GEOMETRIA SIMBÓLICA : UM EXEMPLO DE ABORDAGEM TRANSDISCIPLINAR PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA

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1 Título: GEOMETRIA SIMBÓLICA : UM EXEMPLO DE ABORDAGEM TRANSDISCIPLINAR PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Área Temática: Educação em Ciências Naturais e Matemática Autor: JANE BITTENCOURT (1) Instituição: Universidade Federal de Santa Catarina - Professora de Didática do Centro de Educação Introdução Focalizando o ensino de Matemática no seu desenvolvimento histórico, temos presenciado como diferentes teorias a respeito de aprendizagem, de conhecimento, ou mesmo de Educação, têm se relacionado e influenciado o ensino de Matemática, configurando as diferentes tendências pedagógicas em Educação Matemática. Neste contexto, este trabalho se situa como uma contribuição para a reflexão a respeito do conhecimento em geral e particularmente da natureza do conhecimento matemático tendo como objetivo desenvolver uma perspectiva transdisciplinar. Para isso, teremos como referência uma concepção de conhecimento, a complexidade, por diferentes razões. Primeiro, porque a complexidade, como tem sido desenvolvida recentemente por Morin (1977, 1986, 1996) tem se configurado como um esforço de integrar diferentes áreas de conhecimento para responder a questões contemporâneas como a fragmentação dos saberes; o universo tecnológico; a relação ser humano/natureza, questões bastante relevantes hoje em Educação. Em segundo lugar, porque a complexidade permite uma reflexão multi, inter e transdisciplinar a respeito do conhecimento tanto no seu aspecto de concepção, produção e distribuição, e que, pela sua riqueza, poderia alimentar inúmeras reflexões a respeito do fazer pedagógico. E ainda porque ancora a reflexão epistemológica numa ética, questão hoje bastante urgente e presente nas diferentes propostas curriculares. E finalmente porque a concepção de conhecimento do ponto de vista da complexidade poderia abrir caminhos para uma visão de Matemática mais

2 1 cultural e antropológica bastante enriquecedora tendo em vista uma visão crítica e criativa de ensino. Este texto se desenvolverá portanto da seguinte maneira: inicialmente vamos procurar caracterizar esta abordagem epistemológica. Em seguida, vamos desenvolver o estudo de um exemplo, a geometria simbólica, procurando caracterizar, através do exemplo, o que seria uma abordagem transdisciplinar. Finalmente, analisaremos possíveis implicações das questões discutidas ao longo do texto para o ensino de Matemática. O ponto de vista da complexidade Bachelard, em uma reflexão sobre a natureza do espírito científico, já afirmava em que na realidade, não há fenômenos simples, o fenômeno é um tecido de relações (Bachelard, 1985, p.130). Procurou ressaltar a tendência à simplificação característica do pensamento científico, que busca as leis gerais e ignora as distorções ou os erros, assim como a complexidade que se impõe no desenvolvimento das ciências quando a lei simples, a matemática simples, precisam ser corrigidas por um processo de retificação do conhecimento anterior. Denunciou o esforço do fazer científico em determinar uma lei geral e a lassidão intelectual para investigar o que perturba esta lei, o que considera um comportamento característico da psicologia do espírito científico, derivado da sua herança analítica e cartesiana. Afirmou que, para o espíríto científico, situado na dicotomia entre o claro e o incompreensível, complexo significa perturbação do que deveria ser simples. Por sua vez, o simples tornado complexo volta a ser simples diante de um resultado ainda mais complexo. Esse movimento entre o simples e o complexo mostra que o progresso do conhecimento científico não se dá de maneira linear, por acumulação de conhecimentos, mas num movimento dialético, incluindo obstáculos e rupturas, negando constantemente a si mesmo. Anuncia que o espírito científico da ciência contemporânea teria que alargar-se para conciliar as novidades e principalmente as ambigüidades que têm se manifestado no centro de diversas teorias como a micro-física, a mecânica não newtoniana ou as geometrias não euclidianas.

