Cálculo Diferencial e Integral II
|
|
- Raquel Pinheiro de Miranda
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Cálculo Diferencial e Integral II Claudio Aguinaldo Buzzi Departamento de Matemática UNESP - Campus de São José do Rio Preto
2 Índice 1 Superfícies especiais Planos Cilindros Quádricas Funções reais de duas variáveis reais 9.1 Domínio Gráfico Curvas de nível Funções reais de três variáveis reais Domínio Superfícies de nível Noções topológicas no plano e no espaço 14 Primeira Lista de Exercícios Limites e continuidade: definição e propriedades 17 Segunda Lista de Exercícios Derivadas parciais Definição e interpretação geométrica Diferenciabilidade Terceira Lista de Exercícios Vetor Gradiente Quarta Lista de Exercícios Regra da Cadeia Derivação de funções definidas implicitamente Quinta Lista de Exercícios Primeira Prova Derivada Direcional Derivadas parciais de ordem superior Sexta Lista de Exercícios Generalização do Teorema do Valor Médio Fórmula de Taylor com resto de Lagrange Extremos Locais: Máximos e Mínimos Sétima Lista de Exercícios Segunda Prova Multiplicadores de Lagrange Revisão de Integrais de funções de uma variável Integral dupla Definição Propriedades da integral Teorema de Fubini Oitava Lista de Exercícios Aplicações ii
3 7.5 Mudança de Variáveis Nona Lista de Exercícios Integral tripla Definição Propriedades da integral Mudança de Variáveis Aplicações Décima Lista de Exercícios Funções Vetoriais Definição Operações Limite e Continuidade Derivada Curvas parametrizadas: vetores tangentes, comprimento de arco Integral de Linha 14 Terceira Prova Décima Primeira Lista de Exercícios Função Potencial Diferenciais Exatas Independência dos Caminhos Teorema de Green Décima Segunda Lista de Exercícios Integral de Superfícies Noções sobre superfícies e planos tangentes Integral de Superfícies Teoremas de Gauss e de Stokes Aplicações Décima Terceira Lista de Exercícios Quarta Prova iii
4 Aula 1: 4//1 Conteúdo Programático do Curso 1. Superfícies especiais. (a) Planos (b) Cilindros (c) Quádricas. Funções reais de duas variáveis reais. (a) Domínio (b) Gráfico (c) Curvas de nível 3. Funções reais de três variáveis reais. (a) Domínio (b) Superfícies de nível 4. Noções topológicas no plano e no espaço. 5. Limites e continuidade: definição e propriedades. 6. Derivadas parciais. (a) Definição e interpretação geométrica (b) Diferenciabilidade (c) Vetor gradiente (d) Regra da cadeia (e) Derivação de funções definidas implicitamente (f) Derivada direcional (g) Derivadas parciais de ordem superior (h) Generalização do Teorema do Valor Médio (i) Fórmula de Taylor com resto de Lagrange (j) Aproximação linear (k) Diferenciais (l) Extremos locais: máximos e mínimos (m) Multiplicadores de Lagrange (n) Aplicações 1
5 7. Integral dupla. (a) Definição (b) Propriedades (c) Teorema de Fubini (d) Mudança de variáveis (e) Aplicações 8. Integral tripla. (a) Definição (b) Propriedades (c) Mudança de variáveis (d) Aplicações 9. Funções vetoriais. (a) Definição (b) Operações (c) Limite e continuidade (d) Derivada (e) Curvas parametrizadas: vetores tangentes, comprimento de arco 1. Integral de linha. (a) Independência de caminhos (b) Diferenciais exatas (c) Função potencial (d) Teorema de Green 11. Integral de superfície. (a) Teoremas de Gauss e de Stokes (b) Aplicações Bibliografia 1. Guidorizzi, H. L. - Um curso de cálculo, Vol. e 3, LTC, Rio de Janeiro, 1.. Pinto, D. e Cândida, F. M. - Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, UFRJ, Rio de Janeiro, Stewart, J. - Cálculo, Vol., Thompson, São Paulo, 4
6 4. Flemming, D. M. e Gonçalves, M. B. - Cálculo B, Pearson Prentice Hall, São Paulo, Anton, H. - Cálculo: um novo horizonte, Bookman,. 6. Thomas, G. B. - Cálculo, Vol., Addison-Wesley, São Paulo, 3. Avaliação Serão aplicadas 4 provas. A média final será obtida como uma média aritmética entre as notas dos semestres. A matéria da primeira prova será tudo o que for visto até o dia da prova. A matéria da segunda prova será toda a matéria do primeiro semestre. A matéria da terceira prova será a matéria que for vista do início do segundo semestre até o dia da terceira prova. A matéria da quarta prova será toda a matéria do segundo semestre. Se a nota da segunda prova for maior que a nota da primeira prova, então a nota do primeiro semestre será a nota da segunda prova. Se a nota da segunda prova for menor ou igual a nota da primeira prova, então a nota do primeiro semestre será a média aritmética das notas da primeira e segunda provas. Se a nota da quarta prova for maior que a nota da terceira prova, então a nota do segundo semestre será a nota da quarta prova. Se a nota da quarta prova for menor ou igual a nota da terceira prova, então a nota do segundo semestre será a média aritmética das notas da terceira e quarta provas. Somente os alunos que perderem uma das 4 provas, por motivo justificado, poderão fazer outra prova no dia /1. Ao final do curso os alunos que obtiverem média igual ou superior a 5, (cinco) e pelo menos 7% de freqüência serão aprovados. Os alunos que tiverem média inferior a 5, (cinco) e pelo menos 7% de freqüência poderão fazer uma prova de recuperação. Nesse caso a média final é obtida fazendo-se a média aritmética entre a média anterior com a nota da recuperação. Se a média final for igual ou superior a 5, (cinco) o aluno será aprovado, caso contrário será reprovado. Os alunos que tiverem freqüência inferior a 7% serão reprovados por faltas. As datas das provas: Prova 1: Sexta, 3 de abril. Prova : Sexta, 18 de junho. Prova 3: Quinta, 3 de setembro. Prova 4: Terça, 3 de novembro. Prova Perdida: Quinta, de dezembro. Recuperação: Quinta, 9 de dezembro. 3
