MANOBRAS DE RENDEZ-VOUS ENTRE ÓRBITAS KEPLERIANAS COM CONTROLE IMPULSIVO

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1 MANOBAS DE ENDEZ-OUS ENTE ÓBITAS KEPLEIANAS COM CONTOLE IMPULSIO Gisline de Felipe & Antonio Fernndo Bertchini de Almeid Prdo Instituto Ncionl de Pesquiss Espciis, Divisão de Mecânic Espcil e Controle Cx. P São José dos Cmpos, SP, Brsil e-mil: gisline@dem.inpe.br; prdo@dem.inpe.br ESUMO: Efetur um mnobr de rendez-vous com um stélite signific exercer um controle pr lterr su órbit de form colocá-lo em um posição específic de um órbit finl, onde ele encontrrá um segundo veículo espcil. O objetivo do trblho é implementr, comprr e testr métodos que executem ess mnobr, de mneir fornecer informções que uxiliem n tomd de decisões do método ser empregdo em um mnobr rel. A metodologi empregd pr estudr esse problem será de implementr três métodos nlíticos: Método Direto Interno, Método Direto Externo, Método Indireto e um numérico, todos disponíveis n litertur, pr nálise dos resultdos e comprções trvés do mpemento de diferentes condições imposts o problem. A importânci dos resultdos vem d su imedit plicbilidde em missões reis, incluindo problems de mnobrs de constelções de stélites e d estção espcil interncionl. Abstrct. To perform rendezvous mneuver with stellite mens to use control to chnge its orbit to put it in specific position of finl orbit, where it will meet second spce vehicle. The objective of this pper is to implement, to compre nd to test methods to execute tht mneuver, with the gol of obtining informtion to help in the decision of which method to use in rel mission. The methodology used to study this problem is the one of implementing three nlyticl methods: Internl Direct Method, Externl Direct Method, Indirect Method nd numeric method, ll of them vilble in the literture, for nlysis of the results nd comprisons by drwing mps for different conditions imposed to the problem. The importnce of the results comes from its immedite pplicbility in rel missions, including problems of mneuvers involving constelltions of stellites. INTODUÇÃO Pr ocorrer um encontro entre dois veículos espcis (rendezvous) é necessário que o instnte de sus chegds em um ponto pré-determindo no espço sej o mesmo pr os dois veículos considerdos e tmbém que sus velociddes sejm mesm no instnte do encontro. O veículo ser trnsferido será chmdo de interceptdor e o veículo ser interceptdo será chmdo de lvo. Neste trblho, serão nlisdos três métodos nlíticos: Método Direto Interno, Método Direto Externo e Método Indireto, todos eles desenvolvidos em Bll & Osborne (967) e Artigo Submetido em 0/0/00. evisão em 0/06/00;. evisão em //00; Aceito sob recomendção do Ed. Consultor Prof. Dr. Liu Hsu depois detlhdos em Znrdi (988) e um método numérico mis genérico, desenvolvido por Prdo (996), que pode resolver o problem sem s hipóteses simplificdors utilizds nos métodos nlíticos. A contribuição pretendid é implementção, testes e comprções entre os métodos pr efetur escolh do método ser plicdo, o que dependerá ds circunstâncis prticulres envolvids. Todos os qutro métodos testdos situm-se entre os métodos que utilizm controle impulsivo, ou sej, possuem controldores cpzes de lterr velocidde do veículo espcil instntnemente. Outros trblhos com hipóteses similres são: Gross e Prussing (974) que consider mnobr com vários impulsos; Mc Cue (963) que estud mnobrs que incluem mudnçs em inclinção com dois impulsos; Miirfkhrie e Conwy (994) e Prussing e Chiu (986) que