DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE PARA PROBLEMAS DE DIMENSIONAMENTO DE REATORES CSTR

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1 0 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ENGENHARIAS CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA INGO LUIZ BOFF BRANDALISE DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE PARA PROBLEMAS DE DIMENSIONAMENTO DE REATORES CSTR FRANCISCO BELTRÃO 2019

2 1 INGO LUIZ BOFF BRANDALISE DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE PARA PROBLEMAS DE DIMENSIONAMENTO DE REATORES CSTR Trabalho de Conclusão de Curso em Engenharia Química, apresentado à disciplina de Trabalho de Conclusão de Curso 2, do Departamento Acadêmico de Engenharia Química da Universidade Tecnológica Federal do Paraná como requisito parcial para o título de bacharel em engenharia química. Orientador: Prof. Dr. Vilmar Steffen FRANCISCO BELTRÃO 2019

3 2 FOLHA DE APROVAÇÃO INGO LUIZ BOFF BRANDALISE DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE PARA PROBLEMAS DE DIMENSIONAMENTO DE REATORES CSTR Trabalho de Conclusão de Curso Obtenção do Título de Engenheiro Químico Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Francisco Beltrão Engenharia Química Data da aprovação: Vinte e nove de novembro de 2019 Orientador: Prof. Dr. Vilmar Steffen Membro da Banca: Prof(a). Dr(a). Ana Paula de Oliveira Universidade Tecnológica Federal do Paraná Membro da Banca: Prof. Dr. Jeconias Rocha Guimarães Universidade Tecnológica Federal do Paraná A Folha de Aprovação assinada encontra-se na Coordenação do Curso.

4 3 AGRADECIMENTOS Primeiramente quero agradecer a Deus, minha energia superiora que sempre me iluminou e guiou meu caminho, auxiliando-me nas minhas decisões de vida. Aos meus pais, Cleiton e Daniele, que nunca mediram esforços para que tudo em minha vida desse certo e fosse da melhor forma possível, que sempre me incentivaram a nunca desistir e sempre trilhar o caminho certo. Se não fosse por todo o apoio deles, eu não estaria escrevendo esse trabalho. Ao meu irmão, Lucas, pelas brigas por eu não dar atenção a ele, pois estava estudando e pesquisando sobre assuntos da faculdade, mas também por todos os carinhos pela saudade de eu estar longe de casa e dele, principalmente. Ao Prof. Dr. Vilmar Steffen, agradeço, não só pela orientação e por todo o conhecimento repassado a mim, que foi de fundamental importância para o bom desenvolvimento deste trabalho, mas pela compreensão de não ter conseguido cumprir com o verdadeiro desafio desse trabalho, que, futuramente, quero apresentar o real desafio cumprido. Aos meus amigos que fiz durante esse curso (que foram muitos), pois eles foram minha família durante esses anos: A Joyce, pela mãezona sempre pronta a dar conselhos e me mostrar caminhos que foram certeiros na minha vida. A Vanessa, pela boa ouvinte e pela pessoa sempre pronta a nos fazer rir com seus soluços espontâneos e seus bordões. A Viviane, pelos bons rolês e por sempre estar pronta a tomar um sorvetinho, além de sempre me colocar pra cima quando estava cabisbaixo. A Bruno, por sempre estar nos ensinando ditados novos e sempre me incentivando a nunca desistir dos meus projetos. Aos Feras da EQ, pelos churrascos, beras e pelas partidas de baralho (o jogo em específico que todos sabem que eu adoro), sempre proporcionando momentos inesquecíveis. A Gabriel Bortoleti, pela parceria que eu encontrei aqui em Francisco Beltrão, pela boa comida, um bom gosto que partilhamos, e pelos bons momentos compartilhados.

5 4 A José, por ter me auxiliado nos estudos de Python (mesmo sem conhecer) durante madrugadas e horários livres, além dos momentos de estudos conjuntos. A Gabriel Salvatti, um grande amigo de orquestra, por me ensinar formas de descobrir os erros do meu algoritmo, e pelo compartilhamento de bons concertos eruditos. A Leonardo, por ter me ajudado a dar o pontapé inicial no processo de escrita do código, pois sem ele, este trabalho não teria sido concluído. Aos colegas da orquestra da UTFPR-FB, por sempre compreenderem minhas faltas aos ensaios devido aos meus estudos e pelos bons momentos de risadas e vexames próximo de pessoas que não nos conheciam. A todas as pessoas que de alguma forma me auxiliaram no desenvolvimento deste trabalho e que me ajudaram na minha formação profissional e pessoal durante esses 5 anos de UTFPR, o meu muito obrigado.

6 5 RESUMO Um grande problema se tem dentro da engenharia química quando o assunto é simulação de processos químicos, que é a falta de softwares intuitivos de licença gratuita para o público geral que lida com este ramo, como pesquisadores, engenheiros industriais e estudantes. Muitos são os softwares para esse tipo de trabalho, sendo um exemplo os simuladores modulares sequenciais, mas que possuem licenças pagas que são muito caras. Com esse cenário, foi desenvolvido um software direcionado à área de resolução de problemas de dimensionamento de reatores do tipo CSTR. O objetivo desse software é a fácil utilização e o uso por um público geral do ramo da engenharia química. Para o desenvolvimento desse programa foi utilizado como base um método numérico que resolvesse sistemas de equações não lineares de forma altamente convergente, sendo o método escolhido o Método de Broyden. O modelo matemático obtido baseou-se em hipóteses simplificadoras próprias de um reator CSTR, adicionando-se do caso de se considerar reações elementares, mistura perfeita e reator ideal. E para o desenvolvimento do programa foi escolhida a linguagem de programação Python juntamente com sua biblioteca para elaboração da interface gráfica, Kivy. Estas foram escolhidas por apresentarem fácil manipulação para escrita do código e fácil entendimento por parte do usuário, caso este se interesse por alterar o código se necessário. Com os exemplos de emprego do software apresentados, pode ser percebido que foi possível obter um software para resolução de problemas de dimensionamento de reatores do tipo CSTR e que possui grande aplicação na área de análise e simulação de processos aplicados nessa área específica, o dimensionamento de reatores CSTR. Palavras-chave: Implementação. Software. Reatores.

