Cálculo Diferencial e Integral II

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1 Cálculo Diferencial e Integral II Claudio Aguinaldo Buzzi Departamento de Matemática UNESP - Campus de São José do Rio Preto

2 Índice 1 Superfícies especiais Planos Cilindros Quádricas Funções reais de duas variáveis reais 9.1 Domínio Gráfico Curvas de nível Funções reais de três variáveis reais Domínio Superfícies de nível Noções topológicas no plano e no espaço 14 Primeira Lista de Exercícios Limites e continuidade: definição e propriedades 17 Segunda Lista de Exercícios Derivadas parciais Definição e interpretação geométrica Diferenciabilidade Terceira Lista de Exercícios Vetor Gradiente Quarta Lista de Exercícios Regra da Cadeia Derivação de funções definidas implicitamente Quinta Lista de Exercícios Primeira Prova Derivada Direcional Derivadas parciais de ordem superior Sexta Lista de Exercícios Generalização do Teorema do Valor Médio Fórmula de Taylor com resto de Lagrange Extremos Locais: Máximos e Mínimos Sétima Lista de Exercícios Segunda Prova Multiplicadores de Lagrange Revisão de Integrais de funções de uma variável Integral dupla Definição Propriedades da integral Teorema de Fubini Oitava Lista de Exercícios Aplicações ii

3 7.5 Mudança de Variáveis Nona Lista de Exercícios Integral tripla Definição Propriedades da integral Mudança de Variáveis Aplicações Décima Lista de Exercícios Funções Vetoriais Definição Operações Limite e Continuidade Derivada Curvas parametrizadas: vetores tangentes, comprimento de arco Integral de Linha 14 Terceira Prova Décima Primeira Lista de Exercícios Função Potencial Diferenciais Exatas Independência dos Caminhos Teorema de Green Décima Segunda Lista de Exercícios Integral de Superfícies Noções sobre superfícies e planos tangentes Integral de Superfícies Teoremas de Gauss e de Stokes Aplicações Décima Terceira Lista de Exercícios Quarta Prova iii

4 Aula 1: 4//1 Conteúdo Programático do Curso 1. Superfícies especiais. (a) Planos (b) Cilindros (c) Quádricas. Funções reais de duas variáveis reais. (a) Domínio (b) Gráfico (c) Curvas de nível 3. Funções reais de três variáveis reais. (a) Domínio (b) Superfícies de nível 4. Noções topológicas no plano e no espaço. 5. Limites e continuidade: definição e propriedades. 6. Derivadas parciais. (a) Definição e interpretação geométrica (b) Diferenciabilidade (c) Vetor gradiente (d) Regra da cadeia (e) Derivação de funções definidas implicitamente (f) Derivada direcional (g) Derivadas parciais de ordem superior (h) Generalização do Teorema do Valor Médio (i) Fórmula de Taylor com resto de Lagrange (j) Aproximação linear (k) Diferenciais (l) Extremos locais: máximos e mínimos (m) Multiplicadores de Lagrange (n) Aplicações 1

5 7. Integral dupla. (a) Definição (b) Propriedades (c) Teorema de Fubini (d) Mudança de variáveis (e) Aplicações 8. Integral tripla. (a) Definição (b) Propriedades (c) Mudança de variáveis (d) Aplicações 9. Funções vetoriais. (a) Definição (b) Operações (c) Limite e continuidade (d) Derivada (e) Curvas parametrizadas: vetores tangentes, comprimento de arco 1. Integral de linha. (a) Independência de caminhos (b) Diferenciais exatas (c) Função potencial (d) Teorema de Green 11. Integral de superfície. (a) Teoremas de Gauss e de Stokes (b) Aplicações Bibliografia 1. Guidorizzi, H. L. - Um curso de cálculo, Vol. e 3, LTC, Rio de Janeiro, 1.. Pinto, D. e Cândida, F. M. - Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, UFRJ, Rio de Janeiro, Stewart, J. - Cálculo, Vol., Thompson, São Paulo, 4