levm em cont vínculos de tempo n mnobr; Prussing (969 e 970) que consider mnobrs próxims órbits circulres. Com um hipótese diferente qunto o controle, ssumindo um controldor que oper com empuxo finito em um tempo diferente de zero, temos o trblho de Kechichin (993) que estud mnobr com mínimo consumo e tempo fixo. Alguns trblhos crescentm vínculos n trjetóri descrit pelo veículo espcil, tis como: Stern e Fowler (985) e Tuer et ll (995). O tem considerdo é relevnte e bstnte tul, podendo ser plicdo tnto n construção d estção espcil interncionl, que necessitrá de um grnde número de mnobrs de rendezvous com o ônibus espcil mericno, como em mnobrs envolvendo constelções de stélites, pois ests mnobrs exigem colocção do stélite em um ponto específico d órbit finl, que é equivlente um mnobr de rendez-vous com um ponto em um órbit no espço o invés de um segundo veículo espcil. MANOBAS OBITAIS DE ENDEZ- OUS Serão presentdos qui encontros entre veículos que estejm inicilmente em órbits circulres, não coplnres e de rios diferentes. As equções nlítics estão derivds com restrição de que o veículo lvo encontre-se em um órbit mis lt que do veículo interceptdor, porém os cálculos do impulso requerido (controle plicdo) vlem pr o cso em que o veículo lvo encontr-se em um órbit mis bix, pois ess inversão não lter mgnitude dos controles plicdos. Em tods s mnobrs, descrits n seqüênci, temos que: i) c represent o rio d órbit circulr do veículo lvo; ii) c o rio d órbit circulr do veículo interceptdor; iii) α 56 SBA Controle & Automção ol. no. 0 / Mio, Jun., Jul., Agosto de 00

2 represent inclinção entre s órbits. O restnte d nomencltur vri cso cso. É importnte ressltr que nenhum dos três métodos nlíticos qui nlisdos efetu um mnobr ótim do ponto de vist de economi de combustível. Em prticulr, mudnç de inclinção feit com um único impulso plicdo n linh de nodos teri o seu consumo reduzido se fosse dividid em dois impulsos plicdos nos dois pontos onde linh dos nodos cruz com órbit inicil. Algums ds vntgens prátics pr s mnobrs não-ótims qui estudds são: i) menor tempo de durção d mnobr complet; ii) simplificção ds trefs do centro de controle, devido redução do número de mnobrs; iii) mior possibilidde de efetur todos os impulsos com o veículo espcil visível ds estções terrestres, reduzindo o risco de perd d misssão.. Método Direto Interno O Método Direto Interno utiliz um semi-elipse de trnsferênci intern entre o veículo lvo e o interceptdor pr relizção d mnobr de rendez-vous. O veículo lvo encontr-se em um órbit circulr de rio c, sendo que órbit está inclind de um ângulo α com relção à órbit do interceptdor. Qundo o interceptdor cruz linh dos nodos (intersecção entre dois plnos orbitis), receberá um impulso α pr girr seu vetor velocidde, colocndo-o no plno d órbit do veículo lvo, de tl form que mbs s órbits se tornem coplnres. A fse seguinte inici-se no ponto A, onde o lvo encontr-se dintdo do interceptdor de um ângulo predetermindo θ (Figur ). É neste ponto que o interceptdor recebe um incremento de velocidde c, que cus entrd n elipse de trnsferênci (t i ), com o objetivo de tingir o ponto B no mesmo instnte que o lvo. No ponto B, velocidde deve ser umentd novmente, plicndo-se um impulso c, fim de possibilitr entrd do interceptdor n órbit do veículo lvo, igulndo-se ssim sus velociddes pr completr o rendez-vous..o incremento totl de velocidde será de: = α + c + c. Esss grndezs podem ser clculds utilizndo-se s equções bixo: B c α c c α = c sen c + c = () c () t t ti interceptdor c c A α Alvo = (3) Linh dos nodos Fig. - Encontro de veículos espciis pelo Método Direto Interno pt t c t c t c = pt c, c = c t = (4) (5) pt = c ; t = c (6) Onde: t = semi eixo mior d elipse de trnsferênci t i ; t = velocidde no pogeu d elipse de trnsferênci t i; pt = velocidde no perigeu d elipse de trnsferênci t i ; t = rio do pogeu d elipse de trnsferênci t i ; pt = rio do perigeu d elipse de trnsferênci t i. Pr relizr um trnsferênci de A pr B, o interceptdor descreve um semi-elipse t i, e o tempo gsto ness etp é ddo 3 por: T π + = = c c. O tempo correspondente pr que o t veículo lvo se desloque de um ângulo (π - θ) rdinos é: 3 ( π θ ) c t =. Pr que mbos os veículos se encontrem em B no mesmo instnte, deve-se ter: t = t. Assim, pode-se concluir que pr se dr início esse processo de trnsferênci: 3. c θ = π + c. Método Direto Externo O Método Direto Externo utiliz um semi-elipse de trnsferênci extern entre o veículo lvo e o interceptdor pr relizção d mnobr de rendez-vous. Qundo o interceptdor cruz linh dos nodos em A, su velocidde é impulsivmente umentd ( ) pr colocá-lo em um primeir elipse de trnsferênci (t ) com o pogeu em C. Nesse ponto, os plnos orbitis do lvo e do interceptdor são linhdos trvés d plicção de um impulso α e velocidde deste último é incrementd em pr colocá-lo n segund elipse de trnsferênci (t ), cujo perigeu é o próprio ponto de rendez-vous B. B 0 é o ponto onde o lvo deve estr loclizdo no início d mnobr. Em B, o interceptdor é posto n órbit circulr finl trvés d plicção de um impulso 3 e o rendez-vous é completdo. Qundo mnobr é inicid, o lvo deve estr trsdo com respeito o interceptdor de um B 3 B0 A c c t t C Fig. - Encontro de veículos espciis pelo Método Direto Externo SBA Controle & Automção ol. no. 0 / Mio, Jun., Jul., Agosto de 00 57

3 ângulo θ (Figur ). O incremento totl é ddo por: = + α As equções utilizds são: = n. c (7) c + c + = (8) p =, c p c α α = sen c = (9) (0) c c c 3 = c p, = p c pt c ; = = ; p c = (), = () = =. (3) Onde: n = constnte de proporcionlidde entre e c ; = rio do pogeu ds órbits t e t ; = rio do pogeu d órbit ; = rio do pogeu d órbit ; p = rio do perigeu d órbit ; p = rio do perigeu d órbit ; = semi-eixo mior d elipse de trnsferênci t ; = semi-eixo mior d elipse de trnsferênci t ; = velocidde no pogeu d elipse de trnsferênci t ; = velocidde no pogeu d elipse de trnsferênci t ; p = velocidde no perigeu d elipse de trnsferênci t ; p = velocidde no perigeu d elipse de trnsferênci t. O tempo gsto pelo interceptdor pr ir de A té B é ddo por: 3 3 π + c + c t = +. O tempo gsto pelo lvo 3 pr chegr em B é: ( π θ ) c t =. Pr que mbos os veículos se encontrem no mesmo instnte, deve-se ter: t = t ; de onde se conclui que: 3 3 c + c + θ = π +. 3 c.3 Método Indireto O Método Indireto utiliz um órbit intermediári entre o lvo e o interceptdor, n qul o interceptdor permnece té que o lvo se encontre n posição corret pr que mnobr de rendez-vous se inicie. Pr colocr o interceptdor em um órbit elíptic de trnsferênci t é feito um incremento impulsivo de velocidde no ponto A ( ). Em B é feit correção dos plnos trvés d plicção de um impulso α e é ddo um incremento de 58 SBA Controle & Automção ol. no. 0 / Mio, Jun., Jul., Agosto de 00 Linh dos nodos velocidde ( ) pr o interceptdor entrr em um órbit circulr intermediári, coplnr com trjetóri do lvo. Ness órbit intermediári o interceptdor esperrá o veículo lvo té estrem defsdos de um ângulo θ, qundo então o rendezvous é efetudo por meio de um segund elipse de trnsferênci t, plicndo-se um impulso em C ( 3 ). Em D, o endez-vous é completdo com um umento de velocidde ( 4 ), plicdo como descrito no Método Direto Interno. O incremento totl é ddo por: = α As equções utilizds pr esses cálculos são: c + c + = (4) p c p c α Ponto de endezvous α = sen c = (5) (6) = (7) c ct c c = p c, = ct, 3 = p ct, 4 = c p c ; = p = = ct; = c (8) = (9) Onde: ct = rio circulr d órbit intermediári; ct = velocidde circulr d órbit intermediári. 