7 6 ABSTRACT The deficiency of intuitive softwares with free license for the general public is a big problem inside of chemical engineering. Mainly for the researchers, industrial engineers and students. Many are the softwares for this kind of work, for exemple, the senquential modular simulators, but the licenses are so expensive. Considering this, the development of a software directed to resolution sizing problems of CSTR reactor is necessaring. The main goal of this software is an easier used and the used for a general public of the chemical engineering area. For the development of this programm it was used as base a numerical method that solved systems of nonlinear equations of convergent way, using the Broyden Method. The math model was based in simplifying hypotheses of a CSTR reactor, add the case of a elementar reactions, perfect mix and ideal reactor. And to develops the programm it was chosen the Python programming language together with your library for graphic interface development, Kivy. These were used as result of an easier manipulation for code script, simplifying the understanding for the user, if it interests for change the code, if necessary. With the shown examples, it perceives that, it was possible to get a software to resolution of sizing problems of CSTR reactors and that has big application in this specific area, the CSTR reactors sizing. Key words: Implementation. Software. Reactors.

8 7 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 8 2 OBJETIVOS OBJETIVO GERAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS 11 3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA INTRODUÇÃO AO BALANÇO DE MASSA E AO CÁLCULO DE REATORES Cálculo de Reatores SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES Método de Newton-Raphson Método de Broyden LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO PYTHON 25 4 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS 27 5 RESULTADOS E DISCUSSÕES EXEMPLO EXEMPLO CONCLUSÃO 41 REFERÊNCIAS 42 APÊNDICE A CÓDIGO PYTHON 44 APÊNDICE B CÓDIGO KIVY 73

9 8 1 INTRODUÇÃO A simulação de processos químicos é uma grande área que possui muitas aplicações no âmbito industrial. Esta área é muito difundida entre pesquisadores e estudantes devido sua importância, principalmente no projeto de plantas industriais, otimização e controle de processos. Devido o vasto conhecimento necessário para a realização de simulações, muito se tem feito para facilitar os usuários deste ramo. Como os problemas de engenharia química são, considerando problemas reais, altamente não lineares, necessita-se de ferramentas que auxiliem na resolução de problemas e/ou na tomada de decisões. Alguns exemplos podem ser encontrados no comportamento de concentrações de componentes em reações, processos de transferência de massa, no comportamento da queda de pressão por escoamento em tubulações, entre outros. Essas propriedades dos processos são variáveis dependentes, geralmente representadas por modelos matemáticos (fenomenológicos ou empíricos), relacionadas como variáveis independentes do processo, como a dimensão dos equipamentos. Normalmente, as equações que descrevem o perfil dessas variáveis de processo não têm comportamento linear, mas sim comportamentos exponenciais, logarítmicos, ou às vezes muito complexos de se classificar. Como esses comportamentos não lineares são representados por equações matemáticas muito complexas, cálculos manuais tornam-se trabalhosos e impraticáveis. Contudo, com o avanço da ciência e da tecnologia, foram criadas linguagens de programação de alto nível e softwares que auxiliassem nesses cálculos. Esses softwares se baseiam em métodos e técnicas criadas e difundidas, por demonstrarem grande proximidade com a realidade, para resolução de sistemas de equações não lineares. No entanto, normalmente os softwares mais eficientes possuem licença paga, a preços pouco acessíveis. E, considerando a realidade do perfil das empresas brasileiras, segundo Oliveira (2018), 70% da nossa indústria é formada por micro e pequenas empresas, ficando estas impossibilitadas de adquirir softwares muito caros devido ao orçamento limitado. De acordo com Duarte, Orellana e Campos (2011), os recursos computacionais se tornam indispensáveis à atuação do engenheiro químico, funcionando como uma ferramenta que lhe assegura maior confiabilidade em relação à obtenção dos dados e ao seu tratamento. Por isso, na maioria dessas empresas, os profissionais de engenharia química utilizam softwares

10 9 livres, desenvolvem softwares utilizando muitas dessas linguagens de programação de alto nível, ou ainda, buscam auxílio de universidades para elaboração e implantação de softwares por estudantes e pesquisadores. Um software mais simples, ou mais barato, desde que adaptado às necessidades e bem utilizado, pode ser tão efetivo quanto as soluções mais caras e complexas (VIEIRA, 2018). Isso tudo mostra a importância de se ter um software à disposição para agilidade na tomada de decisões, pois eles não auxiliam apenas na obtenção rápida de resultados, mas sim nos possíveis cenários que podem vir a acontecer. Uma das áreas da engenharia química, que há vários modelos não lineares, é a engenharia das reações químicas, ou cinética de reatores. Os profissionais desta área estudam os modelos matemáticos que descrevem a cinética química de geração e/ou consumo de espécies químicas que ocorre dentro de reatores e os possíveis mecanismos de reação que ocorrem, dependendo das condições do processo e do tipo de reator utilizado. São três os principais tipos de reatores que existem: reator batelada, no qual não há fluxo mássico/molar durante o processo, há apenas o depósito do material reacional dentro do reator antes do processo; reator CSTR (Continuous Stirred-Tank Reactor), ou Reator Tanque Agitado Contínuo, um reator de escoamento contínuo (fluxo mássico de entrada de reagentes e saída de produtos) no qual normalmente são conduzidas reações em fase líquida; e reator tubular, de fluxo contínuo, em que considera-se, normalmente, não haver variação das concentrações em relação ao raio do tubo, chamado de PFR (Plug Flow Reactor), ou Reator de Fluxo Pistonado, utilizado para operar reações em fase gasosa, em sua maioria. Especificando a engenharia das reações químicas, os softwares mais atrativos para essa área são aqueles de fácil compreensão para uso, pois, por se tratar de uma área que possui cálculos de difícil manuseio matemático, o software deve ser claro nos seus parâmetros e forma de utilização. Porém, muitos não são assim. Estes possuem características e funções de grande abrangência, mas são de difícil utilização, sendo necessário muito tempo de dedicação para aquisição de conhecimento a respeito do seu funcionamento. Sendo assim, softwares intuitivos estão em falta no mercado, sendo um benefício, a todos que atuam com engenharia química, ter acesso a esse tipo de ferramenta. O desenvolvimento de um software intuitivo, com interface gráfica de fácil compreensão, que possa ser utilizado no mundo acadêmico, tanto por professores e