6 4. Flemming, D. M. e Gonçalves, M. B. - Cálculo B, Pearson Prentice Hall, São Paulo, Anton, H. - Cálculo: um novo horizonte, Bookman,. 6. Thomas, G. B. - Cálculo, Vol., Addison-Wesley, São Paulo, 3. Avaliação Serão aplicadas 4 provas. A média final será obtida como uma média aritmética entre as notas dos semestres. A matéria da primeira prova será tudo o que for visto até o dia da prova. A matéria da segunda prova será toda a matéria do primeiro semestre. A matéria da terceira prova será a matéria que for vista do início do segundo semestre até o dia da terceira prova. A matéria da quarta prova será toda a matéria do segundo semestre. Se a nota da segunda prova for maior que a nota da primeira prova, então a nota do primeiro semestre será a nota da segunda prova. Se a nota da segunda prova for menor ou igual a nota da primeira prova, então a nota do primeiro semestre será a média aritmética das notas da primeira e segunda provas. Se a nota da quarta prova for maior que a nota da terceira prova, então a nota do segundo semestre será a nota da quarta prova. Se a nota da quarta prova for menor ou igual a nota da terceira prova, então a nota do segundo semestre será a média aritmética das notas da terceira e quarta provas. Somente os alunos que perderem uma das 4 provas, por motivo justificado, poderão fazer outra prova no dia /1. Ao final do curso os alunos que obtiverem média igual ou superior a 5, (cinco) e pelo menos 7% de freqüência serão aprovados. Os alunos que tiverem média inferior a 5, (cinco) e pelo menos 7% de freqüência poderão fazer uma prova de recuperação. Nesse caso a média final é obtida fazendo-se a média aritmética entre a média anterior com a nota da recuperação. Se a média final for igual ou superior a 5, (cinco) o aluno será aprovado, caso contrário será reprovado. Os alunos que tiverem freqüência inferior a 7% serão reprovados por faltas. As datas das provas: Prova 1: Sexta, 3 de abril. Prova : Sexta, 18 de junho. Prova 3: Quinta, 3 de setembro. Prova 4: Terça, 3 de novembro. Prova Perdida: Quinta, de dezembro. Recuperação: Quinta, 9 de dezembro. 3

7 Aula : 6//1 1 Superfícies especiais 1.1 Planos Um plano no espaço fica completamente determinado por um ponto P (x,y,z ) do plano e um vetor n que é ortogonal ao plano. Este vetor ortogonal n é chamado vetor normal. Seja P(x,y,z) um ponto arbitrário do plano, e sejam r e r os vetores posição de P e P. O vetor r r é representado pelo segmento orientado com origem em P e extremidade em P. O vetor n é perpendicular a r r e também ortogonal a todos os vetores paralelos ao plano. Daí temos a equação Figura 1: Plano em R 3. n (r r ) =. A equação anterior é chamada equação vetorial do plano. Se n = (a,b,c), r = (x,y,z) e r = (x,y,z ) então a equação anterior se torna a(x x )+b(y y )+c(z z ) = que é chamada equação escalar do plano. Colecionando todos os termos constantes da equação, ela pode ser escrita na forma ax+by +cz +d = que é chamada equação geral do plano. Exemplo: Encontre a equação geral do plano que passa pelos pontos P(1,3,), Q(3, 1,6) e R(5,,). Temos que determinar um vetor normal ao plano. Para isso considere dois vetores paralelos ao plano u = Q P = (, 4,4) e v = R P = (4, 1, ). Seja agora o vetor n que é o produto vetorial entre u e v: i j k n = u v = = (1,,14). A equação do plano fica 1(x 1)+(y 3)+14(z ) =, ou seja, 6x+1y +7z 5 =. 4

8 1. Cilindros Um método muito eficiente de esboçar superfícies no espaço tridimensional é calcular as intersecções da superfície com planos. Nesta e na próxima seção usaremos esse método para esboçar as superfícies. Definição 1. Um cilindro é uma superfície que consiste de retas paralelas a uma reta dada (chamada geratriz) e que passam por uma curva plana dada (chamada diretriz). Figura : Superfície z = x. Exemplo: Esboce a superfície z = x. Note que a equação não envolve a variável y. Isso significa que todo plano da forma y = k (paralelo ao plano xz) intersepta em uma curva de equação z = x. Essas curvas são parábolas. A figura mostra como o esboço é formado tomando a parábola z = x no plano xz e movendo-a na direção do eixo y. Esta superfície é chamada cilindro parabólico. Nesse caso a parábola z = x, no plano xz, é a diretriz e o eixo y é a geratriz. O fato ocorrido no exemplo anterior, de uma das variáveis não aparecer na equação da superfície, é típico das superfícies que possuem como geratriz um dos eixos coordenados. (a) (b) Figura 3: Superfícies x +y = 1 e y +z = 1. Exemplo: Esboce as superfícies (a) x +y = 1 e (b) y +z = 1. (a)comoz estáausente naequação, entãoaintersecção complanosdaformaz = k representa uma circunferência de raio 1, no plano z = k e centrado no ponto (,,k). (b)comoxestáausentenaequação, entãoaintersecção complanosdaformax = k representa uma circunferência de raio 1, no plano x = k e centrado no ponto (k,,). 5

