LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DA UNIVERSIDADE DE COIMBRA FICHAS DE UNIDADES CURRICULARES

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1 LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DA UNIVERSIDADE DE COIMBRA FICHAS DE UNIDADES CURRICULARES

2 LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DA UNIVERSIDADE DE COIMBRA FICHAS DAS UNIDADES CURRICULARES 1º ANO 1º SEMESTRE

3 FICHA DA UNIDADE CURRICULAR Unidade curricular(nome oficial da unidade curricular em português) Álgebra Linear e Geometria Analítica I Course unit title (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) Linear Algebra and Analytic Geometry I #1 Unidade curricular já existente? Sim Não #2 Em caso de resposta afirmativa: Código da Unidade Curricular em Nónio Curso(s) Ciclo(s) de estudos a que está associada Licenciatura em Matemática 1º ciclo Ano curricular Curricular unit* 1º 1st Tipo de unidade curricular Course unit type Normal Semestre Semester 1º 1st N.º de ECTS 8 N.º de horas de contacto Contact hours(indicar o número de horas - T- Ensino Teórico; TP- Ensino Teórico Prático; PL- Ensino Prático e Laboratorial; TC- Trabalho de Campo; S- Seminário; E- Estágio; OT- Orientação tutorial; O- Outra) TP 42, PL Docente responsável Responsible academic staff member (indicar o nome completo do docente responsável pela unidade curricular) Ana Paula Jacinto Santana Ramires institucional *(1) aps@mat.uc.pt Nível Level *(2) 1º ciclo de estudos / 1st cycle studies Modo de ensino Mode of delivery *(3) * Presencial / face-to-face Conhecimentos de base recomendados *(4) (indicar as unidades curriculares, conhecimentos, competências técnicas ou competências linguísticas que o estudante deve ter à partida para atingir com sucesso os objetivos definidos na unidade curricular) Conhecimento e domínio das matérias lecionadas na disciplina de Matemática do ensino secundário Recommended prerequesites *(4) (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) Good knowledge of High School Mathematics Língua(s) de ensino *(5) [indicar a(s) lingua(s) em que as aulas são leccionadas] Português Language(s) of instruction *(5) (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) Portuguese Outros docentes que lecionam a unidade curricular Other academic staff members involved in the curricular unit(1000 caracteres disponíveis) Objetivos da unidade curricular e competências a desenvolver(descrever, de forma sucinta e clara, o que o estudante deve conhecer, compreender e ser capaz de demonstrar após completar a unidade curricular caracteres disponíveis) Pretende-se que o aluno adquira e compreenda os conceitos fundamentais da Álgebra Linear concreta. As matérias mais computacionais (matries, sistemas lineares, Rn) são privilegiadas de forma que o aluno aborde assuntos indispensáveis a outras disciplinas dos anos seguintes. Por fim, pretende-se que o estudante entenda a importância do raciocínio e da demonstração em Matemática. As principais competências a desenvolver são: capacidade de generalização e abstração; capacidade de formular e resolver problemas matemáticos; conceção e utilização de modelos matemáticos; argumentação lógica; espírito crítico; expressões escrita e oral rigorosas. Learning outcomes(ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) 1

4 The main goal of this curricular unit is to teach students concrete Linear Algebra. The more computational aspects of Linear Algebra (matrices, linear systems, Rn) are introduced, preparing students for more advanced courses. We expect that with this Linear Algebra course students understand the need of correct reasoning and of proofs in Mathematics. The main competences to be developed are: ability for generalization and abstraction; ability to formulate and solve mathematical problems; design and correctly use of mathematical models; logical reasoning; critical thinking; correct mathematical writing Conteúdos programáticos(1000 caracteres disponíveis) 1. Matrizes. Operações com matrizes. 2. Sistemas de equações lineares. Algoritmo de eliminação de Gauss. Algoritmo de Gauss-Jordan para a inversão de matrizes. 3. Determinantes. 4. O espaço vectorial Rn. 5. Produto interno em Rn. Projeção ortogonal de um vetor sobre um subespaço. Sistemas impossíveis e soluções dos mínimos quadrados. Produto externo de vetores em R3. 6. Geometria Analítica. Syllabus(ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) 1. Matrices. Basic operations. 2. Linear systems. Gaussian Elimination. Gauss-Jordan algorithm. 3. Determinants. 4. The vector space structure of Rn. 5. Inner product in Rn. Projections onto subspaces. Least squares approximations. Cross product in R3. 6. Analytic Geometry Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos da unidade curricular (1000 caracteres disponíveis) Começamos por introduzir as matrizes, que são ferramentas básicas em Matemática. Seguidamente, utilizamo-las na resolução de sistemas de equações lineares, um problema transversal em Matemática e já conhecido dos alunos. Para terminar esta parte do curso, estudamos determinantes. Nesta primeira parte da unidade curricular, o aluno é introduzido, de uma forma natural, à necessidade de argumentação lógica e de demonstrações em Matemática. Na segunda parte do curso, estudamos a estrutura vetorial de Rn. Usamos o conhecimento já adquirido sobre matrizes e sistemas para dar exemplos importantes de subespaços. As demonstrações de alguns teoremas tornam-se simples com o recurso à teoria das matrizes, já lecionada. A introdução de um produto interno em Rn é justificada pela necessidade de generalização de conceitos, como projeção ortogonal sobre um subespaço, para aproximação de soluções de sistemas impossíveis. Finalmente, a Geometria Analítica surge como uma aplicação do estudo de Rn. Demonstration of the syllabus coherence with the curricular unit s objectives(ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) We start the course introducing matrices, which are basic tools in Mathematics. Then we use them for solving linear systems, a transversal problem in Mathematics and already familiar to students. To finish the part of the course dedicated to matrices we study determinants. In this first part of the curricular unit, students are introduced, in a natural way, to the need of correct reasoning and of proofs in Mathematics. In the second part of the course, we introduce the vector space structure of Rn. We use the knowledge of matrices and linear systems already acquired to give important examples of subspaces. Proofs of some theorems become simple with the help of the matrix theory developed before. The introduction of an inner product in Rn is justified by the need of the generalization of concepts, such as projection onto subspaces, for the approximation of solutions for unsolvable linear systems. Finally, Analytic Geometry is presented as an application of the study of Rn Métodos de ensino (600 caracteres disponíveis) Nas aulas teórico-práticas, é feita uma exposição oral das matérias com recurso a quadro e giz ou ao computador e powerpoint. Serão dados exemplos e resolvidos problemas. Será no professor que se centrará o desenvolvimento destas tarefas. As aulas práticas são dedicadas à resolução de exercícios pelos alunos, com a ajuda do professor. Os alunos dispõem também de um horário de atendimento pelo professor, que deve ser aproveitado para esclarecer dúvidas sobre a matéria lecionada, ajudar na realização dos trabalhos de casa e na preparação para os exames. Teaching methods (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) Theoretical-practical classes are mainly expository and include examples and exercises to apply the material being taught. In practical classes students are given exercises and examples which should be worked during classes with the help of the teacher. Extensive tutorial time is offered to the students to clarify their difficulties with the theory and to help them with the homework assignments and preparation for the exams Demonstração da coerência das metodologias de ensino com os objetivos de aprendizagem da unidade curricular(1000 caracteres disponíveis) 2

