Solução Paralela para otimização do Estimador Bi-Objetivo.

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1 Universidade Federal de São João Del-Rei MG 26 a 28 de maio de 2010 Associação Brasileira de Métodos Computacionais em Engenharia Solução Paralela para otimização do Estimador Bi-Objetivo J J S Marciano; V V R Silva ; M F S Barroso; Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica UFSJ, São João Del-Rei, MG CEP: jimjonessm@gmailcom, vvrsilva@ufsjedubr, barroso@ufsjedubr Resumo A busca pela solução que minimize ou maximize um resultado de uma função é o aspecto principal da otimização Porém, há casos em que não existe uma solução que satisfaça duas ou mais funções objetivo, simultaneamente Este caso é denominado Otimização Vetorial ou Otimização Multi-objetivo Tem grande aplicação em modelagem de sistemas dinâmicos, principalmente quando se deseja que características dinâmicas e estáticas sejam simultaneamente atendidas Sua solução consiste na geração de um conjunto de soluções candidatas que é denominado conjunto Pareto-Ótimo A otimização Bi-Objetivo consiste das seguintes etapas: estimação dos parâmetros (geração do conjunto Pareto-Ótimo), simulação do modelo (simulação infinitos passos a frente ou simulação livre) e busca pelo melhor modelo ( melhor resultado) Neste trabalho o critério de escolha do resultado ótimo, único, será automático, independente do usuário e baseado nas noções de correlação De maneira geral o tempo computacional para este problema de otimização é relativamente alto para um número elevado de pontos no conjunto Pareto Para problemas em que a função custo é linear nos parâmetros, a função tempo de execução f(x), em que x é o número de pontos no Pareto, é quadrática O procedimento aplicado para implantação do processamento paralelo foi dividir a quantidade total de cálculos de cada etapa da otimização igualmente para cada processo Os resultados preliminares são promissores e a curva do tempo em relação ao número de pontos no Pareto, pode ser descrita por uma relação afim No caso em que o exige um grande número de pontos no Pareto, o Bi-Objetivo Paralelo obteve um resultado melhor na redução do tempo computacional quando comparado com o Bi-Objetivo Convencional Palavras chaves: Otimização Bi-Objetivo, Otimização Multi-Objetivo, Computação Paralela, Correlação

2 1 INTRODUÇÃO A busca pela solução que minimize ou maximize um resultado de uma função é o aspecto principal da otimização, porém, há casos em que não existe uma solução que satisfaça duas ou mais funções objetivo, simultaneamente Este caso é denominado Otimização Vetorial ou Otimização Multi-objetivo e tem grande aplicação em modelagem de sistemas dinâmicos, principalmente quando se deseja que características dinâmicas e estáticas sejam simultaneamente atendidas Sua solução consiste na geração de um conjunto de soluções candidatas que é denominado conjunto Pareto-Ótimo O Estimador Bi-Objetivo, por exemplo, consiste na geração de soluções para problemas de otimização em que não há uma única solução que minimize duas funções objetivo concomitantemente Porém, o que se obtém como resposta é um conjunto de soluções, denominado conjunto Pareto-Ótimo O Estimador Bi-Objetivo é importante por estar na classe dos estimadores não-polarizados 1, o que é essencial para aplicação em modelagem (Aguirre, 2007; Barroso, 2006; Nepomuceno, 2002) Por outro lado, como pode ser visto em Wuppalapati et al (2008), independente do método adotado, a geração do Pareto- Ótimo é computacionalmente cara e o tempo de solução é NP-Hard (Lesmere et al, 2007a), sendo que NP-Hard consiste no alto custo computacional para solução de um determinado problema (Ziviani, 2007) Além disso, ainda há a necessidade de se obter dentre os modelos candidatos do conjunto Pareto-Ótimo, aquele que melhor atende às necessidades de projeto, ou a uma métrica predefinida, ou seja, faz-se necessário achar o melhor modelo Esta é a chamada etapa de decisão, essa escolha pode ser feita por interação humana ou computacional Existem vários trabalhos sobre a Estimação Multi-Objetivo, podendo destacar os trabalhos de Al-Fawzana e Haouarib (2005), Przybylski et al (2006) e Mavrotas et al (2009), que dissertam a respeito da estimação de parâmetros de maneira bi-objetivo Em Ebrahim e Razmi (2009), Eusébio e Figueira (2009) são apresentados métodos de buscas para a escolha do melhor modelo entre os disponíveis no Pareto-Ótimo e em Barroso et al (2007) é descrito o processo de estimação Bi-Objetivo com critério de escolha da melhor solução pela correlação mínima Preocupados com a questão do custo computacional, trabalhos mais recentes propõem uma solução escrita na forma paralela e/ou distribuída (Lesmere et al, 2007a; Lesmere et al, 2007b; Mezmaz e Melab, 2006; Abbasi et al, 2006; Siirola e Hauan, 2004; Wuppalapati et al, 2008; Negro et al, 2004; Rao, 2009) Pode-se verificar por meio das bases de indexação de periódicos que, do ano de 2000 em diante, as publicações na área de estimação bi-objetivo têm aumentado expressivamente Isto indica um aumento no interesse por tais estimadores, da necessidade de se estudar maneiras de se otimizar o processo de geração do conjunto Pareto-Ótimo e da procura inteligente da solução considerada ótima, dentre as disponíveis A computação paralela é uma técnica que permite a execução de mais de uma tarefa computacional simultaneamente em vários núcleos de processamento (Gao et al, 2009) Têm sido objeto de várias pesquisas que exigem um elevado numero de cálculos e que não possuem recursos para aquisição de supercomputadores Flynn (1972) define 4 formas de se paralelizar um problema: SISD (Single Instruction Single Data), SIMD (Single Instruction Strem Multiple Data Stream), MISD (Multiple Instruction Stream Single Data Stream) e MIMD (Multiple Instruction Stream Multiple Data Stream) Neste trabalho serão aplicadas técnicas de computação paralela no processo de estimação Bi-Objetivo, a fim de reduzir o tempo de obtenção da solução Este trabalho se apresenta da seguinte forma: Na seção 2 é apresentada a computação paralela, na seção 3 é descrito o Estimador Bi-Objetivo e na seção 4 é descrito a aplicação das técnicas de paralelismo no Estimador Bi-Objetivo A seção 5 é destinada à com- 1 Ou seja, os parâmetros estimados, na média, coincidem com os valores dos parâmetros reais

