Universidade Federal de Goiás Instituto de Física. Clodoaldo Valverde

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1 Universidade Federal de Goiás Instituto de Física Estudo e Geração de Estados Não Clássicos em Nanocircuitos: Propriedades e Aplicações. Clodoaldo Valverde Tese apresentada ao Instituto de Física da Universidade Federal de Goiás para obtenção do título de Doutor em Física. Orientador: Professor Dr. Basilio Baseia Co-orientador: Professor Dr. Ardiley Torres Avelar Goiânia 1 de março de 01

2 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) GPT/BC/UFG V15e Valverde, Clodoaldo. Estudo e geração de estados não clássicos em nanocircuitos [manuscrito]: propriedades e aplicações / Clodoaldo Valverde f. : figs., tabs. Orientador: Prof. Dr. Basilio Baseia. Tese (Doutorado) Universidade Federal de Goiás, Instituto de Física, 01. Bibliografia. 1. Função de Wigner. I. Título. CDU:

3 A minha esposa Elianna M. de S. Valverde e a meus filhos, Leonardo Morais Valverde e Guilherme Morais Valverde.

4 Agradecimentos Ao Professor Dr. Basilio Baseia, por ter orientado este trabalho com extrema competência e pelas inúmeras discussões, sugestões e auxílios que muito contribuíram para a realização desta tese. Ao Professor Dr. Ardiley Torres Avelar, por ter co-orientado este trabalho. Ao Prof. Dr. Victor Dodonov, pelas discussões e sugestões que contribuíram para realização do capítulo 4. Ao amigo Emílio Santiago Neves, pela agradável convivência no Instituto de Física. Aos companheiros do Grupo de Óptica Quântica do Instituto de física da Universidade Federal de Goiás. Aos professores do Instituto de Física da Universidade Federal de Goiás, em particular, aos Dr. Marcos Antônio de Castro, Dr. Tertius Lima da Fonseca, Dr. Salviano Leão, Dr. Álvaro de Almeida Caparica, Dr. Ladir Cândido da Silva e Dr. José Nicodemos Teixeira Rabelo. Aos funcionários do Instituto de Física da UFG, em especial ao Gustavo Henrique Pessoa Chaves. A meu pai, minha mãe e meus irmãos, que sempre me deram força ao longo desse trabalho. A meu amigo Sizelizio Alves de Castro, pela agradável convivência e pelas inúmeras motivações no dia à dia. Enfim, agradeço a Deus pela fé que motiva e criação que inspira. Este trabalho foi financiado pela FAPEG.

5 Sumário Lista de Figuras iii 1 Introdução 1 Efeitos Quânticos no Campo Eletromagnético 6.1 Tipos de Efeitos Quânticos no Campo Efeito de Antiagrupamento Estatística Sub-Poissoniana Efeito de Compressão em Quadratura do Campo Oscilações na Distribuição de Número de Fótons Zeros na Distribuição Estatística de Fótons Estados do Campo de Radiação Estados Clássicos Estados Não Clássicos Estado Comprimido Modelo Físico de Nanocircuito Modelo Físico do Acoplamento entre Cooper Pair Box e Ressoador Nanomecânico 1 3. Cavando Buracos na Estatística de Excitações Caso (a): regime ressonante (ω = ω 0 ) Caso (b): interação não ressonante (ω ω o ) Controlando a Inversão de Excitação e a Entropia i

6 3.4 Entropia do Sistema CPB-NR Poder Espectral da Entropia Inversão de Excitação Resultados e Discussões Conclusão Sistemas com Dissipação Equações Básicas e Soluções Gerais Propagador da Equação de Fokker Planck para a Função de Wigner Evolução Temporal da Função de Wigner Caso (a): Superposição Inicial de Estados Coerentes Caso (b): Estado Coerente Negatividade da Função de Wigner Compressão versus Negatividade da Função de Wigner Conclusão Apêndices 93 A Apêndice 93 A.1 Método de Runge-Kutta A.1.1 Runge-Kutta de Segunda Ordem A.1. Runge-Kutta de Quarta Ordem B Apêndice 98 B.1 Cálculo da função de Wigner C Apêndice 104 C.1 Artigos Publicados Referências Bibliográficas 105 ii

7 Lista de Figuras.1 Gráfico ilustrando a ocorrência de agrupamento e antiagrupamento de fótons, g () (0) = 1 mostra a fronteira entre as regiões clássica e quântica Gráfico de P n contra n; (a) para o estado coerente com R = 6, θ = π/; (b) para o estado de número deslocado, com N = 3 e α = Modelo do sistema de Cooper Pair Box acoplado a um Nano-ressoador Evolução temporal da entropia com diferentes coeficientes de decaimento γ, para n = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, f(t) = 0. (a) γ = 0, 0λ 0, (b) γ = 0, 01λ 0, (c) γ = 0, 05λ Evolução temporal da entropia com diferentes dessintonias f(t) = = const, no modelo de amortecimento JC, para n = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, γ = 0, 05λ 0. (a) = 10λ 0, (b) = 0λ Evolução temporal da entropia sob modulações da dessintonia através da função f(t) = c sin(ω t), no modelo de amortecimanto de JC, para n = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, γ = 0, 05λ 0. (a) c = 0λ 0 e ω = 0, 1λ 0, (b) c = 0λ 0 e ω = 0, 5λ Evolução temporal da inversão atômica com diferentes coeficientes de decaimento γ, no modelo de amortecimento JC, para n = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, f(t) = 0. (a) γ = 0, 0λ 0, (b) γ = 0, 01λ 0, (c) γ = 0, 05λ Evolução temporal da inversão atômica com diferentes dessintonias f(t) = = const, no modelo de amortecimento JC, para n = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, γ = 0, 05λ 0. (a) = 10λ 0, (b) = 0λ iii

8 3.7 Evolução temporal da inversão atômica sob modulações da dessintonia através da função seno f(t) = c sin(ω t), no modelo de amortecimanto JC, para n = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, γ = 0, 05λ 0. (a) c = 0λ 0 e ω = 0, 1λ 0, (b) c = 0λ 0 e ω = 0, 5λ Evolução temporal do Power Spectrum normalizado, referente as entropias das figuras 3.. (a) referente a Fig. 3. (a), (b) faz referência a Fig. 3. (b) e (c) referente a Fig. 3. (c) Evolução temporal do Power Spectrum normalizado, referente as entropias das figuras 3.3. (a) referente a Fig. 3.3 (a), (b) faz referência a Fig. 3.3 (b) Evolução temporal do Power Spectrum normalizado, referente as entropias das figuras 3.4. (a) referente a Fig. 3.4 (a), (b) faz referência a Fig. 3.4 (b) Evolução temporal da entropia para o caso de gato par r = 1, com diferentes coeficientes de decaimento γ, para α = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, f(t) = 0. (a) γ = 0, 0λ 0, (b) γ = 0, 01λ 0, (c) γ = 0, 05λ Evolução temporal da entropia para o caso de gato par r = 1, com diferentes dessintonias f(t) = = const, no modelo de amortecimento JC, para α = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, γ = 0, 05λ 0. (a) = 10λ 0, (b) = 0λ Evolução temporal da entropia para o caso gato par r = 1, sob modulações da dessintonia através da função f(t) = c sin(ω t), no modelo de amortecimanto de JC, para α = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, γ = 0, 05λ 0. (a) c = 0λ 0 e ω = 0, 1λ 0, (b) c = 0λ 0 e ω = 0, 5λ Evolução temporal da inversão atômica, para o caso de gato par r = 1, com diferentes coeficientes de decaimento γ, no modelo de amortecimento JC, para α = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, f(t) = 0. (a) γ = 0, 0λ 0, (b) γ = 0, 01λ 0, (c) γ = 0, 05λ iv

9 3.15 Evolução temporal da inversão atômica, para o caso de gato par r = 1, com diferentes dessintonias f(t) = = const, no modelo de amortecimento JC, para α = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, γ = 0, 05λ 0. (a) = 10λ 0, (b) = 0λ Evolução temporal da inversão atômica, para o caso de gato par r = 1, sob modulações da dessintonia através da função seno f(t) = c sin(ω t), no modelo de amortecimanto JC, para α = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, γ = 0, 05λ 0. (a) c = 0λ 0 e ω = 0, 1λ 0, (b) c = 0λ 0, ω = 0, 5λ Evolução temporal do Power Spectrum normalizado, para o caso de gato par r = 1, referente as entropias das figuras (a) referente a Fig (a), (b) faz referência a Fig (b) e (c) referente a Fig (c) Evolução temporal do Power Spectrum normalizado, para o caso de gato par r = 1, referente as entropias das figuras 3.1. (a) referente a Fig. 3.1 (a), (b) faz referência a Fig. 3.1 (b) Evolução temporal do Power Spectrum normalizado, para o caso de gato par r = 1, referente as entropias das figuras (a) referente a Fig (a), (b) faz referência a Fig (b) A função de Wigner W (0, 0, t) para Γ 0 = 1, χ = 0, para diferentes valores de parâmetros σ e k. (a): σ = 1, k = 10; (b): σ = 1, k = 10; (c): σ = 1, k = 0.1; (d): σ = 1, k = 0.1; (e): σ = 1, k = 10; (f): σ = 1, k = A função dewigner W (0, 0, t) para Γ 0 = 1, χ = 0.99 e σ = 0.01, para diferentes valores de parâmetros β e k. (a): β = π, k = 10; (b): β = π/, k = 10; (c): β = π, k = 10; (d): β = π/, k = 10; (e): β = 0, k = 10; (f): β = 0, k = v

10 4.3 A função Wigner W (0, 0, t) para Γ 0 = 1, χ = 0.99 e σ = 0.8, mas para diferentes valores de parâmetros β e k. (a): β = π, k = 10; (b): β = π/, k = 10; (c): β = π, k = 10; (d): β = 0, k = 10; (e): β = π/, k = 10; (f): β = 0, k = O Tempo de Positivação Final (TPF) t como função do coeficiente de amplificação paramétrica k para Γ 0 = 1 e χ = 0.99, mas para diferentes valores dos parâmetros σ e β. (a): σ = 0.01, β = π/; (b): σ = 0.8, β = 0; (c): σ = 0.8, β = π/; (d): σ = 0.01, β = 0. Note que a ordem de curvas com β = 0 e β = π/ depende do parâmetro σ A região do espaço dos parâmetros σ χ onde a função de Wigner do estado coerente par torna-se positivo t < t < t s, mantendo mesmo assim algum grau de compressão p-variável. A curva externa corresponde ao valor máximo possível do parâmetro s definido no Eq. (4.104): s max = A curva interna corresponde s = s max / As seções p = 0 da função de Wigner do estado inicial coerente par x 0 = para dois instantes de tempo: t = 0 [a curva sólida W max = ] e t = t = (a outra curva sólida). A curva pontilhada mostra a densidade de probabilidade inicial de coordenadas πx(x, 0) e a curva tracejada mostra πx(x, t ). Os parâmetros do sistema são: Γ 0 = 1, β = 0, k = 0, σ = 0.005, χ = As seções x = 0 da função de Wigner do estado inicial coerente par, x 0 = para dois instantes de tempo: t = 0 [a curva sólida W max = ] e t = t = (a outra curva sólida). A curva pontilhada mostra (fora de escala) a densidade inicial probabilidade P (p, 0) e a curva tracejada P (p, t ). Os parâmetros do sistema são os mesmos da Fig vi

11 Resumo Neste trabalho utilizamos um arranjo formado de pares de Cooper (Cooper Pair Box, CPB) interagindo com um Ressoador Nanomecânico (NR), para vários estudos: cavar buracos na distribuição estatística de excitações do Ressoador, nos casos ressonante e não ressonante; estudar a evolução da entropia e da inversão de excitação, incluindo perdas no CPB; e estudar a evolução da função de Wigner sob a influência de reservatório. Obtivemos a solução exata da equação mestra descrevendo o amplificador paramétrico não degenerado interagindo com um modelo generalizado de reservatório linear sensível à fase, tendo a forma da equação equivalente ao do propagador de Fokker-Planck para a função de Wigner. Calculamos ainda a função de Wigner descrevendo a evolução temporal da superposição de dois estados iniciais coerentes, tipo gato de Schrödinger, e finalmente, estudamos detalhes da evolução temporal da negatividade desta função, um dos parâmetros indicadores de não classicalidade de estados vibracionais do NR.

12 viii Abstract In this work we used an arrangement consisting of Cooper pairs (Cooper Pair Box, CPB) interacting with a nanomechanical Resonator (NR) for various studies: to produce controlable holes in the statistical distribution of excitations of the NR, for resonant and non-resonant cases; to study the evolution of the entropy and the inversion of excitations, including losses in the CPB; and to study the evolution of the Wigner function under the influence of a reservoir. We have obtained the exact solution of the master equation describing the non-degenerate parametric amplifier interacting with a generalized model of linear phasesensitive reservoir, having the form of the equation equivalent to that of the Fokker-Planck propagator for the Wigner function. We have calculated the Wigner function describing the temporal evolution of a state initially in a superposition of two coherent states, a kind of Schrödinger cat, and finally, we have also studied the temporal evolution of the negativity of this function, one of the indicators of nonclassicality of vibrational states of the NR.

13 Capítulo 1 Introdução Nos últimos anos houve grande interesse na descoberta de novos estados não clássicos do campo eletromagnético quantizado, um dos tópicos de estudo da Ótica Quântica. Embora a quantização desse campo ocorresse em 196, observações de efeitos ópticos quânticos vieram bem depois: o primeiro deles observado em laboratório foi o antiagrupamento de fótons ( antibunching ), por Kimble et al. [1], em 1977, e previsto por Carmichael e Walls [,3] em O segundo efeito: estatística de fótons sub-poissoniana, descoberta por Mandel em 1979 [4]. O terceiro efeito, compressão na quadratura do campo ( squeezing ), foi observado em 1985 por Slusher et al. [5], antes previsto por Stoler et al. [6] em Um quarto efeito, oscilações na distribuição estatística de fótons, foi observado em 1987 por Rempe et al. [7]. Desde então vários outros efeitos ópticos quânticos e estados não clássicos foram sendo estudados, sugeridos e produzidos em laboratórios, um deles sendo o estado superposto gato de Schröedinger. Sua geração foi sugerida por Yurke e Stoler [8], Davidovich et al. [9], etc., e realizada em laboratório pelos grupos de Haroche [10] e Wineland. Mais recentemente, observou-se pela primeira vez em laboratório efeitos de decoerência no campo luminoso [11], permitindo pela 1 a vez acompanhar a passagem de um sistema pela fronteira entre a mecânica quântica e a mecânica clássica. Posteriormente, foi investigado o efeito de teletransporte, 1

14 1. Introdução sugerido por Bennett et al. [1], baseado no caráter não local da mecânica quântica, isto é, na existência de estados entrelaçados (estados entangled ) um cenário aparentemente bizarro, onde conhecemos o estado descrevendo o sistema todo, mas desconhecemos o estado das partes que o compõem. O efeito de teletransporte, do estado de 1 fóton, foi observado no final de 1997 na Áustria, pelo pioneiro grupo de Zeilinger [13], depois melhorado numa experiência que teletransporta o estado de enorme quantidade de fótons [14]. Diversos trabalhos nessa linha apareceram na literatura [15 18]. Além dos estados e efeitos não clássicos estudados teoricamente em diversas situações do campo eletromagnético [19], tornou-se também importante investigar vários esquemas de geração dos mesmos [0, 1]. Nessa linha de estudo, dois casos principais emergem: (i) campo estacionário numa (boa) cavidade; e (ii) campo viajante através de fibras ópticas, beam splitters, etc. Para ambos várias propostas foram apresentadas na literatura [, 3]. A extensão dessas investigações para sistemas atômicos foi também considerada. Nesse caso, o sistema focalizado não é mais um campo na banda óptica ou campo na banda microonda, aprisionados em cavidades de alta qualidade, mas sim átomos aprisionados em armadilhas magneto-ópticas [4, 5]. No caso de campo interagindo com átomos numa cavidade sejam átomos comuns interagindo com modos de cavidade óptica, ou átomos gigantes, de Rydberg, interagindo com modos de cavidade microonda,é bem menor o número de trabalhos envolvendo interação átomo-campo, onde o acoplamento entre os subsistemas e/ou a frequência atômica são dependentes do tempo [6 9], incluindo-se ainda o caso de amplitudes t- dependentes [30]. O estado de dois qubits (qubit é um bit quântico) com um grau desejado de

15 1. Introdução 3 emaranhamento, pode ser gerado usando um acoplamento átomo-campo t-dependente [31]. Tal acoplamento pode alterar as propriedades dinâmicas do átomo e do campo com transições envolvendo grande número de fótons [3]. Também, para tempos pequenos de operação, costuma-se negligenciar o decaimento atômico. Tratamentos teóricos tradicionais usam o modelo de Jaynes-Cummings (JCM) e, quando mais realistas, incluem a dissipação do nível atômico excitado e/ou a dissipação no campo; os resultados mostram que dissipações levam à deterioração de estados do sistema ou de seus componentes. Neste trabalho estudamos um sistema vantajoso do ponto de vista experimental, composto de um Cooper Pair Box (CPB) interagindo com um ressoador nanomecânico (NR). Esse sistema tem sido utilizado no estudo de medidas quânticas não-demolidoras e no estudo da descoerência de estados não clássicos, como estados superpostos e estados quanticamente entrelaçados ( entangled ) descrevendo sistemas mesoscópicos ou macroscópicos. Com efeito, o rápido avanço nas técnicas de fabricação em nanotecnologia levou ao interesse do átomo, tendo em vista a importância em aplicações modernas, de amplo uso em diversos domínios, como em biologia e astronomia; na computação e informação quânticas; na implementação do qubit quântico [33] e na geração de estados não clássicos, como estados de Fock, estados superpostos, como gato de Schrödinger, estados comprimidos [34], clusters de estados [35], etc. Em particular o CPB associado ao NR tem sido usado para gerar estados emaranhados [36,37]. Um dos objetivos perseguidos nesse trabalho é verificar o comportamento de estados emaranhados descrevendo o sistema CPB-NR através do modelo de Jaynes-Cummings, analisando a dissipação de energia durante a transição no CPB isolado, de um nível de excitação superior para o nível fundamental. Tem-se como objetivo também ve-

16 1. Introdução 4 rificar se, e como, a variação temporal do acoplamento CPB-NR pode alterar as propriedades dinâmicas dos estados do CPB e NR. Investigaremos também a evolução da entropia quântica e a inversão de excitação no CPB. Há evidências de que recursos de produção de entropia, incluindo seu power spectrum no estado estacionário e em subsistemas, podem ser utilizados como critérios dinâmicos de caos quântico [38, 39]. O caos quântico adquiriu uma relevância especial no contexto do processamento de informação e computação quânticas [40, 41], na medida em que se reflete na forma em que descoerência e emaranhamento surgem em um sistema de qubits [4]. A produção de entropia significa aumento da desordem e poderia ser usada, neste contexto, como uma medida natural de descoerência. Parece adequado olhar para as várias características da entropia a fim de fórmular um satisfatório e suficiente critério dinâmico universal para o caos quântico. O grau de emaranhamento, representado pela entropia em determinadas circunstâncias, também mostrou-se sensível à presença de caos clássico [43, 44]. Neste trabalho também estudaremos a função de Wigner dependente do tempo, supondo o NR inicialmente num estado coerente e também em superposição de estados coerentes, em que obteremos expressões gerais para os resultados. Com expressões gerais estudaremos a influência de diferentes parâmetros sobre a evolução das diversas quantidades que caracterizam a não classicalidade dos estados envolvidos. Neste ponto, consideramos apenas dois indicadores de não classicalidade: o grau de compressão squeezing e a negatividade da função de Wigner. Esta função é frequentemente usada como uma medida simples de não classicalidade [45 50]. Esta quantidade foi medida em experimentos recentes [51,5]. Como é sabido, sistemas acoplados a reservatórios são levados eventualmente

17 1. Introdução 5 a perda de propriedades não clássicas, tanto pela atenuação quanto pela amplificação que reservatórios podem causar [53 55]. Em vista disso, podemos especular se o aumento do coeficiente de amplificação paramétrica, mantendo fixos os parâmetros do reservatório, pode tornar o sistema quântico menos sensível à influência destrutiva do reservatório simulador do environment. Este trabalho foi dividido da seguinte forma: no capítulo, fazemos uma revisão dos efeitos quânticos do campo eletromagnético; no capítulo 3, introduzimos o modelo de acoplamento CPB-NR para tratar um método de cavar buracos na distribuição estatística de excitações do NR, considerando os casos ressonante e também não ressonante; também estudamos a evolução da entropia e a inversão de excitação, incluindo perdas no CPB. No capítulo 4, estudamos a evolução da função de Wigner sob a influência do reservatório, onde tratamos os casos de reservatório de ganho e perda, incluindo os sensíveis à fase.

18 Capítulo Efeitos Quânticos no Campo Eletromagnético Desde o trabalho pioneiro de Glauber [56] em 1963, de algum modo inspirado no laser descoberto em 1960, um estudo extensivo do campo de radiação quantizado (CRQ) foi feito na literatura, principalmente após a detecção do efeito de antiagrupamento de fótons antibunching [] em 1977, constituindo-se na primeira prova conspícua de efeito quântico exibido pelo campo luminoso [57]. Vários outros efeitos quânticos exibidos pelo CRQ foram descobertos em seguida, tais como: estatística sub-poissoniana [4], compressão em quadratura do campo squeezing [6], oscilações [58] e buracos [59] na distribuição estatística de fótons, P n, etc. A identificação de efeitos quânticos no campo resulta quando o operador densidade de estados ˆρ, descrevendo o CRQ, não pode ser representado na base de estados coerentes por uma quasi-distribuição de Glauber-Sudarshan regular, ou seja, quando esta distribuição apresenta singularidades e/ou valores negativos [56]. Esses resultados experimentais mostraram, desde 1977, que em diversos cenários a quantização do campo eletromagnético tornava-se uma necessidade, pois o tratamento clássico falhava. Além dos efeitos quânticos mencionados, existem ainda outros em que a quantização do campo é requerida, incluindo o caso em que o campo possa ser o mais clássico dentre os quânticos, como o caso do estado coerente 6

19 .1 Tipos de Efeitos Quânticos no Campo 7 α. Como outros exemplos nos quais a quantização do campo é necessária, citamos: (i) o colapso & ressurreição ( collapse-revival ) da inversão atômica W (t) = Ψ ˆσ z (t) Ψ [60], sendo ˆσ z o operador inversão atômica e Ψ = Ψ a Ψ c o estado inicial descrevendo o sistema acoplado átomo-campo, nos estados Ψ a e Ψ c respectivamente; nesse exemplo ocorre efeito quântico na inversão atômica mesmo que o campo esteja inicialmente num estado coerente, Ψ c = α, o mais clássico dentre os quânticos, embora o efeito não ocorra se o campo estiver no estado mais quântico, como de Fock, Ψ a = N ; (ii) dispersão dos átomos por um campo estacionário [61], onde o estado do campo numa cavidade de alta qualidade é obtido através dos dados atômicos; (iii) superposição quântica macroscópica, nomeada na literatura como gato de Schrödinger [6]; (iv) correlação não local [63], levando ao processo de teletransporte [64]; (v) o emaranhamento quântico ( entanglament ) de estados [65], um efeito importante para a engenharia de estados quânticos [66], computação quântica [67], criptografia quântica [68], teletransporte quântico [13] e geração de campos não clássicos, estacionários em cavidades [10] ou de campos viajantes em divisores de feixes beam splitters [69]; (vi) interferência no espaço de fase [58];(vii) tomografia quântica [70]; (viii) endoscopia quântica [71]; (ix) decoerência quântica de estado previamente preparado em cavidade devido a sua interação com o meio ambiente [6, 7], etc..1 Tipos de Efeitos Quânticos no Campo.1.1 Efeito de Antiagrupamento Como mencionado acima, o efeito de antiagrupamento de fótons antibunching foi o primeiro efeito quântico observado no campo luminoso. Esse efeito foi previsto em 1976 por H.J.

