Sumário. Parte I Introdução 25. Capítulo 1 Introdução Capítulo 2 Cálculo a Uma Variável: Fundamentos... 33

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1 Sumário Parte I Introdução 25 Capítulo 1 Introdução A Matemática na Teoria Econômica Modelos de Escolha do Consumidor Modelos Bidimensionais de Escolha do Consumidor Modelos Multidimensionais de Escolha do Consumidor Capítulo 2 Cálculo a Uma Variável: Fundamentos Funções em R Vocabulário de Funções Polinômios Gráficos Funções Crescentes e Decrescentes Domínio Notação de Intervalo Funções Lineares A Inclinação de uma Reta no Plano A Equação de uma Reta Polinômios de Grau um têm Gráficos Lineares Interpretando a Inclinação de uma Função Linear A Inclinação de Funções Não-lineares Calculando Derivadas Regras para Calcular Derivadas

2 10 SUMÁRIO 2.5 Diferenciabilidade e Continuidade Uma Função Não-Diferenciável Funções Contínuas Funções Continuamente Diferenciáveis Derivadas de Ordens Superiores Aproximação por Diferenciais Capítulo 3 Cálculo a Uma Variável: Aplicações Usando a Derivada Primeira para Traçar Gráficos Derivada Positiva Implica Função Crescente Usando a Derivada Primeira para Traçar Gráficos Derivada Segunda e Convexidade Traçando Gráficos de Funções Racionais Dicas para Traçar Gráficos Caudas e Assíntotas Horizontais Caudas de Polinômios Assíntotas Horizontais de Funções Racionais Máximos e Mínimos Máximos e Mínimos Locais na Fronteira e no Interior Condições de Segunda Ordem Máximos e Mínimos Globais Funções com um Único Ponto Crítico Funções com Derivada Segunda Não-Nula Funções sem Máximos ou Mínimos Globais Funções cujos Domínios são Intervalos Finitos e Fechados Aplicações à Economia Funções de Produção Funções Custo Funções Receita e Lucro Elasticidade e Funções Demanda Capítulo 4 Cálculo a Uma Variável: A Regra da Cadeia Funções Compostas e a Regra da Cadeia Composição de Funções Derivando Funções Compostas: A Regra da Cadeia Funções Inversas e suas Derivadas Definição e Exemplos da Inversa de uma Função A Derivada da Função Inversa A Derivada de x m/n

3 SUMÁRIO 11 Capítulo 5 Exponenciais e Logaritmos Funções Exponenciais O Número e Logaritmos Logaritmos na Base Logaritmos na Base e Propriedades de exp e log Derivadas de exp e log Aplicações Valor Presente Anuidades Tempo Ótimo de Espera Derivada Logarítmica Parte II Álgebra Linear 119 Capítulo 6 Introdução à Álgebra Linear Sistemas Lineares Exemplos de Modelos Lineares Exemplo 1: Benefícios de Impostos com Contribuições Beneficentes Exemplo 2: Modelos Lineares de Produção Exemplo 3: Modelos de Emprego de Markov Exemplo 4: Análise IS-LM Exemplo 5: Investimento e Arbitragem Capítulo 7 Sistemas de Equações Lineares Eliminação Gaussiana e de Gauss-Jordan Substituição Eliminação de Variáveis Operações Elementares Sobre Linhas Sistemas com Muitas Soluções ou Nenhuma Posto O Critério Fundamental Aplicações à Teoria de Portfólio O Teorema da Função Implícita Linear

4 12 SUMÁRIO Capítulo 8 Álgebra Matricial Álgebra Matricial Adição Subtração Multiplicação por Escalar Multiplicação Matricial Leis da Álgebra de Matrizes Transposta Sistemas de Equações em Forma Matricial Tipos Especiais de Matrizes Matrizes Elementares Álgebra de Matrizes Quadradas Matrizes de Insumo-produto Prova do Teorema Matrizes em Blocos (opcional) Decomposição de Matrizes (opcional) Indução Matemática Incluindo Permuta de Linhas Capítulo 9 Determinantes: Um Resumo O Determinante de uma Matriz Definindo o Determinante Calculando o Determinante Principal Propriedade do Determinante Usos do Determinante Análise IS-LM Usando a Regra de Cramer Capítulo 10 Espaços Euclidianos Pontos e Vetores no Espaço Euclidiano A Reta Real O Plano Três Dimensões e Mais Vetores A Álgebra de Vetores Adição e Subtração Multiplicação por Escalar

