Clause Fátima de Brum Piana

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1 UNIDADE II - Estatístca Descrtva Tabela. Meddas relatvas a automóves modelos no mercado norte-amercano. UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS CENTRO DE DESENVOLVIMENTO TECNOLÓGICO Estatístca Básca Para Engenhara Exercícos Clause Fátma de Brum Pana Pelotas, 0. Obs. Modelo Naconaldade Peso (kg) Potênca (CV) Consumo (km/l) Número de clndros Buck Estate Wagon EUA 977,7 55 7,8 8 Ford Country Squre Wagon EUA 88,9 6,59 8 Chevy Malbu Wagon EUA 65, 5 8,6 8 Chrysler LeBaron Wagon EUA 787, 50 7, Chevette EUA 977,5 68,75 6 Toyota Corona Japão 6, 95,69 7 Datsun 50 Japão 0, 97,56 8 Dodge Omn EUA 0,5 75, 9 Aud 5000 Alemanha 8,7 0 8,6 5 0 Volvo 0 GL Suéca, 5 7, 6 Saab 99 GLE Suéca 67,8 5 9,8 Peugeot 69 SL França 56,8 6,89 6 Buck Century Specal EUA 5, 05 8,76 6 Mercury Zephyr EUA 9,5 85 8,8 6 5 Dodge Aspen EUA 6,0 0 7,9 6 6 AMC Concord D/L EUA 56,8 0 7, Chevy Caprce Classc EUA 7,8 0 7, 8 8 Ford LTD EUA 689,6 9 7,8 8 9 Mercury Grand Marqus EUA 79,0 8 7,0 8 0 Dodge St Regs EUA 77, 5 7,7 8 Ford Mustang EUA 7,5 88,6 Ford Mustang Gha EUA 0,0 09 9, 6 Mazda GLC Japão 895,8 65,9 Dodge Colt Japão 868,6 80,9 5 AMC Sprt EUA, 80,65 6 VW Scrocco Alemanha 90,6 7,9 7 Honda Accord LX Japão 968, 68,5 8 Buck Skylark EUA, 90,07 9 Chevy Ctaton EUA 77, 5, 6 0 Olds Omega EUA,7 5,9 6 Pontac Phoenx EUA 59, 90, Plymouth Horzon EUA 997,9 70,5 Datsun 0 Japão 96, 65,5 Fat Strada Itála 966, 69 5,85 5 VW Dasher Alemanha 99, 78,96 6 Datsun 80 Japão 76,9 97 9,5 6 7 BMW 0 Alemanha 79, 0 9, 8 VW Rabbt Alemanha 87, 7,56

2 . A partr dos dados da Tabela responda as questões. a) Qual é a população? b) Qual é o tamanho da amostra (n)? c) Qual é a undade de observação? d) Sublnhe na tabela uma observação. e) Classfque cada varável da tabela e dentfque sua escala de medda. f) Represente smbolcamente as varáves numércas e os valores dessas varáves para a qunta undade de observação.. Num estudo sobre hábtos de vda de uma pequena comundade de.000 famílas, o pesqusador obtém, dentre outras nformações, a dade do chefe de cada famíla e anda a opnão dele em relação à mplantação de um parque de dversões na comundade. Identfque e classfque as varáves analsadas. Qual a undade de observação e de quantas observações consste este estudo?. Desenvolva os seguntes somatóros: 5 5 = a) x = x + x + x + x + x (exemplo) 0 j j=6 b) f = 6 j= c) (x +c) = j = d) (x + ) f = 5 e) k y = = = f) 5 x y = = = = g) (x +y ) + y =. Represente, usando a notação Σ, as seguntes expressões: a) x+ x xn = x (exemplo) b) 5x + 5x x = 0 c) x+ y+ x+ y x6+ y 6 = d) w+ w+ w+ w + k = e) x y + x y x y = n n f) c(x + A) + c(x + A) + c(x + A) = 5 x+ x xn g) = y + y + y + y 5. A partr das nformações da tabela a segur, determne: n 5 = 5 y = x y x y a) x = x + x + x + x + x = (-) + = 7 (exemplo) b) = c) = d) x y = e) ( x ) = f) (x ) = g) x = h) (y ) = 6. Consderando os dados da Tabela, calcule: a) A soma de valores da varável peso para o grupo de naconaldade alemã. b) A soma de produtos dos valores das varáves potênca e consumo para o grupo de automóves de naconaldade japonesa. c) A soma de quadrados dos valores da varável consumo para o grupo de automóves de 6 clndros. d) O peso médo dos automóves de naconaldade alemã. e) A soma de quadrados dos desvos da varável peso em relação a méda para o grupo de automóves de naconaldade alemã. f) A varânca do peso dos automóves de naconaldade alemã. 7. O saláro mínmo per capta e a carga horára semanal de trabalhadores regstrados pelo DIEESE (Departamento Intersndcal de Estatístca e Estudos Sóco-Econômcos) para alguns países da Amérca Latna no ano de 99 foram, respectvamente: Argentna: 00 dólares e 8 horas; Urugua: 60 dólares e 0 horas; Méxco: 7 dólares e 0 horas; Paragua: 6 dólares e 5 horas; Brasl: 8 dólares e horas. A partr desses dados construa uma sére estatístca (na forma tabular). 8. Os gastos (em reas/habtante) na área socal em alguns países da Amérca Latna, no ano de 990, segundo o DIEESE, foram: Urugua: 88,50; Argentna: 57,00; Chle: 6,00; Brasl: 0,00. Organze uma sére estatístca (tabela) com esses dados e classfque-a. 9. Crtque as tabelas abaxo, de acordo com as normas de apresentação tabular. a) Repetênca na a sére, no período de 98/989. Anos Alunos repetentes

3 b) Efetvo do rebanho bovno nos Estados da Regão Sul. Estados Anos Paraná Santa Catarna Não dsponível Ro Grande do Sul Classfque a sére estatístca dada a segur e faça um gráfco de lnhas para representá-la. Cursos de graduação exstentes em Unversdades do RS, por dependênca admnstratva, de Dependênca admnstratva Anos Federal Partcular Fonte: Anuáro Estatístco do Brasl.. Classfque a sére estatístca dada a segur e faça um gráfco em setores para representála. Stuação do corpo docente no ensno de o grau em Mnas Geras, segundo a dependênca admnstratva, em 96. Ensno Professores Federal 06 Estadual.5 Muncpal 66 Partcular.9 Fonte: Secretara Muncpal de Educação de Belo Horzonte.. Faça um gráfco de lnhas para representar a sére da letra a e um gráfco de barras para a sére da letra b. a) Vítmas em acdentes de trânsto, no Brasl, de Anos Vítmas Fonte: Anuáro Estatístco do Brasl.. Faça um gráfco de lnhas para representar as nflações IBGE e FGV da tabela dada a segur. Relação de alguns ndcadores econômcos de março a dezembro de 988. Meses Inflação IPC (IBGE) Inflação IGP (FGV) Março 6,0 8,6 Abrl 9,6 0, Mao 7,78 9,5 Junho 9,5 0,8 Julho,0,5 Agosto 0,66,89 Setembro,0 5,76 Outubro 7,5 7,58 Novembro 6,9 7,97 Dezembro 8,79 8,89 Fonte: Boletm da Secretara da Agrcultura do Paraná - Feverero de 989. IPC: Índce de Preços ao Consumdor (IBGE: Fundação Insttuto Braslero de Geografa e Estatístca); IGP: Índce Geral de Preços (FGV: Fundação Getúlo Vargas).. Arredonde os seguntes números: a) para centésmos,8 = 5,09 =,08 = 75,08 = 0,099 =,905 = 5,095 = 7.59,0009 = 789,578 = 9.789,5 = 9,78 = 0,0085 = b) para décmos,8 = 5,09 =,08 = 75,08 = 0,099 =,905 = 5,05 = 7.59,0009 = 789,578 = 9.789,55 = 9,78 = 0,0985 = c) para nteros,8 = 5,09 =,08 = 75,508 = 0,9099 =,905 = 5,095 = 7.59,0009 = 789,578 = 9.789,5 = 9,78 = 0,0085 = d) para quatro dígtos sgnfcatvos,8 = 5,09 = 0,085 = 75,508 = 0,09099 =,905 = 5,095 = 7.59,0009 = 789,578 = 9.789,5 = 9,78 = 0,0085 = 5. O conjunto de dados ordenado que segue refere-se à quantdade de cádmo em pexes marnhos observados em dferentes locas do Atlântco Norte.,7,7,5,5 5,0 5, 5, 5,5 5,5 5,7 6, 6,5 7,5 7,7 7,9 7,9 8,0 8, 8,5 8,9 9,5 9,6 9,6 0, 0,8 0,8,,,,7,,,,,7 6,9 7, 8,0 8,9 7,0 b) Matrícula nos muncípos da Inspetora X, em Mnas Geras, no ano de 97. Muncípos Matrículas Igarapé 800 Itatauçu 00 Mateus Leme.000 Fonte: Boletm Semestral. a) Construa uma dstrbução de frequênca para o conjunto de dados. Utlze ntervalos de ampltude constante gual a. Calcule também os centros de classe (c j ). b) Com o auxílo da planlha Excel, obtenha a méda, a varânca, o desvo padrão e o coefcente de varação desses dados. c) Calcule a méda do conjunto de dados a partr da tabela de dstrbução de freqüêncas e ndque as classes que compreendem o prmero e o tercero quarts. d) Faça o resumo de cnco números (medana, quarts e extremos) e construa o gráfco de caxa para esses dados. Verfque se exstem valores dscrepantes no conjunto. 5