11 10 pesquisadores quanto por alunos e estudantes é de extrema importância, auxílio e praticidade. Algo desse gênero pode vir como uma ferramenta de análise, divulgação científica e também no processo de ensino. Dessa forma, este trabalho buscou ser o mais compreensível e prático possível para que fosse atrativo ao uso. Além disso, acompanhando a inovação que está acontecendo, em um contexto global e atual, desenvolver um software que possa ser aplicado profissionalmente, ou mesmo como uma escala piloto, é acompanhar os avanços da Indústria 4.0. De acordo com Mongelli (2019), essa Quarta Revolução Industrial tem por objetivo transformar a prática do processo de produção com as principais inovações tecnológicas. Isso está ocorrendo de forma muito rápida, mas ao mesmo tempo complexa, pois os pilares da Indústria 4.0 são a virtualização, que é a entrada da tecnologia digital nas indústrias; a conectividade, fazendo os sistemas físico e digital interagirem por meio da IoT (Internet of Things); a tomada de decisões, utilizando Inteligência Artificial; e a modularidade, pois apesar das máquinas estarem conectadas entre si por um sistema elas trabalham de forma independente para melhor otimização dos processos. Neste contexto, este trabalho visa a implementação computacional de um modelo matemático para resolução de problemas de dimensionamento de reatores do tipo CSTR para um número limitado de cinco componentes envolvidos em uma reação química (incluindo inertes), no qual o usuário poderá selecionar qualquer conjunto de incógnitas (especificando os parâmetros restantes), respeitando os graus de liberdade do problema, da mesma forma como é abordado em simuladores modulares sequenciais.

12 11 2 OBJETIVOS Para o desenvolvimento desse projeto de pesquisa, foi feito uma abordagem computacional com base em linguagem Python para resolução de problemas de dimensionamento de reatores do tipo CSTR. 2.1 OBJETIVO GERAL Desenvolver um software do ramo da engenharia de reações químicas para a análise e resolução de problemas de dimensionamento de reatores do tipo CSTR. 2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Resolver problemas de dimensionamento de reatores do tipo CSTR; Ser intuitivo; Poder ser usado no âmbito acadêmico, para divulgação científica, e no âmbito profissional; Agilizar o cálculo da cinética de reatores do tipo CSTR quando muito complexos; Fornecer praticidade na análise de problemas de cinética de reatores sob a perspectiva de diferentes conjuntos de incógnitas; Elaborar um algoritmo com base em linguagem de programação Python que resolva os problemas propostos; Elaborar uma interface gráfica para o software para que seja prático para o usuário utilizá-lo.

13 12 3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 3.1 INTRODUÇÃO AO BALANÇO DE MASSA E AO CÁLCULO DE REATORES Um dos primeiros conceitos básicos que um engenheiro químico precisa ter bem definido em sua base teórica acerca da engenharia química é a relação de um processo químico com um balanço de massa. O balanço de massa nada mais é que a aplicação de um princípio que foi enunciado no século XVIII. De acordo com Russel (1994), em 1774, Antoine Laurent de Lavoisier enunciou a lei de conservação da massa (ou matéria), em um recipiente fechado, a soma das massas dos produtos é igual a soma das massas dos reagentes, ou, na natureza nada se perde, nada se cria, tudo se transforma, pois durante uma reação química não ocorre nem ganho nem perda de massa, apenas transformação. Baseando-se nesse princípio, é possível escrever uma equação que descreve um balanço de massa geral, aplicado a qualquer processo entre os instantes de tempo t 1 e t 2, conforme descrito na equação (1). Acúmulo no sistema de t 1 a t 2 = Entrada no sistema de t 1 a t 2 Saída do sistema de t 1 a t 2 + Geração no sistema de t 1 a t 2 Consumo no sistema de t 1 a t 2 (1) Segundo Himmelblau (2014), para entender o que descreve a equação (1) é necessário que sejam definidos alguns termos: Sistema: porção arbitrária onde está ocorrendo o processo a ser analisado. Pode ser chamado também de volume de controle; Estado estacionário ou processo contínuo: processo no qual nenhuma das variáveis de processo varia em relação ao tempo; Estado transiente: processo pelo qual há variáveis de processo que variam em relação ao tempo. Um caso específico de um processo em estado transiente é um processo em batelada, no qual é realizado com uma quantidade fixa de massa, sem ocorrer entradas e saídas do sistema; Processo em semibatelada: processo semiaberto, ou seja, ocorre entrada de massa no sistema, mas não ocorre saída.

14 13 De acordo com Junior e Cruz (2011), pode-se escrever dois tipos de balanço: os diferenciais e os integrais. Os balanços diferenciais são usados quando se necessita determinar o valor de uma variável em determinado instante de tempo, pois uma equação diferencial considera variações infinitesimais da variável independente (podendo ser o tempo em alguns casos, como pode ser também o comprimento de um tubo). Já os balanços integrais têm suas aplicações quando se quer saber a variação de uma determinada variável (concentração, por exemplo) entre dois instantes de tempo diferentes, como se fosse uma variável de estado. A partir desses termos e da definição de balanço de massa é possível aplicar esses conceitos ao cálculo de reatores (ou cinética de reatores) Cálculo de Reatores O cálculo de reatores é um ramo da engenharia química. Profissionais que trabalham neste ramo estudam a cinética das reações químicas a nível industrial a partir da velocidade de reação química (r). De acordo com Fogler (2014), esse termo, r, representa a velocidade de reação química, sendo função das concentrações das espécies presentes na reação (somente reagentes ou reagentes e produtos), da temperatura e pressão do meio reacional, da presença e do tipo de um catalisador e é independente do tipo de reator a qual a reação é posta para operar. Segundo Levenspiel (2000), algumas reações ocorrem muito rapidamente, enquanto outras ocorrem de forma extremamente lenta, tudo dependendo da taxa de reação. Em função disso, por existirem diferentes tipos de reatores em questão de cor, tamanho e forma, cada processo deve ser tratado de forma diferente, desenvolvendo uma equação de projeto para cada caso. De acordo com Roberts (2010), com base em anos de estudos experimentais e teóricos da cinética de muitas reações químicas, algumas generalizações acerca da forma das equações de velocidade de reação se consolidaram. 1. Em reações elementares (essencialmente irreversíveis), a taxa de desaparecimento do reagente A pode ser representada pela equação (2).