20 .1. Estatística Sub-Poissoniana 8 Carmichael [3] através do estudo da função de correlação de segunda ordem, g () (τ), dada por g () (τ) = â (τ)â (0)â(0)â(τ) â (τ)â(τ), (.1) onde â e â são respectivamente os operadores criação e aniquilação de fótons. O efeito ocorre quando g () (τ) pertence ao intervalo [0, 1), ou seja, 0 g () (τ) < 1. O estado coerente α, tal que â α = α α, é neutro, isto é: g () (τ) = 1, não exibindo agrupamento ou antiagrupamento. O efeito significa probabilidade diminuída, em relação ao estado coerente, de detectar um segundo fóton no estado do campo, após o tempo τ da detecção de um primeiro fóton. No usual efeito de agrupamento, essa probabilidade de detecção g () (τ) é sempre maior num campo em estado não coerente do que a obtida no coerente. Se g () (τ) > 1, dizemos que os fótons do campo estão agrupados bunching ; se g () (τ) < 1, estão antiagrupados. Para explicar o antiagrupamento é necessário quantizar o campo de radiação. Quando g () (τ) = 1 temos o limite entre a região clássica e a região quântica. A Figura 1 mostra o gráfico de g () (τ) contra τ. A região clássica g () (τ) > 1 foi obtida em 1956 por Brown e Twiss [73]; a região limite g () (τ) = 1 foi encontrada por Arecchi et al. [74]; a região quântica g () (τ) < 1 foi encontrada por Kimble et al. [1]..1. Estatística Sub-Poissoniana O campo de estatística sub-poissoniana é caracterizado pela variânça do número de fótons, ˆn, ser menor que o número médio de fótons n, ou seja: ˆn < n; o caso oposto ˆn > n caracteriza um campo super-poissoniano. Quando ˆn = n o campo apresenta uma estatística Poissoniana, característica dos estados coerentes. Um dos parâmetros usados

21 .1.3 Efeito de Compressão em Quadratura do Campo 9 Figura.1: Gráfico ilustrando a ocorrência de agrupamento e antiagrupamento de fótons, g () (0) = 1 mostra a fronteira entre as regiões clássica e quântica. para determinar se a estatística do campo é sub- ou super-poissoniana, é o fator de Fano, dado pela relação F = ˆn n. (.) Assim, para F > 1 temos uma estatística super-poissoniana, para F < 1 temos estatística sub-poissoniana e para F = 1 a estatística é Poissoniana [4]..1.3 Efeito de Compressão em Quadratura do Campo Definindo os operadores de quadratura hermitianos ˆx 1 = (â + â ) e ˆx = (â â ), (.3) i com [ â, â ] = 1, [ˆx 1, ˆx ] = i/, e respectivas variânças ˆx i = ˆx i ˆxi (i = 1, ), (.4)

22 .1.4 Oscilações na Distribuição de Número de Fótons 10 encontramos que, para o estado coerente, ˆx 1 = ˆx = 1/4 e ˆx 1 ˆx = 1/4. Agora, o efeito de compressão ( squeezing ) [6] acontece quando ˆx 1 < 1/4 ou ˆx < 1/4 (nunca ambos simultaneamente devido à relação de incerteza de Heisenberg ˆx 1 ˆx 1/4 ). O desenvolvimento teórico prevendo o efeito de compressão em quadraturas do campo iniciou-se por volta de 1970 [6], mas sua comprovação experimental ocorreu apenas em 1985 [5]..1.4 Oscilações na Distribuição de Número de Fótons Oscilações na distribuição de número de fótons evidenciam a granularidade dos fótons e este efeito está relacionado à ocorrência de interferência no espaço de fase. A distribuição de número de fótons é definida como P n = n ˆρ n = ρ n,n, onde ˆρ descreve um determinado estado do campo (ˆρ = Ψ Ψ quando o estado for puro; ˆρ = Ψ P Ψ Ψ Ψ quando o estado for uma mistura estatística de estados puros Ψ ; P Ψ é a probabilidade de encontrar o campo na componente pura Ψ ). As distribuições de número de fótons mais conhecidas são: uma função monotonicamente decrescente, característica de estados térmicos ou caóticos (estados de mistura) [57]; uma função Poissoniana que apresenta um máximo para n = α, característica dos estados coerentes (estados puros), denotados pelo ket α. No estado comprimido (estado puro, squeezed ), a distribuição de número de fótons apresenta-se mais larga ou mais estreita, conforme qual das duas quadraturas do campo, ˆx 1 ou ˆx, foi comprimida. Essa característica foi observada primeiramente por Schleich et al. [58]. Estes estados podem exibir oscilações na distribuição de fótons, P n, sendo um efeito que também caracteriza a não classicalidade do campo, explicado em termos da interferência

23 .1.5 Zeros na Distribuição Estatística de Fótons 11 no espaço de fase. Além do estado comprimido, existem vários outros estados do campo quantizado que podem apresentar oscilações em P n, tais como: (i) a superposição de dois estados coerentes, Ψ = η ( α 1 + α ), cf. Fig.. (a), com α 1 = Re iθ e α = Re iθ, sendo η o fator de normalização [75]; (ii) o estado de número comprimido [76] Ψ = z, N, no qual z = r, sendo r 1; (iii) o estado de número deslocado [76] Ψ = α, N = ˆD(α) N (Fig.. (b)), sendo ˆD(α) o operador deslocamento de Glauber. Figura.: Gráfico de P n contra n; (a) para o estado coerente com R = 6, θ = π/; (b) para o estado de número deslocado, com N = 3 e α = Zeros na Distribuição Estatística de Fótons Estados que exibem zeros na distribuição estatística do número de fótons, P n, caracterizam estados não clássicos [59] em consequência de um teorema de de M. Hillery [77], pois eles são estados puros não coerentes. Um exemplo de estado com muitos zeros na sua distribuição do número de fótons, isto é, P n = 0 para muitos valores de n, é dado pela superposição

24 .1.5 Zeros na Distribuição Estatística de Fótons 1 de dois estados coerentes: α ± α [78]. Mais recentemente [79] foram observados outros cenários de estados tendo 1 ou mais zeros em P n. A geração de cada um desses estados, incluindo o controle experimental dos referidos zeros, foi proposta em 001 [0]. Todos os efeitos mencionados na Seção.1 referem-se a estados não clássicos. A razão desse nome é que estes estados não correspondem à representação P (α) de Glauber-Sudarshan, ou seja, não satisfazem à condição que seja P (α) 0 e regular [57, 59]. Atualmente, existem vários outros efeitos como, por exemplo, aqueles envolvendo a interação átomo-campo, onde a negatividade ou irregularidade da distribuição P (α) não é evidente ou mesmo nem ocorre, mas a quantização do campo eletromagnético se faz necessária para explicar resultados. Esse é o caso do efeito de colapso & ressurreição da inversão atômica ˆσ z (t) = Ψ ˆσ z (t) Ψ : para campo inicialmente em estado coerente, sua explicação requer a quantização do campo, apesar de o estado coerente ser o estado do campo luminoso mais clássico dentre os quânticos. O efeito de colapso & ressurreição na inversão atômica exige mais a quantização do campo do que o próprio campo ser quântico, já que o efeito não ocorre para campo em estados de Fock, o mais quântico de todos. A dispersão de átomos por um campo estacionário [57, 80], correlação não local [63] e emaranhamento de estados [65], são outros exemplos que também requerem a quantização do campo.

25 . Estados do Campo de Radiação 13. Estados do Campo de Radiação..1 Estados Clássicos Estado Térmico No caso de ondas eletromagnéticas emitidas por fontes em equilíbrio térmico à temperatura T, o operador densidade de estados ˆρ, deve ser escrito na forma de estado de mistura. ˆρ th = ( ) exp Ĥ/k BT [ ], (.5) T r exp( Ĥ/k BT ) onde é o fator de normalização e [ ( )] Ĥ T r exp, (.6) k b T ( Ĥ = ω ˆn + 1 ), (.7) é a hamiltoniana do sistema. O fator de normalização pode ser escrito da seguinte forma: [ ( )] Ĥ T r exp k b T ( ) Ĥ = n exp n k n=0 b T ( ) ω ( ) ωn = exp exp, (.8) k B T k B T n=0 e sendo, ( ) ω exp < 1, k B T a somatória resulta em uma série geométrica e ( nx) = n=0 1. (.9) 1 e x

26 ..1 Estados Clássicos 14 Desse modo, [ ( )] ( Ĥ exp T r exp = ( k b T 1 exp ω k B T ) ω k B T ) = Z, (.10) onde Z é a função de partição com energia E n = ω(n + 1/). Assim, usando a completeza da base de número n=0 n n = 1, podemos escrever ˆρ th na forma, ˆρ th = n =0 n=0 n n ˆρ th n n, (.11) e obtemos, ˆρ th = 1 Z exp ( E n ) n n. (.1) n=0 O número médio de fótons é obtido da expressão genérica, n = ˆn = T r(ˆnˆρ th ) = n ˆnˆρ th n, (.13) n=0 e fazendo uso da relação, n=0 ( ne ( nx) = d ) e ( nx) dx n=0 ne ( nx) = n=0 e x (1 e x ), (.14) encontramos, n = = ( exp ( 1 exp ( exp ω k B T 1 ω k B T ) ω k B T ) ). (.15) 1 O estado térmico exibe estatística super-poissoniana, agrupamento de fótons g () (0) > 1 e não apresenta efeito de compressão, já que o ruído nas duas quadraturas é maior que 1/4,

27 .. Estados Não Clássicos 15 apresentando tradicional anticompressão. E nenhum outro efeito não clássico é apresentado por esse estado. Portando o estado térmico é clássico. Além disso, ele não é estado puro, sendo descrito por operadores densidade ˆρ, e nunca por funções de onda Ψ(r) ou kets de Dirac Ψ. Estados puros podem também ser descritos por operadores densidades, mas estados de mistura só dispõem dessa única alternativa. Estado Coerente O estado α, autovetor do operador de aniquilação â, â α = α α, assim como o operador densidade ˆρ = α α, descrevem o campo eletromagnético em estado puro, coerente. Ele pode ser escrito também na forma α = ˆD(α) 0, onde ˆD(α) é o (unitário) operador deslocamento [81], ˆD(α) = exp [ αâ α â ]. (.16) Estados coerentes exibem estatística Poissoniana, g () (0) = 1, mas não exibem efeito de agrupamento, nem antiagrupamento de fótons, pois estão na fronteira entre estados clássicos e quânticos. Também não exibem efeito de compressão do ruído nas quadraturas, e tampouco exibem anticompressão, pois neles ˆx 1 = ˆx = 1/4. Mas o estado coerente é um estado de mínima incerteza. De acordo com um teorema de Hillery [77], todo estado puro que não for coerente é quântico... Estados Não Clássicos Estado de Número Os estados de número n, também conhecidos como estados de Fock, são autoestados de energia do oscilador harmônico, podem estar associados a um modo do campo eletro-

28 .. Estados Não Clássicos 16 magnético; são definidos como ˆn n = â â n = n n. (.17) A discretização do número de excitações para cada modo evidencia o caráter quântico do campo luminoso. Enquanto os modos de campos em cavidades formam um conjunto discreto e modos de campos viajantes formam um conjunto contínuo, as excitações em cada modo do campo, nos dois casos, são sempre discretizadas. Estas excitações podem ser vistas como ondas com amplitudes restritas a valores discretos ou como fótons, as excitações elementares do campo quantizados. Por isso se diz que estados de Fock estão associados à intensidade do campo ou ao seu número de fótons. Estas duas abordagens, corpuscular e ondulatória, são complementares e facilitam a compreensão de certos fenômenos. Estes estados podem ser obtidos pela repetida atuação do operador de criação â no estado de vácuo 0, como segue n = (â ) n n! 0. (.18) O conjunto deles { n } forma uma base de estados, ou seja, satisfazendo as relações de ortonormalidade e completeza, n m = δ n,m ; n n n = 1. Enquanto a distribuição estatística de número de fótons num estado Ψ é da forma P n (Ψ) = n Ψ, que pode se tornar complicada dependendo do estado Ψ, ela assume uma forma bem simples no caso de estado de Fock N, P n (N) = n N = δ n,n, (.19) onde somente a componente N contribui para a distribuição. O valor médio resulta ˆn = n = N ˆn N = N, com incerteza nula no número de fótons ( ˆn (n) = ˆn ˆn = 0),

29 .. Estados Não Clássicos 17 como o esperado, visto que no estado de Fock o número de fótons é bem definido. Função de correlação de a ordem: No estado de Fock N temos, para N 0, g N(0) = 1 1 N < 1, (.0) mostrando que este estado exibe o efeito de antiagrupamento, tanto mais pronunciado quanto menor for o valor de N 0, inteiro. Fator Q de Mandel: no estado de Fock temos, Q = ˆn n n = 0 N N = 1, portanto exibindo o máximo efeito sub-poissoniano (Q = 1), independente de N, N 0. Ao contrário do efeito anterior, que dependia de N, sendo N grande o efeito de antiagrupamento é pequeno, para N pequeno o antiagrupamento é grande. Compressão no ruído Quântico squeezing : As dispersões nas quadraturas, calculadas num estado de número, são dadas por ˆX 1 = ˆX = (n + 1)/4 1/4, (.1) mostrando que o estado n não exibe o efeito de compressão: isto é, nele não ocorre que ˆX 1 < 1/4, i = 1 ou, não simultâneos. Em resumo, o estado de número exibe os efeitos não clássicos de antiagrupamento de fótons e estatística sub-poissoniana. Mas não exibe o efeito de compressão de ruído quântico abaixo do ruído de vácuo. Basta exibir um dos três efeitos ou mesmo algum outro para caracterizar-se como estado não clássico. A ocorrência de qualquer desses efeitos torna a função de quasi-probabilidade P (α), de Glauber, negativa ou mais singular que uma δ-dirac.

30 ..3 Estado Comprimido 18 A proposta de preparação de um campo luminoso num estado de número foi anunciada em 198, por Mandel. Porém, sem sucesso. Outras propostas surgiram posteriormente. Elas se mostraram razoáveis apenas para valores pequenos de N ( N 5 )...3 Estado Comprimido Enquanto α é definido como autovetor do operador â, o estado comprimido β = Ŝ(z) α é definido como autovetor do operador ˆb = µâ + νâ [8]. Assim temos: ˆb β = β β [83], onde se exige que a transformação seja canônica, isto é, [â, â ] = [ˆb, ˆb ] = 1, o que acarreta µ ν = 1. Notamos que se ν 0, temos ˆb â e β α. Agora, enquanto tínhamos para α a relação α = ˆD(α) 0, (.) [ na qual ˆD(α) = exp αâ α â ] é o (unitário) operador deslocamento de Glauber, agora temos β = Ŝ(z) α, (.3) onde Ŝ(z) é o (unitário) operador compressão [83], dado por Ŝ(z) = exp [ (zâ z â )/ ]. (.4) Notamos então que, β = Ŝ(z) α = Ŝ(z) ˆD(α) 0 ˆD(α)Ŝ(z) 0, (.5) uma vez que os operadores Ŝ(z) e ˆD(α) não comutam entre si. Escrevendo z na forma polar z = re iθ, obtemos a relação entre os dois pares de parâmetros r, θ e µ,ν. Assim, µ = cosh r, ν = e iθ sinh r. (.6)

31 ..3 Estado Comprimido 19 A hamiltoniana geradora do efeito de compressão é quadrática em â e â, na forma Ĥ = ϖâ â + λ ( â + â ), (.7) sendo que a constante λ determina o acoplamento do campo com um meio material não linear. Este acoplamento produz a compressão no estado do campo. Estado de Fase Um 4 0 tipo de estado não clássico do campo de radiação é o estado de fase, θ m, complementar do estado de número. Estados de fase, bem como operadores fase ˆφ, têm sido ingredientes polêmicos tanto na Mecânica Quântica quanto na Ótica Quântica, desde a proposta pioneira de Dirac em 197. Ele propôs a relação de comutação para os operadores número e fase [83], [ ˆφ, ˆn] = i. (.8) No entanto, a igualdade acima acarretava a relação de incerteza ˆn ˆφ 1/, a qual, para ˆn 1 implicava ˆφ > π, isto é, uma incerteza na fase maior que π, resultado sem sentido físico. Outras contradições ocorriam ainda. Em 1964, Susskind e Glogower (SG) [84] avançaram mais no assunto, introduzindo os operadores fase Û = (e i ˆφ) SG = â 1 ˆn = n n + 1, (.9) n=0 e Û = (e i ˆφ) SG = â 1 ˆn = n + 1 n. (.30) n=0 No entanto, tais operadores levavam a outro problema: o operador Û = ei ˆφ não era unitário, pois, ÛÛ = 1 enquanto Û Û = Sendo e i ˆφ não unitário, acarretava ˆφ não ser

32 ..3 Estado Comprimido 0 hermitiano. Um bom operador fase deveria ser hermitiano, pois a fase é um observável e a Mecânica Quântica associa observáveis a operadores hermitianos, nessa ordem. Diante desta situação complicada cogitou-se abrir mão desse tradicional requisito, conforme o artigo de Levy-Leblond [85], intitulado: Who is afraid of non-hermitian operators?. O problema foi contornado bem mais tarde, por Pegg e Barnett (PB) [86,87], que definiram o estado de fase truncado (limite superior finito, antes de terminar cálculos usando esse estado), θ m = N N n=0 e inθm n, (.31) no qual θ m = θ 0 + ( ) π m, (m = 0, 1,,..., N), (.3) 1 + N sendo θ 0 uma fase de referência arbitrária. O operador fase foi então redefinido como ( e i ˆφ ) P B = ( e i ˆφ ) SG + ei(1+n)θ 0 n 0, (.33) sendo ( e i ˆφ ) SG o operador de fase de Susskind-Glogower. Importante notar que enquanto os operadores fase de SG são de levantamento e abaixamento, os de PB são cíclicos. A novidade introduzida por PB é o termo adicional na Eq.(.33). Além disso, o procedimento de cálculo de valores esperados e outros exige que as contas sejam feitas no espaço de Hilbert truncado, de dimensão finita N + 1 e, apenas ao final, se faça o limite N.

33 Capítulo 3 Modelo Físico de Nanocircuito 3.1 Modelo Físico do Acoplamento entre Cooper Pair Box e Ressoador Nanomecânico Existe na literatura uma gama de arranjos usando o SQUID-base, onde o CPB de carga qubit consiste de duas junções de Josephson supercondutoras em um loop. Diferente do que havia na literatura, o modelo mostrado na Fig. 3.1 foi inspirado por Zhou et al. [34] e Jie- Qiao Liao et al. [33]. Neste modelo, substituimos cada junção de Josephson por duas delas, criando assim uma nova configuração com um loop. Um supercondutor CPB de carga qubit é ajustado por uma tensão V 1 na entrada do sistema, através de um capacitor com capacitância C 1 na entrada. O presente modelo é para alcançar um eficaz efeito de tunelamento da energia de Josephson. Na configuração da Fig. 3.1 podemos observar três loops: um pequeno loop à esquerda, outro à direita e um grande loop no centro. Desta forma, facilita-se o controle dos parâmetros externos do sistema, pois o mecanismo irá conter a tensão de entrada V 1 e três fluxos externos Φ L, Φ r e Φ t. Com o controle dos parâmetros externos induzimos pequenos loops nos lados esquerdo e direito e no centro. O grande loop contém o NR e, como este oscila, a área efetiva no centro do arranjo sofre mudanças criando um fluxo externo Φ t, conferindo ao sistema um acoplamento entre o CPB e o NR. Neste trabalho consideramos 1

34 3.1 Modelo Físico do Acoplamento entre Cooper Pair Box e Ressoador Nanomecânico Figura 3.1: Modelo do sistema de Cooper Pair Box acoplado a um Nano-ressoador. ħ = 1 e assumimos como idênticas as quatro junções Josephson em nosso sistema, com mesma energia Josephson E 0 J, e os fluxos externos Φ L e Φ r sendo idênticos na magnitude, mas de sinais opostos: Φ L = Φ r = Φ x. Assim, podemos escrever a hamiltoniana do total do sistema na forma, H = H NR + H CP B + H J, (3.1) onde H NR = ωa a é o hamiltoniano do NR, H CP B = 4E C ( ˆN N 1 ) é o hamiltoniano do cooper e H J = (E 1 E ) cos(ˆθ) cos(ϕ/) (E E 1 ) sin(ˆθ) sin(ϕ/) é o hamiltoniano de Josephson. Onde ˆN representa o excesso de pares de cooper na ilha condutora, considerando as energias de josephson iguais temos: H J = E J cos(ˆθ) cos(ϕ/), (3.) onde ϕ = π(φt+φx) Φ 0 e lembrando a relação exp(±iˆθ) n = n ± 1, temos:

35 3.1 Modelo Físico do Acoplamento entre Cooper Pair Box e Ressoador Nanomecânico 3 ( H = ωa a + 4E c N 1 1 ) σ z 4EJ 0 cos ( πφx Φ 0 ) cos ( πφt Φ 0 ) σ x, (3.3) onde a (a) é o operador de criação (aniquilação) do NR de frequência ω e massa m; E 0 J e E c são respectivamente as energia de cada junção de Josephson e a energia de carga de um único-eletron; C 1 e C 0 J são a capacitância de entrada e a capacitância de cada túnel de Josephson respectivamente; Φ 0 = h/e é o fluxo quântico e N 1 = C 1 V 1 /e é o número de carga na entrada com a tensão de entrada V 1. Matrizes de Pauli foram usadas para descrever operadores de ação no sistema, onde os estados g e e descrevem o número extra de pares de Cooper na ilha supercondutora. Assim temos os seguintes ingredientes, σ z = e e g g, (3.4) σ x = g e + e g, (3.5) e Φ L = Φ r = Φ x, (3.6) E C = O fluxo magnético pode ser escrito como a soma de dois termos, e (C 1 + 4C 0 J ). (3.7) Φ t = Φ b + Blx, (3.8) onde Φ b é o fluxo induzido correspondente a posição de equilíbrio do ressoador nanomecânico e Blx descreve a contribuição devido à vibração do NR, sendo B o campo magnético criado no loop. Assumimos que o deslocamento x pode ser escrito como x = x 0 (a + a), (3.9)

36 3.1 Modelo Físico do Acoplamento entre Cooper Pair Box e Ressoador Nanomecânico 4 onde x 0 = mω/ é amplitude do movimento. obtemos Substituindo a Eq.(3.8) na Eq.(3.3) e usando relações trigonométricas elementares ( H = ωa a + 4E c N 1 1 ) σ z 4EJ 0 cos ( ( ) πφb πblx [ cos Φ 0 ) cos Φ 0 ( ) πφx Φ 0 ( πφb sin Φ 0 ) sin ( πblx Φ 0 (3.10) )] σ x. (3.11) Podemos então controlar o fluxo Φ b para ajustar o sistema ao que segue, e desta forma obter, ( ) ( ) πφb πφb cos = 0, sin = 1, (3.1) Φ 0 ( H = ωa a + 4E c N 1 1 ) σ z 4EJ 0 cos Φ 0 ( πφx Φ 0 ) sin ( πblx Φ 0 ) σ x. (3.13) Na aproximação em que sin(ζ) = ζ, onde ζ pequeno temos, sin(ζ) = ζ = πblx Φ 0, (3.14) resultando, pela sua substituição na Eq. (3.13), ( H = ωa a + 4E c N 1 1 ) ( σ z 4EJ 0 πφx cos Φ 0 ) ( πblx Φ 0 ) σ x (3.15) H = ωa a + 1 ω 0σ z + λ 0 (a + a)σ x, (3.16) onde o acoplamento constante λ 0 e a enegia efetiva de separação ω 0 podem ser escritos como ( ) ( ) λ 0 = 4EJ 0 πφx πblx0 cos, (3.17) Φ 0 Φ 0 ( ω 0 = 8E c N 1 1 ). (3.18)

37 3. Cavando Buracos na Estatística de Excitações 5 3. Cavando Buracos na Estatística de Excitações 3..1 Caso (a): regime ressonante (ω = ω 0 ) Podemos escrever o hamiltoniano da Eq.(3.16) na representação de interação, Ĥ I = Û 0ĤÛ0 i Û Û0 0 t, (3.19) onde [ ( Û 0 = exp i ωa a + ω 0σ z ) ] t. (3.0) Fazendo ω 0 = ω e usando σ z = σ + σ σ σ +, σ ± = (σ x ± iσ y ) /; σ y = ( g e e g )/i, onde σ + = e g e σ = g e, encontramos a simplificação, Ĥ I = β ( â σ + âσ + ), (3.1) onde β = λ 0 e σ ± são operadores de levantamento e abaixamento de excitações (número de pares em excesso) no CPB. É fácil perceber que o acoplamento λ 0 pode ser controlado através do fluxo Φ x com a indução dos pequenos loops, à esquerda e à direita do grande loop central. Além disso, podemos também controlar a carga de entrada N 1 através da tensão de entrada V 1 em sintonia com o acoplamento. Ao mesmo tempo, deve-se mencionar que a energia de separação ω 0 depende do fluxo induzido Φ x. Por isso, quando sintonizamos o fluxo induzido Φ x, a energia de separação também se modifica. Para evitar desnecessárias transições durante a constante mudança do acoplamento, assumimos que a mudança do fluxo Φ x é lenta o suficiente para satisfazer a condição adiabática. Como aplicação do modelo acima, mostraremos como cavar buracos na distribuição

38 3..1 Caso (a): regime ressonante (ω = ω 0 ) 6 estatísticade fótons. Se inicialmente preparamos o CPB no estado excitado, CP B = e, (3.) e o NR num estado coerente, NR = α, (3.3) então o estado Ψ do sistema composto (CPB-NR), acoplado, evolui conforme bem estabelecida regra, Ψ CN (t) = Û(t) e α, (3.4) onde Û(t) = exp( itĥi) é o (unitário) operador de evolução temporal e ĤI é a hamiltoniana obtida na Eq. (3.1). Usando então as seguintes relações algébricas (σ + a + a σ ) l = (aa ) l g g + (a a) l e e, (3.5) (σ + a + a σ ) l+1 = (aa ) l a g e + a (aa ) l e g, (3.6) podemos escrever o operador de evolução temporal na forma Û(t) = cos(βt a a + 1) e e + cos(βt a a) g g i sin(βt a a + 1) a a + 1 a e g i sin(βt a a + 1) a g e, (3.7) a a + 1 de modo que a Eq.( 3.4 ) pode ser reescrita na forma, Ψ CN (t) = e α n=0 α n n! [cos(ω n τ) e, n i sin(ω n τ) g, n + 1 ], (3.8) onde ω n = β n + 1. Assim, se detectamos o CPB no estado e após um tempo τ 1 conveniente, de modo que β n 1 + 1τ 1 = π/, anulamos a componente n 1 na Eq.(3.9) levando o estado do NR evoluir para Ψ CN (τ 1 ) = η 1 n=0 α n n! cos(ω n τ 1 ) n, (3.9)

39 3..1 Caso (a): regime ressonante (ω = ω 0 ) 7 onde η 1 é o fator de normalização. Em seguida, suponha que um segundo CPB no estado e foi ligado imediatamente após a detecção no primeiro CPB. Nessa a estapa o estado inicial do NR é este dado na Eq. (3.9) correspondente ao estado final devido à interação com o primeiro CPB. Escolhendo um tempo conveniente τ, tal que β n + 1τ = π/, de modo a anular a componente n (com a condição suplementar: que o CPB seja detectado no estado e ); e temos o novo estado do NR, Ψ CN (τ ) = n=0 α n n! [cos(ω n τ ) cos(ω n τ 1 ) e, n i cos(ω n τ 1 ) sin(ω n τ ) g, n + 1 ]. (3.30) A subsequente detecção do segundo CPB no estado e faz o NR colapsar no estado Ψ CN (τ 1 ) = η n=0 α n n! [cos(ω n τ ) cos(ω n τ 1 ) n ], (3.31) onde η é o fator de normalização. Este novo estado do NR apresenta buracos nas componentes n 1 e n. Repetindo o procedimento N vezes, obtém-se o resultado generalizado para o estado do NR, α n N Ψ CN (τ N ) = η N cos(ω n τ j ) n, (3.3) n! n=0 j=1 onde τ j e o j-ésimo tempo de interação nas controladas operações sobre sistema CPB-NR. A Eq (3.3) mostra que, se queremos produzir n buracos, necessitamos n CPB. Salta à vista a limitação do procedimento a valores não muito grandes de N, devido ao efeito de decoerência discutido abaixo uma dificuldade a ser contornada por futuros avanços tecnológicos. A partir da Eq (3.3), mais a definição P n = n Ψ CN (τ N ), encontramos a

