Modelos de Estrutura Temporal de Taxas de Juro Mestrado em Matemática Financeira 07/08 IBS e FCUL

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Milton Aquino Coelho
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1 Modlos d Estrutura Tmporal d Taxas d Juro Mstrado m Matmática Financira 07/08 IBS FCUL /Dz/08 Exam a Época - Rsolução Duração: 3h. (a) A ODE dψ (t t 0 ) σ ψ (t t 0 ) kψ (t t 0 )+μ = dt, pod sr rscrita como σ dψ (t t 0 ) ψ (t t0 )+ k+h σ ψ (t t0 )+ k h σ = dt, () visto qu k±h σ sãoasduasraízsdasguintquaçãodo o grau: σ ψ (t t 0 ) kψ (t t 0 )+μ =0. Uma vz qu σ ψ (t t0 )+ k+h σ ψ (t t0 )+ k h σ = = a ψ (t t 0 )+ k+h ½ k h σ ½ b = h a = h σ + a + k+h b = σ σ a + b =0, b ψ (t t 0 )+ k h σ ntão a quação () pod sr rscrita como h dψ (t t 0 ) ψ (t t 0 )+ k+h σ dψ (t t 0 ) h ψ (t t 0 )+ k h σ = dt. h ln ψ (t t 0)+ k + h σ ψ h ln (t t 0 )+ k h σ = t + C, () sndo C uma constant d intgração. Rsolvndo a quação () m rlação a ψ (t t 0 ): h ln ψ (t t 0 )+ k+h σ ψ (t t 0 )+ k h = t + C, (3) σ

2 i.. ou Consquntmnt, ψ (t t 0 )+ k + h σ ψ (t t 0 )+ k + h σ = ψ (t t 0 ) h(t+c) + k h σ h(t+c), = ψ (t t 0 ) h(t+c) k h σ h(t+c). ou ψ (t t 0 ) = k h h(t+c) k+h σ σ h(t+c) = (k h) h(t+c) (k + h), (4) σ [ h(t+c) ] ψ (t t 0 ) = k h h(t+c) k+h σ σ + h(t+c) = (k h) h(t+c) (k + h). (5) σ [ + h(t+c) ] Impondo a condição trminal ψ (0) = λ às quaçõs (4) (5), ntão i.. ou λσ ht 0 hc =(k h) ht 0 hc (k + h), hc = ht 0 λσ + k + h λσ + k h, (6) λσ + ht 0 hc = (k h) ht 0 hc (k + h), i.. hc = ht λσ + k + h 0 λσ + k h. (7) Combinando as quaçõs (4) (6), ψ (t t 0 ) = (k h) ht ht 0 λσ +k+h (k + h) λσ +k h σ ht ht 0 λσ +k+h λσ +k h = (k h) h(t t 0) (λσ + k + h) (k + h)(λσ + k h) σ (λσ + k h) σ h(t t 0) (λσ + k + h) = h(t t 0) [λσ (k h) σ μ] [λσ (k + h) σ μ] σ λσ [ h(t t 0) ]+σ [k h (k + h) h(t t 0) ] = h(t t 0) [λ (k h) μ] λ (k + h)+μ λσ [ h(t t 0) ]+k h (k + h) h(t t 0) = λ h + k +(h k) h(t t 0) +μ h(t t 0) σ λ [ h(t t 0) ] + h k +(k + h) h(t t 0).

(5) σ [ + h(t+c) ] Impondo a condição trminal ψ (0) = λ às quaçõs (4) (5), ntão i.. ou λσ ht 0 hc =(k h) ht 0 hc (k + h), hc = ht 0 λσ + k + h λσ + k h, (6) λσ + ht 0 hc = (k h) ht 0 hc (k + h), i.

3 (b) O payoff final d um floorlt com vncimnto no momnto t i+, sobr a taxa d juro nominal m vigor ntr os momntos t i (>t i+ )t i+,comumafllor rat igual a k com um contract siz unitário é dado por Floorlt(t i+ )=(t i+ t i ) [k E (t i,t i+ )] +. Consquntmnt, ½ [k E (ti,t i+ )] + ¾ F loorlt (t i ) = P (t i,t i+ )(t i+ t i ) E Qi+ P (t i+,t i+ ) Ft i = P (t i,t i+ ) E Qi+ [(ti+ t i ) k (t i+ t i ) E (t i,t i+ )] + ª F ti (8). Por outro lado, P (t i,t i+ )= +(t i+ t i ) E (t i,t i+ ). (9) Combinando as quaçõs (8) (9), ( ) Floorlt(t i ) = P (t i,t i+ ) E Qi+ (t i+ t i ) k + P (t i,t i+ ) + Ft i ( ) = [+(t i+ t i ) k] E Qi+ P (t i,t i+ ) + +(t i+ t i ) k Ft i = [+(t i+ t i ) k] c ti P (t i,t i+ ); +(t i+ t i ) k ; t i. F loorlt (0) = [ + (t i+ t i ) k] c 0 P (0,t i+ ); (c) O payoff a liquidar daqui a anos é igual a +(t i+ t i ) k ; t i. EUR, 000, 000 E 6M (.5) = EUR, 000, 000 E 6M (.5), ond E 6M (.5) dsigna a Euribor a 6 mss m vigor daqui a.5 anos. o valor actual d tal payoff édadopor EUR, 000, 000 [P (0,.5) P (0, )], ond P (0,t) rprsnta o factor d dsconto intrbancário a t anos. Opraçõs financiras a fctuar: i) Contrair financiamnto a anos no valor d EURM; ii) Efctuar uma aplicação financira a.5 anos no valor d EURM; rinvstir, daqui a.5 anos, o valor acumulado dsta aplicação por mais 6 mss. 3

