Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

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1 ANÁLISE DE MÉDIA-VARIÂNCIA PARA O ERRO DE RASTREAMENTO DE CARTEIRAS COM RESTRIÇÕES DE LIQUIDEZ Oswaldo Luiz do Valle Costa Estela Mara de Oliveira Departamento de Engenharia de Telecomunicações e Controle Escola Politécnica da Universidade de São Paulo CEP: São Paulo Brasil s: oswaldo@lacuspbr estelapoli@uspbr Abstract Tracking error models are strategies used by portfolio investment managers that aim at obtaining a portfolio that will follow some benchmark portfolio The so-called tracking error is the difference between the portfolio s return and the benchmark portfolio s return Previous work on minimizing the tracking error variance (TEV with a fixed expected excess return considered the same assets for the portfolio and the benchmark portfolio (see eg (Roll 992; Alexander and Baptista 200 However in many situations it is desirable to use only those assets that have greater liquidity in the benchmark portfolio The objective of this work is to obtain an analytical formula of the portfolio that minimizes TEV for a fixed expected excess of return considering for this only the assets with more liquidity among the assets comprising the benchmark portfolio In this way the obtained results generalize the results in (Roll 992 It is shown that in the particular case in which the assets comprising the portfolio are the same as the benchmark portfolio our results reproduce those obtained in (Roll 992 Keywords tracking error minimizing variance portfolio optimization Resumo Modelos de erro de rastreamento são estratégias utilizadas pelos administradores de carteiras de investimento que visam montar portfólios para seguir algum índice de referência (benchmark Denomina-se nesses casos de erro de rastreamento a diferença entre o retorno da carteira que se deseja montar e o retorno da carteira de referência Trabalhos anteriores sobre a minimização da variância do erro de rastreamento (TEV para um excesso de retorno esperado fixado consideraram os mesmos ativos tanto na carteira que se deseja montar quanto na carteira de referência (veja por exemplo (Roll 992; Alexander and Baptista 200 Entretanto em muitas situações deseja-se utilizar apenas os ativos que possuem maior liquidez e que compõem a carteira de referência O objetivo deste trabalho é obter uma fórmula analítica da carteira que minimiza a TEV para um excesso de retorno esperado fixado considerando para isso apenas os ativos de maior liquidez que compõem a carteira de referência Obtém-se dessa forma uma generalização dos resultados obtidos em (Roll 992 Mostrase que no caso particular em que os ativos que compõem a carteira são os mesmos que compõem a carteira de referência nossos resultados reproduzem os resultados obtidos em (Roll 992 Keywords erro de rastreamento minimização de variância otimização de carteiras Introdução O conceito de otimização por média-variância introduzido por H Markowitz em (Markowitz 959b; Markowitz 959a tem sido intensamente utilizado para alocação de capital em modelos financeiros e hoje já conta com uma vasta literatura sobre o assunto (veja por exemplo (Campbell et al 997; Elton and Gruber 995; Jorion 992; Costa and Assunção 2005 Mais recentemente este conceito foi estendido em diversas direções para incluir os casos de otimização robusta custos de transação e rastreamento de carteiras (veja por exemplo (Roll 992; Alexander and Baptista 200; Rustem et al 995; Costa and Paiva 2002; Costa and Nabholz 2002; Duarte Jr 999; Fabozzi et al 200; Howe and Rustem 997; Hanza and Janssen 998; Rudolf et al 999; Ling et al 204; Chen and Kwon 202 No caso de rastreamento de carteiras o problema de decisão consiste em