40 3.. Caso (b): interação não ressonante (ω ω o ) 8 expressão da distribuição estatística do número de fótons, P n. Cálculos algébricos fornecem, P n = ( α n n! ) N j=1 cos(ω n τ j ) α m n=0 ( ) N cos(ω m! m τ j ) j=1. (3.33) Para justificar a factibilidade do procedimento, observamos valores experimentais típicos envolvendo o sistema composto CPB-NR: valor máximo típico da constante de acoplamento, β máx 45MHz, com B 0, 1T, l = 30µm, x 0 = 500fm e E 0 J = 5GHz, com ω 0 = 00πMHz [34,88 94]. O tempo de preparação do estado no CPB e o tempo de geração de buracos são próximos de 0, 3 ns, enquanto os tempos de decoerência do CPB e do NR são 500 ns e 160 µs, respectivamente [93]. Estes dados permitem afirmar que podemos em princípio criar em torno de 1600 buracos na distribuição estatística de excitações. 3.. Caso (b): interação não ressonante (ω ω o ) Utilizando o operador Û0(t) = exp( iĥt), onde Ĥ é definido pela Eq. (3.16), podemos passar para a representação de interação. O hamiltoniano nesta representação é obtido da expressão Ĥ I = Û 0ĤÛ0 iû Û0 0 t, (3.34) onde [ ( Û 0 = exp i ωa a + ω 0σ z ) ] t, (3.35) resultando, H I = β(a σ e iδt + aσ + e iδt ), (3.36) onde δ = ω 0 ω é a dessintonia entre o CPB e o NR. Na Eq. (3.36) aplica-se uma transformação unitária para eliminar a dependência temporal. Para esta transformação utiliza-se

41 3.. Caso (b): interação não ressonante (ω ω o ) 9 o operador unitário U(t) = exp( iδσ zt ). (3.37) Através desta transformação unitária o hamiltoniano efetivo será dado por H ef = U H I U i U(t) U t = U H I U + δσ z = δσ z + β(a σ + aσ + ) = δσ z + σ + σ a β(a + aσ + + σ + a ). (3.38) Podemos determinar então as equações de movimento para os operadores diádicos g e e e g, lembrando que as transições entre g e ou e g não ocorrem e, portanto, d( g e ) dt = 0. Desta forma temos i dσ dt = [ g e, H ef ] (3.39) = δ ( g e + g e ) + β ( g g e e ) a = 0, (3.40) onde g e = σ = β δ σ za, (3.41) e g = σ + = β δ σ za. (3.4) Substituindo as Eqs.(3.41) e (3.4) na Eq. (3.38) obtemos H ef = δσ z + β σ z ( aa + a a + a a + aa ) δ = δσ z + β σ z δ a a + β σ z δ = σ z + β δ a aσ z, (3.43)

42 3.. Caso (b): interação não ressonante (ω ω o ) 30 com = ( ) δ + β δ δ >> β. Agora, aplicando o operador U(t) = exp(i σ z t), podemos passar para a representação de interação, onde o hamiltoniano de interação dispersiva H I resulta simplificado,, H I = χa aσ z, (3.44) sendo χ = β /δ. Asssumindo o CPB preparado na superposição Ψ CP B = c (1) 1 e + c (1) 0 g e o NR no estado coerente Ψ NR = α, com α = r exp(iφ) e U(t) = exp(ih I t), o estado do sistema CPB-NR evolui na forma, Ψ (1) CN (t) = U(t) Ψ CP B (0) Ψ NR (0) = c (1) 1 e α + c (1) 0 g exp[iχτ 1 a a] α = c (1) 1 e α + c (1) 0 g α 1, (3.45) onde α 1 = αe iχτ 1. A aplicação de um pulso rápido π/ produz as rotações: ( e ( e g )/ ) e g ( e + g )/ )); isso leva o estado emaranhado do sistema composto CPB-NR para Ψ (1) CN = e (c(1) 1 α + c (1) 0 α 1 ) + g ( c(1) 1 α + c (1) 0 α 1 ). (3.46) Uma medida do CPB no estado e projeta o NR no estado Ψ (1) 1 = η 1 (c (1) 1 α + c (1) 0 α 1 ), (3.47) onde η 1 é o fator de normalização. Nesse cenário, podemos também construir buracos na distribuição estatística de excitações, pelo conveniente controle dos parâmetros envolvidos.

43 3.. Caso (b): interação não ressonante (ω ω o ) 31 Os passos a serem dados seguem o receituário anterior: ajustamos o detuning e iniciamos com o CPB numa superposição de estados tendo pesos iguais e com o NR preparado num estado coerente α, α = r exp(iθ). Assumindo as condições χτ 1 = π/n, c (1) 1 = 1/ e c (1) 0 = exp[i(1 N 1 /N)π]/, onde N e N 1 são números inteiros, o estado gerado no sistema composto CPB-NR resulta assim, Ψ N1 = η 1 n=0 r n n! e (inφ r /) (1 + e i(1+(n N 1)/N)π ) n. (3.48) Este estado possui buracos na sua distribuição estatística P n = n Ψ para os valores de n pertencentes à sequência N 1, N 1 + N, N 1 + 4N,... Tomando N ˆn = r apenas o buraco criado em n = N 1 será significativo, os demais estando fora da parte relevante da distribuição P n. A produção de outros buracos é implementada de forma similar ao primeiro passo: considerando um o CPB preparado no estado Ψ CP B = c () 0 g + c () 1 e enquanto agora o NR está no estado da Eq. (3.48). Assim o estado final do passo anterior funciona como estado inicial do passo seguinte. Logo após a interação entre o CPB e o NR, mais a medida do CPB no estado e, o NR evolui para o estado entrelaçado (entangled), Ψ () = η 1 c () 1 e (c (1) 1 α + c (1) 0 α 1 ) + η 1 c () 0 g (c (1) 1 e iχτ α + c (1) 0 e iχτ α 1 ). (3.49) Aplicando um pulso rápido π/ e detectando o CPB no estado e o NR colapsa no estado Ψ () = η [c (1) 1 (c () 1 α + c () 0 α ) + c (1) 0 (c () 1 α 1 + c () 0 α 3 )], (3.50) onde α = αe iχτ, α 3 = α 1 e iχτ = α e iχτ 1. Repetindo o procedimento k vezes conforme os passos: (i) escolhendo os tempos de interação χτ j = π/n j e c (j) 1 = 1/ c (j) 0 = exp[i(1

44 3.3 Controlando a Inversão de Excitação e a Entropia 3 N j /N)π]/ ; (ii) detectando todos os CPB no estado e para j =,..., k, obtemos o NR projetado no estado Ψ N1,...,N k = η k n=0 r n k n! e(inφ r /) k (1 + e i(1+(n Nj)/N)π ) n, (3.51) η k sendo a constante de normalização. A distribuição estatística é obtida na forma j=1 P n = r n n! m=0 k cos [(1 + (n N j )/N)π/] j=1 r m m! k j=1. (3.5) cos [(1 + (m N j )/N)π/] Para justificar o procedimento mencionamos valores experimentais típicos envolvendo o sistema CPB-NR: valor típico máximo da constante de acoplamento, β máx 45MHz, com B 0, 1T, l = 30µm, x 0 = 500fm e E 0 J = 5GHz, com ω 0 = 00πMHz. O tempo gasto na criação de buracos, para detuning δ 5β, é próximo de 175 ns, enquanto os tempos de decoerência do CPB e do NR são 500 ns e 160 µs, [93], respectivamente. Estes dados permitem afirmar que o caso ressonante é muito mais eficiente pelo menos para grandes valores de detuning, δ 5β, como suposto acima. 3.3 Controlando a Inversão de Excitação e a Entropia Existem poucos trabalhos que tratam da interação átomo-campo com a frequência variando em função do tempo [6,7] ou com a amplitude variando em função do tempo. [30]. O acoplamento átomo-campo variando em função do tempo podem alterar as propriedades dinâmicas do acoplamento, com intensa transição de fótons [3]. Usando essa ideia, estudaremos a interação do CPB-NR com frequência variando em função do tempo, incluindo dissipação no CPB. Usaremos nesse estudo o modelo de Jaynes-Cummings (JC) com a inclusão fenomenológica do decaimento do nível exitado para o fundamental no CPB. Os re-

45 3.3 Controlando a Inversão de Excitação e a Entropia 33 sultados indicam que a dissipação do nível excitado leva à deterioração do estado preparado na malha. A dessintonia da modulação aplicada ao sistema composto pode controlar as propriedades de seu emaranhamento. Assumindo aproximação de onda girante (RWA) na Eq.(3.16) temos, H = ωa a + 1 ω 0σ z + λ 0 (σ + a + a σ ), (3.53) e considerando a inclusão de decaimento no nível excitado do CPB resulta, H = ωa a + 1 ω 0σ z + λ(t)(σ + a + a σ ) i γ e e. (3.54) Esse hamiltoniano não é hermitiano, mas existem na literatura vários trabalhos usando hamiltonianos não hermitianos (HNH). Para citar alguns poucos exemplos temos: (i) Ref. [95], onde os autores usam HNH e conveniente algoritmo para generalizar a teoria convencional; (ii) Ref. [96], usando HNH para obter informações sobre canais de entrada e saída; (iii) Ref. [97], usando abordagens que abrem mão da hermiticidade para estudar transformações canônicas em mecânica quântica; (iv) Ref. [98], na solução de equação-mestra quântica em termos de HNH; (v) Ref. [99], usando nova abordagem de HNH para estudar a densidade espectral fraca de H-bonds envolvendo amortecimentos; (vi) Ref. [100], estudando HNH com autovalores reais; (vii) Ref. [101], utilizando fórmulação canônica para estudar mecânica dissipativa exibindo autovalores complexos; (viii) Ref. [10], estudando HNH em espaços não-comutativo e, mais recentemente: (ix) Ref. [103], estudando a realização óptica de HNH relativisticas; (x) Ref. [8], estudando a evolução da entropia na interação átomo-campo; (xi) Ref. [104], usando HNH para incluir amortecimento no JC-modelo e estudar emaranhamento entre átomos de cavidades distintas.

46 3.3 Controlando a Inversão de Excitação e a Entropia 34 No hamiltoniano da Eq.(3.54) a frequência ω ω (t) inclui variação temporal; ˆσ + = e g, ˆσ = g e, e ˆσ z = e e g g são operadores de transição da inversão atômica do CPB, que agem no espaço de estados atômicos e satisfazem as relações de comutação [ˆσ +, ˆσ ] = ˆσ z e [ˆσ z, ˆσ ± ] = ±ˆσ ± ; ω 0 é a frequência de transição do CPB e λ 0 é o coeficiente de acoplamento entre o CPB e o NR. A frequência ω (t) do campo pode ser escrita como ω (t) = υ 0 + f (t), onde f (t) é uma função do tempo. Conforme a Ref. [105] o coeficiente de acoplamento λ 0 é proporcional à relação υ (t) /V (t), onde o volume quântico V (t) também inclui variação temporal, na forma modelada V (t) = V 0 / [1 + f (t) /υ 0 ]. O coeficiente de acoplamento λ(t) pode ser reescrito como λ(t) = λ 0 [1 + f (t) /υ 0 ], onde λ 0 é a constante de acoplamento e a frequência do campo é mantida constante, sendo igual à metade da frequência Rabi no vácuo; γ é o coeficiente de decaimento do nível excitado e do CPB, para outros níveis. A função de onda descrevendo a evolução temporal de um sistema composto por um qubit e um estado arbitrário, pode ser escrita como Ψ (t) = [C g,n (t) g, n + C e,n (t) e, n ], (3.55) n onde C e,n (t) e C g,n (t), são respectivamente as amplitudes de probabilidade para e, n e g, n, e ( g ) representa o CPB em seu estado excitado (fundamental ) com n pares de Cooper. Ao longo desse trabalho consideraremos que o CPB se encontra inicialmente preparado no estado excitado e, com o NR em estado coerente β = η [ α + r α ], o qual pode também ser expandido na base de número

47 3.3 Controlando a Inversão de Excitação e a Entropia 35 β = n F n n = n η exp ( α ) α n n! (1 + r( 1) n ) n, (3.56) onde η = [1 + r + r exp( α )] 1/ é o fator de normalização. Assim a condição inicial pode ser escrita como: C g,n (0) = 0 e n C e,n (0) = 1. Assumindo que o NR e o CPB estão desacoplados em t = 0, o vetor do estado inicial do sistema pode ser escrito como Ψ (0) = F n e, n. (3.57) A equação de evolução de Ψ (t) dada pela Eq. (3.55) é a tradicional n=0 d Ψ (t) i dt = Ĥ Ψ (t), (3.58) onde, para o caso atual, Ĥ é o Hamiltoniano dado na Eq. (3.54). De modo que podemos obter um conjunto infinito de equações de movimento com amplitudes de probabilidades C e,n (t) e C g,n+1 (t). Substituindo a Eq. (3.55) e a Eq. (3.54) no lado esquerdo da Eq.(3.58), obtemos d Ψ (t) i dt enquanto no lado direito, = n=0 [ i C e,n (t) e, n + i C ] g,n (t) g, n, (3.59) t t Ĥ Ψ (t) = [ωâ âc e,n (t) e, n + ωâ âc g,n (t) g, n n=0 + 1 ω 0ˆσ z C e,n (t) e, n + 1 ω 0ˆσ z C g,n (t) g, n +λ (ˆσ + â + â ˆσ ) Ce,n (t) e, n + λ (ˆσ + â + â ˆσ ) Cg,n (t) g, n i γ e e C e,n (t) e, n i γ e e C g,n (t) g, n ], (3.60)

48 3.3 Controlando a Inversão de Excitação e a Entropia 36 e lembrando que, â n = n + 1 n + 1, ˆσ + e = 0 e ˆσ + g = e, podemos reescrever a Eq.(3.60) na forma, Ĥ Ψ (t) = n=0 + C e,n (t) [ωn e, n + 1 ω 0 e, n + λ n + 1 g, n + 1 i γ ] e, n n=1 [ C g,n (t) ωn g, n 1 ω 0 g, n + λ ] n e, n 1. (3.61) Em seguida, mudando o índice n por n + 1 no segundo somatório em C g,n (t) e em todos os termos acompanhando o estado g nas equações (3.59) e (3.61) temos, no lado direito, d Ψ (t) i dt = n=0 [ i C e,n (t) e, n + i C ] g,n+1 (t) g, n + 1, (3.6) t t e no lado esquerdo, Ĥ Ψ (t) = [ωnc e,n (t) + 1 ω 0C e,n (t) + λ n + 1C g,n+1 (t) i γ C e,n (t)] e, n n=0 + [ω(n + 1)C g,n+1 (t) 1 ω 0C g,n+1 (t) n=0 +g n + 1C e,n (t)] g, n + 1. (3.63) Igualando os termos multiplicados por e, n da Eq. (3.6) com os da Eq. (3.63), temos C e,n (t) t = inωc e,n (t) i ω 0C e,n (t) iλ n + 1C g,n+1 γ C e,n (t), (3.64) procedimento análogo, agora multiplicando os termos por g, n + 1 em (3.6) com os de (3.63) encontramos, C g,n+1 (t) = i(n + 1)ωC t g,n+1 (t) + i ω 0C g,n+1 (t) iλ n + 1C e,n (t). (3.65)

49 3.3 Controlando a Inversão de Excitação e a Entropia 37 A solução desse conjunto de equações nos fornece C e,n (t) e C g,n+1 (t). No caso em que a função f é constante a solução analítica do sistema de equações Eq.(3.64) e Eq.(3.65) resulta, C g,n+1 (t) = if nge ( 1/4δt e 1/4βt e 1/4βt) n + 1, (3.66) β C e,n (t) = if ne 1/4δt ( e 1/4βt (iγ + v iβ ω 0 ) e 1/4βt (iγ + v + iβ ω 0 ) ) β, (3.67) onde β = γ 4iγv 4v + 8ω 0 v 4ω 0 16g + 4iγω 0 16ng e δ = γ + iv + 4inv. No caso em que f = f(t) a solução é resolvida apenas numericamente, usando o método de Runge-Kutta de 4 a ordem, os detalhes estão no Apêndice A. Resolvendo esse conjunto de equações para obter C e,n (t) e C g,n+1 (t) determinamos propriedades quânticas e dinâmicas do sistema, especialmente o emaranhamento de estados dos subsistemas, CPB e NR. A evolução da matriz densidade descrevendo o sistema CPB- NR, denotada por ρ CN, pode ser definida como ( por brevidade o índice C (N) refere-se ao CPB (NR) ), ( Γ11 Γ ρ CN (t) = Ψ (t) Ψ (t) = 1 Γ 1 Γ ). (3.68) Substituindo a Eq.(3.55) na Eq.(3.68) temos, ρ CN (t) = [C e,n (t) Ce,n (t) e, n e, n + C e,n (t) Cg,n (t) e, n g, n n=0 n =0 +C g,n (t) C e,n (t) g, n e, n + C g,n (t) C g,n (t) g, n g, n ], (3.69)

50 3.4 Entropia do Sistema CPB-NR 38 e encontramos, Γ 11 = Γ 1 = Γ 1 = Γ = C e,n (t) Ce,n (t) e, n e, n, n=0 n =0 n=0 n =0 n=0 n =0 n=0 n =0 C e,n (t) Cg,n (t) e, n g, n, C g,n (t) Ce,n (t) g, n e, n, C g,n (t) Cg,n (t) g, n g, n. Para avaliar as quantidades associadas ao CPB (NR), devemos traçar ρ CN dado na Eq.(3.68) nas variáveis do NR (CPB). Por exemplo, tomando traço nas variáveis do CPB obtemos a matriz densidade reduzida do NR, ou seja, ˆρ N (t) = T r C (ˆρ CN ) = i i ˆρ CN i, (i = 0, 1), (3.70) onde 0 = g e 1 = e. Assim, abrindo o somatório em i na Eq.(3.68) encontramos, [ ρ N (t) = Ce,n (t) Ce,n (t) n n + C g,n (t) Cg,n (t) n n ]. (3.71) n=0 n =0 3.4 Entropia do Sistema CPB-NR Recentemente, pesquisadores usaram vários métodos para estudar a dinâmica de emaranhamento [8, 9, 106, 107]. A Entropia de Von Neumann oferece uma medida quantitativa da desordem de um sistema e da pureza de um estado quântico, como demonstrado por Phoenix e Knight [108]. Definida como S N(C) = T r N(C) (ρ N(C) ln ρ N(C) ), é uma medida sensível do emaranhamento quântico de dois subsistemas que interagem. A dinâmica quântica descrita pelo hamiltoniano da Eq.(3.54) leva ao emaranhamento no sistema CPB-NR, entendendo aqui emaranhamento como mistura de estados. Na discussão que segue usamos a entropia quântica de Von Neumann como uma medida do grau de emaranhamento. A entropia

51 3.5 Poder Espectral da Entropia 39 de um sistema quântico, de dois componentes em geral, está ligada por um teorema devido a Araki e Lieb: afirma que S 1 S S S 1 + S. Os subscritos S 1 e S referem-se a quaisquer dois subsistemas quânticos que, para os nossos propósitos, são o CPB e o NR. A entropia total do complemento S 1 - S do sistema é indicada por S. Uma consequência dessa desigualdade é que se o sistema total é preparado em um estado puro, então as componentes do sistema tem entropias iguais em toda a sua evolução posterior. As entropias do CPB e NR no modelo de JC (sob condições iniciais de estado puro) são idênticas: S C (t) = S N (t). A entropia do sistema que nos permitirá analisar a evolução temporal do seu grau de emaranhamento é obtida na forma, S N (t) = [ + N (t) ln( + N (t)) + N (t) ln( N (t))], (3.7) onde, ± N (t) = 1 ( ) 1 ± ( R 1 R 1 R R ) + 4 R 1 R, (3.73) e R 1 R 1 = n=0 C e,n(t), R R = n=0 C g,n+1(t) e R 1 R = R R 1 = Ce,n+1(t)C g,n+1 (t). Os resultados obtidos dos cálculos são mostrados nas Figs. (3., 3.3, n=0 3.4, 3.11, 3.1 e 3.13) e discutidos na Seção de resultados. 3.5 Poder Espectral da Entropia A fim de obter um melhor entendimento do emaranhamento referente ao grau de mistura do estado, recorremos ao normalized power spectrum (NPS) da entropia, definido em [105]. Trata-se de uma função real positiva com frequência variável, aqui associada à entropia num intervalo de tempo específico de observação para verificar sua periodicidade. Considerando

52 3.6 Inversão de Excitação 40 frequência e tempo positivos, usamos a transformada de Fourier [105] S(ϖ) = 1 π λ0 t 0 S N (t) exp(iϖt)dt, (3.74) onde λ 0 t representa a máxima interação. Esses resultados serão utilizados nos gráficos das Figs. (3.8, 3.9, 3.10, 3.17, 3.18 e 3.19). 3.6 Inversão de Excitação A inversão de população do CPB é um importante observável em sistemas de dois níveis, definido como a diferença de probabilidades de encontrar CPB no estado excitado ou no estado fundamental. A inversão de população I(t), no presente modelo, é dada pela expressão I(t) = R 1 R 1 R R, que pode ser escrita em termos dos coeficientes na forma, [ I(t) = Ce,n (t) C g,n+1 (t) ]. (3.75) n=0 Os resultados obtidos são mostrados nas Figs.(3.5, 3.6 e 3.7). 3.7 Resultados e Discussões Para iniciar a discussão dos resultados encontrados, consideraramos a evolução temporal da entropia do NR com diferentes coeficientes de decaimento no CPB, no caso ressonante, com f(t) = 0 e r = 0.Assumimos n = 5 o número médio inicial de fótons do num estado coerente e ν 0 = ω 0 = 000λ 0, como os dados usados na Fig. 3.. Em um sistema ideal, o coeficiente de decaimento γ do estado excitado do CPB para o estado fundamental é nulo. Como mostrado na Fig. 3. (a), o máximo da entropia do NR está próximo de ln. Após o início da interação, a entropia do NR retorna a seu mínimo gradualmente; em seguida volta ao máximo e passa a oscilar regularmente. Com o passar do tempo o emaranhamento

53 3.7 Resultados e Discussões 41 torna-se constante enquanto as oscilações se aproximam (por baixo) do valor ln. No caso, o CPB permanece estável no estado fundamental g, mas estando no estado excitado e, fatores como emissão espontânea entre outros implicam no seu decaimento. Figura 3.: Evolução temporal da entropia com diferentes coeficientes de decaimento γ, para n = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, f(t) = 0. (a) γ = 0, 0λ 0, (b) γ = 0, 01λ 0, (c) γ = 0, 05λ 0. Para pequenos decaimentos no CPB, γ = 0, 01λ 0 (cf. Fig. 3. (b), o emaranhamento máximo não apresenta mudanças sensíveis para tempos pequenos. Porém, para tempos maiores o emaranhamento passa a exibir decaimento suave. Aumentando o coeficiente de decaimento para γ = 0, 05λ 0 (cf. Fig. 3. (c)) o emaranhamento continua sem revelar sensível mudança para tempos pequenos. Mas agora, para tempos maiores o emaranhamento exibe decaimento rápido, mostrando que o valor do coeficiente de decaimento no CPB influencia a taxa de decaimento da entropia do NR. Aqui consideraremos somente o decaimento para γ = 0, 05λ 0 e r = 0, no caso de dessintonia, para f(t) = = const, onde ω 0, ω. Comparando as Fig. 3.3 (a) e Fig. 3. (c) vemos que o emaranhamento dura mais tempo com o aumento de. O maior tempo

54 3.7 Resultados e Discussões 4 Figura 3.3: Evolução temporal da entropia com diferentes dessintonias f(t) = = const, no modelo de amortecimento JC, para n = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, γ = 0, 05λ 0. (a) = 10λ 0, (b) = 0λ 0. de duração do emaranhamento, devido ao maior valor de, é acompanhado de diminuição do máximo da entropia (cf. Fig. 3.3). A dessintonia entre CPB e NR reduz o valor máximo do emaranhamento em um curto espaço de tempo, ao mesmo tempo em que prolonga o emaranhamento. Vemos então que a dessintonia desempenha duas funções: na primeira, ela enfraquece a interação entre o CPB e o NR; na segunda, reduz a probabilidade de transição do CPB entre o estado excitado e o estado fundamental, contribuindo para o amortecimento da entropia do NR (cf. Fig. 3.6). Considerando agora f(t) = c sin(ω t), em que c e ω são parâmetros que modulam a frequência do NR, neste caso a solução é numérica. Nossa discussão será limitada à condição c ω 0, ν 0 e também que ω seja pequeno. Caso contrário colocaria o CPB interagindo com outro modo do NR, ou até com modos vizinhos do mesmo. Escolhemos a amplitude de modulação c = 0λ 0 para verificar propriedades do emaranhamento entre CPB e NR.