7 Aula : 6//1 1 Superfícies especiais 1.1 Planos Um plano no espaço fica completamente determinado por um ponto P (x,y,z ) do plano e um vetor n que é ortogonal ao plano. Este vetor ortogonal n é chamado vetor normal. Seja P(x,y,z) um ponto arbitrário do plano, e sejam r e r os vetores posição de P e P. O vetor r r é representado pelo segmento orientado com origem em P e extremidade em P. O vetor n é perpendicular a r r e também ortogonal a todos os vetores paralelos ao plano. Daí temos a equação Figura 1: Plano em R 3. n (r r ) =. A equação anterior é chamada equação vetorial do plano. Se n = (a,b,c), r = (x,y,z) e r = (x,y,z ) então a equação anterior se torna a(x x )+b(y y )+c(z z ) = que é chamada equação escalar do plano. Colecionando todos os termos constantes da equação, ela pode ser escrita na forma ax+by +cz +d = que é chamada equação geral do plano. Exemplo: Encontre a equação geral do plano que passa pelos pontos P(1,3,), Q(3, 1,6) e R(5,,). Temos que determinar um vetor normal ao plano. Para isso considere dois vetores paralelos ao plano u = Q P = (, 4,4) e v = R P = (4, 1, ). Seja agora o vetor n que é o produto vetorial entre u e v: i j k n = u v = = (1,,14). A equação do plano fica 1(x 1)+(y 3)+14(z ) =, ou seja, 6x+1y +7z 5 =. 4
8 1. Cilindros Um método muito eficiente de esboçar superfícies no espaço tridimensional é calcular as intersecções da superfície com planos. Nesta e na próxima seção usaremos esse método para esboçar as superfícies. Definição 1. Um cilindro é uma superfície que consiste de retas paralelas a uma reta dada (chamada geratriz) e que passam por uma curva plana dada (chamada diretriz). Figura : Superfície z = x. Exemplo: Esboce a superfície z = x. Note que a equação não envolve a variável y. Isso significa que todo plano da forma y = k (paralelo ao plano xz) intersepta em uma curva de equação z = x. Essas curvas são parábolas. A figura mostra como o esboço é formado tomando a parábola z = x no plano xz e movendo-a na direção do eixo y. Esta superfície é chamada cilindro parabólico. Nesse caso a parábola z = x, no plano xz, é a diretriz e o eixo y é a geratriz. O fato ocorrido no exemplo anterior, de uma das variáveis não aparecer na equação da superfície, é típico das superfícies que possuem como geratriz um dos eixos coordenados. (a) (b) Figura 3: Superfícies x +y = 1 e y +z = 1. Exemplo: Esboce as superfícies (a) x +y = 1 e (b) y +z = 1. (a)comoz estáausente naequação, entãoaintersecção complanosdaformaz = k representa uma circunferência de raio 1, no plano z = k e centrado no ponto (,,k). (b)comoxestáausentenaequação, entãoaintersecção complanosdaformax = k representa uma circunferência de raio 1, no plano x = k e centrado no ponto (k,,). 5
9 1.3 Quádricas Definição. Quádrica é o lugar geométrico dos pontos (x,y,z) de R 3 que satisfazem uma equação do segundo grau do tipo Ax +By +Cz +Dxy +Exz +Fyz +Gx+Hy+Iz +J =, onde A, B, C,..., J são constantes. Observamos que através de rotações e translações toda quádrica pode ser colocada em uma das seguintes formas normais Exemplo: Esboce a quádrica Ax +By +Cz +J = ou Ax +By +Iz =. x + y 9 + z 4 = 1. Substituindo z = na equação, obtemos x + y = 1 que é a equação de uma elipse no 9 plano z = de vértices (±1,,) e (,±3,). De forma geral, calculando a intersecção com planos paralelos aos planos coordenados obtemos: x + y 9 k = 1, z = k (se k ), 4 y 9 + z 4 = 1 k, x = k (se 1 k 1), x + z k = 1, y = k (se 3 k 3). 4 9 A figura 4 mostra o esboço da quádrica que é chamada elipsóide pois a intersecção com os planos coordenados são elipses. Figura 4: Elipsóide. Exemplo: Esboce a superfície z = 4x +y. Colocando x = obtemos a parábola z = y no plano yz. Se colocamos x = k, obtemos z = 4x + k. Isso significa que se fatiamos a quádrica com planos paralelos ao plano yz obtemos ainda parábolas mas com o vértice cada vez mais alto. Se colocamos z = k, com k >,obtemoselipses4x +y = k. Conhecendoessasintersecçõescomosplanosparalelosaos planos coordenados podemos esboçar a quádrica conforme a figura 5. Devido as intersecções darem elipses e parábolas, essa superfície é chamada parabolóide elíptico. 6
10 Figura 5: Parabolóide Elíptico. 7
11 Aula 3: 3/3/1 Exemplo: Esboce a superfície z = y x. Colocando x = k obtemos parábolas z = y k com concavidade voltada para cima (veja figura 6 (a) e (d)). Quando fatiamos por planos y = k obtemos parábolas z = x +k com concavidade voltada para baixo (veja figura 6 (b) e (e)). Se colocamos z = k, com k, obtemos hipérboles y x = k. E se z =, obtemos retas y = ±x (ver figura 6 (c) e (f)). (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 6: Cortes na quádrica z = y x. Juntando essas informações obtemos a quádrica dada na figura 7. Devido as intersecções darem hipérboles e parábolas, essa superfície é chamada parabolóide hiperbólico. Figura 7: Parabolóide Hiperbólico. Exemplo: Esboce a superfície x 4 +y z 4 = 1. A intersecção com planos da forma z = k obtemos a elipse x 4 +y = 1+ k 4, e as intersecções com os planos coordenados xz e yz são as hipérboles x 4 z 4 = 1 e y z 4 = 1. A superfície obtida é chamada hiperbolóide de uma folha e é apresentada na figura 8. 8
12 Figura 8: Hiperbolóide de uma folha. Funções reais de duas variáveis reais.1 Domínio Definição 3. Seja D um conjunto de pares ordenados de números reais. Uma função real de duas variáveis reais é uma correspondência f : D R R R que associa a cada par (x,y) D um único número real denotado por f(x,y). Nesse caso o conjunto D é o domínio de f. y R D (x,y) f(x,y) x Figura 9: Função real de duas variáveis reais. Observamos que se for apresentado apenas a lei de definição da função então fica subentendido que o o domínio é o maior conjunto possível de pares de números reais onde aquela lei pode ser aplicada. Veja o exemplo a seguir: Exemplo: Encontre o domínio da função f(x,y) = xy 5 y x. Para que a raiz quadrada do denominador esteja bem definida temos que ter y x, e como está no denominador, não podemos ter y = x. Portanto o domínio de f é D = {(x,y) R : y > x}. Na Figura 1 está representado o domínio de f. 9