montar uma carteira que rastreie uma carteira de referência (carteira de benchmark geralmente um índice amplamente diversificado de ativos Denomina-se como erro de rastreamento a diferença entre o retorno da carteira que se deseja montar e o retorno da carteira de referência O problema de minimização da variância do erro de rastreamento (TEV pode ser colocado como sendo o de encontrar uma carteira que minimiza a variância do erro de rastreamento fixando-se uma expectativa de ganho determinado pelo excesso de retorno esperado (ou seja a diferença entre o valor esperado do retorno da carteira e o valor esperado do retorno da carteira de referência Em (Roll 992 (Alexander and Baptista 200 problemas desse tipo foram considerados assumindo que a carteira que se deseja montar poderia ser formada com os mesmos ativos que compõem a carteira de referência Nesse caso é claro que se o excesso de retorno esperado é zero a solução seria apenas replicar a carteira de referência fazendo com isso que o erro de rastreamento seja zero O objetivo deste trabalho é obter uma fórmula analítica da carteira que minimiza a variância do erro de rastreamento (TEV para um excesso de retorno esperado fixado considerando para isso apenas os ativos de maior liquidez que compõem a carteira de referência Obtém-se dessa forma uma generalização dos resultados obtidos em (Roll 992 Mostra-se que no caso particular em que os ativos que compõem a carteira são os 423

2 mesmos que compõem a carteira de referência nossos resultados reproduzem os resultados obtidos em (Roll 992 O trabalho está organizado da seguinte forma Na seção 2 é apresentada a formulação do problema de minimização da variância do erro de rastreamento fixando-se um determinado valor para o excesso de retorno esperado e assumindo as restrições de liquidez para a montagem da carteira O principal resultado deste trabalho é apresentado na seção 3 Teorema 3 que estabelece uma fórmula analítica para a composição da carteira ótima e a equação no plano riscoretorno das carteiras com mínimo TEV Na seção 4 apresenta-se um exemplo numérico baseado nas ações que compõem o IBOVESPA Foram considerados sete ativos com boa liquidez e de setores diferentes a saber: Petrobras (PetroléoGás e Biocombustíveis; Vale do Rio Doce (Mineração; Bradesco (Práticas de operações bancárias em geral; Goll (Transporte áreo e construção; Embraer (Material aeronáutico;usiminas (Siderúrgia; PDG Realt (Setor imobiliário - Construção O artigo é finalizado com alguns comentários finais na seção 5 2 Formulação do Problema Seguindo a notação adotada em (Costa and Assunção 2005 considere uma carteira com retorno P composta por n ativos com retornos R R n retorno esperado r r n e matriz covariância Σ > 0 Investe-se uma proporção ω i no ativo com retorno R i de modo que P n n ω i R i ω i i i Note que como usual para a obtenção de uma solução analítica para os problemas de otimização relacionados à média-variância de carteiras são permitidas posições a descoberto ou seja ω i negativos Utiliza-se a seguinte notação vetorial ω r ω ω n r r n R R R n E(R e E(R E(R n Σ cov(r E((R r(r r Segue que a média do retorno P denotada por µ é dada por µ E(P E(ω R ω E(R ω r e a variância de P denotada por σ 2 é dada por σ 2 E((P µ 2 ω E((R r(r r ω ω Σω ( Resumindo tem-se que P ω R µ ω r σ 2 ω Σω ω e Considere também uma carteira de referência (benchmark ω B com retorno P B retorno esperado µ B e variância σb 2 que se deseja rastrear com uma expectativa de ganho representado pelo excesso de retorno esperado µ e Define-se o erro de rastreamento como P e P P B (ω ω B R (2 que representa o erro entre o retorno da carteira e o retorno da carteira de referência Denota-se por σ 2 e a variância do erro de rastreamento