4 O ângulo θ que irá determinr posição reltiv entre o lvo e o interceptdor é obtido igulndo-se o tempo gsto pelo interceptdor pr ir de C D com o tempo gsto pelo lvo pr ir de E D. O resultdo é: = π + c 3 θ B D. c interceptdor A c C Órbit intermediári Fig. 3 - Encontro de veículos espciis pelo Método Indireto. E 3

4 .4 Método Numérico Após o estudo ds soluções nlítics encontrds n litertur, o próximo psso consiste em um estudo numérico do problem. As condições iniciis pr resolver este problem são: s órbits do lvo e do interceptdor, incluindo-se informção requerid pr especificr s sus posições ns órbits ( nomli verddeir ou qulquer outr quntidde equivlente) e o tempo máximo de vôo permitido pr mnobr. A solução que é procurd é trnsferênci de órbit que stisfç tods s condições iniciis e que necessite de um impulso totl mínimo ( dição ds mgnitudes de todos impulsos plicdos). Pr obter solução deste problem, é formuldo e resolvido o Problem de Lmbert ssocido com cd trnsferênci prticulr. Com s soluções dds por est rotin, é possível clculr mgnitude de todos os impulsos que devem ser plicdos. O método qui utilizdo foi desenvolvido em Prdo (996) e é utilizdo pr comprção com s soluções existentes n litertur, sem nenhum lterção. A Figur 4 mostr geometri d mnobr. Supõe-se que exist um nve espcil em um órbit Keplerin chmd órbit inicil. Desej-se fzer um rendez-vous com outr nve espcil que se encontr em um órbit Keplerin finl, que é coplnr com órbit inicil. Pr efetur ess trnsferênci, prte-se do ponto P (r, θ ), onde é plicdo um impulso com mgnitude que fz um ângulo φ com direção trnsvers locl. A órbit de trnsferênci cruz órbit finl no ponto P (r, θ ), onde é plicdo um impulso com mgnitude que fz um ângulo φ com direção trnsvers locl. Existem muits lterntivs pr resolver este problem, como s mostrds n seções nteriores. Pr pesquis numéric presente, o modelo ssumido pr o controle do interceptdor é um mnobr bi-impulsiv, onde o primeiro impulso é plicdo em um tempo t 0, de tl modo que o interceptdor e o lvo se encontrem em t f, qundo o segundo impulso é então plicdo com intenção de colocr o interceptdor n mesm órbit do lvo. A Figur 4 mostr um exemplo de um trnsferênci diret, onde o interceptdor intercept o lvo ntes de fzer um revolução complet o redor do corpo trtor. Trnsferêncis onde um ou mis revoluções são completds pelo interceptdor ntes de se encontrr com o lvo tmbém são possíveis e são considerds no presente trblho. órbit finl r Y órbit de trnsferênci órbit inicil Fig.4 - Geometri do Problem de Lmbert com Mínimo Delt- A questão considerd qui é como (mgnitude e direção) e qundo executr esses dois controles impulsivos pr obter mnobr que tem o consumo de combustível mínimo ( totl r X mínimo). Pr responder est pergunt, foi utilizdo o procedimento descrito seguir. As órbits inicil e finl são determinds, como um condição do procedimento. A informção sobre posição ds espçonves em sus órbits ( nomli verddeir ou lgum quntidde equivlente) tmbém é requerid e é dd. Então, os prâmetros