Geração e Amplificação em Sistemas de Fibra Óptica

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1 Geração e Amplificação em Sistemas de Fibra Óptica Miguel Antunes da Silva Alves Luís Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Júri Presidente: Prof. Doutor Fernando Duarte Nunes Orientador: Prof. Doutor António Luís Campos da Silva Topa Vogal: Prof. Doutora Isabel Maria Ventim Neves Julho de

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3 Agradecimentos Gostaria de agradecer em primeiro lugar ao professor António Topa por todo o apoio e disponibilidade que demonstrou durante estes últimos meses. A sua ajuda foi sem dúvida um aspecto decisivo ao longo da elaboração desta dissertação. Gostaria também de agradecer aos meus pais pela educação que me deram e pelos príncipios e valores que me transmitiram. Espero que estejam muito orgulhosos neste momento. Agradeço também aos meus colegas de curso Carlos Martins e Henrique Silva, bem como aos meus colegas de tese Daniel Anjos e Luís Marques que me ajudaram e apoiaram sempre que foi necessário. Aproveito também para desejar boa sorte aos colegas Gonçalo Amaral e Jorge Wan que irão realizar futuramente dissertações no âmbito das fibras ópticas com o apoio do professor António Topa. i

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5 Resumo Nesta dissertação são abordados alguns dos principais aspectos associados à operação dos sistemas de comunicações ópticas: emissão, transmissão e amplificação. Seguimos o percurso de um sinal óptico desde o emissor até ao receptor, caracterizando numa primeira fase o emissor de luz, um laser semicondutor. É analisada a modulação directa através da corrente de injecção. É definido o limiar da corrente para a qual o laser se encontra em emissão, sendo, de seguida, analisado o seu comportamento para diferentes correntes de injecção. É feita também uma pequena introdução aos moduladores electro-ópticos. Ao nível da transmissão, é analisado inicialmente o problema da dispersão da velocidade de grupo, que irá perturbar a propagação do sinal em condições ideais, sem ter em conta a atenuação na fibra. De seguida é adicionada atenuação na fibra e é analisado o impacto deste factor na propagação dos impulsos. Para este estudo, desenvolveu-se um simulador que engloba o processo de cálculo da propagação de impulsos em regime linear. Relativamente à parte da amplificação do sinal, irá ser feito um estudo da amplificação com recurso a amplificadores do tipo EDFA, onde é analisado o seu dimensionamento tendo em conta o compromisso entre o ganho introduzido e o comprimento óptimo da fibra para amplificar um sinal WDM (Wavelength Domain Multiplexing). De seguida irá ser estudado o uso de amplificadores de Raman em sistemas de fibra óptica e serão analisadas as suas funcionalidades e vantagens. Palavras chave Fibras Ópticas, Lasers Semicondutores, Propagação de Impulsos, Regime Linear, EDFA s, Amplificadores de Raman iii

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7 Abstract This dissertation addresses some of the key aspects associated with the operation of optical communication systems: emission, transmission and amplification. The path of an optical signal is followed from the transmitter to the receiver, being characterized in a first phase the light emitter: a semiconductor laser. Direct modulation is analyzed through the current injection. The threshold current for which the laser is on emission is defined, and, then discussed the behavior for different current injection. It has been made also a short introduction to electro-optic modulation. During the transmission, it is analyzed initially the problem of group velocity dispersion, which will disturb the signal propagation in ideal conditions, without taking into account the fiber attenuation. Then the fiber attenuation is added and the impact of this factor in the propagation of impulses is checked. For this study, a simulator that encompasses the process of calculating the propagation of pulses in the linear regime was developed. In the last chapter it is going to be discussed the amplification of the signal with the resource of EDFA amplifiers. It is going to be studied the EDFA s design, taking into account the balance between the needed gain and the optimal length of the fiber to amplify a WDM (Wavelength Domain Multiplexing) signal. It will also be studied the use of Raman amplifiers in fiber optic systems and there will be analyzed their features and benefits. Keywords Fiber Optics, Semiconductor Lasers, Pulse Propagation, Linear Regime, EDFA s, Raman Amplifiers v

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9 Índice Agradecimentos... i Resumo...iii Abstract... v Índice... vii Lista de Figuras... ix Lista de Tabelas...xiii Lista de Símbolos... xv Lista de Acrónimos... xix. Introdução..... Enquadramento..... Perspectiva Histórica: Diferentes Gerações de Fibras Ópticas Objectivos Estrutura da dissertação Contribuições Geradores Ópticos Introdução Lasers semicondutores Equações das taxas Regime estacionário Modelo linear Simulações Modulação electro-óptica Conclusões Transmissão de Impulsos Propagação de impulsos em regime linear vii

10 3.. Resolução Numérica Impulso exponencial Impulso Gaussiano Evolução da largura de impulsos Impulso supergaussiano Impulso secante hiperbólica Atenuação Conclusões Amplificadores Ópticos Introdução Fibras Amplificadoras Dopadas com Érbio Amplificação laser numa fibra dopada com iões de érbio Ganho Modelos para a amplificação de um sinal WDM Modelo simplificado para uma EDFA com comprimento óptimo Caracterização espectral Ruído devido à emissão espontânea (ASE) Amplificadores de Raman Dispersão espontânea de Raman (SRS) Ganho e largura de banda de Raman Características dos amplificadores Performance dos amplificadores Conclusões Conclusões Conclusões principais Perspectivas de trabalho futuro... 5 Referências... 7 viii

11 Lista de Figuras Figura.: Bandas de energia e níveis de Fermi num semicondutor[]... Figura.: Cavidade óptica de Fabry-Perot[4]... Figura.3: Geometria do laser semicondutor e correspondente zona activa[6]...7 Figura.4: Corrente de injecção para T=,ns...4 Figura.5: Evolução do número total de fotões na cavidade laser para T=,ns...4 Figura.6: Evolução do número total de electrões, N normalizado para N (I >I th ) com T=,ns...5 Figura.7: Corrente de injecção para T=,5ns...5 Figura.8: Evolução do número total de fotões na cavidade laser para T=,5ns...5 Figura.9: Evolução do número total de electrões, N normalizado para N (I >I th ) com T=,5ns...6 Figura.: Corrente de injecção para T=,ns...7 Figura.: Evolução do número total de fotões na cavidade laser para T=,ns...7 Figura.: Evolução do número total de electrões, N normalizado para N (I >I th ) com T=,ns...7 Figura.3: Corrente de injecção para T=,5ns...8 Figura.4: Evolução do número total de fotões na cavidade laser para T=,5ns...8 Figura.5: Evolução do número total de electrões, N normalizado para N (I >I th ) com T=,5ns...8 Figura.6: Corrente de injecção para T=,ns...9 Figura.7: Evolução do número total de fotões na cavidade laser para T=,ns...9 Figura.8: Evolução do número total de electrões, N normalizado para N (I >I th ) com T=,ns...3 Figura.9: Corrente de injecção para T=,5ns...3 Figura.: Evolução do número total de fotões na cavidade laser para T=,5ns...3 Figura.: Evolução do número total de electrões, N normalizado para N (I >I th ) com T=,5ns...3 Figura.: Esquema ilustrativo da modulação externa de uma fonte óptica[8]...3 Figura.3: Modulador electro-óptico em configuração longitudinal[7]...33 Figura.4: Modulador electro-óptico em configuração transversal...33 Figura 3.: Impulso exponencial à entrada e saída da fibra óptica...43 Figura 3.: Evolução do impulso exponencial ao longo da fibra óptica...44 ix

12 Figura 3.3: Evolução do espectro do impulso exponencial durante a sua propagação...44 Figura 3.4: Impulso gaussiano à entrada e saída da fibra óptica (C=)...44 Figura 3.5: Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra óptica (C=)...45 Figura 3.6: Evolução do espectro do impulso gaussiano durante a sua propagação (C=)...45 Figura 3.7: Impulso gaussiano à entrada e saída da fibra óptica (C=) Figura 3.8: Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra óptica (C=)...47 Figura 3.9: Evolução do espectro do impulso gaussiano durante a sua propagação (C=)...48 Figura 3.: Impulso gaussiano à entrada e saída da fibra óptica (C=-)...48 Figura 3.: Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra óptica (C=-)...49 Figura 3.: Evolução do espectro do impulso gaussiano durante a sua propagação (C=-)...49 Figura 3.3: Efeito da AMF no desvio de frequências de um impulso gaussiano...5 Figura 3.4: Desvio de frequências num impulso gaussiano....5 Figura 3.5: Evolução da largura de impulsos na zona de dispersão anómala para três valores de C com 3 <...53 Figura 3.6: Impulso supergaussiano à entrada e saída da fibra óptica (C=)...54 Figura 3.7: Evolução do impulso supergaussiano ao longo da fibra óptica (C=)...55 Figura 3.8: Evolução do espectro do impulso supergaussiano durante a sua propagação (C= )...55 Figura 3.9: Impulso supergaussiano à entrada e saída da fibra óptica (C=)...56 Figura 3.: Evolução do impulso supergaussiano ao longo da fibra óptica (C=)...56 Figura 3.: Evolução do espectro do impulso supergaussiano durante a sua propagação (C=) Figura 3.: Impulso supergaussiano à entrada e saída da fibra óptica (C=-) Figura 3.3: Evolução do impulso supergaussiano ao longo da fibra óptica (C=-)...58 Figura 3.4: Evolução do espectro do impulso supergaussiano durante a sua propagação (C=-) Figura 3.5: Impulso secante hiperbólica à entrada e saída da fibra óptica...59 Figura 3.6: Evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da fibra óptica...6 Figura 3.7: Evolução do espectro do impulso secante hiperbólica durante a sua propagação...6 Figura 3.8: Evolução do espectro do impulso gaussiano para δ =,, Ld=km e =,db/km...6 Figura 3.9: Evolução do espectro do impulso gaussiano para δ =,, Ld=km e =db/km...6 Figura 3.3: Evolução do espectro do impulso gaussiano para δ =,5, Ld=km e =,db/km...63 Figura 3.3: Evolução do espectro do impulso gaussiano para δ =,5, Ld=km e =db/km...63 x

13 Figura 3.3: Evolução do espectro do impulso gaussiano para δ =,, Ld=km e =,db/km...64 Figura 3.33: Evolução do espectro do impulso gaussiano para δ =,, Ld=km e =db/km...64 Figura 3.34: Evolução do espectro do impulso gaussiano para δ =,, Ld=km e =,db/km...65 Figura 3.35: Evolução do espectro do impulso gaussiano para δ =,, Ld=km e =db/km...65 Figura 4.: Amplificação laser de três níveis. As setas a cheio indicam transições induzidas (excepto R 3 que representa o bombeamento). As setas a tracejado indicam transições espontâneas (isto é, decaimento da população)[7]...68 Figura 4.: Modelo simplificado do sistema laser de uma EDFA. O bombeamento ocorre para λ = λ p e encontra-se representado pela taxa W ( λ p ). A emissão estimulada de interesse ocorre para λ = λ s e encontra-se representada pela taxa W (λ s )[7]...69 Figura 4.3: Evolução do coeficiente de ganho gk em função de z e ω....8 Figura 4.4: Perfil espectral do ganho [db] vs. Comprimento de onda [m]...8 Figura 4.5: Secções eficazes EDFA: Emissão e Absorção...85 Figura 4.6: Evolução da potência de saída para um sinal WDM ao longo do comprimento da amplificação...86 Figura 4.7: Esquema de uma fibra baseada em amplificadores de Raman com configuração forwardpumping[]...9 Figura 4.8: a) Espectro do ganho de Raman de silica fundida para λ p = μm. b) Participação dos niveis de energia no processo SRS[]...93 Figura 4.9: Espectro do ganho de Raman (racio g R /a p ) para uma fibra standard (SMF), dispersão deslocada (DSF) e fibras compensadoras de dispersão (DCF). Perfis de ganhos normalizados também são mostrados[]...93 Figura 4.: Variação do ganho do amplificador G com a potência de bombeamento P num amplificador de Raman com,3 km de comprimento para três valores da potência de entrada. As linhas a cheio mostram a previsão teórica[]...95 Figura 4.: Caracteristicas da saturação de ganho dos amplificadores de Raman para vários valores ganho amplificado não saturado G A []...96 Figura 4.: Perfil de ganho medido num amplificador de Raman com ganho quase plano sobre uma largura de banda de 8 nm. As frequências de bombeamento e as potências usadas são mostradas à direita[]... xi

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15 Lista de Tabelas Tabela : Valores dos parâmetros das gaussianas para o cálculo da secção eficaz de emissão numa EDFA codopada com Ge Al 3 Si...84 xiii

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17 Lista de Símbolos f : λ : t : c : n : n : β : ω : ω : NA : a : k : k o : R sp : r st : r ab : C : h : ħ : k B : n sp : Frequência óptica Comprimento de onda Variável temporal Velocidade da luz no vazio Índice de refracção do núcleo Índice de refracção da bainha Constante de propagação longitudinal Frequência angular Frequência angular da portadora Abertura numérica Radio do núcleo da fibra Constante genérica de propagação Constante de propagação no vazio Taxa de emissão espontânea Taxa elementar de emissão estimulada Taxa elementar de absorção Parâmetro Chirp Constante de Planck Constante de Planck reduzida Constante de Boltzmann Factor de emissão espontânea z: Variável espacial n : α : g k : ξ : Índice de refracção modal Coeficiente de atenuação Coeficiente de ganho do feixe k Frequência normalizada xv

18 τ : τ c : τ p : τ nr : τ sp : τ A : G : v g : r a : q : V a : w : d : N : N a : S : S a : Γ : G : I : I th : ε : E(x,y,,t) : F(x,y) : B(,t) : A(z,t) : u : v : Ω : β : Variável de tempo normalizada Tempo médio de vida dos electrões Tempo médio de vida dos fotões Tempo de vida de recombinação não radiativa Tempo de vida da emissão espontânea Tempo de vida da recombinação de Auger Ganho de um amplificador óptico em potência Velocidade de grupo Taxa elementar de aniquilação dos fotões Carga do electrão Volume da cavidade laser na zona activa Constante de propagação na bainha normalizada Espessura do laser Número total de electrões Densidade média de electrões na zona activa Número total de fotões Densidade média de fotões na zona activa Factor de confinamento óptico Taxa elementar líquida de emissão estimulada Corrente de injecção Corrente de limiar Coeficiente de compressão do ganho Campo Eléctrico Distribuição transversal do campo eléctrico Distribuição longitudinal do campo eléctrico na fibra óptica em função de z e t Impulso que se propaga na fibra em função de z e t Constante de propagação transversal normalizada Frequência normalizada da fibra Desvio de frequência em relação à portadora Dispersão de velocidade de grupo (DVG) xvi

19 Q k : δ : L : L eff : L D : L opt : H(t) : Φ NL (t) : P in : P p : P k : δω(t) : σ(z) : V : ρ(r) : A k : Φ k : ζ ak : ζ ek : D k : γ : ε k : Fluxo total de electrões Variável espacial normalizada Comprimento da fibra Comprimento efectivo da fibra Comprimento de dispersão da fibra Comprimento óptimo Função de Heaviside Fase não linear Potência de entrada na fibra Potência de bombeamento Potência associada ao feixe k Desvio de frequência instantânea local (em relação a portadora) provocada pela AMF Largura efectiva do impulso Largura espectral da fonte normalizada Concentração total de iões Área efectiva do feixe k Densidade do fluxo de fotões correspondente ao feixe k Secção eficaz de absorção Secção eficaz de emissão Coeficiente de inversão da população Coeficiente não linear da fibra óptica Coeficiente de relação entre secções eficazes de absorção e emissão Número médio de fotões ao longo do amplificador F n : P sp : Δν R : f DRS : Factor de ruído Potência espontânea total de Raman Largura de banda de ganho de Raman Diafonia de Rayleigh xvii

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21 Lista de Acrónimos WDM: Wavelength Division Multiplexing EDFA: Erbium Doped Fiber Amplifier ASE: Amplified Spontaneous Emission SRS: Stimulated Raman Scattering TAT: Transatlantic Telecommunications Cable CW: Continuous Wave DVG: Dispersão da Velocidade de Grupo LP: Linearmente Polarizados FFT: Fast Fourier Transform IFFT: Inverse Fast Fourier Transform AMF: Auto-Modulação de Fase DCF: Dispersion Compensation Fiber DS-SMF: Dispersion-Shifted Single-Mode Fibers SBS: Stimulated Brillouin Scattering SMF: Single Mode Fiber FWHM: Full width at half maximum DSF: Dispersion-shifted fiber SOA: Semiconductor Optical Amplifier FWM: Four Wave Mixing xix

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23 Capítulo. Introdução.. Enquadramento Sempre existiu ao longo dos tempos uma enorme necessidade de estabelecimento de comunicações a longas distâncias, sendo que nos dias de hoje essas comunicações são essencialmente estabelecidas através de telefones fixos, telemóveis, internet e televisão[]. Os links de comunicação da rede são na sua maioria fibras ópticas. Apenas a rede de acesso não se encontra neste momento totalmente implementada com fibras ópticas, no entanto no futuro prevê-se que toda a rede de telecomunicações seja composta por fibras ópticas. As comunicações feitas através de sistemas modernos de fibra óptica geralmente incluem um transmissor óptico, onde a informação é gerada, que converte um sinal eléctrico num sinal óptico, que é enviado na fibra óptica. Para além disso também incluem um cabo que contém feixes de múltiplas fibras ópticas, que é encaminhado em condutas subterrâneas e edifícios e é responsável por transmitir a informação a curtas, médias ou longas distâncias, bem como diversos tipos de amplificadores e um receptor óptico que recupera o sinal como um sinal eléctrico. A informação transmitida é geralmente informação digital gerada por computadores, sistemas de telefone e empresas de televisão por cabo. Uma fibra óptica é composta basicamente de material dielétrico (em geral, sílica ou plástico), segundo uma longa estrutura cilíndrica, transparente e flexível, de dimensões microscópicas comparáveis às de um fio de cabelo[]. Uma fibra óptica pode apresentar diâmetros variáveis, dependendo da aplicação, indo desde diâmetros muito pequenos, da ordem de micrometros até vários milímetros. Podemos encontrar aplicações do uso de fibra óptica no sector das telecomunicações ou noutros ramos tais como a medicina e a indústria automóvel[3]. As fibras ópticas apresentam algumas vantagens em relação aos guias de transmissão convencionais, tais como o cabo coaxial e o cabo de par trançado[5]. Com os sistemas de cabos de fibra óptica é possível transmitir uma maior quantidade de dados a distâncias maiores em relação ao sistema de cabos coaxial, sendo que desse modo se reduz o número de guias de transmissão e o número de

24 repetidores necessários no percurso entre o transmissor e o receptor. Esta redução nos equipamentos e componentes reduz o custo do sistema de transmissão e a sua complexidade. O tamanho muito reduzido dos cabos, promovido pelas fibras ópticas, permitiu reduzir o problema de espaço e de congestionamento de canais nos subsolos das grandes cidades. O efeito combinado do tamanho e peso reduzido fez das fibras ópticas o meio de transmissão ideal em aviões, navios, satélites, entre outros. Além disso, os cabos ópticos oferecem vantagens quanto ao armazenamento, transporte, manuseamento e instalação em relação aos cabos metálicos de resistência e durabilidade equivalentes. As fibras ópticas não irradiam significativamente a luz propagada, implicando um alto grau de segurança para a informação transportada. Isso torna a fibra importante em diversas aplicações, nomeadamente em aplicações bancárias, redes de computadores e sistemas militares. A invenção da fibra óptica é referenciada ao físico indiano Narinder Singh Kapany. Kapany, baseando-se nos estudos do também físico inglês, John Tyndall (8-893), de que a luz poderia descrever uma trajetória curva dentro de um material (nas experiências de Tyndall esse material era a água), pode concluir as suas experiências em 95 e inventar a fibra óptica. Pelo princípio da reflexão total, a luz numa fibra óptica viaja através do núcleo (n, de alto índice de refracção) refletindo-se constantemente na interface (n, de menor índice de refracção), mesmo em zonas onde a fibra tenha grandes curvaturas, porque o ângulo da luz é sempre maior do que o ângulo crítico... Perspectiva Histórica: Diferentes Gerações de Fibras Ópticas Os primeiros testes efectuados à comunicação por fibras ópticas não tiveram resultados muito favoráveis. As perdas ópticas associadas à transmissão dos impulsos de luz eram muito elevadas, limitando as distâncias de transmissão. As fibras ópticas exibiam, durante os anos 6, perdas superiores a db/km, o que as tornava impraticáveis em telecomunicações. Em Julho de 966, Charles Kao, George Hockham e mais tarde também Alain Werts, fizerão publicações com uma proposta de sistemas de comunicação óptica baseados em fibras ópticas com perdas inferiores a db/km. Em 97 Robert Maurer, Donald Keck e Peter Schultz produziram uma fibra óptica monomodal (permite o uso de apenas um sinal de luz pela fibra) com uma atenuação de 6 db/km no comprimento de onda de 633 nm. A primeira geração comercial de sistemas de comunicação óptica surgiu em 98. Tratavam-se de fibras multimodais que operavam na primeira janela (.8 μm), com um débito binário de 45 Mb/s e um espaçamento de cerca de km entre repetidores[3].