9 1.3 Quádricas Definição. Quádrica é o lugar geométrico dos pontos (x,y,z) de R 3 que satisfazem uma equação do segundo grau do tipo Ax +By +Cz +Dxy +Exz +Fyz +Gx+Hy+Iz +J =, onde A, B, C,..., J são constantes. Observamos que através de rotações e translações toda quádrica pode ser colocada em uma das seguintes formas normais Exemplo: Esboce a quádrica Ax +By +Cz +J = ou Ax +By +Iz =. x + y 9 + z 4 = 1. Substituindo z = na equação, obtemos x + y = 1 que é a equação de uma elipse no 9 plano z = de vértices (±1,,) e (,±3,). De forma geral, calculando a intersecção com planos paralelos aos planos coordenados obtemos: x + y 9 k = 1, z = k (se k ), 4 y 9 + z 4 = 1 k, x = k (se 1 k 1), x + z k = 1, y = k (se 3 k 3). 4 9 A figura 4 mostra o esboço da quádrica que é chamada elipsóide pois a intersecção com os planos coordenados são elipses. Figura 4: Elipsóide. Exemplo: Esboce a superfície z = 4x +y. Colocando x = obtemos a parábola z = y no plano yz. Se colocamos x = k, obtemos z = 4x + k. Isso significa que se fatiamos a quádrica com planos paralelos ao plano yz obtemos ainda parábolas mas com o vértice cada vez mais alto. Se colocamos z = k, com k >,obtemoselipses4x +y = k. Conhecendoessasintersecçõescomosplanosparalelosaos planos coordenados podemos esboçar a quádrica conforme a figura 5. Devido as intersecções darem elipses e parábolas, essa superfície é chamada parabolóide elíptico. 6

10 Figura 5: Parabolóide Elíptico. 7

11 Aula 3: 3/3/1 Exemplo: Esboce a superfície z = y x. Colocando x = k obtemos parábolas z = y k com concavidade voltada para cima (veja figura 6 (a) e (d)). Quando fatiamos por planos y = k obtemos parábolas z = x +k com concavidade voltada para baixo (veja figura 6 (b) e (e)). Se colocamos z = k, com k, obtemos hipérboles y x = k. E se z =, obtemos retas y = ±x (ver figura 6 (c) e (f)). (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 6: Cortes na quádrica z = y x. Juntando essas informações obtemos a quádrica dada na figura 7. Devido as intersecções darem hipérboles e parábolas, essa superfície é chamada parabolóide hiperbólico. Figura 7: Parabolóide Hiperbólico. Exemplo: Esboce a superfície x 4 +y z 4 = 1. A intersecção com planos da forma z = k obtemos a elipse x 4 +y = 1+ k 4, e as intersecções com os planos coordenados xz e yz são as hipérboles x 4 z 4 = 1 e y z 4 = 1. A superfície obtida é chamada hiperbolóide de uma folha e é apresentada na figura 8. 8

12 Figura 8: Hiperbolóide de uma folha. Funções reais de duas variáveis reais.1 Domínio Definição 3. Seja D um conjunto de pares ordenados de números reais. Uma função real de duas variáveis reais é uma correspondência f : D R R R que associa a cada par (x,y) D um único número real denotado por f(x,y). Nesse caso o conjunto D é o domínio de f. y R D (x,y) f(x,y) x Figura 9: Função real de duas variáveis reais. Observamos que se for apresentado apenas a lei de definição da função então fica subentendido que o o domínio é o maior conjunto possível de pares de números reais onde aquela lei pode ser aplicada. Veja o exemplo a seguir: Exemplo: Encontre o domínio da função f(x,y) = xy 5 y x. Para que a raiz quadrada do denominador esteja bem definida temos que ter y x, e como está no denominador, não podemos ter y = x. Portanto o domínio de f é D = {(x,y) R : y > x}. Na Figura 1 está representado o domínio de f. 9