4 6. Os dados em rol relaconados a segur referem-se à produção dára de lete de vacas da raça Holandesa obtda em duas ordenhas, em kg. 5,0 5,0 5,0 5,0 5,5 5,5 6,0 6,0 6,5 6,5 6,5 6,5 7,0 7,0 7,0 7,0 7,0 7,0 7,5 8,0 8,5 8,5 9,0 9,0 9,0 9,5 0,0 0,0 0,5 0,5,0,0,0 a) Construa uma tabela de dstrbução de frequêncas para os dados. b) Interprete a f e a F 5. c) Determne a moda e os quarts do conjunto de dados. d) Com o auxílo da planlha Excel, calcule a méda, a varânca e os coefcentes de assmetra e curtose desses dados. 7. Os dados (ordenados) que seguem referem-se à tonelagem (em mlhares de toneladas) de grandes tanques de óleo a) Construa uma tabela de frequêncas (absolutas, relatvas e acumuladas) para esses dados utlzando sete classes e ntervalo constante. b) Represente grafcamente o conjunto de frequêncas relatvas. c) Determne a classe modal e a classe medana e ndque no gráfco o local aproxmado da medana e da moda. d) Utlzando a planlha Excel, calcule os coefcentes de assmetra (a ) e de curtose (a ) e classfque a dstrbução quanto à assmetra e à curtose. e) Obtenha o resumo de 5 números (medana, quarts e extremos) para esses dados e verfque se algum valor é dscrepante em relação aos demas. f) Construa o gráfco de caxa e, com base neste gráfco, caracterze a dstrbução quanto à smetra. 8. A tabela que segue apresenta a dstrbução de frequêncas dos tempos de vda (em 00 mlhares de cclos) de 0 placas de alumíno sujetas a estresse. j Classes c j F j,5 5,5 5,5 7,5 7,5 9,5 8 9,5,5 7 5,5,5 9 6,5 5, ,5 7,5 8 7,5 9, ,5,5 0,5,5,5 5,5 Total F j f j f j 6 a) Complete a tabela. b) Construa o hstograma para representar a dstrbução e ndque no gráfco as classes que contêm os quarts. 9. Os dados da tabela abaxo se referem aos pontos obtdos por 00 alunos quando submetdos a um teste de conhecmentos. j Classes c j F j Σ 00 F j c jf j a) Complete a tabela. b) Calcule a méda e ndque a classe modal e a classe medana. c) Faça um hstograma para representar a dstrbução. 0. Uma empresa é composta de 0 empregados, sendo que cnco têm saláros de R$ 00,00, quatro de R$ 50,00, três de R$ 00,00, três de R$ 00,00, dos de R$ 50,00, dos de R$ 500,00 e um de R$ 600,00. a) Construa a dstrbução de frequênca relatva aos saláros. b) Qual é o saláro médo? c) Se a empresa resolver dar um aumento de 0% a seus empregados, qual será o novo saláro médo? d) Se a empresa, além do aumento de 0%, der uma gratfcação de modo que o novo saláro médo seja R$ 0,00, de quanto será esta gratfcação?. Fo medda a concentração de sódo (em meq/l) no suor de 60 estudantes, obtendo-se os seguntes resultados: a) Construa uma tabela de frequêncas (absolutas, relatvas e acumuladas) para esses dados. b) Com o auxílo da planlha Excel, determne a méda, a medana e o desvo padrão desses dados.. Em 50 mennos de anos de dade fo anotado o número de dentes permanentes carados ou obturados, obtendo-se que 8,, 0, 6,,,, 0 e mennos tnham 0,,,,, 5, 6, 7 e 8 dentes nestas condções, respectvamente. Calcular a méda, a medana e o desvo padrão da dstrbução.. Para cada um dos conjuntos de dados abaxo, calcule a méda, a medana e a moda. a) b) c)

5 . A partr do conjunto de dados, calcule a méda e os quarts Suponha que de um catálogo de músca sejam seleconadas algumas e anotados os seus tempos de duração em mnutos. Consdere que seleconadas cnco múscas, os tempos são: 7, 6, 0, 57 e 50. a) Obtenha e nterprete a méda, a medana e o desvo padrão para esses dados. b) Consdere que uma nova músca fo sorteada e que seu tempo de duração é de 00 mnutos (uma ópera de Wagner). Dgamos que esse é um valor dscrepante. Das meddas que você obteve no tem anteror qual será mas afetada por esse valor dscrepante. Utlze esse resultado para defnr uma medda resstente. 6. Calcule, a partr dos dados da tabela abaxo, o consumo médo dos automóves modelos no mercado norte-amercano. Consumo médo, segundo o número de clndros, de automóves modelos no mercado norte-amercano. Número de Número de clndros automóves Consumo médo (km/l) 9, , , ,06 7. Suponha-se que o professor da dscplna de Estatístca compare o desempenho dos seus alunos, através dos pontos (notas) obtdos nas provas (Tabela ), e classfque-os em quatro concetos báscos: Ótmo, Bom, Médo e Fraco. Para delmtar os ntervalos de pontos dentro dos quas os concetos estão defndos, utlza os quarts, conforme a Tabela. Tabela. Pontos obtdos pelos alunos do Curso de Medcna Veternára da UFPel na ª prova de Estatístca º semestre de 998. Aluno () Pontos x () Aluno () Pontos x () Aluno () Pontos x (), 6 5,7 7,5, 7 5,7 7,5,5 8 6, 7,5,8 9 6, 7,6 5,7 0 6, 5 8,0 6,7 6,7 6 8, 7,9 6,8 7 8,5 8 5,0 6,9 8 8,6 9 5, 6,9 9 8,6 0 5, 5 7,0 0 8,7 5, 6 7, 9,0 5,5 7 7, 9, 5,5 8 7, 9,8 5,6 9 7, 0,0 5 5,6 0 7, 5 0,0 Tabela. Intervalos de pontos dentro dos quas estão defndos os concetos de Estatístca. Concetos Intervalos de pontos Ótmo Q < X Bom Q < X Q Médo Q < X Q Fraco X Q 8 a) Determne os valores que delmtam os ntervalos de pontos. b) Verfque em qual dos concetos fo enquadrado o aluno que obteve nota 7,6. c) Calcule a ampltude do ntervalo que compreende 50% das notas mas centras. 8. Supondo que este mesmo professor tvesse estabelecdo que os alunos que faram reforço seram os que obtvessem notas abaxo da méda menos um desvo padrão ( X< x s ) e que os alunos que obtvessem notas acma da méda mas um desvo padrão ( X> x+ s) estaram dspensados de um dos trabalhos de classe. Utlzando os dados da Tabela e sabendo que a varânca do conjunto de dados é de,5 pontos, determne a nota abaxo da qual os alunos tveram que fazer reforço e a nota acma da qual os alunos foram dspensados do trabalho. Quantos alunos fzeram o reforço? Quantos alunos não precsaram de reforço, mas tveram que fazer o trabalho de classe? 9. Consderando o segunte grupo de valores: 9; ; 5; 6; ; ; 6, calcule a méda artmétca, a moda, a medana, a ampltude total, a varânca, o desvo padrão e o coefcente de varação. 0. Para preencher uma únca vaga de professor exstente na Escola E, fo realzado um concurso onde partcparam 8 canddatos. Estes foram submetdos a uma entrevsta, uma prova sobre conhecmentos específcos na área de nteresse e uma prova ddátca, e foram avalados por uma banca consttuída de duas pessoas, de modo que cada canddato recebeu ses notas (duas em cada forma de avalação). Três deles destacaram-se com as notas descrtas na tabela dada a segur. Dstrbução das notas. Canddato Entrevsta Prova escrta Prova ddátca ª nota ª nota ª nota ª nota ª nota ª nota A 8,0 8,0 6,5 7,5 8,5 9,0 B 8,0 8,0 6,0 7,0 9,0 0,0 C 8,0 8,0 7,5 8,0 8,0 8,5 Como todas as formas de avalação tnham o mesmo peso, o crtéro ncal para a escolha do canddato fo a méda artmétca smples das ses notas de cada um. Em caso de empate no prmero questo, sera escolhdo o canddato que apresentasse notas mas homogêneas, ou seja, com menor varação. Qual dos canddatos fo seleconado?. A méda de aprovação na dscplna de Cálculo é gual a 5,0 ou mas. Durante o período letvo foram realzadas três provas, sendo que a prmera e a tercera tveram peso quatro e a segunda teve peso dos. Os resultados, nclundo os de uma prova de substtução optatva, foram os seguntes: Estudante Provas ª ª ª Optatva,0 5,0 6,0 5,0,5,5 5,0 7,0 6,0,0,0,0 8,0,5,0 5,0 5 5,0 8,5 7,0 n/c 6,5,0 8,5 n/c 7 8,5 0,0 9,0 n/c Méda Méda fnal Sabendo-se que a nota da prova optatva substtu a menor nota das provas precedentes e tem o mesmo peso da prova que substtu, determne: a) a méda fnal de cada estudante; b) a méda das provas; c) a méda geral dos estudantes no período. 9

