Matemática. / a n : a 0 + a 1 + a a k, k d N ITA ETAPA. alternativa C. alternativa C QUESTÃO 2 QUESTÃO 1

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1 Matemática ITA NOTAÇÕES N : conjunto dos números naturais Z : conjunto dos números inteiros R : conjunto dos números reais M m#n (R) : conjunto das matrizes reais m#n det(m): determinante da matriz M M t : transposta da matriz M A \ B : {x : x d A e x z B} k / anx n : a a x a x... a k x k, k d N n C : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária, i z : módulo do número z d C Re z : parte real do número z d C [a, b : {x d R; a x b} [a, b[ : {x d R; a x < b} a, b[ : {x d R; a < x < b} k / a n : a a a... a k, k d N n Arg z : argumento principal de z d C \ {}, Arg z d [, [ A C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A AB : segmento de reta unindo os pontos A e B ABC t : ângulo formado pelos segmentos AB e BC, com vértice no ponto B. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares. QUESTÃO Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações: I. A \ (B k C) (A \ B) j (A \ C); II. (A k C) \ B A k B C k C; III. (A \ B) k (B \ C) (A \ B) \ C, é (são) verdadeira(s) a) apenas I. c) apenas I e II. e) todas. b) apenas II. d) apenas I e III. alternativa C Podemos observar inicialmente que, para quaisquer conjuntos A e B: A \ B {x : x d A e x z B} A k B Consequentemente: A \ (B k C) A k (B k C) A k (B j C) (A k B) j (A k C) (A \ B) j (A \ C) e a afirmativa I é verdadeira. (A k C) \ B (A k C) k B A k B k C e a afirmativa II é verdadeira. (A \ B) k (B \ C) (A k B) k (B k C) A k (B k B) k C A kk C. Porém, admitindo que existe a du, podemos tomar A {a}, B C e (A \ B) \ C ({a} \ ) \ {a}, isto é, teremos (A \ B) k (B \ C) (A \ B) \ C, e a afirmativa III é falsa. Nota: X c X. QUESTÃO A soma das raízes da equação em C, z 8 7z, tais que z z, é a). b). c). d). e). alternativa C Sendo z a bi, a d R e b d R, então: z z a bi a b a a b a a a b b b Assim, a questão pede a soma das raízes reais não negativas da equação z 8 7z. Como, para U R, z 8 7z z z z z, a soma pedida é.

2 QUESTÃO Considere a equação em C, (z i). Se z é a solução que apresenta o menor argumento principal dentre as quatro soluções, então o valor de z é a) 9. d). b). e). alternativa B Temos (z i) Zz i Zz i z i z i [ [ z i i z i \ z i i \ z i c). As soluções estão representadas no plano complexo a seguir: A raiz z que apresenta o menor argumento principal é a que apresenta a menor tangente, seja, z i. Logo z ( ). QUESTÃO A soma de todos os números reais x que satisfazem a equação x x x 8 ( ) 9( ) é igual a a) 8. b). c). d) 8. e). alternativa D 8 x x 9 x $ $ $ x x $ 9 $ x x x ( ) 9 $ ( ) x Fazendo x y: y 9y y Pelo dispositivo de Briot-Ruffini e utilizando que é raiz da equação: 9 Assim y 9y y (y ) (y y ) y y y x x Como x > : x x x x x Logo a soma dos reais que satisfazem a equação é 8. QUESTÃO Se os números reais a e b satisfazem, simultaneamente, as equações a b e ln( a b) ln 8 ln, a um possível valor de é b a). d). a b b). e). alternativa A a b a$ e b$ c).