25 A segunda geração comercial apareceu em 987, operando na segunda janela (.3 μm) com atenuações inferiores a db/km e dispersão mínima. Devido à utilização de fibras monomodais era possível alcançar débitos binários de.7 Gb/s, sendo que os repetidores se encontravam espaçados de cerca de 5 km. Em 988, foi instalado o primeiro cabo submarino de segunda geração, utilizando fibras ópticas monomodais o sistema TAT-8 que tinha repetidores espaçados de 7 km e um débito binário de.8 Gb/s. Desde 979 que era conhecido o facto de as fibras atingirem o mínimo (absoluto) de atenuação na terceira janela (cerca de. db/km em.55 μm). Havia, contudo, um problema importante: a dispersão típica nesta janela era considerável cerca de 6 ps/(km.nm). Em 99 surgiu a terceira geração comercial de sistemas de comunicação óptica. Estes sistemas operavam na terceira janela (.55 μm), com débitos binários até Gb/s. O principal problema dos sistemas de terceira geração deve-se ao uso de repetidores electrónicos,conhecidos por regeneradores 3R, que tinham espaçamentos típicos de 6-7 km. Este problema foi resolvido com o aparecimento dos amplificadores ópticos, que ao contrário dos regeneradores 3R, amplificam directamente os sinais no domínio óptico, sem recorrer ao domínio eléctrico. Este foi o salto para a entrada na era fotónica (all-optical transmission). Por volta de 99, foram desenvolvidas as primeiras fibras amplificadoras dopadas com érbio ou EDFA s (erbium-doped fiber amplifiers), que operam na terceira janela e exibem uma largura de banda considerável e utilizam lasers semicondutores para o bombeamento. As EDFA s, cuja comercialização se iniciou em 99, vieram permitir aumentar o espaçamento entre amplificadores para 6- km. A quarta geração de sistemas de comunicação óptica é a primeira geração verdadeiramente fotónica. Nesta geração foi feito uso da amplificação óptica para aumentar o espaçamento entre amplificadores e a transparência dos sistemas. Foi também utilizada a multiplexagem no comprimento de onda ou WDM (wavelength-division multiplexing) de modo a aumentar o débito binário. Estamos neste momento a caminhar para a quinta geração de sistemas de comunicação óptica. O problema das perdas foi resolvido com a introdução de fibras amplificadoras, tornando-se a dispersão o problema mais importante a resolver. Várias técnicas têm sido desenvolvidas para solucionar este problema: a compensação da dispersão, como forma de melhorar sistemas já existentes; gestão da dispersão - como base para a projecção de novos sistemas; sistemas com solitões - a revolução dos sistemas de comunicação óptica. Em todos os casos existem factores comuns, tais como a amplificação óptica em longas distâncias (utilização de EDFA s na terceira janela) e o aumento do débito binário através do recurso ao WDM e a correspondente gestão de dispersão. As fibras ópticas vieram revolucionar os sistemas de comunicação, adivinhando-se que, juntamente com a fotónica, se tornem na base das futuras auto-estradas da comunicação (os cabos submarinos transoceânicos, embora muito importantes, são apenas um aspecto da revolução em curso). A necessidade crescente de redes digitais de banda larga com integração de serviços está a levar ao aumento das redes FTTC (fiber to the curb) e redes FTTH (fiber to the home). 3

26 .3. Objectivos Esta dissertação tem como objectivo o estudo de sistemas de comunicações envolvendo fibras ópticas. Irá ser analisado o percurso de um sinal, desde a sua geração, passando pela sua propagação e amplificação. Numa fase inicial será analisada a geração do sinal, através do estudo dos lasers semicondutores, definindo o seu modelo baseado na equação das taxas. É analisada a modulação directa através da corrente de injecção, sendo que será definido o limiar da corrente para a qual o laser se encontra em emissão e, de seguida, analisado o seu comportamento para diferentes correntes de injecção, avaliando a sua influência ao longo do tempo para com o número de electrões e fotões presentes na cavidade. É feita também uma pequena introdução aos moduladores electro-ópticos. De seguida irá ser analisada a propagação de um impulso em regime linear e os problemas a ele inerentes. Tendo por base a equação de um impulso, iremos enunciar o método de resolução numérica que conduz ao cálculo do valor espectral do impulso numa determinada posição. Através da simulação, observaremos o comportamento de um impulso ao longo da sua propagação e a influência que a dispersão temporal introduz nestes sistemas. De seguida é adicionada atenuação na fibra e é analisado o impacto deste factor na propagação dos impulsos. No último capítulo desta dissertação irá ser analisada a amplificação associada a sistemas de comunicações ópticas. Para isso serão estudadas as EDFA s (Erbium Doped Fiber Amplifiers), sendo que será deduzida a expressão do ganho e do comprimento óptimo associado, bem como ilustrado e avaliado o problema da amplificação quando estamos perante um sinal WDM de vários canais. De seguida irá ser estudado o uso de amplificadores de Raman em sistemas de fibra óptica e serão analisadas as suas funcionalidades e vantagens..4. Estrutura da dissertação Esta dissertação foi estruturada em cinco capítulos que tiveram em conta os objectivos propostos no ponto.3: Capítulo - No primeiro capítulo é feita uma introdução histórica do tema, descrevendo-se o contexto em que se insere e a motivação do seu estudo. São ainda identificados os principais objectivos desta dissertação e apresenta-se a sua estrutura e principais contribuições. Capítulo No segundo capítulo é feita uma introdução ao modelo de um laser semicondutor. São obtidas as equações das taxas e são analisadas as características de uma cavidade laser, tais como a sua corrente de limiar. São feitas simulações do funcionamento do laser para diferentes correntes de injecção onde se poderá ver o número de electrões e fotões presentes na cavidade e posteriormente analisar os resultados. É feita também uma pequena introdução aos moduladores electro-ópticos. 4

27 Capítulo 3 No terceiro capítulo irá ser estudado o comportamento de um impulso em regime linear ao longo de uma fibra óptica influenciado pelo fenómeno da dispersão da velocidade de grupo. É obtida a equação da propagação de impulsos em regime linear, sendo depois feitas várias simulações para diferentes impulsos, em condições ideais (desprezando a atenuação da fibra) e em condições não ideais (incluindo a atenuação da fibra), que serão posteriormente analisadas. Capítulo 4 No quarto capítulo é descrito o processo de amplificação com recurso às EDFA s (Erbium Doped Fiber Amplifiers) e a amplificadores de Raman. Irá ser deduzida a expressão do ganho e do comprimento óptimo associado a um EDFA, sendo depois estudado um caso prático e avaliado o problema da amplificação quando estamos perante um sinal WDM de vários canais. Será também estudado o uso de amplificadores de Raman em sistemas de fibra óptica e serão analisadas as suas funcionalidades e vantagens. Capítulo 5 - No quinto e último capítulo são resumidas as principais conclusões da dissertação..5. Contribuições Apesar de grande parte deste trabalho incidir sobre temas já abordados anteriormente noutras teses, apresenta algumas novas contribuições ao nível das comunicações ópticas, que se encontram desenvolvidas ao longo desta dissertação. Essas contribuições são as seguintes: Caracterização de um laser semicondutor. Estudo do número de fotões e electrões influenciados pela sua corrente de injecção. Análise da propagação de impulsos em regime linear. Caracterização da amplitude e largura mínima de um impulso que é influenciado pela dispersão inerente à transmissão. Estudo do impacto da atenuação da fibra óptica na propagação dos impulsos dentro da mesma. Caracterização do método de amplificação com recurso a EDFA s. Estudo de um caso prático com um sinal WDM de vários canais. Estudo das funcionalidades e desempenho dos amplificadores de Raman em sistemas de fibra óptica. 5

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29 Capítulo. Geradores Ópticos.. Introdução Um laser semicondutor é uma cavidade óptica semicondutora onde se encontra um meio activo capaz de amplificar um sinal óptico. Enquanto que o meio activo funciona como amplificador laser, a cavidade fornece o mecanismo de realimentação através do qual a amplificação se converte em oscilação e onde, além disso, se processa a selecção das frequências de oscilação laser. A característica fundamental de um laser é a de amplificar (no caso de um amplificador) ou de emitir (no caso de um oscilador) luz (visível ou invisível) coerente de grande intensidade. Isto significa que a luz amplificada ou emitida é quase monocromática, tem uma polarização bem definida e propaga-se numa direcção bem determinada. Com efeito, laser é um acrónimo de light amplification by the stimulated emission of radiation... Lasers semicondutores Um semicondutor é um sólido (cristalino ou amorfo) cuja condutividade eléctrica, tipicamente entre a de um condutor e a de um isolador, pode ser modificada, de forma significativa, através de vários processos: variando a temperatura, dopando o material com impurezas e iluminando o material com luz. As transições entre estados com níveis de energia distintos processam-se, num laser semicondutor, de forma diferente dos restantes tipos de lasers, pois em vez de estados discretos com níveis de energia bem definidos, aparecem bandas de energia. Mais precisamente: existe uma banda de condução de energia E E c e uma (ou mais) banda(s) de valência de energia E E v. O intervalo de energia (band gap) será, então[6], (.) E g = E c E v, que separa as duas bandas e é típico do material semicondutor em questão. 7

30 Resumidamente, existem três processos de interacção dos electrões do semicondutor com os fotões: Absorção Geração de um par electrão-lacuna Emissão espontânea Recombinação radiativa não induzida Emissão estimulada Recombinação radiativa induzida Sendo ω = πf a frequência de um fotão, a sua energia é (de acordo com a mecânica quântica) ħω, onde ħ = h/π é a constante de Planck reduzida (h = Js é a constante de Planck). Na emissão espontânea dá-se a recombinação radiativa não provocada de um par electrão-lacuna seguida da emissão de um fotão de energia ħω E g ; não existe correlação entre o fotão emitido e os fotões existentes na cavidade (trata-se, pois, de uma emissão não-coerente). A absorção e a emissão estimulada são transições induzidas. Na absorção, um fotão incidente de energia ħω E g provoca a geração de um par electrãolacuna. Na emissão estimulada, um fotão incidente de energia ħω E g provoca a recombinação de um par electrão-lacuna, seguida da emissão de um fotão clone do fotão incidente (trata-se, pois, de uma recombinação radiativa que produz uma emissão coerente). Para que um electrão de energia E (na banda de condução) se recombine com uma lacuna de energia E (na banda de valência) emitindo um fotão de energia ħω, é necessário que E E = ħω (.) A Eq. (.) é, também, aplicável a um processo de geração, em que um fotão de energia ħω dá origem a um par electrão-lacuna: um electrão de energia E E c e uma lacuna de energia E E v. Deverá, então, ter-se E E E g, (.3) em que E g é dado pela Eq. (.). Assim, a frequência mínima correspondente a este tipo de transição, será f g = c / λ g (em que c = m/s é a velocidade da luz no vácuo), vem ainda f f g λ λ g = hc E g (.4) A Eq. (.4) é, assim, uma condição necessária para a ocorrência de uma transição interbandas, corresponda essa transição a um processo de geração ou recombinação. Quando f < f g ou, o que é equivalente λ > λ g, o semicondutor comporta-se como um meio passivo sem transições interbandas. Atendendo a que ev =.69-9 J, tem-se ainda λ g [μm] =.398 E [ ] g ev (.5) 8

31 A liga ternária Al x Ga -x As tem uma rede cristalina adaptada ao arsenieto de gálio (GaAs) desde que < x <.45. O intervalo (directo) de energia é E g [ev] = x. (.6) desde que A liga quaternária In -x Ga x As y P -y tem uma rede cristalina adaptada ao fosfato de índio (InP) x =.45 y, (.7) com y. O intervalo de energia é E g [ev] =.35.7y +.y. (.8) Como os electrões são fermiões, as probabilidades dos estados de energia estarem ocupados por electrões são dadas pela estatística de Fermi-Dirac. Definem-se as seguintes probabilidades: f c (E ) = probabilidade do estado de energia E, na banda de condução, estar ocupado por um electrão; f c (E ) = probabilidade do estado de energia E, na banda de condução, estar vazio (isto é, ocupado por uma lacuna); f v (E ) = probabilidade do estado de energia E, na banda de valência, estar ocupado por um electrão; f v (E ) = probabilidade do estado de energia E, na banda de valência, estar vazio (isto é, ocupado por uma lacuna). Tem-se f c (E ) = E E kt B fc exp (.9) f v (E ) = E E kt B fv exp (.) onde J/K é a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta; E fc e E fv representam, respectivamente, os níveis de Fermi na banda de condução e na banda de valência. Note-se que f c (E = E fc )= f v (E = E fv ) =. (.) 9

32 Em equilíbrio termodinâmico, tem-se E fc = E fv. Em geral, define-se E f = E fc E fv. (.) Banda de condução Electrões Lacunas Banda de valência Figura.: Bandas de energia e níveis de Fermi num semicondutor[]. Na figura. representam-se as bandas de energia de um semicondutor com os correspondentes níveis de Fermi. Vejamos, agora, quais são as condições de emissão e de absorção de fotões: Condição de emissão: Um estado de energia E, na banda de condução, está ocupado com um electrão e um estado de energia E, na banda de valência, está vazio; Condição de absorção: Um estado de energia E, na banda de condução, está vazio e um estado de energia E, na banda de valência, está ocupado com um electrão. Definem-se, então, as seguintes probabilidades: f e (ω)= probabilidade da condição de emissão ser observada por um fotão de energia ħω. f a (ω)= probabilidade da condição de absorção ser observada por um fotão de energia ħω. Consequentemente, f e (ω) = f c (E ) [ f v (E )], f a (ω) = [ f c (E ) ] f v (E )]. (.3) (.4)

33 Para que a emissão domine a absorção (isto é, para que o semicondutor se comporte como um meio activo ou amplificador), é necessário que f e (ω) > f a (ω) (.5) Logo, de acordo com as equações.3 e.4, deverá ser f c (E ) > f v (E ) (.6) Atendendo então às Eqs..9 e., infere-se que f c (E ) = E E fc kt B < E E fv kt B, (.7) pelo que, tendo em consideração as Eqs. (.) e (.3), vem ainda E f > ħ Eg. (.8) Em equilíbrio termodinâmico temos E f = e, portanto, não é possível a emissão dominar a absorção. Só através de um processo de bombeamento é possível inverter a população de forma a que a emissão domine a absorção. Define-se o coeficiente de inversão da população n sp, tal que n sp (ω) = ħ E f (.9) exp kt B Quando E f =, seria n sp = ; quando vem n sp. Note-se que não haverá amplificação mas, pelo contrário, atenuação desde que <, caso em que não existe inversão de população e n sp <. Como se viu anteriormente, a situação corresponde à ausência de transições interbandas. Assim, em síntese, deve ser > e, para radiação caracterizada pela energia de um fotão individual, o semicondutor comporta-se como: Meio activo (amplificador) quando E f > ħ Eg Meio passivo (atenuador) quando ħ E f Meio passivo sem transições interbandas quando ħ Eg Um valor típico para n sp, à temperatura ambiente e para lasers InGaAsP a operar em.3μm, é de ~.7. O facto de, no material semicondutor, a emissão dominar a absorção, não significa que o dispositivo entre em oscilação apenas significa que se trata de um meio activo, i.e., com ganho. Neste capítulo apenas se consideram os lasers semicondutores de injecção, i.e., em que o bombeamento para

34 atingir a inversão de população expressa pela Eq. (.8) é feito através de uma corrente de injecção cuja finalidade é fazer com que a recombinação radiativa (ou emissão) predomine sobre a geração de pares electrão-lacuna (ou absorção). Admitamos que a cavidade laser, estratificada em camadas ao longo de x, tem um comprimento L ao longo da coordenada longitudinal z. Seja R a reflectividade do espelho em z = e R a reflectividade do espelho em z = L. Se as duas interfaces forem idênticas, tem-se R = R = ( n n ), (.) em que é o índice de refracção modal. Se designar o número de onda longitudinal, será = k, (.) onde k = π / λ = ω /c = πf / c é a constante de propagação no vácuo. Porém, como o meio tem ganho, a constante de propagação é complexa e tem a forma = + i (.) em que α deve contabilizar, simultaneamente, as perdas internas na cavidade através do coeficiente α s assim como o coeficiente de ganho (ou ganho diferencial) g a da zona activa,ou seja α = g a + α s (.3) A cavidade laser pode ser considerada como uma cavidade de Fabry-Perot. Figura.: Cavidade óptica de Fabry-Perot[4]

35 Dentro da cavidade a amplitude complexa do campo eléctrico será U = Ul, l (.4) tendo-se U l = ξ U, (.5) com ξ = RR exp(i L). (.6) Como ξ <, será ' = l. (.7) Assim, das Eqs. (.4) e (.5), tira-se que U = U (.8) Designemos por U i a amplitude complexa do campo eléctrico incidente em z = - e por U t a amplitude complexa do campo eléctrico transmitido em z = L +. Se forem η e η os coeficientes de transmissão, respectivamente dos espelhos em z = e z = L, vem então (.9) U t = τ U, U o = τ U i, (.3) Nestas condições, se se definir o coeficiente de transmissão η da cavidade tal que U t = τ U i, (.3) obtém-se τ = ττ, (.3) de acordo com a Eq. (.8). A oscilação laser corresponde a uma situação em que, para U i =, se tem U t. Isto significa que a oscilação laser corresponde a ter-se η, isto é,, (.33) 3