Segue que µ e µ µ B (ω ω B r (3 σ 2 e E((P e µ e 2 (ω ω B E((R r(r r (ω ω B (ω ω B Σ(ω ω B (4 O problema resolvido analiticamente em (Roll 992 também analisado por (Alexander and Baptista 200 pode ser escrito da seguinte forma: min 2 (ω ω B Σ(ω ω B (5 sujeito a ω r µ B µ e ω e ω R n Note que no problema (5 ω tem a mesma dimensão n que a carteira de referência ou seja a carteira de rastreamento pode incluir todos os ativos que fazem parte da carteira de referência ω B (logicamente se µ e 0 a solução ótima do problema (5 seria ω ω B Introduzimos agora as restrições de liquidez Dessa forma a carteira que se deseja montar utiliza apenas os p n ativos da carteira de referencia ou seja ω i 0 para i p+ n Essa restrição pode ser vista como sendo uma restrição de liquidez onde se considera apenas os p ativos mais líquidos da carteira de referência Deve-se notar que o caso p n corresponde ao problema considerando em (5 Denotaremos por ω como sendo o vetor com os p pesos dessa carteira e e como sendo o vetor formado por s mas agora p dimensional Denotaremos o vetor aleatório p-dimensional com os retornos dos ativos que se deseja utilizar na carteira como sendo R seu valor esperado por r sua matriz de covariância por Σ > 0 (p p e a matriz de covariância entre R e R por Σ (p n isto é ω ω ω p e R R R p r r r p Σ cov(r Σ cov(r R E((R r(r r 424

3 Utilizando a notação acima e de (3 (4 segue que µ e ω r µ B (6 σ 2 e ω Σω 2ω ΣωB + σ 2 B (7 onde σb 2 representa a variância da carteira de referência O problema da minimização da variância do erro de rastreamento (TEV para um excesso de retorno esperado fixado µ e com restrições de liquidez é definido da seguinte forma: min 2 ω Σω ω ΣωB sujeito a ω r µ B µ e ω e ω R p (8 Na próxima seção será apresenta a solução analítica desse problema 3 Carteira de Mínimo TEV com Restrições de Liquidez Como veremos a seguir a solução do problema (8 será obtida em termos dos seguintes dados de entrada: r Σ µ B e Ψ B cov(r P B E((R r(p B µ B E((R r(r r ω B Σω B (9 Antes de apresentarmos a solução do problema (8 necessitamos das seguintes definições: Temos o seguinte resultado (Costa and Assunção 2005: α e Σ e (0 γ r Σ r ( ψ e Σ r (2 αγ ψ 2 (3 demonstrado em Proposição 3 Para as constantes α γ ψ e definidas em (0 ( (2 e (3 tem-se que: > 0 e p α λ max (Σ p ] λ min (Σ γ r 2 λ max (Σ r 2 λ min (Σ ψ < r p λ min (Σ onde λ min e λ max representam os autovalores mínimos e máximos da matriz Σ De maneira similar a (Merton 972; Roll 992; Alexander and Baptista 200 a representação da carteira ótima solução do problema (8 ] será obtida a partir da combinação de 3 carteiras ω g ω a ω B definidas a seguir: ω g α Σ e (4 ω a ψ Σ r (5 ω B Σ Ψ B + ψ Σ r + γ ] Σ e (6 onde e Σ Ψ B (7 Deve-se notar que ω g corresponde à carteira com mínima variância global entre as carteiras obtidas a partir de R e que ω a corresponde à carteira na fronteira eficiente (entre as carteiras obtidas a partir de R com retorno esperado Note que µ a γ ψ (assumindo ψ > 0 (8 µ g ω gr ψ (9 α de modo que ψα > 0 Tem-se também que e σ 2 g α (20 σ 2 a γ ψ 2 (2 (veja por exemplo (Merton 972 Observação Com relação à ω B deve-se notar que para o caso em que p n (sem restrição de liquidez tem-se que Σ Σ Σ Σ de modo que Σ Ψ B Σ Σω B ω B e e Σ Ψ B e ω B ou seja 0 Dessa maneira temos que ω B ω B para o caso em que p n A seguir apresentamos a solução do problema (8 e o gráfico da fronteira eficiente Teorema 3 A solução do problema (8 é dada por ω ω B + T (µ (ω a ω g (22 onde µ µ e + µ B T (µ µ r Σ Ψ B (23 Mais ainda a curva relacionado risco e retorno na fronteira de mínimo TEV é dada por ( σ 2 σ B 2 T (µ 2(σ 2 + µ a µ a σg 2 g ( T (µσ 2 ( g µb + 2 (24 µ g onde σ 2 B ω BΣ ω B (25 µ B ω Br r Σ Ψ B (26 425