55 3.7 Resultados e Discussões 43 Figura 3.4: Evolução temporal da entropia sob modulações da dessintonia através da função f(t) = c sin(ω t), no modelo de amortecimanto de JC, para n = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, γ = 0, 05λ 0. (a) c = 0λ 0 e ω = 0, 1λ 0, (b) c = 0λ 0 e ω = 0, 5λ 0. Para investigar a influência da modulação da frequência ω do NR sobre o emaranhamento CPB-NR, usaremos diferentes valores de modulações (cf. Fig. 3.4). Comparando a Fig. 3.4 (a) com a Fig. 3.3 (b), vemos que a modulação senoidal não favorece o emaranhamento durar longo tempo. No entanto, após a entropia atingir valor máximo o emaranhamento mantém-se estável por período maior. De acordo com as Figs. 3.4 (a), 3.4 (b) podemos também ver que a entropia exibe oscilações quase periódicas, com período próximo à metade do período da modulação senoidal, significando que a modulação senoidal da frequência do NR tem papel importante na estabilização do emaranhamento do CPB-NR no nível excitado. Considerando a evolução temporal da inversão de excitação com diferentes coeficientes de decaimento, no caso ressonante ( f(t) = 0) e r = 0, assumindo n = 5 sendo o número médio inicial de fótons do campo no estado coerente e ν 0 = ω 0 = 000λ 0 como os

56 3.7 Resultados e Discussões 44 Figura 3.5: Evolução temporal da inversão atômica com diferentes coeficientes de decaimento γ, no modelo de amortecimento JC, para n = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, f(t) = 0. (a) γ = 0, 0λ 0, (b) γ = 0, 01λ 0, (c) γ = 0, 05λ 0. dados usados na Fig Ela mostra gráficos (a), (b) e (c) exibindo colapso & ressurreição idênticos, porém com amplitudes diferentes: tanto menor quanto maior o decaimento. No caso de dessintonia, com f(t) = = const., ω 0, ν, vemos na Fig. 3.6 (a) que a inversão de excitação: (a) ocorre no intervalo 5 < λ 0 t < 50; (b) na Fig. 3.6 ela ocorre no intervalo 50 < λ 0 t < 75, e não ocorre mais inversão. Já as Fig. 3.7 (a) e Fig. 3.7 (b) mostram que com o aumento da frequência ω do NR, a inversão de excitação na Fig. 3.7 (b) torna-se mais frequente. Consideremos agora o normalized power spectrum (NPS) da entropia, definido anteriormente ( cf. Fig. 3. (a), Fig. 3. (b) e Fig. 3. (c) ). Vemos então que, se o parâmetro de decaimento γ aumenta, o pico máximo do NPS e a frequência de oscilação diminuem, como mostrado nas mencionadas figuras. Quando consideramos o caso f(t) = e γ = 0, 05λ 0, com o aumento de o pico máximo do NPS aumenta conforme Fig. 3.9 (a)

57 3.7 Resultados e Discussões 45 Figura 3.6: Evolução temporal da inversão atômica com diferentes dessintonias f(t) = = const, no modelo de amortecimento JC, para n = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, γ = 0, 05λ 0. (a) = 10λ 0, (b) = 0λ 0. e Fig. 3.9 (b); vemos também na Fig. 3.9 (b) que o pico máximo está entre 0 0, 5Ω sendo maior que na Fig. 3.9 (a). Agora, considerando f(t) = csin(ω t) a frequência de atenuação do NPS torna-se mais suave, conforme vemos nas Fig (a), Fig (b), onde, com o aumento da frequência ω o NPS tem amplitudes menores, ou seja, é atenuado. Com respeito à superposição de estados coerente com r = 1 (gato par), vamos considerar a evolução temporal da entropia do NR para diferentes valores do coeficiente de decaimento γ. Iniciaremos o estudo considerando o caso ressonante ( f(t) = 0), assumindo α = 5 para o estado inicial do NR e ν 0 = ω 0 = 000λ 0 como os dados nas Fig (a), Fig (b) e Fig (c). Em um sistema ideal o coeficiente de decaimento γ do CPB é nulo. Como mostrado na Fig (a) o máximo de entropia do NR é próximo de ln. Após o início da interação a entropia do NR estabiliza por um período pequeno e depois volta a

58 3.7 Resultados e Discussões 46 Figura 3.7: Evolução temporal da inversão atômica sob modulações da dessintonia através da função seno f(t) = c sin(ω t), no modelo de amortecimanto JC, para n = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, γ = 0, 05λ 0. (a) c = 0λ 0 e ω = 0, 1λ 0, (b) c = 0λ 0 e ω = 0, 5λ 0. oscilar com o pico inferior em torno de 0, 4. Com o passar do tempo o emaranhamento tende a ser constante e as oscilações estabilizam em torno de ln. Para um decaimento pequeno no CPB, cf. Fig (b), o emaranhamento máximo não apresenta inicialmente mudanças. Porém, com o decorrer do tempo o emaranhamento decai gradativamente e, com o aumento do coeficiente de decaimento, cf. Fig (c), o emaranhamento apresenta uma diferença significativa, reduzindo muito as suas oscilações e amplitudes. O decaimento no CPB causa aumento rápido no emaranhamento no NR, originado na dissipação de fundo, levando o CPB do estado excitado ao estado fundamental. Desse modo, o coeficiente de decaimento no CPB influencia diretamente a taxa de decaimento da entropia do NR no estado gato de Schrödinger par. No caso de haver a mencionada dessintonia, assumiremos que somente o decaimento γ = 0, 05λ 0 será considerado, com f(t) = = const., onde ω 0,ν. O resultado dos

59 3.7 Resultados e Discussões 47 Figura 3.8: Evolução temporal do Power Spectrum normalizado, referente as entropias das figuras 3.. (a) referente a Fig. 3. (a), (b) faz referência a Fig. 3. (b) e (c) referente a Fig. 3. (c). cálculos mostra que o emaranhamento dura mais tempo com o aumento de, comparando Fig. 3.1 (a) com a Fig (c). Essa duração maior devido ao aumento de é acompanhada de diminuição no máximo de entropia, cf. Fig. 3.1 (a) e Fig. 3.1 (b). No entanto, embora dure mais tempo, o emaranhamento tem seu valor máximo reduzido rapidamente. Em resumo, a influência da dessintonia sobre o NR no estado gato par ( r = 1) é similar ao caso do NR no estado coerente: pelo enfraquecimento da interação do CPB com o NR ela reduz a probabilidade de transição do CPB entre os níveis excitado e fundamental (cf. Fig ), causando o amortecimento do emaranhamento do estado do NR. Esses efeitos sobre o emaranhamento no NR transpõem-se para a sua entropia. Considerando a função f(t) = c sin(ω t), onde c e ω são parâmetros de modulação da frequência do NR, nos limitamos à condição c ω 0,ν 0 bem como ω ser também pequeno. Comparando as Fig (a) e Fig. 3.1 (b) vemos que a modulação senoidal desfavorece o

60 3.7 Resultados e Discussões 48 Figura 3.9: Evolução temporal do Power Spectrum normalizado, referente as entropias das figuras 3.3. (a) referente a Fig. 3.3 (a), (b) faz referência a Fig. 3.3 (b). emaranhamento por longos tempos. Por outro lado, o valor máximo da entropia na presença desta modulação é maior. De acordo com o contraste mencionado e comparando as Fig (a) e Fig (b) com as Fig. 3.4 (a) e Fig. 3.4 (b), vemos o que a entropia não exibe oscilações; o mesmo não ocorre com o NR no estado coerente. Com o aumento da frequência ω as oscilações na entropia diminuem. No caso da evolução temporal da inversão de excitação do gato par, com diferentes coeficientes de decaimento no caso ressonante ( f(t) = 0), assumimos α = 5 e ν 0 = ω 0 = 000λ 0 como mostrado na Fig Na Fig os gráficos (a), (b) e (c) apresentam colapso & ressurreição idênticos, porém com amplitudes diferentes: quanto maior o decaimento menor a amplitude. Já no caso de dessintonia (f(t) 0), com f(t) = = const., para ω 0, ν, vemos que a inversão de excitação na Fig. 3.15(a) ocorre nos intervalos 15 < λ 0 t < 30 e 50 < λ 0 t < 75; ela também não apresenta colapso & ressurreição, enquanto na Fig (b) inversão ocorre no intervalo de 50 < λ 0 t < 75, com amplitude menor que

61 3.7 Resultados e Discussões 49 Figura 3.10: Evolução temporal do Power Spectrum normalizado, referente as entropias das figuras 3.4. (a) referente a Fig. 3.4 (a), (b) faz referência a Fig. 3.4 (b). aquela observada na Fig (a); no entanto não apresenta efeito de colapso & ressurreição. Por outro lado, no caso da dessintonia dependente do tempo, f(t) = c sin(ω t), mostrado nas Fig (a) e Fig (b), vemos ao comparar as Fig (b) e Fig (c) que o aumento de ω produz um aumento do intervalo de colapso da inversão de excitação. E, surpreendente, a Fig (a) e (b) mostram que o aumento de ω recupera o efeito de colapso & ressurreição o que nunca ocorria com dessintonia constante; o que sugere uma pista para esse controle do efeito. Considerando o NPS referente às entropias nas Fig (a), Fig (b) e Fig (c), o comportamento encontrado é diferente daquele obtido no caso do estado coerente, cf. Fig. 3.8 (a), Fig. 3.8 (b) e Fig. 3.8 (c). Para o NR no estado gato par, a frequência de oscilação do NPS aumenta quando aumenta o decaimento do nível excitado γ enquanto o valor máximo do NPS tende a zero, cf. Fig (a), Fig (b) e Fig (c). Para o caso f(t) = e γ = 0, 05λ 0, o valor máximo do NPS aumenta com o aumento de, cf. Fig.

62 3.8 Conclusão 50 Figura 3.11: Evolução temporal da entropia para o caso de gato par r = 1, com diferentes coeficientes de decaimento γ, para α = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, f(t) = 0. (a) γ = 0, 0λ 0, (b) γ = 0, 01λ 0, (c) γ = 0, 05λ (a) e Fig (b), mostrando comportameno parecido com aquele obtido no NR em estado coerente (cf. Fig. 3.9 (a) e Fig. 3.9 (b) ). No caso f(t) = csin(ω t) a frequência do NPS é atenuada suavemente, com um valor máximo em torno de Ω = 0, 1, cf. Fig (a). Já a Fig (b) não apresenta oscilação do NPS, resultado totalmente diferente daquele onde o NR está no estado coerente (cf. Fig (b)); se a frequência ω aumenta o NPS é rapidamente atenuado (ver Fig (a) e Fig (b)). 3.8 Conclusão Consideramos um modelo hamiltoniano para descrever um sistema composto, interagente, o CPB-NR, para estudar a entropia, o seu espectro de potência e a inversão de excitação do CPB. Estas propriedades podem caracterizar o emaranhamento do estado que descreve este sistema acoplado, para vários valores dos parâmetros envolvidos. Incluímos a dissipação no

63 3.8 Conclusão 51 Figura 3.1: Evolução temporal da entropia para o caso de gato par r = 1, com diferentes dessintonias f(t) = = const, no modelo de amortecimento JC, para α = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, γ = 0, 05λ 0. (a) = 10λ 0, (b) = 0λ 0. sistema, assumindo o CPB no estado excitado e o NR inicialmente em um estado superposto, tipo gato de Schrödinger. Foram considerados os seguintes cenários: (i) caso ressonante (dessintonia f = 0); (ii) caso não ressonante, com dessintonia fixa (f = 0), e (iii) caso não ressonante, com dessintonia variável no tempo, f(t) = csin(ω t). Os resultados foram discutidos na seção anterior. Em relação à entropia do NR, vemos que quando ele está inicialmente no estado gato de Schrödinger, ela dura mais tempo do que aquela do sistema campo de radiação interagindo com átomo, com o campo inicialmente em um estado coerente. Já em a relação à inversão de excitação, um resultado interessante surge: com dessintonia fixa, o colapso & ressurreição da inversão de excitação são destruídos (cf. Fig (a), Fig )b) e Fig (a) ). Porém, de novo surpreendente, esses efeitos podem ser restituídos se a dessintonia tem conveniente variação temporal, mesmo na presença de amortecimento (cf. Fig.(3.16 b) ). Finalmente, vale lembrar que são forças externas agindo

64 3.8 Conclusão 5 Figura 3.13: Evolução temporal da entropia para o caso gato par r = 1, sob modulações da dessintonia através da função f(t) = c sin(ω t), no modelo de amortecimanto de JC, para α = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, γ = 0, 05λ 0. (a) c = 0λ 0 e ω = 0, 1λ 0, (b) c = 0λ 0 e ω = 0, 5λ 0. sobre o NR, causando as mudanças no fluxo magnético Φ e (cf. Fig. 3.1), constituindo-se no controle dos parâmetros ω(t) e λ(t).

65 3.8 Conclusão 53 Figura 3.14: Evolução temporal da inversão atômica, para o caso de gato par r = 1, com diferentes coeficientes de decaimento γ, no modelo de amortecimento JC, para α = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, f(t) = 0. (a) γ = 0, 0λ 0, (b) γ = 0, 01λ 0, (c) γ = 0, 05λ 0. Figura 3.15: Evolução temporal da inversão atômica, para o caso de gato par r = 1, com diferentes dessintonias f(t) = = const, no modelo de amortecimento JC, para α = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, γ = 0, 05λ 0. (a) = 10λ 0, (b) = 0λ 0.

66 3.8 Conclusão 54 Figura 3.16: Evolução temporal da inversão atômica, para o caso de gato par r = 1, sob modulações da dessintonia através da função seno f(t) = c sin(ω t), no modelo de amortecimanto JC, para α = 5, ν 0 = ω 0 = 000λ 0, γ = 0, 05λ 0. (a) c = 0λ 0 e ω = 0, 1λ 0, (b) c = 0λ 0, ω = 0, 5λ 0. Figura 3.17: Evolução temporal do Power Spectrum normalizado, para o caso de gato par r = 1, referente as entropias das figuras (a) referente a Fig (a), (b) faz referência a Fig (b) e (c) referente a Fig (c).

67 3.8 Conclusão 55 Figura 3.18: Evolução temporal do Power Spectrum normalizado, para o caso de gato par r = 1, referente as entropias das figuras 3.1. (a) referente a Fig. 3.1 (a), (b) faz referência a Fig. 3.1 (b). Figura 3.19: Evolução temporal do Power Spectrum normalizado, para o caso de gato par r = 1, referente as entropias das figuras (a) referente a Fig (a), (b) faz referência a Fig (b).

68 Capítulo 4 Sistemas com Dissipação Uma das muitas características marcantes da mecânica quântica, distinguindo-a da clássica, é a existência de superposições quânticas. Nas últimas décadas, vários trabalhos foram dedicados a diferentes superposições de estados coerentes, interpretados como modelos do chamado estados gato de Schrödinger [109,110]. Em particular, as superposições na forma: α φ = η ( α + e iφ α ), (4.1) η = ( [ 1 + cos(φ) exp ( α )]) 1/, (4.) devido à sua simplicidade tem uma atração especial. são o caso par (φ = 0) e ímpar (φ = π) [ ]. Os casos particulares importantes Podemos encontrar aplicações em diversas áreas, tais como a detecção de pequenos sinais [118,119] ou diferentes problemas de informação quântica [10 13]. Além disso, eles são frequentemente considerados no contexto do problema da transição quântica-clássica (incluindo o fenômeno da descoerência) [109]. No entanto, os estados criados em laboratórios até agora têm valores α 1 [14, 15], e em melhores hipóteses α < 1 [51,5]. Esses fatos explicam o interesse de muitos pesquisadores 56

69 4. Sistemas com Dissipação 57 no problema da amplificação da superposição inicial (4.1), tendo em vista obter superposições de estados com valores maiores de α. Um dos primeiros trabalhos encontra-se na Ref. [115], onde o amplificador sensível à fase foi considerado. Essa linha de estudo foi continuada em [16 18]. A influência da competição entre ganhos e perdas no reservatório insensível à fase, sobre as propriedades quânticas do estado inicial par / ímpar, foi estudada em [45, ]. Amplificação paramétrica dos estados tipo gato inicialmente na presença do amortecimento causado pelo reservatório insensível à fase, foi considerada em [46]. A decoerência dos estados iniciais tipo gato em reservatórios sensíveis à fase foi estudada em [13], e o estudo usando divisores de feixes acoplado ao reservatório em [133]. O objetivo aqui é derivar uma expressão explícita para a função de Wigner dependente do tempo, descrevendo o estado inicial tipo gato (4.1), no caso mais geral, com o objetivo de generalizar os resultados obtidos anteriormente, nas várias referências citadas. De posse de uma expressão geral, podemos estudar a influência de diferentes parâmetros sobre a evolução das diversas quantidades que caracterizam a não classicalidade (ou quanticidade) de estados. Aqui consideramos apenas dois indicadores de não classicalidade (a partir de uma grande família de medidas existentes, em comparação, por exemplo, com as Refs. [110, ]): serão eles o grau de compressão squeezing e a negatividade da função de Wigner. Esta função tem sido frequentemente usada como uma medida simples da quanticidade de estados [45 50]. Além disso, ela tem sido obtida em experimentos recentes [51, 5]. Sabe-se que a amplificação paramétrica ideal (descrita pela equação de Schrödinger)

70 4.1 Equações Básicas e Soluções Gerais 58 não altera nem a pureza do estado quântico (uma vez que a evolução é unitária neste caso) nem sua negatividade máxima (como se pode ver nas fórmulas de Sec. 4.3). Por outro lado, também é sabido que o sistema acoplado ao reservatório leva eventualmente à perda de propriedades não clássicas, tanto na atenuação quanto na amplificação causadas por reservatórios, uma vez que estes sempre introduzem ruídos [53 55] (Uma possibilidade de amplificação sem ruído, não determinístico, foi estudada recentemente [137], mas nós consideramos aqui apenas os sistemas de amplificação tradicional). Combinando estas observações, pode-se pensar que o aumento do coeficiente de amplificação paramétrica, mantendo os parâmetros do reservatório fixos, pode tornar o sistema quântico menos sensível à influência destrutiva do meio ambiente. 4.1 Equações Básicas e Soluções Gerais Na aproximação markoviana, a dinâmica de sistemas quânticos abertos é descrita por uma equação mestre para a estatística do operador ˆρ descrevendo o NR (tomamos, m e ω iguais a 1) ] dˆρ/dt = i [Ĥ, ˆρ + ˆLˆρ, (4.3) onde o primeiro termo do lado direito descreve uma evolução unitária, governado por um hamiltoniano Ĥ = i k (â â ), (4.4) a qual descreve uma onda que se mistura em um cristal não-linear descrito pelo tipo de amplificador a ser trabalhado; o segundo termo ˆLˆρ descreve uma evolução não unitária

71 4.1 Equações Básicas e Soluções Gerais 59 devido à interação com algum reservatório sensível à fase [ ]. Temos, ˆLˆρ = Γ 1 ( â ˆρâ ââ ˆρ ˆρââ ) +Γ ( âˆρâ â âˆρ ˆρâ â ) +Γ 3 (âˆρâ ââˆρ ˆρââ) +Γ 3 ( â ˆρâ â â ˆρ ˆρâ â ), (4.5) onde â (â ) é o operador de aniquilação (criação); â e â obedecem à relação de comutação canônica [ â, â ] = 1. Usamos a representação de interação, equivalente à descrição de um oscilador num referencial que gira com a mesma frequência do oscilador. Nesta representação de interação o coeficiente k é independente do tempo sob a condição de ressonância exata entre o oscilador e a perturbação externa. Assumimos que k é real, sem perda de generalidade. O lado direito da Eq. (4.5) é a forma mais geral bilinear com respeito aos operadores â e â, que preserva a hermiticidade e o traço do operador estatísticoˆρ normalizado ( T r(ˆρ) = 1). A fim de preservar a positividade de ˆρ, os coeficientes Γ 1 e Γ devem ser reais e não negativos, enquanto que o coeficiente Γ 3 complexo deve obedecer a desigualdade [ [ ] Γ 3 Γ 1 Γ. (4.6) Em consequência de (4.5) temos o conjunto de equações para os valores médios d â dt = k â + γ â, d â dt = k â + γ â, (4.7) onde, γ = Γ 1 Γ, (4.8)

72 4.1.1 Propagador da Equação de Fokker Planck para a Função de Wigner 60 e a solução da Eq. (4.7) é dada por, â (t) = e γt [cosh(kt)a 0 + sinh(kt)a 0], (4.9) com a 0 â (0), mostrando que o modelo acima descreve o amplificador paramétrico degenerado na representação interação Propagador da Equação de Fokker Planck para a Função de Wigner A equação de Fokker Planck, W t = y (A yw ) + y D W, y = ( p, q), (4.10) y para a função de Wigner na representação de coordenadas, pode ser formalmente considerada como as Equações de Schrödinger para as funções de onda estendida de N variáveis, com algum hamiltoniano efetivo quadrático. Nos limitamos aqui ao caso mais simétrico da função de Wigner, caso em que a equação de evolução pode ser escrita como, W t = ĤW, Ĥ = 1 ẑbẑ + Cẑ 1 T ra, (4.11) ẑ = ( q q ), B = D A Ã 0, C = ( f 0 ), (4.1) onde a matriz B é simétrica, 4N 4N. Sabe-se que a descrição mais visual de sistemas quânticos pode ser obtida em termos da função de Wigner W (x, p), dada por W (x, p) = dve ipv x v/ ˆρ x + v/, (4.13)

73 4.1.1 Propagador da Equação de Fokker Planck para a Função de Wigner 61 onde as variáveis x e p são adimensionais e correspondem às componentes de quadratura ˆx e ˆp, relacionadas aos operadores â e â da seguinte forma, â = (ˆx iˆp) ; â = (ˆx + iˆp), (4.14) â â = 1 (ˆx + ˆp 1 ) ; ââ = 1 (ˆx + ˆp + 1 ), (4.15) (â ) = 1 (ˆx ˆp i(ˆxˆp + ˆpˆx ) ); â = 1 (ˆx ˆp + i(ˆxˆp + ˆpˆx ) ). (4.16) Notando que ˆxˆρ atua como dve ipv x v ˆxˆρ x + v ( = dve ipv x v ) x v ˆρ x + v = xw + i ( W p = x + i ) W, p podemos então escrever ˆxˆρ = ˆpˆρ = ( x + i p ( p i x ) ( W ; ˆρˆx = ) ( W ; ˆρˆp = x + i p p + i x ) W, (4.17) ) W. (4.18) Derivando a Eq.(4.13) temos, W t = dve ipv x v dˆρ x + v, dt e substituindo as Eqs.(4.14 e 4.16) na Eq.(4.3) podemos reescrever a equação de Fokker- Planck na forma, W t = W x p (i Γ 3 iγ 3 ) + 1 W x (Γ 1 + Γ Γ 3 Γ 3) + 1 W p (Γ 1 + Γ + Γ 3 + Γ 3) + x W x ( k Γ 1 + Γ ) +p W p ( k Γ 1 + Γ ) + W (Γ Γ 1 ), (4.19)

74 4.1.1 Propagador da Equação de Fokker Planck para a Função de Wigner 6 ou, na forma compacta, W t = y (A yw ) + y D y W, y = ( x p ) e ( y = x p ). (4.0) onde A e D são matrizes simétricas temos (com a 1 = a 1, d 1 = d 1 ), A = D = ( a11 a 1 a 1 a ( d11 d 1 d 1 d ), (4.1) ). (4.) Comparando a Eq. ( 4.7 ) com a Eq. ( 4.0 ) podemos escrever os coeficientes na forma, a 11 = k + Γ 1 Γ = k + β 1, a = k + Γ 1 Γ = k + β 1, a 1 = a 1 = 0, d 11 = 1 (Γ 1 + Γ Γ 3 Γ 3) = β β 3, d = 1 (Γ 1 + Γ + Γ 3 + Γ 3) = β + β 3, d 1 = 1 ( i Γ 3 + i Γ 3) = iβ 4, o que permite reescrever as matrizes e os coeficientes de modo mais elegante, A = γ + k 0 0 γ k, (4.3) D = 1 D xx D xp D xp D pp, (4.4) onde, D xp = Γ I, D xx = Γ 0 Γ R, D pp = Γ 0 + Γ R, (4.5)

75 4.1.1 Propagador da Equação de Fokker Planck para a Função de Wigner 63 Γ 0 = Γ 1 + Γ, Γ R = Γ 3 + Γ 3, Γ I = i (Γ 3 Γ 3 ). (4.6) A consequência das Eqs. (4.3) (4.5) é a equação de Fokker-Planck para a função Wigner na forma, W t W = D xp x p + 1 D W xx x + 1 D W pp p (k + γ) x (xw ) + (k γ) (pw ), (4.7) p onde a restrição (4.6) acarreta que Γ R Γ 1 Γ Γ 0, de modo que os coeficientes de difusão D xx e D pp são sempre não-negativos. Além disso, a Eq. (4.6) acarreta a desigualdade [ ] D xx D pp D xp γ. (4.8) A função W (x, p, t) está relacionada com a função inicial W (x, p, 0), por meio da transformação linear W (x, p, t) = G(x, p; x, p ; t)w (x, p, 0)dx dp, (4.9) onde G(x, p; x, p ; t) é o propagador da Eq. (4.7). Para calculá-lo é conveniente considerar a Fokker-Planck genérica para a função de Wigner N-dimensional no espaço de fase, W t = q (AqW ) + q D W, (4.30) q onde q = (x, p) é o vetor com N-dimensões, de modo que a dimensão deriva da matriz A e da matriz simétrica D é N N. Se essas matrizes não dependem das coordenadas no

76 4.1.1 Propagador da Equação de Fokker Planck para a Função de Wigner 64 espaço de fase, então o propagador é obviamente o exponencial de alguma forma quadrática com coeficientes dependentes do tempo. Por isso, pode ser escrito da seguinte forma [147], G(q, q, t) = (π) N [det M (t)] 1/ [ exp 1 ] [q q (q, t)] M 1 [q q (q, t)]. (4.31) Aqui q (q, t) é a solução clássica para a equação de movimento dq/dt = Aq com a a condição inicial q (q, 0) = q, e satisfaz a matriz simétrica M (t) na equação Ṁ = AM + Mà + D, (4.3) com a condição inicial M (0) = 0 (o símbolo à é a matriz A transposta). Para matrizes A e D dependentes do tempo, da fórmula (4.31) foi derivada por exemplo nas Refs. [148, 149] e implicitamente está contida na Ref. [150]. A fórmula explícita de q e M pode ser achada resolvendo as equações (que são consequências imediatas da equação de Fokker Planck) Ṁ = AM + Mà + D, (4.33) q = Aq, (4.34) com as condições iniciais M (0) = 0 e q (q, 0) = q. A solução da Eq. ( 4.34 ) pode ser escrita na seguinte forma q = e At q. (4.35) Como solução da Eq. ( 4.33 ) temos M (t) = e At M 0 eãt + M, (4.36) onde, e At = ( e a 11 t 0 0 e a t ), (4.37)

