Volatilidadeimplcitanoprecode opc~oes:exemplodeaplicac~aode metodositerativos. DuarteTrigueiros ISCTE-MSIAD

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1 Volatilidadeimplcitanoprecode opc~oes:exemplodeaplicac~aode metodositerativos DuarteTrigueiros ISCTE-MSIAD

2 osartigosdeblack(1985)[1]edeblack&scholes(1972)[2]e(1973)[3]entreoutros. obt^e-lapoderecorreratextoscomojarrow&rudd(1983)[4].tambemrecomendaveiss~ao Estetexton~aodispensaumacertafamiliarizac~aocomopc~oesnanceiras.Quemdesejar Notadeapresentac~ao tiposdeactivoscujovalorestasubordinadoaodeoutrosactivos;aquiloquedistingueuma proprias,activoscujovalorestasubordinadoaovalordeoutrosactivos.existemmuitos opc~aoeserumdireito(decomprarouvender)semacontrapartidadorespectivodever. antesouateumadatadeterminada,porumprecopre-estabelecido.asopc~oess~ao,elas Anoc~aodeopc~aoebasicaemFinancas.T~aobasicacomoaformulaparaaactualizac~ao Umaopc~aosobreumactivoeodireitodecomprarouvenderumaporc~aodesseactivo ouvenda. deacharovaloractualdeumactivoqueconsistanodireitoaatrazarumadecis~aodecompra decash-ows.defacto,areceitahabitualqueseusaparacalcularovaloractualdeum activon~aoegeral.porexemplo,ocalculodoprecodeumaopc~aomostraaformacorrecta Put:Umaopc~aoquedaaoseudetentorodireitodevenderumaporc~aodeumactivo. Call:Umaopc~aoquedaaoseudetentorodireitodecomprarumaporc~aodeumactivo. PreconoExerccio,K:Oprecoaoqualodetentordeumaopc~aocacomdireitoa Segue-seumglossariodetermosenotac~oesusadosnotexto. DatadeExpirac~ao,T:Adataaqual(ouantesdaqual)odetentordeumaopc~aopode Cotac~aodoActivo,St:Oprecoaoqualoactivoemquest~aoestaaservendidonadata comprarouvendercadaporc~aodeumactivo. PrecodaOpc~ao:Oprecoaoqualaopc~aoetransaccionada. exerceroseudireitodecompraouvenda. t,i.e.,aquandodacompradaopc~ao. ii

3 Umaporc~aodeumactivochama-se\activo".Amenorporc~aodeumactivoquepodeser transaccionadaeuma\acc~ao"oushare. noexercciodek,eumadatadeexpirac~aot.otempoateaoexerccioe=t t. umaput.quandosetornarconvenienteumanotac~aomaisespeccausar-se-act(st;k;t) paradenotaroprecodeumacalladatat,comcotac~aoactualdoactivodest,umpreco Usar-se-aanotac~aoCtparadenotaroprecodeumaCallnadatat.Ptseraoprecode Tipicamente,naterceirasexta-feiradom^es. cionavelexa.alemdisso,adatadeexpirac~aoeamesmaparatodasastransac~oes: Nosmercadosdeopc~oes,aporc~aodoactivoqueconstituiaunidademnimatransac- sejamasmaispopularestantonestecomonooutroladodooceano. s~aofrequentementetransaccionadasemchicago,embora,emgeral,asopc~oesamericanas ateadatadeexpirac~ao,easeuropeias,quesopodemserexercidasnadatadeexpirac~ao.esta designac~aon~aotemnadaavercomocontinenteondesesituaomercado:opc~oeseuropeias Existemdoistiposdeopc~oes:Asamericanas,quepodemserexercidasemqualqueraltura quevendetaldireito,queescreveumacall.oqueescreve,recebehoje,t,oprecodaopc~ao, ecaobrigadoavenderumaporc~aodoactivonofuturo,t,aumprecopre-determinado, combinadocomanteced^enciaepagaporessedireitonaalturadeocomprar.diz-se,daquele temsempreumoutowinicial(oprecodaopc~ao),euminowfuturoquesera,napiordas casoodetentordacallassimoexigir.emtermosdecash-ows,quemcompraumaopc~ao OcompradordeumaCalladquireodireitodecomprarumaporc~aodoactivoaumpreco hipoteses,nulo(istoda-sequandon~aovaleapenaexerceraopc~ao).quantoaquemescreve, 4dolaresodireitodecomprar,entrehojeeaterceirasexta-feiradeSetembro,umadada aoprecode50dolares.seopreco,hoje,deessedireitof^or4dolares,podeconseguir-sepor direitodecomprarumaporc~aoxadaempresaibmateaterceirasexta-feiradesetembro, asuaposic~aoinicialeuminowaoqualsesegueumoutow oqual,namelhordas hipotesesseranulo.estasduasposic~oess~aosimetricas. porc~aodaibma50dolarescadaacc~ao,pormaisaltaquesejaasuacotac~ao. Exemplo:Uma\IBMSeptember50calloption"eumbemquedaaoseudetentoro iii