13 y y > x x. Gráfico Figura 1: Domínio de f. Definição 4. Seja D R e f : D R. O gráfico de f é o conjunto Graf(f) = {(x,y,f(x,y)) R 3 : (x,y) D}. Exemplo: Considere a função f(x,y) = 9 x y. Observe que o domínio é o conjunto dos pontos onde 9 x y, ou seja, D = {(x,y) R : x +y 9}. O conjunto D é formado pela circunferência de centro (,) e raio 3 e todos os pontos no seu interior. Para calcular o gráfico, substituímos f(x,y) por z e elevamos ao quadrado obtendo x +y +z = 9. E como z então o gráfico é o hemisfério superior da esfera centrada em (,,) e raio 3. Veja figura 11. Figura 11: Gráfico de f..3 Curvas de nível Definição 5. Seja D R e f : D R. A curva de nível k de f é o conjunto f 1 (k) = {(x,y) D : f(x,y) = k}. As curvas de nível servem por exemplo para aplicações em topografia. Veja figura 1. 1
14 1m 4m m 1m 4m m Figura 1: Topografia. 11
15 Aula 4: 5/3/1 Exemplo: Esboce algumas curvas de nível do exemplo anterior. f(x,y) = k 9 x y = k x +y = 9 k. Figura 13: Curvas de nível de f. Exemplo: Esboce algumas curvas de nível de g(x,y) = x +y. O gráfico de g é o parabolóide hiperbólico. Seja k >, então o g 1 (k) = {(x,y) R : y x = k}, ou seja é uma hipérbole de vértices (,± k). Se k =, então g 1 () = {(x,y) R : y x = }, ou seja é o par de retas y = ±x. Seja k <, então o g 1 (k) = {(x,y) R : y x = k}, ou seja é uma hipérbole de vértices (± k,). k = 1 k = k = k = 1 k = Figura 14: Curvas de nível de g. 3 Funções reais de três variáveis reais 3.1 Domínio Definição 6. Seja D um conjunto de triplas ordenadas de números reais. Uma função real de três variáveis reais é uma correspondência f : D R 3 R que associa a cada tripla (x,y,z) D um único número real denotado por f(x,y,z). Nesse caso o conjunto D é o domínio de f. Conforme no caso de duas variáveis, se for apresentado apenas a lei de definição da função então fica subentendido que o o domínio é o maior conjunto possível de triplas de números reais onde aquela lei pode ser aplicada. 1
16 z R D (x,y) f(x,y) y 3. Superfícies de nível x Figura 15: Função real de três variáveis reais. Definição 7. Seja D R 3 e f : D R. A superfície de nível k de f é o conjunto f 1 (k) = {(x,y,z) D : f(x,y,z) = k}. Exemplo: Esboce algumas superfícies de nível de f(x,y,z) = z x +y. Observe que para k = temos z = x +y, que é a equação do cone com vértice em (,,). Quando fazemos f(x,y,z) = k temos z k = x +y, que é a equação do cone com vértice em (,,k). Veja a figura 16. k = 1 k = k = 1 Figura 16: Superfícies de nível de f. Exemplo: Descreva as superfícies de nível de f(x,y,z) = x y +z. As superfícies de nível são dadas pela equação x y +z = k. Observe que se k épositivo então a superfície é um hiperbolóide de uma folha, se k = então a superfície é um cone de duas folhas e se k é negativo então a superfície é um hiperbolóide de duas folhas. Veja a figura 17. k > k = k < Figura 17: Superfícies de nível de g. 13
17 4 Noções topológicas no plano e no espaço Definição 8. Definimos a norma de um vetor (x,y) R como sendo o número real (x,y) = x +y. Com o conceito de norma, podemos definir o conceito de bola aberta. Definição 9. Sejam (x,y ) um ponto de R e r > um número real. O conjunto {(x,y) R : (x,y) (x,y ) < r} chama-se bola aberta de centro (x,y ) e raio r. Exemplo: Esboce a bola aberta de centro (,1) e raio 1. Devemos esboçar o conjunto {(x,y) R : (x,y) (,1) < 1}. Em outras palavras, os pontos (x,y) que satisfazem (x ) +(y 1) < 1, ou ainda, (x ) +(y 1) < 1. Esse conjunto é formado pelos pontos do que estão dentro da circunferência de centro (,1) e raio 1. 1 Figura 18: Bola Aberta. Observe que na figura 18 a circunferência está tracejada pois seus pontos não pertence à bola aberta. Definição 1 (Ponto Interior). Seja A um subconjunto não vazio de R. Dizemos que (x,y ) é um ponto interior de A se existir uma bola aberta de centro (x,y ) contida em A. 14
18 Primeira Lista de Exercícios 1. Encontre a equação do plano nas seguintes situações: (a) Plano que passa pelos pontos (,1,1), (1,,1) e (1,1,). (b) Plano que passa pelo ponto (,8,1) e é perpendicular à reta x = 1+t, y = t e z = 4 3t. (c) Plano que contem as retas x = 3+t, y = t, z = 8 t e x = 3t, y = 1+t, z = 7 t.. Esboce as superfícies: (a) y +4z = 4. (b) z = 4 x. (c) x y =. (d) z = cosx. 3. Descreva o domínio de f e ache os valores funcionais indicados (a) f(x,y) = y + ; f(3,1), f(1,3) e f(,). x (b) f(u,v) = uv ; f(,3), f( 1,4) e f(,1). u v (c) f(x,y,z) = +tg(x)+ysen(z); f( π,4, π) e f(,,) Esboce o gráfico de f. (a) f(x,y) = 6 x 3y. (b) f(x,y) = 7+4x 9y. (c) f(x,y) = y 4x Esboce as curvas de nível para os dados valores do nível k. (a) f(x,y) = y x, em k = 4,,9. (b) f(x,y) = x y, em k =,,3. (c) f(x,y) = (x ) +(y +3), em k = 1,4,9. 6. Ache a equação da superfície de nível que contém o ponto P. (a) f(x,y,z) = x +4y z, em P = (, 1,3). (b) f(x,y) = z y +x, em P = (1,4, ). 7. Se x é a velocidade do vento (em m/seg) e y é a temperatura (em o C), então o fator de resfriamento eólico F (em (kcal/m )/hr) é dado por F = (33 y)(1 x x+1,5). (a) Ache as velocidades e temperaturas para as quais F é. (Admita que x 5 e 5 y 5.) (b) Se F 14, pode ocorrer congelamento em partes expostas do corpo humano. Esboce o gráfico da curva de nível F =
19 Aula 5: 1/3/1 Exemplo: Seja A = {(x,y) R : x e y }. Figura 19: Pontos interiores. Qualquer ponto (x,y), com x > e y >, é ponto interior de A. Basta escolher o raio da bola menor que o mínimo entre x e y. No entanto, os pontos da forma (x,y), com x = ou y =, não são pontos interiores. Qualquer bola aberta centrada em um ponto da forma (x,) não está contida no conjunto A. Veja a figura 19. Definição 11 (Conjunto Aberto). Dizemos que um subconjunto A R é aberto se todo ponto de A é ponto interior de A. Exemplos: O conjunto A = {(x,y) R : x e y } não é aberto, pois como vimos no exemplo anterior ele possui pontos da forma (x,) e (,y) que não são pontos interiores. O conjunto A = {(x,y) R : x > e y > } é aberto, pois todos os seus pontos são pontos interiores. O conjunto B = {(x,y) R : x + y < 1} é aberto. Veja a figura. Figura : Interior da elipse. Definição 1 (Ponto de Acumulação). Seja A um subconjunto de R e seja (a,b) um ponto de R. Dizemos que (a,b) é um ponto de acumulação de A se toda bola aberta de centro (a,b) contiver pelo menos um ponto (x,y) de A, com (x,y) (a,b). 16
