FICHA N.º1:Isometrias: Reflexão, rotação e translação ISOMETRIAS

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1 FICHA N.º1:Isometrias: Reflexão, rotação e translação Matemática 8º Ano Aluno: Data: / /2013 Nº Ano/Turma: 8º ISOMETRIAS Uma ISOMETRIA (iso = igual, metria = medição) é uma transformação geométrica que mantém a distância entre pontos e preserva ângulos, isto é, a figura inicial e a sua transformada são congruentes. ATIVIDADE 1 Em cada situação apresentada a figura foi transformada na figura mediante certas regras. As figuras e são congruentes em todas as situações. Na figura I, reflete-se como uma imagem num espelho obtendo-se a figura.trata-se de uma transformação geométrica do plano a que se dá o nome de. À reta dá-se o nome de. Na figura II, reflete-se como uma imagem num espelho obtendo-se a figura. Depois, desliza ao longo da seta assinalada, obtendo-se a figura. À transformação geométrica do plano que transformou a figura na figura dá-se o nome de. Na figura III, é possível levar o decalque da figura a coincidir com a figura, rodando em torno de um ponto O, 90º no sentido dos ponteiros do relógio. À transformação geométrica do plano que transformou a figura na figura dá-se o nome de. Ao ponto O, em torno do qual a figura roda, chama-se. Ao ângulo orientado (de amplitude 90º) chama-se. Na figura IV, é possível levar o decalque da figura a coincidir com a figura, fazendo-a deslizar numa determinada direção ao longo da seta assinalada. À transformação geométrica do plano que transformou a figura na figura dá-se o nome de. PÁGINA 1

2 TRANSLAÇÃO ATIVIDADE 2 O Ricardo deslizou da posição 1 até à posição 2, executando um movimento de translação ao longo da reta, como mostra a figura. Considera apenas as figuras correspondentes à posição inicial e final. A seta indica a direção e o sentido do deslocamento efetuado, bem como a distância percorrida de uma posição até à outra Como se chama a transformação geométrica que transforma a figura da posição 1 na figura da posição 2? R: 1.2. Que relação existe entre as duas figuras? R: 2. A cada ponto da figura da posição 1 corresponde um e um só ponto na figura da posição 2, que é o seu transformado Qual é o ponto correspondente ao ponto? R: 2.2. Qual é o transformado do ponto? E do ponto? R: 3. Nesta transformação geométrica, indica na figura transformada (posição 2 ): 3.1. Um segmento de reta congruente com o segmento de reta. R: 3.2. Um ângulo congruente com o ângulo. R: 4. Se a distância do ponto ao ponto é 50 metros, qual é a distância entre quaisquer dois pontos correspondentes das duas figuras? R: Uma TRANSLAÇÃO é uma isometria em que todos os pontos da figura original sofrem o mesmo deslocamento (em direção, sentido e comprimento), desde a posição inicial até à posição final. PROPRIEDADES DA TRANSLAÇÃO Um segmento de reta é transformado num segmento de reta paralelo e com o mesmo comprimento. Uma reta ou uma semirreta são transformados numa reta ou semirreta paralelas, respetivamente. Um ângulo é transformado num ângulo geometricamente igual e com o mesmo sentido. ATIVIDADE 3: De entre os seguintes movimentos identifica os que são movimentos de translação: O movimento de PÁGINA 2

3 TRANSLAÇÃO ASSOCIADA A UM VETOR NOÇÃO DE VETOR DIRECÇÃO E SENTIDO Como pudeste verificar no exercício anterior, nas situações em que identificaste um movimento de translação, pudeste observar que um elemento se desloca numa determinada direção e sempre paralelo a si próprio. ATIVIDADE 4 Observa a figura ao lado. Os automóveis deslocam-se num troço retilíneo de uma estrada que liga duas cidades. Circulam na mesma, a direção da reta, mas em sentidos. 1. Dá um exemplo de um automóvel 1.1. que circule no sentido Porto Lisboa. R: 1.2. que circule no sentido Lisboa Porto. R: 2. Na figura estão representadas as retas:, e quantas direcções definem as três retas? R: 2.2. numa direção quantos sentidos podes considerar? R: Quando duas ou mais retas são paralelas, diz-se que têm a mesma. Numa reta podemos considerar sempre dois sentidos: O sentido de para e o sentido de para. Um segmento de reta onde se escolheu um sentido, diz-se um segmento de reta. Designa-se por [A,B] o segmento de reta orientado com sentido de para ; o ponto é a origem e o ponto é a extremidade. Designa-se por [B,A] o segmento de reta orientado com sentido de para ; o ponto é a origem e o ponto é a extremidade. Um segmento de reta orientado fica identificado desde que se conheça a sua, o seu, o seu e a sua. PÁGINA 3

4 VETOR ATIVIDADE 5 Observa o movimento de translação do automóvel quando se desloca da posição 1 para a posição 2. Posição 1 Posição 2 Posição 2 Posição 1 Posição 2 Todos os pontos da figura original percorrem a mesma, na mesma e. Cada ponto do automóvel descreveu um, como mostra a figura. Os segmentos de reta orientados ; e, embora com origens, têm mesma, o mesmo e o mesmo. Dado um segmento de reta orientado [A,B], ao conjunto de segmentos de reta orientados do plano com a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento que [A,B], chama-se vetor livre ou apenas vetor e representa-se por. Um vetor fica caraterizado por: Uma direção Um sentido Um comprimento Nota: Um vetor pode ainda ser designado por uma letra minúscula com uma seta por cima, como por exemplo por. TRANSLAÇÃO ASSOCIADA A UM VETOR ATIVIDADE 6 1. Determina: 1.1. Determina, de tal modo que Determina, de tal modo que. Q P A B 2. Considera o triângulo [ABC] e o vetor. Constrói o triângulo [A B C ] de tal modo que: C. A B Na alínea 1.1. construíste a imagem do ponto de tal modo que o ponto é o do ponto pela associada ao vetor. De um modo geral: Translação associada a um vetor é a transformação geométrica que transforma cada ponto do plano no ponto, tal que. Esta transformação geométrica representa-se por e significa que é o transformado (ou imagem) do ponto (objeto) definida pelo vetor. PÁGINA 4

5 ATIVIDADE 7: Observa a figura onde estão representados alguns vetores e pontos sobre uma base quadriculada. 1.Dá um exemplo de dois vetores que tenham: 1.1. A mesma direção e o mesmo sentido O mesmo comprimento A mesma direção e sentidos contrários. 2. Dos pontos assinalados na figura, indica aquele que é imagem de A pela translação: 2.1. Associada ao vetor Associada ao vetor. 3. Dos vetores representados na figura, identifica o que define a translação que aplica: 3.1. em 3.2. em 3.3. em COMPOSIÇÃO DE TRANSLAÇÕES COMPOSIÇÃO DE TRANSLAÇÕES E ADIÇÃO DE VETORES ATIVIDADE 8 Na figura está representado um empilhador. O mecanismo do empilhador permite-lhe fazer movimentos apenas em duas direções: na e na. O movimento feito por um caixote ao ser arrumado por um empilhador está representado no esquema em baixo. No esquema estão representados dois vetores e e três posições do caixote no movimento efetuado. A - posição inicial B - posição intermédia C - posição final PÁGINA 5

6 O caixote passa da posição A para a posição B através da e da posição B para a posição C através da. A aplicação sucessiva destas translações equivale a aplicar uma só translação associada a um vetor posição para a posição. que passe diretamente o caixote da Recorrendo a linguagem simbólica tem-se: ; e À translação dá-se o nome de translação composta das translações e ( a translação após a translação ) e represente-se por: ATIVIDADE 9: Na figura estão representados 15 pralelogramos geometriacamente iguais. Indica as imagens de [HION] pelas translações: ATIVIDADE 10: Na figura estão representados quatro paralelogramos congruentes. 1. com base na figura, indica: 1.1. um vetor igual a um vetor simétrico de. PÁGINA 6

7 ADIÇÃO DE VETORES ATIVIDADE 11 Sejam e dois vetores. COMO OBTER O VETOR SOMA DESTES DOIS VETORES? Repara que: Os vetores e têm direções diferentes. 1. Considera um ponto qualquer e determina o ponto, sendo. 2. Determina o ponto, sendo. 3. é um representante do vetor, vetor soma dos vetores e e escreve-se: ATIVIDADE 12 Sejam e dois vetores. COMO OBTER O VETOR SOMA DESTES DOIS VETORES? Repara que: Os vetores e têm a mesma direção e o mesmo sentido. Aplica o procedimento da atividade 11, para obteres o vetor soma. ATIVIDADE 13 Sejam e dois vetores. COMO OBTER O VETOR SOMA DESTES DOIS VETORES? Repara que: Os vetores e têm a mesma direção e sentidos opostos. Aplica o procedimento da atividade 11, para obteres o vetor soma. ATIVIDADE 14 Sejam e dois vetores. COMO OBTER O VETOR SOMA DESTES DOIS VETORES? Repara que: Os vetores e têm a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos opostos. Aplica o procedimento da atividade 11, para obteres o vetor soma. PÁGINA 7

8 Ao vetor soma chama-se vetor nulo e escreve-se: Os vetores e dizem-se simétricos porque têm a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos opostos. A representação de dois vetores simétricos, e, pode ser feita por: Aplica ATIVIDADE 15: Na figura estão representados quatro paralelogramos congruentes. 1. Determina: ATIVIDADE 16: Observa o referencial cartesiano da figura Indica as coordenadas dos pontos assinalados na figura Determina a imagem da figura na translação associada ao vetor u Quais são as coordenadas das imagens dos pontos assinalados. PÁGINA 8