Exemplo de Aplicação de Geostatística

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1 Exemplo de Aplicação de Geostatística Projecto Arsénio Universidade do Algarve UCTRA Faro, Dezembro 1998 Luís Miguel Nunes

2 1. Introdução Foi objectivo deste trabalho a avaliação da intensidade da poluição da camada superficial do solo no polo industrial de AAAA, sito em BBBB, entre as coordenadas U.T.M. aa1,aa1, bb1,bb1, e aa2,aa2, bb2,bb2, com o fim de definir a área a recuperar e identificar áreas de risco para a saúde humana, recursos hídricos e ecossistemas. O trabalho foi desenvolvido nos seguintes passos: i) a análise preliminar dos dados, que incluiu a análise estatística básica dos dados originais, e a sua projecção bidimensional; ii) o estudo da dispersão espacial da variável - variografia; iii) a estimação global dos valores médios do poluente, isto é a interpolação dos teores para pequenas áreas do domínio; iv) a estimação local dos teores do poluente arsénio; v) determinação do risco do valor de referência para o solo ser ultrapassado. Cada um dos passos referidos mereceu neste relatório um capítulo próprio. O conhecimento da estrutura de distribuição interna dos dados originais permite conhecer também a distribuição dos dados estimados - igual à dos dados originais; isto tem aplicações evidentes, por exemplo na obtenção de intervalos de confiança dos valores estimados, e no teste da estimação efectuada. Consideraram-se áreas poluídas todas aquelas que ultrapassassem o valor de referência para o teor de arsénio no solo em estudo, estimado em 23 ppm (dada a inexistência de dados específicos sobre o solo em questão utilizou-se o valor médio dos sedimentos de referência do BCR (1994) e NRCC (1994). Este valor passou, a ser considerado como o valor de corte no tratamento posterior dos dados. Os dados originais correspondentes aos teores em As no solo na área industrial de 1600 ha (4000 x 4000 m) foram codificados num sistema ortogonal bidimensional com origem na coordenada U.T.M. aa1,aa1, bb1,bb1, e evolução positiva no sentido norte e este, respectivamente para o eixo de representação das ordenadas e abcissas dum sistema cartesiano. A amostragem foi realizada numa malha regular quadrada com 200 metros de face. 2. Análise preliminar dos dados Nesta fase pretendeu-se identificar a estrutura dos dados originais, nomeadamente a sua distribuição de frequências e existência de valores extremos. Procedeu-se, assim, aos seguintes passos: i) obtenção do histograma; ii) teste de ajustamento à distribuição Normal; tendo este último dado não significativo, realizou-se ainda iii) histograma do logaritmo natural valores originais; teste de ajustamento à distribuição Normal. Os Luís Miguel Nunes

3 tratamentos referidos são descritos com maior pormenor nas alíneas seguintes Parâmetros estatísticos; ajustamento a distribuições teóricas (Normal e LogNormal) A projecção da distribuição de frequências resultou no gráfico da figura 1a. A forma da distribuição de frequências dos valores originais é visivelmente diferente da esperada para uma distribuição Normal. Isto é confirmado por observação da figura 1b Nº de observações Categoria (limite superior) a) Valores normais esperados b) Resíduos Figura 1. a) Histograma dos valores originais - é visível a dissemelhança entre os valores reais e os esperados.; b) projecção dos valores normais esperados contra os resíduos. Testou-se ainda se a variável teria uma distribuição LogNormal. A análise das figuras 2a e 2b poderiam deixar algumas dúvidas, pelo que foi realizado um teste de ajustamento à distribuição Normal dos logaritmos naturais dos valores originais. Os resultados obtidos foram significativos (Qui-quadrado: 505,8, gl: 21 - muito acima do valor tabelado), pelo que se concluiu pelo não seguimento de uma distribuição LogNormal. 2