36 de acordo com a Eq. (.3). Logo, atendendo à Eq. (.6), tem-se RR exp( i ) =. (.34) Assim, como é dada pela Eq. (.), infere-se que a oscilação laser implica simultaneamente RR exp( α L) =, (.35) exp(iβl) =. (.36) Da Eq. (.35) tira-se que α = α m (.37) com α m = L ln ( RR ). (.38) Note-se que, como α m >, deverá ser α <, o que mostra que o meio é activo, i.e., tem ganho: na Eq. (.3) deverá ter-se g a > α s. Portanto, se se introduzir o coeficiente de atenuação total α r da cavidade tal que α r = α m + α s, (.39) infere-se das Eqs. (.3) e (.37) que g a = α r. (.4) Sendo v g a velocidade de grupo dentro da cavidade, pode-se definir o ganho G (ou taxa elementar líquida de recombinação estimulada), como G = v g g a (.4) Analogamente, introduz-se o tempo de vida dos fotões na cavidade, como τ p = r a = v r g (.4) em que é a taxa elementar de aniquilação dos fotões (a taxa de aniquilação total obtém-se multiplicando a taxa elementar pela população de fotões). Então, das Eqs. (.4) e (.4), vem G = τ p (.43) 4

37 para que a cavidade oscile em regime CW (continuous wave) correspondente a uma corrente de injecção contínua. Por outro lado, da Eq. (.36) tira-se que (com q =,,..) β = k = q L (.44) Assim, atendendo à Eq. (.), infere-se que as frequências f = f q de oscilação laser são dadas por f q = q f x (.45) Com f x = c nl (.46) Determinemos, agora, a separação Δf entre frequências consecutivas de oscilação. Como n f = q c L (.47) vem ( Δq = ) Δ( n f)= Δq c L = c L (.48) Mas como Δ( n f)= f Δ n + n Δf = Δf ( n f dn df ) (.49) e o índice de grupo é n g = n f dn df, (.5) conclui-se que Δ( n f)= n g Δf (.5) Logo, das Eqs. (.48) e (.5), obtém-se por fim Δf = c n L g (.5) 5

38 Como n g = n g (f), a separação Δf entre as sucessivas frequências de oscilação laser não é uniforme e vai depender das próprias frequências de oscilação em questão. Isso mesmo já se poderia depreender da Eq. (.46). As Eqs. (.43), (.45) e (.5) constituem as equações fundamentais das oscilações laser. É, pois, a estrutura da cavidade que, ao introduzir a realimentação na luz que atravessa o meio activo, selecciona as frequências de oscilação laser..3. Equações das taxas Num laser semicondutor, seja no caso de um amplificador seja no caso de um oscilador, existem sempre três processos básicos de transição entre níveis (ou bandas) de energia: absorção, emissão estimulada e emissão espontânea. Enquanto que a emissão espontânea não depende da população de fotões, o mesmo não acontece com as transições induzidas (isto é, absorção e emissão estimulada). Com efeito, as taxas correspondentes a transições induzidas são proporcionais ao número de fotões. Para descrever, num laser semicondutor, os processos de transição entre a banda de condução e a banda de valência, é usual definir as taxas de transição. Em tudo o que se segue, todas as taxas de transição são expressas na unidade de tempo, isto é, as suas unidades são s. Definem-se, assim, as seguintes taxas de transição: r ab = taxa elementar de absorção r st = taxa elementar de emissão estimulada R sp = taxa de emissão espontânea As taxas elementares, que estão associadas a transições induzidas, são designadas por letras minúsculas. A taxa de emissão espontânea, correspondente a uma transição não induzida, é designada por uma letra maiúscula porque não depende dos fotões incidentes. Na cavidade laser, de comprimento L, encontra-se a zona activa onde se processam as interacções entre fotões e electrões. Esta zona tem uma largura w e uma espessura d. O volume da zona activa é, assim, V a = wdl. Na figura.3 representa-se esquematicamente a estrutura de um laser semicondutor. Admite-se que a oscilação laser corresponde a um único modo óptico longitudinal, isto é, supõe-se que o laser semicondutor funciona no regime monomodal. 6

39 Figura.3: Geometria do laser semicondutor e correspondente zona activa.[6] Sendo N a a densidade média de electrões na zona activa, o número total de electrões correspondentes será então N = N a V (.53) a Porém, se S a designar a densidade média de fotões na cavidade laser, o número total de fotões é superior ao produto S a V a. Com efeito, o modo óptico não se confina apenas à zona activa: pode dizer-se, de forma aproximada, que os fotões se localizam (dentro da cavidade) numa espessura efectiva d d (.54) que é superior a d uma vez que Pelo que o número total de fotões, na cavidade laser, é dado por Ao parâmetro dá-se o nome de factor de confinamento óptico. S SV a a (.55) Na Eq. (.3) introduziu-se o coeficiente de ganho da zona activa. Devido ao facto do modo óptico não se confinar à zona activa, o verdadeiro coeficiente de ganho (ou ganho diferencial) do dispositivo é g tal que = g (.56) Assim, a Eq. (.4) pode ser reescrita na forma G = vg g (.57) 7

40 É agora possível introduzir as chamadas taxas efectivas das transições induzidas e que são proporcionais a S. Definem-se então: R ab = r ab S = taxa efectiva de absorção R st = r st S = taxa efectiva de emissão estimulada O meio laser é um meio activo porque produz ganho. Este ganho tem a ver com o facto de, através da emissão estimulada, a radiação incidente ser consideravelmente inferior à radiação produzida pelo dispositivo semicondutor. Isto só é possível porque existe uma taxa elementar líquida de emissão estimulada dada por G = r st r (.58) ab e que é designada frequentemente por ganho do laser semicondutor não obstante não ser uma grandeza adimensional (uma vez que é uma taxa). O laser funcionará correctamente desde que exista uma corrente de injecção I suficiente para que G >. A taxa efectiva líquida de emissão estimulada corresponde, então, a R st = R st R ab = G S (.59) A taxa de recombinação radiativa é, deste modo, dada por Rr (.6) Rst + R sp A taxa de recombinação total é, por sua vez, a soma dos seguintes termos: R R R R R R R (.6) t nr A r nr A st + R sp A taxa R nr é a taxa de recombinação não radiativa, enquanto que R A é a chamada taxa de recombinação de Auger (também não radiativa). Mostra-se que R nr AN, R sp = B N, C N 3 (.6) em que A, B e C são constantes. É usual definir um tempo de vida da recombinação não induzida (também denominado tempo de vida dos portadores de carga), como sendo η c = N R (.63) em que se introduziu, ainda, a taxa de recombinação não induzida R tal que R Rnr Rsp RA (.64) 8

41 Assim, tem-se τ c (N) = A BN CN (.65) De onde se infere que R R R t st (.66) Define-se a eficiência quântica interna do laser semicondutor como ε i = Rr R = Rsp Rst t R Rst (.67) Só quando se desprezam todos os processos de recombinação não radiativa (isto é, R nr = R A = ), é que a eficiência quântica interna é total. Tem-se, então, ε i = e R sp = N / η c. Tal como se definiu, através da Eq. (.63), o tempo de vida dos portadores de carga, também se definem de forma análoga os seguintes tempos de vida: η nr = N R nr = tempo de vida da recombinação não radiativa η sp = N R sp = tempo de vida da emissão espontânea η A = N R A = tempo de vida da recombinação de Auger Facilmente se verifica que + (.68) τ τ τ τ c nr sp A A emissão coerente, num oscilador laser, é devida ao bombeamento que provoca a inversão da população. Num laser semicondutor, o bombeamento é feito através da corrente de injecção I. Sendo q a carga do electrão, a taxa de bombeamento (em inglês: pumping rate) é dada por R p = I q (.69) A corrente de injecção vai aumentar a população de electrões na banda de condução e, simultaneamente, aumentar também a população de lacunas na banda de valência. 9

42 Como o laser semicondutor é limitado pelas paredes reflectoras da cavidade onde está inserido, os fotões vão desaparecendo através da transmissividade dos dois espelhos que limitam (em z = e z = L ) a cavidade laser além de serem absorvidos pelas perdas dieléctricas do material semicondutor. Sendo τ p o tempo de vida dos fotões na cavidade de Fabry-Perot, a taxa de aniquilação dos fotões será (r a = α r v g ) R a = r a S = τ p S (.7) Assim, em síntese, o número S de fotões aumenta através de R st e Rsp e diminui através de R a. Por outro lado, o número N de electrões aumenta através de R p e diminui através de R t. Note-se, porém, que sendo o laser um emissor de luz coerente, nem toda a radiação correspondente a modo considerado e associado ao termo Rsp contribui para o R st De facto, apenas uma pequeníssima fracção β sp (tipicamente β sp ~ 4 5 ) da emissão espontânea total é que contribui para o modo considerado. Essa fracção, frequentemente desprezada, é aqui designada por R' β R (.7) sp sp sp Ao coeficiente β sp dá-se o nome de factor de emissão espontânea. O termo relacionado com o ganho G. Efectivamente, tem-se R ' sp encontra-se R ' sp n G (.7) sp em que nsp é o coeficiente de inversão da população já introduzido anteriormente através da Eq. (.9). Nestas circunstâncias, as equações das taxas escrevem-se ds = dt R st + R ' sp R (.73) a dn dt = Rp Rt (.74) ou, de forma mais explícita, ds = dt GS + ' S R sp (.75) τ p dn dt = I N GS q (.76) τ c Embora, de acordo com a Eq..65, τ c seja uma função de N, é usual considerar este valor como uma constante. Para resolver as Eqs..75 e.76 há que determinar de que forma o ganho G depende de N e S.

43 .4. Regime estacionário Nesta secção vai-se analisar o regime estacionário, em que ds dt = dn dt = (.77) Todas as grandezas com subíndice zero referem-se, doravante, ao regime estacionário. Assim, em regime estacionário, obtêm-se das Eqs..73 e.74: G S β sp sp () R = S τ p (.78) N I GS + (.79) q τ c em que se considerou, como é habitual, que β sp e são constantes e onde () R sp representa a taxa de recombinação espontânea em regime estacionário. O ganho ou taxa elementar líquida de emissão estimulada foi definido através da Eq. (.58). Este ganho relaciona-se com o coeficiente de ganho da zona activa, através da Eq. (.4) e com o coeficiente de ganho do dispositivo, através da Eq. (.57). Em geral a função G = G(N, S) é uma relação não-linear. No entanto, vamos apenas analisar o caso mais simples do modelo linear em que se admite que G apenas varia com N, isto é, não depende do número de fotões..4.. Modelo linear No modelo linear supõe-se que o ganho é dado por G(N) = G a + G b (N N ) = G b (N N t ) (.8) em que, de acordo com a nossa convenção, N representa a população de electrões em regime estacionário. Considerando β sp, resulta da Eq. (.78) que ( G τ p ) S = (.8) Logo, quando o laser está a emitir (S > ), infere-se da Eq. (.8) que G τ p (.8)

44 Esta é, portanto, uma forma diferente de se chegar à Eq. (.43) a condição de oscilação. No âmbito deste modelo, a população de electrões é constante (isto é, não depende da corrente de injecção). De facto, sendo G conhecido, resulta da Eq. (.8) que N N th com N th = N t + τ G b p (.83) A Eq. (.83) só é válida, porém, quando o laser está a emitir (isto é, quando S > ). No caso contrário, em que S =, tira-se da Eq. (.79) que N c q I o (.84) No limiar de oscilação (em inglês: threshold) a população de electrões atinge o valor N th dado pela Eq. (.83). Deste modo, a corrente de limiar será I th = qn th (.85) τ c de acordo com a Eq. (.84). Agora, usando a Eq. (.79), tira-se que S = p q (I I th ). (.86).4.. Simulações Tendo em conta as equações.83 e.85, vamos agora utilizar um laser semicondutor com as seguintes características: G N = 4 s - => Taxa elementar líquida de emissão estimulada N t = 8 => Número de electrões n sp = => Factor de emissão espontânea = 3 ps => Tempo médio de vida dos fotões = ns => Tempo de recombinação não induzido ε = -7 => Coeficiente de compressão do ganho Considerando as equações.83 e.85 podemos calcular os valores numéricos de N th e I th. N th = N t + = 8 + =.33 x (.87) 4 G b τ p (3x ) I th = qn c th x x x 9.33 x =.7 ma (.88)

45 É necessário que a corrente que for injectada no laser seja uma corrente superior a I th de modo ao laser emitir luz, pois caso contrário o laser não vai emitir. Os valores de N e S no regime estacionário, N e S, representam o número de electrões e fotões respectivamente que o laser irá ter muito tempo depois da corrente injectada ficar invariável com o tempo. Os seus valores irão variar dependendo se a corrente em regime estacionário I, é maior ou menor que a corrente no limiar de oscilação. Se I >I th os electrões tem o valor do limiar de oscilação (N =N th ). Os fotões dependem de I como podemos verificar de seguida: dn dt = I N dn GS => q dt = => GS τ c I N q (.89) τ c Como N = N th, G = e N th = τ p τ c I th q S = p q (I I th ). (.9) Onde S depende do valor da corrente em regime estacionário. Se I <I th, a corrente do limiar da oscilação não foi atingida portanto a emissão de luz ainda não começou (S =). O número de electrões depende de I. Sendo assim e partindo da equação (.79) com a independência do número de fotões (S = ), obtemos uma expressão mais simplificada que nos permite de imediato alcançar o valor de electrões no laser: N c q I o (.9) Onde N depende do valor da corrente em regime estacionário. Vamos usar uma corrente injectada modulada I(t)= I + I m g p (t) (.9) com tt / g p (t) = rect( ) T (.93) Vão ser utilizados dois valores para T : T =,ns e T =,5ns Nas páginas seguintes mostramos os resultados da simulação realizada, através do recurso ao programa MATLAB, com base nos valores assumidos para o laser em emissão. Iremos estudar três casos: no primeiro I =.I th ; I m =I th ; no segundo I = I th ; I m =I th e no terceiro I =.8I th ; I m =3I th 3

46 Número fotões Corrente [ma] Simulações: º Caso : I =. x I th ; I m =I th ; T=,ns tt / I(t)=. I th + I th. rect ( ) T 4 Corrente de injecção Tempo [ns] Figura.4: Corrente de injecção para T=,ns 6 x 5 Evolução do número de fotões na cavidade laser Tempo [ns] Figura.5: Evolução do número total de fotões na cavidade laser para T=,ns. 4

47 Número fotões Corrente [ma] Número de electrões.5 Evolução do número de electrões na cavidade laser Tempo [ns] Figura.6: Evolução do número total de electrões, N normalizado para N (I >I th ) com T=,ns T=,5 ns 4 Corrente de injecção Tempo [ns] Figura.7: Corrente de injecção para T=,5ns 6 x 5 Evolução do número de fotões na cavidade laser Tempo [ns] Figura.8: Evolução do número total de fotões na cavidade laser para T=,5ns. 5

48 Número de electrões.5 Evolução do número de electrões na cavidade laser Tempo [ns] Figura.9: Evolução do número total de electrões, N normalizado para N (I >I th ) com T=,5ns Podemos ver a partir das simulações anteriores que o laser se encontra a funcionar correctamente, conforme era esperado, pois a corrente de injecção é superior ao valor do limiar de oscilação, portanto existe inversão da população, ou seja, apenas existe emissão de fotões a partir da corrente de limiar, necessária à emissão estimulada. Ao observarmos as figuras (.5), (.6), (.8) e (.9) que nos mostram a evolução do número de electrões e fotões na cavidade do laser para dois períodos diferentes (T=,ns e T=,5ns), podemos verificar que em ambas as situações o número de electrões aumenta rapidamente ao contrário do número de fotões, quando é aplicada a corrente de injecção I, devido à passagem de electrões da banda de valência para a banda de condução. O aumento do número de electrões irá provocar posteriormente uma subida da taxa de emissão estimulada o que provoca um aumento rápido do número de fotões. Este aumento dá origem à recombinação radiativa, que se caracteriza pela redução do número de electrões na cavidade, devida à transição de electrões da banda de condução para a banda de valência. Este processo irá originar novamente um aumento do número de electrões enquanto o número de fotões desce tal como foi dito anteriormente, repetindo-se este acontecimento sucessivamente. Pode-se entender então o carácter oscilatório entre fotões e electrões na cavidade do laser. Quando o impulso T de corrente termina a oscilação tende a estabilizar, sendo que o número de fotões e electrões irá tender para valores constantes. º Caso: I = x I th ; I m =I th ; tt / I(t)= I th + I th. rect ( ) T 6

49 Número de electrões Número fotões Corrente [ma] T=,ns 34 Corrente de injecção Tempo [ns] Figura.: Corrente de injecção para T=,ns 5.5 x 5 Evolução do número de fotões na cavidade laser Tempo [ns] Figura.: Evolução do número total de fotões na cavidade laser para T=,ns..5 Evolução do número de electrões na cavidade laser Tempo [ns] Figura.: Evolução do número total de electrões, N normalizado para N (I >I th ) com T=,ns 7

50 Número de electrões Número fotões Corrente [ma] T=,5ns 34 Corrente de injecção Tempo [ns] Figura.3: Corrente de injecção para T=,5ns 5.5 x 5 Evolução do número de fotões na cavidade laser Tempo [ns] Figura.4: Evolução do número total de fotões na cavidade laser para T=,5ns..5 Evolução do número de electrões na cavidade laser Tempo [ns] Figura.5: Evolução do número total de electrões, N normalizado para N (I >I th ) com T=,5ns 8

51 Número fotões Corrente [ma] Neste segundo caso ocorre praticamente o mesmo que no primeiro caso, visto ambas as correntes de injecção serem superiores à corrente de limiar, no entanto neste segundo caso verifica-se que o número de fotões e de electrões dentro da cavidade laser tende a estabilizar mais rapidamente, comparativamente ao caso anterior, devido ao facto de a corrente de injecção ser superior. 3º Caso: I =.8*I th ; I m =3 x I th T=,ns tt / I(t)=.8 I th + 3 I th. rect ( ) T 45 Corrente de injecção Tempo [ns] Figura.6: Corrente de injecção para T=,ns 9 x 5 Evolução do número de fotões na cavidade laser Tempo [ns] Figura.7: Evolução do número total de fotões na cavidade laser para T=,ns. 9

52 Número fotões Corrente [ma] Número de electrões.4 Evolução do número de electrões na cavidade laser Tempo [ns] Figura.8: Evolução do número total de electrões, N normalizado para N (I <I th ) com T=,ns T=,5 ns 45 Corrente de injecção Tempo [ns] Figura.9: Corrente de injecção para T=,5ns.5 x 6 Evolução do número de fotões na cavidade laser Tempo [ns] Figura.: Evolução do número total de fotões na cavidade laser para T=,5ns. 3

53 Número de electrões.45 Evolução do número de electrões na cavidade laser Tempo [ns] Figura.: Evolução do número total de electrões, N normalizado para N (I <I th ) com T=,5ns Podemos verificar para este caso que devido ao facto de usarmos uma corrente de injecção inferior à corrente de limiar (.8I th < I th ), não existe inversão de população pelo que não existe emissão de fotões, sendo que os electrões vão tender para N quando o impulso de corrente termina. O laser irá ter um comportamento semelhante aos dois casos anteriores na medida em que a corrente injectada é usada para obter inversão de população (obter N th ), o que provoca o aumento do número de fotões devido à emissão espontânea (só quando N th é obtido), diminuindo logo de seguida o número de electrões. Os electrões aumentam de novo devido à corrente injectada e absorção dos fotões existentes, o que provoca a diminuição do número de fotões. A emissão espontânea e estimulada aumentam o balanço de fotões, repetindo-se novamente todo o processo, sendo que o número de fotões e de electrões irá estabilizar a partir do momento em que o impulso de corrente acaba. Nesse ponto N irá tender para N e S tende para. Como N th não é atingido não podem ser criados fotões e então os fotões existentes são absorvidos pelo material..5. Modulação electro-óptica Tendo em conta as larguras de banda dos lasers, a modulação directa de lasers está limitada tipicamente a cerca de Gbit/s, embora várias experiências recentes tenham já demonstrado a possibilidade de gerar, usando modulação directa, sinais ópticos a 4 Gbit/s utilizando lasers tecnologicamente mais avançados (e, portanto, mais caros), com larguras de banda de cerca de 3 GHz. A modulação directa de lasers de semicondutor é invariavelmente acompanhada de modulação de frequência (chirp, na literatura inglesa) porque as variações de portadores eléctricos na região activa do laser causa variações do índice de refracção. Em consequência do chirp imposto no sinal, a largura de banda do sinal óptico modulado à saida do laser modulado directamente é consideravelmente mais largo que na ausência de chirp[8]. 3