15 14 r A = k(t)f(c A, C B, C C, ) (2) As influências das variáveis temperatura e concentração frequentemente são separadas, ou seja, k(t) representa a constante cinética que depende apenas da temperatura e F(toda C i ), uma função que depende apenas das concentrações das várias espécies presentes na reação. 2. A constante da taxa pode ser escrita na forma representada pela equação (3). k(t) = A exp ( E RT ) (3) Onde R é a constante dos gases, T a temperatura, A um fator préexponencial ou fator de frequência e E é a energia de ativação da reação. A equação (3) é chamada de Equação de Arrhenius. 3. O termo F(C A, C B, C C, ) diminui à medida que as concentrações dos reagentes diminuem, diminuindo juntamente a velocidade de reação. 4. O termo F(C A, C B, C C, ) pode ser escrito na forma apresentada pela equação (4). F(C A, C B, C C, ) = C i α i i (4) A equação (4) representa o produto de todas as concentrações que influenciam na velocidade de reação, sendo o termo α i chamado de ordem de reação em relação ao componente i. Esta possui valor que variam, normalmente, de 0 a 2, podendo possuir valores fracionários. 5. Se uma reação é reversível, sua equação da velocidade de reação é escrita como sendo a diferença entre as velocidades direta e inversa. Nestes casos, em determinado momento a equação atinge o equilíbrio químico, no qual a velocidade direta é igual a velocidade inversa. Assim a equação da velocidade deve considerar a constante de equilíbrio e é escrita no formato da equação (5).

16 15 Reagentes α r A = k(t)( C i i i Produtos C i α i i Kc ) (5) Sendo Kc a constante de equilíbrio do sistema. Porém, deve-se lembrar que a constante de equilíbrio é uma variável dependente da temperatura conforme a equação de Van t Hoff, descrita na equação (6). d(ln (K)) dt = H rx o RT 2 (6) Segundo Fogler (2014), a lei de velocidade de reação é uma equação algébrica, que pode ser tanto linear quanto não linear, ou seja, para uma reação química do tipo descrito na equação (7): A produtos (7) A lei de velocidade pode ser conforme exemplificado na equação (8). r = kc A (8) Ou conforme exemplificado na equação (9). r = k 1C A 1 + k 2 C A (9) Onde: r: Velocidade de reação; k, k 1 e k 2 : Constantes de velocidade específicas; C A : Concentração do composto A. Para que se possa verificar o quanto a velocidade de reação influencia no processo é necessário colocá-la em um balanço material, contudo, o balanço que

17 está presente o termo da velocidade de reação é um balanço molar, pois a relação de geração/consumo reacional é dada em base molar. 16 Acúmulo no sistema de t 1 a t 2 = Entrada no sistema de t 1 a t 2 Saída do sistema de t 1 a t 2 ± Geração/Consumo no sistema de t 1 a t 2 (10) Esse mesmo balanço representado pela equação (10) pode ser escrito com base em vazões molares por componente e o acúmulo sendo representado por uma taxa, que, quando tomado que o intervalo de tempo considerado tende a zero, essa taxa se torna uma derivada, ou seja, é escrito um balanço diferencial, como na equação (11). dn j dt = F j 0 F j + G j (11) No termo de geração é preciso considerar que a reação está ocorrendo em todo o sistema. A equação (12) representa o termo de geração. V G j = r j dv 0 (12) Sendo V o volume de controle, nem sempre temos a mesma quantidade de reagente em todos os pontos do volume de controle, portanto não temos sempre o mesmo grau de reação em todos os pontos. Assim, pode-se escrever a equação (13) que é uma equação geral para as reações químicas. dn j dt = F j 0 F j + r j dv 0 V (13) A partir da equação (13) podem ser escritas as equações de projeto de todos os tipos de reatores existentes. E para o presente trabalho, o reator utilizado

18 17 será o reator do tipo CSTR (reator tanque agitado contínuo) que é um reator contínuo. Normalmente é operado em regime estacionário, e assume-se como tendo uma mistura perfeita; isto é, os valores dessas variáveis não mudam de um ponto para outro no interior do reator. (FOGLER, 2014) Como o reator CSTR, de interesse ser contínuo, o termo de acúmulo é anulado, juntamente com a integral da velocidade de reação por ser considerada uma mistura perfeita. Assim, a equação (13) se resume a: 0 = F j0 F j + r j V (14) Isolando a variável V, a equação (14) se resume na equação de projeto de um CSTR (equação (15)). V = F j 0 F j r j (15) Considerando variáveis que são mais fáceis de serem medidas como vazão volumétrica e concentração, a equação (15) pode ser escrita como apresentado na equação (16). V = v 0C j0 vc j r j (16) Sendo: v 0 e v, vazões volumétricas de entrada e saída, respectivamente e C j0 e C j, concentrações das correntes de entrada e saída, respectivamente. Como a equação (16) pode ser escrita para cada componente participante da reação, e os termos de volume, vazão volumétrica e velocidade de reação geral são os mesmos para o processo em si, é possível agrupar as equações escritas de cada componente em um sistema de equações. Mas como um sistema de equações normalmente possui suas equações igualadas a um vetor nulo, a equação (16) precisaria ser reescrita conforme representado na equação (14), considerando o apresentado na equação (17):

19 18 r j = ν j r (17) Sendo que ν j representa o coeficiente estequiométrico da componente j na reação e que as vazões se mantem constantes, a equação (18) se apresenta como resumo da explicação. v 0 (C j0 C j ) + ν j rv = 0 (18) 3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES Equações não lineares se caracterizam pela presença de termos não lineares ao longo da equação, isto é, são equações que não podem ser escritas no formato ax + by = c, sendo a, b e c constantes reais. Porém ax 2 + by = c ou ax + b exp(y) = c são equações não-lineares. (PINTO, 2001) Segundo Pinto (2001), normalmente, esse tipo de equação não possui solução analítica, sendo necessário utilizar algum método numérico para encontrar sua solução aproximada. A solução encontrada por métodos numéricos é dita aproximada pois por menor que seja a precisão do método, sempre haverá um erro em relação à solução exata. Frequentemente, os problemas reais não envolvem apenas uma única equação não-linear, mas sim um sistema de equações não-lineares. Burden (2015) diz que, como sistemas de equações não-lineares são, de certa forma, complexos de se resolver, normalmente, evita-se resolvê-los analiticamente e opta-se por utilizar métodos de aproximação dos valores exatos, dentre os quais há alguns que são adaptados a partir de séries de Taylor truncadas no segundo termo. Por definição, dada uma função não linear F = (f 1, f 2,, f n ) T, sua solução será encontrada fazendo-se o apresentado na equação (19). F(X) = 0 (19) Sendo X um vetor coluna com n variáveis independentes (equação (20)):