4 Nº de observações Categoria (limite superior) Valor Normal esperado Figura 2. a) Histograma dos logaritmos dos valores originais.; b) projecção dos valores normais esperados contra os resíduos. Não são conhecidas referências a outras distribuições para casos de contaminação do solo com arsénio, pelo que não foi tentada outra descrição teórica do comportamento dos dados. Alguns parâmetros estatísticos são apresentados nas tabelas I e II. Tabela I. Parâmetros estatísticos dos valores originais. Média 73,4 Mediana 23,0 Int. conf. -95% 59,1 Int. conf. + 95% 87,7 Mínimo 4,0 Máximo 760,0 Quartil inferior 12,0 Quartil superior 29,1 Variância 21149,0 Desvio padrão 145,4 Kurtosis 8,9 Enviesamento 3,0 Tabela II. Parâmetros estatísticos dos logaritmos dos valores originais. Média 3,32 Mediana 3,14 Int. conf. -95% 3,22 Int. conf. + 95% 3,46 Mínimo 1,38 Máximo 6,63 Quartil inferior 2,49 Quartil superior 3,37 Variância 1,34 Desvio padrão 0,06 Kurtosis 1,33 Enviesamento 1,19 3

5 2.2. Projecção dos dados originais A detecção de estruturação nos dados é fundamental a fim de considerar as estruturas detectadas nos modelos matemáticos de inferência. A observação de cartas de isolinhas de concentração pode permitir detectar tendências na distribuição dos teores (e.g., tendência de aumento dos teores em determinada(s) direcção(ões)). Esta tendência pode ser descrita por modelos matemáticos simples (polinómios de diferentes graus) e adicionada ao modelo de variabilidade (γ(h)). O cálculo resultante não se torna demasiado pesado ou demorado já que os coeficientes do polinómio são calculados em simultâneo com os pesos de krigagem (num processo designado por Kriging Universal, em oposição ao Kriging Simples e Ordinário, em que não é considerada tendência - do inglês trend). Os dados originais não parecem apresentar tendência (figuras 3a e 3b, em anexo), pelo que se prossegue com a inferência utilizando kriging ordinário. 3. Dispersão espacial da variável 3.1. Breve revisão teórica O semi-variograma é o parâmetro mais utilizado em geoestatística para quantificar a variabilidade espacial. Este é definido como a variância do incremento [Z(u)- Z(u+h)]. Para uma função aleatória estacionária, u 2γ(h) = Var {Z(u+h) - Z(u)} (1) = C(0) - C(h), com C(h) a covariância estacionária, e C(0) = Var {Z(u)} a variância estacionária. Tradicionalmente o variograma tem sido utilizado em substituição da covariância, isto deve-se à menor exigência imposta pela sua definição - que exige apenas estacionaridade de segunda ordem, i.é, da variância, esta condição é designada de Hipótese intrínseca. Esta menor exigência do modelo de função aleatória tem sido demonstrado não ter consequências na maioria dos casos práticos (Deutsch & Journel, 1992). Na essência, o variograma, substitui a distância Euclidiana, h, pela distância 2γ(h), que é específica do atributo e do local em estudo. A distância dada pelo variograma mede o grau médio de dissimilitude entre um valor não amostrado, z(u), e um valor amostrado vizinho. O semi-variograma tradicional tem a seguinte forma: 4

6 γ( h) N( h) 1 = ( xi yi ) 2N ( h) i= 1 2 (2) Outras formas de variograma podem ser definidas, com utilizações mais específicas, mas que permitem decompor a variabilidade espacial em estruturas mais bem definidas. São exemplos (Deutsch & Journel, 1992) o variograma relativo emparelhado (Pairwise relative variogram, o variograma dos logaritmos, neste caso o variograma é calculado sobre o logaritmo natural (Neperiano) dos valores das amostras; o rodograma, o madograma, e o semi-variograma indicador. Neste último o semi-variograma é calculado sobre uma variável indicatriz construída internamente. Requer a especificação de uma variável contínua e valor de cutoff para criar a transformada indicadora. Para um dado valor de cutoff, cut k e valor amostrado x i, a transformada indicadora ind i é definida por I(u, z) 1,Z(u) z 0,cc (7) Por vezes é mais conveniente definir a variável indicadora como 1 se esta ultrapassar o valor de corte, z; o variograma indicador não é alterado por esta transformação, i.é, γ I = γ J com J = 1 - I. Mais do que uma medida pode ser calculada ao mesmo tempo. Por exemplo, a modelação do variograma tradicional pode ser facilitada por inferência das direcções de anisotropia e das razões das amplitudes através de variogramas mais robustos ou do rodograma. Neste estudo foram utilizados o semi-variograma tradicional e o semivariograma indicador. O primeiro permitiu obter as estimativas dos teores médios e locais em pontos não amostrados; enquanto o segundo foi utilizado, para obter a função de probabilidade acumulada condicional posterior, e com esta a probabilidade do valor de corte (23 ppm As, coincidente com o percentil 50) ser ultrapassado Resultados Os modelos obtidos foram do tipo esférico (esperado no caso do variograma da variável indicatriz, já que o corte foi feito coincidente com a mediana (Carr, 1995)). O modelo esférico teórico é dado pela expressão (8). 5