5 Nas aulas TP, os estudantes têm o primeiro contacto com os conceitos principais da teoria. Após as definições, são imediatamente dados exemplos ilustrativos, de modo que os alunos compreendam os conceitos introduzidos. Os resultados teóricos são provados com rigor. Antes e durante as demonstrações os alunos são convidados a dar sugestões sobre os métodos a seguir. Após cada demonstração, discutem-se as técnicas usadas e possíveis utilizações do resultado. Esta prática ajuda o aluno a desenvolver um espírito crítico e uma argumentação lógica e implica o estudo atempado das matérias introduzidas nas aulas. Nas aulas PL, os estudantes resolvem exercícios que ilustram os conceitos apresentados nas aulas TP. Para tal, contam com o apoio do professor. Os estudantes aplicam as técnicas discutidas, são confrontados com as dificuldades que podem surgir e aprendem os melhores métodos para ultrapassar tais problemas. Esta prática é fundamental para uma boa compreensão das matérias estudadas. Demonstration of the coherence between the teaching methodologies and the learning outcomes (1000 caracteres disponíveis) In TP classes, students are introduced to the main concepts of the theory. After definitions, examples are immediately provided so that students can understand the concepts introduced. Theoretical results are proved with rigour, followed by a discussion of the techniques used in the proof and of possible applications of the results. Before and during the proof, students are invited to give suggestions of methods to be used. This helps students to develop a logical reasoning and critical thinking and implies a daily study of the material provided in classes. In PL classes, students are given exercises which illustrate the results learned in TP classes. These are to be solved with the guidance of the teacher. Here students can apply the techniques discussed, see the difficulties that can arise and which are the best methods to overcome these difficulties. This practice is fundamental for a good understanding of the subjects studied. Métodos de avaliação Assessment method(assinalar, em percentagem, os métodos de avaliação utilizados, devendo a respetiva soma dar 100%) Exame Exam: 100% Frequência Midterm exam: 80% Mini Testes Test: 20% Projeto Project: Não aplicável Not applicable (N.A.) Relatório de seminário ou visita de estudo Seminar ir study visit report: N.A. Resolução de problemas Problem resolving report: N.A. Trabalho de Investigação Research work: N.A. Trabalho de síntese Synthesis work: N.A. Trabalho laboratorial ou de campo Fieldwork or laboratory work: N.A. A aprovação nesta unidade curricular exige classificação de, pelo menos, 10 valores (em 20). Os alunos que realizem, ao longo do semestre, as frequências e os mini-testes podem dispensar de exame final. A soma das percentagens atribuídas a estas duas componentes é 100%. Os restantes alunos são avaliados no final do semestre através de uma prova escrita (exame). A percentagem atribuída a esta componente é 100%. Approval in this course unit requires to score at least 10 (out of 20). The students that perform, along the semester, the mid-term exams and the tests may be exempted from final examination. The sum of percentages corresponding to these two components is 100%. The other students have to be evaluated at the end of the semester through a written examination (exam). The percentage corresponding to this component is 100% Bibliografia Bibliography(1000 caracteres disponíveis) A. P. Santana, J. F. Queiró, Introdução à Álgebra Linear, Gradiva,

