ANÁLISE NÃO-LINEAR DA DEFLEXÃO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

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1 9 ANÁLISE NÃO-LINEAR DA DEFLEXÃO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO NON-LINEAR ANALYSIS OF DEFLECTION IN REINFORCED CONCRETE BEAMS Paulo Roberto Lopes Lima * Cíntia Maria Ariani Fontes ** José Mário Feitosa Lima *** RESUMO A eflexão excessiva e elementos fletios é uma as principais patologias que atingem as estruturas e concreto armao, causano fissuração e elementos estruturais, em elementos não-estruturais, e mesmo sensação e esconforto ao usuário. Para evitar esse tipo e problema, é preciso a aoção e métoos e cálculo e eflexões que incorporem as proprieaes físicas, mecânicas e geométricas inerentes aos elementos e concreto armao. Neste trabalho, é apresentao um métoo e análise não-linear que, utilizano o Princípio os Trabalhos Virtuais, permite calcular as eflexões e avaliar a influência os principais fatores que as afetam, como, taxa e armaura, tipo e intensiae o carregamento, retração e fluência o concreto. Um algoritmo numérico foi esenvolvio e, a partir a avaliação a eflexão e vigas simplesmente apoiaas e concreto armao, verificou-se que as prescrições normativas existentes no Brasil são insuficientes para impeir o surgimento e patologias ecorrentes a eflexão excessiva e vigas. PALAVRAS-CHAVE: Viga e concreto armao; Deflexões; Princípio os Trabalhos virtuais. ABSTRACT The excessive eflection of bening elements is an important pathology of reinforce concrete structures. It causes cracking in nonstructural an structural elements, an also iscomfort to users. To avoi * Prof. Assistente (DTEC/UEFS), Engenheiro Civil, M. Sc., ** Engenheira Civil, Mestrana em Engenharia Ambiental na COPPE/UFRJ, *** Prof. Assistente (DTEC/UEFS), Engenheiro Civil, M. Sc., Universiae Estaual e Feira e Santana Dep. e Tecnologia. Tel./Fax (75) BR 6 KM 03, Campus - Feira e Santana/BA CEP

2 9 this kin of problem it is necessary to aopt more rigorous methos of esign, consiering the physical, mechanical an geometric properties of reinforce concrete elements. In this work is shown a non-linear metho of calculating the eflections in concrete beams that, using the Virtual Work Principle, analyzes the contribution of steel ratio, type an intensity of loa, creep an shrinkage of concrete. A numerical algorithm was evelope to evaluate the eflection in simply supporte reinforce concrete beams. Results inicating that the Brazilian Stanars are not sufficient to avoi excessive eflections in reinforce concrete beams. KEY WORDS: Reinforce concrete beam; Deflections; Virtual Work Principle. INTRODUÇÃO Deformações excessivas poem alterar a aparência e a eficiência e uma estrutura, além e causar esconforto ou meo para os seus ocupantes e usuários. As mais severas conseqüências, no entanto, são evias aos anos locais, como, fissuração e elementos estruturais e não-estruturais ou rotação excessiva. O controle as eformações, nas normas e imensionamento e concreto armao, é feito através o estabelecimento os Estaos Limites e Utilização que, neste caso, é o estao em que as eflexões ultrapassam os limites aceitáveis para a utilização a estrutura. Para que a estrutura, ou parte ela, não atinja esse estao limite, são estabelecios limites máximos, geralmente como função o vão o elemento estrutural, a serem consieraos quano o cálculo as eflexões. Geralmente, o cálculo e eflexões em vigas é feito através as equações usuais a Resistência os Materiais, as quais são aplicáveis para materiais homogêneos e isotrópicos (aço, por exemplo). Os elementos e concreto armao, no entanto, apresentam várias características próprias que invaliam algumas hipóteses básicas este cálculo: (i) os fenômenos a retração e a fluência o concreto provocam, sob carga constante, eflexões ao longo o tempo; (ii) fissuração na região tracionaa que, essa forma, contribui pouco para a resistência o elemento; (iii) como a forma a fissuração não é conhecia, a variação a inércia o elemento fletio não poe ser avaliaa analiticamente, o que constitui outra limitação e cálculo. Além esses, iversos