7 h 3 h h γ( h) = c. Esf = c 15, 0, 5 a 3 a a se h a (8) = c se h a em que c representa a variância à priori - variância dos dados. a) Variável original A distribuição dos valores calculados o ajustamento manual podem ser observados na figura 4a Semi-variograma As Variograma omnidireccional G a m a VALORES TEORICOS VALORES EXPERIMENTAIS Distancia (m) C C A1-800 a).3.27 G a m a C0-.17 C A Distancia (m) b) Figura 4. a) semi-variograma dos valores originais, pontos reais e curva de ajustamento; b) semi-variograma da variável indicatriz, pontos reais e curva de ajustamento Não foi detectada anisotropia a partir dos dados disponíveis, pelo que o modelo de semi-variograma ajustado para as quatro direcções principais é igual. O modelo ficou definido com um efeito de pepita importante (quase 50% da variabilidade não é explicada pelo modelo esférico - veja-se tabela I), indicador de causas de variabilidade com dimensão inferior à dimensão da malha utilizada na amostragem, bem como alguma variabilidade analítica; um modelo esférico com amplitude de 800 m. O modelo resultante é da forma (9): 6

8 γ(h) = ,65 h - 0,017 h 3 h ,0 h 800 (9) Valores estimados (ppm) Y Valores reais (ppm) Regressão 95% conf. = 52, ,28736 * X Correlação: r = 0,53302 Estatísticos: Teor médio das amostras (m a ): 73,394 ppm Teor médio estimado (m e ): 73,670 ppm Erro médio (e m ): 0,276 ppm Erro relativo médio (e m / m a ): 0,376 % Erro relativo quadrático médio: 0,9991 Figura 5. Qualidade do ajustamento do semi-variograma ajustado à variável original; teste do ponto fictício ao semi-variograma utilizado. O modelo ajusta-se bem aos valores calculados: o erro relativo quadrático médio (quociente entre a média dos quadrados dos erros de estimação, e a variância de krigagem) é praticamente igual à unidade, indicando uma boa aproximação do erro de krigagem. b) Variável indicatriz O modelo de semi-variograma ajustado aos dados transformados (figura 4b) reflecte também a isotropia encontrada. Neste caso o efeito de pepita ultrapassa os 68%; e a amplitude ascende a 1300 m. γ(h) = 0,17 + 2,88x10-4 h - 7,4x10-8 h 3 h ,2497 h > 1300 (10) O teste do ponto fictício ao semi-variograma (10) gerou os seguintes resultados: 7

9 Estatísticos: Média das amostras (m a ): 0,470 Média estimada (m e ): 0,471 Erro médio (e m ): 0,0008 Erro relativo médio (e m / m a ): 0,174 % Erro relativo quadrático médio: 1,0479 Também neste caso o modelo utilizado apresentou bom ajustamento. 4. Inferência (kriging) 4.1. Breve revisão teórica Discussão realizada com base em textos de Deutsch & Journel (1992), Isaaks & Srivastava (1989), Journel (1987), e Clark (1979). Em geoestatística a maioria da informação relacionada com um valor não amostrado z(u) provém de amostras vizinhas em locais u α, definidos no atributo z, ou em qualquer outro atributo, e relacionado com z. Assim é importante modelar o grau de correlação ou dependência entre um qualquer número de VAs Z(u), Z(u i ), i= 1..n, e mais genericamente Z(u), Z(u i ), i= 1..n, Y(u j ), j= 1..n. O conceito de Função Aleatória (FA) permite essa modelação e a actualização da função de densidade acumulada na função de densidade acumulada condicional. O paradigma subjacente muitos dos processos de inferência (não apenas a inferência estatística) é a de trocar os replicados inexistentes num local u por outros replicados disponíveis noutros locais no espaço e/ou tempo. Por exemplo, a função de densidade acumulada F(u; z) pode ser inferida a partir da distribuição de amostragem de z-amostras recolhidas noutros locais, u α u, no mesmo campo de amostragem, ou no mesmo local u, mas em diferentes tempos, se estiverem disponíveis séries temporais (Z(u, t)). Esta troca de replicados corresponde à hipótese (na realidade uma decisão) de estacionaridade. A expressão da variância de krigagem depende de três coisas: i) da geometria básica das amostras e da área a estimar; ii) da forma do semivariograma; iii) dos pesos atribuídos a cada amostra. A variância de krigagem (local)pode ser escrita da seguinte forma: σ 2 k = wiγ ( Si, A ) + λ γ ( A, A ) (10) em que o primeiro termo é o semi-variograma entre cada ponto amostrado, S, e cada ponto da área a estimar, A; o segundo termo é o parâmetro de Lagange; o terceiro termo é o semi-variograma entre cada ponto da área e cada ponto da área a estimar. 8