3 2 Morin, inspirado nesta dinâmica entre o simples e o complexo sugerida por Bachelard, comenta que o princípio de simplificação, baseado na redução, na generalização e na disjunção, característico da inteligibilidade do conhecimento científico clássico (Morin, 1986), reinou no universo dos saberes até o final do século XIX. No entanto, a irrupção da desordem, do aleatório e a inserção do sujeito observador passaram a se mostrar, principalmente a partir do início do século XX, cada vez mais presentes no universo conceitual da ciência, questionando o denominou de razão fechada. E sugere que a complexidade se torne uma maneira de pensar, um outro princípio de inteligibilidade. Para elaborar esta inteligibilidade complexa, Morin observa que a complexidade permeia todos os domínios: a natureza, a vida, a mente, o homem e a cultura, revelando um jogo constante entre ordem e desordem no domínio da natureza; auto-organização e destruição no domínio da vida, ou ainda objetividade e subjetividade no domínio cognitivo. E sugere ainda que, contrariamente ao senso comum que considera o ser humano o ápice da complexidade, devido à sua natureza obviamente múltipla, situado em diversos universos fenomenais, mesmo na unidade mais simples, uma partícula, surge uma incrível complexidade, um reino de incertezas e de indeterminação. O ponto de vista da complexidade exige portanto que sejam considerados os diferentes fenômenos, naturais, biológicos, cognitivos ou culturais, no que há de comum entre eles, sua natureza complexa, isto é, ao mesmo tempo múltipla e interdependente. Na tentativa de estabelecer estas interrelações, sugere diversas reintegrações como a cultura no conhecimento da vida, a vida no conhecimento, o sujeito no processo de conhecer. Entre os diferentes fenômenos não há linearidade nem causalidade simples mas relações de interdependência entre princípios considerados antagônicos para o pensamento simples, mas vistos como complementares se adotarmos uma lógica complexa. Quanto ao conhecimento nesta perspectiva, Morin (1986) analisa suas múltiplas faces: o conhecer seria um processo biológico, mental, psíquico e antropológico, ancorado no vivido, na existencialidade do ser. Embora tenha destacado a variedade e a complexidade das atividades cognitivas, Morin considerou que o conhecimento, no contexto da complexidade, pelo fato de

4 3 estar enraizado nas atividades do ser humano, que é biológico e cultural ao mesmo tempo, possui uma dualidade cognitiva básica. E analisa como, em toda sociedade humana, sempre conviveram dois modos de conhecimento e ação que se desenvolveram em duas formas de pensamento antagônicas e complementares: o pensamento empírico/lógico/racional, particularmente relacionado com o desenvolvimento científico e tecnológico, e o pensamento simbólico/mitológico/mágico, relacionado com a arte, o imaginário, os ritos, as crenças e o pensamento religioso. Do ponto de vista da complexidade, o pensamento simbólico/mítico/mágico constitui a complementaridade do pensamento racional, correspondendo a duas faces características do ser humano, que por sua vez correspondem aos princípios de caos e cosmos no universo físico. Enquanto o princípio do logos se refere ao discurso racional, lógico e objetivo, o princípio do mhytos constitui um discurso da consciência subjetiva, que tece símbolos na forma de representações pictóricas, de uma narrativa ou em um modo de ação. Morin (1986, 1991) sugere então uma origem conjunta, em um círculo generativo entre os dois modos de pensamento, que, embora nas sociedades modernas pareçam dissociados, permanecem intrinsicamente interligados nas mais diversas formas de manifestação cultural, inclusive na ciência. Sua complementaridade é uma relação complexa, um necessita do outro: nós temos uma necessidade imperativa da correção empírico/lógica/racional sobre todas nossas atividades mentais, mas nós também temos uma necessidade vital do estofo imaginário/simbólico que co-tece nossa realidade (Morin, 1986, p.176). Desta unidualidade do pensamento, Morin sugere não a necessidade de um pensamento unificador, que resolva definitivamente esta dualidade, mas de um pensamento complexo que possa dialogar com ambos, que exiba sua complementaridade e autonomia relativas, de modo que um ajude a compreender o outro e não a destruí-lo. Um exemplo

5 4 Diversos autores têm se dedicado a restituir o papel do símbolo (Eliade, 1965; Durand, 1988; Barbier, 1994), sua função no imaginário, ou sua importância enquanto manifestação cultural e psicológica característica do ser humano. Tanto no mito, nos rituais ou nas representações pictóricas, que manifestam o que denomina de pensamento simbólico, está presente o potencial analógico e sintético do símbolo, que se diferencia do signo pela sua natureza múltipla, dual e subjetiva. Se no caso do signo predomina a função indicativa e instrumental, com distinção clara entre o significante, o significado e o referente, no caso do símbolo predomina o evocativo e concreto. O símbolo ao mesmo tempo evoca e carrega a presença do que é evocado, isto é, no símbolo, o signo, o sentido e a coisa são completamente indistinguíveis. Durand (1988) comenta que a característica do símbolo, diferentemente do signo ou da alegoria, é que, no caso do símbolo, ambos, significado e significante, são infinitamente abertos. O símbolo é sempre a concretização de um significado geral, é o próprio receptáculo do sentido. É abstrato e aberto, por isso pode ter vários significados, relacionados através de uma analogia. Pelo fato de ser polissêmico o símbolo nunca pode ser definido e exige sempre uma interpretação, uma hermenêutica, o que constitui sua riqueza, em contraposição à objetividade do conceito. A linguagem simbólica, em oposição à conceitual, é ao mesmo tempo subjetiva e objetiva, baseada em valores. Um exemplo de representações simbólicas encontradas nas mais diferentes culturas em todos os tempos são figuras como:

6 5 Estas imagens, denominadas mandalas, têm sempre estruturas geométricas muito semelhantes e motivos comuns, apesar das diferenças culturais onde são construídas. Com origem na palavra sânscrita que significa círculo, Jung (1973) considera mandalas uma categoria especial de símbolos, que, embora apresentem uma grande diversidade de formas e temas, têm sempre alguns elementos de base comuns: são geralmente formações circulares, esféricas ou ovais, apresentando um movimento de rotação. O círculo é elaborado com imagens, a flor ou roda, decorado com o sol, uma estrela ou ainda a cruz, geralmente associados a raios ou então a serpentes fechadas sobre si mesmas ou em movimento espiral. Em geral representam a quadratura do círculo, geralmente expressa através de um círculo contido em um quadrado ou vice-versa. E muitas delas contém somente uma composição de figuras geométricas. Os motivos, apesar de serem relativamente numerosos, se repetem com pequenas variações. Em geral temos figuras e motivos triádicos, quadrangulares ou pentagonais. O três vem sempre relacionado a um momento de equilíbrio, de solução de uma dualidade, e pode ser combinado em seus múltiplos. O quatro simboliza a totalidade da consciência, o homem espiritual, completo, enquanto que o cinco vem associado ao homem natural, corpóreo. As quatro direções do espaço são geralmente marcadas nos mandalas através de figuras como animais, simbolizando a integração dos instintos, símbolos celestes como sol ou lua, ou mesmo figuras humanas. Os pássaros, pavões, serpentes ou peixes são os animais mais comuns em mandalas não tradicionais assim como em mandalas pertencentes às tradições ocidentais (Jung, 1982). Nos mandalas ocidentais encontramos frequentemente a flor, um dos símbolos mais comuns a diferentes tradições, presentes também nas rosáceas que compõem vitrais e decoram muitas das igrejas cristãs. Como estrutura comum a todos os mandalas, Jung salienta a expressão de polaridades, o lado direito e esquerdo, acima e abaixo, marcados através de imagens simbolicamente antagônicas como o sol e a lua. A dinâmica geral é de um princípio ordenador, que coloca as diferentes figuras em algum tipo de relação, o que geralmente produz movimento ou dele resulta. Da conciliação de opostos resulta a simetria, da expressão de circularidade temos círculos em

7 6 rotação ou concêntricos, e da expressão de evolução ou de processos de desenvolvimento, temos os movimentos em espiral, movimentos estes que caracterizam a geometria dinâmica de todo mandala. No centro temos geralmente um ponto, uma figura geométrica, uma figura antropomórfica ou um símbolo específico, no contexto de uma tradição. Muitas vezes raios partem do centro, ou temos figuras concêntricas marcando um movimento de expansão. Também é comum o duplo movimento de expansão e contração, geralmente em forma de espirais combinadas com círculos. O centro é o foco unificador a partir do qual tudo se desenvolve e também a matriz organizadora de todos os outros elementos. Jung interpreta psicologicamente o simbolismo e a funcionalidade dos mandalas. Considera que o centro, reunido com todos os elementos à sua volta, simboliza o centro da psique, o Self, que é uno e múltiplo, com um potencial irradiador e organizador. A totalidade da psique é conquistada por um longo processo de individuação que envolve sempre uma dinâmica de conciliação entre opostos, cuja solução resulta sempre em novidade, em um estado que é fruto de um processo integrador. Portanto o mandala, tomado como um todo, representa uma nova unidade que nasce de uma certa ordenação de elementos diversos. Por isso sempre expressam ou buscam expressar a conquista do equilíbrio, de uma nova ordem resultante da resolução de conflitos. Com base na regularidade de estruturas e motivos presentes em mandalas de origens culturais tão diversas, assim como na relativa autonomia dos símbolos em geral e particularmente dos mandalas, sugere que deve haver uma disposição transconsciente em todo indivíduo que é capaz de produzir os mesmos símbolos ou muito similares, em todos os tempos e todos os lugares (Jung, 1973, p.100). Afirma que, embora os mandalas muitas vezes expressem desordem ou conflito, sempre expressam também um princípio de ordem a partir da desordem, do caos que é o inconsciente. Representam sempre intenção de reordenação interior e busca da totalidade da psique. Por isso considera que mandalas de pacientes também são instrumentos de expressão de intenções, veículos para a realização de uma experiência interior, assim como são os mandalas de diversas tradições, como é o caso dos yantras hindus (Khanna, 1979).