4 Demonstração: Considere o lagrangiano do problema (8 onde lembramos de (9 que Ψ B Σω B : L(ω λ ω Σω ω Ψ B + λ (µ e ω r + µ B + λ 2 ( ω e (27 Derivando e igualando a zero e chamando de ω o vetor ω que satisfaz essas condições obtêm-se as condições necessárias de a ordem: Segue que Σω Ψ B λ r λ 2 ē 0 r ω µ e + µ B ē ω (28 ω Σ (Ψ B + λ r + λ 2 ē (29 e portanto de (28 e (29 { r ( Σ (Ψ B + λ r + λ 2 ē µ e + µ B e ( Σ (Ψ B + λ r + λ 2 ē ou seja ( r Σ r ē Σ r r Σ ē ē Σ ē ( ( λ µe + µ B r Σ Ψ B λ 2 ē Σ Ψ B ( T (µ Utilizando os parâmetros definidos em (0-(3 decorre que ( ( γ ψ λ ψ α λ 2 ( T (µ e de acordo com a Proposição 3 ( γ ψ > 0 ψ α Lembrando que para uma matriz 2 por 2 simétrica com determinante diferente de zero vale que ( ( a b c b b c a c b 2 b a tem-se que ou seja ( λ λ 2 ( ( α ψ T (µ ψ γ { λ (αt (µ ψ λ 2 ( ψt (µ + γ (30 Substituindo (30 em (29 tem-se de (4 (5 (6 que ω Σ (Ψ B + λ r + λ 2 ē Σ Ψ B + ( αt (µ ψ Σ r + ( Σ ē ψt (µ + γ Σ ( Ψ B + ψ Σ r + γ Σ ē ( α + Σ r ψ Σ ē T (µ ω B + T ( (µ γ ψ ψ ψ Σ r α Σ e α ω B + T (µ (ω a ω g Aplicando as condições de 2 a ordem obtém-se que a derivada 2 a do lagrangeano (27 em relação a ω denotada por L( ω é L( ω Σ > 0 e portanto a solução encontrada realmente corresponde a um ponto de mínimo local Como a função objetivo é convexa e o conjunto de soluções factíveis é um conjunto convexo o ponto de mínimo obtido é global provando a otimalidade de (22 Deve-se notar também que de (0-(3 e (6 segue que r ω B r Σ Ψ B + r Σ Ψ B + r Σ Ψ B ψ r Σ r + γ ] r Σ ē ψ γ + γ ψ ] o que mostra a segunda igualdade em (26 A variância da carteira obtida de (22 é dada por σ 2 (ω Σ(ω e portanto de (22 segue que σ 2 ω B Σ ω B + 2 T (µ (ω a ω g Σ ωb ( T (µ 2(ωa + ω g Σ(ωa ω g (3 Conforme mostrado na equação (46 em (Costa and Assunção 2005 (ω a ω g Σ(ωa ω g ( σa 2 σg 2 (32 Tem-se também de (4 (5 (6 e (25 e lembrando que ē ω B que ( (ω a ω g Σ ωb ψ αē r ( ωb ψ µ B α α( α ( ψ µ B σg 2 µb µ g (33 já que σg 2 α e µ g ψ α Combinando (26 (3 (32 (33 obtém-se (24 completando a prova do resultado 426

5 Observação 2 Para o caso em que p n o resultado do Teorema 3 coincide com os resultados obtidos em (Roll 992 Realmente neste caso temos que como visto na Observação Σ Ψ B ω B e ω B ω B e portanto T (µ µ µ B Desse modo temos que (22 e (24 coincidem com os resultados em (Roll 992 Em particular para µ µ B segue que ω ω B e σ 2 σb 2 Note que para o caso p < n esse resultado não é em geral válido retorno esperado média variância TEV rl TEV 4 Exemplo numérico Nesta seção é apresentado um exemplo numérico da aplicação do modelo de rastreamento com restrição de liquidez definido no problema (8 Esse modelo que denotaremos a partir de agora como modelo T EV rl é comparado com o modelo tradicional de média-variância (MV de Markowitz e com o modelo de erro de rastreamento denominado tracking error variance (TEV apresentado em (Roll 992 Para o modelo de média-variância e T EV consideram-se os mesmos ativos que compõem da carteira de rastreamento do modelo T EV rl Serão traçadas as curvas de risco versus retorno esperado dos três modelos bem como será realizado um back test do T EV rl e do modelo de média-variância Para isto toma-se uma série histórica de dados no período de 2008 a 203 de ações negociadas na BOVESPA Estes dados são referentes a sete ativos com boa liquidez que compõem o IBOVESPA sendo este utilizado como a carteira de referência Conforme mencionado na introdução os sete ativos são: Petro3 Vale3 BBDC4 USIM5 EMBR3 Goll4 PDGR3 Com esses dados de entrada (série histórica foram calculadas as estimativas dos retornos esperados (r a matriz de covariância dos ativos considerados (Σ o vetor de covariância entre os ativos e o IBOVESPA (Ψ B o retorno esperado (µ B e a variância do IBOVESPA (σb 2 A partir destes