77 4.1.1 Propagador da Equação de Fokker Planck para a Função de Wigner 65 como Ṁ = 0 e para t = 0 a matriz M (0) = 0, podemos escrever M 0 = M; assim a Eq. ( 4.36 ) pode ser escrita como M (t) = e At MeÃt + M, (4.38) onde, ( m11 m M = 1 m 1 m ). (4.39) Para achar os coeficiente m ij, devemos resolver a seguinte equação, AM + MÃ + D = 0, (4.40) tendo como resultado m 11 = d 11 a 11, (4.41) m 1 = m 1 = d 1 a 11 + a, m = d a, e a matriz M é obtida na forma, M = ( d 11 a 11 d 1 a 11 +a d 1 a 11 +a d a ). (4.4) Substituindo a Eq.( 4.4 ) e a Eq.( 4.37 ) na Eq.( 4.38 ), podemos escrever M (t) = ( d 11 (e a 11 t 1) d 1 (e t(a 11+ a ) 1) a 11 a 11 +a d 1 (e t(a 11 + a ) 1) d (e a t 1) a 11 +a a ). (4.43) Assim, a partir da Eq.( 4.31 ) podemos escrever,

78 4.1.1 Propagador da Equação de Fokker Planck para a Função de Wigner 66 G(q, q, t) = [ (π) N det M (t) exp 1 (qt M 1 q q t M 1 ] q q t M 1 q + q t M 1 q ), (4.44) onde, q = ( x p ) ( exp(a11 t)x, q = exp(a t)p ), (4.45) a matriz inversa da Eq.(4.43) é ( v M 1 = vz µ µ vz µ z µ vz µ vz µ ), (4.46) considerando β 1 = Γ 1 Γ, β = 1 (Γ 1 + Γ ), β 3 = 1 ( Γ 3 Γ 3) e β 4 = 1 ( Γ 3 + Γ 3), temos v = (β + β 3 ) (e t(β1 k) 1), (4.47) β 1 k µ = iβ 4(e tβ 1 1) β 1, (4.48) z = (β β 3 ) (e t(β1+k) 1). (4.49) β 1 + k Assim a equação do propagador pode ser escrita como, G(q, q, t) = (π) N ( zv µ ) 1 exp{ ( zv µ ) 1 [vx µxp + zp +e (β 1+k)t (µp vx)x + e (β 1 k)t (µx zp)p e tβ 1 x p +ve t(β 1+k) x + ze t(β 1 k) p ]}. (4.50)

79 4. Evolução Temporal da Função de Wigner 67 Podemos reescrever o propagador na forma alternativa, G(x, p; x, p ; t) = ( π ) 1 { [ exp ( ) 1 z x +z + p z 0 xp + z e t(γ+k) x + z + e t(γ k) p z 0 e tγ x p + e (γ+k)t (z 0 p z x) x +e (γ k)t (z 0 x z + p) p ]}, (4.51) onde z ± = 1 ζ ± ( e t(γ±k) 1 ), z 0 = 1 ζ 0 ( e tγ 1 ), (4.5) = z + z z 0, ζ ± = Γ 0 ± Γ R γ ± k, ζ 0 = Γ I γ. (4.53) 4. Evolução Temporal da Função de Wigner 4..1 Caso (a): Superposição Inicial de Estados Coerentes A função de Wigner para o estado tipo gato é [ W G(q, p, 0) = 4η exp( x p ) e ξ cosh( 8ξx ) + cos( ] 8ξp + ϕ), (4.54) onde α ξ e η = ( [1 + cos(φ) exp( ξ)]) ( 1/). O cálculo da função Wigner encontra-se no Apêndice B. Simplificando a expressão (4.54) temos, W (q, p, 0) = η (A1 + A + A3 + A4),

80 4..1 Caso (a): Superposição Inicial de Estados Coerentes 68 onde, A1 = exp( x p ξ + 8ξx ), A = exp( x p ξ 8ξx ), A3 = exp( x p + i 8ξp + iφ), A4 = exp( x p i 8ξp iφ), e a função de Wigner evoluindo no tempo é obtida da expressão, W (x, p, t) = G(q, q, t)w G(x, p, 0)dx dp, (4.55) resultando, W (x, p, t) = η ( π) N zv µ W (x, p, t) = η ( π) N zv µ A (A1 + A + A3 + A4)dx dp (4.56) [ A A1dx dp + A Adx dp + A A3dx dp + A A4dx dp ]. (4.57) Resolvendo a integral A A1dx dp encontramos, exp{ ( zv µ ) 1 [vx µxp + zp + e (β 1+k)t (µp vx)x +e (β 1 k)t (µx zp)p e tβ 1 x p + ve t(β 1+k) )x + ze (β 1 k)t )p ]} (4.58) exp( x p ξ + 8ξx )dx dp, (4.59) e como a solução da integral é do tipo exp( zgz + Fz)dq dp = ( ) π 1 exp det(g) 4 FG 1 F, (4.60)

81 4..1 Caso (a): Superposição Inicial de Estados Coerentes 69 onde, z = (q, p ), ( g11 g G = 1 g 1 g ), F = (f 1, f ), isso permite reescrever a equação (4.60) na forma, = exp ( q g 11 p q g 1 p g + f 1 q + f p ) dq dp (4.61) π exp g11g g1 ( 1 4 f 1 g f 1 f g 1 + f g 11 g 11 g g 1 ). (4.6) Assim, comparando o lado esquerdo da equação (4.6) com a equação (4.58) podemos obter os coeficientes, g 11 = 1 + vet(β 1+k) (zv µ ), g 1 = 1 + zet(β 1 k) (zv µ ), g = µe tβ 1 (zv µ ), f 1 = e(β 1+k)t (zv µ ) (vx µp) + 8ξ, f = e(β 1 k)t (zp µx), (zv µ )

82 4..1 Caso (a): Superposição Inicial de Estados Coerentes 70 e concluir que, A A1dx dp = π ζ q (vz µ ) exp{ζ q [ ( e t(β1 k) + v ) x ( e t(β1+k) + z ) p +4µxp + 8ξ ( e t(3β 1 k) + ve t(β 1+k) ) x 8ξµe (β 1+k)t p ξ ( ve t(β 1+k) + e 4tβ 1 ) ]}, (4.63) onde, ζ q = [ e 4tβ 1 + v(z + e t(β 1+k) ) + ze t(β 1 k) 4µ ] 1. (4.64) Em seguida, resolvendo a integral A Adx dp exp{ ( zv µ ) 1 [vx µxp + zp +e (β 1+k)t (µp vx)x + e (β 1 k)t (µx zp)p e tβ 1 x p + ve t(β 1+k) )x + ze (β 1 k)t )p ]} exp( x p ξ 8ξx )dx dp, (4.65) e sendo ela do tipo da equação (4.6), podemos comparar o lado direito da equação (4.6) com a equação (4.65), obtendo assim os coeficientes, g 11 = 1 + vet(β 1+k) (zv µ ), g 1 = 1 + zet(β 1 k) (zv µ ), g = µe tβ 1 (zv µ ), f 1 = e(β 1+k)t (zv µ ) (vx µp) 8ξ, f = e(β 1 k)t (zp µx). (zv µ )

83 4..1 Caso (a): Superposição Inicial de Estados Coerentes 71 De modo similar, o mesmo raciocínio usado na equação (4.63), permite-nos concluir que a solução é da forma, A Adq dp = π ζ q (vz µ ) exp{ζ q [ ( e t(β1 k) + v ) x ( e t(β1+k) + z ) p +4µxp 8ξ ( e t(3β 1 k) + ve t(β 1+k) ) x + 8ξµe (β 1+k)t p ξ ( ve t(β 1+k) + e 4tβ 1 ) ]}. (4.66) Agora, resolvendo a integral A A3dx dp temos, exp{ ( zv µ ) 1 [vx µxp + zp + e (β 1+k)t (µp vx)x +e (β 1 k)t (µx zp)p e tβ 1 x p + ve t(β 1+k) )x + ze t(β 1 k) )p ]} exp( x p + i 8ξp + iφ)dx dp, (4.67) e como ela é do tipo da equação (4.6) podemos comparar o lado direito da equação (4.6) com a equação (4.67) para obter os seguintes índices, g 11 = 1 + vet(β 1+k) (zv µ ), g 1 = 1 + zet(β 1 k) (zv µ ), g = µe tβ 1 (zv µ ), f 1 = e(β 1+k)t (vx µp), (zv µ ) f = e(β 1 k)t (zv µ ) (zp µx) + i 8ξ. O mesmo raciocínio usando a equação (4.63) nos leva à solução,

84 4..1 Caso (a): Superposição Inicial de Estados Coerentes 7 A A3dx dp = π ζ q (vz µ ) exp{ζ q [ ( e t(β1 k) + v ) x ( e t(β1+k) + z ) p +4µxp iµ 8ξe t(β 1 k) x + i 8ξ ( ze t(β 1 k) + e t(3β 1+k) ) p (8ξ 4iφ)µ (4ξ iφ)ve t(β 1+k) 8ξzv + 4izvφ +izφe t(β 1 k) + iφe 4tβ 1 ]}. (4.68) A partir do exposto podemos resolver a equação A A4dx dp, exp{ ( zv µ ) 1 [vx µxp + zp + e (β 1+k)t (µp vx)x +e (β 1 k)t (µx zp)p e tβ 1 x p + ve t(β 1+k) )x + ze t(β 1 k) )p ]} exp( x p i 8ξp iφ)dx dp. (4.69) Como a integral é do tipo da equação (4.6), podemos comparar o lado direito da equação (4.6) com a equação (4.69), obtendo os índices, g 11 = 1 + vet(β 1+k) (zv µ ), g 1 = 1 + zet(β 1 k) (zv µ ), g = µe tβ 1 (zv µ ), f 1 = e(β 1+k)t (vx µp), (zv µ ) f = e(β 1 k)t (zv µ ) (zp µx) i 8ξ. Usando o mesmo raciocínio da equação (4.63), podemos concluir que a solução é

85 4.. Caso (b): Estado Coerente 73 A A4dx dp = π ζ q (vz µ ) exp{ζ q [ ( e t(β1 k) + v ) x ( e t(β1+k) + z ) p +4µxp + iµ 8ξe t(β 1 k) x i 8ξ ( ze t(β 1 k) + e t(3β 1+k) ) p (8ξ + 4iφ)µ (4ξ + iφ)ve t(β 1+k) 8ξzv 4izvφ izφe t(β 1 k) iφe 4tβ 1 ]}. (4.70) Desta forma a função de Wigner para o estado de gato evoluindo no tempo é W (x, p, t) = 4η (π) 1 N ζ q exp [ ζ q ( ( e t(β 1 k) + v ) x ( e t(β 1+k) + z ) p + 4µxp )] {exp [ ξζ q ( ve t(β 1 +k) + e 4tβ 1 )] cosh[ζ q 8ξ ( (e t(3β 1 k) + ve t(β 1+k) ) x µe (β 1+k)t p)] + exp [ 4ξζ q (µ vz ve t(β 1+k) ) ] [ ( cos ζ q 8ξ µe t(β 1 k) x + ( ze t(β1 k) + e ) t(3β 1+k) p ) ] + φ }, (4.71) lembrando que ζ q = [ e 4tβ 1 + v(z + e t(β 1+k) ) + ze t(β 1 k) 4µ ] Caso (b): Estado Coerente Como segundo exemplo podemos considerar a evolução do estado inicial coerente α, com α r exp(iϕ). A função de Wigner para o estado coerente é, W C(x, p, 0) = exp [ (x r cos ϕ) (p ] r sin ϕ), (4.7) cujos detalhes dos cálculos da função Wigner encontram-se no Apêndice B. Aplicando o propagador dado pela Eq.(4.50) na função de Wigner incial da Eq.(4.7) temos, W (x, p, t) = G(q, q, t)w C(x, p, 0)dx dp,

86 4.. Caso (b): Estado Coerente 74 e então, W (x, p, t) = (π) N ( zv µ ) 1 exp{ ( zv µ ) 1 [vx µxp +zp + e (β 1+k)t (µp vx)x + e (β 1 k)t (µx zp)p e tβ 1 x p + ve t(β 1+k) )x + ze (β 1 k)t )p ]} exp [ (x r cos ϕ) (p ] r sin ϕ) dx dp. (4.73) De novo, como a integral é do tipo da equação (4.6), podemos comparar o lado direito da equação (4.6) com a equação (4.73) e assim obter os índices, g 11 = 1 + vet(β 1+k) (zv µ ), g 1 = 1 + zet(β 1 k) (zv µ ), g = µe tβ 1 (zv µ ), f 1 = e(β 1+k)t (zv µ ) (vx µp) + r cos ϕ, f = e(β 1 k)t (zv µ ) (zp µx) + r sin ϕ, e o mesmo raciocínio usando a equação (4.63), permite obter a solução, W (x, p, t) = (π) 1 N ζ q exp{ζ q [ ( e t(β 1 k) + v ) x ( e t(β 1+k) + z ) p +4µxp + ( 4µ re t(β1 k) sin ϕ + 4v re t(β1+k) cos ϕ + ) re t(3β1 k) cos ϕ x ( + 4µ re t(β1+k) cos ϕ + 4z re t(β1 k) sin ϕ + ) re t(3β1+k) sin ϕ p +8µre tβ 1 cos ϕ sin ϕ 4vre t(β 1+k) cos ϕ 4zre t(β 1 k) sin ϕ re 4tβ 1 ]}, (4.74)

87 4.. Caso (b): Estado Coerente 75 onde ζ q = [ e 4tβ 1 + v(z + e t(β 1+k) ) + ze t(β 1 k) 4µ ] 1. Simplificando os termos podemos reescrevê-la como, W (x, p, t) = (π) 1 N ζ q exp{ζ q [ (xe t(β 1 k) re tβ 1 cos ϕ) (pe t(β 1+k) re tβ 1 sin ϕ) + 4µxp v(x re t(β 1+k) cos ϕ) z(p re t(β 1 k) sin ϕ) 4µ(1 + (1 re t(β 1 k) sin ϕ)( 1 + re t(β 1+k) cos ϕ))]}, (4.75) de onde obtemos a função de Wigner para o estado coerente, W α (x, p, t) = { exp [ (x x0 e t(γ+k)) spp (t) Y (t) Y (t) s xp (t) ( p p 0 e t(γ k)) ( x x 0 e t(γ+k)) + ( p p 0 e t(γ k)) sxx (t)] }, (4.76) onde x 0 = r cos(ϕ), p 0 = r sin(ϕ), s xp (t) = z 0 (t) e as novas funções dependentes do tempo sendo definidas assim, Y (t) = 4 [ s xx (t)s pp (t) s xp(t) ], (4.77) s xx (t) = z et(γ+k), s pp (t) = z + 1 et(γ k). (4.78) A fórmula (4.76) é um caso especial da fórmula geral da função de Wigner para estados Gaussianos mais gerais [147], W (q) = exp [ (q q ) (M) 1 (q q )] [det(πm)] 1/, (4.79)

88 4.. Caso (b): Estado Coerente 76 onde M é a matriz de covariância e q é o valor médio do operador vetorial ˆq. Em particular, Y 4 det(m), para os estados Gaussianos. Assumimos por simplicidade que o autovalor α, do operador â atuando no estado coerente α, é real e positivo, de modo que x 0 = α > 0 e p 0 = 0. Então a função de Wigner do estado tipo gato (4.1) tem a forma W φ (x, p, 0) = η exp ( p ) { exp [ (x x 0 ) ] + exp [ (x + x 0 ) ] } + W int (x, p, 0), (4.80) onde o termo, W int (x, p, 0) = 4η exp ( x p ) cos (x 0 p + φ), (4.81) descreve o efeito de interferência no espaço de fase. A evolução dos dois primeiros termos em (4.80) é dada pela Eq. (4.76) com p 0 = 0. Reescrevendo a Eq.(4.71) evoluindo no tempo, incluindo o termo de interferência, temos, { W φ (x, p, t) = 4η exp [ spp x s xp xp + s xx p ]} Y Y { exp [ x 0a(t) ] ( ) 4x0 cosh Y et(γ+k) [s pp x s xp p] + exp [ x 0b(t) ] ( ) } 4x0 cos Y et(γ k) [s xx p s xp x] + φ, (4.8) onde, a(t) = s pp(t) e t(γ+k) Y (t), b(t) = 4 [z (t)s xx (t) z0(t)]. (4.83) Y (t) As funções dependentes do tempo Y (t) e s jk (t) foram definidos nas Eqs. (4.77) e (4.78). A integração (4.8) sobre p ou x fornece a distribuição marginal na forma X(x, t) =

89 4.3 Negatividade da Função de Wigner 77 W (x, p, t)dp/(π). Temos, [ ( η x x0 e X(x, t) = {exp t(γ+k) ] πsxx + exp [ ( x + x0 e t(γ+k) ] s xx s xx + cos(φ) exp [ x x 0 s xx ] }. (4.84) A outra distribuição marginal é P (p, t) = W (x, p, t)dx/(π) e resulta, P (p, t) = η exp ( p πspp ( + exp z ) x 0 s pp s pp cos ) [ 1 ( ) ] x0 p e t(γ k) + φ. (4.85) s pp 4.3 Negatividade da Função de Wigner Observando a Eq. (4.8) e lembrando que cosh(x) 1 e cos(y) 1 para qualquer número real, podemos concluir que a existência de valores negativos para a função de Wigner (indicador de não classicalidade) é determinada pela diferença d(t), dada por d(t) = b(t) a(t). (4.86) Se d(t) < 0, existirão regiões no plano de fase onde W < 0 para arbitrária fase φ (embora a localização das regiões dependa do valor de φ). Mas, se d > 0 a função de Wigner é sempre positiva, independente de φ. Então, para t = 0, b(0) = 0 e a(0) = 1 a função de Wigner terá regiões de negatividade para qualquer φ. Isto pode ser visto claramente ao longo da linha da crítica s pp x s xp p = 0, onde a função cosh é igual à unidade, temos, ] W φ (p, t) = 4η exp [ { p a(t)x 0 1 Y s pp + exp [ x 0d(t) ] ( ) } x0 p cos e t(γ k) + φ. (4.87) s pp

90 4.3 Negatividade da Função de Wigner 78 As posições dos pontos mais negativos (ou onde W φ (p, t) tem seu valor mais negativo), são dadas pelas relações, com m inteiro arbitrário, x 0 p m s pp e t(γ k) + φ = π(m + 1), s pp x m s xp p m = 0. (4.88) Então, se x 0 1 a função de Wigner atinge os valores mínimos negativos próximo da origem (x = p = 0), e valores mínimos ligeiramente diferentes para diferentes valores de φ, devido ao fator de amortecimento exp[ p /(s pp )]. Por isso, é conveniente considerar a evolução do gato inicial ímpar (φ = π), cuja função Wigner W (x, p, t) é máxima negativa, precisamente na origem (mostrando claramente não classicalidade). Na ausência de reservatório (Γ 1 = Γ = Γ 3 = 0) temos b(t) 0. Nesse caso a função de Wigner tem sempre regiões negativas para qualquer t > 0 e φ. Além disso, é fácil ver que os valores negativos de W são mínimos nos pontos (x m, p m ) e não dependem do tempo (bem como do coeficiente de amplificação paramétrica k) pois Y (t) 1, e neste caso a evolução é puramente unitária (embora as posições dos picos possam se mover). Em particular, W (0, 0, t) = 4η [exp ( x 0) 1]. Se x 0 1, então este valor é muito próximo de, que é o limite inferior para qualquer função de Wigner definida pela Eq. (4.13) [ ]. Na presença do reservatório temos, [ ] W (0, 0, t) = 4η e x 0 a(t) e x 0 b(t), (4.89) Y e para t 0 encontramos as seguintes expressões aproximadas, mantendo apenas termos lineares com respeito a t, b(t) t (Γ 0 Γ R ), a(t) 1 t (Γ 0 + Γ R ), (4.90) Y (t) 1 + 4t (Γ 0 + γ), (4.91)

91 4.3 Negatividade da Função de Wigner 79 de modo que o comportamento inicial da função W (0, 0, t) para t 0 e x 0 1 pode ser escrito em boa aproximação como, W (0, 0, t) + 4tx 0 (Γ 0 Γ R ). (4.9) Isso significa que a taxa de positivação da função de Wigner pode ser significativamente diminuída (ou aumentada) no reservatório sensível à fase (Γ R 0), comparada com um reservatório insensível a ela. A taxa inicial de positivação é proporcional ao quadrado da distância entre os dois componentes da superposição x 0, o que é típico de estados tipo gato [109]. Além disso, é importante notar que nem o coeficiente de amplificação paramétrica k, nem os coeficientes Γ I e γ entram na Eq. (4.9). Mas o comportamento de W (0, 0, t) para um tempo grande é sensível a todos os parâmetros. Portanto, as previsões do tempo de positivação baseadas na Eq. (4.9) podem ser enganosas em muitos casos. Isto é mostrado nas Figs , que exibem o comportamento da função W (0, 0, t) para os valores fixos de dois parâmetros: Γ 0 = 1 e x 0 = 10 (a direção do eixo vertical é invertida por conveniência e somente os valores negativos de W (0, 0, t) são exibidos). A parametrização a seguir é usada, γ = Γ 0 σ, σ = Γ 1 Γ Γ 1 + Γ, (4.93) Γ 1 = Γ 0 (1 + σ), Γ = Γ 0 (1 σ), (4.94) Γ R = Γ 0 χ 1 σ cos β, Γ I = Γ 0 χ 1 σ sin β, (4.95) onde 1 σ 1 e 0 χ 1. σ = 1 absorção máxima do reservatório (zero absoluto); σ = 0 reservatório com temperatura infinita; σ = +1 máxima amplificação do reservatório; χ = 0 significa reservatório insensível à fase; χ 0 significa reservatório sensível à fase.

92 4.3 Negatividade da Função de Wigner 80 O parâmetro σ é negativo para atenuação do reservatório e positivo para amplificação. Ele pode ser relacionado com a temperatura efetiva T do reservatório com σ = tanh[1/(t )] (adimensional), de modo que σ = 1 corresponde à absorção máxima do reservatório, ocorrendo para temperatura no zero absoluto. Já σ = 0 corresponde ao reservatório com temperatura infinita e σ = +1 correspondendo à máxima amplificação com pequeno ruído (formalmente, ela pode ser interpretada considerando o sistema com temperatura negativa no limite quando ela tende a zero, mantendo-se negativa). Por exemplo, todas as curvas na Fig. 4.1 correspondem a reservatórios insensíveis à fase; todos iniciam com a mesma inclinação, porque Γ R = 0 neste caso. Mas o seu comportamento é diferente para diferentes valores dos parâmetros k e σ. O que não pode ser previsto em todos os comportamentos iniciais é o fato de as curvas (a) e (e), correspondentes ao mesmo valor absoluto k = 10, cruzarem o eixo horizontal no mesmo ponto, o mesmo ocorrendo para as curvas (b) e (f). Isto não pode ser visto na Fig. 4.1; percebe-se apenas pela ampliação da região próxima ao eixo horizontal; a prova é dada abaixo. Além disso, as duas curvas centrais (c) e (d) correspondem ao valor pequeno de k, k = 0, 1, e cruzam o eixo horizontal em valores de tempo maiores do que as curvas obtidas com k = 10. As Figs. 4. e 4.3 correspondem à amplificação devido à ação de reservatórios sensíveis à fase, com coeficiente de correlação χ em torno do seu máximo e diferentes temperaturas efetivas. Podem ver três pares de curvas (k = ±10) a partir das inclinações iniciais, dependendo do valor da fase β: (a-c), (b-d) e (e-f) na Fig. 4. e (a-c), (b-e) e (d-f) na Fig O comportamento intermediário em cada par é bastante diferente, mas as curvas de cada par cruzam o eixo horizonatal no mesmo ponto (embora não possa ser visto clara-

93 4.3 Negatividade da Função de Wigner W (0,0,t) a b d c e f t Figura 4.1: A função de Wigner W (0, 0, t) para Γ 0 = 1, χ = 0, para diferentes valores de parâmetros σ e k. (a): σ = 1, k = 10; (b): σ = 1, k = 10; (c): σ = 1, k = 0.1; (d): σ = 1, k = 0.1; (e): σ = 1, k = 10; (f): σ = 1, k = 10. mente nessas figuras, devido à escala usada nas mesmas). Além disso, os pares com β = 0 e β = π se encontram no mesmo ponto do eixo horizontal. Vemos que nem a curva inicial, nem o comportamento das curvas intermediárias podem indicar o seu destino final. Essas peculiaridades são explicadas abaixo. Todas as curvas nas Figs , mais cedo ou mais tarde cruzam o eixo horizontal, embora em muitos casos o ponto de intersecção não seja visto claramente nas figuras. Para entender tal comportamento, temos que estudar a evolução da função d(t) (4.86). Seu valor assintótico d para t é determinado pelos sinais das combinações γ ±k (que coincidem com os sinais dos coeficientes ζ ± devido à desigualdade Γ R Γ 0 ). As expressões explícitas

94 4.3 Negatividade da Função de Wigner W (0,0,t) d e f a b c t Figura 4.: A função dewigner W (0, 0, t) para Γ 0 = 1, χ = 0.99 e σ = 0.01, para diferentes valores de parâmetros β e k. (a): β = π, k = 10; (b): β = π/, k = 10; (c): β = π, k = 10; (d): β = π/, k = 10; (e): β = 0, k = 10; (f): β = 0, k = 10. são as seguintes: ζ + ζ ζ0 1, γ > k, (ζ + + 1) (ζ + 1) ζ0 ζ +, k < γ < k, d = ζ ζ ζ + 1, k < γ < k, 1, γ < k. (4.96) Todos esses quatro valores são positivos. Isto é evidente para os três últimos. Para ver a validade da desigualdade ζ + ζ ζ 0 1 > 0 sob a condição γ > k, devemos reescrevêla em termos dos coeficientes Γ j. Depois de alguma álgebra pode-se chegar à desigualdade 4γ (Γ 1 Γ Γ 3 ) + k (Γ I + γ ) > 0. Consequentemente, na presença do reservatório, a função W (0, 0, t) torna-se assintoticamente não negativa para qualquer relação entre os coeficientes γ e k. No entanto, no caso de o coeficiente Γ 3 ser diferente de zero, os instantes t em que as funções W (0, 0, t) ou d(t) se anulam, um e outro podem ser significativamente adiados, comparando com o caso do reservatório insensível à fase, com Γ 3 = 0.