8 7 Yantras são símbolos sagrados na forma de diagramas geométricos considerados instrumentos auxiliares de práticas meditativas ou utilizados em rituais religiosos. Embora seu uso seja muito antigo na Índia, onde há painéis com desenhos geométricos datados de 3000 a.c., foi com o tantrismo ( d.c.), quando símbolos foram intensamente introduzidos em práticas rituais, que se deu o uso e a criação de uma grande variedade de yantras. Os yantras consistem sempre em uma figura geométrica que se desenvolve a partir de um centro, em estágios, até completar sua expansão. A partir do centro se desenvolvem as diferentes figuras geométricas com base nas formas primordiais: o ponto, o triângulo, o círculo, e o quadrado. O triângulo é símbolo do espaço fundamental manifestado, já que é a primeira figura fechada com linhas possível de ser construída. Com a ponta para baixo, simboliza o princípio de manifestação feminino, associado à matéria ou à natureza, enquanto que o triângulo para cima representa o princípio masculino, associado ao espírito. Os círculos concêntricos representam os movimentos de expansão e contração, assim como o pulsar cósmico e o tempo cíclico. Os triângulos, símbolos básicos, podem ser combinados em uma estrela de seis pontas, simbolizando a união entre opostos. O quadrado, figura de ordem e perfeição, é receptáculo e base de todo universo manifestado, representando a totalidade do espaço com suas direções opostas, as quatro maneiras de acessar o centro, de entrar no espaço/tempo sagrados. Os quadrados são associados para formar o oito, símbolo do infinito, do incomensurável, enquanto que o pentágono simboliza a organização do espaço mundano, o poder criativo do homem. No contexto do hinduísmo, o yantra tem como fundamento a unidade entre o micro e o macrocosmos, por isso são considerados tanto uma representação espacial de uma cosmogonia, quanto uma representação de um processo psíquico de integração da consciência. Por isso estes símbolos geométricos são ao mesmo tempo cósmicos e psíquicos. O centro, por exemplo, é tanto símbolo da unidade primordial do Universo manifestado quanto o centro psíquico do praticante, e o yantra como um todo simboliza um exercício de união entre estes dois princípios.

9 8 Analisando o conjunto das representações simbólicas geométricas de um ponto de vista antropológico, Eliade (1965) ressalta não os elementos destas representações, mas a concepção de espaço que está presente. Considera que há uma diferença básica na concepção e representação do espaço para o homem das sociedades arcaicas ou tradicionais e para o homem das sociedades pós-industriais. Para o homem arcaico, o espaço não é homogêneo, mas possui pontos de descontinuidade, de ruptura. Esta ruptura constitui um ponto fixo, um eixo central a partir do qual nasce a diferenciação, as diferentes direções do espaço básico. Toda criação se faz devido a uma descontinuidade no espaço, que cria um ponto fixo geralmente simbolizado através de um marco ou um pilar presente em todos os rituais de consagração da terra onde será edificada uma moradia, uma cidade ou um templo. Comenta que a visão de mundo nas sociedades tradicionais, independentemente das diferenças culturais ou de contextos históricos precisos, se baseia na diferenciação entre cosmos e caos. O cosmos se refere ao espaço vivido, enquanto que o caos é o resto do mundo, repleto de estranhos e demônios, que ameaçam constantemente a ordem interna. Mas para que o espaço vivido seja cosmos, ou seja, esteja de acordo com a ordem do todo, é necessário sacralizá-lo, transformar simbolicamente o espaço caótico. Já o universo profano, desenvolvimento recente na história da humanidade, é um mundo desacralizado. O homem profano nega a existência do sagrado, não aceita nenhum outro modelo além do humano. Para ele, o sagrado constitui um obstáculo no seu esforço de compreender o mundo e dominar a natureza. Para a experiência profana, o espaço é homogêneo e neutro, embora o homem moderno continue procurando situações que lhe propiciem a experiência de saída do tempo e espaço ordinários, muitas vezes destituídas hoje de seu núcleo de significação. Mas o homem continua fazendo um uso não intencional de símbolos, mesmo no discurso menos simbólico, o discurso da ciência, que, mesmo evitando toda manifestação simbólica, sempre recorreu ao uso de analogias e metáforas que resistem com muita dificuldade a uma interpretação simbólica, como é o caso do caos ou do big-bang. E os símbolos continuam possuindo um potencial transformador, que carrega a herança cultural e existencial da