20 Em outras palavras, (a,b) é ponto de acumulação de A se existem pontos de A, distintos de (a,b), tão próximos de (a,b) quanto se queira. Exemplo: Seja A = {(x,y) R : x +y < 1}. (,) é ponto de acumulação de A. (1,) é ponto de acumulação de A. (,) não é ponto de acumulação de A. Figura 1: Interior do círculo. Observamos que podem ocorrer casos em que um ponto (a,b) pertence ao conjunto A, mas não é ponto de acumulação de A. Nesse caso, esses pontos são chamados de pontos isolados de A. Por exemplo, em um conjunto com um número finito de pontos todos os pontos são isolados. Para cada ponto (a,b), basta escolher uma bola aberta que tenha como raio um número menor que a distância mínima de (a,b) aos outros pontos do conjunto. Observação: Observamos que as noções topológicas no espaço são exatamente as mesmas do plano. A única diferença é que a norma de um vetor (x,y,z) de R 3 é dada por x +y +z. Por exemploabola aberta em R 3 de centro (,1,1)eraio 1 éconstituída pelos pontos interiores à esfera de centro (,1,1) e raio 1. 5 Limites e continuidade: definição e propriedades De posse da definição de ponto de acumulação de um conjunto, podemos definir a noção de limite para funções reais de duas variáveis reais. Definição 13 (Limite). Sejam f : A R R uma função, (x,y ) um ponto de acumulação de A e L um número real. Dizemos que o limite de f(x,y), quando (x,y) tende a (x,y ) é L e escrevemos lim (x,y) (x,y ) f(x,y) = L se para todo ε > dado, existe δ > tal que todo (x,y) A com a propriedade < (x,y) (x,y ) < δ se tenha f(x,y) L < ε. 17
21 A y δ x L ε Figura : Definição de limite. L L+ε Escrevendo de maneira mais resumida temos lim (x,y) (x,y )f(x,y) = L se : ε > δ > : (x,y) A e < (x,y) (x,y ) < δ f(x,y) L < ε. O limitede f(x,y), quando (x,y)tende a (x,y ) élsignifica que se (x,y)está no domínio de f e pertence à bola de centro (x,y ) e raio δ e (x,y) (x,y ), então a imagem f(x,y) pertence ao intervalo (L ε,l+ε). Veja a figura. Exemplo: Seja f(x,y) = k uma função constante. Mostre que lim (x,y) (x,y )f(x,y) = k. De fato, dado ε >, basta tomar um δ > qualquer. Daí se < (x,y) (x,y ) < δ então temos f(x,y) L = k k = < ε. Exemplo: Seja f : R R dada por f(x,y) = x. Mostre que lim (x,y) (x,y )f(x,y) = x. Inicialmente observe que x x = (x x ) (x x ) +(y y ) = (x,y) (x,y ). De posse da observação anterior, dado ε > qualquer, temos que encontrar δ > que satisfaça a definição de limite. Muito bem, escolha δ igual ao ε > dado. Nesse caso, temos que para todo (x,y) R vale: < (x,y) (x,y ) < δ = f(x,y) x = x x (x,y) (x,y ) < δ = ε. Ou seja, mostramos que < (x,y) (x,y ) < δ = f(x,y) x < ε. 18
22 Aula 6: 1/3/1 Exemplo: A função f(x,y) = x +y tem limite em (,)? x +y A resposta dessa pergunta é não, pois quando calculamos f nos pontos da forma (x,) temos f(x,) = 1 e em pontos da forma (,y) temos f(,y) = 1. Para provarmos de maneira rigorosa, suponha que o limite exista e seja L. Se L, temos Se L >, temos f(,y) L = 1 L = 1 L 1. f(x,) L = 1 L = 1+L > 1. Portanto, dado ε = 1, não é possível encontrar δ > de tal forma que todos os pontos (x,y), com < (x,y) < δ, satisfaçam f(x,y) L < ε. Para a próxima definição necessitaremos do conceito de função vetorial contínua, a ser estudada em um capítulo posterior. Uma aplicação de um intervalo I R em R é uma correspondência α : I R que a cada t I associa um α(t) = (α 1 (t),α (t)) R. Dizer que α é contínua, é o mesmo que dizer que α 1 : I R e α : I R são contínuas. Definição 14 (Curva ou caminho). Seja I R um intervalo. Uma curva ou caminho em R é uma aplicação contínua α : I R. Exemplo: A equação vetorial da reta α(t) = (x +at,y +bt) é um exemplo de caminho. É a reta que passa pelo ponto (x,y ) e tem a direção do vetor (a,b). Veja figura 3-(a). Outro exemplo de caminho é dado por β(t) = (t,t). Observe que esse caminho é a parábola x = y. Veja figura 3-(b). (x,y ) (a,b) (a) (b) Figura 3: Caminhos. Definição 15. Dados (x,y ) D R, uma função f : D R e um caminho α : I D passando por (x,y ), isto é α(t ) = (x,y ) para algum t I, então definimos o limite pelo caminho α, da função f quando (x,y) tende a (x,y ) por lim f(α(t)). t t 19
23 Exemplo: Considere a função f(x,y) = x +y e (x x +y,y ) = (,). Considere ainda os caminhos α 1 (t) = (t,) e α (t) = (,t). Ambos caminhos passam pelo (,) quando t =. Temos t limf(α 1 (t)) = lim = 1, e t t t t limf(α (t)) = lim t t t = 1. Proposição 1. Se existem pelo menos dois caminhos α 1 e α, passando pelo ponto (x,y ), tais que lim t t f(α 1 (t)) lim t t f(α (t)), então não existe lim (x,y) (x,y )f(x,y). Proposição. Se para algum caminho α o limite lim t t f(α(t)) não existe, então não existe lim (x,y) (x,y )f(x,y). x Exemplo: Usando a proposição anterior temos que lim cos não existe. De fato, (x,y) (,) x +y se considerarmos o caminho α(t) = (t,), então o limite de uma variável real lim t cos 1 t não existe. xy Exemplo: Mostre que lim nãoexiste. Paraisso, considereosseguintescaminhos (x,y) (,) x y α 1 (t) = (t+t,t) e α (t) = (t t,t). Daí temos t 4 +t 3 limf(α 1 (t)) = lim t t t 4 +t 3 +t t = lim 1+t t +t = 1, e t 4 +t 3 limf(α (t)) = lim t t t 4 t 3 +t t = lim 1 t t +t = 1. Portanto não existe o limite. Teorema 1 (Teorema do Confronto). Sejam f,g,h : D R R e (x,y ) um ponto de acumulação de D. Se f(x,y) g(x,y) h(x,y) para todo (x,y) D, lim f(x,y) = L (x,y) (x,y ) e lim h(x,y) = L, então lim (x,y) (x,y ) g(x,y) = L. (x,y) (x,y ) Proposição 3. Sejam f,g : D R R e (x,y ) um ponto de acumulação de D. Se g é limitada e lim (x,y) (x,y ) f(x,y) =, então lim (x,y) (x,y ) f(x,y)g(x,y) =. Observação: Uma função g : D R R é limitada se existe M R tal que g(x,y) < M para todo (x,y) D. x 3 Exemplo: Calcule lim (x,y) (,) x +y. Inicialmente observe que x + y x x, portanto 1. Então consideramos x +y f(x,y) = x e g(x,y) = x. Dai f(x,y)g(x,y) = x3, g é limitada e lim f(x,y) =. x +y x +y (x,y) (,) Portando usando a proposição anterior concluímos que o limite é zero.