6 . Sejam as varáves: X = altura (em centímetros) de alunos da prmera sére da escola E. X = altura (em centímetros) de alunos da otava sére da escola E. Y = peso (em qulogramas) de alunos da otava sére da escola E. a) Consderando somente as varáves X e X: Que medda você usara para dentfcar qual dos dos conjuntos de valores é mas homogêneo. Por quê? b) Consderando somente as varáves X e Y: Que medda você usara para dentfcar qual dos dos conjuntos de valores é mas heterogêneo. Por quê?. Os valores abaxo referem-se ao número de nascmentos de cranças do sexo masculno e femnno, respectvamente, durante os doze meses do ano de 990, em um hosptal unverstáro. Meses Jan Fev Mar Abr Ma Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Masculno Femnno I. Para cada grupo de valores, determne: a) três meddas de localzação; b) quatro meddas de varação. II. Dga qual dos grupos é mas homogêneo, justfcando sua resposta, e calcule o número médo de cranças que nasceram por mês durante o ano de Em uma padara fo feta uma pesqusa para verfcar o consumo de lete e de pão nos prmeros dez das do mês de janero. Foram levantados os seguntes valores dáros: Consumo de lete (em ltros) Consumo de pão (em kg) Tendo por base os dados dessa pesqusa: a) Calcule o consumo médo dáro de lete e de pão. b) Verfque qual o conjunto de valores que teve maor varação, justfcando a resposta. 5. Dê uma lsta dos dados que correspondem aos seguntes ramos de dagramas de ramo e folhas: a) b) c) A segur temos os tempos de resposta (em pcos segundos) de 0 crcutos ntegrados:,7,,5,6,,8,, 5,,9,,,7,,7,6,,7,6,,6,7,,5 6,0,0, 5,6 6,0, Construa um dagrama de ramos e folhas usando os dígtos de undades como ramos e os de décmos como folhas. Use esse dagrama de ramo e folhas para decdr sobre a smetra desses dados... Probabldade no espaço básco UNIDADE III - Elementos de Probabldade. Seja o conjunto fundamental formado pelos nteros postvos de um a dez. Defnem-se A={,, }, B = {,, 5} e C = {5, 6, 7}. Enumere os elementos dos seguntes conjuntos: a) Complemento de B ntersecção C: (B C). b) Complemento de A unão C: (A C). c) Complemento da ntersecção dos complementos de B e C: (B C). d) Complemento da ntersecção de A com o complemento da ntersecção de B com C: [ A (B C) ]. e) Complemento da ntersecção de C com a unão de A com B: [C (A B)].. Seja o conjunto fundamental dado por U = {x; 0 x }. Defnem-se os conjuntos A e B da forma segunte: A = {x; / < x } e B = {x; / < x < /}. Descreva os seguntes conjuntos: a) Complemento da unão de A com B (A B). b) A unão complemento de B (A B). c) Complemento da ntersecção de A com B (A B). d) Complemento de A ntersecção B (A B).. Doze cartelas numeradas de a são msturadas numa urna. Duas cartelas (X, Y) numeradas são extraídas da urna sucessvamente e sem reposção. Qual a probabldade de que a soma de X + Y seja um número ímpar?. De um lote de 8 aparelhos de ar condconado adqurdos pela UFPel, cnco são da marca A com um ano de garanta, quatro são da marca A com garanta estendda, ses são da marca B com garanta estendda e três são da marca B com um ano de garanta. Defnem-se os seguntes eventos: A = {marca A}, B = {Marca B}, E = {garanta estendda} e G = {um ano de garanta}. Nestas condções calcule: a) a probabldade de o complemento de A ntersecção com o complemento de G; b) a probabldade de B unão E. 5. Numa urna estão quatro bolas numeradas de a. Duas bolas são retradas sem reposção. Sabendo-se que a chance de retrada de cada bola é a mesma, encontre a probabldade de que a méda artmétca smples entre os dos valores retrados seja ou. 6. Consdere o expermento lançamento, ao mesmo tempo, de um dado de quatro faces (,, e ) e uma moeda (c - cara e k - coroa). a) Obtenha o espaço amostral e verfque se ele é enumerável. b) Construa dos eventos nesse espaço. Nesse caso, de que forma se podera defnr probabldade de um evento? Utlze a sua defnção para calcular a probabldade de um dos dos eventos. 7. Um lote é formado de artgos bons, 5 com pequenos defetos e com defetos graves. Um artgo é escolhdo ao acaso. Determne a probabldade de que esse artgo: a) não tenha defetos; b) não tenha defetos graves; c) seja perfeto ou tenha defetos graves. 0

7 8. Duas cartas são seleconadas aleatoramente dentre ses numeradas de a 6. Encontre a probabldade do produto ser ímpar, supondo que: a) as duas cartas são retradas juntas; b) as cartas são retradas uma após a outra sem reposção. 9. De 8 alunas de uma classe, têm olhos azus. Se duas destas oto alunas são escolhdas ao acaso, qual é a probabldade de: a) ambas terem olhos azus? b) nenhuma ter olhos azus? c) pelo menos uma ter olhos azus? 0. Dentre 9 números postvos e 5 negatvos, escolhem-se ao acaso números, sem reposção e multplcam-se esses números. Qual é a probabldade do produto ser um número postvo?. Lança-se um par de dados não vcados. Determne a probabldade da soma ser gual ou maor que 9 se: a) ocorrer 6 no prmero dado; b) ocorrer ses em pelo menos um dos dados.. Lançam-se três moedas não vcadas. Encontre a probabldade de ocorrer cara em todas elas se: a) ocorrer cara na prmera; b) ocorrer cara em pelo menos uma das moedas.. Sejam A e B dos eventos assocados a um expermento. Suponha que P(A) = 0,, P(A B) = 0,7 e P(B) = p. Determne p nas seguntes stuações: a) A e B são mutuamente exclusvos; b) A e B são ndependentes.. Uma caxa contém uma moeda não vcada e uma de duas caras. Uma moeda é seleconada aleatoramente e lançada. Se ocorre cara, a outra moeda é lançada; se ocorre coroa a mesma moeda é lançada. a) Encontre a probabldade de ocorrer cara no segundo lançamento. b) Se ocorreu cara no segundo lançamento, encontre a probabldade de ter ocorrdo também no prmero. 5. Um organsmo vvo smples vve um período t e logo se dvde em dos. Durante o período t cada organsmo está sujeto ao rsco de morrer com probabldade gual a 0,. Supondo que t=0 mnutos para todos os organsmos semelhantes e que a sobrevvênca destes é completamente ndependente, calcule a probabldade de que, ncando com um só de tas organsmos, hajam oto vvos ao térmno de uma hora. 6. Uma locadora de automóves possu 0 carros para locação (6 naconas e estrangeros). Um grupo de pessoas solctou carros para aluguel. Obtenha a chance de que: a) recebam carros naconas; b) recebam pelo menos carros naconas; c) não recebam nenhum carro naconal. 7. Em uma certa cdade 80% das casas assnam um jornal de uma cdade vznha e 60% assnam um jornal local e 50% assnam ambos os jornas. Uma casa é seleconada aleatoramente. Encontre a probabldade de que nessa casa pelo um desses jornas estejam sendo assnados. 8. Para que um número real P(A) seja consderado uma probabldade, relacone os axomas que esse valor deve obedecer. 9. Em certa comundade 8% de todos os adultos com mas de 50 anos têm dabetes. Se um laboratóro local dagnostca 95% de todas as pessoas dabétcas como portadoras da doença e 98% de todas as não dabétcas como não portadoras, qual é a probabldade de um adulto com mas de 50 anos, dagnostcado como portador da doença, ter de fato dabetes? 0. Na seção de relações públcas de uma grande loja de departamentos, a probabldade de uma quexa de um consumdor se referr a mercadora defetuosa é 0,65, a probabldade de se referr a atraso na entrega é 0,0 e a probabldade de se referr a erros de faturamento é 0,05. A probabldade de cada tpo de quexa ser resolvda satsfatoramente é 0,70, 0,0 e 0,90, respectvamente. a) Determne a probabldade de uma quexa ser resolvda satsfatoramente. b) Se uma quexa fo resolvda satsfatoramente, qual a probabldade de se referr a erro de faturamento... Varáves aleatóras... Varáves aleatóras dscretas. Se as probabldades de uma crança da faxa etára de 6 a 6 anos consultar um dentsta 0,,,,, 5 ou 6 vezes por ano são 0,09, 0,5, 0,9, 0,8, 0,, 0,0 e 0,0, quantas vezes podemos esperar que uma crança daquela faxa etára consulte um dentsta em um ano?. Em um torneo de bolche paga-se R$0.000,00 ao vencedor. Quas são os valores esperados para os dos fnalstas se a) eles estão equlbrados; b) suas probabldades de ganhar são 0,65 e 0,5; c) suas probabldades de ganhar são 0,85 e 0,5.. Os pas de uma estudante prometeram-lhe uma recompensa de R$00,00 se ela obtver A em estatístca, R$50,00 se obtver B, mas nenhuma recompensa nos demas casos. Qual é o valor esperado se as probabldades dela obter concetos A e B são 0, e 0,0, respectvamente?. Seja X uma varável aleatóra dscreta tal que S X = {-, -, 0,, } e P(X=x) = /5, para todo x S X. a) Qual o valor esperado e a varânca de X? b) Determne a e nterprete-o.... Varáves aleatóras contínuas 5. Seja X uma varável aleatóra contínua que descreve o volume de chuva em determnada regão (X = 000 mm de chuva) com f(x) = x ( x), sendo S X = { x; 0 x } e f(x) = 0, se x não pertence a S. a) Verfque se f(x) é função de densdade de probabldade e trace o seu gráfco. b) Determne a função dstrbução F(x). c) Dado que A = {x; < x < }, obtenha a probabldade do evento A. d) Se chover mas de 700 mm, haverá necessdade de drenar o excesso de água. Você acha razoável prever um sstema de drenagem? e) Se chover menos do que 00 mm, haverá necessdade de represar água. Você acha razoável prever a construção de barragens? f) Encontre méda e a varânca de X. X