13 y y > x x. Gráfico Figura 1: Domínio de f. Definição 4. Seja D R e f : D R. O gráfico de f é o conjunto Graf(f) = {(x,y,f(x,y)) R 3 : (x,y) D}. Exemplo: Considere a função f(x,y) = 9 x y. Observe que o domínio é o conjunto dos pontos onde 9 x y, ou seja, D = {(x,y) R : x +y 9}. O conjunto D é formado pela circunferência de centro (,) e raio 3 e todos os pontos no seu interior. Para calcular o gráfico, substituímos f(x,y) por z e elevamos ao quadrado obtendo x +y +z = 9. E como z então o gráfico é o hemisfério superior da esfera centrada em (,,) e raio 3. Veja figura 11. Figura 11: Gráfico de f..3 Curvas de nível Definição 5. Seja D R e f : D R. A curva de nível k de f é o conjunto f 1 (k) = {(x,y) D : f(x,y) = k}. As curvas de nível servem por exemplo para aplicações em topografia. Veja figura 1. 1

14 1m 4m m 1m 4m m Figura 1: Topografia. 11

15 Aula 4: 5/3/1 Exemplo: Esboce algumas curvas de nível do exemplo anterior. f(x,y) = k 9 x y = k x +y = 9 k. Figura 13: Curvas de nível de f. Exemplo: Esboce algumas curvas de nível de g(x,y) = x +y. O gráfico de g é o parabolóide hiperbólico. Seja k >, então o g 1 (k) = {(x,y) R : y x = k}, ou seja é uma hipérbole de vértices (,± k). Se k =, então g 1 () = {(x,y) R : y x = }, ou seja é o par de retas y = ±x. Seja k <, então o g 1 (k) = {(x,y) R : y x = k}, ou seja é uma hipérbole de vértices (± k,). k = 1 k = k = k = 1 k = Figura 14: Curvas de nível de g. 3 Funções reais de três variáveis reais 3.1 Domínio Definição 6. Seja D um conjunto de triplas ordenadas de números reais. Uma função real de três variáveis reais é uma correspondência f : D R 3 R que associa a cada tripla (x,y,z) D um único número real denotado por f(x,y,z). Nesse caso o conjunto D é o domínio de f. Conforme no caso de duas variáveis, se for apresentado apenas a lei de definição da função então fica subentendido que o o domínio é o maior conjunto possível de triplas de números reais onde aquela lei pode ser aplicada. 1

16 z R D (x,y) f(x,y) y 3. Superfícies de nível x Figura 15: Função real de três variáveis reais. Definição 7. Seja D R 3 e f : D R. A superfície de nível k de f é o conjunto f 1 (k) = {(x,y,z) D : f(x,y,z) = k}. Exemplo: Esboce algumas superfícies de nível de f(x,y,z) = z x +y. Observe que para k = temos z = x +y, que é a equação do cone com vértice em (,,). Quando fazemos f(x,y,z) = k temos z k = x +y, que é a equação do cone com vértice em (,,k). Veja a figura 16. k = 1 k = k = 1 Figura 16: Superfícies de nível de f. Exemplo: Descreva as superfícies de nível de f(x,y,z) = x y +z. As superfícies de nível são dadas pela equação x y +z = k. Observe que se k épositivo então a superfície é um hiperbolóide de uma folha, se k = então a superfície é um cone de duas folhas e se k é negativo então a superfície é um hiperbolóide de duas folhas. Veja a figura 17. k > k = k < Figura 17: Superfícies de nível de g. 13

17 4 Noções topológicas no plano e no espaço Definição 8. Definimos a norma de um vetor (x,y) R como sendo o número real (x,y) = x +y. Com o conceito de norma, podemos definir o conceito de bola aberta. Definição 9. Sejam (x,y ) um ponto de R e r > um número real. O conjunto {(x,y) R : (x,y) (x,y ) < r} chama-se bola aberta de centro (x,y ) e raio r. Exemplo: Esboce a bola aberta de centro (,1) e raio 1. Devemos esboçar o conjunto {(x,y) R : (x,y) (,1) < 1}. Em outras palavras, os pontos (x,y) que satisfazem (x ) +(y 1) < 1, ou ainda, (x ) +(y 1) < 1. Esse conjunto é formado pelos pontos do que estão dentro da circunferência de centro (,1) e raio 1. 1 Figura 18: Bola Aberta. Observe que na figura 18 a circunferência está tracejada pois seus pontos não pertence à bola aberta. Definição 1 (Ponto Interior). Seja A um subconjunto não vazio de R. Dizemos que (x,y ) é um ponto interior de A se existir uma bola aberta de centro (x,y ) contida em A. 14