seguintes são especificdos: o tempo inicil d mnobr t 0, um vlor pr o limite inferior do tempo de trnsferênci (t f - t 0 ), um vlor pr o limite superior do mesmo tempo de trnsferênci, um vlor pr o incremento do tempo de trnsferênci e o número de revoluções do interceptdor ntes de encontrr o lvo. Com esses prâmetros, plic-se um lgoritmo, cujs etps são (Prdo, 996): i) O vlor do limite inferior pr o tempo de trnsferênci é considerdo como sendo o tempo de trnsferênci τ d mnobr; ii) Utilizndo-se s equções básics d Mecânic Celeste, os elementos Crtesinos do interceptdor no momento inicil d mnobr t 0 são clculdos. Est posição é chmd de r i e est velocidde de v i ; iii) Utilizndo-se novmente s equções básics d Mecânic Celeste, os elementos Crtesinos do lvo no momento finl d mnobr t f = t 0 + t são clculdos. Est posição é chmd de r f e est velocidde de f v ; iv) Assume-se um vlor pr o número de revoluções K do interceptdor (número de órbits complets que o interceptdor reliz durnte mnobr). Então, com r i, v i, r f, v f, t e K, têm-se todos os ddos necessários pr resolver o Problem de Lmbert. A solução do Problem de Lmbert dá órbit de trnsferênci, o tempo de trnsferênci e o impulso requerido, podendo ter nenhum, um ou dus soluções; v) Então, som-se um psso de tempo pr o tempo de trnsferênci e retorn-se o segundo psso com o novo tempo de trnsferênci t. Pr estudr mnobr de rendez-vous ótim serão executds váris simulções utilizndo o lgoritmo descrito cim. Todos os vlores serão expressos em uniddes cnônics, e os ângulos em grus. As uniddes cnônics são dimensionis. A nomencltur utilizd qui é: = semi-eixo mior, e = excentricidde, i = inclinção d órbit, Ω = rgumento do nodo scendente, ω = rgumento do perigeu, T é o tempo d pssgem pelo perigeu. O subscrito c represent órbit do interceptdor e o subscrito t represent órbit do lvo. 3 ESULTADOS Os métodos cim form implementdos e testdos. esultdos preliminres form presentdos em Felipe e Prdo (997) e resultdos completos podem ser encontrdos em Felipe (000). Os métodos qui mostrdos serão plicdos com o objetivo de identificr o consumo (mgnitude do impulso totl plicdo) e o tempo requerido pr cd mnobr. Lembrndo sempre que: i) c que represent o rio d órbit circulr do veículo lvo; ii) c o rio d órbit circulr do veículo interceptdor; iii) α represent inclinção entr s órbits. Pr o Método Indireto existe um prâmetro extr, o rio d órbit intermediári de estcionmento que deve ser vrido e cujo vlor deve estr entre os rios ds órbits inicil e finl. Pr o Método Direto Externo tmbém é requerido um prâmetro extr pr ser considerdo, que é distânci entre o ponto C (ponto de plicção do impulso que lter inclinção do plno orbitl) e o centro de grvidde (centro d Terr). Com esses ddos é possível oferecer informções pr um nlist de missões tomr um decisão sobre qul melhor estrtégi ser dotd. Os resultdos obtidos são mostrdos ns Figurs 5 4. SBA Controle & Automção ol. no. 0 / Mio, Jun., Jul., Agosto de 00 59

5 ,8,6,,4, 0,4 0,9 N = N = 0 N = 00 0, c c Fig. 5 - Consumo ( ) vs. c pr o Método Direto Interno ( c 0) Fig. 9 - Consumo ( ) vs. c pr o Método Direto Externo ( = N x c ) pr c 0 e α = 0,9,4, N = N = 0 N = 00,8,6 0,4,4 0, c Fig. 6 - Consumo ( ) vs. c pr o Método Direto Externo ( = N x c ) pr c 0 e α =,,, 3, 4, 5, Fig. 0 - Consumo ( ) vs. pr o Método Indireto ( c 0) com c = 5, c N = N = 0 N = 00 Fig. 7 - Consumo ( ) vs. c pr o Método Direto Externo ( = N x c ) pr c 0 e α =,4,3,,,9,8,7,6, Fig. - Consumo ( ) vs. pr o Método Indireto ( c 0) com c = 0,0. 0,9 5,7,5 5 5 N = N = 0 N = 00,3,,9, , c Fig. 8 - Consumo ( ) vs. c pr o Método Direto Externo ( = N x c ) pr c 0 e α = Fig. - Consumo ( ) vs. pr o Método Indireto ( c 0) com c = 0,0. 60 SBA Controle & Automção ol. no. 0 / Mio, Jun., Jul., Agosto de 00