4 Captulo1 dadedemodicaremospadr~oesdelucroassociadosaosrespectivosactivos. Umadasqualidadesatractivasdasopc~oeseadepermitiremaosseusdetentoresapossibili- Oprecodasopc~oes 1.1Padr~oesdeLucroaDatadeExpirac~ao S0asuacotac~aoemJulho,olucroemfunc~aodacotac~aodoactivoemSetembrosera: precode50dolarescadaacc~ao.se,emsetembro,acotac~aodesteactivoe70,ter-se-afeito umlucrode20.see40,ter-se-aperdido10.sendostacotac~aodoactivoemsetembroe V~ao-seagoraestudaralgunsdestespadr~oes,comecandopelostr^esmaissimples. 1.Compradeactivo:Suponha-sequesecompraumaporc~aodeIBM'semJulho,ao queseestudamaseguir. S0,umasimplesreplicadeS0,deslocadadeST.Agura1comparaestepadr~aocomoutros Portanto,opadr~aodelucroresultantedapossedeactivoe,quandoexpressoemfunc~aode Lucro,activo=ST S0 50callpor4dolares,istotornapossvelexerc^e-lacasoacotac~aodasIBMseja,emSetembro, superiora50dolares.sendoc0oprecodestacall,olucroemfunc~aodacotac~aodoactivo emsetembroseraagora: 2.CompradeCall:Poroutrolado,seemJulhosetivercompradoumaIBMSeptember Lucro,Call=max(0;ST K) C0=max(0;ST 50) 4=8<: 4 iv ST 54seST>50 sest50

5 10 Lucro 8 futurosdeumactivo:compradeactivo,compradecall,compradeput. Figura1:Ostr^esmaissimplespadr~oesdelucroemfunc~aodediversospossveisvalores So a Put -2 So a Call Cotacao do Stock na data expiracao Lucro 8 futurosdeumactivo. Figura2:Padr~aodelucrodeumaCallprotectoraemfunc~aodediversospossveisvalores 6 Note-sequeousodapalavralucronestecontextoeinadequadoumavezqueseignoramos Put Put exerc^e-la.sendop0oprecodestaput,olucroemfunc~aodacotac~aodoactivoemsetembro jurosassociadoscomacompradoactivo.nocasopresenteistoetantotradicionalcomo inofensivo.agura1comparaestepadr~aocomoutrostambemmuitosimples. dolares,casoacotac~aodasibmseja,emsetembro,inferiora50dolares,seriainteressante Cotacao Stock na data expiracao -10 sera: 3.CompradePut:SeemJulhosetivercompradoumaIBMSeptember50putpor Oaspectogracodostr^espadr~oesbasicosdescritosateaquipodemobservar-senagura1. Lucro,Put=max(0;K ST) P0=max(0;50 ST) 2=8<:48 STseST50 v 2 sest>50 Stock So o stock