18 Primeira Lista de Exercícios 1. Encontre a equação do plano nas seguintes situações: (a) Plano que passa pelos pontos (,1,1), (1,,1) e (1,1,). (b) Plano que passa pelo ponto (,8,1) e é perpendicular à reta x = 1+t, y = t e z = 4 3t. (c) Plano que contem as retas x = 3+t, y = t, z = 8 t e x = 3t, y = 1+t, z = 7 t.. Esboce as superfícies: (a) y +4z = 4. (b) z = 4 x. (c) x y =. (d) z = cosx. 3. Descreva o domínio de f e ache os valores funcionais indicados (a) f(x,y) = y + ; f(3,1), f(1,3) e f(,). x (b) f(u,v) = uv ; f(,3), f( 1,4) e f(,1). u v (c) f(x,y,z) = +tg(x)+ysen(z); f( π,4, π) e f(,,) Esboce o gráfico de f. (a) f(x,y) = 6 x 3y. (b) f(x,y) = 7+4x 9y. (c) f(x,y) = y 4x Esboce as curvas de nível para os dados valores do nível k. (a) f(x,y) = y x, em k = 4,,9. (b) f(x,y) = x y, em k =,,3. (c) f(x,y) = (x ) +(y +3), em k = 1,4,9. 6. Ache a equação da superfície de nível que contém o ponto P. (a) f(x,y,z) = x +4y z, em P = (, 1,3). (b) f(x,y) = z y +x, em P = (1,4, ). 7. Se x é a velocidade do vento (em m/seg) e y é a temperatura (em o C), então o fator de resfriamento eólico F (em (kcal/m )/hr) é dado por F = (33 y)(1 x x+1,5). (a) Ache as velocidades e temperaturas para as quais F é. (Admita que x 5 e 5 y 5.) (b) Se F 14, pode ocorrer congelamento em partes expostas do corpo humano. Esboce o gráfico da curva de nível F =

19 Aula 5: 1/3/1 Exemplo: Seja A = {(x,y) R : x e y }. Figura 19: Pontos interiores. Qualquer ponto (x,y), com x > e y >, é ponto interior de A. Basta escolher o raio da bola menor que o mínimo entre x e y. No entanto, os pontos da forma (x,y), com x = ou y =, não são pontos interiores. Qualquer bola aberta centrada em um ponto da forma (x,) não está contida no conjunto A. Veja a figura 19. Definição 11 (Conjunto Aberto). Dizemos que um subconjunto A R é aberto se todo ponto de A é ponto interior de A. Exemplos: O conjunto A = {(x,y) R : x e y } não é aberto, pois como vimos no exemplo anterior ele possui pontos da forma (x,) e (,y) que não são pontos interiores. O conjunto A = {(x,y) R : x > e y > } é aberto, pois todos os seus pontos são pontos interiores. O conjunto B = {(x,y) R : x + y < 1} é aberto. Veja a figura. Figura : Interior da elipse. Definição 1 (Ponto de Acumulação). Seja A um subconjunto de R e seja (a,b) um ponto de R. Dizemos que (a,b) é um ponto de acumulação de A se toda bola aberta de centro (a,b) contiver pelo menos um ponto (x,y) de A, com (x,y) (a,b). 16