6 ,3,,,9,8, Fig. 3 - Consumo ( ) vs. pr o Método Indireto ( c 0) com c = 50,0. Pr o Método Direto Interno not-se que o consumo de combustível cresce com o umento de c té o vlor de c = 5,0. Um mnobr de mior mgnitude requer um mior consumo de combustível pr su relizção. Nesse specto, Figur 5 serve pr quntificr um resultdo já esperdo. A prtir de c = 0,0, o consumo pss diminuir com o umento de c. A rzão desse fto é que com o umento de c, mgnitude do primeiro impulso ument pr que o veículo tinj órbit finl, por outro ldo mgnitude do segundo impulso diminui, devido à mior distânci do centro de trção. Ess economi ument com c, de tl form que prtir de um certo vlor de c o gnho no segundo impulso compens perd no primeiro e o sldo líquido é um mnobr mis econômic. Esse fto é esperdo, pois é tmbém observdo ns conhecids mnobrs de Hohmnn, que consiste em um trnsferênci bi-impulsiv com tempo livre. Conforme pode ser visto em Mrec (979), mnobr de Hohmnn deix de ser ótim loclmente qundo c / c > 5,58, pels mesms rzões físics qui pontds. Não existe diferenç entre s mnobrs com vrição de inclinção, porque nesse método mudnç de plno orbitl ocorre com um impulso n linh de nodos n ltitude d órbit inicil, que é mesm pr tods s situções estudds. Existe um vlor constnte diciondo o consumo pr efetur s mudnçs de plno orbitl. Pr o Método Direto Externo, pode ser visto prtir d Figur 6 que, no cso α = e N o consumo cresce com c té o vlor c = 7,0 e depois pss decrescer. A rzão é mesm explicd no cso nterior: com o umento de c o consumo no primeiro e segundo impulsos umentm, ms o do terceiro impulso diminui, de tl form que existe um vlor pr c no qul o sldo líquido pss ser positivo. Com o distncimento de (umento de N) o gnho ument e desde o primeiro ponto estuddo ( c ) o sldo já é positivo. A Figur 6 tmbém mostr que existe um vlor de ( c = 5,0) prtir do qul é compensdor envir o veículo té um grnde distânci pr efetur mnobr. Not-se tmbém que, qundo ocorre esse fto mudnç d estrtégi ótim pss diretmente do menor vlor simuldo (N = ) pr o mior vlor simuldo (N = 00). A Figur 7 mostr que, qundo existe um mudnç no plno orbitl, o ponto de inversão de consumo pr um vlor de N fixo ocorre mis cedo ( c = 4,0). D mesm form, mnobr mis econômic pr diferentes vlores de N ocorre em N = 00 pr vlores menores de c (= 4,5). A rzão desses dois ftos é que mnobr de lterção de plno orbitl é feit em e um grnde economi é gerd por um vlor d forç elevdo de, devido à mior distânci desse ponto o centro de trção Esse fto é confirmdo pels Figurs 8 e 9, pois desde o primeiro vlor estuddo, mnobr é mis econômic pr o cso N = 00. A mudnç diret d estrtégi ótim do menor vlor simuldo (N = ) pr o mior vlor (N = 00) tmbém ocorre qui. As mnobrs com N = 00 significm que o pogeu d órbit elíptic de trnsferênci está muito distnte do centro de trção grvitcionl. A medid que N ument mnobr se proxim d trnsferênci bi-prbólic (Mrec, 979) onde s dus órbits intermediáris são prábols e N é infinito. Pr o Método Indireto, s Figurs 0 3 mostrm que, pr o cso coplnr ( α = ), é mplitude d mnobr que decide o ponto de menor consumo. Pr mnobrs de pequen mplitude o consumo ument com, ddo que mnobr idel seri mnobr sem existênci d órbit intermediári, logo tendendo c present