6 10 Figura3:Padr~aodelucrodobullishspreademfunc~aodediversospossveisvaloresfuturos Lucro Call escrita alto 2 0 Bullish spread -2 Call comprada baixo -4 func~aodacotac~aodoactivoemsetembrosera: deumactivo. activodaibmpor50dolareseaomesmotempoumaputsobreesseactivo,comumpreco Putprotectoraousegurodeumacarteira.Sendode2dolaresoprecodestaPut,olucroem noexercciodetambem50dolares.estacombinac~aodeactivoseconhecidapelonomede 4.CompradeactivoePutsobreesseactivo:Suponha-seagoraquesecomprava -6 Lucro,activo+Put=ST 50+max(50 ST;0) 2=8<: 2-8 Cotacao do Stock na data expiracao -10 ST 50 2seST>50 sest Portanto,estacombinac~aodeactivocomPutofereceumaprotecc~aocontradescidasna cotac~aodoactivo,limitandoasperdasmaximasaoprecodaput.gracamente,ter-se-iao padr~aodelucrosqueagura2ilustra.olucrocomaputprotectoraeasomadoslucros comoactivoeaput. secompraumacallpor4dolarescomumpreconoexercciode50.aomesmotempo, escreveu-seumacallpor2dolarescomopreconoexercciode55.estebullishspreaddara exerccio.quandoacallqueecompradatemumprecodeexerccioinferioracallescrita, acombinac~aoassimconseguidachama-seumabullishspread.porexemplo,suponha-seque activosconsisteemcomprare,aomesmotempo,escrevercallscomdiferentesprecosde 5.Spreads:Compraeescritasimult^aneadeCalls:Outrapossvelcombinac~aode umlucrodelucro,bullishspread=max(st 50;0) 4+2 max(st 55;0) vi

7 oquevemaser: Gracamente,ter-se-iaopadr~aodelucrosqueagura3mostra.Olucroeasomadosdois padr~oesobtidoscomocomprareoescrevercalls.quandoatend^enciadomercadoepara Lucro,Bullishspread=8><>: 2 ST 50 2se50<ST<55 3 sest50 subir,obullishspreadofereceprespectivasdelucros. Muitosoutrosexemplosdecombinac~oesseriampossveis.Falar-se-adealgunsdelesna sest55 1.2OsFactoresqueInuenciamoPrecodasOpc~oes Quantodeveriaserpagohojepelodireitodecompraractivonofuturoporumprecoxo?O secc~aodosexerccios. 6precodeumaCallvemdeterminadopordiversosfactoreseexisteateumarespostaanaltica paraaformacomodiversospossveisfactoresinuenciamtalpreco. paratalquest~ao.demomentointeressaexploraroaspectoempricoeganharsensibilidade datadeexpirac~aot,escritasobreumactivocujacotac~aohojeest,seriam: Opreconoexercciodaopc~ao,K.Obviamente,quantomaiselevadoeoprecono OsfactoresqueinuenciamoprecoapagarporumaCallcomprecoKnoexerccioe Acotac~aoactualdoactivo,St.Quandotudoorestopermanececonstante,quanto serexercida.porisso,quantomaiork,menoroprecodacall. exerccio,setudoorestopermanecerconstante,menosprovavelequeacallvenhaa Otempoquerestaateaoexerccio,=T t.quantomaistemposetemparaexercer maiorf^oracorrentecotac~aodoactivosobreoqualacalleescrita,tantomaisvale Avolatilidadedoactivo.Tudoomaissendoigual,umactivomuitovolatilaumenta estaopc~aodecomprartalactivo.isto,porqueaprobabilidadedeacotac~aosersucientementeelevadaparavalerapenaexerceraopc~aoaumentacomessacotac~ao. umaopc~ao,maisprovavelsetornaoseuexerccio. ascendentesdacotac~ao. contrario.umacallprotegeoseudetentorcontraosmovimentosdescendentesdas aprobabilidadedequeemalgummomentovalhaapenaexerceraopc~aodecompralo.emgeral,avolatilidadedosactivosdiminuioseupreco.comascallpassa-seo cotac~oes.porisso,umdetentordeumacallsoestarainteressadonosmovimentos vii