8 6. Uma varável aleatóra contínua X assume valores compreenddos entre 0 e, onde a sua função d densdade f(x)= 0,5 - ax é defnda. Sejam os eventos A = {x; 0,5 x } e B = {x;,5 x,5}. Determne: a) o valor de a; b) P{x; < x < }; c) P(A); d) P(B); e) P(A B); f) P(A/B); g) méda e varânca de X. 7. Dada a função de dstrbução acumulada 0 para x< 0 x para 0 x / F(x) = x para /< x para x > Determne: a) A função de densdade f(x) e o seu gráfco; b) P(X < /) c) E(X) d) O gráfco de F(X). 8. Dada a função f(x) = x, defnda no ntervalo 0 < x < k, determne: a) o valor de k de forma que f(x) seja uma densdade; b) calcule a P(µ - σ/ < X < µ + σ/); c) Determne o a e nterprete-o; d) E(/ X); e) V(X - /8). 9. O consumo de área folar causado pelo ataque de uma lagarta pode ser expresso por uma varável aleatóra com função de densdade de probabldade f(x) = k/x, para x (x é expresso em cm por folha). a) Obtenha o valor de k. b) Calcule a probabldade de em uma planta haver consumo superor a,8 cm por folha. c) Calcule a probabldade de em uma planta haver consumo entre,6 e, cm por folha... Dstrbuções de probabldade... Dstrbuções de varáves dscretas 0. Construa a dstrbução de probabldade e escreva a função de probabldade para um expermento de Bernoull em que π = 0,7.. Construa a dstrbução de probabldade do expermento relatvo ao sexo no nascmento de um bovno. A varável X é defnda como o número de machos nascdos. Escreva o espaço amostral básco (S) e o espaço amostral da varável aleatóra X (S X ). Escreva a função de probabldade.. Sejam quatro repetções ndependentes do expermento de Bernoull, com π = 0,75. Obtenha a função de probabldade, construa a dstrbução de probabldade e a dstrbução de probabldade acumulada. Calcule a méda e a varânca da dstrbução. Interprete o valor de E(X) obtdo.. Seja X a varável aleatóra que exprme a ocorrênca de chuva (0 = Não, = Sm) na prmera semana de abrl e suponha que a probabldade de chover nessa semana seja 0,7. a) Especfque a função de probabldade de X. b) Determne a méda e a varânca de X.. Dada a função de probabldade abaxo, obtenha: x, -x x -x P(X = x) = P.0,9. 0, S x = {0,,,,} a) os parâmetros; b) a dstrbução de probabldade e o seu gráfco; c) a méda e a varânca. 5. Um crador necessta repor quatro fêmeas de seu plantel. Ses matrzes foram acasaladas e produzram um flho cada. Supondo que machos e fêmeas nascem com a mesma probabldade, obtenha a probabldade de que seja necessára a compra de ao menos uma fêmea de outro crador. 6. Numa competção de tro ao alvo, a probabldade de um atrador acertar é /. Supondo que ele atra cnco vezes e que os dsparos são ndependentes, determne: a) a função de probabldade e seu gráfco; b) a função probabldade acumulada de X e seu gráfco. c) a dstrbução de probabldade e de probabldade acumulada de X; d) o valor esperado de X, utlzando a expressão geral e confra o resultado com o do teorema; e) a varânca de X, utlzando a expressão geral e confra o resultado com o do teorema; f) os coefcentes de assmetra e curtose e nterprete-os. 7. Um teste de múltpla escolha de nglês contém 0 questões, cada uma com cnco alternatvas, sendo apenas uma correta. Todas as questões têm o mesmo valor (,0 ponto) e a nota para ser aprovado no teste é 7,0. Este teste é aplcado a um aluno que nunca estudou nglês e chuta todas as respostas. Consdere que a varável aleatóra X é defnda como o número de questões responddas corretamente. a) Indque qual é o tpo de dstrbução referente a cada questão do teste, o espaço amostral e o(s) parâmetro(s). b) Calcule a probabldade de que este aluno seja aprovado no teste. c) Calcule a méda e o desvo padrão de X e nterprete estes valores. 8. Uma caxa contém 0 garrafas de vnho das quas são Cabernet, são Reslng e as restantes são Pnot Blanc. Retram-se, sem reposção, garrafas. Se X é o número de garrafas de vnho Cabernet, obtenha: a) a expressão analítca da função de probabldade de X; b) a dstrbução de probabldade de X; c) a méda e a varânca de X. 9. O processo de amostragem, utlzado no controle de qualdade de componentes eletrôncos, selecona cnco componentes ao acaso, dentre quarenta, e rejeta o lote se um defeto é encontrado. Qual é a probabldade de que exatamente um defeto seja encontrado na amostra se exstem três defetos no lote ntero? 0. De uma área expermental com a cultura de arroz rrgado foram escolhdas ao acaso três undades expermentas (parcelas) de um total de qunze, das quas, cnco estão com falhas devdo ao ataque de pragas. Calcule a probabldade de que: a) nenhuma parcela apresente falha; b) somente uma parcela apresente falha; c) pelo menos uma apresente falha. 5

9 . Uma comssão de cnco pessoas deve ser seleconada, ao acaso, dentre três químcos e cnco físcos. Encontre a dstrbução de probabldade do número de químcos na comssão.. Suponha que em méda uma pessoa em.000 comete um erro numérco na preparação da declaração do mposto de renda. Se formuláros são seleconados ao acaso e examnados, qual é a probabldade de que 6, 7 ou 8 destes formuláros terão erros?. Em um posto de pedágo de uma rodova, constata-se que, num dado nstante, a chegada de um veículo comporta-se segundo a le de Posson. A probabldade de nenhum veículo, P(X = 0), se apresentar para pagar o pedágo em um nstante t é de 0,966. Calcule a probabldade de que menos de três carros estejam em fla, num nstante para pagar o pedágo.. Uma certa área do oeste de Santa Catarna é atngda, em méda, por ses ventos fortes (com velocdade acma de 90k m/h) por ano. Encontre a probabldade de num dado ano: a) menos do que quatro ventos fortes atngrem esta área; b) cerca de ses a oto ventos fortes atngrem esta área.... Dstrbuções de varáves contínuas 5. Uma lâmpada tem duração de acordo com a segunte densdade de probabldade: f(x) = 0,00x 0,00e, para x> 0 0, em caso contráro Determnar: a) a probabldade de que uma lâmpada dure mas do que 00 horas; b) a probabldade de que uma lâmpada dure menos do que sua duração méda; c) a duração medana. 6. Suponha que X seja unformemente dstrbuída entre [-α, α], onde α > 0. Determnar o valor de α de modo que as seguntes relações estejam satsfetas: a) P(X > ) = /; b) P(X < /) = 0,7. 7. Se as nterrupções no suprmento de energa elétrca ocorrem segundo uma dstrbução de Posson com a méda de uma por mês (quatro semanas), qual a probabldade de que entre duas nterrupções consecutvas haja um ntervalo de: a) menos de uma semana; b) mas de três semanas. 8. O tempo até a venda de um certo modelo de eletrodoméstco, que é regularmente abastecdo em um supermercado, segue uma dstrbução exponencal, com parâmetros λ=0, aparelhos/da. Indque a probabldade de um aparelho ndcado ao acaso ser venddo logo no prmero da. 9. Sendo Z uma varável aleatóra contínua com dstrbução normal padrão, determne: a) P(0 < Z <,) d) P(-.8 < Z <.) b) P(0 < Z < 0,65) e) P(, < Z <,5) c) P(-,78 < Z < 0) f) P(Z > -,75) 50. Determne o valor de Z nos tens a segur: a) a probabldade entre 0 e Z é gual a 9,5%; b) a probabldade à dreta de Z é gual a 9,%; c) a probabldade à esquerda de Z é gual a,79%; d) a probabldade entre,8 e Z é gual a,77% Na seleção de provadores de café são dadas dez amostras, nas quas o degustador deve dferencar o tpo de café. Sabe-se que a méda de acertos é de,5 com desvo padrão,0. Uma empresa deseja seleconar provadores que acertem o tpo de café em, pelo menos, sete amostras. Supondo que o número de acertos seja normalmente dstrbuído e que num determnado concurso se apresentem 500 canddatos, quantos poderão ser seleconados? 5. Dos estudantes foram nformados de que alcançaram as varáves reduzdas de 0,8 e -0,, respectvamente, em um exame de múltpla escolha de nglês. Se seus graus foram 88 e 6, determne a méda e o desvo padrão dos graus do exame. 5. A taxa de respração X em dafragmas de ratos (em mcroltros/mg de peso seco/hora) sob condções normas é normalmente dstrbuída com méda,0 e varânca 0,. Calcule a probabldade de que, observado um valor de X, ele fque fora do ntervalo (,59;,7). 5. Supondo que em ndvíduos sados ou normas, a taxa de albumna no sangue tenha dstrbução normal com méda, g/00cc e desvo padrão 0,6 g/00cc, então, para uma população de ndvíduos sados ou normas, calcule: a) a probabldade de se ter uma taxa de albumna menor do que g/00cc; b) a probabldade de se ter uma taxa de albumna maor do que,9 g/00cc; c) a probabldade de se ter uma taxa de albumna entre, g/00cc e 5, g/00cc; d) a probabldade de se ter uma taxa de albumna não compreendda entre,9 g/00cc e 5 g/00cc; e) a taxa de albumna que é ultrapassada por 5% da população; f) a taxa de albumna que é ultrapassada por,5% da população; g) a taxa de albumna que não é ultrapassada por 0% da população; h) as taxas de albumna, smétrcas em relação a taxa méda, entre as quas estão compreenddas 99% das taxas da população. 55. Suponha que X, a carga de ruptura de um cabo (em kg), tenha dstrbução normal com µ = 00 e σ = 6. Cada rolo de 00 m de cabo dá um lucro de R$.50,00 desde que X > 95. Se x < 95, o cabo deverá ser utlzado para uma fnaldade dferente e um lucro de R$ 700,00 será obtdo. Determnar o lucro esperado por rolo. 56. Complete as afrmações com V (verdadero) ou F (falso). a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ) g) ( ) h) ( ) ) ( ) j) ( ) Se X tem dstrbução bnomal, o formato da dstrbução será assmétrco postvo sempre que a probabldade de sucesso for maor que a probabldade de fracasso. Na dstrbução de Posson as maores probabldades estão assocadas aos menores valores de X, por sso sua forma é assmétrca negatva. A dstrbução bnomal se aproxma da normal quando π tende a 0,5 e n tende a. Se uma varável aleatóra é contínua, a probabldade de ocorrênca de seus valores é expressa pela área sob a função densdade de probabldade dentro do ntervalo de nteresse. O fator de correção para populações fntas tende a zero quando o tamanho da população N tende a nfnto. Quando padronzamos uma varável X, o valor z encontrado ndca quantos desvos padrões exstem de µ até x. A dstrbução normal tem a =0 e a =0. A aproxmação da hpergeométrca para a bnomal é consderada satsfatóra quando tamanho da amostra representar menos de 0% do tamanho da população. A dstrbução bnomal não confgura um processo de Bernoull porque a probabldade de sucesso se altera a cada repetção do expermento. As duas dstrbuções que estão assocadas a um mesmo expermento aleatóro são a dstrbução de Posson e a dstrbução de exponencal. 7