54 Para gerar sinais ópticos a ritmos binários mais elevados, por exemplo 4 Gbit/s, outras técnicas de modulação da luz são habitualmente utilizadas. Uma outra forma de modular a luz (potência óptica) pelos níveis lógicos de informação é usar um modulador óptico no emissor. O modulador óptico é colocado entre o laser que emite em modo contínuo (isto é, a fonte óptica está sempre ligada ou seja, a emitir luz em todo o tempo) e a saída do emissor para a fibra óptica, como se ilustra na figura.. Figura.: Esquema ilustrativo da modulação externa de uma fonte óptica.[8] Os moduladores electro-ópticos são dispositivos passivos que traduzem directamente para a forma luminosa as informações de uma determinada tensão. Sendo assim, eles necessitam receber uma potência óptica de referência sobre a qual actuam, modulando (daí sua denominação) algumas das suas características como a intensidade, fase, espectro, padrão de polarização ou mesmo direcção de polarização[7]. Como os fotodetectores, que são os responsáveis pela transformação dos sinais ópticos em eléctricos, são sensíveis apenas à intensidade luminosa, ou potência óptica, todas as formas de modulação têm que ser convertidas, ao final, para modulação em intensidade. Isto é feito nos moduladores de fase por interferometria e nos moduladores de polarização por polarimetria. É possível construir moduladores ópticos que sejam sensíveis a praticamente qualquer grandeza física, como, por exemplo à temperatura, pressão, deslocamento, vibração, campos eletromagnéticos, etc. A radiação luminosa tem suas características de propagação associadas às grandezas permissividade elétrica (ε) e permeabilidade magnética (μ), do meio. Num meio material homogéneo, linear e isotrópico essas grandezas são quantidades escalares enquanto que nos meios não-homogéneos elas são funções escalares de ponto. Nos meios anisotrópicos elas passam a ser tensores. Por fim, nos meios electro-ópticos uma ou mais componentes do tensor dielétrico, ou de permissividade do meio, são funções da intensidade do campo eléctrico no ponto. Assim sendo, pode-se construir um modulador óptico sensível à tensão, submetendo ao campo elétrico por ela gerado, um meio material que apresente uma dependência de (ε) com campos externos. As manifestações resultantes desta dependência sobre a onda óptica propagante são chamadas de efeito electro-óptico. Os principais efeitos electro-ópticos empregados nos sensores ópticos de tensão são os de primeira ordem, chamados de efeito Pockels, e os de segunda ordem, chamados de efeito Kerr. Os 3

55 moduladores electro-ópticos que empregam efeito Pockels são, as vezes, também chamados de células Pockels. Quanto à direcção de aplicação do campo eléctrico, há duas configurações possíveis para os moduladores eletro-ópticos: a configuração longitudinal e a configuração transversal. Na configuração longitudinal o campo eléctrico é aplicado paralelamente à direcção de propagação da luz. Para permitir a passagem do feixe luminoso os eléctrodos devem ser feitos de material transparente ou vazados. Normalmente são utilizados como eléctrodos óxidos metálicos depositados, filmes metálicos, grades ou anéis aplicados às faces opostas do elemento sensor, como, por exemplo, o ilustrado na figura.3. Figura.3: Modulador electro-óptico em configuração longitudinal[7]. Na configuração transversal o campo eléctrico é aplicado numa direcção perpendicular à de propagação da luz. Nessa configuração a aplicação do campo eléctrico é simplificada, podendo ser feita também através de placas metálicas ou tintas condutoras aplicadas nas superfícies laterais do elemento sensor, como exemplifica a forma esquematizada na figura.4: Figura.4: Modulador electro-óptico em configuração transversal[7]. 33

56 Como mostra a figura., a modulação do sinal é efectuada externamente à fonte óptica. Por esta razão, o modulador é também designado por modulador externo. Os moduladores ópticos são componentes integrados projectados para controlar a quantidade de potência óptica transmitida para a sua saída, sendo muitos deles incorporados no mesmo chip da fonte óptica. Os moduladores ópticos funcionam como interruptores em que o interruptor é fechado para o nível lógico e aberto para o nível lógico. Como o modulador controla a impressão da informação binária no sinal óptico, é a largura de banda do modulador externo que é determinante da capacidade do emissor de gerar sinais ópticos com elevado ritmo binário. Há vários tipos de moduladores ópticos. Os moduladores de Mach-Zender são os que apresentam maior largura de banda, tendo já sido modulados a ritmos binários de 8 Gbit/s..6. Conclusões Podemos verificar que os lasers têm a capacidade de produzir luz através da conversão do sinal de corrente eléctrica. Concluímos que quando o laser se encontra em emissão, a população de electrões e fotões apresenta um carácter oscilatório que perdura ao longo da duração do impulso, sendo que quanto maior for a corrente de injecção, mais rapidamente o número de fotões e electrões irá estabilizar. Quando se usa uma corrente de injecção inferior à corrente de limiar (.8I th < I th ), não existe inversão de população pelo que não existe emissão de fotões, sendo que os electrões vão tender para N quando o impulso de corrente termina. Ou seja, se I > I th ocorrerá emissão estimulada de fotões. Caso a corrente de injecção seja inferior à de limiar, I < I th, a emissão é inexistente. 34

57 Capítulo 3 3. Transmissão de Impulsos 3.. Propagação de impulsos em regime linear Os impulsos que se propagam numa fibra óptica sofrem, em regime linear, um alargamento temporal devido à dispersão da velocidade de grupo (DVG), o que provoca interferência intersimbólica. Sendo A(,t) um impulso à entrada z = da fibra óptica e admitindo que o campo eléctrico na entrada z = da fibra óptica, está polarizado linearmente segundo x, tem-se então [3]: E(x,y,,t) = ˆx E(x,y,,t) (3.) esta expressão pode também ser escrita como E(x,y,,t) = E F(x,y)B(,t), (3.) em que B(,t) = A(,t)exp( i t). (3.3) sendo que E representa a amplitude do campo eléctrico, F(x,y) representa a distribuição transversal do campo no modo fundamental da fibra óptica e B(,t) representa a distribuição de tempo do campo em z =. É admitido, ainda, que este impulso modula uma portadora de frequência (angular). Tendo em conta que o regime é monomodal, F(x,y) representa a variação transversal do modo fundamental LP. Sabendo que r é a coordenada transversal (num sistema de coordenadas cilíndricas), com r = x + y, tem-se: F(r) = { r J u, a r a J( u) r K w, K ( w) a r a (3.4) 35

58 onde a é o raio do núcleo da fibra óptica. Na equação 3.4 consideraram-se uma constante de propagação tranversal no núcleo, u, e uma constante de atenuação na bainha, w. Tanto u como w são normalizadas (isto é, adimensionais) e tais que: u + w = v, (3.5) v = k a n n (3.6) em que n é o índice de refracção do núcleo e n é o índice de refracção da bainha. A constante de propagação no vácuo é representada por k o = w / c. É de referir que, na equação 3.4 se tem F() = e F(a) = J (u). Assim, E é a amplitude do campo eléctrico em r =. Como se consideram fibras ópticas de pequeno contraste dieléctrico, a aproximação dos modos LP é razoável. De modo a se poder calcular o campo eléctrico num ponto z >, vai-se começar por obter a transformada de Fourier do campo em z =. Temos, por definição i t dt. A (z, ) = A z, t exp (3.7) B (z, ) = Bz, texp i t dt (3.8) cujas transformadas inversas correspondentes são i t dt (3.9) A(z,t) = A( z, ) exp B(z,t) = B z (, ) exp i t dt, (3.) obtém-se da equação (3.) ( x,y,, ) = E F(x,y) B (, ), (3.) em que B (, ) = A (, ). (3.) 36

59 Tendo em conta que é a constante de propagação longitudinal do modo fundamental, tem-se ( x,y,z, ) = E F(x,y) B (z, ), (3.3) sendo que B (z, )= B (, )exp[i z] (3.4) O campo eléctrico, num ponto z >, será então E(x,y,z,t) = ˆx E(x,y,z,t) (3.5) com E(x,y,z,t) = E F(x,y)B(z,t). (3.6) Deve-se salientar que só é possível escrever a Eq. (3.5) porque se admite que a fibra óptica mantém a polarização. Visto que apenas nos interessa a transmissão da intensidade do campo eléctrico e não a sua fase, esta suposição é uma forma de simplificar a notação, sem contudo implicar a necessidade real de só se utilizarem fibras que mantenham a polarização. Passando a Eq. (3.4) para o domínio do tempo, tem-se B(z,t)= A (, ) exp[ i( z t)] d (3.7) Então, introduzindo de seguida a variável Ω (desvio de frequência em relação à portadora) Ω = (3.8) obtém-se B(z,t)= exp( i t ) A(, ) exp[ i( z t)] d (3.9) É possível simplificar consideravelmente a equação (3.9) aplicando um desenvolvimento em série de Taylor para ( + Ω ).Obtém-se desse modo ( + Ω ) = (3.) 37

60 em que m m m m! (3.) e ( ) (3.) pode-se então escrever B(z,t)= A(z,t)exp[i( z t)] (3.3) A(z,t)=, exp A i z t d (3.4) Pode-se notar, desde já, a compatibilidade das Eqs. (3.3) e (3.4) com a Eq. (3.3). Analisando a Eq. (3.3) consegue-se verificar a utilidade da definição de A(z,t) pois enquanto B(z,t) é uma função rapidamente variável no tempo, A(z,t) é uma função que varia lentamente no tempo. De facto, tem-se em geral <<, pelo que exp(- t) oscila com uma frequência muito menor do que exp( i t). Os coeficientes m, introduzidos na Eq. (3.), são dados por m = m m (3.5) assim, para m = e m = em particular, tem-se = v g, (3.6) = vg (3.7) v ( ) g Com v g = ( - ) (3.8) 38

61 Em que v g representa a velocidade de grupo e em que o coeficiente corresponde à dispersão da velocidade de grupo (DVG). As Eqs. (3.6) e (3.3) permitem escrever E(x,y,z,t) = E F(x,y)A(z,t)exp[i( t)] z (3.9) Vai-se de seguida calcular A(z,t) a partir de A(,t). Para esse fim há que calcular a Eq. (3.4). Definindo (com m =,,..) m A, Q ( z, t, ) d (3.3) A m (z,t) = em que Q(z,t, ) = exp[i ( )z]exp( i t), (3.3) resulta da Eq.(3.4) que A i m A m( z, t ) (3.3) z m! m caso existam perdas deverá escrever-se a Eq. (3.3) na forma A z (3.33) m! = m i Am z, t Az, t m em que α representa o coeficiente de atenuação (de potência). Por outro lado, tem-se A t = ia (z,t), (3.34) A t = A (z,t), (3.35) 3 A 3 t = ia 3 (z,t), (3.36) 4 A = A 4 4 (z,t), (3.37) t 39

62 podendo-se escrever para um caso geral ( com m =,,..) m A m t = ( m) i Am z t (, ). (3.38) Assim, das Eqs. (3.33) e (3.38), obtém-se m m A z + i A m A =. m m= m! t (3.39) Esta equação diferencial linear permite calcular A(z,t) a partir de A(,t). Como, em geral, os impulsos são de banda estreita ( isto é, << ), é possível considerar como razoável a truncatura = (3.4) e desprezar todos os restantes termos de ordem superior. Nesse caso a Eq. (3.39) reduz-se a A A z t + i A t A = (3.4) É possível desprezar as perdas (α=) de modo a poder resumir o cálculo de A(z,t) a partir de A(,t), seguindo desse modo os seguintes passos: - Começa-se por calcular A (, ) =, exp A t i t dt (3.4) - Faz-se A (z, ) = A (, ) exp(i z) (3.43) 3- Finalmente calcula-se A z it d (3.44) A(z,t) =, exp 4

63 3.. Resolução Numérica De modo a se realizar a simulação numérica em Matlab da propagação de impulsos em regime linear, consideraram-se as perdas e os efeitos dispersivos desprezáveis, ou seja, α = e 3. A equação (3.4) ficará então: A A z t + i A =. t (3.45) De modo a normalizar a equação da propagação de impulsos em regime linear, foram consideradas as seguintes mudanças de variáveis: δ = z L D (3.46) t z = (3.47) L D (3.48) em que L D é o comprimento da dispersão e tau ( adimensionais para o tempo e espaço. e zeta ( δ ) são, respectivamente, variáveis Iremos de seguida reescrever as equações anteriores com estas novas variáveis. Começamos com a equação diferencial linear que governa a propagação do impulso na fibra. Vamos então estabelecer uma relação entre os operadores usados: z = L D = (3.49) t (3.5) Escrevendo novamente a equação linear de um modo mais simplificado, obtém-se: A + i sgn ( ) A = t (3.5) 4

64 Se aplicarmos a Transformada de Fourier à equação anterior e considerando ξ uma frequência normalizada tal que: ξ = = ( ) (3.5) obtemos A(, ) = i ( sgn ( ) ) A(, ) (3.53) que tem como solução: A, = A(, ) exp* ( sgn ( ) ) + (3.54) De modo a calcular o valor espectral do impulso em qualquer posição zeta ( a partir do impulso inicial, será necessário seguir os seguintes três passos de resolução numérica: - Cálculo da FFT A(, ) = FFT [ A(, ) ] (3.55) - Cálculo de A, A, = A(, ) exp* ( sgn ( ) ) + (3.56) 3- Cálculo da IFFT A, =IFFT [, A ] (3.57) Vamos simular o funcionamento de uma fibra e o efeito que a DVG tem no impulso nesta fibra para diferentes casos como o impulso exponencial, impulso gaussiano, impulso supergaussiano e impulso secante hiperbólica. Estes casos diferem entre si na forma do impulso e no comprimento da fibra usada. Em todos os casos o parâmetro DVG,, utilizado é de (ps /km). 4

65 Amplitude 3.3. Impulso exponencial O impulso exponencial define-se por: A(,t)=H( T tt / ). / H( T tt / ). / (3.58) em que H(t) é a função de Heaviside: H(t) =, t, t (3.59) Foram considerados os seguintes parâmetros: L = 5 km e τ = 5 ps. É possível através do uso do método referido nas páginas anteriores obter o impulso em qualquer ponto da fibra. Na figura 3. está representado o gráfico que nos mostra o impulso inicial e final na fibra óptica. entrada - Azul saída - Vermelho.9.8 Impulso inicial Impulso final Tempo Figura 3.: Impulso exponencial à entrada e saída da fibra óptica. Analisando o gráfico da figura 3. verifica-se que a amplitude vai diminuindo ao longo da propagação do impulso. Este facto é justificado pela lei da conservação da energia. 43

66 Podemos também observar um alargamento do impulso ao longo da fibra óptica devido à DVG. O facto de existirem diferentes componentes de frequência a deslocarem-se a velocidades diferentes, leva a que estas interfiram com as componentes adjacentes provocando interferência inter-simbólica. Podemos ver na figura 3. a evolução do impulso exponencial ao longo da fibra óptica. Figura 3.: Evolução do impulso exponencial ao longo da fibra óptica Na figura 3.3 podemos ver a evolução do espectro do impulso: Figura 3.3: Evolução do espectro do impulso exponencial durante a sua propagação. A figura 3.3 mostra que o espectro do impulso exponencial mantêm as suas características ao longo da propagação. É de notar que o facto da atenuação ter sido desprezada e de não existir geração de frequências em regime linear contribui para esta situação. 44

67 Amplitude 3.4. Impulso Gaussiano Considere-se o impulso gaussiano dado por: A(,t) = exp[ ic t ( ) ] t (3.6) Com m = e C = O parâmetro m controla o quão abrupta é a queda. Quanto maior for o seu valor mais o impulso se aproxima de um impulso rectangular. Note-se que se obtem um impulso gaussiano quando m =. Para o impulso dado pela equação (3.6) e para o caso em que o parâmetro chirp é nulo, C =, a expressão fica: A(,t) = exp[ ( t ) ] t (3.6) Na figura 3.4 está representado o gráfico que nos mostra o impulso gaussiano com C = à entrada e à saída da fibra óptica..9 entrada - azul saída - vermelho Impulso inicial Impulso final Tempo Figura 3.4: Impulso gaussiano à entrada e saída da fibra óptica (C=). 45

68 Podemos ver na figura 3.5 a evolução do impulso gaussiano (C = ) ao longo da fibra óptica. Figura 3.5 Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra óptica (C=) Na figura 3.6 podemos ver a evolução do espectro do impulso gaussiano para C=: Figura 3.6: Evolução do espectro do impulso gaussiano durante a sua propagação (C=). (3.6), fica Vamos ver agora o efeito do chirp. Para o caso em que o parâmetro chirp é C =, a expressão A(,t) = exp[ i t ( ) ] t (3.6) 46

69 Amplitude Na figura 3.7 está representado o gráfico que nos mostra o impulso gaussiano com C = à entrada e à saída da fibra óptica..9 entrada - azul saída - vermelho Impulso inicial Impulso final Tempo Figura 3.7: Impulso gaussiano à entrada e saída da fibra óptica (C=). Podemos ver na figura 3.8 a evolução do impulso gaussiano (C=) ao longo da fibra óptica. Figura 3.8: Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra óptica (C=) 47

70 Amplitude Na figura 3.9 podemos ver a evolução do espectro do impulso gaussiano para C = : Figura 3.9: Evolução do espectro do impulso gaussiano durante a sua propagação (C=). Analisando os gráficos anteriores verifica-se que com a introdução de chirp positivo no início da ligação, o alargamento do impulso vai ser contrariado numa fase inicial, no entanto o seu efeito é limitado já que só pode ser introduzido à entrada da fibra, terminando quando é alcançado o estreitamento máximo do impulso. A partir daí voltamos a ter um domínio do efeito dispersivo o que vai provocando um alargamento do impulso, alcançando resultados piores que o impulso sem chirp no final da ligação. Para o caso em que o parâmetro chirp é C =, a expressão (3.6), fica A(,t) = exp[ i t ( ) ] t (3.63) Na figura 3. está representado o gráfico que nos mostra o impulso gaussiano com C = entrada e à saída da fibra óptica. à.9 entrada - azul saída - vermelho Impulso inicial Impulso final Tempo Figura 3.: Impulso gaussiano à entrada e saída da fibra óptica (C= ). 48

71 Podemos ver na figura 3. a evolução do impulso gaussiano (C= ) ao longo da fibra óptica. Figura 3.: Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra óptica (C= Na figura 3. podemos ver a evolução do espectro do impulso gaussiano para C= : Figura 3.: Evolução do espectro do impulso gaussiano durante a sua propagação (C= ). Podemos verificar que a presença do chirp com valor negativo provoca um aumento da largura da sua componente espectral. Este fenómeno agrava a situação presente no impulso anterior sem chirp, revelando-se inapropriada a sua aplicação. 49

