Métodos de Previsão em Negócios Soluções das Atividades

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1 Métodos de Previsão em Negócios Soluções das Atividades Lupércio França Bessegato- Instituto de Educação Continuada/PUCMinas Curso de Especialização em Economia Empresarial Resumo. Solução das atividades extra-classe da disciplina. Keywords: Econometria, modelos de regressão, métodos computacionais, ensino

2 . Distribuição Normal de Probabilidades. Atividade # Ativos: Ativo X N(, ) Ativo Y N(, ) Ativo V N(, 3 ) Ativo W N(,, 5 ) Carteiras: Carteira : P =.W Carteira : P = 5W + 5V Carteira 3: P 3 = 5X + 5Y + 5V + 5W Retornos das Carteiras: Carteira : µ = E(P ) =. = $. Carteira : µ = E(P ) = = $. Carteira 3: µ 3 = E(P 3 ) = = $. Risco (volatilidade) das Carteiras: Supondo os ativos independentes Carteira : σ = V ar(p ) =. =. σ =. = $. Carteira : σ = V ar(p ) = 5, =.3.5 σ =.3.5 = $.5, 69 Carteira 3: σ 3 = V ar(p 3 ) = , 5 = σ 3 = = $943, 73. P {P i >.}: carteira : P {Z >.. }=P {Z. > }=, 8 carteira : P {Z >.. }=P {Z.5,69 >, 3}=, 934 carteira 3: P {Z >.. }=P {Z 943,73 >, }=, 7. P {P i > 5.}: carteira : P {Z > 5.. }=P {Z. > 5} carteira : P {Z > 5.. }=P {Z.5,69 >, 88}=, 998 carteira 3: P {Z > 5.. }=P {Z 943,73 > 3, 8}=, 999. Teste de Hipóteses e Intervalo de Confiança. Atividade #. Estatística descritivas: Variável Média amostral Desvio padrão amostral Idade (x) 38, 933 3, 35 Desemprego (y) 6, 8, 345

3 . Intervalo com 95% de confiança para Idade média: x ± t n ;,5 s n 38, 933 ± 3, 35, [3, 54; 46, 33] 3. Teste de hipóteses para duração média do desemprego: H : µ 4, 6 vs. H : µ > 4, 6 Nível de significância α =, Valor crítico do teste: tc = t 5 ;, =, 6449 Estatística de teste: 6, 8 4, 6 T =, 345/ =, Teste: T =, 84 < t c =, 64 Decisão: não há evidências para se rejeitar H, ou seja, a amostra não fornece evidências para concluir que o índice de desemprego da área de atuação do sindicato seja maior que a média nacional 4. : Coeficiente de correlação: r =, 844 Há um forte grau de associação linear entre as variáveis, mas nada podemos afirmar sobre uma relação causal entre idade e tempo de desemprego

4 Atividade 3 Correlação - Diagrama de Dispersão Scatterplot of Fumo vs Álcool 4,5 Ireland 4, Fumo 3,5 3,,5 4, 4,5 5, Álcool 5,5 6, 6,5 - Padrão do gráfico e desvios importantes: Os pontos do gráfico mostram uma correlação positiva (mais despesa com fumo mais despesa com álcool ou vice-versa). Ireland é um ponto discrepante do comportamento global 3- Correlação: MTB > correlation álcool fumo Correlations: Álcool; Fumo Pearson correlation of Álcool and Fumo =,4 (correlação fraca) P-Value =,59 MTB > correlation álcool fumo; SUBC> exclude; SUBC> rows. Correlations: Álcool; Fumo Excluding specified rows: rows excluded Pearson correlation of Álcool and Fumo =,784 (correlação forte) P-Value =,7 A correlação sem Ireland é mais forte. De maneira diversa às outras regiões, as despesas domésticas com fumo são maiores do que as despesas com álcool (no mesmo nível das maiores)

5 Regressão Linear Simples Atividade 4 Item a: Safra de Milho - Série Temporal 4 Safra de Milho (alqueires/acre) Ano Figura - Safra de Milho vs. Ano A tendência é crescente embora haja anos com safras muito baixas em relação àquelas dos anos próximos. Há uma variabilidade crescente após a década de 7 (série ficou mal-comportada ) Item b: Regression Analysis: milho versus ano The regression equation is milho = ,84 ano Predictor Coef SE Coef T P Constant -3544,6 78,4 -,73, ano,8396,48 3,6, S =,84 R-Sq = 8,8% R-Sq(adj) = 8,3% Regressão Significante Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression ,6, Residual Error Total Unusual Observations Obs ano milho Fit SE Fit Residual St Resid , 3,9,87 -,9 -,9R ,6,49,9-7,89 -,78R ,7,69,84 -,99 -,R R denotes an observation with a large standardized residual.