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7 FICHA DA UNIDADE CURRICULAR Unidade curricular (nome oficial da unidade curricular em português) Análise Infinitesimal I Course unit title (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) Infinitesimal Analysis I #1 Unidade curricular já existente? Sim Não #2 Em caso de resposta afirmativa: Código da Unidade Curricular em Nónio Curso(s) Ciclo(s) de estudos a que está associada 1º Ciclo de Estudos 1st Cycle Studies Ano curricular Curricular unit* 1º ano 1st year Tipo de unidade curricular Course unit type Normal Semestre Semester 1º semestre 1st semester N.º de ECTS 10 N.º de horas de contacto Contact hours (indicar o número de horas - T- Ensino Teórico; TP- Ensino Teórico Prático; PL- Ensino Prático e Laboratorial; TC- Trabalho de Campo; S- Seminário; E- Estágio; OT- Orientação tutorial; O- Outra) TP 56; PL Docente responsável Responsible academic staff member (indicar o nome completo do docente responsável pela unidade curricular) Maria Celeste de Almeida Gouveia institucional *(1) mcag@mat.uc.pt Nível Level *(2) 1º ciclo de estudos / 1st cycle studies Modo de ensino Mode of delivery *(3) * Presencial / face-to-face Conhecimentos de base recomendados *(4) (indicar as unidades curriculares, conhecimentos, competências técnicas ou competências linguísticas que o estudante deve ter à partida para atingir com sucesso os objetivos definidos na unidade curricular) Matemática A 12º ano Recommended prerequesites *(4) (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) 12 th year course of mathematics- Secondary School Língua(s) de ensino *(5) [indicar a(s) lingua(s) em que as aulas são leccionadas] Português Language(s) of instruction *(5) (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) Portuguese Outros docentes que lecionam a unidade curricular Other academic staff members involved in the curricular unit (1000 caracteres disponíveis) Gil Manuel Araújo Silva Bernardes Objetivos da unidade curricular e competências a desenvolver (Descrever, de forma sucinta e clara, o que o estudante deve conhecer, compreender e ser capaz de demonstrar após completar a unidade curricular caracteres disponíveis) O programa da disciplina tem como objectivo colmatar lacunas na aprendizagem da Análise Real, tal como é actualmente abordada no ensino secundário, e de fornecer o conhecimento básico requerido para a percepção da Análise mais avançada. Com esta disciplina o aluno deve aprender a exprimir-se numa linguagem lógica adequada, adquirir destreza no cálculo e na demonstração de resultados matemáticos, aumentar a capacidade de raciocínio abstracto e de aprendizagem autónoma, e revelar maturidade para resolver e formular problemas de forma clara e rigorosa. Learning outcomes (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) The program is designed in order that the studens can fulfill gaps in their basic calculus background from high school, right 1

8 at the beginning of the semester. We progress on a steady basis into new concepts and results in real analysis, giving them enough background to understand and be successful in more advanced courses. At the end of the semester, the student is expected to have acquired knowledge about real-valued functions, both theory and techniques, but also to be able to use correctly a formal language and a high level of rigor to communicate mathematics at the level of what is taught in this uc Conteúdos programáticos (1000 caracteres disponíveis) Fundamentos Cálculo proposicional, cálculo de predicados, métodos e técnicas de demonstração. Conjuntos- relações, ordenação, funções e cardinalidade. A Recta Real O conjunto dos números reais como corpo ordenado completo. A topologia da recta. Sucessões de números reais. Cálculo Diferencial (de funções reais com uma variável real) Funções e limites. Continuidade. Funções diferenciáveis. Formas indeterminadas. Diferenciação implícita. Polinómios de Taylor. Teorema de Taylor - aplicações. Syllabus (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) Foundations of mathematics Propositional and predicate calculus. Methods and techniques of proof. Sets, relations, order, functions and cardinality. The Real Line The system of real numbers as a complete ordered field. The topology of the real line. Sequences of real numbers. Differential Calculus (of real functions of one variable) Functions and limits. Continuity. Differentiable functions. Indeterminate forms. Implicit differentiation. Taylor polynomials and Taylor s Theorem, applications Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos da unidade curricular (1000 caracteres disponíveis) Esta disciplina tem um carácter formativo forte e é base importante para outras disciplinas do curso. Por isso, logo no início, introduzem-se conceitos fundamentais transversais, tais como conceitos fundamentais da lógica, métodos e técnicas de demonstração, teoria dos conjuntos, teoria algébrica e topológica do sistema dos números reais. Seguidamente o programa aborda o essencial do cálculo diferencial das funções reais de variável rea: limites, continuidade, diferenciabilidade,teorema de Taylor. Assim o aluno relembra e adquire conceitos numa perspectiva do rigor e da lógica da argumentação, e não na dedução e utilização intuitiva de fórmulas. Demonstration of the syllabus coherence with the curricular unit s objectives (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) This curricular unit is fundamental and has an interdisciplinary character. For that reason, we start the program with basic concepts of logic, proof methods and techniques, elementary set theory, and topology of the real line. Afterwards the differential calculus of real-valued functions is covered: limits, continuity, differentiability and Taylor s theorem. The emphasis is on rigorous presentation of principles rather then on establishing formulas and making useless calculus repetitions Métodos de ensino (600 caracteres disponíveis) As aulas TP são de carácter expositivo com apresentação de definições, demonstrações e exemplos como motivação e/ou aplicação. Nas aulas PL são resolvidos problemas previamente disponibilizados aos alunos, com vários níveis de dificuldade. Os alunos são estimulados a propor a sua própria resolução, a criticar a do professor ou colega e a concluir sobre a solução correcta. Outras propostas de trabalhos ou resolução de problemas, de carácter obrigatório ou facultativo, são disponibilizadas na página electrónica da disciplina e discutidos em horas de atendimento individual. Teaching methods (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) TP classes are expositive where a rigorous treatment of calculus is presented with concepts and proofs. We begin with detail and accuracy, accompanied by illustrative examples, applications and adequate historical notes. In PL classes, some exercises are presented, ranging from routine to very difficult. Active participation of students in class discussions, and individual and team work is encouraged. Extra projects are posted in the webpage of the course, in order to stimulate and promote the best students. This homework will be discussed with the instructor during office hours Demonstração da coerência das metodologias de ensino com os objetivos de aprendizagem da unidade curricular (1000 caracteres disponíveis) As aulas TP constituem o primeiro contacto dos estudantes com a matéria. Por isso, a motivação e a exemplificação, a par com o desenvolvimento de conceitos abstractos e apresentação de resultados teóricos com rigor e clareza, facilitam a assimilação dos conteúdos e o envolvimento dos alunos, sendo um incentivo ao estudo individual fundamental ao desenvolvimento da capacidade de generalização e abstração. Nas aulas P os estudantes são chamados a resolver problemas sob orientação do professor, sendo confrontados com as suas próprias dificuldades e sendo ajudados a superá-las. Para além de estimular o trabalho em equipa, os desafios colocados na página da disciplina visam estimular os melhores alunos a resolver problemas que envolvam conceitos não abordados nas aulas, fomentando a autonomia na aprendizagem e na pesquisa. Demonstration of the coherence between the teaching methodologies and the learning outcomes (1000 caracteres disponíveis) 2