10 .. Dstrbuções amostras UNIDADE IV - Inferênca Estatístca. Sejam X e X varáves aleatóras ndependentes tendo, cada uma delas, a segunte dstrbução: X p(x) 0, 0, 0, 0, X a) Obtenha a dstrbução amostral da méda: + X X =. b) Construa o hstograma relatvo a essa dstrbução ndcando a tendênca de formato quando aumenta o tamanho da amostra. c) Obtenha a méda e a varânca da dstrbução de X e relacone os resultados com a dstrbução de X. d) Obtenha duas estmatvas da varânca populaconal.. Uma loja de roupas vende três tpos de camsetas aos preços de, 5 e 0 reas. Baseado nos regstros de vendas, pôde-se estabelecer as proporções de vendas de cada tpo: X=x 5 0 P(X=x) 0,5 0, 0, a) Obtenha as amostras de tamanho dos da varável X (valor recebdo pelo lojsta). b) Obtenha a dstrbução da méda e da soma (total). c) Calcule a méda e a varânca de cada dstrbução. d) Ao longo de uma semana, 0 consumdores adqurram, ndependentemente, camsetas de um desses tpos. Obtenha a méda e a varânca da soma.. Um sstema de sorteos vende três tpos de cartões que pagam 5, 0 ou 0 reas. Consderando que a chance de ganhar 5, 0 ou 0 reas é de 0,05, 0,0 e 0,0, respectvamente, como mostra a tabela abaxo: Valor pago (X=x) P(X=x) 0,05 0,0 0,0 a) Complete a tabela; b) Obtenha a méda e a varânca do valor recebdo por um jogador; c) Consdere duas amostras seleconadas com reposção de dos jogadores (0, 5) e (5, 0). Obtenha para cada amostra: a probabldade de ocorrênca e a estmatva da méda e da varânca. A méda e a varânca das amostras estmam quas valores da população?. Seja a amostra aleatóra de tamanho três e sejam os estmadores X = (X+ X+ X ) e X p = (X+ X + X ), mostre que a méda smples é mas efcente que a ponderada Suponha que o peso de.500 estudantes seja normalmente dstrbuído com méda 6,5 kg e desvo padrão kg. Que valores espera-se encontrar para a méda e o desvo padrão da dstrbução amostral da méda na hpótese de se utlzar amostras de tamanho n = 6, supondo que a amostragem seja feta com reposção. 8.. Intervalos de confança 6. O Insttuto de Nutrção da Amérca Central e Panamá fez um estudo ntensvo de resultados de detas publcados em revstas centífcas. Uma deta aplcada a 5 pessoas produzu os seguntes níves de colesterol (em mg/l): 0, 08, 0, 5, 58, 9, 75, 6, 57, 7, 9, 9,, 5 e 5. Obtenha o ntervalo de confança, ao nível de 95%, para o verdadero teor médo de colesterol. 7. A Testosterona é uma droga que tem sdo mnstrada a atletas com a ntenção de aumentar a massa muscular. Um estudo fo conduzdo com atletas, onde receberam uma determnada dose da droga, durante um período de ses semanas, e os outros receberam um placebo. Ao fnal desse período fo medda a largura do músculo (em mm, determnados por rao X). Encontre o ntervalo de confança a 95% para a méda de cada população e para a dferença entre as médas. Indvíduos Placebo,7 5,,0,7,,9,,9 5,,,0 Droga, 6,5 5, 5,7, 5,0 5,5 6, 5,8, 5, 8. Com nteresse de avalar a largura nterna de um entalhe usnado em um pstão, coletou-se uma amostra aleatóra de pstões que ndcou x =,58 mm e s =0,005. Construa um ntervalo de 95% de confança para a largura méda do entalhe. 9. O peso de garrafas de vdro apresenta varânca conhecda gual a 900 g. Uma amostra aleatóra de 0 undades ndca x = 508 g. Construa um ntervalo com 90% de confança para o peso médo dessas garrafas. 0. Em um processo químco, a vscosdade do produto resultante segue o modelo normal. A partr da amostra apresentada a segur, defna o ntervalo de confança, ao nível de 95%, para a vscosdade méda. 5, 6,7 7,5 8, 8,7 9,5 6, 7, 7,8 8, 9, 0,. Uma máquna é usada para encher pacotes de lete. O volume segue aproxmadamente o modelo normal. Uma amostra de 6 potes ndcou: a) construa um ntervalo de 99% para a méda; b) construa um ntervalo de 95% para a méda.. Consdere os dados do exercíco e suponha que há uma segunda máquna de enchmento para a qual uma amostra de 6 pacotes ndcou: Construa um ntervalo de 95% para a dferença entre as duas médas das máqunas. Baseado nos resultado desses cálculos você conclura que as duas máqunas fornecem mesmo volume médo?.. Testes de hpóteses. Teste de hpótese é um procedmento estatístco destnado a verfcar hpóteses relatvas a parâmetros populaconas. Uma questão fundamental nesse processo é a taxa de erro de conclusão. Indque o motvo pelo qual poderão exstr tas erros e quas são eles. 9