20 19 equação (21). X = (x 1, x 2,, x n ) T (20) No formato de sistema, o conjunto de equações é representado pela f 1 (x 1, x 2,, x n ) = 0 f { 2 (x 1, x 2,, x n ) = 0 f n (x 1, x 2,, x n ) = 0 (21) Ou seja, resume-se à equação (22). f 1 (X) f 1 (x 1, x 2,, x n ) f F(X) = ( 2 (X) f ) = ( 2 (x 1, x 2,, x n ) ) = 0 (22) f n (X) f n (x 1, x 2,, x n ) De acordo com Pinto (2001), os métodos numéricos de resolução de sistemas de equações não-lineares podem ser classificados em dois grupos: Métodos Diretos: dos quais não fazem uso de cálculo de derivadas de F(X) nem de aproximações destas derivadas; Métodos Indiretos: dos quais fazem uso do cálculo de derivadas de F(X) ou de aproximações destas derivadas de modo a acelerar a convergência do método numérico. Como a função a ser resolvida pode ser escrita em um formato matricial, as derivadas utilizadas pelos métodos indiretos também comporão uma matriz, a matriz Jacobiana, representada pela equação (23). f 1 (X) x 1 f 2 (X) J(X) = x 1 f n (X) ( x 1 f 1 (X) x 2 f 2 (X) x 2 f n (X) x 2 f 1(X) x n f 2(X) x n f n(x) x n ) (23)

21 20 A matriz Jacobiana representa um conjunto de vetores gradientes denotados por f i (X), i = 1,2,, n. Dessa forma, a matriz Jacobiana também pode ser escrita baseada nos vetores gradientes da função F(X). f 1 (X) f J(X) = f i (X) = ( 2 (X) ) = f n (X) f 1 (X) x 1 f 2 (X) x 1 f n (X) ( x 1 f 1 (X) x 2 f 2 (X) x 2 f n (X) x 2 f 1(X) x n f 2(X) x n f n(x) x n ) (24) pois: f i (X) = ( f i(x) x 1 f i (X) x 2 f i(x) x n ) (25) Como é visto desde a equação (21) que as matrizes das funções e Jacobiana, de forma geral, abordam n incógnitas e n equações, métodos numéricos são necessários para se calcular as derivadas parciais das n equações em relação às n incógnitas. E, como na maioria dos problemas as funções não são simples, é prático optar pelo uso de aproximações para essas derivadas. Um método muito usual é o método das diferenças centradas, representado pela equação (26): f j (X) x k f j(x 1, x 2,, x k + h k,, x n ) f j (x 1, x 2,, x k h k,, x n ) 2h k (26) O termo h k representa uma variação no valor da variável em que se está avaliando a derivada parcial, ou seja, como se está derivando a função f j em relação a variável x k, esta será a variável que terá variação no seu valor. Quanto menor o valor de h k mais precisa será a derivada. Entretanto valores muito pequenos podem causar erros na resolução devido à possíveis limitações do computador. Um possível valor de h k é o apresentado na equação (27). h k = 0,001x k (27)

22 Método de Newton-Raphson O método de Newton-Raphson é um dos métodos mais amplamente estudados e conhecidos para se resolver sistemas de equações não-lineares. Ele se assemelha muito ao método de Newton aplicado na resolução de equações nãolineares com uma única variável. O Método de Newton para resolução de equações não lineares de uma variável é baseado na aproximação linear em torno de um ponto qualquer x k, considerando uma série de Taylor truncada no segundo termo (termo da derivada primeira). Esse truncamento está representado na equação (28). f(x) = f(x k ) + f (x k )(x x k ) (28) Isolando a variável x na equação (28), fica-se com descrito na equação (29). x = x k f(x k) f(x) f (x k ) (29) Como estamos buscando uma raiz para a equação, isso pode ser representado conforme a equação (30). f(x) = 0 (30) Desta forma, como é um processo iterativo, o valor encontrado para x é a possível raiz da equação. Assim, renomeando as variáveis da equação (29) e substituindo a equação (30) na equação (29), tem-se a equação (31) utilizada para o processo iterativo. x k+1 = x k f(x k) f (x k ) (31)

23 22 Essa dedução foi feita de forma a facilitar o entendimento da equação geral do Método de Newton-Raphson para sistemas de equações não-lineares que regula o processo iterativo. Como sistemas de equações normalmente são representados na forma de vetores, para fazer a comparação entre o método de Newton-Raphson para uma equação e para um sistema de equações, a variável x é substituída por um vetor de variáveis X = (x 1, x 2,, x n ), a função f(x) é substituída por um vetor de funções F(X) = [f 1 (X), f 2 (X),, f n (X)] e a derivada primeira f (x) é substituída por uma matriz de derivadas parciais de cada uma das funções em relação a cada uma das variáveis, a matriz jacobiana, J(X). Escrevendo a equação geral do método e fazendo as substituições de equação algébrica para equação vetorial obtem-se a equação (32). X k+1 = X k F(X k) J(X k ) (32) Considerando que: X k+1 X k = X k (33) E rearranjando a equação (32), resulta-se na equação (34). J(X k ) X k = F(X k ) (34) Segundo Santos (2016), a ampla utilização do método de Newton-Raphson decorre de suas caraterísticas, entre elas a convergência local quadrática. O processo iterativo desse método tem início com uma estimativa inicial X 0 e continua até uma determinada precisão ser atingida. Essa precisão é escolhida a partir do nível de precisão que se necessita obter a solução, e pode ser avaliada mediante cálculo das normas (representadas nas equações (35) e (36)), tanto da variação X k, quanto da função F(X k ):