9 In TP classes the students have their first contact with the subjects. So, motivating and illustrative examples, together with the development of abstract concepts, and presentation of theoretical results with rigor and clarity improve the assimilation of the contents and the involvement of students. This is an incentive to individual study that is fundamental to develop generalization and abstraction ability. In P classes, students are invited to solve problems under the guidance of the instructor, and are confronted with their own difficulties and helped to overcome them. The aim of the projects on the webpage of the course is to stimulate team work, to promote competition and to motivate research. Métodos de avaliação Assessment method (assinalar, em percentagem, os métodos de avaliação utilizados, devendo a respetiva soma dar 100%) Exame Exam: 100% Frequência Midterm exam: 60% Mini Testes Test: 20% Projeto Project: Não aplicável Not applicable (N.A.) Relatório de seminário ou visita de estudo Seminar ir study visit report: N.A. Resolução de problemas Problem resolving report: 10% Trabalho de Investigação Research work: N.A. Trabalho de síntese Synthesis work: N.A. Trabalho laboratorial ou de campo Fieldwork or laboratory work: N.A. Outra Other: Trabalhos em grupo Team work - 5% Outra Other: Assiduidade e participação/comportamento nas aulas Assiduity and participation/behaviour in class 5% A aprovação nesta unidade curricular exige classificação de, pelo menos, 10 valores (em 20). Os alunos que realizem, ao longo do semestre, as frequências e os trabalhos propostos podem dispensar de exame final. A soma das percentagens atribuídas a estas componentes é 100%. Os restantes alunos são avaliados em exame final para 100%. Approval in this course unit requires to score at least 10 (out of 20). The students that perform, along the semester, the mid-term exams, and the homework may be exempted from final examination. The sum of percentages corresponding to these two components is 100%. The other students are evaluated in final exam which is worth 100% Bibliografia Bibliography (1000 caracteres disponíveis) E. Lages Lima, Curso de Análise, Vol. 1, 7ªed., IMPA, M. T. Martins, Tópicos Fundamentais da Matemática, ed. Dep. Matemática, Série A, nº3, M. Spivak, Calculus, 3th ed, Cambridge Univ. Press, J. Stewart, Calculus, vols I e II, 4 th ed., Thomson,

10 FICHA DA UNIDADE CURRICULAR Unidade curricular(nome oficial da unidade curricular em português) Geometria Course unit title (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) Geometry #1 Unidade curricular já existente? Sim Não #2 Em caso de resposta afirmativa: Código da Unidade Curricular em Nónio Curso(s) Ciclo(s) de estudos a que está associada Licenciatura em Matemática 1º ciclo Ano curricular Curricular unit* 1º 1st Tipo de unidade curricular Course unit type Normal Semestre Semester 1º 1st N.º de ECTS 6 N.º de horas de contacto Contact hours(indicar o número de horas - T- Ensino Teórico; TP- Ensino Teórico Prático; PL- Ensino Prático e Laboratorial; TC- Trabalho de Campo; S- Seminário; E- Estágio; OT- Orientação tutorial; O- Outra) TP 42, PL Docente responsável Responsible academic staff member (indicar o nome completo do docente responsável pela unidade curricular) António Manuel Freitas Gomes Cunha Salgueiro institucional *(1) ams@mat.uc.pt Nível Level *(2) 1º ciclo de estudos / 1st cycle studies Modo de ensino Mode of delivery *(3) * Presencial / face-to-face Conhecimentos de base recomendados *(4) (indicar as unidades curriculares, conhecimentos, competências técnicas ou competências linguísticas que o estudante deve ter à partida para atingir com sucesso os objetivos definidos na unidade curricular) Conhecimento e domínio das matérias lecionadas na disciplina de Matemática do ensino secundário Recommended prerequesites *(4) (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) Good knowledge of High School Mathematics Língua(s) de ensino *(5) [indicar a(s) lingua(s) em que as aulas são leccionadas] Português Language(s) of instruction *(5) (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) Portuguese Outros docentes que lecionam a unidade curricular Other academic staff members involved in the curricular unit(1000 caracteres disponíveis) Objetivos da unidade curricular e competências a desenvolver(descrever, de forma sucinta e clara, o que o estudante deve conhecer, compreender e ser capaz de demonstrar após completar a unidade curricular caracteres disponíveis) Familiarizar os estudantes com: - os processos de argumentação/dedução, prova e refutação em Matemática; - os meios de argumentação, o raciocínio sobre figuras, a arquitetura e escrita de argumentos convincentes baseados em figuras; - a visualização dos problemas e dos objetos geométricos; ilustração do ponto de vista axiomático na geometria plana. Dar a conhecer alguns teoremas e métodos da Geometria. As principais competências a desenvolver são: conhecimento de resultados matemáticos; capacidade de generalização e abstração; capacidade de formular e resolver problemas; argumentação lógica; conceção ou utilização de modelos matemáticos para situações reais; iniciativa individual; expressões escrita e oral rigorosas e claras; capacidade de 1