24 Aula 7: 17/3/1 Proposição 4 (Propriedades operatórias). Se L então lim (x,y) (x,y ) [f(x,y)+g(x,y)] = L 1 +L ; lim (x,y) (x,y ) [kf(x,y)] = kl 1; lim (x,y) (x,y ) [f(x,y)g(x,y)] = L 1L ; f(x,y) lim (x,y) (x,y ) g(x,y) = L 1 se L. L lim f(x,y) = L 1 e (x,y) (x,y ) lim g(x,y) = (x,y) (x,y ) Definição 16 (Continuidade). Sejam U R, f : U R e (x,y ) U. Dizemos que f é contínua em (x,y ) se para todo ε > dado, existe δ > tal que para todo (x,y) U, com (x,y) (x,y ) < δ, implica f(x,y) f(x,y ) < ε. De maneira mais abreviada f é contínua em (x,y ) U se: Observações: ε > δ > : (x,y) U e (x,y) (x,y ) < δ f(x,y) f(x,y ) < ε. 1. Se (x,y ) é um ponto isolado de U, então f é contínua. Observe que independe da f pois se o ponto é isolado então existe uma bola aberta de centro (x,y ) e raio δ tal que o único ponto de U na bola é (x,y) = (x,y ). E nesse caso, f(x,y) f(x,y ) =.. Se (x,y ) é um ponto de acumulação de U então f é contínua em (x,y ) se: Exemplos: (x,y ) U. Existe lim f(x,y). (x,y) (x,y ) lim f(x,y) = f(x,y ). (x,y) (x,y ) 1. A função constante f : R R dada por f(x,y) = k é contínua em todo ponto (x,y ) R pois lim (x,y) (x,y ) f(x,y) = k = f(x,y ).. A função f : R R dada por f(x,y) = x é contínua em todo ponto (x,y ) R pois lim f(x,y) = x = f(x,y ). (x,y) (x,y ) 1
25 3. A função f : R R dada por f(x,y) = não é contínua em (,) pois não existe x y x +y se (x,y) (,), se (x,y) = (,), lim f(x,y). (x,y) (,) De fato, tomando-se os caminhos α 1 (t) = (t,t) e α (t) = (,t) temos limf(α 1 (t)) = lim t t t = e limf(α t (t)) = lim t t t = Verifique que a função do exemplo anterior é contínua no ponto (1,). De fato, já provamos que o limite da função h(x,y) = x quando (x,y) tende a (x,y ) é x. Portanto lim (x,y) (1,) h(x,y) = 1. Utilizando o item (3) da Proposição 4 temos lim (x,y) (1,) h(x,y).h(x,y) = 1.1 = 1, ou seja, lim x = 1. (x,y) (1,) De maneira análoga, usando o fato que o limite da função g(x,y) = y quando (x,y) tende a (x,y ) é y e o item (3) da Proposição 4, prova-se que lim y =. =. (x,y) (1,) Agora, utilizamos o item () da Proposição 4 para garantir que lim (x,y) (1,) ( 1)y = ( 1). =. O item (1) da Proposição 4 garante que lim (x,y) (1,) x +( 1)y = 1+ = 1. Com a mesma idéia provamos que lim (x,y) (1,) x +y = 1+ = 1. Finalmente usamos o ítem (4) da Proposição 4 para concluir que x y lim (x,y) (1,) x +y = 1 1 = 1. Pelofatode(1,)serumpontodeacumulaçãodeR ef(1,) = 1 = lim (x,y) (1,) f(x,y), concluímos que f é contínua no ponto (1,). Teorema. Sejam f : A R R e g : B R R duas funções tais que f(a) B. Se f é contínua em (x,y ) A e g é contínua em f(x,y ), então a composta h : A R, dada por h(x,y) = g(f(x,y)) é contínua em (x,y ). Demonstração: Dado ε >, inicialmente usamos a hipótese que g é contínua em f(x,y ) para assegurar que existe δ 1 > tal que u B e u f(x,y ) < δ 1 = g(u) g(f(x,y )) < ε. (1)
26 A (x,y ) f g f(x,y ) B g(f(x,y )) g f Figura 4: Composição de funções contínuas. Posteriormente usamos esse δ 1 > encontrado, desempenhando o papel do ε na hipótese de que f é contínua em (x,y ), para assegurar a existência de δ > que satisfaz (x,y) A e (x,y) (x,y ) < δ = f(x,y) f(x,y ) < δ 1. () De (1) e () segue que (x,y) A e (x,y) (x,y ) < δ = g(f(x,y)) g(f(x,y )) < ε. Portanto g f é contínua em (x,y ). Proposição 5. Sejam f,g : X R R funções contínuas em (x,y ) X e k uma constante real. Então 1. A função f +g é contínua em (x,y ).. A função kf é contínua em (x,y ). 3. A função f.g é contínua em (x,y ). 4. A função f g é contínua em (x,y ), desde que g(x,y ). Exemplo: Já vimos que f(x,y) = x é contínua e do curso de cálculo I sabemos que g(u) = u é contínua. Portanto, usando o Teorema temos que h(x,y) = g f(x,y) = x é contínua. Da mesma forma concluímos que L(x,y) = y é contínua. Usando agora o item 1) da proposição anterior temos que a função (h + L)(x,y) = x + y é contínua. Da mesma forma que provamos que h é contínua, temos ( que M(x,y) = x 3 é contínua. Finalmente, usando o item M 4) da proposição anterior, temos )(x,y) = x3 h+l x +y é contínua em (x,y ) desde que (h+l)(x,y ), ou seja, desde que (x,y ) (,). Portanto, a função x 3 F(x,y) = x +y, se (x,y) (,), se (x,y) = (,) é contínua em todo ponto (x,y ) (,). A pergunta é: E no ponto (,)? F é contínua? Como f(,) = e (,) é ponto de acumulação do domínio de F, devemos verificar se x lim (x,y) (,) F(x,y) =. Observamos que 3 x = x. x, onde é limitada e x tende a x +y x +y x +y zero. Portanto F é contínua em todos os pontos de R. 3
3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1
1 3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1 3.3.1 Sistema de Coordenadas Tridimensionais Como vimos no caso do R, para localizar um ponto no plano precisamos de duas informações e assim um ponto P
Leia maisPARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma
Leia maisObjetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e
MÓDULO 2 - AULA 13 Aula 13 Superfícies regradas e de revolução Objetivos Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda PROVAS RESOLVIDAS DE CÁLCULO VETORIAL Professora Salete Souza de Oliveira Aluna Thais Silva de Araujo P1 Turma
Leia maisSeja D R. Uma função vetorial r(t) com domínio D é uma correspondência que associa a cada número t em D exatamente um vetor r(t) em R 3
1 Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire Cálculo Vetorial Texto 01: Funções Vetoriais Até agora nos cursos de Cálculo só tratamos de funções cujas imagens
Leia maisUniversidade Federal do Paraná
Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matematica Prof. Juan Carlos Vila Bravo Curitiba, 1 de Dezembro de 005 1. A posição de uma particula é dada por: r(t) = (sen t)i+(cost)j
Leia maisAPLICAÇÕES DA DERIVADA
Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,
Leia maisMAT2454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II
MAT454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II a Lista de Exercícios -. Ache os pontos do hiperboloide x y + z = onde a reta normal é paralela à reta que une os pontos (,, ) e (5,, 6).. Encontre
Leia maisCapítulo 1. x > y ou x < y ou x = y
Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos
Leia maisCÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. Departamento de Análise - IME UERJ
CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA Departamento de Análise - IME UERJ 2 Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total 3
Leia mais9. Derivadas de ordem superior
9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de
Leia maisUniversidade Federal da Bahia
Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática DISCIPLINA: CALCULO B UNIDADE III - LISTA DE EXERCÍCIOS Atualizado 2008.2 Domínio, Imagem e Curvas/Superfícies de Nível y2 è [1] Determine o domínio
Leia maisI. Cálculo Diferencial em R n
Análise Matemática II Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Ano Lectivo 2010/2011 2 o Semestre Exercícios propostos para as aulas práticas I. Cálculo Diferencial em R n Departamento
Leia maisResolução dos Exercícios sobre Derivadas
Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas
Leia maisCapítulo 5: Aplicações da Derivada
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f
Leia maisA abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y
5 Taxa de Variação Neste capítulo faremos uso da derivada para resolver certos tipos de problemas relacionados com algumas aplicações físicas e geométricas. Nessas aplicações nem sempre as funções envolvidas
Leia maisSoluções abreviadas de alguns exercícios
Tópicos de cálculo para funções de várias variáveis Soluções abreviadas de alguns exercícios Instituto Superior de Agronomia - 2 - Capítulo Tópicos de cálculo diferencial. Domínio, curva de nível e gráfico.