10 9 humanidade. Isto é, continuam dizendo algo, que talvez o homem moderno tenha desaprendido a ouvir. Uma geometria simbólica: análise do exemplo Alguns fatores parecem relevantes no estudo deste tipo de representação, os mandalas: a associação entre o simbólico e o geométrico nos diferentes contextos de elaboração destas representações e a diversidade e ao mesmo tempo a grande uniformidade nestas representações, independentemente da diversidade cultural onde estas se inserem. Ou ainda a articulação entre o objeto e sua interpretação: no caso do hinduísmo, os yantras são interpretados como a representação de uma cosmogonia fundamentada na interrelação entre universo externo e interno, entre mente e mundo. No contexto da psicologia junguiana, mandala representa um momento no processo de individuação, de integração com o Self. Já para Eliade (1965), mandalas simbolizam o espaço sagrado, são a manifestação simbólica de um motivo antropológico fundamental, a organização do espaço sagrado em contraposição ao profano. Mas apesar das diferentes interpretações, talvez mesmo devido ao seu caráter geométrico, mandala é sempre uma representação do espaço básico ou arquetípico, que tem diferentes concepções segundo o contexto onde é interpretado. Em todos esses casos, temos como núcleo comum o princípio de ordenação - e a geometria dinâmica que daí resulta - a partir de um centro, assim como a mediação entre um paradoxo, a unidade e a multiplicidade: o espaço que é ao mesmo tempo único, dual e múltiplo. Além disso, assim como todo símbolo, vimos como os mandalas são instrumentos mediadores, uma ponte entre o macro e o micro cosmos, sujeito e mundo. Por isso mandala é sempre, em todos os sistemas interpretativos, um símbolo de totalidade e transcendência. E o espaço é sempre o espaço simbólico, portanto espaço vivido, em contraposição ao espaço observado da geometria ou o espaço conceitual da ciência. Do ponto de vista do qual partimos, a complexidade, mandala pode ser interpretado como expressão de uma dinâmica comum a diferentes fenômenos, o universo físico, biológico ou psíquico, entre a desordem e princípios de

11 10 ordenação. Mas também como expressão da natureza humana, ao mesmo tempo individual e coletiva, cultural e transcultural. Além disso, é um exemplo da riqueza e do potencial de expressão do universo simbólico, em complementaridade ao pensamento racional e às suas correspondentes produções e criações. Durand (1988) analisa, na história da cultura ocidental, como o simbólico e o imaginário, considerados fontes de erro, foram sendo descartados principalmente a partir de Descartes e da sistematização, no século XVIII, da racionalidade da ciência. Nesta direção, evitando o universo sensível e eliminando a essência do simbólico, a imagem foi sendo relegada ao artista que, por sua vez, foi perdendo, nas sociedades capitalistas, seu valor social. Criou-se, no pensamento ocidental, a cisão entre conceitual e simbólico; conhecimento indireto, vivido e conhecimento direto, absoluto, universalmente válido. Nesse sentido, Durand (1988) comenta ainda como, exatamente com Descartes, em um processo análogo ao desenvolvimento da racionalidade da ciência, a geometria dá um avanço em relação à conceituação com a geometria analítica, quando o desenho passa a ser traduzido por equações algébricas. A geometria euclidiana, uma geometria tipicamente conceitual, à semelhança da ciência clássica, procura definir as regularidades, abstraindo as imperfeições das formas, tendo em vista um saber atemporal e universal. A elaboração grega consistiu na sistematização de diversos saberes de povos anteriores como os egípicios e babilônicos, conhecimentos práticos baseados em necessidades sociais, em um corpo teórico dedutivo, baseado em axiomas, postulados e demonstrações. O espaço euclidiano reflete um saber descontextualizado, desenraizado da práxis cotidiana, um saber abstrato, lógico e que busca ser universalmente verdadeiro. A geometria grega congela as relações em propriedades, simplificando o espaço. Prefere o caráter estático ao dinamismo das formas, o conceito à imagem e ao símbolo. Destituindo as qualidades das formas, racionaliza a estética. Assim, o espaço euclidiano não é nem o espaço artístico de geometrias decorativas nem o espaço vivido das geometrias simbólicas, mas um espaço percebido e concebido. De maneira semelhante ao conhecimento que chamamos matemática que na visão eurocêntrica predominante no pensamento ocidental, se refere ao