8 emaiselevadadoquek,essacallestainthemoney.diz-sequeumaopc~aoesta\forado termosdeelaviraserexercida.assim,nocasodeumacall,quandoacotac~aodoactivo dinheiro"ouinthemoneyquandoacotac~aodorespectivoactivopareceprometedoraem tivoactivoseencontraproximadopreconoexercciok.diz-sequeumaopc~aoesta\no dinheiro"ououtofthemoneyquandoacotac~aodorespectivoactivon~aoeprometedoraem Diz-sequeumaopc~aoesta\juntoaodinheiro"ouatthemoneyquandoacotac~aodorespec- 7 IBMa65dolaresehojeasIBMest~aoa70dolares,ovalorintrnsecodestaopc~aoecinco St,eopreconoexerccioK.Seumaopc~aodaaoseudetentorodireitodecompraruma dolares.naturalmente,soopc~oesqueestejaminthemoneyt^emvalorintrnseco.quandoa opc~aocaoutofthemoneyoseuvalorintrnsecotorna-senegativo.masiston~aosignica queumaopc~aoqueseencontreoutofthemoneyn~aotenhavalor.ovalorintrnsecoeapenas Ovalorintrnsecodeumaopc~aoeadiferencaSt Kentreacotac~aopresentedoactivo, umadasfontesdevalordeumaopc~ao.paraalemdele,deveconsiderar-seovalordotempo querestaateaexpirac~ao,oqualpodefazercomqueacotac~aodoactivosetornefavoravel. ValorpropriodaOpc~ao:ovalordodireitoan~aocompraroun~aovenderactivopelo Ovalordotempocomp~oe-se,porsuavez,deduasparcelas: ValorTemporaldoDinheiro:quantomaistardeumaCalleexercida,maistempoe precopreviamentecombinado,k,casoasuacotac~aonadatadoexerccion~aose mostreconvidativa. umatrazodenodisp^endiodekek Ke r=k(1 e r). possveldeixarodinheirodestinadoacompradoactivoarender.ovalortemporalde ou,simplicando, Estastr^esparcelaspodemescrever-se Ct=(St K)+K(1 e r)+pt Ct=St Ke r+pt (1) valortemporaldodinheiroesvaem-se.casoaopc~aoestejaoutofthemoney,oaproximar-se vezmaissemelhanteaoseuvalorintrnsecost KpoisovalorPtpropriodaopc~aoeo aproximaadatadeexpirac~ao,ovalordeumaopc~aoqueestainthemoneytorna-secada ondepteovalorpropriodaopc~ao,tambemconhecidoporoptionfeature.amedidaquese (2) subtraidododireitoden~aocompraractivo afeature. dadatadeexpirac~aotornaovalordaopc~aocadavezmaissemelhanteaovalorintrnseco viii