72 Para além dos efeitos da atenuação e da dispersão, os impulsos que se propagam numa fibra óptica estão ainda sujeitos aos efeitos não-lineares originados pela interacção entre a luz e o dieléctrico da fibra, quando existem campos electromagnéticos intensos. Assim, a fase não-linear aparece devido ao efeito de Kerr e é dada pela expressão Φ NL (t) = P in (t)l eff, (3.64) onde é um parâmetro não linear dado por n ' w (3.65) e em que L eff é o comprimento efectivo. Sabendo que P in é a potência de entrada, a potência ao longo da fibra é dada por P(z,t) = P in (t)exp( αz) (3.66) A dependência da potência faz com que Φ NL varie no tempo. Uma vez que este fenómeno de variação de fase é auto-induzido, designa-se por Auto Modulação de Fase (AMF). A AMF leva ao aparecimento de chirp. exp(iφ) = exp( iωt) => Φ = ωt => ω = d (3.67) dt δω(t) = d NL dp = in Leff dt dt (3.68) Da expressão acima retira-se que, quando dpin dt => δω(t) <, ou seja, existe um desvio negativo de frequência (desvio para vermelho), e o inverso para a situação quando ocorre um desvio para azul. dpin dt em que 5

73 Frente Cauda t Desvio para azul Desvio para vermelho Figura 3.3: Efeito da AMF no desvio de frequências de um impulso gaussiano. Frente Cauda Desvio para vermelho t Desvio para azul Figura 3.4: Desvio de frequências num impulso gaussiano. O parâmetro β designa-se por parâmetro de dispersão da velocidade de grupo e é responsável pelo alargamento do pulso. Se ele for positivo diz-se que a fibra tem dispersão normal. Se for negativo diz-se que a fibra opera em regime de dispersão anómala. No caso da fibra operar em regime de dispersão anómala, tem-se β = v g δ v g δω < (3.69) sendo que δv g > (3.7) δω de onde se pode concluir que a velocidade de grupo aumenta sempre que a frequência aumenta. Quando a fibra trabalha no regime de dispersão normal a velocidade de grupo decresce quando a frequência aumenta. Assim, devido à acção da auto-modulação de fase, as frequências mais baixas (zona de dispersão vermelha) movem-se mais rapidamente do as frequências mais altas (zona de dispersão azul). Como consequência o pulso alarga (figura 3.4). Porém, no regime de dispersão anómala, as 5

74 frequências mais baixas movem-se mais lentamente do que as frequências mais altas fazendo com que o pulso se comprima (figura 3.3). Assim, se se trabalhar no regime anómalo e se se garantir que o chirp de frequência é suficientemente elevado, os efeitos da dispersão conduzem a um estreitamento do pulso. O impulso a subir corresponde às altas frequências, e o impulso a descer com as baixas frequências. Portanto o impulso ao subir move-se para o azul, e ao cair para o vermelho. Se compararmos o fenómeno que acontece com a DVG e a AMF podemos verificar que os efeitos são balanceados, tornando possível em condições específicas de potência na AMF, a modificação de um impulso em propagação. Estamos portanto a permitir a propagação de solitões. Os solitões que se propagam na zona de dispersão anómala (β <), chamam-se solitões claros (bright solitons), e quando estamos na zona de dispersão normal (β >), propagam-se solitões escuros (dark solitons) Evolução da largura de impulsos Considerando que o comprimento da ligação é dado por L e que o parâmetro chirp do impulso é dado por C, demonstra-se que, para o caso dos impulsos gaussianos, o coeficiente de alargamento de impulsos é dado por σ ( σ ) =( LC ) +(+V L ) ( ) +(+V +C ) L3 ( 3 4 ) (3.7) Manipulando a expressão (3.7) consegue-se verificar que o factor de alargamento aumenta com a distância z. Considere-se o caso de um laser monomodal com pequena largura espectral (V<<). Da equação (3.7), obtém-se σ ( σ ) ( zc ) + ( z ) +(+C ) 3 ( 4 z ) (3.7) 3 Admitindo z >> L D / C, σ = τ /, L D = τ / β e L D = τ 3 / β 3 vem σ σ = C L D L D C z ( L ) (3.73) D Também é possível representar, através da equação (3.7), a evolução dos impulsos na zona de dispersão anómala, ou seja, β <. A situação representada na Figura 3.5 despreza a dispersão de ordem superior (β 3 = ) e considera-se que V <<, reduzindo-se a expressão (3.7) a σ ( σ ) ( z C ) + ( z ) (3.74) 5

75 Considerando ainda as seguintes mudanças de variável z = LD σ e = ( σ ) (3.75) a equação (3.74) passa a ser dada por = (+sgn( β )C ) + (3.76) Podemos ver na figura 3.5 a evolução da largura de impulsos na zona de dispersão anómala para três valores de C com β <. 6 5 Evolução da largura dos impulsos com a distância: sgn ( ) = - C = - C = C = = z / L D Figura 3.5: Evolução da largura de impulsos na zona de dispersão anómala para três valores de C com β <. A análise da Figura 3.5 permite fazer uma comparação entre três casos. No caso de C = verifica-se um alargamento do impulso ao longo da sua propagação devido ao efeito da dispersão da velocidade de grupo (DVG), sendo que para o caso de C = verifica-se novamente o fenómeno de alargamento do impulso, no entanto, mais acentuado do que no caso anterior, uma vez que agora se soma o efeito do parâmetro chirp ao efeito da DVG. No caso de C = verifica-se a existência de contracção do impulso no início da propagação, até ao ponto zmin, pois o efeito do parâmetro chirp é contrário ao efeito da DVG. Posteriormente o impulso alarga, uma vez que o efeito da DVG se torna dominante. 53

76 Amplitude 3.6. Impulso supergaussiano Apresenta-se agora o caso dos impulsos supergaussianos Considere-se o impulso supergaussiano dado por: A(,t) = exp[ ic t ( ) ] t (3.77) com m = 3 e C = O parâmetro m controla o quão abrupta é a queda. Quanto maior o seu valor mais o impulso se aproxima de um impulso rectangular. Note-se que se obtem um impulso gaussiano quando m =. Para o impulso dado pela equação 3.77 e para o caso em que o parâmetro chirp é nulo, C =, a expressão 3.77 fica: A(,t) = exp[ ( t ) ] t (3.78) Na figura 3.6 está representado o gráfico que nos mostra o impulso supergaussiano com C = à entrada e à saída da fibra óptica. entrada - azul saída - vermelho.9.8 Impulso inicial Impulso final Tempo Figura 3.6: Impulso supergaussiano à entrada e saída da fibra óptica (C=). Observando a figura 3.6 podemos verificar o alargamento do impulso e uma diminuição da amplitude. Os impulsos supergaussianos alargam a um ritmo mais elevado e sofrem maior distorção da sua forma, ao contrário do que se verifica no caso do impulso gaussiano. 54

77 Podemos ver na figura 3.7 a evolução do impulso supergaussiano (C=) ao longo da fibra óptica. Figura 3.7: Evolução do impulso supergaussiano ao longo da fibra óptica (C= Analisando a figura 3.7 podemos verificar que o máximo ocorre no início da fibra, sendo que após a entrada do impulso na fibra, este começa a alargar a sua forma e a sua amplitude começa a diminuir. Na figura 3.8 podemos ver a evolução do espectro do impulso supergaussiano para C= : Figura 3.8: Evolução do espectro do impulso supergaussiano durante a sua propagação (C= ). Podemos verificar que a forma do espectro não varia ao longo da fibra. 55

78 Amplitude fica Veja-se agora o efeito do chirp. Para o caso em que o parâmetro chirp é C =, a expressão (3.77), A(,t) = exp[ i t ( ) ] t (3.79) Na figura 3.9 está representado o gráfico que nos mostra o impulso supergaussiano com C = à entrada e à saída da fibra óptica..9 entrada - azul saída - vermelho Impulso inicial Impulso final Tempo Figura 3.9: Impulso supergaussiano à entrada e saída da fibra óptica (C=). Podemos ver na figura 3. a evolução do impulso supergaussiano (C=) ao longo da fibra óptica. Figura 3.: Evolução do impulso supergaussiano ao longo da fibra óptica (C= 56

79 Amplitude Na figura 3. podemos ver a evolução do espectro do impulso supergaussiano para C = : Figura 3.: Evolução do espectro do impulso supergaussiano durante a sua propagação (C=). Analisando os gráficos anteriores verifica-se que com a introdução de chirp positivo no início da ligação, o alargamento do impulso vai ser contrariado numa fase inicial, no entanto o seu efeito é limitado já que só pode ser introduzido à entrada da fibra, terminando quando é alcançado o estreitamento máximo do impulso. A partir daí voltamos a ter um domínio do efeito dispersivo o que vai provocando um alargamento do impulso, alcançando resultados piores que o impulso sem chirp no final da ligação. Para o caso em que o parâmetro chirp é C = a equação (3.6) vem A(,t) = exp[ i t ( ) ] t (3.8) Na figura 3. encontra-se representado o gráfico que nos mostra o impulso supergaussiano com C= à entrada e à saída da fibra óptica..9 entrada - azul saída - vermelho Impulso inicial Impulso final Tempo Figura 3.: Impulso supergaussiano à entrada e saída da fibra óptica (C=). 57

80 Podemos ver na figura 3.3 a evolução do impulso supergaussiano (C = ) ao longo da fibra óptica. Figura 3.3: Evolução do impulso supergaussiano ao longo da fibra óptica (C= Analisando os gráficos das figuras 3. e 3.3 podemos verificar que a presença do chirp com valor negativo, em vez de compensar a dispersão, reforça o aumento da largura da sua componente espectral, agravando a situação presente no impulso anterior sem chirp. Pode-se concluir que a sua utilização não é adequada. Na figura 3.4 podemos ver a evolução do espectro do impulso supergaussiano para C = : Figura 3.4: Evolução do espectro do impulso supergaussiano durante a sua propagação (C= ). Através dos resultados obtidos podemos concluir que o impulso com chirp negativo é aquele que alcança piores resultados, pois visto que o efeito de dispersão aumenta, o que provoca por sua vez um aumento da largura do impulso. 58

81 Amplitude Concluímos também que que com a introdução de chirp positivo no início da ligação, o alargamento do impulso vai ser contrariado numa fase inicial, no entanto a partir de determinada distância os resultados obtidos são piores que o do impulso gaussiano puro, pelo que seria esta a solução a ser utilizada. A solução óptima seria manipular o uso do chirp, no entanto esta solução não é possível, já que para isso teríamos de contar com um efeito de chirp linear, o que na prática não existe. Comparativamente com o impulso gaussiano, pode concluir-se que os impulsos supergaussianos provocam um maior alargamento do impulso e sofrem maior distorção na sua forma, ao contrário do que se verifica no caso do impulso gaussiano. O maior ritmo de alargamento dos impulsos supergaussianos deve-se ao facto destes terem um maior espectro do que os impulsos gaussianos. Uma vez que a DVG provoca atrasos em cada componente de frequência relativamente à frequência central ω, um maior número de componentes de frequências resulta num alargamento mais rápido Impulso secante hiperbólica Analisa-se agora, o caso de um impulso com a forma de secante hiperbólica. A opção de analisar este tipo de impulsos não é de todo aleatória, tendo particular interesse devido ao facto de ser o tipo de impulsos que ocorrem naturalmente em solitões. Assim, assume-se que o impulso tem a seguinte forma t A(,t) = sech. / exp[ t ic t ( ) ] t (3.8) em que o parâmetro C define o valor de chirp inicial. Na figura 3.5 está representado o gráfico que nos mostra o impulso secante hiperbólica com C= à entrada e à saída da fibra óptica..9 entrada - Azul saída - Vermelho Impulso inicial Impulso final Tempo Figura 3.5: Impulso secante hiperbólica à entrada e saída da fibra óptica. 59

82 Podemos ver na figura 3.6 a evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da fibra óptica. Figura 3.6: Evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da fibra óptica Na figura 3.7 podemos ver a evolução do espectro do impulso secante hiperbólica: Figura 3.7: Evolução do espectro do impulso secante hiperbólica durante a sua propagação Comparando com o caso do impulso gaussiano, percebe-se que os efeitos da dispersão no alargamento são em tudo semelhantes. A principal diferença a assinalar é o facto de o chirp induzido já não ser linear. 6

83 3.8. Atenuação Vamos de seguida ver qual a influência que a atenuação da fibra óptica tem na propagação dos impulsos dentro da mesma. De acordo com a equação 3.4 e desprezando apenas o efeito dispersivo, ou seja, 3, ficamos com A A z t + i A t + A = (3.8) e tendo em conta as equações 3.46, 3.47, 3.48, 3.49 e 3.5, obtém-se[][5]: A + i A sgn ( ) t + A Ld = (3.83) Se aplicarmos a Transformada de Fourier à equação anterior e considerando ξ uma frequência normalizada tal que: ξ = = ( ) (3.84) obtemos A(, ) = i [ sgn ( ) Ld ] A(, ) (3.85) que tem como solução: A, = A(, ) exp{[ i( sgn ( ) Ld } (3.86) Vamos agora fazer novas simulações de modo a analisar o impacto da atenuação da fibra óptica na propagação dos impulsos: 6

84 Amplitude dos Impulsos Amplitude dos Impulsos Considerando o valor de atenuação na fibra, =,db/km, o valor do comprimento de dispersão na fibra, Ld = km e um valor de δ =, (ou seja, estamos perante uma fibra com comprimento de km, de acordo com a equação 3.46), obtém-se:.9 SSFM: Propagação de um impulso gaussiano ( =.) Impulso inicial (azul) Impulso final (vermelho Figura 3.8: Evolução do espectro do impulso gaussiano para δ =,, Ld=km e =,db/km Aumentando agora o valor de atenuação na fibra para =db/km, obtém-se:.9 SSFM: Propagação de um impulso gaussiano ( =.) Impulso inicial (azul) Impulso final (vermelho Figura 3.9: Evolução do espectro do impulso gaussiano para δ =,, Ld=km e =db/km 6

85 Amplitude dos Impulsos Amplitude dos Impulsos Considerando o valor de atenuação na fibra, =,db/km, o valor do comprimento de dispersão na fibra, Ld = km e um valor de δ =,5 (ou seja, estamos perante uma fibra com comprimento de 5 km, de acordo com a equação 3.46), obtém-se:.9 SSFM: Propagação de um impulso gaussiano ( =.5) Impulso inicial (azul) Impulso final (vermelho Figura 3.3: Evolução do espectro do impulso gaussiano para δ =,5, Ld=km e =,db/km Aumentando agora o valor de atenuação na fibra para =db/km, obtém-se:.9 SSFM: Propagação de um impulso gaussiano ( =.5) Impulso inicial (azul) Impulso final (vermelho Figura 3.3: Evolução do espectro do impulso gaussiano para δ =,5, Ld=km e =db/km 63

86 Amplitude dos Impulsos Amplitude dos Impulsos Considerando o valor de atenuação na fibra, =,db/km, o valor do comprimento de dispersão na fibra, Ld = km e um valor de δ =, (ou seja, estamos perante uma fibra com comprimento de km, de acordo com a equação 3.46), obtém-se:.9 SSFM: Propagação de um impulso gaussiano ( =.) Impulso inicial (azul) Impulso final (vermelho Figura 3.3: Evolução do espectro do impulso gaussiano para δ =,, Ld=km e =,db/km Aumentando agora o valor de atenuação na fibra para =db/km, obtém-se:.9 SSFM: Propagação de um impulso gaussiano ( =.) Impulso inicial (azul) Impulso final (vermelho Figura 3.33: Evolução do espectro do impulso gaussiano para δ =,, Ld=km e =db/km 64

87 Amplitude dos Impulsos Amplitude dos Impulsos Considerando o valor de atenuação na fibra, =,db/km, o valor do comprimento de dispersão na fibra, Ld = km e um valor de δ =, (ou seja, estamos perante uma fibra com comprimento de km, de acordo com a equação 3.46), obtém-se:.9 SSFM: Propagação de um impulso gaussiano ( =.) Impulso inicial (azul) Impulso final (vermelho Figura 3.34: Evolução do espectro do impulso gaussiano para δ =,, Ld=km e =,db/km Aumentando agora o valor de atenuação na fibra para =db/km, obtém-se:.9 SSFM: Propagação de um impulso gaussiano ( =.) Impulso inicial (azul) Impulso final (vermelho Figura 3.35: Evolução do espectro do impulso gaussiano para δ =,, Ld=km e =db/km 65

88 3.9. Conclusões Verifica-se que a propagação é influenciada por interferência inter-simbólica e que a mesma depende directamente do alargamento dos impulsos e da dispersão. Foi possível verificar a influência do parâmetro de chirp ao nível da correcção da dispersão e verificámos que para valores positivos essa interferência é ainda mais acentuada. Entre o chirp positivo e ausência do mesmo existe um compromisso: a influência deste produz um menor alargamento do impulso até um determinado ponto distante, a partir do qual a sua ausência produz melhores resultados. Pode-se concluir que a solução óptima seria manipular o uso do chirp, no entanto a realização desta solução não é possível, visto que nesse caso se deveria ter um efeito de chirp linear, o que na prática não existe. Pela sua definição, o chirp é um desvio dinâmico da frequência provocado pela modulação interna de um laser. Ora, sendo ele dinâmico, na prática não o conseguimos utilizar como linear. Após a introdução da atenuação da fibra, verifica-se através das simulações obtidas que à medida que o paramêtro correspondente à atenuação na fibra, at, aumenta, a amplitude dos impulsos gaussianos irá diminuir consideravelmente, sendo que para valores de atenuação muito elevados e para distâncias muito grandes, o impulso irá ter uma amplitude muito reduzida. Para valores de atenuação de, db, a influência da atenuação na propagação do impulso não será muito intensa, sendo os resultados muito próximos dos obtidos anteriormente para um caso ideal (at=). 66

89 Capítulo 4 4. Amplificadores Ópticos 4.. Introdução Os amplificadores ópticos operam somente no domínio óptico sem quaisquer conversões para o domínio eléctrico. Neste capítulo será analisado o funcionamento de dois diferentes tipos de amplificadores que se utilizam em fibras ópticas: as fibras amplificadoras dopadas com érbio, EDFA s, e os amplificadores de Raman. 4.. Fibras Amplificadoras Dopadas com Érbio 4... Amplificação laser numa fibra dopada com iões de érbio Antes de 99 os principais serviços de telecomunicações baseavam-se na transmissão eléctrica. No final da década de 8 surgiu a terceira geração comercial de sistemas de comunicação óptica. Estes sistemas operavam na terceira janela (.55 μm), com débitos binários até Gb/s[7]. O principal problema dos sistemas de terceira geração deve-se ao uso de repetidores electrónicos, conhecidos por regeneradores 3R, que tinham espaçamentos típicos de 6-7 km. Este problema foi resolvido com o aparecimento em das fibras amplificadoras dopadas com érbio ou EDFA s (erbium-doped fiber amplifiers) em que o bombeamento é feito por lasers semicondutores, o que produziu uma autêntica revolução na concepção dos sistemas de comunicação óptica. As EDFA s, cuja comercialização se iniciou em 99, vieram permitir aumentar o espaçamento entre amplificadores para 6- km e amplificam directamente os sinais no domínio óptico, sem recorrer ao domínio eléctrico, ao contrário do que sucede com os regeneradores 3R. Este foi o salto para a entrada na era fotónica. Efectivamente, a geração actual de transmissão óptica explora duas técnicas fundamentais: a amplificação óptica que veio substituir os regeneradores electrónicos 3R (retiming, reshaping, rescaling) 67

90 e a multiplexagem no comprimento de onda ou WDM (wavelength-division multiplexing) que veio aumentar significativamente a capacidade e a velocidade da transmissão. Continuam no entanto a existir alguns problemas com o uso de EDFA s, sendo que, a dispersão cromática nas fibras ópticas é o problema principal, dado que as EDFA s funcionam principalmente na terceira janela ( funcionam também na segunda janela centrada em.3μm de forma menos significativa) Estes problemas têm vindo a ser superados através de várias técnicas, tais como a utilização de DS-SMF (dispersion-shifted single-mode fibers), a gestão da dispersão (dispersion management) através do uso de DCF s (dispersion-compensating fibers) e a utilização combinada de transmissão controlada de solitões com a gestão da dispersão. A utilização de de lasers semicondutores e de fibras dopadas com novos tipos de iões como forma de amplificação óptica na segunda janela não tem produzido resultados satisfatórios, ao contrário do que sucede com a amplificação óptica baseada em EDFA s. Uma EDFA é uma fibra óptica dopada com iões de érbio que regista o seu funcionamento na terceira janela em torno dos 55nm. Estes iões exibem um decaimento radiativo em que o tempo de vida do estado excitado pelo bombeamento é sufucientemente longo. A potência inserida é máxima no momento do bombeamento, diminuindo ao longo do tempo e distribuindo-se progressivamente pelos canais presentes, introduzindo ganho na fibra através da amplificação originada nos mesmos. Esta acção é protagonizada por um laser que excita iões para níveis de energia superiores. Para analisar o processo de amplificação óptica numa EDFA vai-se começar por considerar o sistema laser da Fig. 4.. Este sistema é constituido por três níveis de energia de iões de érbio que dopam a fibra óptica. Ao nível de energia E m (com m 3 ) corresponde a densidade populacional (m 3 ) N m de iões de érbio. Esta amplificação é conseguida através da introdução de potência de bombeamento proporcionado por um laser que irá transmitir energia aos iões de érbio. O aumento dessa energia fará com que os iões sejam forçados a transitar entre os níveis de energia, atingindo inversões ao nível da população e consequente ganho do sistema. Figura 4.: Amplificação laser de três níveis. As setas a cheio indicam transições induzidas (excepto R 3 que representa o bombeamento). As setas a tracejado indicam transições espontâneas (isto é, decaimento da população).[7] 68 Consideremos o processo de amplificação óptica numa EDFA. O sistema possui três níveis de energia onde estão localizados os iões de érbio que irão dopar a fibra óptica.