10 Kriging simples n n ZKS * ( u) = λα ( u) Z ( uα ) + 1 λα ( u) m (11) α= 1 α= 1 Os λ α (u) são determinados por forma a minimizar a variância do erro, também designada variância de estimação. Essa minimização resulta num conjunto de equações normais, equivalente ao sistema (12): n λ β u C u β u α = C u u α β= 1 ( ) ( ) ( ) (12) α = 1...n A correspondente variância de estimação, ou variância de krigagem vem n 2 σsk ( u) = C( 0) λ α ( u) C( u u α ) (13) α= 1 O kriging ordinário (KO) é a variante mais comum do algoritmo anterior, onde a soma dos pesos λ α (u) = 1. Isto permite construir um estimador Z * KO(u) que não requer conhecimento da média estacionária, m, à priori. No entanto mantém-se não enviesado no sentido em que E{Z * KO(u) } = E{Z(u)}. O kriging, simples e ordinário, tem servido para fornecer o melhor estimador linear não enviesado de valores não amostrados z(u), em que a variância de krigagem é utilizada para definir intervalos de confiança de tipo Gaussiano, por exemplo: * [ KS KS ] Pr ob{ Z( u) z ( u) ± 2σ ( u) } 0, 95 (14) Infelizmente as variâncias de krigagem do tipo (13) sendo independentes dos valores das amostras fornecem apenas uma ordem de configurações geométricas dos dados alternativas. Assim, as variâncias de krigagem não são normalmente medidas da acurácia da estimação local. Deve ter-se em atenção que os estimadores de krigagem do tipo (11) são os melhores apenas no sentido do menor erro quadrático médio para um dado modelo de covariância/variograma. Minimizar o erro quadrático esperado não é sempre o mais importante critério para um estudo; pode, por exemplo, preferir-se um algoritmo que minimize o impacto (perda) do erro resultante. Esta decisão de análise requer uma distribuição de probabilidade. Para satisfazer esta necessidade apresentam-se duas soluções: Abordagem Multigaussiana; e Kriging Indicador. A abordagem multigaussiana não foi utilizada neste estudo, pelo que não é discutida. 9

11 Krigingagem da Indicatriz Se o valor a ser estimado é o valor esperado (média) de uma distribuição, então a regressão dos mínimos quadrados (MQ), i.é, kriging, é à priori o melhor algoritmo. A razão é a de que o estimador de MQ da variável Z(u) é também o estimador da sua esperança condicionada E{Z(u) (n)}, i.é, da média da função de densidade acumulada condicional. Agora, em vez da variável z(u), considere-se a sua transformada binária indicadora I(u; z) como definido na relação (7). A krigagem da variável aleatória I(u; z) fornece uma estimação que é também a melhor estimação de MQ da expectativa condicional de i(u; z). Mais, a expectativa condicional I(u; z) é ela própria igual à função de densidade acumulada condicional de Z(u), na realidade E{I(u; z) (n)} = 1. Prob {I(u; z) = 1 (n)} + 0. Prob {I(u; z) = 0 (n)} = 1. Prob {Z(u) z (n)} F(u; z (n)) (15) Assim o algoritmo aplicado a dados indicadores (frequências) fornece estimativas MQ da função de densidade acumulada condicional. Note-se que o KI não se destina a estimar valores não amostrados z(u) ou as suas transformadas i(u; z), mas antes a fornecer um modelo de incerteza em torno de z(u). O algoritmo KI diz-se não paramétrico no sentido em que não aborda a função de densidade acumulada condicional através dos seus parâmetros, mas antes os valores da função de densidade acumulada condicional para os vários valores de corte, z, são estimados directamente Resultados e discussão Era objectivo deste estudo a estimação dos valores médios do poluente em subáreas (blocos) do domínio. Consideraram-se subáreas de dimensão 50 x 50 m e 100 x 100 m, para as quais foi estimado o valor médio (apontado no centro de massa). Outro objectivo prendia-se com a estimação dos valores pontuais num reticulado mais apertado que o original, por forma a obter cartas de distribuição de concentrações. Optou-se neste caso por uma malha quadrada regular com 50 metros de lado. Por último foi proposto obter cartas de distribuição da probabilidade do valor de referência ser ultrapassado - auxiliares preciosas de decisão. As projecções da variável transformada foram realizadas numa malha quadrada regular com 50 x 50 m. A apresentação dos resultados segue a ordem utilizada atrás. 10