5 SUMÁRIO Comprimento e Produto Interno em R n Comprimento e Distância O Produto Interno Retas Planos Equações Paramétricas Equações Não-Paramétricas Hiperplanos Aplicações à Economia Conjuntos Orçamentários no Espaço-Mercadoria Espaço dos Insumos Simplexo Probabilístico O Modelo de Investimento Análise IS-LM Capítulo 11 Independência Linear Independência Linear Definição Verificando Independência Linear Conjuntos Geradores Base e Dimensão em R n Dimensão Epílogo Parte III Cálculo a Várias Variáveis 261 Capítulo 12 Limites e Conjuntos Abertos Seqüências de Números Reais Definição Limite de uma Seqüência Propriedades Algébricas de Limites Seqüências em R m Conjuntos Abertos Interior de um Conjunto Conjuntos Fechados Fecho de um Conjunto Fronteira de um Conjunto

6 14 SUMÁRIO 12.5 Conjuntos Compactos Epílogo Capítulo 13 Funções de Várias Variáveis Funções entre Espaços Euclidianos Funções de R n em R Funções de R k em R m Representação Geométrica de Funções Gráficos de Funções de Duas Variáveis Curvas de Nível Traçando Gráficos a Partir de Conjuntos de Nível Conjuntos de Nível Planares em Economia Representando Funções de R k em R 1 com k > Imagens de Funções de R 1 em R m Tipos Especiais de Funções Funções Lineares de R k Formas Quadráticas Representação Matricial de Formas Quadráticas Polinômios Funções Contínuas Vocabulário de Funções Funções Sobrejetoras e Funções Injetoras Funções Inversas Composição de Funções Capítulo 14 Cálculo a Várias Variáveis Definições e Exemplos Interpretação Econômica Produtividades Marginais Elasticidade Interpretação Geométrica A Derivada Total Interpretação Geométrica Aproximação Linear Funções de Mais de Duas Variáveis A Regra da Cadeia Curvas Vetor Tangente a uma Curva Derivação ao Longo de uma Curva: A Regra da Cadeia

7 SUMÁRIO Derivadas Direcionais e Gradientes Derivadas Direcionais O Vetor Gradiente Funções Explícitas de R n em R m Aproximação por Diferenciais A Regra da Cadeia Derivadas de Ordens Superiores Funções Continuamente Diferenciáveis Derivadas de Segunda Ordem e Matriz Hessiana O Teorema de Young Derivadas de Ordens Superiores Uma Aplicação à Economia Epílogo Capítulo 15 Funções Implícitas e Suas Derivadas Funções Implícitas Exemplos O Teorema da Função Implícita para R Várias Variáveis Exógenas numa Função Implícita Curvas de Nível e suas Tangentes Interpretação Geométrica do Teorema da Função Implícita Um Esboço da Prova Relação com o Gradiente Tangente ao Conjunto de Nível Usando Diferenciais Conjuntos de Nível de Funções de Várias Variáveis Sistemas de Funções Implícitas Sistemas Lineares Sistemas Não-Lineares Aplicação: Estática Comparativa O Teorema da Função Inversa (opcional) Aplicação: O Paradoxo de Simpson Parte IV Otimização 383 Capítulo 16 Formas Quadráticas e Matrizes Definidas Formas Quadráticas Formas Quadráticas Definidas Matrizes Simétricas Definidas Aplicação: Condições de Segunda Ordem e Convexidade

8 16 SUMÁRIO Aplicação: Seções Cônicas Menores Principais de uma Matriz Matrizes Diagonais Definidas Matrizes 2 2 Definidas Restrições Lineares e Matrizes Orladas Classificação e Otimização Uma Restrição Outras Abordagens Apêndice Capítulo 17 Otimização Não-Condicionada Definições Condições de Primeira Ordem Condições de Segunda Ordem Condições Suficientes Condições Necessárias Máximos e Mínimos Globais Máximos Globais de Funções Côncavas Aplicações à Economia Firma Maximizadora de Lucro Monopolista Astuto Análise de Mínimos Quadrados Capítulo 18 Otimização com Restrições I: Condições de Primeira Ordem Exemplos Restrições de Igualdade Duas Variáveis e uma Restrição de Igualdade Várias Restrições de Igualdade Restrições de Desigualdade Uma Restrição de Desigualdade Várias Restrições de Desigualdade Restrições Mistas Problemas de Minimização Condicionada Formulação de Kuhn-Tucker Exemplos e Aplicações Aplicação: Uma Firma Maximizadora de Vendas com Propaganda Aplicação: O Efeito Averch-Johnson Mais um Exemplo Detalhado