95 4.3 Negatividade da Função de Wigner W (0,0,t) c e f a b d t Figura 4.3: A função Wigner W (0, 0, t) para Γ 0 = 1, χ = 0.99 e σ = 0.8, mas para diferentes valores de parâmetros β e k. (a): β = π, k = 10; (b): β = π/, k = 10; (c): β = π, k = 10; (d): β = 0, k = 10; (e): β = π/, k = 10; (f): β = 0, k = 10. Vale ressaltar que a equação d(t) = 0 não contém o comprimento inicial da superposição x 0. Isto significa que o tempo de positivação final (TPF) t pode ser muito maior do que se poderia esperar, apenas observando a inclinação inicial da função W (t) em t 0. A equação d(t) = 0 pode ser escrita como segue, sinh (kt) = γ ρ + k Γ I γ ρ R sinh (γt) γ k e γt, (4.97) 4ρ R onde, ρ = Γ 0 Γ R Γ I = Γ 0 4 Γ 3, ρ R = Γ 0 Γ R. (4.98) Pode-se verificar que ρ γ devido à desigualdade (4.6). Existem várias consequências imediatas da forma explícita da Eq. (4.97). Primeiramente, pode-se ver que as suas soluções dependem do valor absoluto do coeficiente Γ R, ou seja, eles não mudam se

96 4.3 Negatividade da Função de Wigner 84 a fase β for substituída por π β. Isto significa que o comportamento inicial da função W (0, 0, t), que é sensível ao sinal de Γ R, não pode prever o valor da TPF. A segunda consequência importante é que t depende do valor absoluto do coeficiente de excitação paramétrica k. Este resultado também parece ser surpreendente, porque a distância entre os dois picos da superposição depende do tempo da seguinte forma x 0 exp[t(γ + k)]. Portanto, digamos para γ = 0, a superposição expande para k > 0, encolhe para k < 0, mas isso não influência o instante em que a função de Wigner na origem se torna positiva. A Eq. (4.97) pode ser resolvida analiticamente em relação à variável t, em dois casos especiais. O primeiro é para k = 0. Denotaremos a solução t como ( ) ρ t = (γ) 1 ln. (4.99) ρ γ A expressão (4.99) é válida para os valores positivos e negativos do coeficiente γ. No entanto, pode-se ver facilmente que, para valores fixos de γ, o TPF no caso de amplificação (γ > 0) demora mais para ocorrer do que no caso de atenuação (γ < 0), pois t (+) t ( ) ( ) ρ = ( γ ) 1 ln > 0. (4.100) ρ γ Note que t dada por (4.99) não depende da fase β neste caso especial (k = 0), significando que para valor fixo de χ, todas as linhas a partir de t = 0 com declives bastante diferentes se cruzam no mesmo ponto do eixo horizontal. Em outras palavras, apesar de o tempo de positivação inicial ser bastante diferente, o TPF é o mesmo. Se Γ 1 = Γ, então γ = σ = 0. Neste caso obtém-se t γ=0 = (ρ) 1, (4.101)

97 4.3 Negatividade da Função de Wigner 85 e o tempo pode ser grande se Γ 3 Γ 1. Fórmula (4.101) generaliza o resultado de [19] obtido para o reservatório insensível à fase. Para k 0 pode-se encontrar a pequena correção δt para a solução exata (4.99): δt = k ρ R [ln (y) 4ργ 4 ] (y 1), y = ρ y ρ γ. (4.10) Pode-se verificar que a função nos colchetes é negativa no intervalo inteiro 0 < y < ; ela é invariante frente à mudança y 1/y, exceto para o ponto y = 1, onde a função se anula. Consequentemente, pode-se esperar que o aumento do k irá resultar na diminuição da positivação. Isso pode ser confirmado analiticamente no caso especial em que γ = 0 e Γ I = 0 (por exemplo, ρ R = ρ), quando a Eq. (4.97) tem a seguinte solução analítica para um k 0 arbitrário, ( t = ( k ) 1 ln B + ) B 1, (4.103) onde B = 1 + k /(ρ ). No limite que k 0 a Eq. (4.103) recai na Eq. (4.101), mas t diminui com o aumento de k e tende a zero quando k. As soluções numéricas para a Eq. (4.97) confirmam tal comportamento para todas as combinações de coeficientes, conforme mostrado na Fig Portanto, a aceleração da velocidade de movimento dos dois picos da superposição, via amplificação paramétrica, é acompanhada pela aceleração da positivação do estado inicial tipo gato. Este resultado também parece surpreendente, pois na ausência de reservatório o estado permanece puro para todos os tempos e valores arbitrários de k. Poderiamos esperar que o aumento da razão k /Γ 0 tornaria o sistema menos sensível à influência do reservatório, mas a situação real não confirma isso, o que pode ser devido a algum tipo de interferência destrutiva entre os diferentes processos de amplificação.

98 4.4 Compressão versus Negatividade da Função de Wigner d t c b a k Figura 4.4: O Tempo de Positivação Final (TPF) t como função do coeficiente de amplificação paramétrica k para Γ 0 = 1 e χ = 0.99, mas para diferentes valores dos parâmetros σ e β. (a): σ = 0.01, β = π/; (b): σ = 0.8, β = 0; (c): σ = 0.8, β = π/; (d): σ = 0.01, β = 0. Note que a ordem de curvas com β = 0 e β = π/ depende do parâmetro σ. 4.4 Compressão versus Negatividade da Função de Wigner Acaso a não negatividade da função de Wigner sempre implicaria ser clássico o estado que ela representa? Em outras palavras, acaso ela levaria a TPF a coincidir com o tempo de classicalização? 1. Se lembrarmos que existem vários indicadores independentes de não classicalidade, como vimos, pode-se esperar que a resposta seja Não. Por exemplo, as funções de Wigner de estados puros comprimidos é positiva, mas esses estados são não clássicos [110]. Tendo em vista essa observação, vamos considerar a evolução da compressão nos casos considerados nas seções anteriores. Sabemos que não ocorre compressão nas superposições ímpares de estados coerentes, mas alguma compressão ocorre nas superposições pares [ ]. Ou seja, se α = x 0 / é real, então a variânça no momento inicial σ p = ˆp ˆp para o estado 1 O termo classicalização foi introduzido em Ref. [157]; e também foi usado por exemplo em Refs. [ ].

99 4.4 Compressão versus Negatividade da Função de Wigner 87 coerente par é menor do que aquela obtida no estado de vácuo, onde σ p = 1/, como segue, σ p (0) = 1 s, s = x 0 exp (x 0) + 1. (4.104) A evolução temporal de σ p pode ser encontrada calculando a integral p W (x, p, t)dxdp/(π), levando em conta a Eq. (4.8) (como ˆp 0 para o estado de gato par). O resultado é o seguinte: σ p (t) = σ p (0)g(t) + z (t), g(t) e (γ k)t, (4.105) onde z (t) é dada pela Eq. (4.5). A fórmula (4.105) é válida para um estado inicial arbitrário. No caso de amplificação do estado coerente inicial par (por exemplo, para γ k > 0), a compressão desaparece, pois obtemos σ p (t) > 1/, para g > g s = 1 + σ κ χ cos(β) 1 σ 1 + (σ κ)(1 s) χ cos(β) 1 σ, (4.106) onde κ = k/γ 0 e outros parâmetros definidos nas Eqs. (4.93)-(4.95). Para o amplificador insensível à fase (χ = k = 0) a Eq. (4.106) fornece o coeficiente de amplificação máximo, g max =, o qual destrói a compressão em qualquer estado inicialmente comprimido [16 164] (isto é obtido para s = σ/ = 1/). Por outro lado, para χ 0 (ou seja, usando amplificadores sensíveis à fase) podemos obter valores críticos do coeficiente de amplificação, g s >, como estabelecido na literatura [115, 165, 166]. Vamos considerar o caso especial k = 0, pois existem fórmulas analíticas para o TPF. Aqui escolheremos β = 0, porque isso confere o maior valor a g s e, consequentemente, ao tempo de destruição da compressão (TDC) t s = (γ) 1 ln(g s ). Comparando dois coeficientes, g s = 1 + σ χ 1 + σ(1 s) χ and g = 1 χ 1 χ σ, (4.107)

100 4.4 Compressão versus Negatividade da Função de Wigner 88 onde χ = χ 1 σ e σ > 0. Vemos que a diferença g s g é positiva (a negatividade foi eliminada antes de desaparecer a compressão), sob a condição s 1 χ 1 σ + χ > 0. (4.108) χ < χ +, onde Essa desigualdade pode ser satisfeita se o parâmetro χ pertence ao intervalo χ < χ ± = 1 + σ ± s 1 + 4s (1 + σ) (1 + 4s ) 1 σ. (4.109) Os valores de χ + (σ) iniciam em χ max = 1 para σ = 0 e diminuem na medida em que σ aumenta, enquanto que χ (σ) inicia no valor χ min = ( 1 4s ) / ( 1 + 4s ), (4.110) para σ = 0 e cresce na medida em que σ aumenta. As duas curvas se cruzam no ponto crítico, σ c = 1 + 4s 1, χ c = s. (4.111) Como consequência, existe uma região com parâmetros σ-χ onde a função de Wigner se torna totalmente positiva, mantendo algum grau (mesmo pequeno) de compressão para intervalo de tempo finito entre t e t s. Chamaremos esse intervalo de Região de Compressão Positiva (RCP). Um exemplo é mostrado na Fig Até mesmo para estados coerentes pares o parâmetro s tem um valor máximo, ligeiramente superior ao valor de 0, 500, no intervalo compreendido entre 1, 0000 < x 0 < 1, 4000, com o valor máximo s max 0, 785 alcançado para x 0 1, Para este valor obtém-se σ max c 0, 1450, com os valores correspondentes χ c 0, 8740 e χ min 0, 500. As Figs. 4.6 e 4.7 mostram a função de Wigner do estado inicial coerente par, para p = 0 e

101 4.4 Compressão versus Negatividade da Função de Wigner χ σ Figura 4.5: A região do espaço dos parâmetros σ χ onde a função de Wigner do estado coerente par torna-se positivo t < t < t s, mantendo mesmo assim algum grau de compressão p-variável. A curva externa corresponde ao valor máximo possível do parâmetro s definido no Eq. (4.104): s max = A curva interna corresponde s = s max /. x = 0, juntamente com as densidades de probabilidade X(x) e P (p) ( cf. Eqs. (4.8), (4.84) e (4.85) ), para dois instantes de tempo: t = 0 e t = t. Escolhemos x 0 = (então s 0.07), pois para menores valores de x 0 a função inicial W (x, 0, 0) tem apenas um único pico central, enquanto o efeito de compressão se torna muito pequeno para valores maiores de x 0. Escolhemos os parâmetros do reservatório σ = 0, 005 s e χ = 0, s no interior da RCP, de modo que t < t s. Em seguida, tomamos t = t para mostrar que o estado perde sua negatividade, mas ainda permanece quântico, pois obtemos σ p (t ) = 0, 480 < 0, 500. Se s 0, a RCP diminui na vizinhança do ponto (0,1) no plano σ χ, pois χ min 1 8s e σ c s. Fazendo χ = 1 8νs com 0 < ν 1 na (4.107) e tomando o limite σ 0 nas fórmulas para t e t s obtemos expressões para a TPF e TDC (ver Eq.

102 4.5 Conclusão 90 W (x,0,t) x Figura 4.6: As seções p = 0 da função de Wigner do estado inicial coerente par x 0 = para dois instantes de tempo: t = 0 [a curva sólida W max = ] e t = t = (a outra curva sólida). A curva pontilhada mostra a densidade de probabilidade inicial de coordenadas πx(x, 0) e a curva tracejada mostra πx(x, t ). Os parâmetros do sistema são: Γ 0 = 1, β = 0, k = 0, σ = 0.005, χ = (4.93) ), t = ( 8Γ 0 s ν ) 1, ts = (8Γ 0 sν) 1. (4.11) Por isso, t e t s podem ser muito grande, além disso, t s t se ν 1. No entanto, o efeito de compressão é desprezível neste caso. 4.5 Conclusão Destaquemos os principais resultados deste capítulo. Obtivemos a solução exata para a equação mestra descrevendo o amplificador paramétrico não degenerado interagindo com um modelo de reservatório linear geral, sensível à fase, na forma da equação equivalente àquela do propagador de Fokker - Planck para a função de Wigner. Calculamos a função de Wigner dependente do tempo, descrevendo a evolução da superposição de dois estados

103 4.5 Conclusão W (0,p,t) p Figura 4.7: As seções x = 0 da função de Wigner do estado inicial coerente par, x 0 = para dois instantes de tempo: t = 0 [a curva sólida W max = ] e t = t = (a outra curva sólida). A curva pontilhada mostra (fora de escala) a densidade inicial probabilidade P (p, 0) e a curva tracejada P (p, t ). Os parâmetros do sistema são os mesmos da Fig iniciais coerentes e estudamos em detalhes a evolução da negatividade desta função, que é um dos parâmetros indicadores de não classicalidade de estados. Um ponto de interesse é estender os cálculos aqui realizados para obter o tempo de classicalização final (TCF), ou seja, o intervalo temporal, após o qual todos efeitos não clássicos desapareçam. Obviamente ele não será menor do que a TPF t ou menor que o tempo de destruição compressão t s. Os exemplos na Sec. 4.4 mostram que, em princípio, TCF pode ser muito maior do que TPF. Por outro lado, os mesmos exemplos mostram que para superposições altamente excitadas, onde x 0 1, algumas propriedades não clássicas como compressão ou outras são extremamente fracas, mesmo nos estados iniciais, enquanto que a negatividade da função de Wigner é máxima e independente do grau de excitação da superposição. Portanto, não podemos excluir a possibilidade de que o conceito de TCF possa parecer ilusório para superposições

104 4.5 Conclusão 9 intensas, de modo que TPF deva ser considerado como um razoável tempo de classicalização.

105 Apêndice A Apêndice A.1 Método de Runge-Kutta Quando buscamos a solução de equações diferenciais, estamos tentando obter uma função y(x) a partir de sua derivada, ou seja, queremos encontrar a solução de uma equação do tipo dy(x) dx = f(x, y). Os métodos de Runge-Kutta usam passos simples, requerendo somente derivadas de primeira ordem e fornecem aproximações precisas com erros da ordem de h, h 3 e h 4, onde h é o passo da iteração. Todos eles têm a forma geral, y i+1 = y i + hφ(x i, y i, h), (A.1) onde φ é denominado função incremento, fornecendo uma aproximação conveniente para f(x, y) no intervalo x i x x i+1. 93

106 A.1.1 Runge-Kutta de Segunda Ordem 94 A.1.1 Runge-Kutta de Segunda Ordem Adotando φ como uma média ponderada das aproximações de derivadas k 1 e k no intervalo x i x x i+1, temos: φ = ak 1 + bk, (A.) logo, o algoritmo de Runge-Kutta de segunda ordem é dado por, y i+1 = y i + h(ak 1 + bk ). (A.3) Como φ é uma média ponderada das derivadas k 1 e k, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma, e assumindo que a = b = 1/ bem como, [ ] f(xi, y i ) + f(x i+1, y i+1 ) y i+1 = y i + h, (A.4) k 1 = f(x i, y i ), k = f(x i + ph, y i + qhf(x i, y i )) = f(x i+1, y i+1 ), podemos expandir k em série de Taylor para obter, k = f(x i, y i ) + phf x (x i, y i ) + qhf(x i, y i )f y (x i, y i ) + O(h ). (A.5) A substituição da Eq. (A.5) na Eq. (A.3) nos fornece a seguinte expressão,

107 A.1.1 Runge-Kutta de Segunda Ordem 95 y i+1 = y i + h [af(x i, y i ) + bf(x i, y i )] + h [bpf x (x i, y i )bqf(x i, y i )f y (x i, y i )] + O(h 3 ). (A.6) Agora, expandimos y(x) em x i, usando série de Taylor, y(x i + h) = y(x i ) + hf(x i, y(x i )) + h! f (x i, y(x i )) + h3 3! f (ξ, y(ξ)) = y(x i ) + h dy dx + h d y! dx + h3 d 3 y(ξ), (A.7) 3! dx 3 e igualando termos de mesma potência em h nas Eq. (A.6) e Eq. (A.7) temos, y (x i ) = y i, f(x i, y(x i )) = (a + b)f(x i, y(x i )), 1 [f x(x i, y(x i )) + f y (x i, y(x i ))f(x i, y(x i ))] = [bpf x (x i, y(x i )) + bqf(x i, y(x i ))f y (x i, y(x i ))]. (A.8) A partir das equações acima podemos deduzir que, a + b = 1 = a = 1 b, (A.9) bp = bq = 1 = p = q = 1 b, (A.10) de onde podemos escolher b = 1/ = p = q = 1 e a = 1/. Assim temos,

108 A.1. Runge-Kutta de Quarta Ordem 96 k 1 = f(x i, y i ), k = f(x i + h, y i + hk 1 ), y i+1 = y i + h ( 1 k 1 + 1k ), x i+1 = x i + h. No caso em que b = 1 = a = 0 e p = q = 1/ obtemos, (A.11) k 1 = f(x i, y i ), k = f(x i + 1 h, y i + 1 hk 1), y i+1 = y i + hk, x i+1 = x i + h, (A.1) e o método de RK apresenta grande erro em relação ao método de Runge-Kutta de quarta ordem. A.1. Runge-Kutta de Quarta Ordem Como nosso objetivo neste trabalho é tão somente utilizar o método de Runge-Kutta de quarta ordem (RK4), e não demonstrar como ele é obtido, vamos apenas listar parâmetros necessários para aqui utilizá-lo. k 1 = f(x i, y i ) k = ( x i + 1h, y i + 1hk ) 1 k 3 = f ( x i + 1h, y i + 1hk ) k 4 = f (x i + h, y i + hk 3 ) y i=1 = y i + 1h (k k + k 3 + k 4 ) x i+1 = x i + h (A.13) Os passos necessários para utilizar o RK4 são praticamente os mesmos do RK, tendo como diferença o acréscimo de mais dois passos, para os cálculos dos valores k 3 e k 4, respectivamente. Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem para Equações Acopladas As fórmulas de Runge-Kutta podem ser adaptadas para resolver sistemas de equações

109 A.1. Runge-Kutta de Quarta Ordem 97 diferenciais de primeira ordem que possuem a seguinte forma geral, dx dt dy dt = f(x, y), (A.14) = g(x, y). (A.15) Aqui vamos listar as fórmulas do método de quarta ordem adaptadas para resolver um sistema de duas equações diferencias de primeira ordem acopladas usamos o seguinte procedimento: x i+1 = x + (k 1 + k + k 3 + k 4 ), (A.16) 6 onde: y i+1 = y + (m 1 + m + m 3 + m 4 ), (A.17) 6 k 1 = hf(x, y), m 1 = hg(x, y), k = hf(x + 1 k 1, y + 1 m 1), m = hg(x + 1 k 1, y + 1 m 1), k 3 = hf(x + 1 k, y + 1 m ), m 3 = hg(x + 1 k, y + 1 m ), k 4 = hf(x + k 3, y + m 3 ), m 4 = hg(x + k 3, y + m 3 ), (A.18) os passos necessários para utilizar o RK4 acoplado são praticamente os mesmos do RK4, tendo como diferença o acréscimo de mais passos.

110 Apêndice B Apêndice B.1 Cálculo da função de Wigner A função de onda que descreve uma superposição de estados coerentes é dada por, Ψ = η ( α + α ) (B.1) onde η é o fator de normalização e α, α são os estados coerentes, ( ) α = exp α n=0 ( ) α = exp α n=0 (α) n n! n, ( α) n n! n, Sendo a função de Wigner é definida como, ( ) α = exp α n=0 ( ) α = exp α (α ) n n! n, n=0 ( α ) n n! (B.) n. (B.3) W (p, q, 0) = dxe ipx q x Ψ Ψ q + x, (B.4) e reescrita como, W (p, q, 0) = dxe ipx q x η ( α + α ) ( α + α ) q + x, (B.5) ou ainda, 98

111 B.1 Cálculo da função de Wigner 99 W (p, q, 0) = η dxe ipx q x α α + α α + α α + α α q + x. (B.6) Para encontrar a solução da Eq. (B.6), vamos dividi-la em quatro partes, assim W (p, q, 0) = W 1 + W + W 3 + W 4, (B.7) onde, W 1 = W = W 3 = W 4 = dxe ipx q x α α q + x, dxe ipx q x α α q + x dxe ipx q x α α q + x dxe ipx q x α α q + x,., Sabendo que α = (u + iv)/, â = (ˆq + iˆp)/ e â = (ˆq iˆp)/ temos, D(α) = exp[αâ α â], = exp[ 1 (u + iv)(ˆq iˆp) 1 (u iv)(ˆq + iˆp)], = exp[ 1 (uˆq iuˆp + ivˆq + vˆp uˆq iuˆp + ivˆq vˆp], = exp[i(vˆq uˆp)]. (B.8) Agora, para o operador deslocamento D( α) temos, D( α) = exp[ αâ + α â], = exp[ 1 ( u iv)(ˆq iˆp) 1 ( u + iv)(ˆq + iˆp)], = exp[ 1 ( uˆq + iuˆp ivˆq vˆp + uˆq + iuˆp ivˆq + vˆp], = exp[ i(vˆq uˆp)]. (B.9)

112 B.1 Cálculo da função de Wigner 100 Sendo assim o operador deslocamento pode ser escrito como: D(α) = exp[i(vˆq uˆp)] = e 1 iuv e ivˆq e iuˆp = e iuˆp e ivˆq e 1 iuv, (B.10) D( α) = exp[ i(vˆq uˆp)] = e 1 iuv e ivˆq e iuˆp = e iuˆp e ivˆq e 1 iuv, (B.11) onde α = D(α) 0, α = D( α) 0. Desta forma, podemos calcular as integrais como segue, W 1 = = = = = = dxe ipx q x α α q + x dxe ipx q x exp(iv ˆq) exp( iuˆρ) 0 0 exp(iuˆρ) exp( iv ˆq) q + x dxe ipx exp(iv(q x )) exp( iv(q + x )) q x exp( iuˆρ) 0 0 exp(iuˆρ) q + x dxe i(p v)x (q u) x 0 0 (q u) + x dxe i(p v)x (q u) x 1 ˆq exp( π1/4 ) 1 ˆq (q exp( π1/4 ) x u) + 1 dxe i(p v)x exp ( ((q u) x ) ) exp ( ((q u) + x ) ) π 1/ = e (q u) π 1/ x [ dxe 4 i(p v)x] = e (q u) e (p v) π π 1/ = exp[ (q u) (p v) ]. (B.1) Para o caso de α α, temos:

113 B.1 Cálculo da função de Wigner 101 W = = = = = = dxe ipx q x α α q + x dxe ipx q x exp( iv ˆq) exp(iuˆρ) 0 0 exp( iuˆρ) exp(iv ˆq) q + x dxe ipx exp( iv(q x )) exp(iv(q + x )) q x exp(iuˆρ) 0 0 exp( iuˆρ) q + x dxe i(p+v)x (q + u) x 0 0 (q + u) + x dxe i(p+v)x (q + u) x 1 ˆq exp( π1/4 ) 1 ˆq (q exp( π1/4 ) x + u) + 1 dxe i(p+v)x exp ( ((q + u) x ) ) exp ( ((q + u) + x ) ) π 1/ = e (q+u) π 1/ x [ dxe 4 i(p+v)x] = e (q+u) e (p+v) π π 1/ = exp[ (q + u) (p + v) ], (B.13) para o caso de α α temos,

114 B.1 Cálculo da função de Wigner 10 W 3 = dxe ipx q x α α q + x = dxe ipx q x exp(iv ˆq) exp( iuˆρ) 0 0 exp( iuˆρ) exp(iv ˆq) q + x = dxe ipx exp(iv(q x )) exp(iv(q + x )) q x exp( iuˆρ) 0 0 exp( iuˆρ) q + x = dxe ipx e ivq (q u) x 0 0 (q + u) + x = e ivq dxe ipx (q u) x 1 ˆq exp( π1/4 ) 1 ˆq (q exp( π1/4 ) x + u) + = eivq dxe ipx exp ( ((q u) x ) ) exp ( ((q + u) + x ) ) π 1/ = eivq dxe ipx e (p +u +ux+ x π 1/ 4 ) = e (q +u ivq) π 1/ x [ dxe 4 i(p+iu)x] +u ivq) = e (q e (p+iu) π π 1/ = exp[ (q + u ivq) (p + iu) ], (B.14) enquanto que, para o caso α α,

115 B.1 Cálculo da função de Wigner 103 W 4 = dxe ipx q x α α q + x = dxe ipx q x exp( iv ˆq) exp(iuˆρ) 0 0 exp(iuˆρ) exp( iv ˆq) q + x = dxe ipx exp( iv(q x )) exp( iv(q + x )) q x exp(iuˆρ) 0 0 exp(iuˆρ) q + x = dxe ipx e ivq (q + u) x 0 0 (q u) + x = e ivq dxe ipx (q + u) x 1 ˆq exp( π1/4 ) 1 ˆq (q exp( π1/4 ) x u) + = e ivq dxe ipx exp ( ((q + u) x ) ) exp ( ((q u) + x ) ) π 1/ = e ivq dxe ipx e (p +u ux+ x π 1/ 4 ) = e (q +u +ivq) π 1/ x [ dxe 4 i(p iu)x] +u +ivq) = e (q e (p iu) π π 1/ = exp[ (q + u + ivq) (p iu) ], (B.15) e finalmente encontramos, W (p, q, 0) = η {exp[ (q u) (p v) ] + exp[ (q + u) (p + v) ] + exp[ (q + u ivq) (p + iu) ] + exp[ (q + u + ivq) (p iu) ]}. (B.16)