mior economi. Pr mnobrs de grnde mplitude tendênci é executr o segundo impulso o mis distnte possível do centro de trção, logo mnobr mis econômic ocorre qundo é mis elevdo. Com mplitudes intermediáris, o consumo deix de ter vrição monotônic com e present um máximo entre os extremos de. Tmbém not-se que qundo existe mudnç no plno orbitl mnobr de menor consumo é sempre que possui o vlor mior de, pois mnobr de inclinção é efetud nesse ponto. Conforme esperdo, qunto mior mudnç de plno orbitl mior é o consumo requerido, embor diferenç diminu com o crescimento de. A seguir o método numérico foi testdo pr os mesmos csos mostrdos té qui. A Figur 4 mostr os vlores obtidos pr ess mnobr. Os resultdos mostrm que pr mudnç pln ( α = ) o consumo cresce com o umento de c, o que está de cordo com o esperdo, pois qunto mior for mplitude d mnobr mior será o consumo necessário pr tingi-l. Pr s mnobrs que contém vrição do plno orbitl existem dois ftores serem considerdos: de um ldo um mior mplitude requer um mior consumo pr ser tingid, de outro ldo mnobr de mudnç de plno tem o seu consumo reduzido qundo efetud mis distnte do centro trtor. Com esse fto, existem situções onde ocorrem oscilções no consumo ( α = ), diminuição continu com o umento de c ( α = ) ou té mesmo crescimento contínuo ( α = ). Comprndo esse método e todos os nteriormente estuddos, podemos ver que o Método Numérico present resultdos muito semelhntes o Método Direto Interno pr s mnobrs plns. Isso ocorre devido mbos os métodos serem bi-impulsivos. Já no cso de mnobrs com mudnç de plno, o Método Direto Externo é superior os demis (inclusive o Numérico). Isso se explic pel redução do consumo requerido pel mudnç de plno, por est ser efetud mis fstd do centro de trção. É preciso tmbém levr em cont um limite prático existente ns simulções relizds com o método numérico. Como o método é bi-impulsivo com tempo livre, em muits situções solução ótim se encontr no infinito, onde mudnç orbitl tende zero. Como é necessário colocr um limite no tempo de mnobr pr relizção ds simulções numérics, isso descrt solução teóric ótim e pssmos obter melhor solução possível dentro do limite de tempo imposto. A Figur 4 foi construíd com o limite de tempo de 00 uniddes cnônics. Form feits lgums simulções com limites miores e els demonstrm exitênci de mnobrs com SBA Controle & Automção ol. no. 0 / Mio, Jun., Jul., Agosto de 00 6

7 consumos menores, principlmente pr vlores de c miores. Fzendo um nlise comprtiv entre os métodos verific-se que o Método Direto Externo é superior em tods s situções estudds onde existe vrição do plno orbitl e pr vlores de c cim de 5,0 no cso coplnr.,3,8,3 0,3-0, c Fig. 4 - Consumo ( ) vs. c pr o Método Numérico ( c 0). 4 CONCLUSÕES Conforme esperdo, um umento n inclinção entre os plnos ds dus órbits envolvids n mnobr demnd um mior custo de combustível pr relizção d mnobr. A velocidde desse umento vri de método pr método. Pr os Métodos Direto Interno e Indireto o umento é muito rápido. Pr o Método Direto Externo esse umento é pequeno. A rzão físic desse fto é que mnobr de mudnç de plno deste método é feit em um ponto (C) distnte d Terr. Como esse consumo é diretmente proporcionl à velocidde do veículo no ponto d mnobr, ele decresce com distânci entre o veículo e Terr. Pode-se tmbém notr que o custo de um correção de inclinção de plno orbitl é bstnte elevdo, se comprdo o custo de um correção de semi-eixo mior. A rzão desse fto reside n necessidde de efetur um rotção no vetor velocidde