9 SUMÁRIO 17 Capítulo 19 Otimização com Restrições II O Significado do Multiplicador Uma Restrição de Igualdade Várias Restrições de Igualdade Restrições de Desigualdade Interpretando o Multiplicador Teoremas de Envoltória Problemas sem Restrições Problemas com Restrições Condições de Segunda Ordem Problemas de Maximização Condicionada Problemas de Minimização Restrições de Desigualdade Abordagens Alternativas à Condição Hessiana Orlada Condições Necessárias de Segunda Ordem Dependência Suave dos Parâmetros Qualificações de Restrição Provas das Condições de Primeira Ordem Prova dos Teoremas 18.1 e 18.2: Restrições de Igualdade Prova dos Teoremas 18.3 e 18.4: Restrições de Desigualdade Capítulo 20 Funções Homogêneas e Homotéticas Funções Homogêneas Definição e Exemplos Funções Homogêneas em Economia Propriedades de Funções Homogêneas Um Critério de Cálculo para Homogeneidade Aplicações do Teorema de Euler à Economia Homogeneizando uma Função Aplicações da Homogeneização à Economia Utilidades Cardinal e Ordinal Funções Homotéticas Motivação e Definição Caracterizando Funções Homotéticas Capítulo 21 Funções Côncavas e Quase-côncavas Funções Côncavas e Convexas Critério de Cálculo para a Concavidade Propriedades de Funções Côncavas Funções Côncavas na Economia

10 18 SUMÁRIO 21.3 Funções Quase-côncavas e Quase-convexas Critério de Cálculo Funções Pseudocôncavas Programação Côncava Problemas sem Restrições Problemas com Restrições Abordagem de Ponto de Sela Apêndice Prova do Teste de Suficiência do Teorema Prova do Teorema Prova do Teorema Prova do Teorema Capítulo 22 Aplicações à Economia Utilidade e Demanda Maximização da Utilidade A Função Demanda A Função Utilidade Indireta As Funções Despesa e Demanda Compensada A Equação de Slutsky Aplicação à Economia: Lucro e Custo A Firma Maximizadora de Lucro A Função Custo Ótimos de Pareto Condições Necessárias para um Ótimo de Pareto Condições Suficientes para um Ótimo de Pareto Os Teoremas Fundamentais do Bem-estar Equilíbrio Competitivo Os Teoremas Fundamentais da Economia do Bem-Estar Parte V Autovalores e Dinâmica 581 Capítulo 23 Autovalores e Autovetores Definições e Exemplos Resolvendo Equações Lineares a Diferenças Equações Unidimensionais Sistemas Bidimensionais: Um Exemplo Seções Cônicas O Modelo Populacional de Leslie

11 SUMÁRIO 19 Sistemas Bidimensionais Abstratos Sistemas Multidimensionais Uma Abordagem Alternativa: As Potências de uma Matriz Estabilidade de Pontos de Equilíbrio Propriedades de Autovalores Traço como Soma dos Autovalores Autovalores Repetidos Matrizes 2 2 Não-Diagonalizáveis Matrizes 3 3 Não-Diagonalizáveis Resolvendo Equações a Diferenças Não-Diagonalizáveis Autovalores e Autovetores Complexos Diagonalizando Matrizes com Autovalores Complexos Equações Lineares a Diferenças com Autovalores Complexos Dimensões Superiores Processos de Markov Matrizes Simétricas Classificação de Formas Quadráticas Apêndice Prova do Teorema Prova do Teorema Capítulo 24 Equações Diferenciais Ordinárias: Equações Escalares Definições e Exemplos Soluções Explícitas Equações Lineares de Primeira Ordem Equações Separáveis Equações Lineares de Segunda Ordem Introdução Raízes Reais e Distintas da Equação Característica Raízes Reais e Iguais da Equação Característica Raízes Complexas da Equação Característica O Movimento de uma Mola Equações Não-Homogêneas de Segunda Ordem Existência de Soluções O Teorema Fundamental de Existência e Unicidade Campos de Direções Retratos de Fase e Equilíbrios em R Esboçando Retratos de Fase Estabilidade de Pontos de Equilíbrio na Reta