91 Numa situação de equilíbrio termodinâmico teriamos N 3 < N < N, uma vez que E 3 > E > E. De facto, de acordo com a estatística de Maxwell-Boltzmann, tem-se [7] N E E N = exp. kt B /, (4.) N N 3 E3 E = exp. kt B /, (4.) Para que a fibra se comporte como um meio activo (isto é, com ganho), é necessário que ocorra uma inversão da população entre os níveis E e E, ou seja, entre o nível de energia mais baixo (banda de valência) e os mais altos, Ni+ > Ni, de modo a facilitar a queda de electrões, ou seja, a emissão de luz. Mas, para que haja uma inversão da população, é preciso que, através de um processo de bombeamento, os iões do nível passem para o nível. Porém, este processo faz intervir, em geral, o nível 3. Como, no entanto, este nível pode ser considerado instável, os iões rapidamente decaem para o nível. Por isso podemos designar o nível como metaestável. Na Fig. 4. os processos de decaimento estão representados por setas a tracejado. O bombeamento é representado por uma taxa R 3, sendo que a emissão estimulada, por sua vez, está representada pelas taxas R 3 e W e a taxa de absorção corresponde a W. É de referir que todas estas taxas têm unidades s. Os processos de decaimento podem ser radiativos ou não-radiativos. Os tempos de vida que correspondem à emissão espontânea são η,η 3 e η 3. Os tempos de vida que correspondem a transições não-radiativas estão representados por η e η 3. É possível desprezar todos os processos de decaimento, à excepção da emissão espontânea caracterizada pelo tempo de vida η. Assim, na prática, o nível 3 tem uma densidade populacional nula devido à sua instabilidade (isto é, N 3 = ). A densidade populacional total será então: ρ= N +N (4.3) Podemos então analisar o sistema laser da Fig. 4. em termos do modelo simplificado da Fig. 4.. Figura 4.: Modelo simplificado do sistema laser de uma EDFA. O bombeamento ocorre para λ = λ p e encontra-se representado pela taxa W ( λ p ). A emissão estimulada de interesse ocorre para λ = λ s e encontra-se representada pela taxa W (λ s ).[7] No modelo da Fig. 4. o sinal tem o comprimento de onda λ s enquanto que o bombeamento (pumping) tem o comprimento de onda λ p. 69

92 Os dois comprimentos de onda mais comuns para o bombeamento numa EDFA são.98μm e.48μm. Relativamente ao sinal, o pico de amplificação ocorre na vizinhança de.53μm. Note-se que, em relação à Fig. 4., a taxa W (λ p ) deverá ser nula no caso em que λ p =.98μm. Nornalmente, porém, não existe apenas um canal a ser amplificado mas sim um sinal WDM, em que cada sinal tem um comprimento de onda próprio. Devido a este facto designa-se genericamente o comprimento de onda dos vários sinais por λ k, com k m e faz-se λ λ p. Existem portanto m (k) (k) sinais WDM para amplificar. Desta forma é necessário fazer intervir coeficientes W e W para cada comprimento de onda λ = λ k (incluindo o bombeamento para k = ). O bombeamento, numa EDFA, pode ser de dois tipos: unidireccional (copropagante ou contrapropagante) ou bidireccional (copropagante e contrapropagante simultaneamente) Ganho O ganho obtido em cada comprimento de onda não é uniforme, pelo que o espectro do mesmo é a característica mais importante de uma EDFA, característica essa que irá determinar o nível de amplificação de cada canal quando um sinal WDM recebe uma injecção de potência. Se o ganho depende da população de electrões no sistema, então consegue-se prever que o mesmo irá variar conforme a distribuição de electrões pela fibra. Vamos designar P k como a potência transportada na EDFA para o comprimento de onda λ k (com k m). No caso de existir apenas um canal (m=) será P = P p para λ = λ p e P = P s para λ = λ s. Para sistemas WDM tem-se m > mas ainda com λ = λ p e P = P p. Para determinarmos a amplificação num dado ponto da fibra, temos que conhecer a priori a concentração total de iões de érbio, ρ(r), nesse ponto específico. Sendo a o raio do núcleo da fibra óptica, representa-se por a o raio efectivo da concentração de iões de érbio, isto é r, r a, r a (4.4) em que r = x + y e onde, de acordo com a Eq. (4.3), ρ representa a concentração total de iões de érbio. Assim, a área transversal dessa concentração será A = π a (4.5) Então, designando por Φ k (com [Φ k ] = m s ) a densidade do fluxo de fotões correspondente ao feixe k, o fluxo total de fotões será Q k (com [Q k ] = s ) tal que Q k = A Φ k (4.6) 7

93 Nestas condições, a potência P k do feixe k será P k =(h f k ) Q k (4.7) em que f k = c / λ k é a frequência correspondente a λ k e h é a constante de Planck. Comecemos por notar que, num comprimento elementar dz, o aumento dφ k da densidade do fluxo de fotões para o feixe k é dado por: dφ k = [R st (k) - R ab (k) ]dz = { W (k) N - W (k) N } dz (4.8) onde R st (k) = W (k) N é a taxa de emissão e R ab (k) = W (k) N a taxa de absorção. No caso das EDFA s é necessário introduzir uma secção eficaz ζ ek de emissão diferente da secção eficaz ζ ak de absorção ambos definidos para o feixe k. Então, sendo Γ k o factor de confinamento óptico do feixe k, tem-se: (k) W = Γ k σ ek Φ (4.9) k, W (k) = Γ k σ ak Φ k, (4.) em que A = Γ k A k (4.) e onde A k é a área efectiva do feixe k, com A k = π a k (4.) O factor de confinamento óptico Γ k é, de acordo com uma aproximação gaussiana, Γ k = exp [ ] exp [ R ( f k ) a ] r ( f k ) (4.3) r () v a.5 6 (.65.69v.879 v ) (4.4) Em que, com k = / c = πf / c, a frequência normalizada v é dada por v = k a n n (4.5) 7

94 sendo n (resp, n ) o índice de refracção do núcleo (resp., da bainha) da fibra óptica. Note-se que, em geral, a k r ( f k ). Só quando a k << r ( f k ) é que se pode escrever Γ k a / r (f k ) e, então, a k r ( f k ). Assim, das Eqs. (4.8), (4.9) e (4.) tira-se que d k = (4.6) dz onde g k é o coeficiente de ganho do feixe k (com [g k ] = m ) tal que g k = Γ k ( σ ek N - σ ak N ) (4.7) Note-se que, se se atender às Eqs. (4.6) e (4.7), se pode escrever ainda dq k dz = gq (4.8) k k e dp k dz = (4.9) É usual definir-se, ainda, o coeficiente ε k como ek ε k = ak (4.) Com esta definição o coeficiente de ganho, introduzido na Eq. (4.7), pode ser escrito na forma g k = Γ k σ ak ( εk N - N ) (4.) Em regime linear (sinais fracos) o coeficiente de ganho não depende da potência e, consequentemente, da coordenada z. Então, da Eq. (4.9), vem P k (z) = P k () exp (g k z). (4.) Sendo L o comprimento da EDFA, define-se o ganho do amplificador para o feixe k como sendo G k = P ( L) k P () k (4.3) 7

95 Assim, em regime linear, tem-se G k = exp (g k L) (4.4) Note-se que, em geral, não é possível escrever a Eq. (4.4) uma vez que se pretende uma amplificação razoável o que implica o funcionamento em regime não-linear. De acordo com a Eq. (4.) a fibra comporta-se como um meio activo desde que εk N > N. Quando εk N = N a fibra comporta-se como um meio transparente. Finalmente, quando εk N < N a fibra introduz atenuação em vez de ganho. Para se conhecer a evolução da potência ao longo da EDFA há que resolver, por exemplo, a Eq.(4.8). Porém, é necessário determinar primeiro a forma como as densidades populacionais N e N dependem dos vários sinais (incluindo o bombeamento). Consideremos, de novo, o esquema simplificado da Fig. 4.. Num amplificador laser comum a inversão da população corresponde a ter-se N > N. Numa EDFA, porém, dado que a secção eficaz de emissão difere da secção eficaz de absorção, é necessário redefinir a inversão da população. Com efeito, só ocorrerá amplificação desde que g k >. Pelo que, de acordo com a Eq. (4.), se define o coeficiente D k de inversão da população numa EDFA como segue: D k = N N k = (+ ) k N (4.5) Existirá amplificação desde que escreve, de acordo com a Eq. (4.), na forma D k >. Com esta definição o coeficiente de ganho ainda se g k = α k D k (4.6) onde se introduziu o coeficiente de absorção α k tal que α k = Γ k a k (4.7) Se se introduzir, ainda, o coeficiente de emissão γ k tal que γ k = Γ k σ ek = ε k α k (4.8) o coeficiente de ganho exprime-se na forma g k = ( α k + γ k ) N α k (4.9) que é adoptada frequentemente na literatura. 73

96 4..3. Modelos para a amplificação de um sinal WDM No caso dos sistemas em regime não-linear é necessário prever de que forma a densidade populacional N, irá influenciar o fluxo de fotões Q k, associada ao feixe k com o comprimento de onda λ k. Vai-se então definir a equação de transição para o nível. De acordo com o modelo simplificado da Fig. 4., tem-se dn dt = W N W N N, (4.3) onde se subentendeu que[7] ( k ) W = W, (4.3) k ( k ) W = W, k (4.3) Na ausência de transições induzidas e de bombeamento, seria apenas dn = N dt (4.33) cuja solução mostra o decaimento da população do nível. De facto, N (t) = N ()exp( t ), (4.34) onde é o tempo de vida da emissão espontânea. No regime estacionário tem-se dn / dt =. Pelo que, da Eq. (4.3), vem N = (W N W N ) (4.35) Então, se se atender às Eqs. (4.9) e (4.), vem ainda N = k ( ek N a k N) Qk, (4.36) A k 74

97 Assim, tendo em consideração as Eqs. (4.7) e (4.8), infere-se que N = dqk. (4.37) A dz k Esta equação permite conhecer de que forma a população N depende dos vários feixes k. Note-se que apenas se considera o caso do bombeamento unidireccional co-propagante. Agora, substituindo a Eq. (4.37) na Eq. (4.9), obtém-se g k = k dq Q dz j sat k j (4.38) onde se introduziu o fluxo de saturação sat Q k, dado por sat s Q k = α k k (4.39) e em que s é o parâmetro de saturação A s =. (4.4) Deste modo, substituindo a Eq. (4.38) na Eq. (4.8), tira-se que dqk Q = { k k sat Q k dq j } dz. j dz (4.4) Logo, integrando esta última equação entre z = e z = L, resulta Q k (L)= Q k () exp{ Q Q L in out k sat Qk } (4.4) onde se fez Q Q () in k k (4.43) Q out Qk ( L) (4.44) k Somando a Eq. (4.4) em k, obtém-se ainda Q out = Qk () exp{ L k k Q Q in out sat Qk } (4.45) 75

98 As Eqs. (4.4) e (4.45) são, frequentemente, apresentadas numa forma diferente. Com efeito, de acordo com a Eq. (4.39), estas duas equações podem ser reescritas na forma alternativa Q k (L)= Q k ()exp, L k k k s Qin Qout ) - (4.46) Q out = Qk () exp, L k k k k s Qin Qout ) - (4.47) As Eqs. (4.46) e (4.47) constituem um modelo analítico para a amplificação de sinais WDM em EDFA s. Com efeito, conhecendo Q k () para k =,,,m é possível resolver a Eq. (4.47) em ordem a Q out. Então, substituindo Q out assim obtido na Eq. (4.46), determinam-se todos os Q k (L) a partir das entradas Q k (). Esta é uma solução elegante que evita a resolução numérica do sistema de equações diferenciais acopladas da Eq. (4.4), isto é dq k dz { k dqj } Q k. Q dz sat k j (4.48) As Eqs. (4.48) podem ser apresentadas numa forma normalizada. Introduzindo, de acordo com a Eq. (4.39), a potência de saturação p k = Q Q = pk P k sat k sat k (4.49) Note-se, agora, que se pode escrever W = k p k k (4.5) W = k p k k k (4.5) de acordo com as Eqs. (4.9) e (4.). Por outro lado, se se substituir N por N na equação (4.35), obtém-se N = W ( W W ), (4.5) Logo, das Eqs. (4.5), (4.5) e (4.5), vem pk N = k k p k k. (4.53) 76

99 forma Agora, atendendo à Eq. (4.5), pode-se escrever o coeficiente de inversão da população D k, na D k = p ( k j p j ) (4.54) j j jk j Assim, de acordo com a Eq. (4.6), vem finalmente dp k dz = (4.55) onde g k = k ( jk j p j k j p j ) (4.56) j Consideremos, para concretizar, o caso de um único sinal (além do bombeamento), isto é, em que λ = λ p e λ = λ s. Façamos, ainda, p q e p p. Nestas condições, p = P s sat s P, (4.57) q = P P p sat p, (4.58) obtendo-se então dp dz = α s p pq ( s p p q ) (4.59) dq dz = α q s p q ( p s s p ) (4.6) As Equações (4.59) e (4.6) podem ser resolvidas numericamente a partir das condições iniciais p = p() e q = q(). Apresentaram-se, portanto, dois modelos equivalentes para a amplificação de um sinal WDM. O primeiro modelo consiste nas Eqs. (4.46) e (4.47) e baseia-se na determinação de zeros de equações algébricas transcendentes. O segundo modelo consiste nas Eqs. (4.55) e (4.56) e baseia-se na resolução numérica de sistemas de equações diferenciais ordinárias. 77

100 4..4. Modelo simplificado para uma EDFA com comprimento óptimo Designa-se por comprimento óptimo atinge, para uma dada potência de bombeamento, o seu valor máximo, tal que da EDFA o comprimento para o qual o ganho G s dp dz =. (4.6) Vai-se agora apresentar um modelo simples para resolver o caso particular de uma EDFA com comprimento óptimo e para um único sinal (além do bombeamento). Pretende-se calcular p(z) e q(z), introduzidos nas Eqs. (4.57) e (4.58), sem ter que resolver as Eqs. (4.59) e (4.6), Comecemos por definir os ganhos G s e G p como sendo G s = p L p, (4.6) G p = q L q, (4.63) onde p L = p(l) e q L = q(l). Então, de acordo com a Eq. (4.4), vem ln G s = s L+ p ( G s )+ q G p ) Q Q sat p sat s, (4.64) ln G p = p L+ q ( G p )+ p G s) Q Q sat s sat p, (4.65) logo, resolvendo estas equações em ordem a L e igualando, obtém-se [ ln G s+u s (G s ) p ] = s [ ln G p U p (G p ) q p (4.66) 78

101 onde se incluiriam os coeficientes U s = U p = s s s p p p (4.67) (4.68) em que s e p são parâmetros relacionados com o sinal e o bombeamento (pumping). Com efeito, tem-se Q Q sat p sat s p p = s s p = s p s p = s U U s p (4.69) A Eq. (4.66) permite relacionar G s com G p através das condições iniciais p e q. Note-se, porém, que G s e G p não podem variar arbitrariamente: uma vez fixadas as condições iniciais os ganhos ficam univocamente estabelecidos. Assim, da Eq. (4.59), tira-se que q L = s p p = U p (4.7) Como q L >, deverá ter-se s > p, pelo que U s > e U p >. Nestas condições, infere-se que G p = U q p (4.7) Logo, substituindo esta última expressão na Eq. (4.66), obtém-se [ ln G s + U s (G s ) p = s (U p q lnu p ln q ) p (4.7) Esta equação permite calcular o ganho G s com base nas condições iniciais, desde que a EDFA tenha um comprimento óptimo. Para calcular L opt basta resolver a Eq. (4.7) em ordem a G s e ter a Eq. (4.64) em consideração. Vem então, de acordo com a Eq. (4.7), L opt = U p s ( q [ ln G s + (G s ) p (4.73) s 79

102 Saliente-se, mais uma vez, que esta última equação não pode ser considerada separadamente: só depois de conhecer o valor apropriado de G s, através da resolução da Eq. (4.7) é que se pode calcular o comprimento óptimo pela Eq. (4.73) Isto significa que, a um dado par de condições iniciais ( p q corresponde um (e apenas um) comprimento óptimo L opt para valores fixados dos coeficientes. No caso geral, em que o comprimento da EDFA é conhecido sem ser óptimo, é necessário resolver simultaneamente as Eqs. (4.64) e (4.65). L * s s G p ( G )+ s U [ q ( G p ) U p L p s p ] (4.74) L * p p G q ( G )+ p U L [ p ( G s ) s U s p L ] (4.75) s As Eqs. (4.74) e (4.75) podem então ser resolvidas em ordem a G s e G p a partir das condições iniciais ( p q e conhecidos os parâmetros bem como os produtos Caracterização espectral Como vimos anteriormente, as EDFA s são fibras amplificadoras que através da sua utilização proporcionam ganho no sistema. Contudo e contrariamente ao desejável, o ganho alcançado não é constante ou linear, tal como demonstra a figura 4.3, o que dificulta a sua análise e o dimensionamento da EDFA. Figura 4.3: Evolução do coeficiente de ganho g k em função de z e ω. 8