12 11 conhecimento desenvolvido na Europa e sistematizado no século XIX (D Ambrosio, 1993), também nos referimos à geometria como sendo a geometria de herança grega, eventualmente alargada pelas geometrias não euclidianas. Mas sempre houve, em diferentes culturas, geometrias, isto é, formas de compreensão e representação do espaço tanto associadas à mesuração, resultando em diferentes sistemas de medidas, como relacionadas com sua representação gráfica, através de composições entre figuras ou de construções que obedecem a padrões geométricos, ou ainda, como procuramos exemplificar, na forma de representações simbólicas. Em comum, esses saberes têm o fato de estarem enraizados em uma práxis social, constituirem saberes/fazeres que têm sentido no seio de uma cultura, ou seja, etnomatemáticas (D Ambrosio, 1990). Encontramos uma grande diversidade de geometrias, com características e funções sociais diversas, como é, além da geometria grega, a própria geometria prática dos egípcios, as geometrias que encontramos nos padrões para confecção de cestos ou decoração de tecidos, a geometria simbólica pretende em diferentes tradições, do cristianismo ao hinduísmo, além da geometria presente em mandalas individuais. Entre estas diversas geometrias ou etnomatemáticas do espaço, encontramos três características básicas, associadas a três diferentes linguagens: a conceitual, a artística e a símbólica. Uma geometria artística, principalmente de função utilitária e decorativa sempre esteve presente em diferentes culturas, em padrões geométricos criados na confecção de cestos ou em pinturas corporais. Certamente relacionada com necessidades sócio-econômicas locais, como mostra Gerdes (1992), embora talvez nunca se reduza a estas, essa geometria, interpretada no seu universo próprio de criação, revela a fusão entre diversas funções, o utilitário, o estético e o simbólico. Nesses contextos, a arte expressa a própria integração de todas as atividades humanas, sem precisar optar entre o concreto e abstrato. Na história da arte ocidental, o século XX marca o surgimento de uma arte não figurativa, movimento iniciado, na pintura, pelos impressionistas no final do século anterior e desenvolvido e transformado com o fauvismo francês, o expressionismo alemão ou ainda o cubismo (Read, 1974). A arte moderna,

13 12 se tornando abstrata, passa a tratar das formas, exemplo do símbolo que se tornou imagem. E na tentativa de conciliar opostos temos o surrealismo, como um marco, uma tentativa explícita, na história da arte, de conciliar ainda imagem com símbolo. Analisando a cultura ocidental, paralelamente ao processo que Eliade considerou de desacralização do espaço, podemos acompanhar como a geometria deixou gradativamente de ser simbólica, eliminado todo conteúdo interpretativo. No mundo grego encontramos, tanto com os pitagóricos, quanto com o pensamento de Platão, uma elaboração simbólica a respeito das formas e dos números. Diversas tradições ocidentais posteriores, como a numerologia, a cabala, ou a astrologia, carregaram esses conteúdos simbólicos, criando sistemas interpretativos baseados na relação micro/macro cosmos, no princípio de sincronicidade e no potencial revelador e transformador do símbolo. Na Idade Média, a geometria simbólica ou o simbolismo geométrico está especialmente presente na alquimia onde encontramos inúmeros mandalas representando uma questão filosófica e simbólica fundamental, a quadratura do círculo, um problema que também ocupou gradativamente destituído do seu significado simbólico - os matemáticos por muitos anos. A partir da Idade Média, muitos destes conteúdos simbólicos foram mantidos vivos no ocidente também através da tradição cristã, através do simbolismo da unidade, a trindade e a quaternidade (Jung, 1982), significados que persistem, embora enfraquecidos do seu potencial anímico, nos rituais da Igreja. No entanto, muito embora a geometria foi tornando-se cada vez menos simbólica enquanto uma área específica da Matemática, o conhecimento simbólico, como bem mostrou Jung, continua insistindo em ser geométrico. Como procuramos exemplificar, a geometria simbólica se diferencia da conceitual por seu conteúdo, função e forma. A geometria simbólica é um saber sobre o espaço vivido, um espaço que é complexo, contraditório, uno e mútiplo, micro e macro, sagrado e profano. Se, a geometria conceitual perdeu a cor e o dinamismo, isto é, perdeu a alma, a geometria simbólica é uma geometria viva, dinâmica, colorida, uma arte-geometria. Além disso, o espaço simbólico é enraizado na práxis e no imaginário social, e exerce funções reguladoras de caráter biológico, psicológico e antropo-social.