3 93 outros fatores influenciam as proprieaes e eformação os elementos e concreto armao, como, taxa e armaura, tipo e intensiae o carregamento, temperatura e umiae o ambiente, etc. A consieração e toas as variáveis que influenciam na eflexão e vigas e concreto armao torna o cálculo mais sofisticao e rigoroso. Por isso, as normas e imensionamento, inclusive a NBR 68 (ABNT,978), aotaram simplificações práticas, como a limitação a esbeltez (relação vão-altura), que tornaram esnecessário o cálculo a eflexão em vigas e lajes usuais. No entanto, como essas limitações consieram apenas alguns os fatores intervenientes nas eflexões, a utilização iniscriminaa as mesmas acaba conuzino a eflexões excessivas nos elementos estruturais. Essa é certamente uma as principais causas este tipo e problema nas estruturas, o qual poe ser facilmente evitao com a utilização e métoos mais precisos. Com as faciliaes computacionais existentes atualmente, é inaceitável que esses métoos não sejam utilizaos, uma vez que conuzem a elementos estruturais mais seguros. O métoo esenvolvio neste trabalho consiera alguns os principais parâmetros que influenciam a eformação em elementos e concreto armao, conuzino a uma maior aproximação os valores e cálculo com os valores reais. A comparação com a norma brasileira e imensionamento, NBR 68 (ABNT, 978), inica que a mesma possui limitações que precisam ser corrigias, pois conuzem a cálculos e limitações errôneos, no que iz respeito à eflexão máxima e vigas e concreto armao. PRESCRIÇÕES NORMATIVAS Dois critérios principais são utilizaos pelas normas e imensionamento e estruturas e concreto armao para controlar as eflexões e elementos estruturais. O principal controle normativo é a limitação a eflexão máxima a ser atingia pelo elemento estrutural. Para garantir que essa limitação vai ser obeecia, sem a necessiae e cálculos mais rigorosos, as normas aotam limites máximos para a esbeltez o elemento estrutural, e forma a poer garantir a integriae estrutural.

4 94. Limitação a eflexão máxima Uma forma e controle a eflexão consiste em limitar o valor a eflexão máxima o elemento estrutural como uma percentagem o comprimento o vão. A NBR 68 (ABNT, 978), item 4.3.., alínea c, inica que nas lajes e vigas as estruturas e eifícios evem ser obeecias as seguintes limitações: a) as flechas meias a partir o plano que contém os apoios, quano atuarem toas as ações, não ultrapassarão / 300 o vão teórico L, exceto no caso e balanços para os quais não ultrapassarão /50 o seu comprimento teórico; b) o eslocamento causao por cargas acientais não será superior a /500 o vão teórico L e /50 o comprimento teórico o balanço.. Limitação a esbeltez A limitação a esbeltez o elemento, notaamente as vigas, tem sio um tipo e controle a eflexão bastante utilizao nas normas e imensionamento estrutural. A tabela inica os valores máximos as relações vão-altura (esbeltez), recomenaos por algumas normas e imensionamento e estruturas e concreto armao. Tabela - Limitação a esbeltez e vigas recomenaa por normas e imensionamento (LIMA, 996) Tipo e apoio NBR 68* (ABNT, 978) ACI 38** (ACI, 99) Esbeltez limite MC 90 (CEB-FIP, 99) CP 4 (BSCP, 969) NS 3473 Ä (NCBS, 99) Bi-apoiaa 7,0 6,0 8,0 8,0 4,0 Contínua 0,4 8,5 3,0,5 5,6 Bi-engastaa 9,0,0 5,0-8,3 Em balanço 8,5 8,0 7,0 9,0 7,0 * Tensão na armaura para solicitação e cálculo igual a 4350 kg/cm (435 MPa). ** Peças não suportano ou ligaas a elementos ou outra construção que possam ser prejuicaos por granes eflexões. fy = psi (44 MPa). Taxa e armaura igual a 0,5%, fyk = 500 Mpa, vãos menores que 7 metros. Tensão maior que 40 MPa no aço, maior que 4 MPa no concreto. Ä fy = 500 MPa.

5 95 A norma DIN 045 (DIN, 978), item 7.7., inica que a esbeltez (L i / h) e componentes sujeitos a tensões e eformações e flexão não poe exceer o valor 35. Em membros que suportam parees, a esbeltez será L i / h 50/L i, one h é a altura efetiva (em metros), e L i = al, seno L o vão o elemento (em metros), e a um coeficiente que epene o tipo e apoio o elemento. 3 DEFORMAÇÕES EM ELEMENTOS DE CONCRETO ARMADO 3. Deformação méia sob tração Seja um tirante e concreto reforçao com barras alinhaas e submetio a esforços e tração, conforme mostra a figura. A primeira fissura aparece quano a resistência à tração o concreto f ct é atingia em uma seção qualquer, que passa a trabalhar no estao II, fissurao. A uma certa istância s essa primeira fissura, a compatibiliae e eslocamentos entre a barra e o concreto é mantia e a seção trabalha e maneira homogênea, aina no estao I. Teoricamente, é somente a partir essa istância s a primeira fissura que a tensão na matriz atinge novamente a resistência à tração e uma nova fissura aparece. f ct Figura Mecanismo e fissuração em tirantes e concreto armao

6 96 A eformação relativa o reforço varia entre o estao I ( es ) e o estao II ( e s ) seno que o seu valor méio é ao por (CEB, 983): ( -z) e ( z) esm = es + s () e s one o coeficiente e repartição, z é ao por: ì æs sr ï - > í ç, paras s s sr z = è s s ø () ï î0, para s s s sr s sr seno a tensão no aço quano a fissuração o concreto e a tensão e serviço. s s 3. Curvatura méia e vigas e concreto armao A eflexão e vigas poe ser eterminaa a partir a integração as curvaturas as quais epenem o carregamento, o móulo elástico o material e o momento e inércia a seção. Em vigas e concreto armao, a curvatura esta iretamente associaa à rotação a seção transversal poeno ser expressa pela relação: M e s - e c = = (3) r E.I one r é o raio e curvatura, M é o momento fletor atuante, E o móulo e Elasticiae, I o momento e inércia em relação ao qual a flexão ocorre, a altura útil, e s é a eformação e tração na armaura e e c é a eformação na fibra e concreto mais comprimia. A curvatura méia e uma viga e concreto armao poe ser calculaa a partir a substituição a equação () em (3), amitino que a eformação méia no concreto obeece à mesma relação que a eformação na armaura, ou seja, que há compatibiliae e eformações. Assim:

7 97 æ M e sm - e cm æ æ ç = = = ( - z ) ç + z ç. è r øm EIm è r ø è r ø (4) æ æ ç e ç one è r ø são as curvaturas no estao I e estao II è r ø (fissurao), respectivamente. Para flexão o coeficiente e repartição é ao por: ìz = 0, M M r ï z = í æ Mr (5) ï - b. b ç. M y ³ M > Mr î è M ø seno M o momento e serviço, M r =Wc fct o momento e fissuração a viga. M y é o momento corresponente ao escoamento a armaura, seno ao por æ f = y M ç y rb fy - 0,59r è fc ø consierano viga subarmaa (PAULAY; PARKER, 975), one p é a taxa e armaura principal, b a largura a viga, a altura efetiva, f y a tensão e escoamento o aço e f c a resistência à compressão o concreto. Graficamente, a relação entre o momento atuante e a curvatura e elementos e concreto armao poe ser representaa pela figura. Figura Relação momento-curvatura esquemática em viga e concreto armao

8 98 Na equação (5) foram introuzios ois coeficientes, b e b, para consierar o tipo e aerência a barra e a influência a uração a carga, respectivamente. Esses coeficientes são aos por: b b ì,0 para barras corrugaas = í î0,5 para barras lisas ì,0 para primeiro carregamento = í î0,5 para carga cíclica 3.. Influência a taxa e armaura, retração e fluência o concreto Para estruturas e concreto, a curvatura total, em um æ tempo t, é a soma a curvatura elástica ç ø, a curvatura evia èr o à fluência, æ e evia à retração, æ ø ç è r ø f ç èr cs æ ç è r ø t æ = ç è r ø o æ + ç è r ø f æ + ç è r ø cs (6) Os ois primeiros componentes o lao ireito a equação (6) poem ser eterminaos a partir a curvatura e base, æ ç = M E. è r ø c I c, calculaa com seção e concreto puro não-fissurao. Utilizano-se coeficientes e correção k que representam a influência e caa um esses parâmetros sobre a curvatura total a viga, teremos: æ ç è r ø o æ = k S ç. (7) è r ø c æ ç èr ø f = ( k k. f. ) S f æ ç èr ø c (8)

9 99 æ ç è r ø e. = ( k ) cs CS cs e cs Na equação (9), é a eformação evia à retração, especificaa e acoro com o cóigo MC 90 (CEB-FIP, 99) como: e = e b b (0) cs s ( f ) ( t - t ) cm RH s ( ) ( ) o one e são coeficientes associaos à s fcm, b RH e b s t - t o resistência à compressão, à umiae e à iae o concreto, respectivamente. Os coeficientes k S, k f e k CS representam a influência a armaura, a fluência e a retração sobre a curvatura a viga e concreto puro, respectivamente, e são aos por (CEB, 983): k I = c S Ibx + a.i () ax (9) ìaa ù é ù ü í ê é a aa + - a aia aa = jú ê + a k f.... j. ú. ý aaa + î Ab ë Ab Ib û ë Ab û þ A b () éaaa ù k.z.. j. cs = ê ú I (3) ë b û one é aa + ù é ai + ù aa + ë û ë û = a a a ê j. ú. ê j. ú j. z (4) Ab Ib Ib j = +f (5)

10 00 teno-se aina: A b, A a seção e concreto ativo e e aço, respectivamente; I c, I b, I a momento e inércia a seção e concreto, e concreto ativo e e aço, respectivamente, com relação ao centro e graviae corresponente; I x,i bx I ax momento e inércia a seção total, e concreto ativo e e aço, respectivamente, com relação a linha neutra; z istância entre a força resultante e tração e a resultante e compressão na seção (braço e alavanca); altura efetiva; a = E s /E c ; (6) f - coeficiente e fluência, especificao e acoro com o cóigo MC 90 (CEB-FIP,99) como: RH ( f ) b( t ) ( t - t ) f = f b b (7) cm o c ( ) ( ) ( ) o one frh, b fcm, b to e b c t - to são fatores e correção associaos à umiae o ambiente, à resistência o concreto, à iae o carregamento e à iae o elemento estrutural, respectivamente. A eterminação o momento e inércia a seção está iretamente associaa à posição a linha neutra que, para seção fissuraa, etermina a porção e concreto comprimia a qual é consieraa como realmente ativa. A posição o centro e graviae e a linha neutra a seção vai variar e acoro com o estao e fissuração a seção. Para o estáio I e para o estáio II, a posição a linha neutra poe ser estabelecia pelas equações (8) e (9), respectivamente: x a = ( AS + A S ) + a( A + A ) + bh S S bh (8) ( A + A ) a( A + A ) a S S é S S ù a =- + + S AS ( A + ) x b ê b ú ë û b (9)

11 0 seno: A s e A s a área e armaura e compressão e tração, respectivamente; e as posições a armaura e compressão e tração, respectivamente, com relação ao topo a seção; h e b altura total a seção e largura a seção, respectivamente. É importante observar que a equação (8) foi euzia e acoro com a hipótese a seção plana, consierano que as eformações e C e es não atinjam valores que façam o concreto e o aço saírem o regime elástico. A equação (9) foi efinia esprezano a contribuição o concreto na região fissuraa. 3.3 Cálculo as eflexões Aplicano a uma estrutura em estao e carregamento o Princípio os Trabalhos Virtuais, é possível efinir a eflexão,, a partir a curvatura esse elemento, ou seja: æ = ò ç Mx (0) è r ø L one M é o momento virtual, evio a uma carga unitária aplicaa na posição em que se eseja calcular a eflexão. Utilizano a equação (0) conjugaa com a curvatura méia, equação (4), poe-se estabelecer a seguinte relação para o cálculo as eflexões: æ æ = ò.m.x = ( ) M..x M.. x r ò -z ç + r òz ç () è ø è r ø m Seno o coeficiente e repartição ao pela equação (5), one o momento M, inicialmente variável ao longo o comprimento a viga, será substituío, por simplificação, pelo momento na seção mais solicitaa a viga M. Essa simplificação permite que a equação () possa ser escrita a seguinte forma: æ æ æ = ò ç M..x-z M..x M..x r òç + z r òç () è ø è ø èr ø

12 0 Assim, pela efinição e z,e utilizano as equações (6)- (9), as eflexões poerão ser eterminaas, para t = 0 e t = t, e quano o momento máximo na viga, M, for inferior ao momento e fissuração, pelas seguintes equações: t = 0 k S = ò t = t k = EI c M M..x ( + k f) S f CS e CS EI c k ò M M..x + (3) Para momento máximo na viga, M, superior ao momento e fissuração, as eflexões poerão ser eterminaas por: ò M.x (4) t = 0 ò S t = t k S b. b æ Mr = M M..x. S EI ò + - c EI ç c M è ø k = S ( + k f f) ò EI + b. b c æ Mr ç. M è ø M M. b. b æ Mr -. EI ç c M k è ø S ( + k f f) ò CS ( kcs - kcs ) ò M.. x e [ k k ] M M.. x b. b æ Mr.x +. EI ç c M k è ø M M. k + S CS ( + k ff) ò e CS ò M.x M M..x (5) (6) seno M o momento atuante ao longo a viga. Os sub-ínices e nos coeficientes e correção inicam que esses foram calculaos com seção não-fissuraa e fissuraa, respectivamente. 4 AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL DO MÉTODO A eflexão calculaa com as equações (3) e (5), propostas para cálculo as eflexões imeiatas e vigas e concreto armao, foi comparaa com resultaos experimentais apresentaos por Dwarakanath; Nagarav (99) para uma viga simplesmente

13 03 apoiaa com uas cargas concentraas, conforme mostra a figura a = mm b = 00.0mm = 8.9 mm r = 0.76% Pa / b (N/mm ) Experimental Moelo proposto Deflexão (mm) Figura 3 Resultaos experimentais (DWARAKANATH; NAGARAV, 99) e teóricos para viga e concreto armao em ensaio e 4 pontos Observa-se uma boa aproximação o resultao numérico com o experimental. Um valor mais conservativo era esperao, consierano a simplificação aotaa no cálculo o coeficiente e repartição, com M = M. Esse fato também está associao com a presença a armaura transversal, que enrijece a viga o experimento, e cujo efeito não é consierao no moelo proposto. 5 INVESTIGAÇÃO NUMÉRICA Estabelecia a equação geral para cálculo a eflexão equações (3) a (6), foi criao um programa computacional, em linguagem Pascal, para o cálculo automático e vigas e concreto armao, simplesmente apoiaas, com várias conições

14 04 e geometria, carregamento e armaura, visano eterminar a influência estes fatores na eflexão. Para eterminação a influência a esbeltez, foi efinia uma viga parão, simplesmente apoiaa, com seção transversal e 5 x 5 cm e vão variável (5 a 55 cm). O carregamento constava e uas cargas concentraas, localizaas a uma istância L/3 o apoio. O valor a carga P foi estabelecio como seno o valor a carga necessário para causar um M y momento,4 foram: taxa e armaura e,00%, e umiae relativa e 85%. no meio o vão a viga. Outros parâmetros estabelecios f = 5 MPa, f 450 MPa c y = Na figura 4, são apresentaos os valores e eflexão em função a esbeltez para iaes e 8 ias e 5 anos. É apresentaa, também, a prescrição a NBR 68 (ABNT, 978) equivalente a uma eflexão L / 300, para efeito e comparação a P P t = 5 anos Deflexão (mm) L = 5 mm b = 50 mm r =,00% a = L/3 t = 8 ias L / Esbeltez (L/) Figura 4 Variação a eflexão e vigas e concreto armao em função a esbeltez Consierano-se apenas a eflexão imeiata, t = 8 ias, observa-se que o limite e eflexão estabelecio pela NBR 68 (ABNT, 978) é aceitável, e uma eflexão maior que L/

15 só será alcançaa para uma esbeltez L/ maior que 3,5, que é maior que aquela exigia pela norma, que é e. Para eflexão a uma iae e 5 anos, no entanto, observa-se que o limite e eflexão só será alcançao para L/ menor que 7. Ou seja, o valor estabelecio como limite pela NBR 68 (ABNT, 978) é insuficiente para assegurar uma eflexão satisfatória quano se consiera a eformação lenta o concreto no cálculo a eflexão. A influência a retração e fluência poe ser melhor avaliaa pelo iagrama carga-eflexão, apresentao na figura 5, para a viga a figura 4 com 3 metros e comprimento. Apesar e a viga possuir uma capaciae máxima, em serviço, e 48 kn, a L observância o estao limite e utilização, max =, faz com 300 que a carga máxima amitia seja 4 kn, amitino a fluência e retração. Ou seja, apenas 30% o valor máximo que a viga poeria atingir Py = 48 kn t = 8 ias t = 5 anos Carga (kn) kn 4 kn 0 0 L / Deflexão (mm) Figura 5 Diagramas carga-eflexão em iferentes iaes Isto inica que o estao limite e eformação é funamental no imensionamento e vigas subarmaas, como a apresentaa na figura 5. Para vigas com maior taxa e armaura, há um

16 06 enrijecimento após a fissuração que conuz a eflexões menores, como poe ser observao nos iagramas carga-eflexão a figura 6. O aumento a taxa e armaura principal e 0,50% para,50% reuziu a eflexão em até 50% r =.50% r =.00% r = 0.50% 40 Carga (kn) Deflexão (mm) Figura 6 Diagramas carga-eflexão para várias taxas e armaura Dois outros critérios avaliaos foram a taxa e armaura e compressão e a umiae o ambiente. O aumento na taxa e armaura e compressão, e 0% para %, reuziu a eflexão máxima em,8%. Uma reução na umiae o ambiente e 85% para 50% ocasionou um aumento e até 0,86% na eflexão máxima. 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS A limitação a esbeltez (relação vão-altura) e vigas e lajes, com o intuito e controlar a eflexão máxima, é um artifício antigo que foi utilizao inicialmente como uma forma e pré-imensionamento a seção o elemento estrutural, facilitano ao projetista a obtenção e um valor próximo a uma seção

17 07 ótima. Com este objetivo as normas inicavam, além as tabelas com a limitação a esbeltez em função o tipo e apoio, fatores e correção relativos à quantiae e armaura e tensões no aço. Seguno Beal (983), esta forma e controle, no entanto, tornava o cálculo estrutural lento e trabalhoso e foi sugerio que se aotasse um único fator e correção que, teno um valor méio, conuzisse a pequenos erros qualquer que fosse a taxa e armaura, e facilitasse o imensionamento estrutural. Verifica-se, no entanto, que a aoção e fatores limitaos e correção, como a esbeltez os elementos estruturais, são insuficientes para impeir a eflexão excessiva e vigas e concreto armao. Conforme apresentao neste trabalho, a taxa e armaura, a fluência e a retração têm uma influência significativa sobre as eflexões, e precisam ser incorporaas em qualquer coeficiente que possa servir e parâmetro para previsão mais simplificaa as eflexões. O métoo não-linear, e que ora se trata, apresenta boa aproximação com resultaos experimentais, aina que uma comparação mais extensiva necessite ser feita, e, por ser abrangente e e fácil implementação, poe ser utilizao para o imensionamento e vigas e concreto armao. AGRADECIMENTOS Ao programa PROBIC/UEFS, pelo apoio financeiro, e ao Núcleo e Computação Aplicao à Engenharia, o Departamento e Tecnologia, pelo suporte computacional. REFERÊNCIAS ACI COMMITTEE 38 ACI (revise 99) - Builing coe requirements for reinforce concrete an ACI 38R-89 (revise 99) - commentary, Manual of Concrete Practice, July 99. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NB- (NBR 68): Projeto e execução e obras e concreto armao - proceimento, Rio e Janeiro, 978.

18 08 BEAL, A. N. Span/epth ratios for concrete beams an slabs. The Structural Engineer, v. 6A, No. 4, Apr BRITISH STANDARD CODE OF PRACTICE CP 4: PART - The structural use of reinforce concrete in builings, Lonon, 969. COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON (CEB) Durable concrete structures: esign guie, Lausanne: Thomas Telfor Services Lt, 99. COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON (CEB) & FEDERATION INTERNATIONALE DE LA PRÉCONTRAINTE (FIP) Moel Coe Design coe, Lausanne : Thomas Telfor Services Lt, 99. DEDUTSCHES INSTITUT FÜR NORMUNG DIN 045: Concrete an reinforce concrete - Design an construction, Berlin, December 978. DWARAKANATH, H.V.; NAGARAV, T.S. Deformational behavior of reinforce fiber reinforce concrete beams in bening. Journal of Structural Engineering, v. 8, No. 0, Oct. 99. LIMA. P.R.L. Análise a urabiliae e estruturas e concreto armao Dissertação (Mestrao em Engenharia Civil) PEC/ COPPE/UFRJ. Rio e Janeiro. NORWEGIAN COUNCIL FOR BUILDING STANDARDIZATION NS 3473 E: Concrete structures esign rules, 4th eition, October 99. PAULAY, T.; PARK, R. Reinforce concrete structures, Singapore: John Wiley & Sons Inc., 975.

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