12 20 SUMÁRIO 24.6 Apêndice: Aplicações Funções Compensação Indiretas Recíproca do Teorema de Euler Capítulo 25 Equações Diferenciais Ordinárias: Sistemas de Equações Sistemas Planares: Uma Introdução Sistemas de Equações Diferenciais Acopladas Vocabulário Existência e Unicidade Sistemas Lineares por Meio de Autovalores Autovalores Reais Distintos Autovalores Complexos Autovalores Reais Múltiplos Resolvendo Sistemas Lineares por Substituição Pontos de Equilíbrio e sua Estabilidade Estabilidade de Sistemas Lineares Através de Autovalores Estabilidade de Sistemas Não-Lineares Retratos de Fase de Sistemas Planares Campos de Vetores Retratos de Fase: Sistemas Lineares Retratos de Fase: Sistemas Não-Lineares Integrais Primeiras O Sistema Predador-Presa Sistemas Mecânicos Conservativos Funções de Liapunov Apêndice: Linearização Parte VI Álgebra Linear Avançada 709 Capítulo 26 Determinantes: Os Detalhes Definições do Determinante Propriedades do Determinante Usando Determinantes A Matriz Adjunta Aplicações à Economia Oferta e Demanda

13 SUMÁRIO Apêndice Prova do Teorema Prova do Teorema Outras Abordagens do Determinante Capítulo 27 Subespaços Associados a uma Matriz Espaços Vetoriais e Subespaços R n como Espaço Vetorial Subespaços de R n Base e Dimensão de um Subespaço Próprio Espaço-linha Espaço-coluna Dimensão do Espaço-coluna de A O Papel do Espaço-coluna Espaço-nulo Subespaços Afins O Teorema Fundamental da Álgebra Linear Conclusão Espaços Vetoriais Abstratos Apêndice Prova do Teorema Prova do Teorema Capítulo 28 Aplicações de Independência Linear Geometria de Sistemas de Equações Duas Equações a Duas Incógnitas Duas Equações a Três Incógnitas Três Equações a Três Incógnitas Análise de Portfólio Paradoxos de Votação Três Alternativas Quatro Alternativas Conseqüências da Existência de Ciclos Outros Paradoxos de Votação Classificação da Qualidade de Firmas Análise de Atividade: Exeqüibilidade Análise de Atividade Modelos Lineares Simples e Matrizes Produtivas Análise de Atividade: Eficiência Modelos de Leontief

14 22 SUMÁRIO Parte VII Análise Avançada 791 Capítulo 29 Limites e Conjuntos Compactos Seqüências de Cauchy Conjuntos Compactos Conjuntos Conexos Normas Alternativas Três Normas em R n Normas Equivalentes Normas em Espaços de Funções Apêndice Propriedade da Cobertura Finita O Teorema de Heine-Borel Resumo Capítulo 30 Cálculo a Várias Variáveis II Teoremas de Weierstrass e do Valor Médio Existência de Máximos Globais em Conjuntos Compactos Teoremas de Rolle e do Valor Médio Polinômios de Taylor em R Funções de uma Variável Polinômios de Taylor em R n Condições de Otimização de Segunda Ordem Condições de Segunda Ordem Suficientes para Otimização Hessiana Indefinida Condições de Segunda Ordem Necessárias para a Otimização Otimização Condicionada Parte VIII Apêndices 835 Apêndice A1 Conjuntos, Números e Demonstrações A1.1 Conjuntos Vocabulário de Conjuntos Operações com Conjuntos

15 SUMÁRIO 23 A1.2 Números Vocabulário Propriedades da Adição e da Multiplicação Propriedade do Supremo A1.3 Provas Provas Diretas Recíproca e Contraposição Provas Indiretas Indução Matemática Apêndice A2 Funções Trigonométricas A2.1 Definições das Funções Trigonométricas A2.2 Traçando Gráficos de Funções Trigonométricas A2.3 O Teorema de Pitágoras A2.4 Calculando Valores de Funções Trigonométricas A2.5 Fórmulas de Múltiplos de Ângulos A2.6 Funções de Números Reais A2.7 Cálculo com Funções Trigonométricas A2.8 Séries de Taylor A2.9 Prova do Teorema A Apêndice A3 Números Complexos A3.1 Motivação Definições Operações Aritméticas A3.2 Soluções de Equações Polinomiais A3.3 Representação Geométrica A3.4 Números Complexos como Expoentes A3.5 Equações a Diferenças Apêndice A4 Cálculo Integral A4.1 Antiderivadas Integração por Partes

16 24 SUMÁRIO A4.2 O Teorema Fundamental do Cálculo A4.3 Aplicações Área sob um Gráfico Excedente do Consumidor Valor Presente de um Fluxo Apêndice A5 Introdução à Probabilidade A5.1 Probabilidade de um Evento A5.2 Esperança e Variância A5.3 Variáveis Aleatórias Contínuas Apêndice A6 Respostas Selecionadas Índice