Leia maisResolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul
Resolução da Prova da Escola Naval 29. Matemática Prova Azul GABARITO D A 2 E 2 E B C 4 D 4 C 5 D 5 A 6 E 6 C 7 B 7 B 8 D 8 E 9 A 9 A C 2 B. Os 6 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova
Leia mais4. Curvas planas. T = κn, N = κt, B = 0.
4. CURVAS PLANAS 35 4. Curvas planas Nesta secção veremos que no caso planar é possível refinar a definição de curvatura, de modo a dar-lhe uma interpretação geométrica interessante. Provaremos ainda o
Leia maisDepartamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.
Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.
Leia maisNesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão.
Capítulo 8 Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão. 1. Exemplos de revisão Exemplo 1 Ache a equação do círculo C circunscrito ao triângulo de vértices A = (7, 3), B = (1, 9) e C = (5, 7).
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS DE CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO E NO ESPAÇO. CURVAS PARAMETRIZADAS, INTEGRAIS DE LINHA (COM RESPEITO A COMPRIMENTO DE ARCO).
LISTA DE EXERCÍCIOS DE CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO E NO ESPAÇO. CURVAS PARAMETRIZADAS, INTEGRAIS DE LINHA (COM RESPEITO A COMPRIMENTO DE ARCO. PROFESSOR: RICARDO SÁ EARP OBS: Faça os exercícios sobre
Leia maisExercícios resolvidos P2
Exercícios resolvidos P Questão 1 Dena as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente, por sinh(t) = et e t e cosh(t) = et + e t. (1) 1. Verique que estas funções satisfazem a seguinte
Leia maisFUNÇÃO DO 1º GRAU. Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:
FUNÇÃO DO 1º GRAU Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro
Leia maisÅaxwell Mariano de Barros
ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÓÅ Ö Ò Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ò Ü Ø Ì ÒÓÐÓ ÆÓØ ÙÐ ¹¼ ÐÙÐÓÎ ØÓÖ Ð ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø Åaxwell Mariano de Barros ¾¼½½ ËÓÄÙ ¹ÅA ËÙÑ Ö Ó 1 Vetores no Espaço 2 1.1 Bases.........................................
Leia mais6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D
6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D Até agora estudamos e implementamos um conjunto de ferramentas básicas que nos permitem modelar, ou representar objetos bi-dimensionais em um sistema também
Leia maisDefinição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y).
PUCRS FACULDADE DE ATEÁTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PROF. LUIZ EDUARDO OURIQUE EQUAÇÔES EXATAS E FATOR INTEGRANTE Definição. A diferencial de uma função de duas variáveis f(x,) é definida por df = f x (x,)dx
Leia maisUFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM042 - Cálculo II Prof. José Carlos Eidam. Lista 1. Curvas
UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM042 - Cálculo II Prof. José Carlos Eidam Lista 1 Curvas 1. Desenhe as imagens das seguintes curvas: (a) γ(t) = (1, t) (b) γ(t) = (cos
Leia maisAula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente
Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente MA211 - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual
Leia maisPonto, reta e plano no espaço tridimensional, cont.
Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont. Matemática para arquitetura Ton Marar 1. Posições relativas Posição relativa entre pontos Dois pontos estão sempre alinhados. Três pontos P 1 = (x 1,
Leia maisPor que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,...
Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... 0) O que veremos na aula de hoje? Um fato interessante Produtos notáveis Equação do 2º grau Como fazer a questão 5 da 3ª
Leia maisResumo com exercícios resolvidos do assunto: Funções de duas ou mais variáveis.
www.engenhariafacil.weebly.com Resumo com exercícios resolvidos do assunto: (I) (II) (III) Funções de duas ou mais variáveis; Limites; Continuidade. (I) Funções de duas ou mais variáveis. No Cálculo I
Leia maisCálculo Diferencial e Integral III - EAD. Professor Paulo Cupertino de Lima
Cálculo Diferencial e Integral III - EAD Professor Paulo Cupertino de Lima Sumário Sumário i 0.1 Apresentação do livro............................. v 1 Revisão: retas, planos, superfícies cilíndricas
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática 3 a Lista de exercícios de Cálculo III - MAT 241
Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática a Lista de exercícios de Cálculo III - MAT 41 1. Calcule, se existirem, as derivadas parciais f f (0, 0) e (0, 0) sendo: x + 4 (a) f(x, ) = x,
Leia maisAula 9 Plano tangente, diferencial e gradiente
MÓDULO 1 AULA 9 Aula 9 Plano tangente, diferencial e gradiente Objetivos Aprender o conceito de plano tangente ao gráfico de uma função diferenciável de duas variáveis. Conhecer a notação clássica para
Leia maisMAT 2352 - Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado 13.11.
MT 2352 - Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - tualizado 13.11.2012 1. Segunda-feira, 30 de julho de 2012 presentação do curso. www.ime.usp.br/
Leia mais5. Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
4 ā Lista de Exercícios de SMA-332- Cálculo II 1. Mostre que as funções dadas são diferenciáveis. a) f(x, y) = xy b) f(x, y) = x + y c) f(x, y) = x 2 y 2 d) f(x, y) = 1 xy e) f(x, y) = 1 x + y f) f(x,
Leia mais4.2 Teorema do Valor Médio. Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html
4.2 Teorema do Valor Médio Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: a) f é contínua no intervalo
Leia maisUma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação).
5. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 5.1. INTRODUÇÃO Devemos compreender função como uma lei que associa um valor x pertencente a um conjunto A a um único valor y pertencente a um conjunto B, ao que denotamos por
Leia maisPARTE 3. 3.1 Funções Reais de Várias Variáveis Reais
PARTE 3 FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS 3. Funções Reais de Várias Variáveis Reais Vamos agora tratar do segundo caso particular de funções vetoriais de várias variáveis reais, F : Dom(F) R n R
Leia maisNOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR
ESPAÇO VETORIAL REAL NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VETORIAIS Seja um conjunto V φ no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar, tais que u, v V, u+v V e α R, u V, αu V
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire MARÇO / 2015 Sumário 1. Introdução... 5 2. Conjuntos...