20 Em outras palavras, (a,b) é ponto de acumulação de A se existem pontos de A, distintos de (a,b), tão próximos de (a,b) quanto se queira. Exemplo: Seja A = {(x,y) R : x +y < 1}. (,) é ponto de acumulação de A. (1,) é ponto de acumulação de A. (,) não é ponto de acumulação de A. Figura 1: Interior do círculo. Observamos que podem ocorrer casos em que um ponto (a,b) pertence ao conjunto A, mas não é ponto de acumulação de A. Nesse caso, esses pontos são chamados de pontos isolados de A. Por exemplo, em um conjunto com um número finito de pontos todos os pontos são isolados. Para cada ponto (a,b), basta escolher uma bola aberta que tenha como raio um número menor que a distância mínima de (a,b) aos outros pontos do conjunto. Observação: Observamos que as noções topológicas no espaço são exatamente as mesmas do plano. A única diferença é que a norma de um vetor (x,y,z) de R 3 é dada por x +y +z. Por exemploabola aberta em R 3 de centro (,1,1)eraio 1 éconstituída pelos pontos interiores à esfera de centro (,1,1) e raio 1. 5 Limites e continuidade: definição e propriedades De posse da definição de ponto de acumulação de um conjunto, podemos definir a noção de limite para funções reais de duas variáveis reais. Definição 13 (Limite). Sejam f : A R R uma função, (x,y ) um ponto de acumulação de A e L um número real. Dizemos que o limite de f(x,y), quando (x,y) tende a (x,y ) é L e escrevemos lim (x,y) (x,y ) f(x,y) = L se para todo ε > dado, existe δ > tal que todo (x,y) A com a propriedade < (x,y) (x,y ) < δ se tenha f(x,y) L < ε. 17

21 A y δ x L ε Figura : Definição de limite. L L+ε Escrevendo de maneira mais resumida temos lim (x,y) (x,y )f(x,y) = L se : ε > δ > : (x,y) A e < (x,y) (x,y ) < δ f(x,y) L < ε. O limitede f(x,y), quando (x,y)tende a (x,y ) élsignifica que se (x,y)está no domínio de f e pertence à bola de centro (x,y ) e raio δ e (x,y) (x,y ), então a imagem f(x,y) pertence ao intervalo (L ε,l+ε). Veja a figura. Exemplo: Seja f(x,y) = k uma função constante. Mostre que lim (x,y) (x,y )f(x,y) = k. De fato, dado ε >, basta tomar um δ > qualquer. Daí se < (x,y) (x,y ) < δ então temos f(x,y) L = k k = < ε. Exemplo: Seja f : R R dada por f(x,y) = x. Mostre que lim (x,y) (x,y )f(x,y) = x. Inicialmente observe que x x = (x x ) (x x ) +(y y ) = (x,y) (x,y ). De posse da observação anterior, dado ε > qualquer, temos que encontrar δ > que satisfaça a definição de limite. Muito bem, escolha δ igual ao ε > dado. Nesse caso, temos que para todo (x,y) R vale: < (x,y) (x,y ) < δ = f(x,y) x = x x (x,y) (x,y ) < δ = ε. Ou seja, mostramos que < (x,y) (x,y ) < δ = f(x,y) x < ε. 18

22 Aula 6: 1/3/1 Exemplo: A função f(x,y) = x +y tem limite em (,)? x +y A resposta dessa pergunta é não, pois quando calculamos f nos pontos da forma (x,) temos f(x,) = 1 e em pontos da forma (,y) temos f(,y) = 1. Para provarmos de maneira rigorosa, suponha que o limite exista e seja L. Se L, temos Se L >, temos f(,y) L = 1 L = 1 L 1. f(x,) L = 1 L = 1+L > 1. Portanto, dado ε = 1, não é possível encontrar δ > de tal forma que todos os pontos (x,y), com < (x,y) < δ, satisfaçam f(x,y) L < ε. Para a próxima definição necessitaremos do conceito de função vetorial contínua, a ser estudada em um capítulo posterior. Uma aplicação de um intervalo I R em R é uma correspondência α : I R que a cada t I associa um α(t) = (α 1 (t),α (t)) R. Dizer que α é contínua, é o mesmo que dizer que α 1 : I R e α : I R são contínuas. Definição 14 (Curva ou caminho). Seja I R um intervalo. Uma curva ou caminho em R é uma aplicação contínua α : I R. Exemplo: A equação vetorial da reta α(t) = (x +at,y +bt) é um exemplo de caminho. É a reta que passa pelo ponto (x,y ) e tem a direção do vetor (a,b). Veja figura 3-(a). Outro exemplo de caminho é dado por β(t) = (t,t). Observe que esse caminho é a parábola x = y. Veja figura 3-(b). (x,y ) (a,b) (a) (b) Figura 3: Caminhos. Definição 15. Dados (x,y ) D R, uma função f : D R e um caminho α : I D passando por (x,y ), isto é α(t ) = (x,y ) para algum t I, então definimos o limite pelo caminho α, da função f quando (x,y) tende a (x,y ) por lim f(α(t)). t t 19