pr lterr o plno orbitl e este custo é proporcionl à velocidde orbitl do veículo espcil nquele ponto, que é elevd. No Método Direto Interno, not-se que, medid que o veículo se fst de c 0 o consumo de combustível vi umentndo em todos os csos, pois o lvo está sendo fstdo d Terr e por isso, precis-se de um impulso mior pr órbit de trnsferênci tingi-lo. Esse resultdo é esperdo, porém s simulções qui efetuds servem pr quntificr esss vrições. Esse fto tmbém ocorre pr o Método Direto Externo no cso N =. Pr N 0, o consumo diminuiu qundo ument-se c, porque = N x c e como o método é externo qunto mis longe estiver o lvo menos órbit de trnsferênci sofre influênci d grvidde, fzendo diminuir o vlor do impulso. Pr o Método Indireto, pode-se notr que mntendo-se c constnte e umentndo-se o consumo ument, porque é o rio d órbit intern, mostrndo-se igul o Método Direto Interno. Assim sendo, o estudo feito nesse trblho contribui pr servir de poio pr decisão do método ser utilizdo em um mnobr rel, trvés de um vlição comprtiv dos métodos que já se encontrvm disponíveis n litertur, porém que não possuím resultdos que permitissem um escolh em cso de um missão rel. O desdobrmento esperdo é justmente fcilidde de um tomd de decisão por prte de um nlist de missão, pós consult os resultdos numéricos qui presentdos. Agrdecimentos Os utores grdecem Fundção de Ampro Pesquis do Estdo de São Pulo FAPESP pelo uxílio concedido nos contrtos 995/990 e 97/ e o Conselho Ncionl de Desenvolvimento e Tecnológico (CNPq) pelo contrto 300/95-9. EFEÊNCIAS Bll, K.J. & Osborne, F. (967). Spce vehicle dynmics, University Press-Oxford, Oxford. Felipe, G. (000). Mnobrs Orbitis Aplicds os Problems de dois e Três Corpos. Dissertção de Mestrdo. São José dos Cmpos, fevereiro. Felipe, G. e Prdo, A.F.B.A. (997). Mnobrs orbitis de endez-vous. Anis do XX Congresso Ncionl de Mtemátic Aplicd e Computcionl (CNMAC), setembro 08-, Grmdo, S. Gross, L.. E Prussing, J. E. (974). Optiml multiple-impulse direct scent fixed-time endez-vous, AIAA Journl, vol., n. 7, pp Kechichin, J. A. (993). Minimum-fuel time-fixed endezvous using constnt low thrust, AAS pper Mrec, J.P. (979). Optiml Spce Trjectories, New York, NY, Elsevier. McCue, G. A. (963). Optimum two-impulse orbitl trnsfer nd endez-vous between inclined ellipticl orbits, AIAA Journl, vol.,n. 8, pp Mirfkhrie, K. e Conwy, B. A. (994). Optiml Coopertive time-fixed impulsive endez-vous, Journl of Guidnce Control nd Dynmics, vol. 7, n. 3, pp Prdo, A.F.B.A. (996). Optiml endez-vous Mneuvers for Spce ehicles. evist Brsileir de Ciêncis Mecânics, vol. 8, n. 3, pp Prussing, J. E. (969). Optiml four-impulse fixed-time endez-vous in the vicinity of circulr orbits, AIAA Journl, vol. 7, n. 5, pp Prussing, J. E. (970). Optiml two- nd three-impulse fixedtime endez-vous in the vicinity of circulr orbit, AIAA Journl, vol. 8, n. 7, pp. -8. Prussing, J. E. e Chiu, J. H. (986). Optiml multiple-impulse time-fixed endez-vous between circulr orbits, Journl of Guidnce Control nd Dynmics, vol. 9, n., pp. 7-. Stern, S. A. e Fowler, W. T. (985). Pth constrined endezvous ner lrge spce Structures, Journl of Spcecrft nd ockets, vol., pp Tuer, D.., Coverstone-Crroll,. e Prussing, J. E. (995). Optiml impulse time-fixed orbitl endez-vous nd interception with pth constrints, Journl of Guidnce Control nd Dynmics, vol. 8, n., pp Znrdi, M.C. (988). Fundmentos d Astronáutic, ITA,.São José dos Cmpos, vol., Cp. III. 6 SBA Controle & Automção ol. no. 0 / Mio, Jun., Jul., Agosto de 00