11 aprendizagem autónoma; imaginação e criatividade; espírito crítico; capacidade de comunicação. Learning outcomes(ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) Get the students familiar with: - the processes of argumentation/deduction, proof and refutation in Mathematics; - the arguments, reasoning over pictures, the architecture and writing of convincing arguments based on pictures; - the visualization of problems and geometric objects; illustrations of the axiomatic viewpoint in plane geometry; - the theorems and methods of geometry. The main competencies to develop are: knowledge of mathematical results; generalization and abstraction; to formulate and solve problems; logic argumentation; conception or use of mathematical models to real situations; individual initiative; clear and rigorous written and oral expression; autonomous learning capabilities; imagination and creativity; critical sense; communication skills Conteúdos programáticos(1000 caracteres disponíveis) Uma Axiomática da Geometria. Congruências de triângulos e propriedades de triângulos. Propriedades da circunferência. O axioma das paralelas. Geometria euclidiana. Semelhança de triângulos. Centros de um triângulo. Determinação das medidas de um triângulo. Área. Isometrias. Construções com régua e compasso. Geometria hiperbólica. Paralelismo no plano hiperbólico. Teorema de Pitágoras hiperbólico. Área no plano hiperbólico. Syllabus(ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) An axiomatic system for Geometry. Congruence and properties of triangles. Circumference properties. The axiom of parallels. Euclidian geometry. Similar triangles. Centers of a triangle. Determination of the measures of a triangle. Area. Isometries. Compass and ruler constructions. Hyperbolic geometry. Parallelism in the hyperbolic plane. Hyperbolic Pythagoras theorem. Area in hyperbolic plane Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos da unidade curricular (1000 caracteres disponíveis) Os conteúdos programáticos centram-se na dedução de um conjunto de teoremas a partir de um sistema axiomático reduzido, ilustrando deste modo o processo de argumentação lógica. O axioma das paralelas é ora admitido, ora negado, dando assim origem duas geometrias coerentes, mas com propriedades bastante distintas. Demonstration of the syllabus coherence with the curricular unit s objectives(ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) The program is centered in the deduction of theorems from a reduced axiomatic system, illustrating the method of logic argumentation. The axiom of parallels is admitted or denied, creating two coherent geometries, with very distinct properties Métodos de ensino (600 caracteres disponíveis) A disciplina engloba: - aulas de caráter essencialmente expositivo, mas apelando também à participação dos estudantes; - aulas onde se espera que seja o aluno a apresentar demonstrações de teoremas indicados ou a resolver exercícios propostos. Teaching methods (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) The discipline encompasses: - expository classes, appealing to the participation of students; - classes where the student is expected to present proofs of some theorems and to solve exercises proposed by the teacher Demonstração da coerência das metodologias de ensino com os objetivos de aprendizagem da unidade curricular(1000 caracteres disponíveis) As aulas teóricas pretendem dotar os estudantes das ferramentas necessárias para a dedução de propriedades geométricas, que serão exercitadas nas aulas teórico-práticas. Demonstration of the coherence between the teaching methodologies and the learning outcomes (1000 caracteres disponíveis) Theoretical classes give students the necessary tools to the deduction of geometric properties, which will be used in practical classes. Métodos de avaliação Assessment method(assinalar, em percentagem, os métodos de avaliação utilizados, devendo a respetiva soma dar 100%) Exame Exam: 100% Frequência Midterm exam: 100% Mini Testes Test: Não Aplicável Not Applicable (N.A.) Projeto Project: N.A. 2

12 Relatório de seminário ou visita de estudo Seminar ir study visit report: N.A. Resolução de problemas Problem resolving report: N.A. Trabalho de Investigação Research work: N.A. Trabalho de síntese Synthesis work: N.A. Trabalho laboratorial ou de campo Fieldwork or laboratory work: N.A. A aprovação nesta unidade curricular exige classificação de, pelo menos, 10 valores (em 20). Os alunos que realizem, ao longo do semestre, as frequências podem dispensar de exame final. A percentagem atribuída a esta componente é 100%. Os restantes alunos são avaliados no final do semestre através da realização de uma prova escrita (exame). A percentagem atribuída a esta componente é 100%. Approval in this course unit requires to score at least 10 (out of 20). The students that perform, along the semester, the mid-term exames may be exempted from final examination. The percentage corresponding to this component is 100%. The other students have to be evaluated at the end of the semester through a written examination (exam). The percentage corresponding to this component is 100% Bibliografia Bibliography(1000 caracteres disponíveis) A. Salgueiro, Geometria, Universidade de Coimbra, 2012 G. E. Martin, The foundation of Geometry and the Non-Euclidian Plane, UTM Springer Verlag, 1998 H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, 2ª ed, John Wiley & Sons, 1989 P. Araújo, Curso de Geometria, Gradiva,