6 milho = ,8396 ano R = 8,8% Equação de Regressão: (78,4) (,48) σˆ = 6 A produtividade da safra de milho aumenta,84 alqueires/acre por ano Item c: Safra de Soja 4 Safra de Soja (alqueires/acre) Ano Regression Analysis: soja versus ano The regression equation is soja = ,338 ano Figura - Safra de Soja vs. Ano Predictor Coef SE Coef T P Constant -638,9 74,6-8,56, ano,33775,3775 8,95, S =,75576 R-Sq = 67,8% R-Sq(adj) = 67,% Regressão Significante Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 68, 68, 8,6, Residual Error 38 88,58 7,59 Total ,6 Unusual Observations Obs ano soja Fit SE Fit Residual St Resid 6 98,3 3,498,483-9,98-3,39R , 3,54,65-5,54 -,6R ,4 34,55,79 6,849,59R R denotes an observation with a large standardized residual. Equação de Regressão: soja = 638,9 (74,6) +,33775 ano (,3775) R = 67,8% σˆ = 7,59

7 Testes de Significância para o coeficiente de inclinação: Nível de significância: 5% Estatística T = 8,95 Limite região crítica: t c = t,5; 38 =,439 Teste: T>t c rejeita-se H, ou seja, a regressão é significante A produtividade da safra de soja aumenta,338 alqueires/acre por ano Residual Plots for soja Normal Probability Plot of t he Residuals 99 Residuals Versus the Fitted Values Percent Deleted Residual Deleted Residual Fitted Value Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data Frequency Deleted Residual 3 Figura 3 - Gráfico de ResíduosSafra de Soja Deleted Residual Observation Order Resíduos: Hipóteses violadas: Normalidade Homocedasticidade Correlação Os resíduos devem estar correlacionados por se tratar de série temporal Conclusões: A partir da década de 7, há um aumento significativo na variabilidade; O modelo de regressão linear parece não ser adequado para explicar a produtividade da safra de soja Item d 35 4 Predicted Values for New Observations New Obs Fit SE Fit 95% CI 95% PI 45,6 4,46 (36,57; 54,64) (,9; 68,9)X X denotes a point that is an outlier in the predictors. Values of Predictors for New Observations New Obs ano 6 Obs.: Não é apropriada, pois, trata-se de uma extrapolação

8 Item e: Gráfico simultâneo: Safras de Milho e Soja - Comparação Produtividade da Safra (alqueires/acre) Variable milho soja Ano Figura 4 - Comparação anual das safras de milho e soja Associação entre as duas safras: Relação entre Safras de Soja e Milho 4 35 Soja Milho 3 4 Figura 5 - Associação entre as safras de soja e milho Correlação entre as safras: MTB > correlation milho soja Correlations: milho; soja Pearson correlation of milho and soja =,858 P-Value =, Há indícios de uma forte associação linear entre as safras, mas nada podemos afirmar sobre causalidade.

9 Safra de soja explicada pela safra de milho: Regression Analysis: soja versus milho The regression equation is soja =,8 +,73 milho Predictor Coef SE Coef T P Constant,844,586 8,, milho,795,68,9, S =,49694 R-Sq = 73,6% R-Sq(adj) = 7,9% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 659,68 659,68 5,8, Residual Error 38 36,9 6,3 Total ,6 Unusual Observations Obs milho soja Fit SE Fit Residual St Resid 6 3,3 3,4,539 -, -4,56R R denotes an observation with a large standardized residual. Equação da regressão: soja =,884 (,586) +,795milho (,68) R = 73,6% σˆ = 6,3 Testes de Significância para o coeficiente de inclinação: Nível de significância: 5% Estatística T =,9 Limite região crítica: t c = t,5; 38 =,439 Teste: T>t c rejeita-se H, ou seja, a regressão é significante e há correlação entre as safras A safra de milho aumentou,338 alqueires/acre por ano Resíduos da Regressão (soja = f(milho)) vs. tempo:

10 Scatterplot of SRES vs ano SRES ano 99 Figura 6 - Resíduos da regressão vs. ano Há um padrão identificável nos resíduos (positivos no tempos anteriores, negativos no período médio e positivos novamente nos períodos poseriores). É um indício de que o tempo está omitido do modelo. Questão f: Transformação dos dados da safra de milho: Soja vs. log(milho) Regression Analysis: soja versus log(milho) The regression equation is soja = - 35,3 + 4,3 log(milho) Predictor Coef SE Coef T P Constant -35,5 7,5-4,86, log(milho) 4,64,66 8,83, S =,7886 R-Sq = 67,% R-Sq(adj) = 66,4% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 6,73 6,73 77,94, Residual Error 38 93,86 7,73 Total ,6 Unusual Observations Obs log(milho) soja Fit SE Fit Residual St Resid 6 4,73,3 3,7,597 -,97-4,R 38 4,93 4,4 35,95,853 6,35,38R R denotes an observation with a large standardized residual.

11 Equação de regressão: Transformada: soja = 35,5 + Original: soja = (7,5),884 (,586) + 4,64 log( milho) (,66),795milho (,68) σˆ R = 67,% σˆ = R = 73,6% = 6,3 7,73 O modelo transformado,embora significante, mostra-se menos adequado que o original Log(milho) vs. tempo: Regression Analysis: log(milho) versus ano The regression equation is log(milho) = - 37,6 +,3 ano Predictor Coef SE Coef T P Constant -37,633 3,35 -,63, ano,36,637 3,, S =,9497 R-Sq = 8,7% R-Sq(adj) = 8,% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression,496,496 69,45, Residual Error 38,546,43 Total 39,96 Unusual Observations Obs ano log(milho) Fit SE Fit Residual St Resid ,4379 4,74,67 -,86 -,46R R denotes an observation with a large standardized residual. Equação de regressão: Transformada: log( milho) = 37,6 (3,35) Original: milho = (78,4) +,3ano (,637) (,48) σˆ R σˆ,8396 ano R = 8,8% = = 8,7% =,43 6

12 Gráficos dos Resíduos Comparação Pe rcent Normal Probabilit y Plot of the Residuals Residual Plots for log(milho) Residuals Versus the Fitted Values - - 4, 4, 4,4 4,6 4,8 Fitted Value Pe rcent Residual Plots for milho Normal Probability Plot of t he Residuals , -,5,,5 3, Residuals Versus the Fitted Values Fitted Value F re que ncy Hist ogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Dat a Observation O rder 35 4 Frequency, 7,5 5,,5, -3 Hist ogram of the Residuals - - Sta nda rdize d Re sidual Residuals Versus the Order of the Dat a Observation O rder A heterogeneidade diminuiu de intensidade com a transformação A variação explicada continua a mesma, embora a variância do modelo seja grandemente diminuída com a transformação 35 4

13 Regressão Linear Múltipla Preço Carros Seminovos Atividade 5 Item.a: Modelo Modelo de regressão simples Regression Analysis: preço de rev. versus preço novo The regression equation is preço de rev. = 654 +,476 preço novo Predictor Coef SE Coef T P Constant 654, 43, 6,5, preço novo,47568,69,99, S = 778,48 R-Sq = 79,% R-Sq(adj) = 78,9% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression ,58, Residual Error Total Resultados importantes: Resultados Modelo R.simples R,79 R ajustado,789 ep(β^) 43, ep(β^),69 σ^ Comentários: Cerca de 79% da da variação do preço de revenda pode ser explicada por uma relação linear com o preço do automóvel, os demais % podem ser considerados como a variação provocada por outros fatores não considerados no modelo de regressão; Análise de Variância do modelo (Testes de Significância Conjunta do Modelo) H : o coeficiente de inclinação é igual a zero (não significativo) H : ele é diferente de zero (coeficiente significativo): Nível de significância: 5% Estatística F = 58,58 Graus de liberdade da estatística: Numerador: Denominador: 4 (+) = 4 Limite região crítica: f c = F,5; (, 4) = 3,9874 Teste: F = 58,58 >> f c = 3,9874 rejeita-se H, ou seja, a regressão é significante p-valor. Teste de significância dos coeficientes: Nível de significância: 5% Limite região crítica: t c = t,5; 4 =,9775 Teste: Se T > t c rejeita-se H, ou seja, o coeficiente é significante.