9 8intrnsecomaisovalortemporaldodinheiro(oscontratosforward,porexemplo).Aquilo queeespeccodasopc~oeseoseuvalorproprio(feature). 1.3AEquac~aodeBlack-Scholes:OPrecodeumaOpc~ao Note-sequeexistemactivossubordinadoscujovalorsecomp~oeapenasdovalor quepodeserusadaparacalcularoprecodascalleuropeias.talmodeloassumequeo activosobreoqualaopc~aoeescritan~aopagadividendoseavolatilidadedascotac~oese Baseadosnaimpossibilidadedeobterlucrosapartirdeumacarteiraperfeitamenteprotegida contravariac~oesnacotac~aodeumactivo,black&scholes(1973)[3]derivaramumaformula multiplicativa,i.e.,lognormal.usar-se-aparadesignaradispers~aologartmicadoactivo 9papelnaprecagemdasopc~oes. sobreoqualseescreveaopc~ao.ovaloresperadologartmicodoactivo,,n~aotemqualquer quevirdadopor Oganhoobtidocomumactivolivrederiscoserar.Note-sequeambosredevemestar expressosnasmesmasunidadesdetempo,porexemplo,anos. Usar-se-aamesmanotac~aoqueateaqui.Otempoateaexpirac~ao,T t,chamar-se-a. Black&Scholesmostraramque,dadoscertospressupostos,ovalordeumaCallteria eque,quandotaln~aoacontece,epossvelconstruircarteirassemriscomascomganho onded1=logst K+r+2 p2 Ct=StN(d1) Ke rn(d2) eonded2=logst K+r 2 p 2=d1 p(3) esperadopositivo.comoemoutrasocasi~oes,n()denotaadistribuic~aonormalacumulada, disponvelemmuitasfolhasdecalculo. quantoaoprecodasopc~oes.nomeadamente, quandoavolatilidadeenula,oprecodeumaopc~aoapenasexpressaadiferencaentre EfacildeverqueaformuladeBlack-Scholesobedeceaosrequisitosenunciadosacima amedidaqueseaproximaadatadeexpirac~ao,ovalordaopc~aovai-seaproximando acotac~aopresentedoactivoeovaloractualdopreconoexerccio:osn(d)igualama unidadeeportanto doseuvalorintrnseco. Ct=St Ke r ix

10 OvalorN(d1)echamado\Delta"()emedeasensibilidadedoprecodeumaopc~aoa variac~oesnacotac~aodoactivo.qualquerinvestidorquetenhaemseupoderumaproporc~ao iguala deactivoporcadaopc~aoquecomprarsobreesseactivo,deixaradeestarexposto aoriscoassociadoavolatilidadedoactivo.nomdecontas,oqueaformuladeblack& quetornenulooganhoobtidocomessaposic~ao,umavezqueelaestaprotegidacontrao Scholesdizequetalinvestidordeverapagarpelacompradessasopc~oesummontantetal queocotac~aodesseactivoeumprocessolognormalcom=0;35.ser=0;08ese=0;25 risco(diz-sedeumaposic~aoprotegidacontraoriscoqueestahedged). CallcomumpreconoexercciodeK=50escritasobreumactivocomSt=50.Suponha-se (portanto,aproximadamentetr^esmeses)ter-se-a: 10.ComousaraformuladeBlack&Scholes:Umexemplo.Considere-seuma d1=0;20178 Oquedaria,segundo(3)umprecode exp( r)=0;9802 N(d1)=0;5800 N(d2)=0;5107 d2=0; AParidadeCall-Put (4)em123ououtroambiente. paraestacall.osnumerosacimapodemserusadosparatestaraimplementac~aodaformula Ct=StN(d1) Ke rn(d2)=3;9693 construa-seaseguintecarteira: aumacarteiranaqualsecombinamtr^esoutrosactivos.paravericarqueistoeassim, sobreumdadoactivo,compreconoexercciodekedatadeexpirac~aodet,eequivalente AformuladeBlack&ScholespodeaindaserusadaparaacharoprecodePutseuropeias. Issodeve-seaexist^enciadoteoremadaparidadeCall-Put,quemostraqueumaPuteuropeia 1.ComprarumaCallsobreumactivo,comumpreconoexercciodeKedatadeexpirac~ao det.esteactivoterahojeumcash-owde Cteumcash-owde+max(St K;0) noexercciot. x