116 Apêndice C Apêndice C.1 Artigos Publicados 104

117 Chin. Phys. B Vol. 1, No. 3 (01) Quantum communication via controlled holes in the statistical distribution of excitations in a nanoresonator coupled to a Cooper pair box C. Valverde a)b)c), A.T. Avelar c), and B. Baseia c) a) Universidade Paulista, Rod. BR 153, km 7, Goiânia, GO, Brazil b) Universidade Estadual de Goiás, Rod. BR 153, 3105, Anápolis, GO, Brazil c) Instituto de Física, Universidade Federal de Goiás, Goiânia, GO, Brazil (Received 14 August 011) We propose a scheme to transmit information via the statistical distribution of excitations of a nanomechanical resonator. It employs a controllable coupling between this system and a Cooper pair box. The success probability and the fidelity are calculated and compared with those obtained in an atom field system in different regimes. Addtionaly, the scheme can also be applied to prepare low excited Fock states. Keywords: quantum communication, quantum state engineering, superconducting circuits, nanomechanical resonator PACS: Lx, 4.50.Ex, 4.50.Dv DOI: / /1/3/ Introduction Nanomechanical resonators (NRs) have been studied in a diverse number of situations, such as weak force detections, [1] precision measurements, [] and quantum information processing. [3] The demonstration of the quantum nature of mechanical and micromechanical devices is a pursuing target, for example, the manifestations of purely nonclassical behavior in a linear resonator should exhibit energy quantization, the appearance of Fock states, quantum limited position momentum uncertainty, superposition and entangled states, etc. The NRs can now be fabricated with fundamental vibrational mode frequencies in the MHz GHz range. [4 6] Advances in the research of micromechanical devices also raise a fundamental question, whether such systems that contain macroscopic numbers of atoms will exhibit the quantum behavior. Due to their sizes, the quantum behavior in micromechanical systems will be strongly influenced by their interactions with the environment, and the existence of an experimentally accessible quantum regime will depend on the rate at which decoherence occurs. [7,8] One crucial step in the study of nanomechanical systems is the engineering and detection of the quantum effects of the mechanical modes. [9] This can be achieved by connecting the resonators with solid-state electronic devices, [11 14] such as a single-electron transistor. The NR has also been used to study quantum nondemolition measurement, [14 17] quantum decoherence, [13,18] and macroscopic quantum coherence phenomena. [19] The fast advance in the nanotechnology raises great interest in the study of the NR system due to its potential modern applications, such as sensors largely used in various fields including biology, astronomy, and quantum computation. [0,1] It can also be used to implement the quantum qubit [ 4] and the quantum multiqubit [5] in quantum information [3,,6 30] and to explore cooling mechanisms, [31 39] transducer techniques, [40 4] and the generation of nonclassical states (such as the Fock [43] state, Schrödinger s cat, [13,44,45] the squeezed states [46 50] including intermediate and other superposition states. [51 55] ) And more recently, it also find applications in atomic physics and quantum optics. [56] In particular, the NR coupled with superconducting charge qubits has been used to generate entangled states. [13,44,57,58] In a previous paper, Zhou and Mizel [49] proposed a scheme to create squeezed states in an NR coupled to a Cooper pair box (CPB) qubit, where the NR CPB coupling Project supported by the FAPEG (CV), INCT-IQ (ATA), and the CNPq (ATA, BB). Corresponding author Chinese Physical Society and IOP Publishing Ltd

118 Chin. Phys. B Vol. 1, No. 3 (01) was controllable. Sucha control comes from the change of the external parameters and plays an important role in quantum computation, allowing us to turn on and off the interaction between the systems on demand. Now, the storage of optical data and communications using basic processes of quantum physics have been subjects of growing interest in recent years. [59] We present here a feasible experimental scheme to create holes in the statistical distribution of excitations of a coherent state previously prepared in an NR. In this proposal, the coupling strength between the NR and the CPB can be controlled continuously by tuning two external biasing fluxes. The motivation is inspired by the early investigations on the production of new materials possessing holes in their fluorescent spectra [60] and is also inspired by our previous work, in which we have used alternative systems and schemes to attain the goal. [61 64] Producing holes with controlled positions in the number space is desirable due to their possible applications in quantum computation, quantum cryptography, and quantum communication. As argued in Ref. [63], these states may be used for optical data storage, each hole being associated with some signals (say yes, 1, or + ) and its absence being associated with the opposite signals (no, 0, or ). The generation of such holes has been discussed in the contexts of cavity-qed [64] and traveling waves. [65]. Model for a CPB NR system There exist in the literature a large number of devices using the SQUID, where the CPB charge qubit consists of two superconducting Josephson junctions in a loop. In the present model, a CPB is coupled to an NR, as shown in Fig. 1. The scheme is inspired by the works by Liao et al. [7] and Zhou et al., [49] and we have substituted each Josephson junction by two of them. This creates a new configuration including a third loop. A superconducting CPB charge qubit is adjusted via a voltage V 1 at the system input and a capacitance C 1 Josephson energy. In Fig. 1, we can see three loops, one great loop connecting two small ones. This makes it easier to control the external parameters of the system, since the control parameters include the input voltage V 1 plus three external fluxes Φ L, Φ r, and Φ e (t). In this way, we can induce small neighboring loops. The great loop contains the NR, and its effective area in the center of the apparatus changes as the NR oscillates, which creates an external flux Φ e (t) that provides the CPB NR coupling to the system. Φ L Φ e x 0 l Fig. 1. (colour online) Model for the CPB NR coupling. In this work, we assume the four Josephson junctions being identical with the same Josephson energy EJ 0. The external fluxes Φ L and Φ r are assumed to have the same magnitude but opposite signs, Φ L = Φ r = Φ x. In this way, we can write the Hamiltonian describing the entire system as ( Ĥ = ωâ â + 4E c N 1 1 ) ˆσ z ( ) ( ) 4EJ 0 πφx πφe cos cos ˆσ x, (1) Φ 0 where â (â) is the creation (annihilation) operator for the NR excitation with frequency ω and mass m; E c is the charge energy of a single electron; C 1 and C 0 J stand for the input capacitance and the capacitance of the Josephson tunnel, respectively; Φ 0 = h/e is the quantum flux; and N 1 = C 1 V 1 /e is the charge number in the input with the input voltage V 1. We have used the Pauli matrices to describe our system operators, where states g and e (or 0 and 1) represent the numbers of extra Cooper pairs in the superconduting island. We have ˆσ z = g g e e, ˆσ x = g e e g, and E c = e /(C 1 + 4C 0 J ). The magnetic flux can be written as the sum of two terms Φr Φ 0 V 1 Φ e = Φ b + Blˆx, () where Φ b is the induced flux, corresponding to the equilibrium position of the NR, and the second term describes the contribution due to the vibration of the NR, with B being the magnetic field created in the loop. We have assumed that the displacement ˆx is described as ˆx = x 0 (â + â), where x 0 = mω/ is the amplitude of the oscillation

119 Chin. Phys. B Vol. 1, No. 3 (01) Substituting Eq. () in Eq. (1) and controlling flux Φ b, we can adjust cos(πφ b /Φ 0 ) = 0 to obtain ( Ĥ = ωâ â + 4E c N 1 1 ) ˆσ z ( ) ( ) 4EJ 0 πφx πblˆx cos sin ˆσ x. (3) Making the approximation πblx/φ 0 1, we find Φ 0 Φ 0 Ĥ = ωâ â + 1 ω 0ˆσ z + λ 0 (â + â)ˆσ x, (4) where the constant coupling is ( )( ) λ 0 = 4EJ 0 πφx πblx0 cos, and the effective energy is ω 0 = 8E c (N 1 1 ). Under the rotating wave approximation, the above Hamiltonian becomes Φ 0 Φ 0 Ĥ = ωâ â + 1 ω 0ˆσ z + λ 0 (ˆσ + â + â ˆσ ). (5) In the interaction picture, the Hamiltonian is written as where Ĥ I = Û 0ĤÛ0 i Û Û0 0 t, [ ( Û 0 = exp i ωâ â + ω ) ] 0ˆσ z t is the evolution operator in the absence of the CPB NR interaction. Assuming the system operating under the resonant condition, i.e., ω = ω 0, and setting ˆσ z = ˆσ +ˆσ ˆσ ˆσ + and ˆσ ± = (ˆσ x ± i ˆσ y )/, with ˆσ y = ( e g e g )/ i, we have the abbreviated form for the interaction Hamiltonian Ĥ I = β(â ˆσ + âˆσ + ), (6) where β = λ 0, and ˆσ + = g e (ˆσ = e g ) is the raising (lowering) operator for the CPB. We note that coupling constant β can be controlled through flux Φ x, which influences the small loops in Fig. 1. Furthermore, we can control gate charge N 1 via the gate voltage V 1 syntonized to the coupling. It should be mentioned that energy ω 0 depends on the induced flux Φ x. So, when we syntonize the induced flux Φ x, energy ω 0 changes. To avoid unnecessary transitions, we assume the changes in the flux are slow enough to obey the adiabatic condition. Next we show how to make holes in the statistical distribution of excitations in the NR. We start with the CPB initially prepared in its ground state CPB = g and the NR initially prepared in the coherent state NR = α. Then state Ψ that describes the entire CPB NR system evolves as Ψ NC (t) = Û(t) g α, (7) where Û(t) = exp( itĥi) is the evolution operator in the interaction picture. Then after some algebra, we obtain Û(t) = cos(βt â â + 1) g g + cos(βt â â) e e i sin(βt â â + 1) â â â g e + 1 i sin(βt â â) â â â e g. (8) In this way, the evolved state in Eq. (7) becomes Ψ NC (t) = e α n=0 α n n! [cos(ω n τ) g,n isin(ω n τ) e,n + 1 ], (9) where ω n = β n + 1. If we detect the CPB in state g after a convenient time interval τ 1, then state Ψ NC (t) reads Ψ NC (τ 1 ) = η 1 n=0 α n n! cos(ω n τ 1 ) n, (10) where η 1 is a normalization factor. If we choose τ 1 in such a way that β n 1 + 1τ 1 = π/, then component n 1 in Eq. (10) is eliminated. In the second step, we assume that the first CPB is rapidly replaced by a second one in state g, which interacts with the NR after the above detection (instead of replacing the CPB by another one, we can also repeat successively the operation with the same CPB). For the second CPB, the initial state of the NR is the state given in Eq. (10) produced by the detection of the first CPB in g. As a result, the new CPB NR system evolves to the state Ψ NC (τ ) = n=0 α n n! [cos(ω n τ )cos(ω n τ 1 ) g,n icos(ω n τ 1 )sin(ω n τ ) e,n + 1 ]. (11) The detection of the second CPB again in state g leads the entire system to collapse to the state Ψ NC (τ ) = η n=0 α n n! [cos(ω n τ )cos(ω n τ 1 ) n ], (1) where η is a normalization factor. In this way, the choice β n + 1τ = π/ makes a second hole, now in component n

120 Chin. Phys. B Vol. 1, No. 3 (01) By repeating the above procedure M times, we obtain the generalized result for the M-th CPB detection α n M Ψ NC (τ M ) = η M cos(ω n τ j ) n, (13) n! n=0 j=1 where τ j is the time spent in the j-th NR CPB interaction. According to Eq. (13), the number of CPB states detected coincides with the number of holes produced in the statistical distribution. In fact, equation (13) allows us to find the expression for statistical distribution P n = n Ψ NC (τ M ). A little algebra furnishes P n = (α n /n!) M j=1 cos (ω n τ j ) m=0 (αm /m!) M j=1 cos (ω n τ j ). (14) To illustrate the results, we show the controlled production of holes in the photon number distribution in Fig (a) (b) (c) Pn 0. Pn 0. Pn n n n Fig.. Holes in the photon number distribution with α =.0 (a) at n 1 = 4 for the 1-st step, (b) at n 1 = 4 and n = 1 for the -nd step, and (c) at n 1 = 4, n = 1, and n 3 = 7 for the 3-rd step. The success probability to produce the desired state is given by M P s = e α (α m /m!) cos (ω n τ j ). (15) m=0 j=1 Note that the holes shown in Figs. (a), (b), and (c) occur with success probabilities of 9%, 4%, and 0.3%, respectively. We can take advantage of the this procedure and apply it to the engineering of nonclassical states, e.g., to prepare the Fock states [66] and their superposition states. [67] To this end, two strategies can be used. In the first one, we eliminate the components on the left and the right sides of a desired Fock state N, namely, N 1, N,... and N + 1, N +,... In the second one, we only eliminate the left side components of the Fock state N. In both cases, it is convenient to consider the final state of the NR as Ψ NC (τ M ) = η M n=0 α n n! ( i) M M sin(ω n+j τ j ) n + M, (16) j=1 which can be easily obtained by detecting the Cooper pair box in state e. The success probability P s to produce a Fock state N reads P s = e α m=0 M (α m /m!) sin (ω n+j τ j ). (17) j=1 In the first strategy, we prepare Fock states N with N = M, i.e., the phonon number N coincides with the number of CPB detections M. The fidelity of these states is given by the phonon number distribution at P M associated with state Ψ NC (τ M ) M j=1 P M = sin ( jβτ j ) n=0 (αn /n!) M n=1 sin ( n + jβτ n ). (18) We note that in this case the fidelity coincides with the N-th component of the statistical distribution P n. Figure 3 shows the phonon-number distributions exhibiting the creation of Fock states 3, 4, and 5 all with a fidelity of 99%. And the NR in the initial coherent state has α =

121 Chin. Phys. B Vol. 1, No. 3 (01) Pn (a) 1.0 (b) 1.0 (c) Pn Pn n n n Fig. 3. Phonon number distributions exhibiting the creation of Fock states (a) 3 (P s = 17%), (b) 4 (P s = 11%), and (c) 5 (P s = 7%) all with a fidelity of 99%. The α = 0.6 in the initial coherent state. Pn (a) 0.8 (b) 0.8 (c) Pn Pn n n n Fig. 4. Phonon number distributions exhibiting the creation of Fock states (a) (P s = 17%), (b) 3 (P s = 1%), and (c) 4 (P s = 0.3%) all with a fidelity of 99%. The α = 0.6 in the initial coherent state. In the second strategy, we prepare Fock states N with N = M or M 1. The associated fidelity is also given by Eq. (18). Figure 4 shows the phononnumber distributions exhibiting the creation of Fock states 3, 4, and 5 all with the same fidelity of 99%. And the NR in the initial coherent state has α = Conclusion For the feasibility of the scheme, it is worth mentioning some experimental values of parameters and characteristics of our system, the maximum value of the coupling constant is β max 45 MHz, with B 0.1 T, l = 30 µm, x 0 = 500 fm, EJ 0 = 5 GHz, and ω 0 = 00π MHz. [6,7,48,49,68 7] The expression choosing the time spent to make a hole, β n j + 1τ j = π/, gives τ j 0.3 ns by assuming all the CPB previously prepared at t = 0. On the other hand, the decoherence times of the CPB and the NR are 500 ns and 160 µs, respectively. [71] Accordingly, we may create about 1600 holes before the destructive action of the decoherence. However, when considering the success probability to detect all CPB in state g, a more realistic estimation drastically reduces the number of holes. A similar situation occurs in Refs. [6] [64] using the atom field system to make holes in the statistical distribution P n of a field state. In that case, about 1 µs is spent to create a hole, whereas 1 ms is the decoherence time of the field state inside the cavity. So, compared to that scenario, the present system is about 60% more efficient. For the generation of Fock state N, equation (18) shows the convenience of starting with a low excited coherent state, since it involves only a small number of Fock components to be deleted via this hole burning procedure. The success probability is drastically reduced when we have to delete many components of the initial state to get the Fock state N. As a consequence, this method will work only for small values of N (N 5). References [1] Bocko M F and Onofrio R 1996 Rev. Mod. Phys [] Munro W J, Nemoto K, Milburn G J and Braunstein S L 00 Phys. Rev. A [3] Cleland A N and Geller M R 004 Phys. Rev. Lett [4] Cleland A N and Roukes M L 1996 Appl. Phys. Lett [5] Carr D W, Evoy S, Sekaric L, Craighead H G and Parpia J M 1999 Appl. Phys. Lett [6] Huang X M H, Zorman C A, Mehregany M and Roukes M L 003 Nature [7] Bose S, Jacobs K and Knight P L 1999 Phys. Rev. A [8] Midtvedt D, Tarakanov Y and Kinaret J 011 Nano Lett

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123 Physics Letters A 375 (011) Contents lists available at SciVerse ScienceDirect Physics Letters A Classicalization times of parametrically amplified Schrödinger cat states coupled to phase-sensitive reservoirs V.V. Dodonov a,,c.valverde b,c,l.s.souza c,b.baseia d a Instituto de Física, Universidade de Brasília, Caixa Postal 04455, Brasília, DF, Brazil b Universidade Paulista, Rod. BR 153, km 7, Goiânia, GO, Brazil c Universidade Estadual de Goiás, Rod. BR 153, 3105, Anápolis, GO, Brazil d Instituto de Física, Universidade Federal de Goiás, Goiânia, GO, Brazil article info abstract Article history: Received 6 April 011 Received in revised form 8 August 011 Accepted 9 August 011 Available online September 011 Communicated by P.R. Holland Keywords: Quantum degenerate parametric amplifier Phase-sensitive reservoirs Quantum classical transition Negativity of the Wigner function Fokker Planck equation propagator Even/odd coherent states The exact Wigner function of a parametrically excited quantum oscillator in a phase-sensitive amplifying/attenuating reservoir is found for initial even/odd coherent states. Studying the evolution of negativity of the Wigner function we show the difference between the initial positivization time (IPT), which is inversely proportional to the square of the initial size of the superposition, and the final positivization time (FPT), which does not depend on this size. Both these times can be made arbitrarily long in maximally squeezed high-temperature reservoirs. Besides, we find the conditions when some (small) squeezing can exist even after the Wigner function becomes totally positive. 011 Elsevier B.V. All rights reserved. 1. Introduction One of many striking features of quantum mechanics, distinguishing it from the classical one, is the existence of quantum superpositions. For the past decades, a lot of papers were devoted to different superpositions of coherent states, interpreted as models of the so-called Schrödinger cat states (extensive reference lists can be found, e.g. in [1,]). In particular, the superpositions of the form α φ = η ( α +e iφ α ), (1) η = ( [ 1 + cos(φ) ( exp α )]) 1/ () attracted especial attention due to their simplicity. The important particular cases are the even (φ = 0) and odd (φ = π ) coherent states [3 9]. The most interesting are the states with big absolute values of the complex parameter α. They can find applications in various areas, such as the detection of small signals [10,11] or different problems of quantum information [1 15]. Also, they are frequently considered in the context of the problem of quantum classical transition (including the phenomenon of decoherence) [1]. * Corresponding author. Tel.: ; fax: address: (V.V. Dodonov). However, the states created in different laboratories until now have the values α 1 [16,17], inthebestcase α < 1 [18,19]. These facts explain the interest of many researchers to the problem of amplification of the initial superpositions (1), i.e. their transformation into superpositions of states with bigger values of α. One of the first papers was [7], where the phase-sensitive amplifier was considered. This line of studies was continued in [0 ]. The influence of the competition between gain and loss in the phase-insensitive reservoir on the quantum properties of the initial even/odd states was studied in [3 6]. Parametric amplification of the initial cat states in the presence of damping caused by phaseinsensitive reservoirs was considered in [7]. The decoherence of the initial cat states in phase-sensitive reservoirs was studied in [8], whereas the beam splitter model of the reservoir was used for this purpose in [9]. The aim of our Letter is to derive an explicit expression for the time-dependent Wigner function of the initial cat states (1) in the most general case, combining and generalizing separate results obtained earlier in the cited references. Having at hands this general expression one can study the influence of different parameters on the evolution of various quantities characterizing the nonclassicality or quantumness of the states involved. Here we consider only two simplest indicators of nonclassicality (from a big family of existing measures compared, e.g., in Refs. [,30 3]), namely the degree of squeezing (one of the most obvious characteristics) in the even coherent states and the negativity of /$ see front matter 011 Elsevier B.V. All rights reserved. doi: /j.physleta

124 V.V. Dodonov et al. / Physics Letters A 375 (011) the Wigner function. The latter quantity is frequently used as a simple measure of quantumness [5,7,33 36]. Moreover, this quantity was measured in recent experiments [18,19]. We have discovered some kind of interference between different amplification processes. Namely, it is known that the ideal parametric amplification itself (described by means of the Schrödinger equation) changes neither the purity of the quantum state (since the evolution is unitary in this case) nor its maximal negativity (as one can see in formulas of Section 4). On the other hand, it is also known that coupling the system to a reservoir leads eventually to the loss of nonclassical properties, both for attenuating and amplifying reservoirs, since this always introduces some noise [37 39] (a possibility of the noiseless nondeterministic amplification was reviewed recently in [40], but we consider here only the traditional amplification schemes). Combining these observations, one could think that increasing the parametric amplification coefficient, while maintaining parameters of the reservoir fixed, one could make the quantum system less sensitive to the destructive influence of the environment. Surprisingly, this is not so. This interesting fact is one of our motivations to study the problem in detail and to publish the results. The plan of the Letter is as follows. In Section we consider the general master equation describing the linear parametric degenerate amplifier in the presence of the phase-sensitive reservoir. We give explicit formulas for the coefficients of the equivalent Fokker Planck equation describing the evolution of the Wigner function. Then we calculate the exact propagator for this equation; this is one of the main new results. The concrete dynamics of the Wigner functions of the coherent and cat states is considered in Section 3. The evolution of the negativity of the Wigner function is analyzed in Section 4. The evolution of squeezing is analyzed and compared with the evolution of negativity in Section 5. Section 6 contains conclusions.. Basic equations and general solutions Our starting point is the master equation for the statistical operator ˆρ of the harmonic oscillator (we take h = m = ω = 1) d ˆρ/dt = i[ĥ, ˆρ]+ ˆL ˆρ, (3) with the Hamiltonian operator Ĥ = i k (â â ) (4) and the operator describing the nonunitary evolution in the phasesensitive reservoir [41 46] ( ˆL ˆρ = Γ 1 â ˆρâ ââ ˆρ ˆρââ ) ( + Γ â ˆρâ â â ˆρ ˆρâ ) â + Γ 3 (â ˆρâ ââ ˆρ ˆρââ) + Γ ( 3 â ˆρâ â â ˆρ ˆρâ â ). (5) Here â and â are the boson annihilation and creation operators satisfying the canonical commutation relation [â, â ]=1. We use the interaction picture, which is equivalent to the description of the oscillator in the frame rotating with the oscillator eigenfrequency. In this picture the coefficient k is time-independent under the condition of the exact resonance between the oscillator and the external perturbation. We assume that k is real, without any loss of generality. The right-hand side of Eq. (5) is the most general bilinear form with respect to the operators â and â, which preserves the hermiticity and trace of the statistical operator. In order to preserve the positivity of the statistical operator, the coefficients Γ 1 and Γ must be real and non-negative, whereas the complex coefficient Γ 3 must obey the inequality [4 46] Γ 3 Γ 1 Γ. (6) A consequence of (5) is the set of equations for the mean values d â /dt = k â + γ â, d â /dt = k â +γ â, (7) γ = Γ 1 Γ. (8) The solution of (7), â (t) = e γ t [cosh(kt)a 0 + sinh(kt)a 0 ] (with a 0 â (0)), shows that the system under study is the parametric degenerate amplifier in the interaction representation. It is known that the most visual description of quantum systems can be obtained in terms of the Wigner function W (x, p) = dv e ipv x v/ ˆρ x + v/, (9) where the dimensionless variables x and p correspond to the quadrature components ˆx and ˆp related to the operator â as follows: â = (ˆx + i ˆp)/. The consequence of Eqs. (3) (5) is the following Fokker Planck equation for the Wigner function: W t W = D xp x p + 1 D W xx x + 1 D W pp p (k + γ ) (xw) + (k γ ) (pw), (10) x p D xp = Γ I, D xx = Γ 0 Γ R, D pp = Γ 0 + Γ R, (11) Γ 0 = Γ 1 + Γ, Γ R = Γ 3 + Γ 3, Γ I = ( i Γ 3 Γ 3). (1) Note that Γ R Γ 1 Γ Γ 0 due to the restriction (6), so that the diffusion coefficients D xx and D pp are always non-negative. Moreover, Eq. (6) is equivalent to the inequality [47 49] D xx D pp D xp γ. (13) The function W (x, p, t) is related to the initial function W (x, p, 0) by means of the linear transformation W (x, p, t) = ( G x, p; x, p ; ) ( t W x, p, ) 0 dx dp, (14) where G(x, p; x, p ; t) is the propagator of Eq. (10). To calculate this propagator it is convenient to consider the generic Fokker Planck equation for the Wigner function in the N-dimensional phase space W = t q (AqW ) + q D q W, (15) where q = (x, p) is the N-dimensional vector, so that the dimension of the drift matrix A and the symmetric diffusion matrix D is N N. If these matrices do not depend on the phase space coordinates, then the propagator is obviously the exponential of some quadratic form with time-dependent coefficients. Therefore it can be written as follows [50]: ( G q, q, ) t = (π) N[ det M (t) ] 1/ [ exp 1 [ ( q q q, )] [ ( t M 1 q q q, )]] t. (16) Here q (q, t) is the solution to the classical equation of motion dq/dt = Aq with the initial condition q (q, 0) = q, and symmetric matrix M (t) satisfies the equation Ṁ = AM + M Ã + D (17)