24 23 n 2 X k = x k < ε i 1 (35) i=1 n F(X k ) = f i (X k ) 2 < ε 2 (36) i=1 O algoritmo do Método de Newton-Raphson funciona da seguinte maneira: 1. Entrada de dados iniciais: a) k = 0; b) Estimativa inicial (ponto incial) X 0 ; c) Precisões ε 1 e ε 2 ; d) Sistema de equações; e) Equação que descreve o cálculo da Jacobiana. 2. Cálculo da solução inicial F(X k ); 3. Cálculo da Jacobiana no ponto inicial J(X k ); 4. Cálculo da mudança de valor da variável vetorial X por meio da Eq(16); 5. Cálculo da solução vetorial aproximada X k+1 por meio da Eq(15); 6. Avaliar as precisões: a) Se X k < ε 1 ou F(X k ) < ε 2, então X = X k+1 e seguir para o passo 7; b) Senão, fazer k = k + 1 e retornar ao passo Imprimir resultados Uma etapa que exige grande tempo computacional é o cálculo da Jacobiana a cada nova iteração, pois se a função for muito grande, são muitos os cálculos que o computador precisa fazer. Dessa forma, um método, chamado de Método de Newton Modificado, foi criado para que a Jacobiana utilizada fosse calculada apenas

25 uma vez, em torno do ponto inicial. A equação geral do método de Newton Modificado está representada pela equação (37). 24 J(X 0 ) X k = F(X k ) (37) Dessa forma, uma solução será encontrada considerando as precisões escolhidas, porém a convergência deixa de ser quadrática e passa a ser linear. O Método de Newton Modificado está em uma classificação de métodos de resolução de sistemas de equações não lineares que são modificados a partir do Método de Newton-Raphson, ou seja, são métodos que possuem taxa de convergência e precisão de resultados melhores. Um método muito utilizado na resolução de sistemas de equações não lineares que possui boa precisão e boa taxa de convergência, sem precisar se preocupar com a estimativa inicial é o Método de Broyden Método de Broyden Esse método possui um fator de relaxação adicionado na sua equação. Esse fator de relaxação é multiplicado pela diferença entre a estimativa anterior e a posterior para que o processo de convergência seja acelerado ou para que se obtenha convergência em um processo de divergência. O segredo do Método de Broyden é alterar o fator de relaxação a cada iteração. Apesar do esforço computacional aumentar, a convergência também aumenta. Sendo que esse fator só é diferente da unidade quando necessário para se evitar a divergência. Considerando a equação (33), o Método de Broyden pode ser obtido da seguinte maneira. Rearranjando a equação (33), obtem-se a equação (38). X k+1 = X k + X k (38). O fator de relaxação é multiplicado pelo X k. Desse forma, a equação (39) o apresenta como sendo s i k.

26 25 X k+1 = X k + s i k X k (39) Para saber quando o fator possuirá valor diferente da unidade, é avaliada a desigualdade entre as normas Euclidianas (equação (40)). n n f 2 j (X k + s i k X k) < f 2 j (X k ) j=1 j=1 (40) Caso essa desigualdade não seja verdadeira, o valor do fator s deve ser alterado conforme a equação (41). s 2 k = 1 + 6η 1 3η (41) Sendo η a razão entre as normas Euclidianas representadas na equação (40) ao quadrado. η = n j=1 f j 2 (X k + s i k X k) n f 2 j=1 j (X k ) (42) 3.3 LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO PYTHON De acordo com Perkovic (2016), Python é uma linguagem de uso geral e que possui uma biblioteca muito completa, permitindo criar códigos relativamente simples e fáceis de se entender. Isso é vantajoso na escolha dessa linguagem de programação, além dela ser livre. É uma linguagem de programação multi-paradigma, pois suporta orientação de objeto, programação imperativa e, em menor escala, programação funcional. (VAZ, 2018)

27 26 Esta linguagem de programação permite a um iniciante escrever códigos sem necessitar escrever os códigos do princípio, pois as bibliotecas auxiliam na escrita do código e complementam informações de forma prática. De acordo com Santana (2019), Python é a linguagem de programação mais utilizada na atualidade, pelo menos no mundo do desenvolvimento de aplicações para computador e para a web. Segundo o estudo, Python é usado tanto na academia quanto nas indústrias e está crescendo sua popularidade nas escolas e nos negócios.

28 27 4 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS O presente trabalho foi executado com base tecnológica. O mesmo tem uma pesquisa de certa forma descritiva, pois um assunto já conhecido (que é a solução de problemas de reatores CSTR) foi tratado de uma forma mais geral, evitando o que é feito na abordagem do conteúdo apresentado na disciplina de Cálculo de Reatores, em que, para cada caso é feita uma análise e, dependendo das incógnitas tem-se uma metodologia de solução diferente. Para os problemas de dimensionamento de equipamentos de processos químicos, por se tratar de um modelo matemático, hipóteses simplificadoras devem ser apontadas para simplificação do modelo. Na construção do programa, deve-se ter em mente que, estas hipóteses devem ser enunciadas para que o usuário esteja ciente de que tipo de problemas o software tratará. Dessa forma, as hipóteses simplificadoras para se chegar no modelo matemático da equação (18) foram: Estado estacionário (por se tratar de um CSTR); Volume constante; Mistura perfeita; Vazão volumétrica constante; Reator ideal, ou seja, o tempo de permanência das moléculas dentro do reator é o mesmo do tempo espacial, não gerando volume morto ou caminhos preferenciais; Reação química elementar; Processo isotérmico. Assim, com essas hipóteses foi possível realizar a construção do modelo matemático que foi desenvolvido na seção 3.1.1, desde a equação (11) até a equação (18), que representa o modelo obtido que foi usado para desenvolvimento do software. Para que seja possível a solução do sistema que é formado com as equações de cada componente com base na equação (18) foi escolhido um método numérico de solução: o método de Broyden, que foi apresentado na seção Para elaboração do software, a linguagem utilizada foi o Python. Dentre as várias bibliotecas disponíveis para Python, para a implementação do modelo e do