103 No gráfico em cima podemos observar como o ganho varia ao longo da amplificação, influenciado pela potência de bombeamento e pelo respectivo comprimento de onda representado pelo coeficiente de ganho g k, em que g k (ω k ), ω k = πf k = πc/ λ k. Da figura 4.3 podemos ainda concluir que o ganho da EDFA sofre a sua maior variação (cores quentes) na região compreendida entre os 5nm e os 58nm. Nas restantes, o ganho tem pequenas variações ao longo da amplificação. Um dos aspectos fundamentais de uma EDFA é a sua caracterização espectral. O coeficiente de c ganho g k pode ser entendido como g k =g(ω k ), tendo-se ω k = π f k =π. A Eq. (4.9) pode ser escrita, λk mais geralmente, na forma g(z,ω) = [ (ω) + (ω) ] N ( z) (ω) (4.76) em que, de acordo com a Eq. (4.53), se tem N ( z) k pk ( z) p ( z) k k k, (4.77) com (ω k ) e onde, para um sinal WDM, k =,,,m tal como se viu anteriormente. Só se a EDFA fosse espectralmente uniforme (isto é, tivesse um ganho plano) é que se poderia omitir a dependência com ω na Eq. (4.76). Note-se que, mesmo no caso de se pretender amplificar apenas um sinal, a caracterização espectral é importante dado que se tem. A dependência, nas Eqs. (4.76) e (4.77), com a coordenada longitudinal z advém da amplificação do sinal à custa da atenuação progressiva do bombeamento (caso do bombeamento unidireccional copropagante). Notando que a Eq. (4.55) se pode escrever, com generalidade, na forma dp( z, ) pz (, ) = g(z,ω)dz, (4.78) obtém-se, depois de integrar entre z = e z = L, a relação p(l,ω) = p(,ω) exp { g( z, ) dz }. L (4.79) Assim, definindo o ganho da EDFA como G( ) = pl (, ) p(, ), (4.8) 8

104 Ganho [db] infere-se que G( ) = exp { g( z, ) dz } L (4.8) A figura 4.4 mostra-nos a evolução do ganho para uma fibra de comprimento L ao longo da variação do comprimento de onda. Este resultado é obtido através da resolução das equações (4.8) e (4.8) que nos permite obter o perfil espectral do ganho para o intervalo de comprimentos de onda entre.48μm < λ <.6μm. Ganho do amplificador dependendo do comprimento de onda num cumprimento L[m] Comprimento de onda [m] x -6 Figura 4.4: Perfil espectral do ganho [db] vs. Comprimento de onda [m] Da observação à Figura 4.4 podemos verificar que o ganho atinge o seu máximo aproximadamente para λ = 56nm. De um modo geral o ganho cresce à medida que vamos progredindo positivamente no comprimento de onda até se atingir o seu pico, excepto na zona compreendida entre os 53nm e 54nm em que este se mantém. Este pequeno troço estável é coincidente com uma região em que o coeficiente de ganho se reduz fortemente na segunda metade da fibra, facto que pode ser visto na figura 4.3. Após atingido o pico máximo (referido anteriormente,em λ = 56nm) o ganho decresce progressivamente nos restantes comprimentos de onda. De acordo com as Eqs. (4.7) e (4.8), tem-se (ω) = Γ(ω) σ a (ω) (4.8) (ω) = Γ(ω) σ e (ω) (4.83) 8

105 ou ainda (ω) = (ω) (ω) (4.84) desde que se faça (ω) = e a ( ) σ ( ) (4.85) atendendo à Eq. (4.). O factor de confinamento óptico Γ(ω) é, em conformidade com a Eq.(4.3), dado por Γ(ω) = exp[ a r ( ) ] (4.86) σ a Assim, para a caracterização espectral de G(ω), há que conhecer as secções eficazes de transição e σ e que aparecem nas Eqs. (4.8) e (4.83). Convém, antes de mais, referir que σ mostra-se que a e σ e( ) se podem relacionar entre si. Com efeito, a σ f = ( f ) e max h ( f fmx a ) exp { }, kt B (4.87) onde h é a constante de Planck, a constante de Boltzmann, T a temperatura absoluta, f max a frequência em que é máxima e onde σ max. σ max e max a (4.88) A caracterização espectral da EDFA, é definida com base nas secções eficazes de emissão absorção. e Considera-se usualmente a temperatura T = 3K. Assim, basta conhecer para calcular A forma mais correcta de calcular é basear esse cálculo em resultados experimentais. Frequentemente esses resultados experimentais são aproximados por uma síntese numérica baseada na soma de gaussianas, tal que σ e λ σ max e I( ), (4.89) 83

106 em que I(λ) ( λ λ j ) a j exp { 4ln } j Δλ j (4.9) A tabela seguinte caracteriza a EDFA para j = 8 pontos diferentes da fibra em comprimentos de onda específicos no intervalo 47nm < < 6nm. j= j= j=3 j=4 j=5 j=6 j=7 j= [nm] [nm] Tabela : Valores dos parâmetros das gaussianas para o cálculo da secção eficaz de emissão numa EDFA codopada com Ge Al 3 Si Então, daqui torna-se simples obter o valor de emissão, com base no seu valor máximo, σ max e = 4.4 X 5 m. e consequentemente da secção eficaz de Tendo em conta as equações (4.87) e (4.88) vemos que a secção eficaz de absorção deriva do valor calculado para a homónima de emissão. Outros valores numéricos que caracterizam a EDFA em estudo: Comprimento de onda máximo: Relação entre índices de refracção da fibra óptica: Temperatura absoluta: max = 53nm max =.9 T = 3K Constante de Plank: h = X 34 Constante de Boltzmann: k B =.383 X 3 84

107 Secção eficaz [m] As secções eficazes de emissão e de emissão encontram-se representadas na figura 4.5 x -5 5 Secções eficazes a Absorção e Emissão Comprimento de onda [m] x -6 Figura 4.5: Secções eficazes EDFA: Emissão e Absorção Deste gráfico podemos aferir que a EDFA, dependendo do comprimento de onda específico poderá ter mais absorções que emissões ou vice-versa. Para o exemplo considerado, temos mais absorções de luz do que emissões até um comprimento de onda próximo de λ=53nm. A partir desse ponto, as emissões passam a dominar o sistema produzindo mais luz e, consequentemente, mais ganho. Este facto contrasta com a figura 4.4 onde o ganho é positivo, em db, apenas quando ultrapassamos.53μm. Podemos então verificar que esta figura nos mostra a influência decisiva das secções de emissão e absorção no ganho das EDFA s. Agora que sabemos a forma do ganho da EDFA e o comprimento óptimo, obtido para um sinal de emissão a 55nm, vamos representar graficamente a potência de saída para um sinal WDM de quatro canais. Os quatro canais estão centrados em 54, 55, 56 e 57nm numa EDFA com comprimento L=L opt =3.667m. Para a simulação, realizada com suporte do programa MATLAB, foi considerada a mesma potência de entrada nos quatro canais P in = 5μW e a potência de bombeamento de P p = mw para o comprimento de onda λ=48nm. 85

108 Potência [W] A potência de saída é obtida usando a equação (4.55), obtendo o seguinte resultado: x Bombeamento.54 m.55 m.56 m.57 m Comprimento [m] Figura 4.6: Evolução da potência de saída para um sinal WDM ao longo do comprimento da amplificação Na figura 4.6 os quatro canais WDM representados a diferentes cores produzem potências de saída diferentes apesar de idênticas potências de entrada. Este facto deve-se à variação de ganho que ocorre em diferentes comprimentos de onda para a mesma EDFA, como anteriormente observado e verificado na figura 4.3. Podemos verificar que a potência do bombeamento diminui gradualmente ao longo do comprimento e que as potências dos quatro canais sobem até um máximo, específico e diferente para cada canal, passando depois ao seu decaimento. Este facto pode ser interpretado como o fornecimento de potência pelo bombeamento inicial ao sistema WDM distribuindo-a por cada um dos quatro canais. Em coerência com o anunciado atrás, que o ganho atingia o seu valor máximo para λ=56nm (figura 4.4), podemos verificar que é no canal centrado nesse comprimento de onda que se alcança maior potência de saída. Na mesma figura verificamos que o ganho obtido nos comprimentos de onda λ=54nm e λ=57nm é semelhante, provocando resultados idênticos na potência de saída desses canais. Para λ=55nm o ganho é intermédio em relação aos valores analisados para os outros canais, sendo expectável que a potência de saída produza também um valor intermédio, situado entre as potências que foram obtidas para os outros canais. De referir ainda que adoptámos para o sinal WDM de quatro canais o comprimento óptimo L opt determinado anteriormente para um só canal. Esta consideração faz com que a distribuição de população nos níveis seja diferente da usada no comprimento óptimo real. Assim, os resultados em termos de ganho são ligeiramente diferentes, mas consistentes com a solução real. 86

109 4..6. Ruído devido à emissão espontânea (ASE) Um dos aspectos negativos das EDFA s é a existência de ruído devido à emissão espontânea. Este tipo de ruído foi, até agora, ignorado. Pretende-se, nesta secção, entrar em linha de conta com o ruído proveniente da ASE (amplified spontaneous emission). O coeficiente de ganho g pode ser escrito, de acordo com a Eq. (4.7), na forma g(z) = a(z) b(z), (4.9) desde que se faça z N a e (z), an b z (z), (4.9) (4.93) Designando o número médio de fotões ao longo do amplificador, poderá escrever-se = g(z) (4.94) à semelhança, e.g., da Eq. (4.8). Só que, na Eq. (4.94), se ignorou a existência de fotões provenientes da emissão espontânea. Quando não se ignora a ASE, deve escrever-se em vez da Eq. (4.94) a equação alternativa = a(z) b(z) (4.95) de acordo com a Eq. (4.9). Com efeito, o coeficiente a = a(z) de emissão actua não só sobre o número de fotões através da emissão estimulada, mas também sobre a emissão espontânea emitindo um número l de fotões. O coeficiente b = b(z) de absorção, tal como a emissão estimulada, actua sobre o número de fotões. Note-se que, apenas no caso de uma EDFA em regime monomodal estrito, é que l = ; quando não se faz distinção entre as duas polarizações ortogonais do modo fundamental, tem-se l =. Apenas quando se despreza a emissão espontânea é que l = e a Eq. (4.95) reduz-se à Eq. (4.94). Trata-se, então, de integrar a Eq. (4.95) tendo em consideração que, de acordo com as Eqs. (4.9) e (4.93), tanto a como b são funções de z. Comecemos por notar que o ganho da EDFA pode ser escrito na forma z G(z) = exp { [a ζ b(ζ)] dζ } (4.96) se se atender à Eq. (4.94) e tal como já se tinha feito na Eq. (4.95). 87

110 Se se fizer u n e P(z) = b(z) a(z), Q(z) = l a(z), (4.97) (4.98) a Eq. (4.95) pode ser escrita na forma canónica du dz + P(z) u = Q(z), (4.99) Mas, por outro lado, como pela Eq. (4.96) d dz [ Gz ( ) ]= Pz ( ) Gz ( ), (4.) tem-se d dz [ uz ( ) Gz ( ) ]= du G( z) dz + Pz ( ) u z Gz (). (4.) Ora, se se multiplicar ambos os termos da Eq. (4.99) por /G(z), obtém-se du G( z) dz + Pz ( ) Gz ( ) u = Qz ( ) Gz ( ). (4.) Logo, das Eqs. (4.) e (4.), resulta d dz [ uz ( ) Gz ( ) ]= Qz ( ) Gz ( ). (4.3) Assim, integrando esta última equação, vem G(z) = z (ζ) Q d ζ c, G(ζ) (4.4) onde c é uma constante de integração. Facilmente se verifica que c = u() pois G() =. Daqui se infere que = G(z) + l N(z) (4.5) onde se introduziu a(ζ) N(z) = G( z) dζ G(ζ) z (4.6) 88

111 Quando se despreza a emissão espontânea, temos l = e N(z) não contribui de acordo com a Eq. (4.5) para o cálculo de. Isto significa que N(z) deve ser identificado com o ruído introduzido pela ASE. Com efeito, na ausência deste termo, a Eq. (4.5) afirma que o número de fotões à saída é igual ao número de fotões à entrada multiplicados pelo ganho do amplificador, isto é, N(z) corresponde ao número médio de fotões gerados pela ASE no troço z. Quando se considera que os coeficientes a e b são constantes, resulta da Eq. (4.96) que G(z) = exp[(a b)z]. (4.7) Então, nestas condições, tira-se da Eq. (4.6) que N(z) = a a b [ Gz ]. (4.8) Portanto, a potência média do ruído provocado pela ASE será, nestas circunstâncias, lnsp hf (G ) Δf (4.9) para a largura de banda Δf e onde se fez a ηn nsp a b ηn N (4.) Dado que. Ao coeficiente n sp dá-se o nome de factor da emissão espontânea. No caso geral em que os coeficientes a e b variam com a coordenada longitudinal z, a Eq. (4.9) continua a ser válida desde que se faça N( z) n [ G z ] sp (4.) tal como na Eq. (4.8) de acordo com a Eq. (4.). De onde, em geral, tem-se z Gz ( ) a(ζ) nsp z d G z (4.) G(ζ) As Eqs. (4.8) e (4.) têm um significado importante: para valores elevados do ganho da EDFA (isto é, para G >> ), o valor médio de fotões gerados pela ASE corresponde à amplificação de n sp fotões. Assim, n sp representa um ruído equivalente à entrada. 89

112 Quando se verifica uma total inversão da população tem-se N = e N = ρ. Então, de acordo com a Eq. (4.), tem-se n sp =. Nestas condições, a potência média de ruído, atendendo à Eq. (4.9) e para l =, será P N hf (G ) Δf (4.3) Conclui-se, deste modo, que o ruído associado à ASE é mínimo quando se verifica uma total inversão de população. No caso geral em que n sp = n sp (z) define-se um factor de ruído equivalente à entrada como sendo n eq (z)= N( z) G z (4.4) Logo, de acordo com as Eqs. (4.) e (4.), tem-se n eq (z)= z a(ζ) dζ. G(ζ) (4.5) Portanto, atendendo às Eqs. (4.5) e (4.5), o ruído provocado pela ASE será N l = n eg G l. Define-se o factor de ruído F n da EDFA como o quociente entre a relação sinal-ruído à entrada e a relação sinal-ruído à saída. Mostra-se que, na generalidade dos casos, se tem F n (z)= N( z), G z (4.6) De onde, pelas Eqs. (4.4) e (4.6), vem F n (z) n eq (z) Gz ( ), (4.7) Note-se que, para G >>, se tem n eq n sp, de acordo com as Eqs. (4.) e (4.5). Pelo que, nessas circunstâncias, F n n sp. Assim, mesmo no caso de total inversão da população, o valor mínimo do factor de ruído é F n Amplificadores de Raman Dispersão de Raman A dispersão espontânea de Raman (SRS) ocorre em fibras ópticas quando um feixe de bombeamento é disperso pelas moléculas de sílica. Alguns fotões de bombeamento libertam a sua energia 9

113 originando outros fotões de menor energia com uma frequência igualmente menor, sendo a energia restante absorvida pelas moleculas de silica, que acabam num estado vibracional excitado. Uma diferença importante relativamente à dispersão de Brillouin é que os níveis de energia de vibração de sílica ditam o valor do deslocamento de Raman Ω R = ω p -ω s. Como não está envolvida uma onda acústica, a dispersão espontânea de Raman é um processo isotrópico e ocorre em todas as direcções. O processo de dispersão de Raman torna-se estimulado se a potência de bombeamento exceder um valor de limiar. A SRS pode ocorrer em fibras ópticas em ambas as direcções, propagante e contrapropagante. Fisicamente falando, a bomba dispersa a luz nestas duas direcções, criando uma componente de frequência na frequência de batimento ω p - ω s, que actua como uma fonte que provoca oscilações moleculares. Uma vez que a amplitude da onda dispersa aumenta em resposta a estas oscilações, surge um ciclo de realimentação positiva. No caso de SRS na direcção propagante, o processo de realimentação é controlado pelo conjunto destas duas equações[]: di p dz = g R I p I s I p (4.8) di s dz = g R I p I s I s (4.9) onde g R é o ganho SRS. No caso de SRS na direcção contra-propagante, adiciona-se um sinal menos à esquerda na equação 4.9 e este conjunto de equações torna-se idêntico ao caso de SBS. O espectro do ganho de Raman depende do tempo de decaimento associado com o estado excitado vibracional. No caso de um gás molecular ou líquido, o tempo de decaimento é relativamente longo (~ ns), resultando numa largura de banda de ganho-raman de ~ GHz. No caso das fibras ópticas, a largura de banda excede THz. A potência de limiar P th é definida como a potência incidente na qual metade da potência de bombeamento é transferida para o campo de Stokes na extremidade de saída de uma fibra de comprimento L. É estimada a partir de g R P th L eff / A eff 6 (4.) onde g R é o valor de pico do ganho de Raman. Como se verá adiante, L eff pode ser aproximada por / α. Se substituirmos A eff por πw, onde w é o tamanho do local, a P th para SRS é dada por P th 6 α (πw ) / g R (4.) Se usarmos πw = 5 μm e α =, db / km, como valores representativos, a P th é cerca de 57 mw perto de,55 μm. É importante enfatizar que a equação 4. fornece uma estimativa da ordem de magnitude pois na sua determinação foram usadas várias aproximações de valores. Como as potências de canal em sistemas de comunicações ópticas são tipicamente inferiores a mw, o SRS não será um 9

114 factor limitativo para sistemas Lightwave com um único canal. No entanto, isso afecta consideravelmente o desempenho de sistemas WDM. O SRS pode ser usado com vantagem durante a concepção de sistemas de comunicação óptica porque pode amplificar um sinal óptico mediante a transferência de energia para esses sistemas através de um feixe de bombeamento, cujo comprimento de onda é convenientemente escolhido. O SRS é especialmente útil devido à sua largura de banda extremamente grande. Na verdade, o ganho de Raman é usada usualmente para compensar as perdas de fibra em sistemas lightwave modernos. Um amplificador de fibra óptica de Raman usa dispersão estimulada de Raman (stimulated Raman scattering SRS) que ocorre em fibras de sílica quando nelas se propaga um feixe intenso de bombeamento. O SRS difere da emissão estimulada num aspecto fundamental: enquanto que no caso da emissão estimulada um fotão incidente estimula a emissão de outro fotão idêntico sem perder a sua energia, no caso do SRS, o fotão incidente bombeado fornece a sua energia para criar outro fotão de reduzida energia numa frequência mais baixa (dispersão inelástica), sendo que a energia restante é absorvida pelo meio sob a forma de vibrações moleculares (fonões ópticos). Assim, os amplificadores de Raman têm de ser bombeados opticamente para proporcionar ganho. A Figura 4.7 mostra como uma fibra pode ser usada como um amplificador de Raman. O feixe de bombeamento e o feixe de sinal situados nas frequências ω p e ω s são injectados na fibra através de um acoplador de fibra. A energia é transferida a partir do feixe de bomba para o feixe de sinal através de SRS à medida que os dois feixes se co-propagam no interior da fibra. Os feixes de bomba e de sinal contra-propagam-se na configuração backward-pumping, que é usualmente utilizada na prática. Figura 4.7: Esquema de uma fibra baseada em amplificadores de Raman com configuração forwardpumping[] Ganho e largura de banda de Raman A natureza de banda larga e múltiplos picos do espectro é devida à natureza amorfa do vidro. Mais especificamente, os níveis de energia vibracional das moléculas de sílica fundem-se para formar uma banda. Como resultado, a frequência de Stokes ω s pode diferir da frequência de bombeamento ω p ao longo de um grande intervalo. O ganho máximo ocorre quando o deslocamento de Raman Ω R ω p -ω s é cerca de 3 THz. Outro pico bastante forte ocorre perto de 5 THz enquanto os menores picos persistem para valores de Ω R que se extendem até 35 THz. O valor de pico do ganho de Raman g R é de cerca de 9