11 3.Vendercurtoumaporc~aodoactivosobreoqualaCallacimafoiescrita.Estavenda 2.Comprarhojeumaporc~aoigualaKe rdoactivosemrisco.esteteraumcash-ow 4.EscreverumaPuteuropeiasobreesseactivo,comamesmadatadeexpirac~aoepreco inicial Ke reumcash-owde+knadatadeexpirac~aot. dacall. originaumcash-owde+stadatat(hoje)eumoutrode STadatadeexpirac~ao facildever.defacto, Ocash-owtotalgeradoporestacarteiraadatadaexpirac~aoacabaporserzerocomoe noexerccioqueacall.extavendaoriginaumcash-owde+ptadatat(hoje)eum outrode max(k ST;0)adatadeexpirac~aoT. CompradeCall Activosemrisco activocurto Cash-owsquandoSTK ST K0 Cash-owsquandoSTK CompradeCallST K ActivosemriscoK nascasasmoedeiras.portanto,teraquevericar-se: Seassimn~aofosseelaseriaumamaquinadecriarouvolatilizardinheiro,oquesoacontece Segue-sequeocash-owtotaldestacarteiraadatat(hoje)temqueserzerotambem. EscritadePut (K ST) activocurto EscritadePut ST Ct Ke r+st+pt=0ou,porrearranjo,pt=ct St+Ke r: 0 11usadoparatirarpartidodeoportunidadesdearbitragemquesurjemquandoasopc~oesest~ao aservendidasabaixoouacimadoseuvalorteorico.confrontandoesteteoremacoma comprar,noexerccio,activomaisbaratoqueasuacotac~ao,eigualaodireitodevende-lo. formula(2)v^e-searaz~aopelaqualchamamosptaoptionfeature.defacto,odireitoan~ao EesteoteoremadaparidadeCall-Put,cujaimport^anciapraticaeenorme.Elepodeser aformulaequivalentenocasodasputs: DerivandoemordemaStve-seque,nocasodasPut,ohedgeratioouvaleN(d1) 1. onded1ed2s~aoomesmoquenocasodascall(3)en()eadistribuic~aonormalacumulada. Podeusar-seesteteoremadirectamentecomaequac~aodeBlack-Scholesparaseobter Pt= StN( d1)+ke rn( d2) (4) xi

12 Preços (sigma = 0.35, tau = 3 meses) Preço da Call Preço Intrínseco Valor do Tempo Feature S_t = Cotacao no inicio Preços (sigma = 0.35, tau = 15 dias) 18 Preço da Call 14 Preço Intrínseco Valor do Tempo Feature 10 secomp~oeoseupreco:ovalorintrnseco,ovalortemporaldodinheiroeaoptionfeature. Figura4:Padr~aodelucrodeumaCall(linhaacheio)edecadaumdoselementosdeque xii -6 S_t = Cotacao no inicio

13 AEstimac~aodaVolatilidadeImplcita NumPreco Captulo2 Detodasasvariaveisrequeridaspelaequac~aodeBlack-Scholesparaadeterminac~aodopreco deopc~oes,amaisdifcildedeterminare,odesvio-padr~aodoganhologartmicodoactivo. destatecnica,odesenvolvimentoseguinteeparadigmatico. variasmaneirasdeiterar.aqui,usar-se-aumadelas,adenewton-raphson.comoexemplo emusaraequac~aodeblack-scholesiterativamenteateadescobertadeumasoluc~ao.existem sup^oeexistirnoactivosobreoqualacallfoiescrita. Ecostumetentar-sedescobrir,dadooprecorealdeumaCall,qualeoqueessepreco Oproblemaconsisteem,dadososSt;r;;KeC,oprecodaCall,acharumtalque N~aoexisteumasoluc~aoanalticaparatalproblema.Aformapraticadeestimarconsiste Raphsonsubstituemsucessivamenteem monotonicidadedefgarantequeexisteapenasumatalraiz.asiterac~oesdenewton- Asoluc~aoobtem-seprocurandoiterativamenteumaraizdaequac~aoC f()=0.a f()=stn(d1) Ke rn(d2)=c ondei+1indicaaiterac~aoseguinte.eimportantecomecaraiterarcomuminicialque conduzasempreaconverg^encia.manaster&koehler(1982)[5]mostraramqueumdesses edadopor 2=lnSt i+1=i f(i) C K+r2 f0(i) (6) (5) Faltaaindadeterminaraderivadaf0()=@f() xiii@