Leia maisMATEMÁTICA I AULA 07: TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO TÓPICO 02: CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO Este tópico tem o objetivo de mostrar como a derivada pode ser usada
Leia maisSó Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES
FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça
Leia maisO Teorema da Função Inversa e da Função Implícita
Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência c Publicação eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit O Teorema da Função Inversa
Leia maisCAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO
CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO Ricardo Bianconi Primeiro Semestre de 2008 Revisado em Fevereiro de 2015 Resumo Relacionamos os conceitos de campos irrotacionais, campos conservativos e forma do domínio
Leia maisAplicações de Derivadas
Aplicações de Derivadas f seja contínua no [a,b] e que f '(x) exista no intervalo aberto a x b. Então, existe pelo menos um valor c entre a eb, tal que f '(c) f (b) f (a) b a. pelo menos um ponto c (a,
Leia maisIntuitivamente, podemos pensar numa superfície no espaço como sendo um objeto bidimensional. Existem outros modos de se representar uma superfície:
Capítulo 3 Integrais de superfícies 3.1 Superfícies no espaço Definição 3.1 Uma superfície S no espaço é definida como sendo a imagem de uma aplicação contínua r : K R R 3, (u, v) K 7 r (u, v) =(x (u,
Leia mais2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea
2 O objetivo geral desse curso de Cálculo será o de estudar dois conceitos básicos: a Derivada e a Integral. No decorrer do curso esses dois conceitos, embora motivados de formas distintas, serão por mais
Leia maisCÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS
15 CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS Um dos problemas que ocorrem mais frequentemente em trabalhos científicos é calcular as raízes de equações da forma: f() = 0. A função f() pode ser um polinômio em
Leia maisESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PROF. CARLINHOS NOME: N O :
ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES PROF. CARLINHOS NOME: N O : 1 FUNÇÃO IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO O conceito de função é um dos mais importantes da matemática.
Leia mais1 Propriedades das Funções Contínuas 2
Propriedades das Funções Contínuas Prof. Doherty Andrade 2005 Sumário 1 Propriedades das Funções Contínuas 2 2 Continuidade 2 3 Propriedades 3 4 Continuidade Uniforme 9 5 Exercício 10 1 1 PROPRIEDADES
Leia maisLista 4. 2 de junho de 2014
Lista 4 2 de junho de 24 Seção 5.. (a) Estime a área do gráfico de f(x) = cos x de x = até x = π/2 usando quatro retângulos aproximantes e extremidades direitas. Esboce os gráficos e os retângulos. Sua
Leia maisAs assíntotas são retas que passam no centro da hipérbole e tem coeficiente angular m = b / a e m = b / a, logo temos:
Exercício 01. Dada à hipérbole de equação 5x 2 4y 2 20x 8y 4 = 0 determine os focos e as equações das assintotas. Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x 2 4x + 4 4] 4[y 2 + 2y + 1]
Leia mais1. Extremos de uma função
Máximo e Mínimo de Funções de Várias Variáveis 1. Extremos de uma função Def: Máximo Absoluto, mínimo absoluto Seja f : D R R função (i) Dizemos que f assume um máximo absoluto (ou simplesmente um máximo)
Leia maisAula 7 Valores Máximo e Mínimo (e Pontos de Sela)
Aula 7 Valores Máximo e Mínimo (e Pontos de Sela) MA - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual
Leia mais7 AULA. Curvas Polares LIVRO. META Estudar as curvas planas em coordenadas polares (Curvas Polares).
1 LIVRO Curvas Polares 7 AULA META Estudar as curvas planas em coordenadas polares (Curvas Polares). OBJETIVOS Estudar movimentos de partículas no plano. Cálculos com curvas planas em coordenadas polares.
Leia mais4.1A Esboce o grá co de cada curva dada abaixo, indicando a orientação positiva. cos (1=t), para 0 < t 1 e y 0 (0) = 0. Sendo esta derivada
4.1 Curvas Regulares 4.1A Esboce o grá co de cada curva dada abaixo, indicando a orientação positiva. (a) ~r (t) = t~i + (1 t)~j; 0 t 1 (b) ~r (t) = 2t~i + t 2 ~j; 1 t 0 (c) ~r (t) = (1=t)~i + t~j; 1 t
Leia maisMudança de Coordenadas
Mudança de Coordenadas Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICE Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi regi@mat.ufmg.br 13 de deembro de 2001 1 Rotação e Translação
Leia maisExp e Log. Roberto Imbuzeiro Oliveira. 21 de Fevereiro de 2014. 1 O que vamos ver 1. 2 Fatos preliminares sobre espaços métricos 2
Funções contínuas, equações diferenciais ordinárias, Exp e Log Roberto Imbuzeiro Oliveira 21 de Fevereiro de 214 Conteúdo 1 O que vamos ver 1 2 Fatos preliminares sobre espaços métricos 2 3 Existência
Leia maisx0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas?
Recorrências Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios aditivo e multiplicativo. Para resolver esses problemas recorremos a outros recursos: as recursões
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU
FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA
Leia mais1 Módulo ou norma de um vetor
Álgebra Linear I - Aula 3-2005.2 Roteiro 1 Módulo ou norma de um vetor A norma ou módulo do vetor ū = (u 1, u 2, u 3 ) de R 3 é ū = u 2 1 + u2 2 + u2 3. Geometricamente a fórmula significa que o módulo
Leia maisGAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar
GAAL - 201/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar SOLUÇÕES Exercício 1: Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M = (5, 0, 2), N = (, 1, ) e P = (4,
Leia maisIntegrais Duplas e Coordenadas Polares. 3.1 Coordenadas Polares: Revisão
Cálculo III Departamento de Matemática - ICEx - UFMG Marcelo Terra Cunha Integrais Duplas e Coordenadas Polares Nas primeiras aulas discutimos integrais duplas em algumas regiões bem adaptadas às coordenadas
Leia maisLógica Matemática e Computacional 5 FUNÇÃO
5 FUNÇÃO 5.1 Introdução O conceito de função fundamenta o tratamento científico de problemas porque descreve e formaliza a relação estabelecida entre as grandezas que o integram. O rigor da linguagem e
Leia maisPROFº. LUIS HENRIQUE MATEMÁTICA
Geometria Analítica A Geometria Analítica, famosa G.A., ou conhecida como Geometria Cartesiana, é o estudo dos elementos geométricos no plano cartesiano. PLANO CARTESIANO O sistema cartesiano de coordenada,
Leia maisSociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional. n=1
Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional MA Números e Funções Reais Avaliação - GABARITO 3 de abril de 203. Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras
Leia maisCI202 - Métodos Numéricos
CI202 - Métodos Numéricos Lista de Exercícios 2 Zeros de Funções Obs.: as funções sen(x) e cos(x) devem ser calculadas em radianos. 1. Em geral, os métodos numéricos para encontrar zeros de funções possuem
Leia maisPotenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z
Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente
Leia maisEQUAÇÕES DIFERENCIAIS
GRUPO Educação adistância Caderno de Estudos EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Prof. Ruy Piehowiak Editora UNIASSELVI 2012 NEAD Copyright Editora UNIASSELVI 2012 Elaboração: Prof. Ruy Piehowiak Revisão, Diagramação
Leia maisFunção Quadrática Função do 2º Grau
Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Função Quadrática 1º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Professor: Hermes Jardim Disciplina: Matemática Lista 5 º Bimestre/13 Aluno(a): Número: Turma: Função Quadrática
Leia maisComplementos de Análise Matemática
Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Departamento: Matemática Ficha prática n o 1 - Cálculo Diferencial em IR n 1. Para cada um dos seguintes subconjuntos de IR, IR 2 e IR 3, determine
Leia maisITA - 2005 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR
ITA - 2005 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Matemática Questão 01 Considere os conjuntos S = {0,2,4,6}, T = {1,3,5} e U = {0,1} e as afirmações: I. {0} S e S U. II. {2} S\U e S T U={0,1}.