Consquntmnt, ½ [k E (ti,t i+ )] + ¾ F loorlt (t i ) = P (t i,t i+ )(t i+ t i ) E Qi+ P (t i+,t i+ ) Ft i = P (t i,t i+ ) E Qi+ [(ti+ t i ) k (t i+ t i ) E (t i,t i+ )] + ª F ti (8).

4 (a) O payoff trminal d uma opção rang asst-or-nothing é dado por RA T (S, X, T )=MS T {Xa <S T <X b }. Consquntmnt, RA t (S, X, T ) = r(t t) ME Q ST {Xa <S T <X b } F t µ = S t qt ST {Xa <S ME T <X b } QS S T qt Ft = MS t q(t t) Q S (X a <S T <X b F t ) = MS t q(t t) [Q S (S T <X b F t ) Q S (S T <X a F t )]. (0) Combinando as quaçõs dos handouts, para β< sndo Q S (S T <X F t )= Q χ (+ β,x ) κ := Combinando as quaçõs (0) (), RA t (S, X, T )=MS t q(t t) hf χ (+ β,x ) No caso m aprço κ = κx β, () (r q) ( β) δ [ ( β)(r q)(t t) ], () x := κs β t ( β)(r q)(t t). (3) δ = 8% 0.5 ³ κx β b = 0.3, F χ (+ β,x ) (3% 0%) (.5) 0.3 [ (.5)(3% 0%) 0.5 ] = 3.74, x = (.5)(3% 0%) 0.5 = i κx β a. (4) RA t = 00 EUR0 F χ (6,979.0) F χ (6,979.0) = EUR, 000 F χ (6,979.0) (59.79) F χ (6,979.0) (763.46). Utilizando a tabla do nunciado, RA t = EUR, 000 ( ) = EUR

5 (a) O valor actual do IRS corrspond à difrnça ntr o valor actual do ramo variávl (00%) mnos o valor actual do ramo fixo: 6% IRS (0) = 00% P (0, 0.5) + 3% P (0, ) + 03% P (0,.5) = 00% (3% % % 0.967) = 5.0%. Para um montant igual a,000,000 EUR, o valor do IRS é igual a 50,0 EUR. (b) O valor actual do floorlt pod sr scrito como uma call Europia sobr uma obrigação d cupão zro: F loorlt 0 = M ( %) c 0 P (0,.5) ; % ;. Utilizando a Proposição 59 dos apontamntos, c 0 P (0,.5) ; % ; = P (0,.5) Φ d V P (0, ) % Φ d V 0 = Φ d V Φ d V 0, ond r 0.06 v (0,,.5) = [ (.5 ) ] =.55%, d V = ln (.55%).55% = , d V 0 = % = c 0 P (0,.5) ; % ; = Φ ( ) Φ ( ) = = 0.974%, (5) F loorlt 0 = M ( %) 0.974% = 9,

(b) O valor actual do floorlt pod sr scrito como uma call Europia sobr uma obrigação d cupão zro: F loorlt 0 = M ( + 0.5 3%) c 0 P (0,.5) ; +0.5 3% ;.

6 (c) D acordo com a Proposição 6 dos apontamntos, o valor actual da call sobr a CBB pod sr dcomposto numa cartira d calls Europias sobr PBD: c 0 (B t ; X =0.37%; T =) =.5% c 0 [P (0,.5) ; X ; T =]+0.5% c 0 [P (0, ) ; X ; T =]. Os striks podm sr obtidos via quação (37) dos apontamntos: X = xp[a (.5 ) B (.5 ) 3.334%] = xp( %) = 98.5%, X = xp[a ( ) B ( ) 3.334%] = xp( %) = 97.47%. c 0 (B t ; X =0.37%; T =) (6) =.5% c 0 [P (0,.5) ; 98.5%; T = ] + 0.5% c 0 [P (0, ) ; 97.47%; T =]. A sgunda call já foi avaliada na alína antrior vid quação (5): c 0 P (0,.5) ; % =0.985; = 0.974%. (7) Rlativamnt à primira call, o nunciado fornc o sguint valor actual: Combinando as quaçõs (6), (7) (8), c 0 [P (0, ) ; 97.47%; T =]=.649%. (8) c 0 (B t ; X =0.37%; T =) =.5% 0.974% + 0.5%.649% =.75%. (a) Visto qu um caplt também pod sr avaliado como sndo uma put Europia sobr uma obrigação d cupão zro, ntão ( + 5% 0.5) c 0 [E (0,,.5) ; 5%;.5] = p 0 P (0,.5) ; % 0.5 ;. (9) 6

63 3.334%) = 97.47%. c 0 (B t ; X =0.37%; T =) (6) =.5% c 0 [P (0,.5) ; 98.5%; T = ] + 0.5% c 0 [P (0, ) ; 97.47%; T =]. A sgunda call já foi avaliada na alína antrior vid quação (5): c 0 P (0,.