3 ln(a b) ln 8 ln ln(a b) ln 8 a b 8 Logo a e b são as raízes não negativas da equação t 8 t t 8 t e, portanto, como a : da e b 8 da e b 8 a a &. b b QUESTÃO n da e b n & n da e b n 8 Considere as funções f e g, da varíavel real x, definidas, respectivamente, por f(x) e x ax b ax e g(x) ln a k, b em que a e b são números reais. Se f( ) f( ), então pode-se afirmar sobre a função composta g % f que a) g % f() ln. b) b g % f(). c) g % f nunca se anula. d) g % f está definida apenas em {x d R : x > }. e) g % f admite dois zeros reais distintos. Temos alternativa E f( ) a b e f( ) a b e a b a a b b x x Assim, f(x) e ax e gx ( ) lnd n b x lnd n ln x ln. Logo g %f(x) ln( e x x ) ln x x ln, definida para todo x real. Como Δ ( ln ) ln >, g %f(x) admite duas raízes reais distintas. QUESTÃO 7 Considere funções f, g, f g : R " R. Das afirmações: I. Se f e g são injetoras, f g é injetora; II. Se f e g são sobrejetoras, f g é sobrejetora; III. Se f e g não são injetoras, f g não é injetora; IV. Se f e g não são sobrejetoras, f g não é sobrejetora, é (são) verdadeira(s) a) nenhuma. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas III e IV. e) todas. alternativa A Considere f(x) x e g(x) x. Temos que f e g são funções reais de variável real bijetoras e (f g)(x) x ( x) não é injetora nem sobrejetora. Ou seja, as afirmações I e II são falsas. Considere, agora, f(x) x x e g(x) x. Temos que f e g são funções reais de variável real que não são injetoras nem sobrejetoras e (f g)(x) x é bijetora. Ou seja, as afirmações III e IV são falsas. QUESTÃO 8 Seja n > um inteiro positivo não divisível por. Se, na divisão de n por, o quociente é um número ímpar, então o resto da divisão de n por é a). b). c). d). e). alternativa C Pelas condições do problema, n (t ) r, com t dn e r inteiro, r. Portanto n t (r ), r. Como os resíduos quadráticos módulo são,, e 9, podemos, então, concluir que r 9 r. Assim, n t 9 (t ) & n n, seja, como n é ímpar, o resto da divisão de n por é.

4 QUESTÃO 9 Considere a equação / anx n em que a n soma das raízes é igual a e os coeficientes a, a, a, a, a e a formam, nesta ordem, uma progressão geométrica com a. Então / a n é igual a n a). b). d). e). c). alternativa D Como a, a, a, a, a e a formam, nessa ordem, uma PG com a e sendo q a razão dessa PG, temos: / ax n n n a a x a x a x a x a x qx q x q x q x q x Como a soma das raízes complexas da q equação é, temos q. q Logo / a n a a a a a a n q q q q q q q d n. QUESTÃO Seja λ solução real da equação λ 9 λ 7. Então a soma das soluções z, com Re z >, da equação z λ, é a). d). b). e). c). alternativa B Seja λ 9 x, x. Logo λ 9 λ 7 λ 9 ( λ 9) x x x x x x $ x x x # x x 9 x x # Daí, λ 9 λ 9 λ. Assim z λ ( cos i $ sen). Logo k k z dcosd n i $ send nn, k com k d Z; seja, z dcosd n k i $ send nn, k d Z. Como Re(z) >, então as raízes procuradas são: z cos a i $ sen k i e 7 7 z dcos i $ sen n i, cuja soma é i i. QUESTÃO Seja p uma probabilidade sobre um espaço amostral finito Ω. Se A e B são eventos de Ω tais que p(a), p(b) e p(a k B), as probabilidades dos eventos A\B, A j B e A C jb C são, respectivamente, a), e. 7 c), e. 7 e), e. b), e. d), e.