obtêm-se as equações risco versus retorno dos modelos T EV rl média-variância (MV e T EV e as fronteiras eficientes Na figura encontram-se as três curvas risco versus retorno Nota-se neste caso que a carteira de mínima variância global possui um retorno esperado negativo Como era de se esperar as fronteiras eficientes para os modelos T EV rl e T EV são dominadas pela fronteira eficiente do modelo de médiavariância uma vez que os 3 modelos consideram os mesmos sete ativos e conforme mostrado em (Roll 992 se a carteira aproximada de referência ω B não for eficiente (que é o caso a solução do problema (8 sempre levará a uma carteira não-eficiente e a curva no plano risco-retorno estará sempre distante da fronteira eficiente por um valor constante (ou seja a ineficiência se mantém constante A figura ilustra essa última risco Figura : Fronteira eficiente situação No entanto nota-se pela figura que a carteira T EV r l apresenta um resultado melhor que a carteira T EV Consideramos agora um back test para a análise do desempenho da carteira T EV rl comparada com a carteira de média-variância O período testado corresponde aos meses de janeiro a dezembro de 203 e considerou-se o retorno e covariâncias estimadas a partir dos 2 meses anteriores ao mês considerado para o back test Por exemplo para o mês de janeiro de 203 considerou-se para o cálculo das médias e covariâncias os 2 retornos mensais observados no banco de dados Com isso calculou-se as carteiras correspondentes aos modelos T EV rl (dada pela equação (22 e ao modelo de média-variância (dada pela equação ω ( χ(µω g + χ(µω a onde χ(µ µ µg µ a µ g que seriam utilizadas no início do mês de janeiro de 203 Ao final do mês de janeiro de 203 calcula-se a diferença entre as rentabilidades da carteira do modelo T EV rl e a rentabilidade mensal de janeiro de 203 do índice IBOVESPA e da mesma maneira a rentabilidade da carteira de média-variância e a rentabilidade mensal de janeiro de 203 do índice IBOVESPA O primeiro valor na figura 2 corresponde ao módulo dessas diferenças Continuando com esse procedimento os módulos dos erros de rastreamento dos modelos T EV rl e do modelo de médiavariância em relação à rentabilidade mensal do IBOVESPA de janeiro/203 a dezembro/203 são apresentados na figura 2 Como parâmetro de entrada considerou-se µ 2% para os dois modelos (ou seja deseja-se uma rentabilidade esperada de 2% no final de cada mês que corresponde a uma rentabilidade anual de 26 82% Observa-se na figura 2 que o modelo T EV rl teve um erro de rastreamento menor que o modelo de média-variância no primeiro e segundo mês e do quarto até o décimo segundo mês Na tabela apresenta-se a soma dos erros quadráti- 427

6 02 0 ErroMarkowitz Erro TEV rl 66 x ModeloMeVariancia ModeloTEV rl IBOVESPA erro de rastreamento períodos mensais períodos mensais Figura 2: Norma do erro entre o retorno mensal do IBOVESPA e as carteiras T EV rl e médiavariância cos do modelo T EV rl e do modelo de médiavariância Pode-se verificar que nesse período o modelo T EV rl que teve um erro quadrático de seguiu melhor o IBOVESPA que o modelo de média-variância que teve um erro quadrático de 007 Tabela : Erros Quadráticos Período ErroQuadratico ErroQuadratico Modelo MV Modelo TEVrl jan/ fev/ mar/ abr/ mai/ jun/ jul/ ago/ set/ out/ nov/ dez/ Soma Erros Soma Erros Na figura 3 apresenta-se o gráfico do retorno mensal observado nos 2 meses de 203 do IBOVESPA e das carteiras T EV rl e médiavariância Pode-se verificar que a carteira T EV rl acompanhou melhor as oscilações do IBOVESPA que a carteira de média-variância 5 Conclusões O objetivo deste trabalho foi obter uma fórmula analítica da carteira que minimiza a variância do erro de rastreamento (TEV para um excesso de retorno esperado fixado