12 a) Estimação global dos teores médios Blocos 50 x 50 m O valor médio e variância da inferência (kriging) são apresentados na tabela III. Tabela III. Parâmetros estatísticos básicos das estimativas realizadas. Nº de blocos média estimada 2 s k 50 x ,2 7495,5 100 x ,2 7408,7 pontual OK ,3 7578,6 pontual IK ,47 0,20 O valor médio calculado é ligeiramente superior ao dos dados originais (+ 2,56%), o que é justificado pelo ligeiro deslocamento da curva de distribuição de frequências dos valores estimados para a direita (Tabela IV). Tabela IV. Parâmetros estatísticos dos valores médios estimados nos blocos de 50 x 50 m (5776 pontos). Média 75.2 Mediana 40.9 Int. conf. -95% 72.9 Int. conf. + 95% 77.5 Mínimo 6.9 Máximo Quartil inferior 21.4 Quartil superior 90.7 Variância Desvio padrão 86.6 Kurtosis 6.2 Enviesamento 2.4 Comparando os parâmetros estatísticos obtidos nesta estimação com os dos dados originais é visível o maior achatamento da curva (kurtosis), de 8,9 para 6,2, acompanhado de uma maior distância interquartis, e um menor enviesamento, 3,0 para 2,4; os valores extremos aproximaram-se. Como consequência a variância decresceu acentuadamente. A média e a mediana sofreram uma deslocação para a direita, mais acentuada na última, de 73,4 para 75,2, e de 23,0 para 40,9, respectivamente. Esta deslocação fez aproximar o valor da média do da mediana, tornando a distribuição mais simétrica (facto também evidente no parâmetro enviesamento). Os resultados são apresentados na figura 6 em anexo. Blocos 100 x 100 m As observações feitas no caso anterior são válidas também na estimativa dos valores médios nos blocos 100 x 100 m (tabela V). Neste caso a média é 2,48% superior à media das amostras. A variância de krigagem é superior, o que é facilmente explicado se atender à configuração espacial dos dados e à expressão da variância (Journel, 1987): 2 σ = λ γ α γ kv i ( v, u ) ( v, v) (16) 11

13 1 N em que γ( v, uα ) = γ( u i, uα ), isto é o semi-variograma médio entre cada N i = 1 ponto de discretização, u i, e cada ponto de amostragem, u α, e 1 N N γ( v, v) = γ( u i, u j ), isto é o semi-variograma médio entre cada ponto 2 N i = 1 j = 1 de discretização da subárea (no caso N =6). Tabela V. Parâmetros estatísticos dos valores médios estimados nos blocos de 100 x 100 m (1444 pontos) Média 75.2 Mediana 40.9 Int. conf. -95% 70.8 Int. conf. + 95% 79.7 Mínimo 7.8 Máximo Quartil inferior 21.8 Quartil superior 88.9 Variância Desvio padrão 86.1 Kurtosis 6.2 Enviesamento 2.4 Sendo o semi-variograma uma função crescente (entre zero e a amplitude), então os valores utilizados na expressão (16) são maiores no caso dos blocos 100 x 100 m que no caso anterior. A representação gráfica dos resultados é feita na figura 7 em anexo. b) Estimação local dos teores Tabela VI. Parâmetros estatísticos dos valores locais estimados para a malha de 50 x 50 pontos. Média 75.3 Mediana 40.7 Int. conf. -95% 73.1 Int. conf. + 95% 77.6 Mínimo 6.7 Máximo Quartil inferior 21.4 Quartil superior 90.3 Variância Desvio padrão 87.1 Kurtosis 6.2 Enviesamento 2.4 O erro de estimação foi, neste caso, de 2,65%, superior ao obtido em ambos os casos de estimação em blocos (Tabela VI). A dispersão da distribuição e o enviesamento são próximos dos obtidos para a estimação em blocos 50 x 50 m. Este resultado é facilmente explicado se se atender à formulação matemática subjacente ao cálculo. A diferença entre a primeira equação do sistema de krigagem entre a krigagem pontual e a krigagem em bloco reside apenas no segundo termo: na primeira é calculado o semi-variograma médio entre os pontos de amostragem e os pontos a estimar (no caso os vértices dos blocos quadrados de 50 x 50 m); enquanto no segundo é calculado o semi-variograma médio entre os pontos de amostragem e os N (no caso 6) pontos de discretização. A maioria dos pontos dentro do bloco 50 x 50 está mais perto dos vértices - pontos da estimação pontual que dos pontos internos aos blocos 100 x 12