13 FICHA DA UNIDADE CURRICULAR Unidade curricular(nome oficial da unidade curricular em português) Teoria dos Números Course unit title (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) Number Theory #1 Unidade curricular já existente? Sim Não #2 Em caso de resposta afirmativa: Código da Unidade Curricular em Nónio Curso(s) Ciclo(s) de estudos a que está associada Licenciatura em Matemática 1º ciclo Ano curricular Curricular unit* 1º 1st Tipo de unidade curricular Course unit type Normal Semestre Semester 1º 1st N.º de ECTS 6 N.º de horas de contacto Contact hours(indicar o número de horas - T- Ensino Teórico; TP- Ensino Teórico Prático; PL- Ensino Prático e Laboratorial; TC- Trabalho de Campo; S- Seminário; E- Estágio; OT- Orientação tutorial; O- Outra) TP 42, PL Docente responsável Responsible academic staff member (indicar o nome completo do docente responsável pela unidade curricular) Olga Maria da Silva Azenhas institucional *(1) oazenhas@mat.uc.pt Nível Level *(2) 1º ciclo de estudos / 1st cycle studies Modo de ensino Mode of delivery *(3) * Presencial / face-to-face Conhecimentos de base recomendados *(4) (indicar as unidades curriculares, conhecimentos, competências técnicas ou competências linguísticas que o estudante deve ter à partida para atingir com sucesso os objetivos definidos na unidade curricular) Conhecimento e domínio das matérias lecionadas na disciplina de Matemática do ensino secundário Recommended prerequesites *(4) (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) Good knowledge of High School Mathematics Língua(s) de ensino *(5) [indicar a(s) lingua(s) em que as aulas são leccionadas] Português Language(s) of instruction *(5) (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) Portuguese Outros docentes que lecionam a unidade curricular Other academic staff members involved in the curricular unit(1000 caracteres disponíveis) Objetivos da unidade curricular e competências a desenvolver(descrever, de forma sucinta e clara, o que o estudante deve conhecer, compreender e ser capaz de demonstrar após completar a unidade curricular caracteres disponíveis) Conhecer e saber demonstrar resultados de teoria elementar dos números e ser capaz de os aplicar na resolução de problemas. Desenvolver um espírito matemático rigoroso. As principais competências a desenvolver são: capacidade de cálculo; conhecimento de resultados matemáticos; capacidade de generalização e abstração; capacidade de formular e resolver problemas; argumentação lógica; expressões escrita e oral rigorosas e claras; iniciativa individual; capacidade de aprendizagem autónoma; imaginação e criatividade; espírito crítico. Learning outcomes(ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) The knowledge and the ability to prove results in elementary number theory and the capacity to apply them on problem solving. To develop a rigorous mathematical thinking. 1

14 The main competencies to be developed are: calculus ability; knowledge of mathematical results; generalization and abstraction; ability to formulate and solve problems; logical reasoning; rigorous and clear mathematical writing as well as oral communication; critical and independent thinking; research and independent learning; imagination and creativity Conteúdos programáticos(1000 caracteres disponíveis) Os números inteiros. Princípios de boa ordenação e de indução. Divisibilidade. Algoritmo de Euclides. Números primos. Teorema fundamental da aritmética. Congruências. Teoremas de Fermat, Euler e Wilson. Congruências de grau 1. Teorema chinês dos resíduos. Congruências de grau superior a 1. Teorema de Lagrange. Raízes primitivas. Funções importantes da teoria dos números. Equações Diofantinas. Aplicações da teoria dos números (por exemplo, sistemas de identificação e criptografia de chave pública). Syllabus(ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) The integer numbers. Well ordering and mathematical induction principles. Divisibility. Euclidean algorithm. Primes. Fundamental Theorem of Arithmetic. Congruences. Fermat s Little theorem, Euler s theorem, and Wilson s theorem. Chinese remainder theorem. Lagrange s theorem. Primitive roots. Arithmetic functions. Diophantine equations. Applications of number theory (for example, the basic version of the RSA encryption method) Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos da unidade curricular (1000 caracteres disponíveis) O curso é uma introdução elementar à teoria dos números. Os conteúdos programáticos definidos são os usuais num curso de teoria elementar dos números. No início, são explorados métodos elementares para resolver problemas em teoria dos números em que o domínio das propriedades de divisibilidade dos inteiros é fundamental. A indução matemática como método de demonstração é também bastante utilizada. À medida que novos conceitos e novos resultados vão sendo introduzidos, os alunos adquirem ferramentas mais poderosas para resolver problemas em teoria dos números. Demonstration of the syllabus coherence with the curricular unit s objectives(ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) This course is an elementary introduction to number theory. The topics to be covered in the syllabus are the usual in an elementary course on number theory. In the beginning, elementary methods to solve problems in number theory are explored, which require a good knowledge of integer divisibility properties. Mathematical induction as a proof method is also widely explored. With the introduction of new concepts and results, students will aqcuire more powerful tools to solve problems in number theory Métodos de ensino (600 caracteres disponíveis) As aulas são expositivas e incluem exemplos para motivar e clarificar os conceitos abstratos, bem como exercícios de aplicação dos conhecimentos adquiridos. Dedica-se um espaço substancial à resolução de problemas por parte dos alunos. Problemas mais avançados, de cariz opcional, são também propostos. Ao longo do semestre, os alunos dispõem de um tempo de orientação tutorial para esclarecimento dos problemas que tenham na aquisição de conhecimentos e no seu treino na resolução de problemas. Teaching methods (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) Classes are expository and include examples to clarify and motivate abstract concepts, and exercises for applying the acquired knowledge. Substancial part of the time is devoted to problem-solving. Optional challenging problems are also proposed. During the semester, students may use tutorial time to clarify their difficulties and train their skills in problem solving Demonstração da coerência das metodologias de ensino com os objetivos de aprendizagem da unidade curricular(1000 caracteres disponíveis) As aulas teórico-práticas permitem expor, discutir e ilustrar resultados em teoria elementar dos números. Nas aulas práticas, os alunos resolvem problemas que permitem aplicar as matérias apresentadas nas aulas teórico-práticas. Demonstration of the coherence between the teaching methodologies and the learning outcomes (1000 caracteres disponíveis) Theoretical-practical classes allow the introduction, the discussion and the illustration of results in elementary number theory. In practical classes, the subjects taught in theoretical-practical classes are then applied by students in problem solving. Métodos de avaliação Assessment method(assinalar, em percentagem, os métodos de avaliação utilizados, devendo a respetiva soma dar 100%) Exame Exam: 100% Frequência Midterm exam: 60% Mini Testes Test: 40% Projeto Project: Não Aplicável Not Applicable (N.A.) 2