11 . Para a comparação entre as médas de duas populações pode-se utlzar a estatístca T, onde a varânca utlzada é a varânca combnada das duas amostras. Indque as pressuposções que deverão ser váldas para que essa metodologa seja adequada. Para todos os problemas a segur, sga os passos:. Enuncar as pressuposções requerdas para o uso da estatístca do teste.. Defnr as hpóteses estatístcas.. Fxar a taxa de erro acetável.. Usar as observações da amostra para calcular o valor da estatístca do teste. 5. Decdr sobre a hpótese testada e conclur. 5. Uma cadea de lojas recebeu um novo modelo de aparelho som. Para determnar um processo adequado de promoção dos novos aparelhos, estudou-se o seu desempenho em termos de potênca. O fabrcante especfcou que, em méda, os aparelhos atngem 65 watts a 8 ohms. Obtda uma amostra de oto aparelhos, verfcou-se que a potênca méda fo de 6, watts com desvo padrão de,7 watts. Verfque se a nformação do fabrcante está condzente com os resultados amostras. 6. Dante de uma equpe de fscas, a nutrconsta responsável pelo cardápo de um restaurante declarou que o peso médo de uma determnada vtamna por bandeja de refeção é de 5,5 g. Fo retrada uma amostra de 5 bandejas do fornecmento dáro de refeções desse restaurante, encontrando-se uma méda de 5, g da vtamna e um desvo padrão de, g. Verfque a veracdade da nformação da nutrconsta. 7. O Insttuto de Nutrção da Amérca Central e Panamá fez um estudo ntensvo de resultados de detas publcados em revstas centífcas. Uma deta aplcada a 5 pessoas produzu os seguntes níves de colesterol (em mg/l): Sabendo-se que o nível médo normal de colesterol é de 90 mg/l, verfque se a redução no teor médo de colesterol das pessoas submetdas a essa deta fo sgnfcatva. 8. Para testar o desempenho em termos de consumo de combustível de um novo carro compacto, o fabrcante sorteou ses motorstas profssonas que drgram o automóvel de Pelotas a Porto Alegre. O consumo do carro (em ltros) para cada um dos ses motorstas fo de 7, 9,,5 8,7 0, 9,6 Baseado nesses dados, o fabrcante pode ndcar que o consumo médo do novo carro é de 0 ltros para vagens nesse percurso? 9. Vnte observações de um tpo de matrz ndcaram um tempo de vda méda de 7 mnutos. Sabendo que o desvo padrão é de 0 mnutos, teste a hpótese de que o tempo de vda é nferor a 50 mnutos, conforme atestam alguns engenheros. Use α = 0, Num estudo do tempo médo de adaptação para uma amostra aleatóra de 0 homens num grande complexo ndustral surgram as seguntes estatístcas: x =, anos e s = 0,8 anos. Pode-se conclur, ao nível de % de sgnfcânca que os homens tenham um tempo de adaptação menor que as mulheres que é de,7 anos?. Os dados a segur representam o ganho obtdo em um processo químco. Use α = 0,05 e teste a hpótese de que nas condções atuas o ganho seja superor a,5.,50,55,59,,5,58,8,5,5,6,6,56,6,5,58,68 0. Dos tpos de combustíves estão sendo testados. A hpótese é que eles tenham o mesmo consumo. Teste essa hpótese, sabendo que os resultados de testes fetos com 0 automóves usando cada tpo combustível ndcaram s = 0,6 km/l e s = 0,88 km/l e x =, km/l e x =,9 km/l. (Suponha σ =σ e use α = 0,05).. Para nvestgar se o trenamento é ou não transferdo pelo ácdo nucléco, 0 ratos foram trenados em dscrmnar se hava luz ou escurdão. Posterormente esses ratos foram mortos, o ácdo nucléco extraído e njetados em 0 ratos. Smultaneamente o ácdo nucléco de 0 ratos não trenados foram njetados em outros 0. Os 0 ratos foram observados durante um período e o número de erros relatvos a cada rato está na tabela abaxo. Trenado Não trenado Verfque se, em méda, os ratos trenados erram tanto quanto os ratos não trenados. (Suponha σ =σ e use α = 0,05).. Um fabrcante atesta que as máqunas de enchmento que ele produz apresentam um coefcente de varação (CV) nferor a %. Engenheros da empresa desconfam que o fabrcante não esteja dzendo a verdade. Um expermento aleatóro realzado com garrafas de ltros ndcou s =0,00 ltros para uma amostra de 5 garrafas. Teste essa hpótese para um nível de sgnfcânca α = 0, Para verfcar o grau de adesão de uma nova cola para vdros, preparam-se dos tpos de montagem cruzado (A), onde a cola é posta em forma de X, e quadrado (B), onde a fórmula é posta nas bordas. O resultado para a resstênca das duas amostras está abaxo. Para um nível de 5% de sgnfcânca que tpo de conclusão podera ser trada? Método A Método B A Testosterona é uma droga que tem sdo mnstrada a atletas com a ntenção de aumentar a massa muscular. Um estudo fo conduzdo com atletas, onde receberam uma determnada dose da droga, durante um período de ses semanas, e os outros receberam um placebo. Ao fnal desse período fo medda a largura do músculo (em mm, determnados por rao X). Indvíduos Placebo,7 5,,0,7,,9,,9 5,,,0 Droga, 6,5 5, 5,7, 5,0 5,5 6, 5,8, 5, a) Verfque, através do teste F, se as varâncas das duas populações dferem entre s. b) Verfque se exste dferença sgnfcatva entre a largura méda do músculo dos dos grupos. 7. Durante o processo de frtura, um almento absorve gordura. Um estudo fo conduzdo com a fnaldade de verfcar se a quantdade absorvda depende do tpo de gordura. Para tanto foram utlzados dos tpos de gordura: vegetal e anmal. Os dados obtdos foram: Gordura anmal Gordura vegetal 5 8 a) Faça o teste de homogenedade de varâncas. b) Verfque se os dados confrmam a hpótese de que a absorção depende do tpo de gordura. Utlze 5% como taxa de erro do tpo I.

12 8. Uma nova undade de dessalnzação fo nstalada em uma ndústra químca. Uma amostra com n = 0, coletada antes da nstalação da nova undade ndcou concentração de sal x 9,55 e s = 5,5 Enquanto que, após a nstalação, uma amostra com n = 6 ndcou = x = 7,85 e s = 8,65. Baseado nesses dados: a) teste a hpótese de que as duas varâncas sejam guas b) teste a hpótese de que a nova undade reduzu a concentração méda de sal. 9. Um engenhero desconfa que o percentual de produtos defetuosos reduzu depos da mplantação do controle estatístco de processo (CEP). Em uma amostragem de 500 produtos realzada antes da mplantação do CEP, dentfcou-se 5 produtos defetuosos. Após a mplantação do CEP, coletou-se uma amostra de 700 produtos e dentfcou-se um defetuoso. Teste a hpótese do engenhero usando 5% de sgnfcânca. 0. Um fabrcante alega que apenas % das peças que ele fornece estão abaxo das condções de utlzação. Em 00 peças escolhdas aleatoramente de uma remessa de encontraram-se 0 falhas. A alegação do fabrcante parece acetável ao nível de 5% de sgnfcânca?. Uma pesqusa naconal ndca que aproxmadamente 5% das contas de grandes magaznes ncorrem em penaldade por atraso nos pagamentos. Se um magazne local constata 0 atrasos numa amostra de 00 clentes, pode necessaramente admtr que seus clentes sejam melhores que os clentes de todo país? Adote 5% de sgnfcânca.. Um médco está estudando o crescmento de dos tpos de bactéras. Como pode haver um efeto sgnfcatvo do substrato, os dos tpos de bactéras foram cultvados em cada uma das oto amostras de substrato. Use α = 0,0 e teste a hpótese de que as duas bactéras, em méda, não dferem em relação ao crescmento. Substrato Bactéra,0,,7,5,8,,5,8 Bactéra,,,,,,7,,0. Os dados abaxo dão os acertos obtdos por oto soldados num expermento destnado a determnar se a precsão do tro é afetada pela manera de dspor os olhos: com o olho dreto aberto ou com o olho esquerdo aberto Soldado Dreto Esquerdo Que tpo de conclusão você podera trar? 5. Na descendênca de um determnado cruzamento, foram obtdos 5 machos e 55 fêmeas. Concorda esse resultado com a proporção esperada de / e /? Use α = %. 6. Em duzentos lances de uma moeda, observaram-se 5 caras e 85 coroas. Teste a hpótese de a moeda ser honesta, adotando um nível de 5% de sgnfcânca. 7. De acordo com a heredtaredade mendelana, a geração de um certo cruzamento bovno podera ter pelagem vermelha, preta ou branca, na proporção 9/6, /6 e /6, respectvamente. Se ao realzarmos um cruzamento desse tpo verfcamos que os resultados foram 7, e 8 anmas de pelagem vermelha, preta e branca respectvamente, teste a hpótese desses resultados estarem de acordo com a teora. Use α = 0, Numa amostra de 760 soros para pesqusa de toxoplasmose, levando-se em conta a característca local, obtveram-se os seguntes resultados: Zona Resultado Postvo Negatvo Totas Urbana Rural Totas Verfcar e conclur, ao nível de 5% sgnfcânca, se os atrbutos Zona e Resultado são ndependentes entre s. 9. Numa pesqusa vsando avalar o desempenho de alunos de um certo colégo, um dos pontos de nteresse recau sobre a renda famlar e o tamanho das famílas dos alunos. Uma amostra de 50 alunos fo entrevstada, sendo obtdos os seguntes resultados Tamanho Renda Famlar da Totas Famíla Baxa Méda baxa Méda Méda alta Pequena Méda Grande Totas Verfque se os atrbutos tamanho da famíla e renda famlar são ndependentes entre s a um nível de % de sgnfcânca... Testes de qu-quadrado. Em uma determnada experênca com ervlhas observou-se as seguntes frequêncas: A lsas e amarelas 5 B lsas e verdes 08 C enrugadas e amarelas 0 D enrugadas e verdes Teste a hpótese de que as frequêncas observadas concordam com as proporções esperadas de 9/6, /6, /6 e /6, dadas pelas les de Mendel, com um nível de % sgnfcânca. 0. Complete as afrmações com V (verdadero) ou F (falso): a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ) Ao efetuar um teste de hpóteses, o pesqusador pode reduzr α (taxa de erro tpo I) e β (taxa de erro tpo II) ao mesmo tempo, quando reduz o tamanho da amostra. Um estmador efcente é aquele que, entre todos os estmadores mparcas de um mesmo parâmetro, apresenta a maor varânca. Se X é um elemento de uma amostra aleatóra retrada de uma população, com méda µ e varânca σ, então X é uma varável aleatóra com E(X )= µ e V(X )= σ. Um teste de hpótese é mas poderoso quando tem maor probabldade de rejetar uma hpótese de nuldade falsa. Estatístcas são funções de amostras aleatóras. Como consequênca, todas as estatístcas são varáves aleatóras e têm dstrbução de probabldade. O teste blateral é mas poderoso que o teste unlateral porque, para um mesmo