14 Coeficientes Estatística de Teste p-valor Decisão β T = 6,5 > t c =,9775 Rejeita-se H : coeficiente significativo β T =,99 > t c =,9775 Rejeita-se H : coeficiente significativo Interpretação: Cada real de diferença no carro novo, espera-se uma diferença de R$,476 na revenda; Intervalos de 95% de Confiança para os coeficientes: Coeficientes Limite inferior Limite Superior β 8,56 356,67 β,43,5 preço de rev preço de rev. = 654 +,4757 preço novo 5 5 preço novo 3 Fig. Reta de regressão (modelo simples 35 Percent Frequency 9 9, , -4 3 Normal Probabilit y Plot of the Residuals - Hist ogram of the Residuals -3, -,4 -,6 -,8,,8 Residual Plots for preço de rev., Residuals Versus the Fitted Values Fitted Value Observation O rder 75 Residuals Versus the Order of the Dat a Fig. Gráfico de resíduos (modelo simples) Pelo diagrama de dispersão percebe-se que X só assume alguns determinados valores, isto porque os automóveis em estudo são de 7 modelos e, para cada modelo, o preço km é único. O gráfico dos resíduos indica que parece não haver fortes violações nas suposições do modelo de regressão, a não ser a ocorrência maior de valores pequenos com respeito às duas variáveis, o que sugere tentar-se uma transformação logarítmica em X e em Y. Item Modelo Simples considerados os logs dos preços: 3 4 Regression Analysis: log(revenda) versus log(novo) The regression equation is log(revenda) =,8 +,768 log(novo) Predictor Coef SE Coef T P Constant,85,376 4,85, log(novo),76775,3783,3, S =,55398 R-Sq = 74,6% R-Sq(adj) = 74,5% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 9,9479 9,9479 4,94, Residual Error 4 3,388,4 Total 4 3,387

15 Percent Normal Probabilit y Plot of the Residuals 9 9, , -4-4 Residual Plots for log(revenda) Residuals Versus the Fitted Values , 9, 9,4 9,6 9,8 Fitted Value Hist ogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Dat a Fre quency , -,4 -,6 -,8,,8, Observation O rder 3 4 Fig. 3 - Gráfico dos resíduos (modelo simples - log) A transformação logarítmica levou uma redução do R. O histograma dos resíduos levou apontou uma distribuição assimétrica, com cauda mais longa à esquerda. Em função destes resultados, prefere-se manter o modelo original (regressão simples) Na realidade, o preço de um carro seminvo depende de vários outros fatores, levando a um modelo de regressão múltipla. Item 3 Modelo de regressão múltipla: Regression Analysis: preço de rev. versus preço novo; tempo de uso; km The regression equation is preço de rev. = 64 +,477 preço novo tempo de uso - 45, km Predictor Coef SE Coef T P Constant 64, 35, 7,7, preço novo,4778,75 37,45, tempo de uso -43,9 36,6-3,7, km -45,4 8,997-5,, S = 87,8 R-Sq = 9,3% R-Sq(adj) = 9,% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression ,7, Residual Error Total Resultados importantes: Resultados Modelo 3 R.Múltipla R,93 R ajustado,9 ep(β^) 35, ep(β^),75 ep(β^) 36,6 ep(β^3) 8,997 σ^.8.86