5 alternativa E Podemos construir o seguinte Diagrama de Venn-Euler relativo às probabilidades: Logo P (A\B), P (A j B) 7 e P (A j B) P (A k B) P (A k B). QUESTÃO Considere os seguintes resultados relativamente ao lançamento de uma moeda: I. Ocorrência de duas caras em dois lançamentos. II. Ocorrência de três caras e uma coroa em quatro lançamentos. III. Ocorrência de cinco caras e três coroas em oito lançamentos. Pode-se afirmar que a) dos três resultados, I é o mais provável b) dos três resultados, II é o mais provável. c) dos três resultados, III é o mais provável. d) os resultados I e II são igualmente prováveis. e) os resultados II e III são igualmente prováveis. alternativa D Considerando o espaço amostral equiprovável, temos que as probabilidades de ocorrência dos eventos I, II e III são, respectivamente, p(i) d n, p(ii) f p $ $ d n d n e $ $ 7 p(iii) f p $ d n $ d n $. $ $ 8 Assim, os eventos I e II são igualmente prováveis. QUESTÃO Considere A d M x (R) com det(a) e α d R\{}. Se det(αa t AA t ) α, o valor de α é a). d). b). e). alternativa C c). Como A é uma matriz quadrada de ordem e lembrando que det A t det A, temos para α : det(α A t AA t ) α α det A t det A det A t α α det A det A det A α α (det A) α α α α ( ) QUESTÃO $ Sejam a um número real e n o número de todas as soluções reais e distintas x d [, da equação cos 8 x sen 8 x sen x a. Das afirmações: I. Se a, então n ; II. Se a, então n 8; III. Se a, então n 7; IV. Se a, então n, é (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas III. c) apenas I e III. d) apenas II e IV. e) todas.

6 alternativa E Seja sen x t. Então cos 8 x sen 8 x sen x a ( t) t t a t t a. a Para a temos t a t e para a < não há solução real. Utilizaremos agora o fato de que a equação t sen x, para x d [;, possui: quatro raízes distintas para < t <, três raízes reais distintas para t, duas raízes reais distintas para t e nenhuma raiz real para os demais valores de t. Analisando as afirmações: I. Verdadeira. Pois a <, então n. II. Verdadeira. Pois se a, temos t t, então n 8. III. Verdadeira. Pois se a, temos t t, então n 7. IV. Verdadeira. Pois se a, temos t t, então n. QUESTÃO Se cos x, então um possível valor de 8 cos x sen x cos x sen x sen x sen x ( cos x sen x) sen x cos x sen x cos x cos x (*) Assim, como cos x cos x cos x cos x ± valor de ( ) * é QUESTÃO., um possível Uma reta r tangencia uma circunferência num ponto B e intercepta uma reta s num ponto A exterior à circunferência. A reta s passa pelo centro desta circunferência e a intercepta num ponto C, tal que o ângulo ABC t seja obtuso. Então o ângulo CAB t é igual a a) ABC t. b) ABC t. c) ABC t. d) ABC t. e) ABC t. alternativa B Observe a figura, onde O é o centro da circunferência: cotg x cossec( x ) sec( x) é a). b). c). d). e). alternativa A cotgx cosec( x ) sec( x) cos x sen x sen( x ) cos( x) Sendo m( ABC t ) α, temos mobc ( t ) mocb ( t ) α e maob ( t ) $ a α k α. Logo m(cab) t ( α ) α mabc ( t ).