15 Relatório de seminário ou visita de estudo Seminar ir study visit report: N.A. Resolução de problemas Problem resolving report: N.A. Trabalho de Investigação Research work: N.A. Trabalho de síntese Synthesis work: N.A. Trabalho laboratorial ou de campo Fieldwork or laboratory work: N.A. A aprovação nesta unidade curricular exige classificação de, pelo menos, 10 valores (em 20). Os alunos que realizem, ao longo do semestre, as frequências e os mini testes podem dispensar de exame final. A soma das percentagens atribuídas a estas duas componentes é 100%. Os restantes alunos são avaliados no final do semestre (exame) através da realização de uma prova escrita (100%). Approval in this course unit requires to score at least 10 (out of 20). The students that perform, along the semester, the mid-term exams and the tests may be exempted from final examination. The sum of percentages corresponding to these two components is 100%. The other students have to be evaluated at the end of the semester (exam) through a written examination (100%) Bibliografia Bibliography(1000 caracteres disponíveis) G. A. Jones, J. M. Jones, Elementary Number Theory, Springer-Verlag, 1998 I. Niven, H. Zuckerman, H. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed, John Wiley & Sons, 1991 J. F. Queiró, Teoria dos Números,

16 LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DA UNIVERSIDADE DE COIMBRA FICHAS DAS UNIDADES CURRICULARES 1º ANO 2º SEMESTRE

17 FICHA DA UNIDADE CURRICULAR Unidade curricular(nome oficial da unidade curricular em português) Álgebra Linear e Geometria Analítica II Course unit title (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) Linear Algebra and Analytic Geometry II #1 Unidade curricular já existente? Sim Não #2 Em caso de resposta afirmativa: Código da Unidade Curricular em Nónio Curso(s) Ciclo(s) de estudos a que está associada Licenciatura em Matemática 1º ciclo Ano curricular Curricular unit* 1º 1st Tipo de unidade curricular Course unit type Normal Semestre Semester 2º 2nd N.º de ECTS 7,5 N.º de horas de contacto Contact hours(indicar o número de horas - T- Ensino Teórico; TP- Ensino Teórico Prático; PL- Ensino Prático e Laboratorial; TC- Trabalho de Campo; S- Seminário; E- Estágio; OT- Orientação tutorial; O- Outra) TP - 42, PL Docente responsável Responsible academic staff member (indicar o nome completo do docente responsável pela unidade curricular) Cristina Helena de Matos Caldeira institucional *(1) caldeira@mat.uc.pt Nível Level *(2) 1º ciclo de estudos / 1st cycle studies Modo de ensino Mode of delivery *(3) * Presencial / face-to-face Conhecimentos de base recomendados *(4) (indicar as unidades curriculares, conhecimentos, competências técnicas ou competências linguísticas que o estudante deve ter à partida para atingir com sucesso os objetivos definidos na unidade curricular) Álgebra Linear e Geometria Analítica I Recommended prerequesites *(4) (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) Linear Algebra and Analytic Geometry I Língua(s) de ensino *(5) [indicar a(s) lingua(s) em que as aulas são leccionadas] Português Language(s) of instruction *(5) (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) Portuguese Outros docentes que lecionam a unidade curricular Other academic staff members involved in the curricular unit(1000 caracteres disponíveis) Objetivos da unidade curricular e competências a desenvolver(descrever, de forma sucinta e clara, o que o estudante deve conhecer, compreender e ser capaz de demonstrar após completar a unidade curricular caracteres disponíveis) O principal objetivo desta unidade curricular é a aquisição de conhecimentos fundamentais da teoria dos espaços vetoriais abstratos (de dimensão finita e infinita) e transformações lineares. Os alunos terão, nesta unidade curricular, um primeiro contato com espaços vectoriais de dimensão infinita. Essa generalização a dimensão infinita do estudo realizado em ALGA I vai ser fundamental para o desenvolvimento das competências de abstração matemática exigidas a um aluno de uma licenciatura em Matemática. As principais competências a desenvolver são: conhecimento de resultados matemáticos; capacidade de generalização e abstração; capacidade de formular e resolver problemas; argumentação lógica; expressões escrita e oral rigorosas e claras; iniciativa individual; capacidade de investigação; capacidade de aprendizagem autónoma; espírito crítico; capacidade de comunicação. 1