16 Comentários: Cerca de 9% da variação do preço de revenda pode ser explicada por uma relação linear que envolve o preço do automóvel do automóvel km (X ), o tempo de uso (X ) e a quilometragem (X 3 ). O resultado é razoavelmente maior do que o obtido quando foi usada apenas X como variável independente; Análise de Variância do modelo (Testes de Significância Conjunta do Modelo) H : todos os coeficientes de inclinação são iguais a zero (não significativos) H : pelo menos um deles é diferente de zero: Nível de significância: 5% Estatística F = 58,58 Graus de liberdade da estatística: Numerador: 3 Denominador: 4 (3+) = 38 Limite região crítica: f c = F,5; (3, 38) =,67 Teste: F = 55,7 >> f c =,67 rejeita-se H, ou seja, as variáveis independentes escolhidas são significativas para explicar a variação de Y ; p-valor. Teste de significância dos coeficientes: Nível de significância: 5% Limite região crítica: t c = t,5; 38 =,9775 Teste: Se T > t c rejeita-se H, ou seja, o coeficiente é significante. Coeficientes Estatística de Teste p-valor Decisão β T = 7,7 > t c =,9773 Rejeita-se H : coeficiente significativo β T = 37,45 > t c =,9773 Rejeita-se H : coeficiente significativo β T = -3,7 > t c =,9773 =, Rejeita-se H : coeficiente significativo β 3 T = -5, > t c =,9773 Rejeita-se H : coeficiente significativo Rejeitam-se as 4 hipóteses nulas, concluindo que nenhuma das variáveis independentes pode ser excluída do modelo. Interpretação: o A cada real de diferença no carro novo, espera-se uma diferença de R$,48 na revenda (mantendo-se constantes o tempo de uso e a quilometragem); o A cada ano de envelhecimento do automável, espera-se R$ 433, a menos na revenda (mantendo-se constantes o valor do carro novo e a quiolometragem); o A cada. km rodados, espera-se R$ 45, a menos na revenda (mantendo-se constantes o valor de novo e o tempo de uso). Intervalos de 95% de Confiança para os coeficientes: Coeficientes Limite inferior Limite Superior β 5543, ,36 β,45,5 β -73, -6,75 β 3-6,9-7,3

17 Per cent Fr equency 9 9, , -4 3 Normal Probabilit y Plot of the Residuals -3 - Sta nda rdized Residua l Hist ogram of the Residuals - - Sta nda rdized Residua l Residual Plots for preço de rev. 4 Standar dized Residual St anda rdized Re sidual Residuals Versus the Fitted Values F it ted Value Obser vation O rder Residuals Versus the Order of the Dat a Fig. 4 - Gráfico de resíduos - regressão múltipla O gráfico dos resíduos mostra um certo padrão. Para valores preditos pequenos, os resíduos tendem a ser positivos, depois eles tendem a ser negativos e, para valores preditos grandes, eles tendem a ser positivos de novo; Além disso, observa-se que dispersão aumenta para os valores preditos maiores; Estas características sugerem a aplicação de uma transformação logarítmica na variável dependente. Pensando em termos de tempo de uso (X ) e o valor do automóvel (Y) é mais natural considerar que a cada ano de uso, o automóvel tenha uma redução percentual do seu valor, reforçando a transformação sugerida pelo gráfico de resíduos. Item 4 Modelo de regressão múltipla com log(y): Item 4 Predição de Preço de revenda: X = R$ 6. X = anos X3 = 5. km 3 4 Resultados Preço de revenda predito IC (média dos preços de revenda de todos os carros com as características) IC (preço de revenda de um carro com as características) Modelo R.simples Modelo R. simples bilog Modelo 3 R.multipla Modelo 3 R.multipla log(y)

18 Item 6 Escolha do Modelo: Resultados R R ajustado β^ ep(β^ ) IC(β^ ) β^ ep(β^ ) IC(β^ ) β^ ep(β^ ) IC (β^ ) β^ 3 ep(β^3 ) IC (β^3 ) σ^ Modelo Modelo R. R.simples simples bilog,79,746,789,745,654, log(β^ ) =,85 43,,376 [.8; 3.57],47568 log(β^ ) =,76775,69,3783 [,45;,5] ,4 Modelo 3 R.multipla,93,9 6,4, 35, [5.544; 6.936],4778,75 [,45;,5] -43,9 36,6 [-73,; -6,75] -45,4 8,997 [-6,9; -7,3].8.86 Modelo 3 R.multipla log(y)