14 13 Morin aposta na possibilidade de reanimar o conceito de natureza através de um esforço transdisciplinar, resignificando conceitos que podem transitar entre diferentes disciplinas e além delas. Procuramos indicar como seria possível também reanimar a geometria, aprendendo com outras culturas, mergulhando no significado das tradições, considerando seu valor antropológico. Resta uma questão: por que o caráter geométrico de tantas representações simbólicas? O platonismo é uma resposta antiga a esta pergunta, afirmando a existência das formas independentemente do observador. Essa concepção, ainda muito viva hoje entre os matemáticos, foi, como comenta Penrose (1991), que tende para o platonismo, foi reforçada recentemente pelo estudo da geometria dos fractais. Neste caso, através de processos matemáticos recursivos, aplicados em domínios que apresentam irregularidades, emerge uma nova ordem que insiste em ser geométrica, e curiosamente, muito próxima do que nos parece ser a geometria da natureza. Penrose comenta que esta geometria não foi inventada por Mandelbrot, ela é instrínseca a um certo tipo de fenômeno, e pode portanto sempre ser descoberta. Nesse caso, a realidade poderia ser inventada, a menos de uma geometria (2). A esse respeito, Doczi (1981), dá uma resposta. Em um estudo sobre harmonias na natureza, na arte e na arquitetura, identifica padrões que revelam uma mesma proporção, a seção áurea, já bastante conhecida desde a antigüidade. Considera que a presença desta proporção nas formas da natureza se relaciona com um tipo de padrão gerado por movimentos espirais em direções contrárias, uma espécie de solução encontrada pela natureza, uma expressão do desenvolvimento das formas a partir da união de opostos. Mostra esta dinâmica presente em inúmeras formas da natureza, flores, conchas ou nas proporções do corpo de diversos animais assim como no corpo humano, mas também nas formas criadas pelo homem, na tecelagem de padrões para cestos, nas formas dos vasos, e em diversos tipos de construção. Conclui que tanto os saberes do oriente - um conhecimento intuitivo relacionado com a vivência da harmonia na natureza e no homem- quanto a ciência ocidental - graças ao uso de instrumentos que permitem ao homem ver cada vez melhor o que permanecia oculto na natureza-, ambos os caminhos

15 14 têm revelado, por métodos diversos, a existência de uma unidade na diversidade. Esta unidade está presente na dinâmica de criação das formas, que se manifestam em padrões de totalidade a partir de relações proporcionais simples capazes de gerar o complexo. Em outras palavras, sua resposta seria: há uma geometria instrínseca na natureza. Portanto também no ser humano. Conclusões Resta-nos então analisar que contribuições estas questões uma concepção de conhecimento, a complexidade, e o estudo da geometria simbólica poderiam trazer para a Educação e particularmente para o ensino de Matemática. Sintetizarei estas contribuições em duas análises: a relevância do ponto de vista da complexidade enquanto concepção de conhecimento, e a relevância do estudo da geometria simbólica. A integração sugerida pela complexidade entre princípios físicos, como é o caso da dinâmica ordem/desordem/organização, com princípios antropológicos, como vimos exemplificado no caso das representações geométricas, nos indica a possibilidade de relacionar o estudo da natureza com o estudo do homem, o que certamente implica, como sugeria Prigogine (1986), uma outra perspectiva epistemológica em ciências naturais e humanas. Esta relação possibilita uma ampliação da concepção de História e de sujeito histórico, considerando o sujeito inserido na complexidade da existência, na unidualidade e multiplicidade que caracterizam a experiência humana - e portanto os diferentes saberes - no espaço e no tempo. Portanto a inscrição antropológica do conhecimento nos revela não só a importância do multiculturalismo, no respeito às diferentes maneiras de produzir e expressar saberes, mas também sua contra-face: a unidade dos seres humanos na tentativa de compreender e justificar sua existência, manifestada tanto na ciência, como nos outros saberes, na arte, na reflexão filosóofica ou na reflexão corporificada das diferentes tradições. Ambas as faces da inscrição no domínio antropológico, a unidade e a diferença, são componentes fundamentais no ensino e na prática pedagógica e sua interrelação abre diversas perspectivas de caráter transdisciplinar.