3 paração do desempenho dos Estimadores Bi-Objetivo Convencional e Bi-Objetivo Paralelo A seção 6 é destinada às considerações finais 2 COMPUTAÇÃO PARALELA A computação paralela é uma técnica na qual vários processos podem ser simulados concomitantemente O interesse por esta área é crescente devido à necessidade de solucionar problemas que exigem um maior poder de processamento e também uma redução no tempo de solução, o que somente seria encontrado em um supercomputador (Russ e Quentin, 1996) Porém, o custo de um supercomputador é muito alto e também seu elevado porte físico não possibilita sua instalação em pequenos ambientes, o que inviabiliza em muitos casos a sua implantação Então, há décadas a computação paralela vem sendo utilizada para suprir esta necessidade de grande processamento e uma redução no tempo de solução do problema (Greenlaw et al, 1995) Existem várias formas de se aplicar o paralelismo a um determinado problema, segundo a taxonomia de Flynn (Grama et al, 2003): SISD (Single Instruction Single Data), conhecido como fluxo único de instruções sobre um determinado conjunto de dados é o caso de execução de tarefas em máquinas convencionais, também conhecida como Von Neumann; SIMD (Single Instruction Strem Multiple Data Stream) neste caso a mesma operação é executada sobre vários dados; em MISD (Multiple Instruction Stream Single Data Stream) os dados vão sendo modificados por cada unidade de processamento e passados para a unidade de processamento subsequente, pois cada uma executa uma operação diferente da outra; no MIMD (Multiple Instruction Stream Multiple Data Stream), o procedimento é similar ao MISD A diferença está no fato de não existir seqüência de processamento, então os dados processados são devolvidos diretamente para memória e não para o próximo processo (Flynn, 1972) Neste trabalho foi implementada a técnica SIMD (Figura 1) O mestre, que é o gerenciador, tem controle sobre os dados na memória e também sobre as tarefas que estão sendo executadas em cada escravo Os escravos executam o processo enviado pelo mestre e retornam o resultado obtido mestre escravo escravo escravo escravo MEMÓRIA Figura 1 Arquitetura da estrutura SIMD Os dados utilizados na implementação do SIMD, foram apresentados na forma de vetores Pela definição do SIMD, cada unidade de processamento executa a mesma função Então os vetores dos dados foram divididos em partes iguais considerando o número de unidades de processamento, de forma a balancear os processamentos (Eq 1) Sendo vp o tamanho dos vetores, vr o tamanho real do vetor de dados e p a quantidade de unidades de

4 processamento serão utilizadas O gerenciador (mestre) deve informar para os escravos quais dados serão utilizados e qual etapa da solução será executada Os escravos buscam então os dados na memória e executam seu trabalho, retornando o resultado para a memória O gerenciador fica encarregado de reorganizar os dados, definir a próxima etapa e finalizar a solução com o resultado final vp = vr p, (1) 3 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS BI-OBJETIVO CONVENCIONAL Por se tratar de um problema multi-objetivo, a estimação de parâmetros pelo Estimador Bi-Objetivo, não fornece uma única solução que minimize duas funções simultaneamente, o que se obtém como solução é um conjunto Θ de soluções θ denominado conjunto Pareto-Ótimo (Barroso et al, 2007), que consiste nas melhores soluções estimadas de um modelo polinomial Porém não possui um ordenamento, a dominância no espaço de parâmetros pode ser representada pela Eq (2), θ Θ θ : J θ J θ e J θ J θ (2) em que J(θ) é um vetor de funcionais, com as especificações dinâmicas e da estáticas O procedimento para Estimação Bi-Objetivo, é descrito nas 3 etapas a seguir: 1 A estimação de parâmetros (Nepomuceno, 2002), é executada pela equação (3), em que θ são as soluções encontradas resolvendo a equação (3) para o intervalo 0 < λ 1, Ψ é a matriz de regressores, y é o conjunto de saídas medidas, Q é a matriz de regressores estáticos e R é o mapeamento linear, sendo QR a estrutura estática do modelo: θ λ = [ λψ Τ Ψ + 1 λ QR Τ QR ] 1 [ λψ Τ y + 1 λ QR Τ y ] ( 3) 2 Simulação da saída do modelo y 2 (Barroso, 2006): infinitos passos a frente ou simulação livre: y k = ψ k 1 θ ( 4) 3 Cálculo da função de custo da correlação (Eq 5) sendo J coor (θ) a função de custo da correlação, N o comprimento da série temporal, η k o erro de simulação; e busca pela menor correlação e melhor modelo θ (Eq 6), J coor (θ) = 1 N N k=1 η k y(k) ( 5) 2 O símbolo ( ˆ ) significa que a variável foi simulada

5 θ = min θ Θ J coor (θ) ( 6) Em Barroso (2006) é mostrado que a convergência da equação 6 para zero implica na convergência dos valores dos parâmetros para seus valores nominais, isto é, a solução que apresenta os parâmetros não polarizados 4 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS BI-OBJETIVO PARALELO Para aplicação desta técnica na estimação de parâmetros Bi-Objetivo, o conjunto Pareto-Ótimo é o mesmo definido na seção 3 Porém, os dados utilizados na estimação passam pelas seguintes alterações no processo de estimação: seja P a quantidade de unidades de processamento, e definindo uma nova variável Γ que divide o intervalo λ em P partes Vale ressaltar que não são os valores de λ que são divididos, mas o tamanho do vetor λ Definindo também a variável ζ como vetor de soluções retornado de cada processo Então a estimação dos parâmetros pode ser calculada pela equação (7): ζ i Γ = [ ΓΨ Τ Ψ + 1 Γ QR Τ QR ] 1 [ ΓΨ Τ Ψ + 1 Γ QR Τ y ] ( 7) A equação (8) mostra o resultado da estimação, em que θ é o vetor contendo os conjuntos dos Pζ vetores e i é o identificador de cada processo ζ i : θ = ζ 1 ζ 2 ζ P ( 8) Os parâmetros do conjunto θ são utilizados na simulação livre do modelo y Os dados são repartidos em quantidades iguais para cada processo O conjunto θ é então subdivido em P conjuntos η, da seguinte forma: ϵ k = ψ k 1 η i (9) Sendo ϵ um vetor para armazenar os dados de cada unidade de processamento O vetor de simulação livre y é então organizado conforme a equação (10): y = ϵ 1 ϵ 2 ϵ P (10) As correlações de cada unidade de processamento são calculadas pela equação (11) N P Ci coor = 1 N n k y(k) (11) k=1

6 A equação (12) mostra o agrupamento dos conjuntos Ci coor em J coor : J coor = C1 coor C2 coor CP coor (12) A busca da mínima correlação θ é executada pelas equações (13-15) M i = min θ Θ J coor (ζ) (13) M = M 1 M 2 M P (14) θ = min θ Θ J coor (M) (15) Pode-se observar que na estimação Bi-Objetivo Paralelo, as estruturas matemáticas se mantiveram intactas 5 COMPARAÇÃO DOS ESTIMADORES: BI-OBJETIVO CONVENCIONAL COM O BI-OBJETIVO PARALELO Para teste e comparação dos resultados das técnicas descritas nas Seções 3 e 4, o modelo utilizado para produzir os dados é descrito em Doyle III et al (1995) e Ray (1972) Trata-se de um processo de polimerização por radicais livres de metacrilato de metila (MMA), com azo-bisisobutyronitrile (AIBN) como iniciador e tolueno como solvente O modelo simulado (Doyle III et al, 1995) é composto por conjunto de quatro equações diferenciais não lineares de primeira ordem A entrada é a taxa do fluxo volumétrico do iniciador e a saída é o número médio do peso molecular (variável controlada) As simulações do modelo nos estimadores: Bi-Objetivo Convencional e Bi-Objetivo Paralelo foram realizadas em um computador com as seguintes configurações: processador Intel Core 2 Duo T5670 1,8 GHz, memória RAM de 4Gb e unidade de armazenamento de 500Gb Para obtenção de dados para realizar a comparação do tempo de estimação pelas duas técnicas descritas nas Seções 3 e 4 foram realizados 19 testes utilizando uma quantidade de pontos variando de 1000 a pontos no conjunto Pareto Para assegurar que os resultados obtidos pelos métodos de estimação são idênticos, os dados das correlações de cada execução da estimação para cada uma das técnicas apresentadas neste trabalho foram armazenados para efeito de comparação (Figura 2)

7 Correlação Nono Simpósio de Mecânica Computacional Pontos no conjunto Pareto Figura 2 - Correlação dos estimadores para 1000 a 19000: (--) Estimador Bi-Objetivo Convencional, (o) Estimador Bi-Objetivo Paralelo É sabido pela função de ajuste de curva que a correlação decresce de forma exponencial com o aumento de pontos (Eq 16) Porém observa-se que existe certo ponto de acomodação, isto é, ao aumentar a quantidade de pontos a partir do ponto de acomodação o modelo obtido não sofre melhorias f x = 0,3222e 4, , x + 0,122e ( 16) É importante salientar que é possível saber qual é o limiar para o número de pontos que devem compor o conjunto Pareto-Ótimo de maneira a garantir a mínima correlação, ou pelo menos, é possível, pelo ajuste de curva, ter uma estimativa para a convergência do valor de correlação e, conseqüentemente, para o número de pontos Para tanto, fazer: e e = lim x f x, ( 17) sendo que e e é o valor esperado (valor de convergência) para a correlação Comprovado então que os resultados são idênticos para ambas as técnicas, o tempo gasto na execução de cada estimação é analisado A curva obtida para o tempo de estimação de parâmetros Bi-Objetivo Convencional pode ser ajustada pela seguinte função (Eq 17), cujo resultado é dado em segundos: g(x) = (1,839X10 5 )x 2 + 0,02383x + 8,347 ( 18) A curva do tempo para Estimação de Parâmetros Bi-Objetivo Paralelo pode ser ajustada pela Equação 18, cujo resultado é dado em segundos: (x) = 0,01316x 0,1416 ( 19) sendo x o número de elementos do conjunto Pareto Pelas funções de ajuste (f x, g x e (x)) pode-se observar que o Estimador Bi-Objetivo Paralelo estima os

8 Tempo / seg Nono Simpósio de Mecânica Computacional parâmetros em tempo afim e o Estimador Bi-Objetivo convencional estima os parâmetros em tempo quadrático, fazendo que seu tempo seja superior ao Bi-Objetivo Paralelo (Figura 3) Pontos no Pareto Figura 3 - Tempos de solução do Estimador Bi-Objetivo Convencional e Bi-Objetivo Paralelo para a estimação do intervalo de 1000 a pontos no conjunto Pareto-Ótimo: Estimador Bi-Objetivo Paralelo (o), Estimador Bi-Objetivo Convencional (--) Calculando a porcentagem da diferença dos tempos gastos na solução dos estimadores, foi obtido como resultado aproximadamente uma reta do tempo gasto partindo de 332,8% com uma taxa decrescente em torno de 150%, chegando a 2830,3 % de economia em tempo Como pode ser observada, pela da Tabela 1, a diferença de tempo é considerável Tabela 1 Comparação entre o tempo de solução entre Bi-Objetivo Convencional e Bi- Objetivo Paralelo Pontos no Pareto-Ótimo Tempo Bi-Objetivo Conv Tempo Bi-Objetivo Paral ,04 s 14,03 s ,45 s 131,28 s ,72 s 251,80 s Observando a equação 18, da curva de ajuste do Bi-Objetivo Paralelo, pode-se perceber que existe uma determinada quantidade de pontos em que o tempo de comunicação dos processos será maior que o tempo de solução Por exemplo, para x = 10, que consiste em 10 pontos no Pareto, o tempo de solução será 0,01 s, o que torna inviável o paralelismo para problemas que exijam uma pequena quantidade de pontos no conjunto Pareto-Ótimo 6 CONCLUSÕES Conforme mostrado nas Seções 3 e 4, o Estimador Bi-Objetivo é uma ferramenta importante para a estimação de parâmetros, por se tratar de um estimador da classe dos não polarizados, embora o tempo de solução cresça de forma quadrática com a quantidade de pontos utilizados no processo

9 A aplicação de técnicas de computação paralela no Estimador Bi-Objetivo não afetou a precisão de cálculos conforme foi verificado na Seção 5, mas trouxe um ganho no tempo de solução E demonstrado que o tempo computacional aumenta de forma afim com a quantidade de pontos O ganho em tempo de solução é de suma importância para casos que necessitem de um valor grande de pontos para um melhor resultado Pode ser observado neste trabalho que este ganho máximo chegou a 2830,3 % em comparação com a técnica de estimação do Bi- Objetivo convencional O Estimador Bi-Objetivo Paralelo demonstra ser então uma melhor opção para trabalhos que necessitem de uma estimação de parâmetros com um elevado número de pontos no conjunto Pareto-Ótimo Agradecimentos Os autores agradecem à FAPEMIG, CAPES e CNPQ pelo apoio financeiro 7 BIBLIOGRAFIA Abbasi, B, Shadrokh, S, Arkat, J, 2006, Biobjective resource-constrained project scheduling with robustness and makespan criteria, Applied Mathematics and Computation, 80, pp Aguirre, L A, 2007 Introdução à Identificação de Sistemas: técnicas lineares e não lineares aplicadas a sistemas reais, Editora da UFMG, Belo Horizonte 3ª edição Al-Fawzana, M, Haouarib, M, 2005, A bi-objective model for robust resource constrained project scheduling, International Journal Production Economics, 96, pp Barroso, M, 2006 Otimização Bi-Objetivo aplicada à estimação de parâmetros de modelos Narx Polinomiais: Caracterização e tomada de decisão, Tese de Doutorado, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, Brasil Barroso, M, Takahashi, R, Aguirre, L, 2007 Multi-objective parameter estimation via minimal correlation criterion, Journal of Process Control, 17, pp Doyle III, F, Ogunnaike, B, Pearson, R, 1995 Nonlinear modelbased control using second-order volterra models, Automatica,31(5), pp Ebrahim, R M, Razmi, J, 2009 A hybrid meta heuristic algorithm for bi-objective minimum cost flow (bmcf) problem, Advances in Engineering Software, 40, pp Eusébio, A, Figueira, J, 2009 Finding nondominated solutions in bi-objective integer network flow problems, Computers & Operations Research 36: Eykhoff, P, 1981 Trends and Progress in System Identification, Pergamon, Oxford In INFAC series Flynn, M J, 1972 Some computer organizations and their effectiveness IEEE Transactions on Computers, C-21(9), pp Gao, W Kemao, Q, Wang, H, Seah, H, 2009 Parallel computing for fringe pattern processing: A multicore cpu approach in matlab environment, Optics and Lasers in Engineering, 47, pp Grama, A, Gupta, A, Karypis, G, Kumar, V, 2003 Introduction to Parallel Computing, Addison Wesley, Second Edition, pp 656, Harlow, Essex, England Greenlaw, R, Hoover, H J, Ruzzo, W L, 1995 Limits to Parallel Computation: P- Completeness Theory, OXFORD UNIVERSITY PRESS, pp 325, New York, USA Lesmere, J, Dhaenens, C, Talbi, E, 2007a An exact parallel method for a bi-objective permutation flowshop problem, Journal of Operational Research, 177, pp

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