23 Exemplo: Considere a função f(x,y) = x +y e (x x +y,y ) = (,). Considere ainda os caminhos α 1 (t) = (t,) e α (t) = (,t). Ambos caminhos passam pelo (,) quando t =. Temos t limf(α 1 (t)) = lim = 1, e t t t t limf(α (t)) = lim t t t = 1. Proposição 1. Se existem pelo menos dois caminhos α 1 e α, passando pelo ponto (x,y ), tais que lim t t f(α 1 (t)) lim t t f(α (t)), então não existe lim (x,y) (x,y )f(x,y). Proposição. Se para algum caminho α o limite lim t t f(α(t)) não existe, então não existe lim (x,y) (x,y )f(x,y). x Exemplo: Usando a proposição anterior temos que lim cos não existe. De fato, (x,y) (,) x +y se considerarmos o caminho α(t) = (t,), então o limite de uma variável real lim t cos 1 t não existe. xy Exemplo: Mostre que lim nãoexiste. Paraisso, considereosseguintescaminhos (x,y) (,) x y α 1 (t) = (t+t,t) e α (t) = (t t,t). Daí temos t 4 +t 3 limf(α 1 (t)) = lim t t t 4 +t 3 +t t = lim 1+t t +t = 1, e t 4 +t 3 limf(α (t)) = lim t t t 4 t 3 +t t = lim 1 t t +t = 1. Portanto não existe o limite. Teorema 1 (Teorema do Confronto). Sejam f,g,h : D R R e (x,y ) um ponto de acumulação de D. Se f(x,y) g(x,y) h(x,y) para todo (x,y) D, lim f(x,y) = L (x,y) (x,y ) e lim h(x,y) = L, então lim (x,y) (x,y ) g(x,y) = L. (x,y) (x,y ) Proposição 3. Sejam f,g : D R R e (x,y ) um ponto de acumulação de D. Se g é limitada e lim (x,y) (x,y ) f(x,y) =, então lim (x,y) (x,y ) f(x,y)g(x,y) =. Observação: Uma função g : D R R é limitada se existe M R tal que g(x,y) < M para todo (x,y) D. x 3 Exemplo: Calcule lim (x,y) (,) x +y. Inicialmente observe que x + y x x, portanto 1. Então consideramos x +y f(x,y) = x e g(x,y) = x. Dai f(x,y)g(x,y) = x3, g é limitada e lim f(x,y) =. x +y x +y (x,y) (,) Portando usando a proposição anterior concluímos que o limite é zero.

24 Aula 7: 17/3/1 Proposição 4 (Propriedades operatórias). Se L então lim (x,y) (x,y ) [f(x,y)+g(x,y)] = L 1 +L ; lim (x,y) (x,y ) [kf(x,y)] = kl 1; lim (x,y) (x,y ) [f(x,y)g(x,y)] = L 1L ; f(x,y) lim (x,y) (x,y ) g(x,y) = L 1 se L. L lim f(x,y) = L 1 e (x,y) (x,y ) lim g(x,y) = (x,y) (x,y ) Definição 16 (Continuidade). Sejam U R, f : U R e (x,y ) U. Dizemos que f é contínua em (x,y ) se para todo ε > dado, existe δ > tal que para todo (x,y) U, com (x,y) (x,y ) < δ, implica f(x,y) f(x,y ) < ε. De maneira mais abreviada f é contínua em (x,y ) U se: Observações: ε > δ > : (x,y) U e (x,y) (x,y ) < δ f(x,y) f(x,y ) < ε. 1. Se (x,y ) é um ponto isolado de U, então f é contínua. Observe que independe da f pois se o ponto é isolado então existe uma bola aberta de centro (x,y ) e raio δ tal que o único ponto de U na bola é (x,y) = (x,y ). E nesse caso, f(x,y) f(x,y ) =.. Se (x,y ) é um ponto de acumulação de U então f é contínua em (x,y ) se: Exemplos: (x,y ) U. Existe lim f(x,y). (x,y) (x,y ) lim f(x,y) = f(x,y ). (x,y) (x,y ) 1. A função constante f : R R dada por f(x,y) = k é contínua em todo ponto (x,y ) R pois lim (x,y) (x,y ) f(x,y) = k = f(x,y ).. A função f : R R dada por f(x,y) = x é contínua em todo ponto (x,y ) R pois lim f(x,y) = x = f(x,y ). (x,y) (x,y ) 1