considerando para isso apenas alguns ativos com boa liquidez que compõem a carteira de referência O Teorema 3 es- Figura 3: Retorno mensal do IBOVESPA carteira T EV rl e carteira de média-variância tabelece uma fórmula analítica para a composição da carteira ótima e a equação no plano riscoretorno das carteiras com mínimo TEV Obtevese dessa forma uma generalização dos resultados obtidos em (Roll 992 em que o problema de minimização do TEV é considerado com a carteira que se deseja montar podendo ser formada com os mesmos ativos que compõem a carteira de referência Mostra-se que no caso particular em que os ativos que compõem a carteira são os mesmos que compõem a carteira de referência nossos resultados reproduzem os resultados obtidos em (Roll 992 Na seção 4 apresenta-se um exemplo numérico baseado nas ações que compõem o IBOVESPA Como trabalhos futuros pretende-se analisar uma versão robusta do problema de rastreamento considerando incertezas nas matrizes de covariância dos ativos da carteira seus retornos no vetor de covariância entre os ativos da carteira e a carteira de mercado e nos retornos e variâncias da carteria de referência através de uma abordagem similar à que foi adotada em (Costa and Paiva 2002 Agradecimentos O primeiro autor contou com o apoio financeiro da FAPESP e do CNPq auxílio 30067/09-0 Referências Alexander G J and Baptista A M (200 Active portfolio management with benchmarking: A frontier based on alpha The Journal of Banking and Finance 34: Campbell J Y Lo A W and MacKinlay A C (997 The Econometrics of Financial Markets Princenton Princenton University Press 428

7 Chen C and Kwon R H (202 Robust portfolio selection for index tracking Computers & Operations Research 39(4: Costa O L V and Assunção H G V (2005 Análise de Risco e Retorno em Investimentos Financeiros Manole Costa O L V and Nabholz R B (2002 A linear matrix inequalities approach to robust mean-semivariance portfolio optimization in E J Kontoghiorghes B Rustem and S Siokos (eds Computational Methods in Decision-Making Economics and Finance Boston Kluwer pp Roll R (992 A mean/variance analysis of tracking error The Journal of Portfolio Management 8: 3 22 Rudolf M Wolter H J and Zimmermann H (999 A linear model for tracking error minimization The Journal of Banking and Finance 23: Rustem B Becker R G and Marty W (995 Robust min-max portfolio strategies for rival forecast and risk scenarios Journal of Economic Dynamics and Control 24: Costa O L V and Paiva A C (2002 Robust portfolio selection using linear matrix inequalities Journal of Economic Dynamics and Control 26: Duarte Jr A M (999 Fast computation of efficient portfolios The Journal of Risk 4: 7 94 Elton E J and Gruber M J (995 Modern Portfolio Theory and Investment Analysis Nova York Wiley Fabozzi F J Huang D and Zhou G (200 Robust portfolios: contributions from operations research and finance Ann Oper Res 76: Hanza F and Janssen J (998 The meansemivariances approach to realistic portfolio optimization subject to transactions costs Applied Stochastics Models and Data Analysis 4: Howe M A and Rustem B (997 A robust hedging algorithm Journal of Economic Dynamics and Control 2: Jorion P (992 Portfolio optimization in practice Financial Analysts Journal (January- February : Ling A Sun J and Yang X (204 Robust tracking error portfolio selection with worstcase downside risk measures Journal of Economic Dynamics and Control 39: Markowitz H (959a Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments John Wiley New York Markowitz H M (959b Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments Nova York John Wiley Merton R C (972 An analytic derivation of the efficient portfolio frontier The Journal of Financial and Quantitative Analysis 4: