ANÁLISE PROBABILÍSTICA DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO RECUPERADAS À FLEXÃO, ATRAVÉS DO MÉTODO DE MONTE CARLO UTILIZANDO UM MODELO DE ELEMENTOS FINITOS

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1 ANÁLISE PROBABILÍSTICA DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO RECUPERADAS À FLEXÃO, ATRAVÉS DO MÉTODO DE MONTE CARLO UTILIZANDO UM MODELO DE ELEMENTOS FINITOS CHARLEI MARCELO PALIGA Porto Alegre Abril de 2008

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL ANÁLISE PROBABILÍSTICA DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO RECUPERADAS À FLEXÃO, ATRAVÉS DO MÉTODO DE MONTE CARLO UTILIZANDO UM MODELO DE ELEMENTOS FINITOS CHARLEI MARCELO PALIGA Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, como parte dos requisitos para a obtenção do título de DOUTOR EM ENGENHARIA. Porto Alegre Abril de 2008

3 ANÁLISE PROBABILÍSTICA DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO RECUPERADAS À FLEXÃO, ATRAVÉS DO MÉTODO DE MONTE CARLO UTILIZANDO UM MODELO DE ELEMENTOS FINITOS CHARLEI MARCELO PALIGA Esta tese foi julgada adequada para a obtenção do título de DOUTOR EM ENGENHARIA e aprovada em sua forma final pelos orientadores e pelo Programa de Pós- Graduação. Porto Alegre, 29 de fevereiro de Prof. Américo Campos Filho (UFRGS) Dr. pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Orientador Prof. Mauro de Vasconcellos Real (FURG) Dr. pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul Orientador BANCA EXAMINADORA Prof. Fernando Schnaid (UFRGS) PhD. pela Oxford University Coordenador do PPGEC/UFRGS Prof a. Sofia Maria Carrato Diniz (UFMG) PhD. pela University of Colorado at Boulder Prof. Daniel Domingues Loriggio (UFSC) Dr. pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Prof. Jorge Daniel Riera (UFRGS) PhD. pela Princeton University

4 Dedico este trabalho à minha mãe, in memoriam, ao meu pai, à minha valorosa irmã e especialmente à minha esposa Aline pelo incentivo e amor incomensuráveis. iv

5 AGRADECIMENTOS Ao chegar ao fim de mais essa valiosa etapa de minha vida, gostaria de expressar meus mais sinceros agradecimentos àqueles que de alguma forma colaboraram para que este trabalho fosse concluído. Principalmente aos meus orientadores, Prof. Américo Campos Filho e Prof. Mauro de Vasconcellos Real, pelas intermináveis horas dispensadas e apoio incondicional para o desenvolvimento deste trabalho. Pelas sempre valiosas e constantes orientações, não só para que este trabalho tivesse êxito, mas também para a minha formação profissional e pessoal. Pelas horas de alegria e de aprendizado em simples conversas, pela paciência e estímulo em etapas nas quais o desenvolvimento do trabalho não se dava da melhor forma possível, e principalmente, pela confiança e por terem me acolhido como seu orientando. O meu sincero MUITO OBRIGADO! À minha esposa Aline, sempre otimista, presente, carinhosa e amorosa. Se mais esta etapa foi concluída, muito se deve à sua força. Ao meu pai, pessoa que me incentivou desde o início de minha vida. À minha irmã, que mesmo com a distância física que teimava em nos afastar, sempre esteve presente com sua palavra de apoio e amor. Aos amigos e colegas do PPGEC e do CEMACOM pela feliz convivência, cooperação e amizade, especialmente aos compadres Giuliana e Gustavo Bono. Aos professores e funcionários da Escola de Engenharia e do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Ao CNPq Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico pelo suporte financeiro concedido durante a elaboração deste trabalho. v

6 SUMÁRIO LISTA DE TABELAS...xii LISTA DE FIGURAS...xiv LISTA DE SÍMBOLOS...xx RESUMO...xxvii ABSTRACT...xxviii 1 INTRODUÇÃO TÉCNICAS DE REFORÇO E RECUPERAÇÃO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO E RECOMENDAÇÕES PARA O PROJETO DE REFORÇO À FLEXÃO CONSIDERAÇÕES INICIAIS MÉTODOS CONVENCIONAIS DE REFORÇO ESTRUTURAL Aumento da seção transversal Protensão externa Chapa de aço colada com resina epóxi Materiais compósitos PROJETO DE REFORÇO À FLEXÃO COM PRF BASEADO NAS RECOMENDAÇÕES DA fib bulletin Recomendações da fib bulletin 14 para o reforço à flexão Introdução Situação inicial Modos de ruptura no estado limite último (ELU) Análise no estado limite último (ELU) Verificação da ductilidade...34 vi

7 3 ANÁLISE NÃO-LINEAR, ATRAVÉS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS, DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO REFORÇADAS INTRODUÇÃO ELEMENTOS FINITOS PARA O CONCRETO Geometria do elemento Campo de deslocamentos Campo de deformações Campo de tensões Definição das forças atuantes O Princípio dos Trabalhos Virtuais Caso particular: Material elástico-linear no regime pequenos deslocamentos Matriz de rigidez do elemento de concreto ELEMENTOS FINITOS PARA A ARMADURA Modelo incorporado Formulação geométrica Determinação dos trechos de armadura Funções de forma para os elementos de armadura Matriz de rigidez e vetor de ações nodais para a armadura ELEMENTOS FINITOS PARA O REFORÇO Formulação do elemento Deformação no reforço Matriz de rigidez e vetor de ações nodais para o reforço ELEMENTOS FINITOS PARA A INTERFACE Formulação do elemento vii

8 3.5.2 Matriz de rigidez e vetor de ações nodais para a interface SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES NÃO-LINEARES O método BFGS O algoritmo incremental-iterativo MODELOS CONSTITUTIVOS DOS MATERIAIS INTRODUÇÃO MODELO CONSTITUTIVO BIDIMENSIONAL PARA O CONCRETO EM ESTADO ÍNTEGRO Deformação uniaxial equivalente Critério de ruptura de KUPFER e GERSTLE Deformação correspondente à máxima tensão Curvas uniaxiais equivalentes Procedimento iterativo MODELO PARA O CONCRETO FISSURADO Critério de fissuração Equação constitutiva ortotrópica Deformação uniaxial equivalente Colaboração do concreto entre fissuras Módulo de deformação por corte reduzido MODELO PARA O CONCRETO ESMAGADO Equação constitutiva ortotrópica Deformação uniaxial equivalente Comportamento do concreto pós-esmagamento EQUAÇÃO CONSTITUTIVA NO SISTEMA XOY Cálculo das direções dos eixos de ortotropia viii

9 4.5.2 Transformação das deformações do sistema xoy para os eixos de ortotropia Transformação das tensões dos eixos de ortotropia para o sistema xoy MODELO CONSTITUTIVO PARA O AÇO MODELO PARA O SISTEMA DE REFORÇO Modelo para o elemento de reforço Modelo para o elemento de interface entre o substrato de concreto e o sistema de reforço estrutural VALIDAÇÃO DO MODELO ATRAVÉS DE EXEMPLOS DE APLICAÇÃO CONSIDERAÇÕES INICIAIS VIGA SIMULADA POR ASCIONE E FEO (2000) VIGA SIMULADA POR ZIRABA E BALUCH (1995) VIGAS ENSAIADAS POR BEBER (1999) Vigas reforçadas com uma camada de lâmina de fibra de carbono: VR3 e VR Vigas reforçadas com quatro camadas de lâminas de fibra de carbono: VR5 e VR Vigas reforçadas com sete camadas de lâminas de fibra de carbono: VR7 e VR Vigas reforçadas com dez camadas de lâminas de fibra de carbono: VR9 e VR VIGAS SIMULADAS POR APRILE ET AL. (2001) VIGA SIMULADA POR SPACONE E LIMKATANYU (2000) ix

10 5.7 VIGA ENSAIADA POR CAMPAGNOLO ET AL. (1997) VIGA ENSAIADA POR ARDUINI ET AL. (1997) VIGAS ENSAIADAS POR BEBER (2003) CONSIDERAÇÕES FINAIS CONFIABILIDADE NA ANÁLISE ESTRUTURAL CONSIDERAÇÕES INICIAIS MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DA CONFIABILIDADE O Método de Monte Carlo Método de Segundo Momento de Primeira Ordem (FOSM) Método de Confiabilidade de Primeira Ordem (FORM) O MÉTODO DE MONTE CARLO APLICADO A DETERMINAÇÃO DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL DE VIGAS REFORÇADAS Considerações iniciais Geração aleatória das propriedades mecânicas do concreto Geração aleatória das propriedades mecânicas da armadura Geração aleatória das propriedades mecânicas do reforço Geração aleatória das propriedades mecânicas da interface Geração aleatória do carregamento Carga permanente Carga variável ESTUDO PROBABILÍSITICO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO RECUPERADAS COM PRFC CONSIDERAÇÕES INICIAIS DESCRIÇÃO DAS VIGAS ANALISADAS x

11 7.3 DESCRIÇÃO DO CARREGAMENTO APLICADO ÀS VIGAS RESULTADOS NUMÉRICOS OBTIDOS Viga V Viga V Viga V CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS xi

12 LISTA DE TABELAS Tabela 2.1 Coeficientes de minoração da resistência do reforço γ f...22 Tabela 4.1 Fator n...87 Tabela 4.2 Propriedades típicas das fibras de carbono à tração...93 Tabela 4.3 Parâmetros para a definição da tensão de aderência concreto / chapa de aço.97 Tabela 4.4 Parâmetros para a definição da tensão...98 de aderência para materiais compósitos...98 Tabela 5.1 Propriedades dos materiais Viga simulada por Ascione e Feo (2000) Tabela 5.2 Propriedades dos materiais Viga URB Tabela 5.3 Propriedades dos materiais Vigas ensaiadas por Beber (1999) Tabela 5.4 Principais propriedades do tecido de fibra de carbono Tabela 5.5 Denominações dos protótipos Tabela 5.6 Comparação entre cargas de ruptura Tabela 5.7 Comparação entre cargas de ruptura Tabela 5.8 Comparação entre cargas de ruptura Tabela 5.9 Comparação entre cargas de ruptura Tabela 5.10 Propriedades mecânicas e geométricas Tabela 5.11 Comparação entre cargas de ruptura Tabela 5.12 Propriedades mecânicas dos materiais Tabela 5.13 Propriedades dos materiais Viga ensaiada por Campagnolo et al. (1997).139 Tabela 5.14 Propriedades dos materiais Vigas simuladas por Arduini et al. (1997) Tabela 5.15 Comparação entre cargas de ruptura Tabela 5.16 Características dos protótipos reforçados Tabela 5.17 Propriedades do sistema curado in situ Tabela 7.1 Propriedades mecânicas dos materiais utilizados no projeto das vigas Tabela 7.2 Dimensionamento à flexão e ao cisalhamento das vigas V1, V2 e V Tabela 7.3 Áreas de aço reduzidas e área de reforço em PRFC para um dano de 10% Tabela 7.4 Áreas de aço reduzidas e área de reforço em PRFC para um dano de 20% Tabela 7.5 Áreas de aço reduzidas e área de reforço em PRFC para um dano de 30% Tabela 7.6 Composição do carregamento aplicado às vigas V1, V2 e V Tabela 7.7 Análise probabilística da viga V Tabela 7.8 Análise probabilística da viga V xii

13 Tabela 7.9 Análise probabilística da viga V xiii

14 LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 Curvas tensão-deformação para os materiais constituintes no ELU...21 Figura 2.2 Situação inicial...23 Figura 2.3 Modos de falha da aderência...25 Figura 2.4 Análise da seção no ELU: (a) geometria, (b) distribuição de deformações e (c) distribuição de tensões...26 Figura 2.5 Tratamento para o peeling-off em zona de ancoragem...30 Figura 2.6 Falha na extremidade do reforço...32 Figura 2.7 Modelo análogo...33 Figura 3.1- Discretização de uma estrutura plana em elementos finitos de 8 nós...37 Figura 3.2 Geometria do elemento isoparamétrico quadrático...38 Figura 3.3 Ponto submetido a um estado plano de tensões...41 Figura 3.4 Barra de aço inserida no elemento de concreto...50 Figura 3.5 Coordenadas ao longo do eixo da armadura...51 Figura 3.6 Curva que define a barra de aço...54 Figura 3.7 Segmento de armadura dentro do elemento de concreto...55 Figura 3.8 Elemento quadrático de barra de treliça...59 Figura 3.9 Sistema global e local para o elemento de interface...64 Figura 3.10 Equivalentes pseudo nós...64 Figura 3.11 Conexão entre os elementos...66 Figura 3.12 O método Quasi-Newton para o caso unidimensional...70 Figura 4.1 Deformação uniaxial equivalente para um material linear...75 Figura 4.2 Critério de ruptura bidimensional de Kupfer e Gerstle...78 Figura 4.3 Curva tensão-deformação uniaxial equivalente para o concreto...81 Figura 4.4 Equação constitutiva para o concreto tracionado...84 Figura 4.5 Deformações principais e eixos de ortotropia...89 Figura 4.6 Modelo constitutivo bilinear para o aço...91 Figura 4.7 Diagrama tensão-deformação dos principais elementos estruturais dos sistemas de reforço (Machado, 2002)...94 Figura 4.8 Diagramas tensão-deformação dos sistemas compósitos (Machado, 2002)...96 Figura 4.9 Relação analítica tensão de aderência deslizamento...96 xiv

15 Figura 5.1 Viga em concreto armado reforçada com chapa de aço Figura 5.2 Malha de elementos finitos Figura 5.3 Distribuição da tensão de aderência: P = 60 kn Figura 5.4 Distribuição da tensão de aderência: P = 140 kn Figura 5.5 Distribuição da tensão de aderência: próximo da ruptura Figura 5.6 Deformações ao longo do reforço Figura 5.7 Detalhamento da viga URB Figura 5.8 Curva carga x deslocamento: viga URB Figura 5.9 Tensões no reforço: viga URB Figura 5.10 Distribuição das tensões de aderência: viga URB Figura 5.11 Detalhamento das vigas ensaiadas por Beber (1999) Figura 5.12 Curvas carga x deslocamento: vigas VR3 e VR Figura 5.13 Máxima deformação no reforço: vigas VR3 e VR Figura 5.14 Distribuição das tensões de aderência: viga reforçada com uma camada Figura 5.15 Perfil de tensões normalizadas Figura 5.16 Curvas carga x deslocamento: vigas VR5 e VR Figura 5.17 Máxima deformação no reforço: vigas VR5 e VR Figura 5.18 Distribuição das tensões de aderência: viga reforçada com quatro camadas Figura 5.19 Perfil de tensões normalizadas Figura 5.20 Curvas carga x deslocamento: vigas VR7 e VR Figura 5.21 Máxima deformação no reforço: vigas VR7 e VR Figura 5.22 Distribuição das tensões de aderência: sete camadas de PRFC Figura 5.23 Perfil de tensões normalizadas Figura 5.24 Curvas carga x deslocamento: vigas VR9 e VR Figura 5.25 Máxima deformação no reforço: vigas VR9 e VR Figura 5.26 Distribuição das tensões de aderência: dez camadas de PRFC Figura 5.27 Perfil de tensões normalizadas Figura 5.28 Elementos estruturais reforçados com PRFC ou chapa de aço Figura 5.29 Malha de elementos finitos para todos exemplos Figura 5.30 Curvas carga x deslocamento: viga reforçada com chapa de aço Figura 5.31 Tensão normal no reforço em chapa de aço para a viga: estado limite último xv

16 Figura 5.32 Tensão de aderência para o caso da viga reforçada com chapa de aço: estado limite último Figura 5.33 Curvas carga x deslocamento: viga reforçada com PRFC Figura Tensão normal no reforço em PRFC: estado limite último para a viga reforçada Figura 5.35 Tensão de aderência: estado limite último para a viga reforçada com PRFC Figura 5.36 Curvas carga x deslocamento: laje reforçada com chapa de aço ou PRFC Figura 5.37 Tensão de aderência: estado limite último para a laje reforçada com chapa de aço Figura 5.38 Tensões normalizadas pelo seu máximo valor Figura 5.39 Curvas carga x deslocamento: deslocamento no meio do vão Figura 5.40 Distribuição da tensão normal no reforço: P = 52 kn Figura 5.41 Distribuição da tensão normal no reforço: próximo da falha Figura 5.42 Variação das tensões de aderência: P = 52 kn Figura 5.43 Variação das tensões de aderência: próximo da falha Figura 5.44 Curvas carga x deslocamento: viga ensaiada por Campagnolo et al. (1997) Figura 5.45 Variação da tensão normal no reforço para diferentes níveis do carregamento Figura 5.46 Variação da tensão de aderência para diferentes níveis do carregamento Figura 5.47 Ruptura da viga V Figura 5.48 Detalhamento da viga simulada por Arduini et al. (1997) Figura 5.49 Curvas carga x deslocamento: viga B Figura 5.50 Curvas carga x deformação no reforço: viga B Figura 5.51 Distribuição das tensões de aderência: viga B Figura 5.52 Detalhamento das vigas ensaiadas por Beber (2003) Figura 5.53 Distribuição das tensões de aderência para a viga V6B: 60% da carga de ruptura Figura 5.54 Distribuição das tensões de aderência para a viga V6B: 100% da carga de ruptura xvi

17 Figura 5.55 Distribuição das tensões de aderência para a viga V7B: 60% da carga de ruptura Figura 5.56 Distribuição das tensões de aderência para a viga V7B: 100% da carga de ruptura Figura 6.1 Representação gráfica da probabilidade de falha Figura 6.2 Funções densidade de probabilidade de R e S Figura 6.3 Distribuição da margem de segurança Figura 6.4 Espaço das variáveis reduzidas R e S na abordagem FOSM Figura 6.5 Transformação do espaço original para o espaço padronizado na abordagem FORM Figura 6.6 Relação entre a variável X 1 no espaço original e a variável U 1 no espaço normal padronizado Figura 7.1 Detalhes das vigas analisadas Figura 7.2 Carga permanente e variável: Viga V Figura 7.3 Carga total: Viga V Figura 7.4 Carga permanente e variável: Viga V Figura 7.5 Carga total: Viga V Figura 7.6 Carga permanente e variável: Viga V Figura 7.7 Carga total: Viga V Figura 7.8 Análise determinística da viga V1: Carga x deslocamento Figura 7.9 Convergência estatística da carga de ruptura: viga V1 original Figura 7.10 Convergência do coeficiente de variação da carga de ruptura: viga V1 original Figura 7.11 Margem de segurança: Viga V1 com 10% de dano Figura 7.12 Gráfico de probabilidade normal: Viga V1 com 10% de dano Figura 7.13 Representação do problema R-S em termos de f S (s) e F R (r) Viga V1 com 10% de dano Figura 7.14 Representação do problema R-S em termos de f S (s) e F R (r) Viga V1 com 20% de dano Figura 7.15 Representação do problema R-S em termos de f S (s) e F R (r) Viga V1 com 30% de dano Figura 7.16 Variação da carga média de ruptura com o dano: Viga V Figura 7.17 Coeficiente de variação da carga de ruptura com o dano: Viga V Figura 7.18 Variação do índice de confiabilidade com o dano: Viga V xvii

18 Figura 7.19 Variação da probabilidade de falha com o dano: Viga V Figura 7.20 Análise determinística da viga V2: Carga x deslocamento Figura 7.21 Representação do problema R-S em termos de f S (s) e F R (r) Viga V2 com 10% de dano Figura 7.22 Representação do problema R-S em termos de f S (s) e F R (r) Viga V2 com 20% de dano Figura 7.23 Representação do problema R-S em termos de f S (s) e F R (r) Viga V2 com 30% de dano Figura 7.24 Convergência estatística da carga de ruptura: viga V2 recuperada do dano de 20% Figura 7.25 Convergência do coeficiente de variação da carga de ruptura: viga V2 recuperada do dano de 20% Figura 7.26 Margem de segurança: Viga V2 recuperada do dano de 20% Figura 7.27 Gráfico de probabilidade normal: Viga V2 recuperada do dano de 20% Figura 7.28 Variação da carga média de ruptura com o dano: Viga V Figura 7.29 Coeficiente de variação da carga de ruptura com o dano: Viga V Figura 7.30 Variação do índice de confiabilidade com o dano: Viga V Figura 7.31 Variação da probabilidade de falha com o dano: Viga V Figura 7.32 Análise determinística da viga V3: Carga x deslocamento Figura 7.33 Margem de segurança: Viga V3 original Figura 7.34 Gráfico de probabilidade normal: Viga V3 original Figura 7.35 Convergência estatística da carga de ruptura: viga V3 recuperada do dano de 30% Figura 7.36 Convergência do coeficiente de variação da carga de ruptura: viga V3 recuperada do dano de 30% Figura 7.37 Representação do problema R-S em termos de f S (s) e F R (r) Viga V3 com 10% de dano Figura 7.38 Representação do problema R-S em termos de f S (s) e F R (r) Viga V3 com 20% de dano Figura 7.39 Representação do problema R-S em termos de f S (s) e F R (r) Viga V3 com 30% de dano Figura 7.40 Variação da carga média de ruptura com o dano: Viga V Figura 7.41 Coeficiente de variação da carga de ruptura com o dano: Viga V xviii

19 Figura 7.42 Variação do índice de confiabilidade com o dano: Viga V Figura 7.43 Variação da probabilidade de falha com o dano: Viga V xix

20 LISTA DE SÍMBOLOS I - LETRAS ROMANAS MAIÚSCULAS A c - área da seção transversal de concreto e A - vetor de ações nodais não-lineares do elemento de concreto NL A - vetor de ações nodais não-lineares da estrutura NL ( ) e NL A - vetor de ações nodais não-lineares do elemento de armadura ( ) e L S S A - vetor de ações nodais lineares do elemento de armadura ( ) e NL A - vetor de ações nodais não-lineares do elemento de reforço ( ) e L R R A - vetor de ações nodais lineares do elemento de reforço ( ) e NL A - vetor de ações nodais não-lineares do elemento de interface ( ) e L A s I I A - vetor de ações nodais lineares do elemento de interface A s A R B B S B R B I C cte D E 1, E 2 E cm E cs E co - área da seção transversal da armadura tracionada pela ação exclusiva do momento fletor - área da seção transversal da armadura comprimida pela ação exclusiva do momento fletor - área da seção transversal do reforço - matriz que contém as relações deformação-deslocamento para o concreto - matriz que contém as relações deformação-deslocamento para a armadura - matriz que contém as relações deformação-deslocamento para o reforço - matriz que relaciona deslizamento-deslocamento dos pontos nodais da interface - matriz de covariância entre a resistência à compressão, a resistência à tração e o módulo de deformação longitudinal do concreto - matriz constitutiva (matriz de constantes elásticas) - módulos de deformação longitudinal secantes do concreto segundo os eixos de ortotropia 1 e 2 - módulo de deformação longitudinal médio do concreto - módulo de deformação longitudinal secante do concreto - módulo de deformação longitudinal na origem do concreto xx

21 E s E R E f E s1 E s2 F X (x) G 12c G 12r G co H j (χ) I I J J J R J I e K L - módulo de deformação longitudinal da armadura - módulo de deformação longitudinal do material de reforço - módulo de deformação longitudinal do material de reforço - módulo de deformação longitudinal da armadura antes do escoamento - módulo de deformação longitudinal da armadura após o escoamento - função de probabilidade acumulada da variável aleatória X - módulo de deformação por corte reduzido depois do esmagamento - módulo de deformação por corte reduzido, no plano da fissura - módulo de deformação por corte na origem - função de interpolação unidimensional para armadura - matriz identidade - momento de inércia da seção de concreto - matriz jacobiana - determinante da matriz jacobiana - jacobiano do elemento de reforço - determinante do jacobiano do elemento de interface - matriz de rigidez linear do elemento de concreto e K SL - matriz de rigidez linear do elemento de armadura e K RL - matriz de rigidez linear do elemento de reforço e K IL - matriz de rigidez linear do elemento de interface K L K C K S K r K o K T L L M M n, M u - matriz de rigidez linear da estrutura - contribuição do concreto para a matriz de rigidez do elemento - contribuição do aço para a matriz de rigidez do elemento - matriz de rigidez da estrutura a cada nova iteração no método BFGS - matriz de rigidez tangente na origem da estrutura - matriz de rigidez tangente - distância da extremidade do reforço ao apoio - matriz triangular inferior - momento fletor, variável aleatória margem de segurança - momento resistente nominal da seção reforçada, momento solicitante último xxi

22 M o, M cr N N(ξ,η) N i (ϕ) N fa P P f P rup P P e R S S o S e T ε U U e e U R e U I U R V X V d V o V S V R X - momento de serviço, momento de fissuração - matriz de interpolação do elemento - função de interpolação do elemento de concreto - função de interpolação do elemento de interface - força de tração no PRF - carga concentrada - probabilidade de falha - carga concentrada de ruptura - vetor de ações nodais da estrutura - vetor de ações nodais do elemento - resistência - ação ou solicitação atuante - superfície do corpo na configuração indeformada - é a área do elemento de concreto contida no plano xoy - matriz de rotação do vetor de deformações do sistema xoy para o sistema 1o2 - vetor de deslocamentos nodais - vetor de deslocamentos nodais do elemento de concreto - vetor de deslocamentos nodais do elemento de reforço - vetor de deslocamentos nodais do elemento de interface - vetor de deslocamentos da estrutura a cada nova iteração no método BFGS - coeficiente de variação da variável aleatória X - força cortante de cálculo - volume na configuração indeformada - volume da barra de aço - volume do elemento de reforço - variável aleatória genérica II - LETRAS ROMANAS MINÚSCULAS a a c, a t, a e - comprimento do vão de cisalhamento -componente aleatória da resistência à compressão do concreto, componente aleatória da resistência à tração do concreto, componente aleatória do módulo de deformação longitudinal do concreto xxii

23 b b n b f b x b y b c c 1, c 2 d d f c f ck f cm f cd f ct f ctm f X (x) f y f yd f yk f ym f fe f f,s f fu f s f s,s f cbd f(χ) g(u) h k m - largura da seção transversal retangular - valor nominal da largura da seção transversal retangular - largura do sistema de reforço - componentes das forças de volume - vetor de forças de volume - posição da linha neutra - fator de cálculo da força no PRF, fator de cálculo do comprimento de ancoragem do PRF - altura útil da seção transversal, distância da armadura tracionada pela ação exclusiva do momento fletor ao bordo comprimido da seção transversal; medida de confiabilidade - distância da armadura comprimida pela ação exclusiva do momento fletor ao bordo comprimido da seção transversal - resistência à compressão do concreto - resistência característica à compressão do concreto - resistência média à compressão do concreto; - resistência de cálculo à compressão do concreto - resistência à tração do concreto - resistência média à tração do concreto - função de densidade de probabilidade da variável aleatória X - tensão de escoamento do aço - tensão de cálculo de escoamento do aço - tensão característica de escoamento do aço - tensão média de escoamento do aço - tensão no reforço no estado limite último para efeitos de dimensionamento - tensão no reforço no estado limite de serviço para efeitos de dimensionamento - resistência à tração do PRF - tensão na armadura no estado limite último para efeitos de dimensionamento - tensão na armadura no estado limite de serviço para efeitos de dimensionamento - resistência ao cisalhamento do concreto na ligação PRF/concreto - função de posição ao longo da armadura - função de estado limite no espaço padronizado transformado no método FORM - altura da seção transversal retangular, espessura do elemento finito - coeficiente de redução da deformação de ruptura do PRF xxiii

24 k s k c, k b kd - rigidez ao cisalhamento da interface concreto/reforço - fatores de cálculo da força no PRF para efeitos de ancoragem do reforço - posição da linha neutra para cargas de serviço l, l b - comprimento do vão, comprimento de ancoragem do reforço m - variável normal reduzida margem de segurança n - relação entre a deformação última do concreto e a deformação que corresponde à tensão máxima, número de simulações de Monte Carlo, número de camadas de PRF nb - número de segmentos de barra de aço contidos no elemento de concreto np - número pontos de definição da barra de aço s - coordenada ao longo do eixo da armadura, deslizamento entre o concreto e o reforço s 1, s 2, s 3 - parâmetros da relação tensão de aderência-deslizamento t - vetor de forças por unidade de superfície t x, t y - forças de superfície atuando nas direções x e y, respectivamente t f u u 1, u 2 u i, v i u v v w x x p, y p y - espessura do reforço - deslocamento na direção x, valor assumido por uma variável aleatória - números randômicos de distribuição uniforme - componentes do vetor de deslocamento - vetor de deslocamentos - deslocamento na direção y - vetor de atualização do método BFGS - vetor de atualização do método BFGS - coordenada cartesiana, posição da linha neutra, valor assumido por uma variável aleatória X - coordenadas cartesianas de um ponto de armadura - coordenada cartesiana, valor assumido por uma variável aleatória Y z 1, z 2, z 3, z 4 - variável aleatória gaussiana, de média zero e variância unitária III - LETRAS GREGAS MAIÚSCULAS Δ Δb Δ b - incremento - variação da largura da seção transversal em relação ao seu valor nominal - variação média da largura da seção transversal em relação ao seu valor nominal xxiv

25 Φ Σ - função de probabilidade acumulada normal padronizada - somatório IV - LETRAS GREGAS MINÚSCULAS α - relação entre as tensões principais σ 1 e σ 2, parâmetro da relação tensão de aderência-deslizamento, fator de redução da força no PRF para efeitos de ancoragem do reforço β - índice de confiabilidade, ângulo entre o eixo da armadura e o eixo x β 1 δ G δ ε ε bi, ε o ε 1, ε 2 ε 1u, ε 2u ε c1f, ε c2f ε ctu ε cu ε fu ε fud ε - fator de transformação do diagrama de tensões no concreto - fator de profundidade da linha neutra - vetor incremento de deslocamentos - deformação específica axial - deformação no substrato de concreto na ocasião da aplicação do reforço - deformações principais - deformações uniaxiais equivalentes segundo as direções de ortotropia - deformações correspondentes às tensões máximas, segundo as direções de ortotropia - deformação última para o concreto tracionado (tension-stiffening) - deformação última para o concreto comprimido - deformação de ruptura do PRF - deformação de ruptura de cálculo do PRF - vetor de componentes de deformação ε s, ε su ε R, ε fe ε c ε y φ γ γ c, γ s, γ f γ η - deformação axial ao longo do eixo da armadura, deformação de ruptura do aço - deformação axial ao longo do eixo do reforço - deformação de compressão no concreto - deformação de escoamento da armadura - fator de minoração da resistência relacionado com a ductilidade da seção - deformação por corte, fator de redução da resistência à compressão do concreto - coeficiente parcial de segurança para concreto, aço e PRF, respectivamente - vetor incremento de desequilíbrio - coordenada curvilínea, coeficiente de limitação da tensão no PRF xxv

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