14 DERIVDerivadaf0() D1d1 D2d2 CPrecodaCall N'(D1)DerivadadeN(d1) N(D1)Probabil.Acumulada N(D2)Probabil.Acumulada Tabela1:Listadosnomesderegistosadenirnafolhadecalculocapazdeestimaro MARKMarcaouag INITinicial EXPexp( r) KPreconoexerccioTARGETRegistoauxiliar SIGMA,aestimac~aopretendida TAU,otempoateaoexerccio RS r,oganhosemrisco subjacenteaumdadopreco,cdeumacall. St,acotac~aodoactivoemt quen~aoedecalculotrivial.podeporemver-se(jarrow&rudd[4])que doalgoritmodenewton-raphsonemfolhadecalculo. Depossedetodososelementosnecessariosaestimac~aode,podepassar-seaimplementac~ao 12.Implementac~ao:Usar-se-acomopontodepartidaafolhadecalculoondesedeterminouN(x),afunc~aoProbabilidadeGaussianaacumulada.Comoeprecisoacharovalor f0()=stpn0(d1)eonden0(x)=1 p2e x2 2 (7) oprocessodeestimac~aodosubjacenteaumdadoc.quandoesteregistoediferentede zero,afolhadecalculodeterminainit,ovalorderecomendavelparainiciarasiterac~oes. manualmenteoregistomarkazero.afolhadecalculoproduziraent~aoumaouvarias destafunc~aoparad1ed2,conservar-se-~aodoisregistosparaesteefeito. Istoconsegue-secomaformula(6).Depoisdesteinicialtersidodescoberto,devep^or-se iterac~oespartindodoinicial.asiterac~oesdevemprosseguiratequeoregistoc,onde Osnomesdosregistosusadosnesteexemploconstamdatabela1.OregistoMARKinicia 13ilustraasituac~aoemquesepretendeacharoinicial(registoINIT)eportantoMARKe diferentedezero. secalculaoprecodacallpelaformuladeblack-scholes,setenhatornadoigualaoregisto TARGET(ondesedevecolocar,noincio,oprecodaCall). determinaroprecodacallsegundoomodelodeblack-scholes(3).paraisto,introduzir-se-~ao 14.Asformulas:OsregistosK,S,R,eTAUcont^emosdadosdoproblemaepermitem Umpossvelaspectodafolhadecalculoeoquesemostranagura5.Estagura asseguintesformulasousemelhantes: nosregistosd_1,=(ln($s/$k)+($r+sigma^2/2)*$tau)/(sigma*sqrt($tau)) xiv

15 ProbabilidadesAcumuladas: d exp tau KSr d_1-2.7E d_ N'(d_1) target mark init deriv C s(d) h(d) tn(d) e sigma C,umdadoprecodeumaCall.Doladoesquerdo,embaixo,v^e-seoespacoreservadoao pb(0) b(1) Figura5:Umaspectopossvelparaafolhadecalculocapazdeestimarosubjacentea calculodosN(d1)eN(d2). d_2,=(ln($s/$k)+($r-sigma^2/2)*$tau)/(sigma*sqrt($tau)) formula(7).sigmaimplementainitparavaloresdemarkquen~aosejamzeromas poisiteraratequeosregistostargetecquemiguais.oregistoderivcontema Aseguir,introduzem-seasformulasquepermitemacharINIT,oinicial(6)ede- exp,=exp(-$r*$tau) passaaimplementaraformula(5)casomarksejapostoazero.em123,estasformulas C,=$S*$N(D_1)-$K*$EXP*$N(D_2) podemteroaspectoquesemostraaseguir,ousemelhante: 16nosregistosinit,=SQRT(ABS(LN($S/$K)+R*TAU)*2/TAU) N'(d_1),=(1/SQRT(2*PI))*EXP(-D_1^2/2) deriv,=$s*sqrt($tau)*$n'(d_1) Conclui-seportantoqueadispers~aosupostapelosinvestidoresparaoactivosobreoquala Callfoiescritae=0:4035umavezquefoiatribuidaaestaopc~aoumprecode2dolares. aspectodafolhadecalculo,nomdeseisiterac~oes,deveseroqueagura6mostra. Depoisdestasformulasintroduzidasedainicializac~aodeMARKedeTARGET,o sigma,=if($mark<>0,$init,$sigma-($c-$target)/$deriv) Ficaassimresolvidooproblemaproposto.xv