Leia maisCEFET/RJ - Cálculo a Várias Variáveis Professor: Roberto Thomé e-mail: rthome@cefet-rj.br homepage: www.rcthome.pro.br LISTA DE EXERCÍCIOS 01
CEFET/RJ - Cálculo a Várias Variáveis Professor: Roberto Thomé e-mail: rthome@cefet-rj.br homepage: www.rcthome.pro.br LISTA DE EXERCÍCIOS 01 1) Seja f = 36 9x 2 4y 2. Então : (a) Calcule f, f(2, 0) e
Leia maisFunção. Definição formal: Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é:
Função Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função. Definição formal:
Leia mais4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos
Capítulo 4 Funções de duas variáveis 4.1 Funções de varias variáveis - Definição e eemplos Definição 1: Chamamos de função real com n variáveis a uma função do tipo f : D R com D R n = R R. Ou seja, uma
Leia mais(c) f(x, y) = x 2 + y 2. (3) Faça a correspondência entre a função dada e seu o gráfico. Justifique sua resposta.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Quarta Lista de Exercícios de Cálculo II - MTM13 Prof. Júlio César do Espírito Santo (com colaboraçao
Leia maisa = 6 m + = a + 6 3 3a + m = 18 3 a m 3a 2m = 0 = 2 3 = 18 a = 6 m = 36 3a 2m = 0 a = 24 m = 36
MATEMÁTICA Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto
Material Teórico - Módulo de Divisibilidade MDC e MMC - Parte 1 Sexto Ano Prof. Angelo Papa Neto 1 Máximo divisor comum Nesta aula, definiremos e estudaremos métodos para calcular o máximo divisor comum
Leia maisFUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL
Hewlett-Packard FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Aulas 01 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luís Ano: 2015 Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO... 2 PRODUTO CARTESIANO... 2 Número de elementos
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA II
ANÁLISE MATEMÁTICA II Acetatos de Ana Matos Noções Básicas de Funções em R n Topologia DMAT Noções Básicas sobre funções em n Introdução Vamos generalizar os conceitos de limite, continuidade e diferenciabilidade,
Leia maisSESSÃO 5: DECLINAÇÃO SOLAR AO LONGO DO ANO
SESSÃO 5: DECLINAÇÃO SOLAR AO LONGO DO ANO Respostas breves: 1.1) 9,063 N 1.2) norte, pois é positiva. 1.3) São José (Costa Rica). 2) Não, porque Santa Maria não está localizada sobre ou entre os dois
Leia maisSe ele optar pelo pagamento em duas vezes, pode aplicar o restante à taxa de 25% ao mês (30 dias), então. tem-se
"Gigante pela própria natureza, És belo, és forte, impávido colosso, E o teu futuro espelha essa grandeza Terra adorada." 01. Um consumidor necessita comprar um determinado produto. Na loja, o vendedor
Leia maisDisciplina: Introdução à Álgebra Linear
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte Campus: Mossoró Curso: Licenciatura Plena em Matemática Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Prof.: Robson Pereira de Sousa
Leia maisTópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2)
Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2) Nessa aula continuaremos nosso estudo sobre limites de funções. Analisaremos o limite de funções quando o x ± (infinito). Utilizaremos o conceito
Leia maisCDI-II. Trabalho. Teorema Fundamental do Cálculo
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires CDI-II Trabalho. Teorema Fundamental do Cálculo 1 Trabalho. Potencial Escalar Uma das noções mais importantes
Leia maisCPV O cursinho que mais aprova na GV
O cursinho que mais aprova na GV FGV ADM Objetiva 06/junho/010 MATemática 01. O monitor de um notebook tem formato retangular com a diagonal medindo d. Um lado do retângulo mede 3 do outro. 4 A área do
Leia mais3.4 Movimento ao longo de uma curva no espaço (parte segunda)
3.4-17 3.4 Movimento ao longo de uma curva no espaço (parte segunda) 3.4.4 Mais exemplos sobre curvas no espaço. No parágrafo anterior discutimos os elementos que entram na descrição de uma trajetória
Leia maisMétodos Matemáticos para Engenharia de Informação
Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação Gustavo Sousa Pavani Universidade Federal do ABC (UFABC) 3º Trimestre - 2009 Aulas 1 e 2 Sobre o curso Bibliografia: James Stewart, Cálculo, volume I,
Leia maisMestrados Integrados em Engenharia Mecânica e em Eng Industrial e Gestão ANÁLISE MATEMÁTICA III DEMec 010-11-0 1ºTESTE A duração do exame é horas + 30minutos. Cotação: As perguntas 1 e 6 valem valores,
Leia maisMAT Lista de exercícios
1 Curvas no R n 1. Esboce a imagem das seguintes curvas para t R a) γ(t) = (1, t) b) γ(t) = (t, cos(t)) c) γ(t) = (t, t ) d) γ(t) = (cos(t), sen(t), 2t) e) γ(t) = (t, 2t, 3t) f) γ(t) = ( 2 cos(t), 2sen(t))
Leia maisa 1 x 1 +... + a n x n = b,
Sistemas Lineares Equações Lineares Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível Definição
Leia maisConjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros
Conjuntos numéricos Notasdeaula Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos
Leia mais1. Determine o domínio de F e esboce a sua imagem: 5. Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada no ponto dado:.
1 MAT 121-2 a Lista de Exercícios 1. Determine o domínio de F e esboce a sua imagem: (a) F(t) = (t 2, t 2 ) (b) F(t) = (5 t 2, ln(5 t 2 ), t) (c) F(t) = ( 1 t, 4 2 t 2, 2) 2. Calcule as expressões de F
Leia maisExercícios Teóricos Resolvidos
Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar
Leia maisIBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = =
Energia Potencial Elétrica Física I revisitada 1 Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob ação de uma força F que atua ao longo da linha. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo
Leia maisConceitos Fundamentais
Capítulo 1 Conceitos Fundamentais Objetivos: No final do Capítulo o aluno deve saber: 1. distinguir o uso de vetores na Física e na Matemática; 2. resolver sistema lineares pelo método de Gauss-Jordan;
Leia maisConsidere um triângulo eqüilátero T 1
Considere um triângulo eqüilátero T de área 6 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo eqüilátero T, que tem os pontos médios dos lados de T como vértices.
Leia maisUFPR_VESTIBULAR _2004 COMENTÁRIO E RESOLUÇÃO POR PROFA. MARIA ANTONIA GOUVEIA
UFR_VESTIBULAR _004 COMENTÁRIO E RESOLUÇÃO OR ROFA. MARIA ANTONIA GOUVEIA QUESTÃO Um grupo de estudantes decidiu viajar de ônibus para participar de um encontro nacional. Ao fazerem uma pesquisa de preços,
Leia mais