7 9 QUESTÃO 7 Sobre a parábola definida pela equação x xy y x y pode-se afirmar que a) ela não admite reta tangente paralela ao eixo Ox. b) ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo Ox. c) ela admite duas retas tangentes paralelas ao eixo Ox. d) a abscissa do vértice da parábola é x. e) a abscissa do vértice da parábola é x. alternativa B Observando que x xy y x y (x y) (x y) (x y), rotacionando os eixos coordenados em o no sentido anti-horário obtemos o eixo Ouv tais que: o o u xcos ysen o o v xsen y cos u ( x y) $ x y u. v ( y x) x y v $ A parábola tem equação ( u ) u u v v u que tem eixo paralelo à reta u x y e vértice com abscissa d n d $ e ordenada d n $ $ n $ d n. 8 No eixo Oxy, o vértice da parábola é: f $ f d np $ ; 8 d n $ n d ; n O coeficiente angular da reta tangente à parábola v au bu c, no sistema Ouv, no ponto (u, v ) da parábola, é m au b, que assume todo valor real exatamente uma vez. Assim, toda parábola admite exatamente uma reta tangente paralela a qualquer direção, exceto a do eixo da parábola. Como no sistema Oxy a parábola tem eixo paralelo à reta x y, a parábola admite exatamente uma reta tangente paralela ao eixo Ox. QUESTÃO 8 Das afirmações: I. Duas retas coplanares são concorrentes; II. Duas retas que não têm ponto em comum são reversas; III. Dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, planos paralelos, cada um contendo uma das retas; IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso definem um paralelogramo, é (são) verdadeira(s) apenas a) III. d) III e IV. b) I e III. e) I e II e IV. alternativa D c) II e III. I. Falsa. Duas retas coplanares podem ser paralelas distintas, coincidentes concorrentes. II. Falsa. Duas retas que não têm ponto em comum podem ser paralelas distintas reversas. III. Verdadeira. Seja t // s e concorrente com r. O plano α determinado por r e t, o mesmo para qualquer escolha de t // s, é paralelo à reta s. Existe ainda um único plano β contendo s e paralelo a α. Assim, dadas duas retas reversas, existem apenas dois planos paralelos, cada um contendo uma das retas. IV. Verdadeira. Seja ABCD o quadrilátero reverso a seguir, com A, B e C no plano α e C, B e D no plano β.

8 Somando as equações, obtemos (a b c ) a b c, e substituindo em ( ): c 9 a cm b b cm a c cm Consequentemente, o volume da pirâmide $ VABC é $ $ cm. Se M, N, P e Q são os pontos médios dos lados de ABCD, MN // BC, PQ // BC, MN BC PQ e MN // PQ. Logo MNPQ é um paralelogramo. QUESTÃO 9 Um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo de vértice V, determinando um triângulo ABC cujos lados medem, respectivamente,, 7 e cm. O volume, em cm, do sólido VABC é a). b). c) 7. d). e). alternativa A Consideremos a figura a seguir em que VA a, VB b e VC c. Temos a b ( 7 ) a c ( ). b c ( ) QUESTÃO No sistema xoy os pontos A (, ), B (, ) e C (, ) são vértices de um triângulo inscrito na base de um cilindro circular reto de altura 8. Para este cilindro, a razão volume, em unidade de comprimento, é igual área total da superfície a a). b). c). d). e). alternativa B Como os coeficientes angulares de AC e BC são, respectivamente, iguais a e, AC BC. Assim, o ΔABC é retângulo em C e o raio da circunferência circunscrita a ele é. AB Logo, a razão volume do cilindro é área total da superfície do cilindro $ d n $ 8 8 d n $ $ $.

9 AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE A, DEVEM SER RESOLVIDAS E RESPONDIDAS NO CADERNO DE SOLUÇÕES. QUESTÃO Para z iy, y >, determine todos os pares (a, y), a >, tais que z a. Escreva a e y em função de Arg z. Como z yi, y >, z está no primeiro quadrante e tg(arg z) y y tg(arg z), < Arg z <. Além disso, z y tg ( Arg z) sec( Arg z). Sendo a > e a z, pelo Teorema de De Moivre, Arg a Arg z a z x d D f(x) d R sen x cos x > < x a xk! sen x > sen x > xa xk > < x < xa xk! x x! k < x < k, kdz < x < k < x < k, kdz < x < Logo, D(f) C ; 9. QUESTÃO Arg z k, k! Z a sec ( Arg z) k Arg z, k! Z. a sec ( Arg z) k Já que < Arg z < < k k, temos (a, y) dsec a k, tga kn ( ay, ) dsec d n, tgd nn. Em ambos os casos, (a, y) (sec (Arg z), tg(arg z)). QUESTÃO Determine o maior domínio D R da função f : D " R, f(x) log xa xk ( sen x cos x ). Considere o polinômio P(m) am m 8, em que a d R é tal que a soma das raízes de P é igual a. Determine a raiz m de P tal que duas, e apenas duas, soluções da equação em x, x mx (m )x, estejam no intervalo, [. Sendo a soma das raízes de P igual a, temos a. Assim, P(m) ( ) a m m 8 m m. Seja Q(x) x mx (m )x. Observando que Q( ) ( ) m( ) (m )( ), é raiz de Q. Como m m m Q(x) x x (m ) x (*) Para m, obtemos (*) x x x x x i x i.,