29 28 método utilizado para resolução do sistema de equações não lineares, foi utilizada a biblioteca numpy que permite que sejam feitos cálculos matriciais de fácil execução. Simultaneamente ao numpy, foi usada outra biblioteca para desenvolvimento da interface gráfica: o kivy. Esta biblioteca foi utilizada em outro arquivo, no qual está descrita a forma de disposição das janelas da interface gráfica. Em Python, foi implementado o sistema de equações que representa o modelo matemático e o método numérico utilizado para resolver este sistema de equações não lineares. O código do modelo matemático implementado e da interface gráfica estão localizados nos Apêndices A e B, respectivamente. O modelo matemático, composto por um balanço molar para cada componente, é apresentado na equação (43). v 0 V (C j 0 C j ) + ν j r = 0 (43) Sendo que a lei de velocidade r, é representada pela equação (44). 5 ν j ν j r = k( C j 2 j=1 5 ν j +ν j 2 C j Kc j=1 ) (44) Esta forma de representação do modelo facilita a implementação para um número variável de componentes. Para execução do problema, o usuário precisa fornecer alguns parâmetros, para que seja possível iniciar a etapa de solução. Para saber quais são os parâmetros necessários, é preciso fazer uma análise dos graus de liberdade do sistema. Como tem-se uma equação de balanço molar para cada componente, o número de equações do modelo é igual ao número de componentes. Por questões de dificuldade de implementação do código foram considerados 5 componentes, com j = 1,2,3,4,5, ou seja, no total foram 5 equações. Quando o número de componentes for menor, é preciso informar alguns parâmetros com valores nulos, sendo que, a forma de fazer isto será apresentada na seção de resultados e discussões, juntamente com a forma de utilização do software.

30 29 Contando o número de incógnitas do problema (5 concentrações de entrada, 5 concentrações de saída, volume reacional, vazão volumétrica, constante de equilíbrio e constante de velocidade específica) tem-se um total de 14 incógnitas. Considerando conhecidos os coeficientes estequiométricos, o grau de liberdade (GL) do sistema pode ser calculado conforme a equação (42). GL = n var n eq (42) Sendo: nvar = número de variáveis e neq = número de equações. GL = 14 5 (43) GL = 9 (44) Portanto, para que o programa consiga calcular uma solução, é necessário informar 9 variáveis ao programa. Sendo que é possível qualquer combinação destas. Quanto à interface gráfica do sistema, esta foi desenvolvida de forma a ter uma sequência lógica e intuitiva ao usuário para que seja de fácil interpretação. Ou seja, esta possui uma janela de abertura, uma janela com instruções, outra em que devem ser informados os valores dos coeficientes estequiométricos e, por fim, outra em que são informados os 9 valores conhecidos para que o programa calcule a solução. Essa sequência lógica foi transcrita em código no arquivo kivy para que o programa abra uma janela referente a interface gráfica do software. Após concluídas as escritas dos códigos em Python e em Kivy, foram realizados testes para que se verificasse a validade do programa e fossem feitas as devidas correções e/ou adaptações no código. O software foi desenvolvido para que o usuário siga uma sequência lógica e intuitiva de alimentação de dados. Essa sequência, que é a mesma que o programa segue, está descrita na Figura 1.

31 30 Figura 1 Fluxograma referente à sequência do algoritmo do software Fonte: Autoria Própria (2019). Para que o usuário consiga utilizar o software, é necessário que o mesmo possua instalado em seu computador um interpretador Python, disponível no site oficial do Python, além das bibliotecas utilizadas pelo programa, numpy e kivy, que podem ser baixadas via Prompt de Comando. Com essas ferramentas qualquer computador pode utilizar o software. É recomendada sua utilização em sistema operacional Linux, porém não é obrigatório.

32 31 5 RESULTADOS E DISCUSSÕES A elaboração do software não foi algo simples, pois muitos dos erros ocorridos no decorrer da escrita do código eram erros de indentação. Como o software foi desenvolvido como piloto (primeiro), tem muito para melhorar ainda. Dessa forma, não possui formas de se escolher a solução inicial, sendo que esta foi fixada no código. Da mesma forma isso acontece com a tolerância do erro, com o tamanho do passo inicial para o processo iterativo e com o número de iterações, que também foram fixados no código. Sendo assim, o software possui fragilidades nesses campos em que o usuário não possui maneiras de alterar para melhor aproveitamento do programa. A utilização do software obtido será apresentada com a solução de dois exemplos. 5.1 EXEMPLO 1 O primeiro exemplo consiste em: Um reator CSTR com um volume de 2280 L, destinado a produção de um produto B e um produto C a partir de um reagente A. Essa reação é reversível e elementar, como mostrado na equação (45): A B + C (45) O processo opera a uma vazão volumétrica de 3 Ls -1, sendo que na entrada tem-se o componente A puro a uma concentração de 0,06 moll -1. A constante cinética da reação a 1000 K é de 0,072 s -1. A constante de equilíbrio da reação a 1000 K é de 0,1 moll -1. Neste exemplo deseja-se saber os valores das concentrações de saída dos três componentes, cuja solução é: CA = 0,018 moll -1 CB = 0,042 moll -1 CC = 0,042 moll -1

33 32 Ao utilizar o software, obtido como produto deste trabalho, o usuário navegará por janelas bastante intuitivas, ou seja, que indicarão ao mesmo como proceder. A janela de apresentação (primeira janela), apresentada na Figura 2, indica para que tipo de problemas o software é indicado. Figura 2 Janela inicial do software Fonte: Autoria própria (2019). Ao clicar no botão Iniciar, será mostrada a segunda janela, onde será instruído a como utilizar o software para que consiga utilizá-lo da melhor forma possível. A segunda janela é apresentada na Figura 3.