7 Via Proposição 68 p 0 [P (0,.5) ; ; ] = P (0,.5) Q χ ( 4 3.5% 0.,ζ ) % P (0, ) Q χ (8,ζ ) µ r L µ r L, (0) sndo q γ = + (0%) = , 8r t γ γ(t t) ζ = σ [ γ(t t) ] {γ [ γ(t t) +]+[k σ B (T T )] [ γ(t t) ]} = 8 4% ( ) ( 0.360) ª = , L = σ γ(t t) γ [ γ(t t) +]+[k σ B (T T )] [ γ(t t) ] 0. ( ) = [ ]+[ 0. ( 0.360)] ( ) = r = ln (K) A (T T ) B (T T ) ln (97.56%) A (.5 ) = B (0.5) ln (97.56%) ( ) = = 5.777%, p 0 [P (0,.5) ; ; ] = µ 5.777% Q χ (8, ) % Q χ (8, ) µ 5.777% (). 7

004993766 ª = 4.9944304, L = σ γ(t t) γ [ γ(t t) +]+[k σ B (T T )] [ γ(t t) ] 0. (.004993766 ) =.004993766 [.004993766 +]+[ 0. ( 0.360)] (.004993766 ) = 0.

8 As probabilidads contidas na quação antrior podm sr calculada via aproximação d Sankaran, i.. Q χ (a,b) (z) = P χ (a, b) z ( χ h µ ) h (a, b) z = P a + b a + b " z h # Φ a+b μ h, () σ h ond μ h := + h (h ) a +b (a +b) h (h ) ( h)( 3h) (a + b) σ (a +b) h := h (a + b) ( h)( 3h) a +b (a + b) (a + b) 4, (3), (4) h := 3 (a + b)(a +3b)(a +b). (5) Comçando por Q χ (8, ) ( ), a =8, b = , h = ( ) ( ) 3 ( ) = , μ h = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = , σ h : = ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) = Utilizando a quação (), Q χ (8, ) ( ) = Φ " ( ) # = (6) 8

(a + b) 4, (3), (4) h := 3 (a + b)(a +3b)(a +b). (5) Comçando por Q χ (8,4.9944304) (53.5433488), a =8, b =4.997554, h = (8 + 4.997554) (8 + 3 4.997554) 3 (8 + 4.997554) = 0.34485544, 8 + 4.

9 Finalmnt, combinando as quaçõs () (6), p 0 [P (0,.5) ; ; ] = % = (7) Em suma, combinando as quaçõs (9) (7), ( + 5% 0.5) c 0 [E (0,,.5) ; 5%;.5] = = (b) Como o futuro é um Q-martingal, ntão Por outro lado, como F 0 = EUR50, 000 E Q [00% E (T,T +0.5) F 0 ]. P (T,T +0.5) = +0.5 E (T,T +0.5), ntão ½ F 0 = EUR50, 000 E Q ¾ 0.5 P (T,T +0.5) F 0 ½ = EUR50, ¾ 0.5 E Q P (T,T +0.5) F0 = EUR50, 000 {3 E Q [xp( A (0.5) B (0.5) r T ) F 0 ]} = EUR50, 000 {3 xp ( A (0.5)) E Q [xp( B (0.5) r T ) F 0 ]}.(8) O valor sprado E Q [xp( B (0.5) r T ) F 0 ] pod sr obtido via Proposição 66 com λ = B (0.5), μ =0, t = T t 0 =0: E Q [xp( B (0.5) r T ) F 0 ]=xp φ B(0.5),0 (T ) 4% ψ B(0.5),0 (T ). (9) Paraocontratomaprço, T =, portanto, h = k =, " # φ B(0.5),0 () = 3.5% 4 ln ( 0.36) ( ) + +(+) = , ψ B(0.5),0 () = 0.36 [++( ) ]+ 0 [ ] 0. ( 0.36) ( ) + +(+) =

5), ntão ½ F 0 = EUR50, 000 E Q ¾ 0.5 P (T,T +0.5) F 0 ½ = EUR50, 000 + ¾ 0.5 E Q P (T,T +0.5) F0 = EUR50, 000 {3 E Q [xp( A (0.5) B (0.5) r T ) F 0 ]} = EUR50, 000 {3 xp ( A (0.5)) E Q [xp( B (0.

10 Rcuprando a quação (9), E Q [xp( B (0.5) r T ) F 0 ] = xp[ % ( )] =.034,, portanto, a quação (8) implica qu F 0 = EUR50, 000 [3 xp (0.0064).034] = EUR48,

11 Rfrências

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