10 Para m, obtemos (*) x x x x x x. Temos < <, logo < < 7 e < < <. Portanto m. QUESTÃO Quantos tetraedros regulares de mesma dimensão podemos distinguir usando cores distintas para pintar todas as suas faces? Cada face só pode ser pintada com uma única cor. Para definir a posição de um tetraedro regular, basta definir a posição de duas de suas faces. Além disso, quaisquer duas faces de um tetraedro são vizinhas. Com isso, podemos dividir o problema em quatro casos: Utilizando uma cor: há possibilidades (basta escolher a cor). Utilizando duas cores: as faces do tetraedro podem ser das cores A, A, A, B A, A, B, B. Observe que nos dois casos apenas a escolha das cores determina o tetraedro. No primeiro caso, fixamos uma face A e uma face B; as tras duas faces só poderão ser A. No segundo caso, fixamos duas faces A; as tras duas faces só poderão ser B. Assim, há f p 8 possíveis tetraedros. Utilizando três cores: as faces do tetraedro serão das cores A, A, B, C. Fixando as faces B e C, as tras duas faces só poderão ser A. Assim, basta escolher as cores para determinar o tetraedro, o que pode ser feito de f p maneiras. Utilizando as quatro cores: pintando o tetraedro de A, B, C, D, se fixarmos quaisquer duas faces A e B, haverá duas possibilidades para as tras faces: C, D e D, C. Assim, há dois tetraedros possíveis (sendo estes tetraedros enantiomorfos). O total de tetraedros distinguíveis após rotações é, portanto, 8. Obs.: se considerarmos tetraedros distinguíveis após rotações e reflexões, o total é, já que, no último caso, os dois tetraedros deixariam de ser distinguíveis após uma reflexão. QUESTÃO Considere o sistema na variável real x: x x α * x x β. a) Determine os números reais α e β para que o sistema admita somente soluções reais. b) Para cada valor de β encontrado em (a), determine todas as soluções da equação x x β. a) Seja r d R uma raiz de x x α x x α. O sistema tem solução se, e somente se, Δ ( ) ( α) α α e r r α r r α r r β r r $ ( r α) β r r α r r rα β α α r r α rα β α α( α) dr eβ n α α( α) dr eβ n Assim, o sistema tem somente soluções reais se, e somente se, α e α( α) α( α) β β

11 b) Sendo r como no item anterior, temos que r é também solução de x x β x x β. Assim, r β r r r r β e x x β x r x rx (r ). O discriminante dessa equação é Δ r (r ) r (r α) α r para β α αr. Sejam θ e θ as raízes quadradas complexas (possivelmente reais) de α r. Então x x β r θ r θ x r x x e r θ r θ V ( r,, para β α αr, r α r α e θ, θ raízes quadradas de α r. Nota: Para admita somente soluções reais, desconsideramos o conjunto vazio e os conjuntos soluções com elementos não reais. QUESTÃO Considere o sistema nas variáveis reais x e y: xsen α y cos α a * x cos α ysen α b, com α d 9, 9 e a, b d R. Analise para que valores de α, a e b o sistema é (i) possível determinado, (ii) possível indeterminado (iii) impossível, respectivamente. Nos casos (i) e (ii), encontre o respectivo conjunto-solução. O sistema é spd se, e somente se, senα cosα cosα senα sen α cos α cos α cosα ±. Como α d 9 ; 9, α, a d R e b d R. Resolvendo o sistema para α, a d R e b d R: a cosα b senα asenα bcosα x cos α cos α senα a cosα b bsenα acosα y cos α cos α a senα b cosα b senα a cosα V * f ; p cos α cos α Para α : x $ y $ a x y a x y b x y b $ $ Se a b a b, o sistema é impossível. Se a b, temos: x y a y a x V ; a λ * dλ ndr, λdr Resumindo: para α d 9 ; 9, a d R e b d R, Sistema possível e determinado α e a d R e b d R; a senα b cosα b senα a cosα V * f ; p. cos α cos α Sistema impossível α e a b ; V. Sistema possível e indeterminado α e a b ; a λ V * dλ; ndr, λdr.