19 Regressão Linear Avaliação Item : Testes de Significância Conjunta do Modelo H : todos os coeficientes de inclinação são iguais a zero (não significativos) H : pelo menos um deles é diferente de zero: Nível de significância: 5% Estatística F = 8, Graus de liberdade da estatística: Numerador: 3 Denominador: 56 (3+) = 5 Limite região crítica: f c = F,5; (3, 5) =,786 Teste: F = 8, >> f c =,786 rejeita-se H, ou seja, a regressão é significante p-valor. Testes de Significância para os coeficientes de inclinação: Sinais: Nível de significância: 5% Limite região crítica: t c = t,5; 5 =,665 Teste: Se T > t c rejeita-se H, ou seja, a regressão é significante Significativas (Levam à rejeição de H ) Intercepto,59 >, qte -5,89 >, Não significativas (Não levam à rejeição de H ) qualidade,57 <, trend -,7 >, Quanto maior a quantidade menor o preço; Quanto maior a qualidade maior o preço O preço decai com o tempo. Entretanto não há evidências para se considerar os coeficientes de qualidade e tempo. Neste caso, o sinal não faz sentido. Item : 5,% da variação d do preço é explicada pela variação na quantidade, qualidade e tempo. Item 3: Testes da relação entre preço e quantidade: H : β = (preço maior para quantidades maiores) H : β < (preço menor para quantidades maiores): Nível de significância: 5% Estatística T = -5,89 Graus de liberdade da estatística: 5 Limite região crítica: t c = t,5; 5) = -,67469

20 Teste: T = -5,89 << t c = -,67469 rejeita-se H, ou seja, há evidências amostrais para concluir que os vendedores aceitam preços mais baixos se puderem vender quantidades maiores. Item 4: Teste de significância de β : H: β = (qualidade não influencia o preço) H: β? (qualidade influencia o preço): p-valor Estatística T = -,57 Graus de liberdade da estatística: 5 Limite região crítica: t c = t,5; 5) = -,665 Teste: T = -,57 > t c = -,665 não se rejeita H, ou seja, não há evidências amostrais para concluir que a qualidade influencia o preço. Item 5: Teste da relação entre preço e tempo: H : β 3 = (preço não decai com o tempo) H : β 3 < (preço decai com o tempo): Nível de significância: 5% Estatística T = -,7 Graus de liberdade da estatística: 5 Limite região crítica: t c = t,5; 5) = -,67469 Teste: T = -,7 < t c = -,67469 rejeita-se H, ou seja, há evidências amostrais para concluir que o preço decai com o tempo. De qualquer maneira, do problema, sugere-se duas situações conflitantes, sendo que deveríamos ter mais informações para decidir-se: Item 6: Por se tratar de um bem exaurível, poderia se esperar que o preço crescesse com o tempo Por haver um aumento na quantidade oferecida, o preço apresentaria queda com o tempo (que é a conclusão que chegamos a partir das evidências amostrais) Os coeficientes da qualidade e trend não são significativo de acordo ao teste de significância individual, assim é razoável estudar o modelo linear simples considerando a quantidade como variável explicativa, já que foi a única variável significante individualmente, no ajuste efetuado no item. Item 7: Verifica-se que a regressão simples é significante neste caso. Resultados Modelo Modelo R.múltipla R.simples R 5,% 48,% R ajustado 48,% 47,% β^ 9,847 87, ep(β^) 8,58 3,69 β^ -,5997 -,573 Ep(β^),8,869

21 β^,6 Ep(β^),33 β^3 -,355 Ep(β^3),386 σ^ 4,3 4 O modelo (regressão simples) têm um erro padrão menor para o coeficiente da quantidade, e levaria a estimativa mais precisa do valor deste coeficiente. A variância residual do modelo (regressão múltipla) é ligeiramente menor, podendo levar a uma precisão ligeiramente melhor para predições de preço. Item 8: IC 95% - Modelo - Regressão Múltipla: [-,5997 ±,665 x,8] IC 95% - Modelo - Regressão Simples: [-,573 ±,665 x,869] Modelo Limite Inferior Limite Superior () R. Múltipla -,84 -,3954 () R. Simples -,733 -,494 O modelo fornece uma estimativa intervalar mais precisa do coeficiente.