18 Learning outcomes(ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) The main goal of this curricular unit is to teach students to work with abstract vector spaces (finite and infinite dimensional) and linear maps. In this curricular unit, students are introduced to infinte dimensional vector spaces. The generalization to infinite dimensional vector spaces of results studied in ALGA I will play a fundamental role in the development of the mathematical abstraction skills required to a student of an undergraduate course in Mathematics. The main skills students are expected to develop are: knowledge of mathematical results; ability for generalization and abstraction; ability to formulate and solve mathematical problems; logical reasoning; correct mathematical writing; individual initiative; researching capacity; autonomous learning ability; independent thinking; communication skills Conteúdos programáticos(1000 caracteres disponíveis) 1. Valores próprios e vetores próprios de matrizes. Diagonalização de matrizes. Semelhança de matrizes. Diagonalização das matrizes simétricas reais. Cónicas e quádricas. 2. Corpos. 3. Espaços vetoriais: subespaços; dependência e independência linear; base e dimensão; matriz de mudança de base. 4. Transformações lineares. Núcleo e contradomínio de transformações lineares. Isomorfismos. Representação matricial de transformações lineares. Valores próprios e vetores próprios de transformações lineares. 5. Espaços vetoriais reais com produto interno. Projeção ortogonal de um vetor sobre um subespaço e aplicações. Syllabus(ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) 1. Eigenvalues and eigenvectors of matrices. Matrix diagonalization. Similarity of matrices. Diagonalization of real symmetric matrices. Conics and quadrics. 2. Fields. 3. Vector spaces: subspaces; linear independence; bases and dimension; change of basis matrix. 4. Linear maps. Kernel and image. Isomorphisms. Matrix of a linear map. Eigenvalues and eigenvectors of a linear map. 5. Real inner product vector spaces. Orthogonal projection. Applications Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos da unidade curricular (1000 caracteres disponíveis) O curso começa com o estudo de valores e vetores próprios de matrizes quadradas e sua aplicação ao estudo da diagonalização de matrizes, da semelhança de matrizes e das cónicas e quádricas. Neste tópico são utilizados conceitos e resultados, estudados em ALGA I, relativos ao espaço vectorial Rn (Cn). O recordar destes conceitos e resultados facilita a generalização do estudo da estrutura de espaço vetorial de Rn, feito em ALGA I, ao estudo de espaços vetoriais abstratos. No estudo dos espaços vetoriais abstratos e das transformações lineares é posta em evidência a dicotomia dimensão finita/dimensão infinita, levando o aluno a questionar-se sobre possíveis técnicas de demonstração num e noutro caso, com o intuito de desenvolver as suas competências de generalização, abstração e argumentação lógica. O curso termina com o estudo de espaços vetoriais reais com produto interno, tópico imprescindível num curso de Álgebra Linear. Demonstration of the syllabus coherence with the curricular unit s objectives(ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) The course starts with the study of eigenvalues and eigenvectors of square matrices and its application to matrix diagonalization, similarity of matrices and to the study of conics and quadrics. At this point, the use of definitions and results, on Rn (Cn), that have been studied in ALGA I, is important to promote a smooth transition from the study of the vector space Rn, made in ALGA I, to the study of abstract vector spaces. Abstract vector spaces and linear maps are studied focusing on the dichotomy finite/infinite dimension, leading students to question themselves on proof techniques applicable on each of these two cases. This is done aiming to develop students' skills of generalization, abstraction and logical reasoning. The course ends with the study of real inner product vector spaces, an indispensable topic in a Linear Algebra course Métodos de ensino (600 caracteres disponíveis) As aulas teórico-práticas são sobretudo expositivas e incluem exemplos e exercícios de aplicação da matéria a ser lecionada. É sobretudo no professor que se centra o desenvolvimento destas tarefas. Nas aulas práticas os alunos resolvem exercícios, apoiados pelo professor. São ainda disponibilizadas horas tutoriais destinadas ao esclarecimento de dúvidas que os alunos tenham, quer durante o período de aulas, quer na preparação para os exames. Teaching methods (ver nota anterior. Introduzir texto em inglês) Theoretical-practical classes are mainly expository and include examples and exercises to apply the material being taught. These activities are mainly centered on the teacher. In practical classes students are given exercises and examples which should be worked on during classes with the help of the teacher. Extensive tutorial time is offered to students to solve their difficulties with the theory and to help them with homework assignments and preparation for the exams Demonstração da coerência das metodologias de ensino com os objetivos de aprendizagem da unidade curricular(1000 caracteres disponíveis) 2

19 Nas aulas TP, os alunos têm o primeiro contato com os conceitos principais da teoria. Após as definições, são imediatamente dados exemplos ilustrativos, de modo que os alunos compreendam os conceitos introduzidos. Os resultados teóricos são provados com rigor. Antes e durante as demonstrações os alunos são convidados a dar sugestões sobre os métodos a seguir. Após cada demonstração, discutem-se as técnicas utilizadas e possíveis utilizações do resultado. Esta prática ajuda o aluno a desenvolver um espírito crítico e uma argumentação lógica e implica o estudo atempado das matérias introduzidas nas aulas. Nas aulas PL, os alunos resolvem exercícios que ilustram os conceitos apresentados nas aulas TP. Para tal, contam com o apoio do professor. Os alunos aplicam as técnicas discutidas, são confrontados com as dificuldades que podem surgir e aprendem os melhores métodos para ultrapassar tais problemas. Esta prática é fundamental para uma boa compreensão das matérias estudadas. Demonstration of the coherence between the teaching methodologies and the learning outcomes (1000 caracteres disponíveis) In TP classes, students are introduced to the main concepts of the theory. After definitions, examples are immediately provided so that students can understand the concepts introduced. Theoretical results are proved with rigour, followed by a discussion of the techniques used in the proof and of possible applications of the results. Before and during the proofs, students are invited to give suggestions of methods to be used. This helps students to develop logical reasoning and independent thinking and implies a daily study of the material provided in the classes. In PL classes, students are expected to solve exercises which illustrate the results learned in TP classes with the guidance of the teacher. Here students can apply the techniques discussed, see the difficulties that can arise and which are the best methods to overcome these difficulties. This practice is fundamental for a good understanding of the subjects studied. Métodos de avaliação Assessment method(assinalar, em percentagem, os métodos de avaliação utilizados, devendo a respetiva soma dar 100%) Exame Exam: 100% Frequência Midterm exam: 80% Mini Testes Test: 20% Projeto Project: Não aplicável Not applicable (N.A.) Relatório de seminário ou visita de estudo Seminar ir study visit report: N.A. Resolução de problemas Problem resolving report: N.A. Trabalho de Investigação Research work: N.A. Trabalho de síntese Synthesis work: N.A. Trabalho laboratorial ou de campo Fieldwork or laboratory work: N.A. A aprovação nesta unidade curricular exige classificação de, pelo menos, 10 valores (em 20). Os alunos que realizem, ao longo do semestre, as frequências e os mini-testes podem dispensar de exame final. A soma das percentagens atribuídas a estas duas componentes é 100%. Os restantes alunos são avaliados no final do semestre através da realização de uma prova escrita (exame). A percentagem atribuída a esta componente é 100%. Approval in this course unit requires to score at least 10 (out of 20). The students that perform, along the semester, the mid-term exams and the tests may be exempted from final examination. The sum of percentages corresponding to these two components is 3

20 100%. The other students have to be evaluated at the end of the semester through a written examination (exam). The percentage corresponding to this component is 100% Bibliografia Bibliography(1000 caracteres disponíveis) A. P. Santana, J. F. Queiró, Introdução à Álgebra Linear,