12 QUESTÃO 7 Encontre os pares (α, β)! C, 9# C, 9 que satisfazem simultaneamente as equações (tg α cotg β) cos α sen β cos (α β) e sen( α β) cos( α β). Temos α β e < α β <. Assim, cos(α β) > e ( tgα cotgβ) cosαsenβ cos ( α β) sen( α β) cos( α β) (y x ) (y x ) e x x y 8. x Temos (y x ) dy n y x y x e x x y 8 (x ) y. Observemos a figura: senα cosβ d ncosα senβ cos ( α β) cosα senβ sen( α β) cos( α β) senαsenβ cosαcosβ cos ( α β) sen sen( α β) cos cos( α β) cos cos ( α β) cos( α β) cosaα β k cos cos( α β) cos( α β) α β α β α β aα β α β k α β α β Assim, os pares pedidos são a ; ke a ; k. QUESTÃO 8 Determine a área da figura plana situada no primeiro quadrante e delimitada pelas curvas O ponto C, de abscissa positiva, é a intersecção da reta y x com a circunferência, isto é, a solução do sistema y x ( x ) y 9 x > x y. Logo C (; ). A área destacada é igual à diferença entre as áreas do semicírculo, de diâmetro BE e centro A, e a soma das áreas do ΔBED com o segmento circular de arco CE!, isto é, $ $ $ $ > f ph QUESTÃO 9 Em um triângulo de vértices A, B e C, a altura, a bissetriz e a mediana, relativamente ao vértice C, dividem o ângulo BCA t em quatro ângulos iguais. Se l é a medida do lado oposto ao vértice C, calcule:

13 a) A medida da mediana em função de l. b) Os ângulos CÂB, ABC t e BCA t. Seja C o ponto diametralmente oposto a C na circunferência circunscrita do ΔABC. Então mcc ( t B) mc ( ÂB) e m ( CBC t ) m ( CDA t ) 9º, de modo que mccb ( t ) m ( ACD t ). Logo o diâmetro CC contém a mediana e o circuncentro O de ABC. Como O é a interseção da reta que contém a mediana por C e da mediatriz de AB, que são distintas e contêm o ponto médio M de AB, os pontos O e M coincidem. Portanto ΔABC é retângulo em C. a) M é o ponto médio da hipotenusa AB. Logo CM AB,. b) Temos α 9º α º. Sendo os triângulos COB e COA isósceles, os ângulos de ΔABC são α º, α 7º e m ( BCA t ) 9º. Os ângulos ABC t e CÂB podem ser º e 7º em qualquer ordem. QUESTÃO Seja ABCDEFGH um paralelepípedo de bases retangulares ABCD e EFGH, em que A, B, C e D são, respectivamente, as projeções ortogonais de E, F, G e H. As medidas das arestas distintas AB, AD e AE constituem uma progressão aritmética cuja soma é cm. Sabe-se que o volume da pirâmide ABCF é igual a cm. Calcule: a) As medidas das arestas do paralelepípedo. b) O volume e a área total da superfície do paralelepípedo. Sendo (a r, a, a r) a progressão aritmética de razão r cujos elementos são AB, AD e AE, temos a r a a r a cm. a) Sendo cm o volume da pirâmide ABCF, ( r) $ ( r) r ±. Assim, as medidas das arestas são cm, cm e cm. b) O volume do paralelepípedo retorretângulo ABCDEFGH é cm e sua área total é ( ) 9 cm.

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