25 3. A função f : R R dada por f(x,y) = não é contínua em (,) pois não existe x y x +y se (x,y) (,), se (x,y) = (,), lim f(x,y). (x,y) (,) De fato, tomando-se os caminhos α 1 (t) = (t,t) e α (t) = (,t) temos limf(α 1 (t)) = lim t t t = e limf(α t (t)) = lim t t t = Verifique que a função do exemplo anterior é contínua no ponto (1,). De fato, já provamos que o limite da função h(x,y) = x quando (x,y) tende a (x,y ) é x. Portanto lim (x,y) (1,) h(x,y) = 1. Utilizando o item (3) da Proposição 4 temos lim (x,y) (1,) h(x,y).h(x,y) = 1.1 = 1, ou seja, lim x = 1. (x,y) (1,) De maneira análoga, usando o fato que o limite da função g(x,y) = y quando (x,y) tende a (x,y ) é y e o item (3) da Proposição 4, prova-se que lim y =. =. (x,y) (1,) Agora, utilizamos o item () da Proposição 4 para garantir que lim (x,y) (1,) ( 1)y = ( 1). =. O item (1) da Proposição 4 garante que lim (x,y) (1,) x +( 1)y = 1+ = 1. Com a mesma idéia provamos que lim (x,y) (1,) x +y = 1+ = 1. Finalmente usamos o ítem (4) da Proposição 4 para concluir que x y lim (x,y) (1,) x +y = 1 1 = 1. Pelofatode(1,)serumpontodeacumulaçãodeR ef(1,) = 1 = lim (x,y) (1,) f(x,y), concluímos que f é contínua no ponto (1,). Teorema. Sejam f : A R R e g : B R R duas funções tais que f(a) B. Se f é contínua em (x,y ) A e g é contínua em f(x,y ), então a composta h : A R, dada por h(x,y) = g(f(x,y)) é contínua em (x,y ). Demonstração: Dado ε >, inicialmente usamos a hipótese que g é contínua em f(x,y ) para assegurar que existe δ 1 > tal que u B e u f(x,y ) < δ 1 = g(u) g(f(x,y )) < ε. (1)

26 A (x,y ) f g f(x,y ) B g(f(x,y )) g f Figura 4: Composição de funções contínuas. Posteriormente usamos esse δ 1 > encontrado, desempenhando o papel do ε na hipótese de que f é contínua em (x,y ), para assegurar a existência de δ > que satisfaz (x,y) A e (x,y) (x,y ) < δ = f(x,y) f(x,y ) < δ 1. () De (1) e () segue que (x,y) A e (x,y) (x,y ) < δ = g(f(x,y)) g(f(x,y )) < ε. Portanto g f é contínua em (x,y ). Proposição 5. Sejam f,g : X R R funções contínuas em (x,y ) X e k uma constante real. Então 1. A função f +g é contínua em (x,y ).. A função kf é contínua em (x,y ). 3. A função f.g é contínua em (x,y ). 4. A função f g é contínua em (x,y ), desde que g(x,y ). Exemplo: Já vimos que f(x,y) = x é contínua e do curso de cálculo I sabemos que g(u) = u é contínua. Portanto, usando o Teorema temos que h(x,y) = g f(x,y) = x é contínua. Da mesma forma concluímos que L(x,y) = y é contínua. Usando agora o item 1) da proposição anterior temos que a função (h + L)(x,y) = x + y é contínua. Da mesma forma que provamos que h é contínua, temos ( que M(x,y) = x 3 é contínua. Finalmente, usando o item M 4) da proposição anterior, temos )(x,y) = x3 h+l x +y é contínua em (x,y ) desde que (h+l)(x,y ), ou seja, desde que (x,y ) (,). Portanto, a função x 3 F(x,y) = x +y, se (x,y) (,), se (x,y) = (,) é contínua em todo ponto (x,y ) (,). A pergunta é: E no ponto (,)? F é contínua? Como f(,) = e (,) é ponto de acumulação do domínio de F, devemos verificar se x lim (x,y) (,) F(x,y) =. Observamos que 3 x = x. x, onde é limitada e x tende a x +y x +y x +y zero. Portanto F é contínua em todos os pontos de R. 3

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