34 33 Figura 3 Janela de instruções do software Fonte: Autoria própria (2019). As instruções explicam que o software pode ser usado para processo com até cinco componentes e ensina como utilizá-lo caso o processo considerado possua menos de cinco componentes. Também instrui quantos parâmetros devem ter seus valores especificados para que o software possa executar a rotina numérica de solução, pois se for especificado um número diferente de parâmetros, não é possível fazer o cálculo. Como o software considera reações reversíveis, para casos em que a reação é irreversível, indica-se a utilização de um valor bastante elevado para a constante de equilíbrio Kc, pois nas equações de balanço material, a constante de equilíbrio encontra-se no denominador de uma fração, consequentemente, um valor elevado da constante de equilíbrio fará com que o cálculo da fração seja praticamente nulo. O software sugere a utilização de do valor 10 9, que foi o valor que apresentou interferência praticamente nula nos testes feitos com outros exemplos. Ao clicar no botão Próximo, será mostrada a primeira janela de alimentação de dados. Os primeiros dados a serem fornecidos serão os dados referentes aos coeficientes estequiométricos da reação. Caso o processo considerado possua menos de cinco componentes, deve-se atribuir valor nulo aos coeficientes estequiométricos fornecidos dos componentes que devem ser desconsiderados. Isto é equivalente à especificação de espécies inertes. O software

35 34 ainda traz um lembrete de que o coeficiente estequiométrico de reagentes deve ser negativo e de inertes, zero. A terceira janela, onde devem ser especificados os coeficientes estequiométricos, é apresentada na Figura 4. Figura 4 Janela de alimentação de dados referentes aos coeficientes estequiométricos da reação Fonte: Autoria própria (2019). Figura 5. Com os dados do primeiro exemplo, a janela 3 ficaria conforme ilustrado na

36 35 Figura 5 Janela com dados de coeficientes estequiométricos referentes ao exemplo 1 Fonte: Autoria própria (2019). Ao clicar no botão Próximo, o usuário é direcionado à última janela do software, ilustrada na Figura 6, no qual informará os dados referentes ao processo em si. Nesta última janela, caso a reação considerada não possua os cinco componentes, para que o programa consiga realizar o cálculo, devem ser inseridos valores iguais a zero nos campos referentes às concentrações de entrada dos componentes inexistentes.

37 36 Figura 6 Janela final, onde serão calculadas as variáveis de interesse do usuário Fonte: Autoria própria (2019). na Figura 7. Ao informar os dados do exemplo 1, a última janela ficaria conforme ilustrado Figura 7 Janela final com dados referentes ao exemplo 1 Fonte: Autoria própria (2019).

38 37 Ao clicar no botão Calcular, as funções presentes no código irão calcular a solução e a mesma janela mostrará os resultados indicando as variáveis calculadas na cor verde, conforme ilustrado na Figura 8. Figura 8 Janela final com os resultados referentes ao exemplo 1 Fonte: Autoria própria (2019). Caso o usuário queira verificar novamente o resultado, o mesmo pode clicar no ícone Limpar que fará com que as células voltem ao estado inicial, como na Figura 6. Porém, deve-se lembrar que não é possível realizar o cálculo de outro problema apenas clicando em Limpar, pois o programa ainda está com os dados dos coeficientes estequiométricos armazenados conforme informados na janela 3 (Figura 5). Para fazer o cálculo de outro problema, o usuário deverá fechar o software e abri-lo novamente para que as variáveis do código recebam novas informações. 5.2 EXEMPLO 2 No segundo exemplo tem-se a seguinte reação, exemplificada pela reação (46), do componente A se transformando no produto B:

39 38 A B (46) Sendo esta reação irreversível e elementar, tem-se como incógnita o volume do reator CSTR necessário considerando uma vazão volumétrica de 10 Ls -1 com reagente A sendo alimentado a uma concentração de 3 moll -1 juntamente com um componente inerte a uma concentração de 0,1 moll -1. A constante cinética é de 0,056 s -1 e a concentração de saída de A 0,9 moll -1. O resultado, referente ao volume reacional necessário para conduzir esta reação, é de 416,67 L. Na Figura 9 é apresentada a janela do programa onde foram inseridos os coeficientes estequiométricos para o exemplo em questão. Apesar de haver um inerte na alimentação do reator, como este não participa da reação, o seu coeficiente estequiométrico é zero. Figura 9 Janela apresentando os coeficientes estequiométricos referentes ao exemplo 2 Fonte: Autoria própria (2019). Na Figura 10 é apresentada a última janela do programa, em que foram inseridos os valores dos parâmetros do exemplo 2.

40 39 Figura 10 Janela apresentando os dados referentes ao exemplo 2 Fonte: Autoria própria (2019). Ao clicar no botão Calcular obtem-se o resultado do exemplo 2, apresentado na Figura 11. Figura 11 Janela final apresentando os resultados referentes ao exemplo 2 Fonte: Autoria própria (2019).

41 40 O componente inerte, que não participa da reação, não deve alterar seu valor de concentração, e, conforme calculado, não alterou. Os exemplos mostrados foram apenas formas de utilização, mostrando como utilizar o software. Porém o principal enfoque do programa é a sua utilização para qualquer conjunto de incógnitas dentre aquelas presentes no software, para qualquer reação química, desde que o número de componentes presentes no processo/reação seja menor ou igual a 5, sempre levando em consideração as hipóteses simplificadoras descritas no início da obtenção do modelo matemático.

42 41 6 CONCLUSÃO Neste trabalho obteve-se um software para problemas de dimensionamento de reatores CSTR operando isotermicamente, podendo envolver até cinco componentes (incluindo os componentes inertes) no processo reacional. O grande diferencial do software é a possibilidade de escolher um conjunto de incógnitas com número igual ao número de componentes com os outros parâmetros devendo ter seus valores especificados. Foram apresentados os testes feitos com o software para resolver dois casos simples, sendo que nestes casos o software, com o algoritmo utilizado que foi desenvolvido em linguagem de programação Python, se mostrou eficiente. No entanto, faz-se necessária a realização de teste complementares para explorar melhor a capacidade do software desenvolvido. O software pode ser utilizado em universidades por estudantes, professores e pesquisadores. Pode ser usado em empresas por apresentar uma interface intuitiva e de fácil compreensão. A cada janela usada está uma nova explicação, para que o usuário compreenda da melhor forma possível o que necessita ser feito e ter o melhor aproveitamento do software. Dessa forma, alcançou-se com sucesso o objetivo do trabalho, que era o desenvolvimento de um software que resolvesse problemas de dimensionamento de reatores do tipo CSTR. Como é um programa em escala piloto, muito pode se aperfeiçoar, tanto em questão de código, como em questão de interface gráfica. Sugestões para trabalhos futuros seriam: Trabalhar com a variável conversão, que descreve muito o comportamento de uma reação; Considerar reações em fase gasosa, levando em conta o fator de expansividade volumétrica; Supor variação na temperatura do processo, ou seja, trabalhar com reator não isotérmico; Considerar outras constantes para cálculo, como tempo espacial e número de Damkhöler.

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