13 g) ( ) h) ( ) ) ( ) j) ( ) nível de sgnfcânca, tem maor probabldade de rejetar H 0. O nível de confança de um ntervalo expressa a probabldade de os lmtes conterem o verdadero valor do parâmetro. A dstrbução t só pode ser utlzada para construr ntervalos de confança quando a amostra for pequena, ou seja, quando n 0. O denomnador n- torna a varânca amostral (S ) um estmador mas efcente de σ. O erro provável é nerente ao processo de nferênca porque as decsões são tomadas com base em dados amostras.. Respostas UNIDADE II - Estatístca Descrtva a) Os automóves modelos no mercado norte-amercano b) n=8 c) O automóvel d) Cada lnha da tabela consttu uma observação. Exemplo: lnha 5 5 Chevette EUA 977,5 68,75 e) Varável Classfcação Escala Modelo Varável dentfcadora - Naconaldade Varável categórca qualtatva nomnal Nomnal Peso Varável numérca contínua De razão Potênca Varável numérca dscreta De razão Consumo Varável numérca contínua De razão Número de clndros Varável numérca dscreta De razão f) X = número de clndros, Y = peso, Z = potênca, W = consumo x 5 = y 5 =977,5 z 5 =68 w 5 =,75. Varável Idade do chefe de famíla Opnão do chefe de famíla Classfcação Varável numérca contínua Varável categórca qualtatva nomnal A undade de observação é a famíla ou o chefe da famíla. O levantamento consta de.000 undades de observação.. a) x + x+ x + x + x5 b) f + f + f + f f0 c) (x + c) + (x+ c) + (x5 + c) + (x6 + c) d) (x + ) f + (x+ ) f + (x + ) f + (x+ ) f e) (k + k+ k+ k + k5 )(y+ y+ y ) f) xy+ xy+ x5y5 g) ( x + y ) + ( x + y ) + ( x + y ) + ( y + y + ) y n. a) x = x = n e) x y = 0 b) 5x = 6 c) x + y = d) w + k = 5 f) ( ) g) c x + A = n x = y = 5

14 5. a) 7 b) c) 5 d) 9 e) 9 f) - g) 7 h) 6 0. Sére msta temporal especfcatva. Sére especfcatva. a) Sére smples temporal b) Sére smples geográfca. a) Sére msta temporal especfcatva 6. a) 5.,0 b) 7.005,79 c) 89,98 d).06, e) 7.59,7 f).86, Tabela _. Saláro mínmo per capta e carga horára semanal de trabalho em alguns países da Amérca Latna, em 99. País Carga horára (horas) Saláro mínmo (dólares) Argentna 8 00 Urugua 0 60 Méxco 0 7 Paragua 5 6 Brasl 8 Fonte: DIEESE (Departamento Intersndcal de Estatístca e Estudos Sóco-Econômcos). Tabela _. Gastos na área socal em alguns países da Amérca Latna, no ano de 990. País Gastos (R$ / habtante). a), 5,0,08 75, 0,0,9 5,0 7.59,00 789, , 9,78 0,00 b), 5,, 75, 0,,9 5,0 7.59,0 789, , 9,8 0, c) d), 5,0 0,08 75,5 0,09099,9 5, , ,8 0, b) x = 0,0 s =,87 s =,987 CV = 9,7% c) x p = 0, Classe do Q : Classe do Q : d) EI =,7 Q = 6,05 Md = 9, Q =,9 ES = 7,0 O valor 7 é dscrepante. 6. c) Mo = 7,0 kg Q = 6,5 kg Q = 7,0 kg Q = 9,0 kg d) x = 7,77 s =,08 a = 0,09 (smétrca) a =,068 (platcúrtca) 7. d) a =,8 (assmétrca postva) a = 5,769 (leptocúrtca) f) EI = 89 Q = 5,5 Md = 8 Q = 68,5 ES = 75 Exstem dos dscrepantes superores: 6 e 75 Classfcação: Sére smples geográfca Urugua 88,50 Argentna 57,00 Chle 6,00 Brasl 0,00 Fonte: DIEESE (Departamento Intersndcal de Estatístca e Estudos Sóco-Econômcos). 9. b) x p =,5 Classe modal: 7 Classe Medana: 5 0. b) x p = R$ 0,00 c) novo saláro médo = R$ 96,00 d) gratfcação por funconáro: R$,00. a) x = 5,68 meq de sódo/l Md = 5,5 meq de sódo/l s =,8 meq de sódo/l 9. a) - Identfcação da tabela - título ncompleto: falta o local - período separado por barra, no título - traços vertcas lateras. b) - Identfcação da tabela - título ncompleto: falta a época - traços vertcas lateras - não fo utlzado snal convenconal (...), cujo sgnfcado devera estar no rodapé da tabela como nota geral. 6. x p =,5 dentes car/obt Md = dentes car/obt s =, dentes car/obt. a) x = 5,67 Md = 7 Mo = 0 b) x = 7, Md = 70,5 Mo = não exste c) x =,6 Md = Mo = 00 e 7. x = 5,85 Q = Q = 5 Q = 9,5 5. a) x = 6 mn Md = 6 mn s = 7,97 mn 7

15 6. x p = 0,5 km/l 7. a) Q = 5,5 pontos Q = 6,9 pontos Q = 7,6 pontos b) Conceto bom c) a q =, pontos 8. nota abaxo =,9 pontos nota acma = 8,6 pontos alunos c/ reforço = 7 alunos s/ reforço, mas c/ trabalho = 9 9. x = 5 Mo = e 6 Md = 5 a t = 8 s = 6 s =,9 CV = 8,99% 0. x A = 7,9 pontos, x B = 8,0 pontos, x C = 8,0 pontos a tb = e a tc =, portanto, fo seleconado o canddato C.. a) Estudante Méda fnal 5, 5,7,0 5,8 5 6,5 6, 7 9,0 b) Méda da a Prova =,9 Méda da a Prova =,8 Méda da a Prova = 6, Méda da Prova optatva =,8 c) Méda geral = 5,8. a) O CV, pos as médas de X e X são muto dferentes. b) O CV, pos as undade de medda de X e Y são dferentes.. I. a) Meddas de localzação Masculno Mo = 0 nasc. Md =,5 nasc. x =,67 nasc. Femnno Mo = não exste Md = nasc. x = 5,08 nasc. b) Meddas de varação Masculno a t = 9 nasc. s = 0,06 nasc. s = 0,0 nasc. CV = 9,% Femnno a t = nasc. s = 95,7 nasc. s = 9,78 nasc. CV =,70% II. O grupo mas homogêneo é o de cranças do sexo femnno, pos tem o menor CV. x = 79,75 nasc./mês. a) Consumo dáro médo de lete:.8 ltros Consumo dáro médo de pão: 8,5 kg b) CV lete =,66% e CV pão = 8,05%, portanto, o grupo mas varável fo o do lete Trata-se de uma dstrbução assmétrca postva.. a) (B C) = {6, 7} b) (A C) = {, 5, 6, 7, 8, 9, 0} a) (B C) = {,, 5, 6, 7} b) [ A (B C) ] = {, 5, 6, 7, 8, 9, 0} UNIDADE III - Elementos de probabldade c) [C (A B)] = {,,,, 6, 7, 8, 9, 0}. a) (A B) = {x 0 x / ou / x } b) (A B) = {x 0 x / ou / < x ou / x } c) (A B) = {x 0 x / ou < x } d) (A B) = {x / < x / ou < x < /}. 6. a) 5. b) 8 6. a) S = {c, c, c, c, k, k, k, k} enumerável e fnto b) A = Ocorrênca de cara B = Ocorrênca de número maor que P(A) = # A = # S 7. a) b) 7 c) a) b) c) a) 5 9. a) 8 b) 5 b) 5 c) 9 8 9