115 -3 m/w para um comprimento de onda de μm. Este valor varia linearmente com ω p (ou inversamente com o comprimento de onda λ p da bomba), resultando em g R 6-3 m / W em,55 μm. O espectro do ganho de Raman nas fibras de sílica é mostrado na Figura 4.8. Figura 4.8: a) Espectro do ganho de Raman de silica fundida para λ p = μm. b) Participação dos niveis de energia no processo SRS. A sua natureza de banda larga é uma consequência da natureza amorfa do vidro. O coeficiente do ganho de g R está relacionado com o ganho óptico g(z), com g = g R I p (z), onde I p é a intensidade da bombeamento. Em termos da potência de bombeamento P p, o ganho pode ser escrito como g(ω) = g R (ω) (P p / a p ) (4.) onde a p é a área da secção transversal do feixe de bombeamento no interior da fibra. Uma vez que a p pode variar consideravelmente para diferentes tipos de fibras, o rácio g R / a p é uma medida da eficiência do ganho de Raman. Esta relação está representada na Fig. 4.9 para três diferentes fibras. Uma fibra compensadora de dispersão (DCF) pode ser 8 vezes mais eficiente que uma fibra de sílica padrão (SMF) devido ao facto do seu núcleo ter um menor diâmetro. A forma como o ganho de Raman depende da frequência é quase a mesma para os três tipos de fibras, como é evidente a partir dos espectros de ganho normalizado mostrados na fig Os picos de ganho situam-se para um deslocamento de Stokes de cerca de 3, THz. A largura de banda de ganho, Δνg, é de cerca de 6 THz se a definirmos como a FWHM do pico dominante na fig Figura 4.9: Espectro do ganho de Raman (racio g R /a p ) para uma fibra standard (SMF), dispersão deslocada (DSF) e fibras compensadoras de dispersão (DCF). Perfis de ganhos normalizados também são mostrados[] 93

116 A grande largura de banda da fibra com amplificadores de Raman torna os amplificadores atractivos para aplicações de comunicações de fibra óptica. No entanto é necessária uma potência de bombeamento relativamente grande para se conseguir obter um factor de amplificação elevado. A potência necessária pode ser reduzida para fibras mais longas, mas nesse caso as perdas na fibra devem ser incluídas Características dos amplificadores É necessário incluir os efeitos das perdas nas fibras devido a um comprimento de fibra longo necessário para amplificadores de Raman. Variações nas potências de bombeamento e de sinal ao longo do comprimento do amplificador, no caso de forward pumping, são dadas pelas equações[] dp s / dz = α s P s + ( g R /a p ) P p P s, (4.3) dp p / dz = α p P p (ω p / ω s ) ( g R /a p ) P s P p, (4.4) onde α s e α p representam as perdas na fibra para as frequências de sinal e de bombeamento, ω s e ω p respectivamente. O factor ω p /ω s resulta das diferentes energias de bombeamento e de sinal dos fotões e desaparece se estas equações forem escritas em termos de números de fotões. Considere-se primeiro o caso de amplificação de pequenos sinais para os quais a deflexão da bomba pode ser negligenciada [o último termo na equação 4.4]. Substituindo P P (z) = P p () exp(-α p z) na equação 4.3, a potência do sinal na saída de um amplificador de comprimento L é dada por P s (L) = P s () exp(g R P L eff / a p α s L), (4.5) onde P = P p () é a potência de bombeamento de entrada e L eff é definido como L eff = [ exp( α p L) ] / α p. (4.6) Devido às perdas na fibra no comprimento de onda de bombeamento, o comprimento efectivo do amplificador é menor que o comprimento real L ; L eff / α p para α p L >>. Uma vez que P s (L) = P s () exp ( α s L ) na ausência de amplificação de Raman, o ganho do amplificador é dado por G A = Ps ( L) = exp(g L) (4.7) P () exp( L) s s onde o ganho de sinal fraco, g, é definido como g o = g r ( P a ) ( eff p LL ) grp ap pl. (4.8) 94

117 A última relação é válida para >>. O factor de amplificação, G A torna-se independente do comprimento para grandes valores de. A Figura 4. mostra as variações de G A com P para vários valores de potências do sinal de entrada de um amplificador de Raman de,3 km de comprimento a operar em,64 μm e bombeado em,7 μm. O factor de amplificação aumenta exponencialmente com P numa fase inicial, mas depois começa a desviar para P > W por causa da saturação de ganho. Os desvios tornam-se maiores à medida que a saturação do ganho ocorrre mais cedo ao longo do comprimento do amplificador. As linhas a cheio na Fig. 4. são obtidas através da resolução numérica das equações 4.3 e 4.4 de modo a incluir a depleção do bombeamento. A origem de saturação de ganho nos amplificadores de Raman é bastante diferente dos SOAs. Uma vez que a bomba fornece energia para a amplificação do sinal, ela começa a esgotar assim que o sinal de potência P s aumenta. Uma diminuição na potência de bombeamento P p reduz o ganho óptico, como visto a partir da equação 4.. Esta redução no ganho é referida como saturação de ganho. Uma expressão aproximada para o ganho amplificado de saturação G s pode ser obtida assumindo = nas equações 4.3 e 4.4. Assim obtém-se: G s = r ( r ) A r G, r = P () p s P () s P. (4.9) A Figura 4. mostra as características de saturação ao traçar-se G s /G A como uma função da G A r para vários valores de G A. O ganho do amplificador é reduzido em 3 db, quando G A r. Esta condição é satisfeita quando a potência do sinal amplificado se torna comparável à potência de bombeamento de entrada, P. Na verdade, P é uma boa medida da potência de saturação. Uma vez que tipicamente P ~ W, a potência de saturação das fibras amplificadoras de Raman é muito maior comparativamente com a dos SOAs. Enquanto as potências de canal típicas num sistema WDM são aproximadamente de mw, os amplificadores de Raman operam no regime não saturado ou linear, e nesse caso a eq. 4.8 pode ser usado no lugar da eq Figura 4.: Variação do ganho do amplificador G com a potência de bombeamento P num amplificador de Raman com,3 km de comprimento para três valores da potência de entrada. As linhas a cheio mostram a previsão teórica.[] 95

118 O ruído em amplificadores de Raman origina-se a partir da dispersão espontânea de Raman. Pode ser incluído na Eq. 4.3 substituindo P s no último termo por P s + P sp, onde P sp = n sp hν s Δν R é a potência espontânea total de Raman sobre toda a largura de banda de ganho de Raman, Δν R. O factor tem em conta os dois sentidos de polarização. O factor n sp (Ω) é igual a [ exp ( ħω s / k B T)] -, onde k B T é a energia térmica à temperatura ambiente (cerca de 5 mev). Em geral, o ruído adicionado é muito menor para os amplificadores de Raman devido à natureza distribuída da amplificação Performance dos amplificadores Conforme visto na fig. 4., os amplificadores de Raman podem fornecer db de ganho para uma potência de bombeamento de cerca de W. Para o melhor desempenho, a diferença de frequência entre os feixes de sinal e de bombeamento deve corresponder ao pico de ganho de Raman na fig. 4.9 (ocorrendo para cerca de 3 THz). Na região perto dos infravermelhos, a fonte de bombeamento mais prática é um laser diodo-bombeado Nd: YAG a operar em,6 μm. Para um laser bombeado deste género, o ganho máximo ocorre para comprimentos de onda de sinal perto de. μm. No entanto, os comprimentos de onda de maior interesse para os sistemas de comunicação de fibra óptica situam-se perto de,3 e,5 μm. Figura 4.: Caracteristicas da saturação de ganho dos amplificadores de Raman para vários valores ganho amplificado não saturado G A [] Um laser Nd:YAG ainda pode ser utilizado se uma linha de ordem superior de Stokes, gerada através de SRS em cascata, for utilizada como uma bomba. Por exemplo, a linha de terceira ordem de Stokes em,4 μm pode agir como uma bomba para amplificar o sinal de,3 μm. Os ganhos do amplificador foram medidos em 984 com esta técnica, chegando a alcançar-se db. Uma aplicação 96

119 inicial dos amplificadores de Raman foi utilizá-los como um pré-amplificador de modo a melhorar a sensibilidade do receptor. A grande largura de banda dos amplificadores de Raman é útil para amplificar vários canais simultaneamente. Já em 988, os sinais de três lasers de semicondutores DFB operando na faixa μm foram amplificados simultaneamente utilizando uma bomba em,47 μm. Esta experiência utilizou um laser de semicondutor como fonte de bombeamento. Um ganho de amplificação de 5 db foi alcançado para uma potência da bombeamento de apenas 6 mw. Numa outra experiência interessante, um amplificador de Raman foi bombeado por um laser semicondutor em,55 μm, cuja saída foi amplificada usando um amplificador de fibra dopada com érbio. Os impulsos bombeados de 4 ns tinham,4 W de potência de pico à taxa de repetição de khz e eram capazes de amplificar pulsos do sinal de,66 μm em mais de 3 db através de SRS numa fibra de dispersão deslocada (DSF) de km de comprimento. Os mw de potência de pico de pulsos de,66 μm foram suficientemente grandes para a sua utilização para medições ópticas de reflexão no domínio do tempo usualmente utilizadas para supervisão e manutenção das redes de fibra óptica. O uso de amplificadores Raman na região espectral de,3 μm também tem atraído a atenção, no entanto, um laser de bombeamento de,4 μm ainda não se encontra disponível. O SRS em cascata pode ser usado para gerar a luz da bomba de,4 μm. Numa abordagem, três pares de grelhas de fibra são inseridos dentro da fibra utilizado para amplificação Raman. Os comprimentos de onda de Bragg destas grelhas são escolhidos de tal modo que formam três cavidades para três lasers Raman que operam em comprimentos de onda.7,.75 e,4 μm, que correspondem às linhas de Stokes de primeira, segunda, e terceira ordem de uma bomba em,6 μm. Todos os três lasers são bombeados através de um laser diodo-bombeado de fibra Nd através SRS em cascata. O laser de,4 μm irá de seguida bombear o amplificador de Raman e amplificar um sinal de,3 μm. A mesma ideia de SRS em cascata foi utilizada para obter 39 db de ganho em,3 μm usando acopladores WDM em vez de grades de fibra. Tais amplificadores de Raman de,3 μm exibem altos ganhos com um factor de ruído baixo (cerca de 4 db) e são também adequados como um pré-amplificador óptico para receptores ópticos de alta velocidade. Numa experiência de 996, um destes receptores produziu a sensibilidade de 5 fotões/ bit a um ritmo binário de Gb/s. Os amplificadores de Raman de,3 μm também podem ser usados para aumentar a capacidade das ligações de fibra óptica existentes de,5 para Gb/s. Os amplificadores de Raman são chamados de aglomerados ou distribuídos dependendo do seu design. No caso dos aglomerados, um dispositivo discreto é feito por um rolo de - km de uma fibra especialmente preparada que foi dopada com fósforo ou germânio ou para melhorar o ganho de Raman. A fibra é bombeada num comprimento de onda próximo de,45 μm para a amplificação de sinais de,55 μm. No caso de amplificação de Raman distribuída, a mesma fibra que é usada para transmissão de sinal é também utilizada para a amplificação de sinal. Um feixe de bombeamento é frequentemente injectado na direcção contra-propagante e proporciona ganhos sobre comprimentos relativamente longos (> km). A principal desvantagem em ambos os casos do ponto de vista do sistema é que são necessários lasers de alta potência para o bombeamento. As primeiras experiências usavam frequentemente como uma bomba um laser de cor de centro-ajustável; tais lasers são demasiado volumosos para aplicações do sistema. Por 97

120 esta razão, os amplificadores de Raman foram raramente utilizados durante a década de 99, após teremse tornado disponivéis os amplificadores de fibra dopada com érbio. A situação alterou-se no ano, com o aparecimento de semicondutores compactos de alta potência e lasers de fibra. O fenómeno que limita o desempenho dos amplificadores distribuídos de Raman acaba por ser na maior parte das vezes a dispersão de Rayleigh. A dispersão de Rayleigh ocorre em todas as fibras e é o mecanismo de perda fundamental que ocorre nas mesmas. Uma pequena parte da luz é sempre retrodispersa por causa deste fenómeno. Normalmente, esta retro-dispersão de Rayleigh é desprezável. No entanto, ela pode ser amplificada ao longo de extensos comprimentos em fibras com ganho distribuído e afecta o desempenho do sistema de duas maneiras: Em primeiro lugar, uma parte de ruído contrapropagante aparece na direcção de propagação, aumentando o ruído global; Em segundo lugar, a duplicação da dispersão de Rayleigh do sinal cria uma componente de diafonia na direcção de propagação. É esta diafonia de Rayleigh, amplificada pelo ganho distribuído de Raman, que se torna a principal fonte de penalidade de potência. A fracção da potência do sinal que se propaga na direcção normal, depois da dispersão dupla de Rayleigh é a diafonia de Rayleigh. Esta fracção é dada por[] f DRS = r s z L dz G ( z ) ( ) G z dz, z (4.3) onde r s ~ -4 km - é o coeficiente de dispersão de Rayleigh e G(z) é o ganho de Raman, a uma distância z na configuração contra-bombeamento para um amplificador de comprimento L. O nível de diafonia pode exceder % ( db-crosstalk) para L > 8 km e G(L) >. Uma vez que esta diafonia se acumula através da utilização de vários amplificadores, pode levar a altas penalidades de potência para sistemas submarinos lightwave com comprimentos longos. Os amplificadores de Raman podem funcionar em qualquer comprimento de onda, desde que o comprimento de onda de bombeamento seja adequadamente escolhido. Esta propriedade, juntamente com a sua grande largura de banda, torna os amplificadores de Raman bastante adequados para sistemas WDM. Uma característica indesejável é que o ganho de Raman é de algum modo sensível à polarização. Em geral, o ganho é máximo quando o sinal e a bomba são polarizados ao longo da mesma direcção, mas é reduzido quando eles são polarizados ortogonalmente. O problema da polarização pode ser resolvido através do bombeamento de um amplificador de Raman com dois lasers polarizados ortogonalmente. Outro requisito para os sistemas WDM é que o espectro de ganho deve ser relativamente uniforme sobre a largura de banda do sinal de modo que todos os canais possam ter o mesmo ganho. Na prática, o espectro de ganho é achatado através do uso de bombas para vários comprimentos de onda diferentes. Cada bomba cria o ganho que imita o espectro mostrado na fig A sobreposição dos vários espectros irá criar um ganho relativamente plano sobre uma ampla região espectral. Larguras de banda superiores a nm foram obtidas usando múltiplos lasers de bombeamento. O projeto de amplificadores de Raman de banda larga adequados para aplicações WDM requer a consideração de vários factores. O mais importante deles é a inclusão de interações bomba-bomba. Em geral, os múltiplos feixes de bombas também são afectados pelo ganho de Raman, e alguma potência de 98

121 cada bomba de baixo comprimento de onda é invariavelmente transferida para bombas com maiores comprimentos de onda. Um modelo apropriado que inclui as interacções de bombas, retro-dispersão de Rayleigh, e dispersão espontânea de Raman, considera cada componente de frequência separadamente e resolve o seguinte conjunto de equações acopladas[]: dpf () v = dz hv ( v)]d ( ) gr v a [ ( ) + ( ) ] [ (v) + v gr( v ) a v [ ( ) + ( ) ] [ (v) + v (4.3) hv (v )] d α(v) (v) + (v) onde μ e ν denotam frequências ópticas, n sp (Ω) = [ exp ( ħω / k B T)] -, e os índics f e b denotam propagação de ondas para a frente e para trás, respectivamente. Nesta equação, o primeiro e o segundo termos são tidos em conta para a transferência de potência induzida de Raman para dentro e para fora de cada banda de frequência. As perdas da fibra e da retro-dispersão de Rayleigh são incluídas através do terceiro e quarto termo, respectivamente. O ruído induzido por dispersão espontânea de Raman é incluído pelo factor dependente da temperatura nos dois integrais. Uma equação semelhante pode ser escrita para as ondas contra-propagantes. Para conceber amplificadores de Raman de banda larga, todo o conjunto de equações é resolvido numericamente para encontrar os ganhos de canal, e potências de bombeamento na entrada são ajustadas até que o ganho seja praticamente o mesmo para todos os canais. A figura 4. mostra um exemplo do espectro de ganho medido para um amplificador de Raman feito através do bombeamento de uma fibra de dispersão deslocada com 5 km de comprimento com lasers de diodo. As frequências e níveis de potência dos lasers de bombeamento, necessários para atingir um perfil de ganho quase plano, também são mostrados. Note-se que todos os níveis de energia se situam abaixo de mw. O amplificador fornece um ganho de cerca de,5 db sobre uma largura de banda de 8 nm, com uma ondulação de menos de, db. Tal amplificador é adequado para sistemas densos WDM que abrangem tanto a banda C como a banda L. Várias experiências têm usado amplificadores de Raman de banda larga para demonstrar a transmissão a longas distâncias com elevados ritmos binários. Numa experiência para 3Tb/s, 77 canais, cada um a operar em 4,7 Gb/s, foram transmitidos em cerca de km usando as bandas C e L ao mesmo tempo. Vários outros processos não-lineares podem proporcionar ganho dentro das fibras de sílica. Um exemplo é fornecido pelo ganho paramétrico que resulta do FWM. O amplificador de fibra que se obtem é chamado de amplificador paramétrico e pode ter uma largura de banda de ganho maior do que nm. Os amplificadores paramétricos requerem uma grande potência da bombeamento (geralmente > W) que pode ser reduzida através da utilização de fibras com não-linearidades elevadas. Eles também gerar um sinal com uma fase conjugada que pode ser útil para a compensação de dispersão. 99

122 Figura 4.: Perfil de ganho medido num amplificador de Raman com ganho quase plano sobre uma largura de banda de 8 nm. As frequências de bombeamento e as potências usadas são mostradas à direita.[] Os amplificadores de fibra também podem ser feitos usando dispersão estimulada de Brillouin (SBS) em vez do SRS. O mecanismo de operação por detrás dos amplificadores de Brillouin é essencialmente o mesmo que ocorre para as fibras amplificadoras de Raman, no sentido de que ambos os amplificadores são bombeados para trás e proporcionam ganho através de um processo de dispersão. Apesar desta semelhança formal, os amplificadores de Brillouin são raramente utilizados na prática porque a sua largura de banda de ganho é tipicamente inferior a MHz. Além disso, como o deslocamento de Stokes para o SBS é ~ GHz, os comprimentos de onda da bomba e do sinal irão praticamente coincidir. Estas características tornam os amplificadores de Brillouin inadequados para sistemas WDM lightwave embora possam ser explorados para outras aplicações Conclusões Podemos ver que os resultados obtidos na figura 4.6 confirmam a equação (4.73) do cálculo do comprimento óptico. A potência em qualquer ponto da EDFA depende linearmente do ganho, sendo que mais ganho implica mais potência. Podemos verificar que a potência do bombeamento diminui gradualmente ao longo do comprimento e que as potências dos quatro canais sobem até um máximo, específico e diferente para cada canal, passando depois ao seu decaimento. Este facto pode ser interpretado como o fornecimento de potência pelo bombeamento inicial ao sistema WDM distribuindo-a por cada um dos quatro canais. No caso de dimensionamento de um só canal, podemos ver que o ganho máximo é obtido para comprimento de onda de = 56nm. Já no caso dos sistemas reais WDM são amplificados vários canais que, centrados em comprimentos de onda diferentes, obtêm ganhos e pontos de saturação diferentes.