16 15 E ainda, se é de fato urgente e necessário inovar o pensamento educacional e reencantar a educação (Assmann, 1996), também seria necessário e urgente animá-la, numa educação em que o imaginário- a arte e a poesia - e o simbólico, isto é, a vivência do sagrado, tenham tanto espaço quanto tem hoje, em nossa educação, o conhecimento conceitual, lógico e empírico. Nesse sentido parece-me relevante o exemplo da geometria simbólica, principalmente porque nos coloca no cerne de questões clássicas em filosofia da Matemática e fundamentais no ensino como: a universalidade do saber matemático, a independência do empírico ou o caráter geométrico intrínseco aos fenômenos naturais e cognitivos. São questões muito antigas na História da Matemática, que compõem seu núcleo epistemológico e permeiam sempre, direta ou indiretamente, as diferentes propostas de ensino de Matemática. Em relação às diferentes tendências em Educação Matemática, o estudo da geometria simbólica poderia constituir um exemplo de ampliação da abordagem Etnomatemática. A dimensão simbólica do ser e dos saberes humanos nos indica que todo saber, além totalmente cultural, como ressaltam os estudos em Etnomatemática, é fundamentalmente transcultural, é saber humano, que tem, como sugere D Ambrosio (1994), um impulso não só à sobrevivência, mas tambem à transcendência. Neste sentido a geometria simbólica é um ótimo exemplo, pois torna evidente uma elaboração cognitiva além das diferenças temporais e culturais, por isso mesmo talvez na raiz do que tornou-se posteriormente o que denominamos Matemática. Notas (1) Professora de Didática - Centro de Ciências da Educação MEN UFSC. (2) Piaget faz uma análise interessante da relação entre invenção e descoberta no conhecimento lógico-matemático nos artigos Dados Genéticos e Os Principais Problemas da Epistemologia das Matemáticas, em: Piaget, J. (org.) Lógica e conhecimento científico. Porto: Livraria civilização Editora, Referências Bibliográficas ASSMANN, Hugo. Metáforas novas para reencantar a educação: epistemologia e didática. Piracicaba: Unimep, 1996.

17 16 BACHELARD, Gaston. O novo espírito científico. Rio de Janeiro: Edições Tempo Brasileiro, BARBIER, René. Sobre o imaginário. In: Em Aberto, Brasília, ano 14, n.61, jan./mar p D AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática: arte ou técnica de explicar e conhecer. São Paulo: Ática, D AMBROSIO, Ubiratan. A transdisciplinaridade como acesso a uma história holística. In: WEIL, Pierre; CREMA, Roberto. Rumo à nova transdisciplinaridade: sistemas abertos de conhecimento. São Paulo: Summus, D AMBROSIO, Ubiratan. From survival to sublimation: an unbounded humanity. Texto referente à participação no Primeiro Congresso Mundial da Transdisciplinaridade, Arrabida, Portugal, DOCZI, György. The power of limits. Massachusetts: Shambala Publications, DURAND, Gilbert. A imaginação simbólica. São Paulo: Cultrix, ELIADE, Mircea. Le sacré et le profane. Paris: Gallimard, GERDES, Paulus. Sobre o despertar do pensamento geométrico. Curitiba: Editora da UFPR, JUNG, Carl G. Mandala Symbolism. Princeton: Bollingen Paperback Edition, JUNG, Carl G. Aion: estudos sobre o simbolismo do si-mesmo. Petrópolis: Vozes, KHANNA, Madhu. Yantra: The tantric symbol of cosmic unty. Londres: Thames and Hudson, MORIN, Edgar. La Méthode I. La nature de la nature. Paris: Éditions du Seuil, MORIN, Edgar. La Méthode III. La connaissance de la connaissance. Paris: Éditions du Seuil, MORIN, Edgar. O paradigma perdido: a condição humana. Lisboa: Europa- América, MORIN, Edgar. O problema epistemológico da complexidade. Lisboa: Europa-América, PENROSE, Roger. A mente nova do rei. Rio de Janeiro: Campus, 1991.

18 17 PRIGOGINE, Ilya e STENGERS, Isabelle. La nouvelle alliance. Paris: Gallimard, READ, Herbert. História da pintura moderna. São Paulo: Círculo do livro, 1974.