16 a). a) b) 7 b) 7 6. a) a = /8 b) P( X ) = 5/6 c) P(A) = 5/6 d) P(B) = /8 e) P(A B) = 5/6 f) P(A/B) = 5/8 g) E(X) = / V(X) = 8/9. a) 0, b) 0,5. a) ,7 7 = 0, a) ,9 ou 90% b) b) = 0 c) 0 x para 0 x / 7. a) f(x) = para /< x b) P(X < /) = / c) E(X) = / 8. a) k = b) P(µ - σ/ < X < µ + σ/) = 0,5 c) a = -0,5657 (assmétrca negatva) d) E(/ X) = 0 e) V(X /8) = / P(A) P(S) = P(A B) = P(A) + P(B), se A e B são eventos mutuamente exclusvos. 9. 0, a) 0,5 b) 0,089. a) E(X) =, vezes. a) E(X ) = 5.000,00 e E(X ) = 5.000,00 b) E(X ) = 6.500,00 e E(X ) =.500,00 c) E(X ) = 8.500,00 e E(X ) =.500,00. a) E(X) = 5,00. a) E(X) = 0 b) a = 0 (dstrbução smétrca) V(X) = 5. a) A função f(x) = x ( x), é uma função densdade de probabldade. 9. a) k = 0,0 b) P(X >,8) = 0,765 c) P(,6 < X <,) = 0,8 0. X=x 0 Σ p(x) 0, 0,7 x -x P(X = x) = 0,7. 0,, S X ={0, }. S = {macho, fêmea} S X = {0, } P(X = x) = 0,5. 0,5 x -x x, -x x -x. P(X = x) = P. 0,75. 0,5 S X ={0,,,,} X=x 0 Σ p(x) 0,009 0,0688 0,09 0,9 0,6 F(x) 0,009 0, ,67 0,686 E(X) = V(X) = 0,75 O valor esperado de X, E(X), sgnfca a méda dos valores que a varável X assumra, se o grupo de quatro expermentos fosse repetdo um grande número de vezes. x -x. a)p(x = x) = 0,7. 0,, S X ={0, } b) E(X) = 0,7 V(X) = 0,. a) π = 0,9 b) = = n = F(x) P(0 X ) x x b) X=x 0 Σ c) P(A) = P( X ) = 0,5 p(x) 0,000 0,006 0,086 0,96 0,656 d) P(X >,7) = 0,06075 c) E(X) =,6 e) P(X <, ) = 0,78 V(X) = 0,6 f) E(X) = m V(X) = 0, m 5. P(X ) = 0,656 0

17 x, 5-x x 5-x 6. a) P(X = x) = P. 0,5. 0,75, S X ={0,,,,, 5} 5 t, 5-t t 5-t b) F(x) = P(X x) = P(X = t) = P. 0,5. 0,75, S X ={0,,,,, 5} t x 5 t x c) X=x 0 5 Σ p(x) F(x) d) E(X) =,5 e) V(X) = 0,975 f) a = 0,56 (dstrbução assmétrca postva) a =,867 (dstrbução platcúrtca) c) P(-,78 < Z < 0) = 0,65 d) P(-,8 < Z <,) = 0,970 e) P(, < Z <,5) = 0,080 f) P(Z > -,75) = 0, a) Z =, b) Z = -,6 c) Z = -,09 d) Z = 0,9 5. Poderão ser seleconados aproxmadamente canddatos. 5. µ = 7 σ = 0 7. a) Dstrbução de Bernoull; S X = {acerto, erro}; parâmetro: π = 0,. b) P(X>6)=0, ou 0,0865% c) E(X) = e σ =,6 C.C 8. a) P(X=x) = C x -x 6 0 b) X=x 0 Σ p(x) 0,07 0,80 0,86 0, 0,0076 c) E(X) =,6 V(X) = 0,6 5. P(X <,59 ou X >,7) = 0, a) P(X < ) = 0,0098 b) P(X >,9) = 0,0 c) P(, X 5,) = 0,8860 d) P(X <,9 ou X > 5) = 0,69 e) x = 5,9 f) x = 5,58 g) x =,6 h) x =,85 e x = 5, R$.980,59 9. P(X = ) = 0,0 56. F, F, V, V, F, V, F, F, F, V. 0. a) P(X = 0) = 0,67 b) P(X = ) = 0,95 c) P(X ) = 0,76 UNIDADE IV - Inferênca Estatístca. X=x 0 Σ p(x) 0,0786 0,679 0,557 0,786. P(6 X 8) = 0,657. P(X < ) = 0,9659. a) P(X < ) = 0,5 b) P(6 X 8) = 0,06 5. a) P(X > 00) = 0,0 b) P(X < 000) = 0,6 c) Md = 69,5. a) X= x,5,5,5 Σ P(x) 0,0 0, 0,5 0,8 0, 0,08 0,0 c) E( X ) =, E(X) = µ =, V( X ) = 0, V(X) = σ = 0,8 Relação E( X ) = µ V( X ) = σ /n. a) k = 9 amostras (, ), (, 5),..., (0, 0) b) X= x, ,5 0 Σ P( X= x) 0,5 0,0 0,0 0,0 0, 0,09 6. a) α = b) α = 5/ 7. a) P(X < 0,5) = 0, b) P(X > 0,75) = 0,7 X + =x Σ X 0,5 0,0 0,0 0,0 0, 0,09 P( ) + =x + c) E( X ) = 5 E(X + ) = 0 V( X ) = 6 V(X + ) = 8. P(X < ) = 0,97 9. a) P(0 < Z <,) = 0,8 b) P(0 < Z < 0,65) = 0, d) Soma = X + X X 0 E(X + ) = E(X + X X 0 ) = 00 V(X + ) = V(X + X X 0 ) = 0

18 . a) P(X=0) = 0,9 b) E(X ) = 0,95 V(X ) =,5 c) Amostra : (0, 5) x =,5 Amostra : (5, 0) x = 7,5 s =,5 s =,5 As médas das amostras estmam a méda da população µ (cujo valor é 0,95), enquanto as varâncas das amostras estmam a varânca da população σ (cujo valor é,5).. V( X ) = 0,σ < V ( X p ) = 0,9σ 5. E( X ) = 6,5 kg σ X = kg 6. IC(µ; 0,95): [,75; 7,9] 7. IC(µ ; 0,95): [,06;,79] IC(µ ; 0,95): [,9; 5,8) IC(µ - µ ; 0,95): [0,;,] 8. IC(µ; 0,95): [,;,8] 9. IC(µ; 0,90): [96,97; 59,0] 0. IC(µ; 0,95): [7,0; 8,8]. a) IC(µ; 0,99): [00,9; 09,] b) IC(µ; 0,95): [0,5; 07,97]. IC(µ - µ ; 0,95): [-7,6;,] 5. t =,6 t α/ =,65 Rejeta-se H t =,5 t α/ =,06 7. t =,80 t α =,76 (teste unlateral) Rejeta-se H t = 0,989 t α/ =,57 9. t = 7,79 t α/ =,09 Rejeta-se H t =, t α/ =,756 Rejeta-se H 0.. t =,905 t α/ =, Rejeta-se H 0.. t =,75 t α/ =,0. t = 0,89 t α/ =,0. q =,0 q α/ =5,6 ; q α/ =6, 5. f = 5 f α/ =,0 Rejeta-se H 0. As varâncas são heterogêneas. t = 0,95 t α/ =,0 6. a) f =,6 f α/ =,7 As varâncas são homogêneas. b) t =,0 t α =,75 (teste unlateral) Rejeta-se H a) f =,00 f α/ = 7,9 As varâncas são homogêneas. b) t =,586 t α/ =,6 8. a) f =,776 f α/ =, As varâncas são homogêneas. b) t =,6 t α =,7 (teste unlateral) 9. z =,8 z α =,6 (teste unlateral) Rejeta-se H z =,005 z α/ =,96 Rejeta-se H 0.. z =,6 z α/ =,96 5

19 . t =,5 (teste para amostras pareadas) t α/ =,99. t =, (teste para amostras pareadas) t α/ =,65. q = 0,7 q α =, (teste unlateral) 5. q = 0,8 q α = 6,6 (teste unlateral) 6. q =,05 q α =,8 (teste unlateral) Rejeta-se H q =,96 q α = 5,99 (teste unlateral) 8. q =,5 q α =,8 (teste unlateral) Rejeta-se H q = 5,9 q α = 6,8 (teste unlateral) Rejeta-se H F, F, V, V, V, F, V, F, F, V. Referêncas Bblográfcas ANDRES, A.M. CASTILLO, J. de D. L. del Boestadstca para las Cêncas de la Salud. Madrd, Edcones Norma, p. BOTELHO, E.M.D. MACIEL, A.J. Estatístca Descrtva (Um Curso Introdutóro). Vçosa: Unversdade Federal de Vçosa, p. DEVORE, J. Probablty and statstcs for engeneerng and the scences. Brooks/Cole Publshng Compang p. FREUND, J.E., SIMON, G.A. Estatístca Aplcada. Economa, Admnstração e Contabldade. 9 a edção. Porto Alegre, Bookman, p. FARIA, E.S. de Estatístca. Edção 97/. (Apostla) PIMENTEL GOMES, F. Incação à Estatístca. São Paulo, Nobel, 978. p. RIBEIRO, D.J. L. TEN CATEN, C.S. Estatístca Industral. Porto Alegre, Unversdade Federal do Ro Grande do Sul, p. SILVEIRA JÚNIOR, P. MACHADO, A.A. ZONTA, E.P. SILVA, J.B. da Curso de Estatístca. v., Pelotas, Unversdade Federal de Pelotas, p. SILVEIRA JÚNIOR, P. MACHADO, A.A. ZONTA, E.P. SILVA, J.B. da Curso de Estatístca. v., Pelotas, Unversdade Federal de Pelotas, 99. p. SPIEGEL, M.R. Estatístca. São Paulo, McGraw-Hll, p. 6 7

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