16 dprobabilidadesacumuladas: exp tau KSr d_ d_ N'(d_1) target mark init deriv C 0 s(d) h(d) tn(d) sigma subjacenteac,umdadoprecodeumacall Figura6:Oaspectonal,depoisdeseisiterac~oes,dafolhadecalculoqueestimouo... ẋvi

17 Exerccios Captulo3 dolares, desteactivoestanestemomentocotadoa55dolaresequeestascallsseest~aoavendera8 17.Considerem-seas\GeneralPills,September60Calloptions".Supondoqueumaacc~ao 1.FazerumgracocomopayoresultantedacompradeumadestasCallsemfunc~aode 2.Fazerumgracocomopayoresultantedacompradeumaacc~aodoactivoagorae 3.Qualeopayoresultantedacompradeumaacc~aodoactivoagora,juntocomaescrita posteriorvendaemsetembro,emfunc~aodest. variascotac~oesnoexerccio,st. 4.Numgracosimples,compararospayoresultantesdacompradeumaacc~aodeGeneralPills,comosdacompradeumaporc~aodeGeneralPillsjuntocomaescritade (venda)deumacallsobreessaporc~ao? deuma,ecomosdomesmocomtr^escalls. umacallsobreessaacc~ao,comosdomesmomascomaescritadeduascallsemvez NotarquequemescreveumaCallarrecadaodinheirodavendahoje,mastemquefornecer oactivoaocompradordacallnoexerccio,casoessecompradorqueiraexercerasuaopc~ao. sejaelevadoeaomesmotempoescreveroutracomumquesejabaixo.fazerumgracodo dolares,edepoisvendeumacomumpreconoexercciode40eaoutracomumde60. padr~aodelucrosdestacombinac~aoemfunc~aodest. 19.UminvestidorcompraduasCalls,cadaumacomomesmopreconoexercciode50 18.UmabearishspreadconsisteemcomprarumaCallcomumpreconoexerccioque xvii

18 Fazerumgracodopadr~aodelucrosdestacombinac~ao,conhecidacomobutteryspreadem activo,comamesmadatadeexpirac~aoepreconoexerccio.fazerumgracodopadr~aode lucrosdastr^esstraddlespossveiscomosdadosabaixo,emfunc~aodest. 20.NumastraddleuminvestidorcompratantoumaPutcomoumaCallsobreomesmo TipoKCtouPt Call4013 Call506 Call603 possatrabalharcomdatas,masondeoscalculossejamfeitosemtermosdediasdocalendario 21.ConstruirumafolhadecalculoquecalculeovalordeumaCalledeumaPuteondese Put401 Put504 acc~aodeactivoactualmentecotadoem50dolares.oexerccioe40dolares,obemsemrisco anual.assumirqueoanotem365dias.calcularovalordeumacallescritasobreuma Put deMarcode1987ehojeestamosa18deOutubrode1986. paga6%eodesvio-padr~aodoganhologartmicodoactivoe20%.adatadeexpirac~aoea xviii

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