a construção de fractais matemáticos conhecidos, trata da dimensionalidade de conjuntos, assim como, da dimensão topológica e dos métodos de Hausdorff-Besicovitch, de contagem de caixas edeescala para encontrar a dimensão fractal de um conjunto. Mostramos também algumas propriedades geométricas dos fractais e estudamos conjuntos fractais auto-similares e auto-afins, exemplos da teoria dos números, da matemática pura e alguns fractais aleatórios. Apresentamos no Apêndice A uma fundamentação matemática para o Espaço Métrico dos Fractais enoapêndice B damos uma breve introdução sobre Medida de Hausdorff e Dimensão de Hausdorff. No Capítulo 2 fazemos uma introdução à Teoria da Percolação, onde definimos percolação por sítios em uma rede quadrada, percolação por ligações e percolação contínua. Tratamos também do parâmetro de ordem em sistemas magnéticos e em sistemas percolativos, do comprimento de correlação, ξ, dosexpoentes críticos β, ν e γ e da dimensão fractal do aglomerado infinito. No Capítulo 3 estudamos fenômenos de percolação em objetos multifractais construídos de maneira simples e recursiva. O objeto central deste capítulo é um multifractal que chamamos de Q mf. No Capítulo 4 damos uma noção de algumas aplicações da Física Estatística àindústria do petróleo através da utilização das leis de escala da teoria da percolação e apresentamos a probabilidade condicional, P(l r), que dois sítios em um aglomerado percolante, separados por uma distância euclidiana r, estejam a uma distância química l. No Apêndice C falamos um pouco sobre Teoria das Probabilidades e Probabilidade Condicional. No Capítulo 5 apresentamos uma distribuição de caminhos mínimos em sistemas percolativos no limiar de percolação em duas dimensões (2D). Estudamos caminhos que começam em um determinado ponto e terminam em vários outros pontos. xx

23 Capítulo 1 Fractais Uma geometria capaz de incluir montanhas e nuvens existe agora. Como tudo em ciência, esta nova geometria tem raízes muito extensas e profundas. Benoît Mandelbrot 1.1 Introdução No passado a matemática era, quase que exclusivamente, associada a conjuntos e funções cujos métodos clássicos do cálculo podiam ser aplicados. Conjuntos ou funções que não fossem suficientemente regulares tendiam a ser ignorados como patologias e não eram dignos de estudo. Certamente eram considerados como curiosidades individuais e, apenas raramente pensados como pertencentes a uma classe à qual se pudesse aplicar uma teoria geral. Esta atitude mudou nas últimas quatro décadas, houve a compreensão que vale a pena estudar a matemática dos objetos não regulares e muito progresso se obteve nesta área durante este tempo. Além disso, os conjuntos irregulares se mostraram muito mais adequados do que as figuras da geometria euclidiana clássica na representação de vários fenômenos naturais. A geometria fractal [1], tem uma estrutura muito mais abrangente para o estudo destes conjuntos irregulares chamados fractais. Os fractais se enquadram em duas categorias, determinísticos e aleatórios. EmFísica os fractais se encontram na categoria aleatórios, no entanto, iniciamos este trabalho 1

24 tratando com alguns exemplos determinísticos. Nas próximas seções damos uma visão superficial sobre alguns exemplos mais simples e mostramos como construir um conjunto fractal apresentando algumas de suas características principais e damos também uma noção sobre algumas definições de dimensão de um fractal [2, 3, 4]. 1.2 Fractais Auto-similares e Auto-afins O primeiro exemplo de fractal que apresentamos, éoconjunto de Cantor, (Georg Cantor, ), que denotamos por C [5]. OconjuntoC é um dos fractais mais conhecidos, um dos mais fáceis de serem construídos e foi obtido pela primeira vez em 1883 [6]. Para construir o conjunto C, começamos com um intervalo unitário fechado, C 0 =[0, 1], (1.1) ver Figura 1.1. Em seguida, retiramos de C 0 o intervalo ( 1, 2 3 3),queé o terço aberto do meio, e denotamos o conjunto fechado restante por C 1. Consideremos os intervalos fechados, [ C 00 = 0, 1 ] [ 1, C 01 = 3 3, 2 ] [ ] 2, C 02 = 3 3, 1. Temos que, C 1 = C 00 C 02. (1.2) Depois, retiramos de C 1 os intervalos ( 1, ( 2 9 9) e 7, 8 9 9),quesão os terços abertos do meio de cada intervalo fechado de C 1, e denotamos o conjunto fechado resultante por C 2. Consideremos agora, os intervalos fechados, [ ] [ ] [ ] 1 2 C 000 =, C 001 =, C 002 =, Então, C 020 = 0, 1 9 [ 2 3, 7 9 ], C 021 = 9, 2 9 [ 7 9, 8 9 ], C 022 = 9, 1 3 [ ] 8 9, 1. C 2 = C 000 C 002 C 020 C 022. (1.3) 2

25 0 1/3 2/3 1 C0 C 1 C 2 C 3 C 4 C E C D C 5 C Figura 1.1: Construção de 1883 do Conjunto de Cantor C desde C 0, chamado de iniciador e C 1 chamado de gerador. Observamos que C E e C D, as partes da esquerda e da direita, são réplicas de C escaladas pelo fator 1 3. Continuando este processo de retirada dos terços abertos do meio de cada intervalo fechado do estágio anterior, obtemos uma seqüência de conjuntos fechados C k, onde cada um contém os seus sucessores, e C k+1 é obtido retirando-se os terços abertos do meio de cada intervalo fechado de C k, ou seja, C 0 C 1 C 2 C k. Então, C k consiste de 2 k intervalos de comprimentos 3 k. Logo, o comprimento de, C k,é dado por, ( ) k 2 L(C k )=, (1.4) 3 onde, k =0, 1, 2, 3,... Assim, o Conjunto de Cantor é definido por, C = C k. (1.5) k=0 Deste modo, C pode ser considerado como o limite de uma seqüência de conjuntos C k, quando k tende a infinito, isto é, C = lim k C k, (1.6) 3