14 100 m. Esta proximidade reflecte-se no valor do variograma, e consequentemente na proximidade dos valores estimados. A projecção dos valores estimados permitiu desenhar as figuras 8 e 9 em anexo. Na figura 10, em anexo, são apresentados os desvios padrão estimados para os valores locais. c) Cartas de risco Os parâmetros estatísticos são apresentados na tabela VII. Tabela VII. Parâmetros estatísticos dos valores locais da variável indicatriz no corte 23 ppm. Malha de 50 x 50 pontos. Média 0.47 Mediana 0.00 Int. conf. -95% 0.42 Int. conf. + 95% 0.52 Mínimo 0.00 Máximo 1.00 Quartil inferior 0.00 Quartil superior 1.00 Variância 0.25 Desvio padrão 0.50 Kurtosis Enviesamento 0.12 A carta de risco, figura 11 em anexo, foi obtida por projecção dos valores estimados a partir da variável indicatriz, e representa a probabilidade do valor de referência para o solo (23 ppm As) ser ultrapassado. Permite definir a área a recuperar com base num qualquer nível de corte. Razões essencialmente económicas podem estabelecer como limite mínimo do risco o patamar dos 80%, isto é, garantindo que a área a recuperar está realmente contaminada. Se é previsível risco para a saúde pública ou contaminação das águas subterrâneas, então o patamar de risco deve ser descido para os, p.e., 10 ou 15 % - isto é, procurar garantir que a recuperação se faz em toda a área contaminada, com 85 a 90% de certeza. 13

15 5. Referências BCR (1994). Reference Materials. Committee Bureau of Reference. Bruxels. Carr, J.R. (1995). Numerical Analysis for the Geological Sciences. Prentice Hall, New Jersey. 592pp. Clark, I. (1979). Practical Geostastistics. Applied Science Pubs Ltd, London, 129 pp. Deutsch, C. V. & Journel, A. G. (1992). GSLIB: Geostatistical Software Library and User s Guide. Version Oxford University Press, New York. 314pp. Isaaks, E.H. & Srivastava, R.M. (1989). Applied Geostatistics. Oxford University Press, New York. 559 pp. Journel, A.G. (1987). Geostatistics for the Environmental Sciences. An Introduction. Project Nº CR George T. Flatman Exposure Assessment Research Division /EPA. Env. Monitoring Systems Lab. Las Vegas. NRCC (1994). Marine Reference Materials Standards. Marine Analytical Chemistry Standard Program. National Research Council Canada. Institute for Marine Biosciences & Institute for Environmental Chemistry. 14

16 Figuras 15

17 Índice 1. INTRODUÇÃO ANÁLISE PRELIMINAR DOS DADOS PARÂMETROS ESTATÍSTICOS; AJUSTAMENTO A DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (NORMAL E LOGNORMAL) PROJECÇÃO DOS DADOS ORIGINAIS DISPERSÃO ESPACIAL DA VARIÁVEL BREVE REVISÃO TEÓRICA RESULTADOS... 5 a) Variável original...6 b) Variável indicatriz INFERÊNCIA (KRIGING) BREVE REVISÃO TEÓRICA RESULTADOS E DISCUSSÃO a) Estimação global dos teores médios...11 b) Estimação local dos teores...12 c) Cartas de risco REFERÊNCIAS...14 FIGURAS

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