125 3670 V.V. Dodonov et al. / Physics Letters A 375 (011) with the initial condition M (0) = 0 (the symbol à means the transposed matrix). 1 For time-independent matrices A and D one can obtain the following explicit formulas [50]: W α (x, p, t) = { exp [( x x0 e t(γ +k)) spp (t) Y (t) Y (t) s xp (t) ( p p 0 e t(γ k))( x x 0 e t(γ +k)) q ( q, t ) = exp(at)q, (18) M (t) = t 0 e A(t τ ) DeÃ(t τ ) dτ. (19) In the case of Eq. (10) matrix A has a simple diagonal form A = γ + k 0 0 γ k, so that exp(at) = exp[(γ + k)t] 0 0 exp[(γ k)t]. Putting the matrix D = 1 D xx D xp D xp D pp, in the integral (19) one can easily find the matrices M (t) = z + z 0 z 0 z, M 1 = 1 z z 0 z 0 z +, where z ± = 1 ζ ±( e t(γ ±k) 1 ), z 0 = 1 ζ 0( e tγ 1 ), (0) = z + z z 0, ζ ± = Γ 0 ± Γ R γ ± k, ζ 0 = Γ I γ. (1) Putting these explicit expressions in Eq. (16) one can arrive at the formula G ( x, p; x, p ; t ) = (π ) 1 exp { ( ) 1[ z x + z + p z 0 xp + z e t(γ +k) x + z + e t(γ k) p z 0 e tγ x p + e (γ +k)t (z 0 p z x)x + e (γ k)t (z 0 x z + p)p ]} () which is the first new result of this Letter. An immediate consequence of Eq. (15) is that the evolution of an arbitrary N N covariance matrix M = M jk, with the elements M jk 1 ˆq j ˆq k + ˆq k ˆq j ˆq j ˆq k,isgivenbyeq.(17), whose general solution is given by the formula M(t) = exp(at)m(0) exp(ãt) + M (t), (3) where matrix M (t) is given by Eq. (19). 3. Evolution of the Wigner function of the cat state The Wigner function of the initial coherent state α reads W α (x, p, 0) = exp [ (x x 0 ) (p p 0 ) ], (4) where x 0 = Reα and p 0 = Imα. Applying the propagator () to (4) we obtain 1 For time-independent matrices A and D formula (16) was derived earlier, e.g., in Refs. [51,5], and implicitly it is contained in Ref. [53]. + ( p p 0 e t(γ k)) sxx (t) ]}, (5) where s xp (t) = z 0 (t) and other functions are defined as follows, Y (t) = 4 [ s xx (t)s pp (t) s xp (t)], (6) s xx (t) = z et(γ +k), s pp (t) = z + 1 et(γ k). (7) Formula (5) is the special case of the general formula for the Wigner function of the Gaussian state [50], W (q) = exp[ (q q )(M) 1 (q q )] [det(π M)] 1/, (8) where M is the covariance matrix and q is the mean value of the vector operator ˆq. Inparticular,Y 4det(M) (for the Gaussian states). We assume for simplicity that the coherent state eigenvalue α is real and positive, so that x 0 = α > 0 and p 0 = 0. Then the Wigner function of the initial cat state (1) has the form W φ (x, p, 0) = η exp ( p ){ exp [ (x x 0 ) ] where the term + exp [ (x + x 0 ) ]} + W int (x, p, 0), (9) W int (x, p, 0) = 4η exp ( x p ) cos(x 0 p + φ) (30) describes the effect of interference in the phase space. The evolution of the first two terms in (9) is given by Eq. (5) with p 0 = 0. The total time dependent Wigner function of the cat state, including the interference term, can be written as follows, W φ (x, p, t) { = 4η exp [ spp x s xp xp + s xx p ]} Y Y { [ ( ) exp x 0 a(t)] 4x0 cosh Y et(γ +k) [s pp x s xp p] + [ ( )} exp x 0 b(t)] 4x0 cos Y et(γ k) [s xx p s xp x]+φ, (31) a(t) = s pp(t) e t(γ +k), b(t) = 4[z (t)s xx (t) z 0 (t)]. (3) Y (t) Y (t) The time dependent functions Y (t) and s jk (t) were defined in Eqs. (6) and (7). Integrating (31) over p or x we obtain the marginal distribution X(x, t) = W (x, p, t) dp/(π) in the form X(x, t) = {exp [ η (x x 0e t(γ +k) ) ] π sxx s xx + exp [ (x + x 0e t(γ +k) ) ] s xx ]} + cos(φ) exp [ x x 0. (33) s xx Another marginal distribution is P(p, t) = W (x, p, t) dx/(π): ) P(p, t) = η exp ( p π spp s pp [ ( 1 + exp z ) ( )] x x0 p 0 cos e t(γ k) + φ. (34) s pp s pp

126 V.V. Dodonov et al. / Physics Letters A 375 (011) Negativity of the Wigner function Looking at Eq. (31) and remembering that cosh(x) 1 and cos(y) 1foranyrealnumbersx and y, we can conclude that the existence of negative values of the Wigner function (31) is determined by the sign of the difference d(t) = b(t) a(t). (35) If d < 0, then there exist such regions in the phase plane where W < 0 for any value of the phase φ (although the concrete location of such regions depends on the value of φ). But if d > 0, then the Wigner function is positive everywhere and for any value of φ. Since b(0) = 0 and a(0) = 1, the initial Wigner function has the regions of negativity for any φ. This can be seen very clearly along the critical line s pp x s xp p = 0, where the cosh function equals unity: ] W φ (p, t) = 4η exp [ p a(t)x 0 Y s pp { 1 + [ ( )} exp x 0 d(t)] x0 p cos e t(γ k) + φ. (36) s pp The positions of the most negative points are given by the relations (m is any integer) x 0 p m e t(γ k) + φ = π(m + 1), s pp x m s xp p m = 0. s pp If x 0 1, then the Wigner function attains the minimal negative values nearby the origin (x = p = 0), and the minimal values only slightly differ for different values of φ due to the damping factor exp[ p /(s pp )]. Therefore it is convenient to consider the evolution of the initial odd coherent state (φ = π ), whose Wigner function [designated as W (x, p, t)] is maximally negative precisely at the origin. In the absence of reservoir (Γ 1 = Γ = Γ 3 = 0) we have b(t) 0. Therefore the Wigner function always has the regions of negative values, for any t > 0 and φ. Moreover, it is easy to see that the negative values of W at the minimal points (x m, p m ) do not depend on time (as well as on the parametric amplification coefficient k), since Y (t) 1 in this case of pure unitary evolution (although positions of these peaks can move). In particular, W (0, 0, t) = 4η [exp( x 0 ) 1]. Ifx 0 1, then this value is very close to, which is the lower bound for any Wigner function defined by Eq. (9) [54 58]. In the presence of the reservoir we have W (0, 0, t) = 4η Y [ e x 0 a(t) e x 0 b(t)]. (37) For t 0 one obtains the following approximate expressions, maintaining only linear terms with respect to t: b(t) t(γ 0 Γ R ), a(t) 1 t(γ 0 + Γ R ), Y (t) 1 + 4t(Γ 0 + γ ). Consequently, the initial behavior of the function W (0, 0, t) for t 0 and x 0 1 can be written with a good accuracy as W (0, 0, t) + 4tx 0 (Γ 0 Γ R ). (38) This means that the rate of positivization of the Wigner function can be significantly diminished (or increased) in the phasesensitive reservoir (Γ R 0), compared with the phase-insensitive one. The initial rate of positivization is proportional to the square of the distance between the two components of the superposition Fig. 1. Function W (0, 0, t) for Γ 0 = 1, χ = 0 but different values of parameters σ and k. (a)σ = 1, k = 10; (b) σ = 1, k = 10; (c) σ = 1, k = 0.1; (d) σ = 1, k = 0.1; (e) σ = 1, k = 10; (f) σ = 1, k = 10. x 0, that is typical for the cat states [1]. Moreover, it is worth noting that neither the parametric amplification coefficient k nor the coefficients Γ I and γ enter Eq. (38). But the long-time behavior of W (0, 0, t) is sensitive to all parameters. Therefore predictions of the positivization time based on Eq. (38) can be misleading in many cases. This is demonstrated in Figs. 1 3, which show the behavior of function W (0, 0, t) for the fixed values of two parameters: Γ 0 = 1 and x 0 = 10 (the direction of the vertical axis is inverted in these figures for convenience, and only negative values of W (0, 0, t) are shown). The following parametrization is used hereafter: γ = Γ 0 σ, σ = Γ 1 Γ Γ 1 + Γ, (39) Γ 1 = Γ 0 (1 + σ ), Γ = Γ 0 (1 σ ), (40) Γ R = Γ 0 χ 1 σ cos β, Γ I = Γ 0 χ 1 σ sin β, (41) where 1 σ 1 and 0 χ 1. The parameter σ is negative for the attenuating reservoir and positive for the amplifying one. It can be related to the effective temperature T of the reservoir as σ = tanh[1/(t )] (in the dimensionless units), so that σ = 1 corresponds to the absorbing reservoir at zero absolute temperature, σ = 0 corresponds to the infinite temperature reservoir, and σ =+1 corresponds to the maximally amplifying medium with minimal additional noise (formally, it can be interpreted as the system with negative temperature in the limit when this temperature tends to zero, remaining negative). For example, all curves in Fig. 1, corresponding to the phaseinsensitive reservoirs, start with the same initial slope, because Γ R = 0 in this case. But their further behavior is clearly different for different values of parameters k and σ. What cannot be predicted at all from the initial behavior, it is the fact that the curves (a) and (e), corresponding to the same absolute value k =10, intersect the horizontal axis at the same point, as well as curves (b) and (f). [This cannot be seen in Fig. 1, buttheamplified plots showing the region close to the horizontal axis clearly confirm this fact; the proof is given below.] Moreover, two apparently central curves (c) and (d), corresponding to the much smaller value k = 0.1, intersect the horizontal axis at much bigger values of time t than the curves with k =10. Figs. and 3 correspond to the phase-sensitive amplifying reservoirs with almost maximal possible correlation coefficient χ,but

127 367 V.V. Dodonov et al. / Physics Letters A 375 (011) Fig.. Function W (0, 0, t) for Γ 0 = 1, χ = 0.99 and σ = 0.01 but different values of parameters β and k. (a)β = π, k = 10; (b) β = π/, k = 10; (c) β = π, k = 10; (d) β = π/, k = 10; (e) β = 0, k = 10; (f) β = 0, k = 10. ζ + ζ ζ 0 1, γ > k, (ζ + +1)(ζ +1) ζ 0 ζ + d = ζ +, k < γ < k, +1 ζ ζ +1, k < γ < k, 1, γ < k. (4) All these four values are positive. This is evident for the last three ones. To see the validity of the inequality ζ + ζ ζ 0 1 > 0under the condition γ > k, one should rewrite it in terms of the coefficients Γ j. After simple algebra one can arrive at the inequality 4γ (Γ 1 Γ Γ 3 ) + k (Γ I + γ )>0, which is certainly correct. Consequently, in the presence of the reservoir the function W (0, 0, t) becomes non-negative asymptotically for any relations between the coefficients γ and k. Nonetheless, in the case of a nonzero coefficient Γ 3 the time instant t when the functions W (0, 0, t) or d(t) turn into zero can be significantly postponed, comparing with the case of the phase-insensitive reservoir with Γ 3 = 0. It is worth emphasizing that the equation d(t) = 0 does not contain the initial length of the superposition x 0. This means that the final positivization time (FPT) t can be much bigger than one could expect, only looking at the initial slope of the function F (t) at t 0. The existence of quite different initial and final decoherence times was discovered for other quantities characterizing the degrees of quantumness of different quantum superpositions in [5,6,8,59]. The equation d(t) = 0 can be written as follows, sinh (kt) = γ ρ + k Γ I γ ρ R where sinh (γ t) γ k e γ t, (43) 4ρ R Fig. 3. Function W (0, 0, t) for Γ 0 = 1, χ = 0.99 and σ = 0.8 but different values of parameters β and k. (a)β = π, k = 10; (b) β = π/, k = 10; (c) β = π, k = 10; (d) β = 0, k = 10; (e) β = π/, k = 10; (f) β = 0, k = 10. different (negative) effective temperatures. One can see three pairs of curves (k =±10) starting with the same initial slopes, depending on the value of the phase β: (a c), (b d), and (e f) in Fig., and (a c), (b e), and (d f) in Fig. 3. The intermediate behavior in each pair is obviously rather different, but finally the curves of each pair intersect the horizontal axis at the same point (although it cannot be seen clearly in these figures). Moreover, the pairs with β = 0 and β = π meet each other at the same point of the horizontal axis. We see that neither the initial nor the intermediate behavior of the curves can indicate their final destiny. These peculiarities are explained below. All the curves in Figs. 1 3 sooner or later intersect the horizontal axis, although in many cases the intersection point is not clearly seen. To understand such a behavior, we have to study the evolution of the function d(t) (35). Its asymptotical value d for t is determined by the signs of combinations γ ± k (which coincide with the signs of coefficients ζ ± due to the inequality Γ R Γ 0 ). The explicit expressions are as follows: ρ = Γ 0 Γ R Γ I = Γ 0 4 Γ 3, ρ R = Γ 0 Γ R. (44) One can verify that ρ γ due to inequality (6). There are several immediate consequences of the explicit form of Eq. (43). First of all, one can see that its solutions depend on the absolute value of coefficient Γ R, i.e. they do not change if the phase angle β is replaced by π β. This means that the initial behavior of function W (0, 0, t), which is sensitive to the sign of Γ R, cannot predict the value of the FPT. The second important consequence is that t depends on the absolute value of the parametric excitation coefficient k. Thisresult also seems to be surprising, because the distance between the two peaks of the superposition depends on time as x 0 exp[t(γ + k)]. Therefore, say, for γ = 0, the superposition expands if k > 0 and shrinks if k < 0, but this does not influence the instant of time when the Wigner function at the origin becomes positive. Eq. (43) can be solved analytically with respect to the time variable t in two special cases. The first one is k = 0. Denoting the solution as t we obtain ( ) ρ t = (γ ) 1 ln. (45) ρ γ Formula (45) is valid both for the positive and negative values of the coefficient γ. However, one can easily see that for the fixed absolute value γ, the final positivization in the case of amplification (γ > 0) happens later than in the attenuation case (γ < 0), because t (+) t ( ) = ( γ ) ( 1 ρ ln ρ γ ) > 0. (46) Note that t given by (45) does not depend on the phase β in this special case (k = 0), meaning that for the fixed value of χ, all lines starting at t = 0 with quite different slopes intersect the

128 V.V. Dodonov et al. / Physics Letters A 375 (011) Squeezing versus negativity But does the total destruction of negativity of the Wigner function always mean that the state becomes totally classical? In other words, does the FPT coincides with the classicalization time? Remembering that there exist many different (and independent) indicators of (non)classicality, one can expect the answer to be negative. For example, the Wigner functions of pure squeezed states are positive, but these states are considered as nonclassical []. Having in mind this observation, let us consider the evolution of squeezing in the cases considered in the preceding sections. It is known that there is no squeezing in the odd coherent states, but some squeezing exists in even coherent states [6 9]. Namely, if α = x 0 / is real, then the initial momentum variance σ p = ˆp ˆp for the even coherent state is smaller than the vacuum state value 1/: σ p (0) = 1 s, s = x 0 exp(x 0 ) + 1. (50) Fig. 4. The final positivization time (FPT) t as function of the parametric amplification coefficient k for Γ 0 = 1 andχ = 0.99 but different values of parameters σ and β. (a)σ = 0.01, β = π/; (b) σ = 0.8, β = 0; (c) σ = 0.8, β = π/; (d) σ = 0.01, β = 0. Note that the order of curves with β = 0andβ = π/ depends on parameter σ. horizontal axis at the same point. In other words, despite that the initial positivization times can be quite different, the FPT is the same. If Γ 1 = Γ,thenγ = σ = 0. In this case one obtains t γ =0 = (ρ) 1, (47) and this time can be made very big if Γ 3 Γ 1. Formula (47) generalizes the result of [3] obtained for the phase insensitive reservoir. For k 0 one can find the following small correction δt to the exact solution (45): δt = k ρ R [ln (y) 4ργ 4 (y 1) y ], y = ρ ρ γ. (48) One can verify that the function inside the square brackets is negative in the whole interval 0 < y < (it is symmetrical with respect to the change y 1/y), except for the point y = 1, where this function equals zero. Consequently, one can expect that increasing k will result in decreasing the positivization time. This is confirmed analytically in the special case of γ = 0 and Γ I = 0 (i.e., ρ R = ρ), when Eq. (43) has the following analytical solution for arbitrary k 0: t = ( k ) 1 ln ( B + B 1 ), (49) where B = 1 + k /(ρ ).Inthelimitk 0 (49) goes to (47), but t monotonously decreases with k, going to zero when k. Numerical solutions to Eq. (43) confirm such a behavior for all combinations of coefficients, as shown in Fig. 4. Therefore accelerating the speed of motion of the two peaks of the superposition by means of parametric amplification is accompanied by accelerating the positivization of the initial cat state. This result also seems surprising, because in the absence of the reservoir the state remains pure for all times for an arbitrary value of k. One could expect that increasing the ratio k /Γ 0 would make the system less sensitive to the influence of the reservoir. But the real situation is quite contrary. This can be interpreted as some kind of destructive interference between different amplification processes. The time evolution of σ p can be found either by calculating the integral p W (x, p, t) dxdp/(π) with account of Eq. (31) (as soon as ˆp 0 for the cat states involved) or by using formula (3). The result is as follows: σ p (t) = σ p (0)g(t) + z (t), g(t) e (γ k)t, (51) where z (t) is given by Eq. (0). Actually, formula (51) is valid for an arbitrary initial state. In the case of amplification of the initial even coherent state (i.e., for γ k > 0), the squeezing inevitably disappears (σ p (t) becomes bigger than 1/) for 1 + σ κ χ cos(β) 1 σ g > g s = 1 + (σ κ)(1 s) χ cos(β) 1 σ, (5) where κ = k/γ 0 and other parameters were defined in Eqs. (39) (41). For the phase-insensitive amplifier (χ = k = 0) Eq. (5) gives the famous maximal amplification coefficient g max = which destroys the squeezing in any initial state [65 67] (it is achieved for s = σ = 1). On the other hand, taking χ 0 (i.e., using phasesensitive amplifiers) one can obtain critical values of the amplification coefficient g s >, as was also established long ago [7,68,69]. Let us consider the special case of k = 0 (when analytical formulas for the FPT exist). Besides, we choose β = 0, because such a choice gives the biggest value of g s and, consequently, the squeezing destruction time (SDT) t s = (γ ) 1 ln(g s ). Then we have to compare two coefficients, g s = 1 + σ χ 1 χ 1 + σ (1 s) χ and g = 1 χ σ, (53) where χ = χ 1 σ and σ > 0.Itcanbeverifiedthatthedifference g s g is positive (i.e., the negativity is completely lost before the squeezing disappears) under the condition s 1 χ 1 σ + χ > 0. This inequality can be satisfied if parameter χ belongs to the interval χ < χ < χ +, where χ ± = 1 + σ ± s 1 + 4s (1 + σ ) (1 + 4s ). (54) 1 σ The term classicalization was introduced, presumably, in Ref. [60]; itwasused, e.g., in Refs. [61 64].

129 3674 V.V. Dodonov et al. / Physics Letters A 375 (011) Fig. 5. The regions in the space of parameters σ χ where the Wigner function of the initial even coherent state becomes positive for t < t < t s, maintaining some degree of squeezing in the p-variable. The outer curve corresponds to the maximal possible value of parameter s defined in Eq. (50): s max = The inner curve corresponds to s = s max /. The curve χ + (σ ) starts at the value χ max = 1forσ = 0 and goes down as σ increases. The curve χ (σ ) starts at the value χ min = ( 1 4s ) / ( 1 + 4s ) for σ = 0 and goes up as σ increases. Two curves intersect at the critical point σ c = 1 + 4s 1 1, χ c =. (55) 1 + 4s Consequently, there exists indeed the region in the σ χ parameter plane where the Wigner function becomes totally positive, while maintaining some (small) degree of squeezing for some finite time interval between t and t s. Let us call it Squeezed Positive Region (SPR). An example is shown in Fig. 5. For even coherent states, parameter s has rather flat maximum, slightly exceeding the level of 0.5 in the interval 1.0 < x 0 < 1.4, with the maximal value s max achieved for x For this value one obtains σc max 0.145, with the corresponding values χ c and χ min 0.5. Figs. 6 and 7 show the sections p = 0 and x = 0oftheWigner function of the initial even coherent state, together with the probability densities X(x) and P(p) [see Eqs. (31), (33) and (34)], for two instants of time: t = 0 and t = t. We choose x 0 = (then s 0.07), because for smaller values of x 0 the initial function W (x, 0, 0) has only single central peak (so that the cat nature of this function is not seen), whereas the squeezing effect becomes very small for bigger values of x 0. We choose the reservoir parameters σ = s and χ = s inside the SPR, so that t < t s. Then the plots for t = t show that the state loses any negativity by this moment and there are no traces of the initial cat structure anymore. Nonetheless this mixed non-gaussian quantum state is still nonclassical, because σ p (t ) = < 0.5. If s 0, the SPR shrinks to the vicinity of the point (0, 1) in the σ χ plane, since χ min 1 8s and σ c s.letusputχ = 1 8νs with 0 < ν 1in(53) and take the limit σ 0informulas for t and t s. Then we arrive at the following expressions for the FPT and SDT [remembering Eq. (39)]: t = (8Γ 0 s ν ) 1, t s = (8Γ 0 sν) 1. (56) Therefore, t and t s can be very big, moreover, t s t if ν 1. However, the squeezing effect is rather illusive in this case. Fig. 6. The sections p = 0 of the Wigner function of the initial even coherent state with x 0 = for two instants of time: t = 0 [the solid curve with W max = ] and t = t = (another solid curve). The dotted curve shows the scaled ( in order to improve the visibility) initial coordinate probability density π X(x, 0) and the dashed curve shows π X(x, t ). The system parameters are: Γ 0 = 1, β = 0, k = 0, σ = 0.005, χ = Fig. 7. The sections x = 0 of the Wigner function of the initial even coherent state with x 0 = for two instants of time: t = 0[thesolidcurvewithW max = ] and t = t = (another solid curve). The dotted curve shows the (non-scaled) initial momentum probability density P(p, 0) and the dashed curve shows P(p, t ).The system parameters are the same as in Fig Conclusions Main results of the Letter are as follows. We have obtained the exact solution to the master equation describing the nondegenerate parametric amplifier interacting with the most general linear phase sensitive reservoir, in the form of the propagator of the equivalent Fokker Planck equation for the Wigner function. As a consequence, we have calculated the time dependent Wigner function describing the evolution of the initial superposition of two coherent states. We have studied in detail the evolution of the negativity of the Wigner function, which serves as one of convenient indicators of the degree of quantumness of the state. We have shown that one has to distinguish the initial positivization

130 V.V. Dodonov et al. / Physics Letters A 375 (011) time (IPT), which can be defined as the inverse rate of decreasing the highest negative peak of the Wigner function in the small time limit, from the final positivization time (FPT), i.e., the time instant when the Wigner function becomes positive everywhere. While the IPT is inversely proportional to the square of the initial distance between the two packets forming the superposition state, the FPT depends only on the parameters of the reservoir and the parametric amplification coefficient, but it does not depend on the initial size of the superposition. It appears that the IPT can be significantly increased or diminished by changing the phase of the complex coefficient describing the correlations in the reservoir, and it depends on the algebraic value of the real part of this coefficient Γ R. On the other hand, the FPT depends on the absolute value of this coefficient. Moreover, it appears that the FPT can be made as long as desired, if one uses the phase sensitive reservoir with infinite effective temperature. One of surprising results is related to the contribution of the parametric amplification coefficient k. It does not influence the IPT, but it always diminishes the FPT for the fixed values of the coefficients related to the reservoir, in such a way that the FPT goes to zero when k.moreover,thefpt depends on the absolute value of k, which means that it is almost the same for the expanding and shrinking superpositions with the same value of k (when it is much bigger than the reservoir amplification or damping coefficient). Perhaps, it could be reasonable to introduce also some kind of the conventional positivization time, defying it as the moment when the Wigner function becomes bigger than some small negative value ɛ, say,ɛ = 0.1 orɛ = Its possible usefulness is explained by the fact (clearly seen in Figs. 1 3) that in many cases the Wigner function goes rather quickly to some very small negative value, remaining approximately at the same negative level for a long time interval, before becoming positive. However, this item needs a more detailed analysis. There is an interesting problem related to the fact that the amplified cat states arising from the initial superpositions of coherent states are strongly deformed in their shapes due to the squeezing effects. To create true big superpositions of the coherent states one should start from the initial superpositions of squeezed states, adjusting the parameters of the reservoir and the parametric amplification coefficient in such a way that each of the two components becomes unsqueezed at some instant of time. It could be interesting to know, under which conditions the created big cat state would not lose its quantum nature at this specific moment. Another problem is related to the observation that the FPT does not depend on the parameters α and φ of the initial cat state (1). It could be interesting to know, whether this result holds for other quantum superpositions, containing, for example, more than two coherent states (like those considered, e.g., in [70 77]) or packets of more complicated shapes [5,6]. It would be also interesting to understand, whether it is possible to define and calculate the ultimate classicalization time (UCT), after which all known nonclassical features disappear. This time is obviously not smaller than the FPT t or the squeezing destruction time t s, and the examples of Section 5 show that, in principle, UCT can be much bigger than FPT. On the other hand, the same examples show that for big superpositions with x 0 1 some nonclassical properties, such as squeezing (or the sub-poisson statistics of the odd coherent states) are extremely weak even in the initial states, whereas the maximal negativity of the Wigner function does not depend on the size of the superposition. Therefore we cannot exclude a possibility that the concept of UCT can appear illusive for big superpositions, so that exactly FPT should be considered as a reasonable classicalization time. But we leave all these interesting problems for the future studies. Acknowledgements V.V.D. and B.B. acknowledge the partial support of CNPq (Brazilian agency). C.V. acknowledges the support of FAPEG. We thank the referees for putting several interesting questions which stimulated us to think more deeply on the subject and to improve significantly the initial version of this Letter. References [1] V. Bužek, P.L. Knight, in: E. Wolf (Ed.), Progress in Optics, vol. XXXIV, North- Holland, Amsterdam, 1995, pp [] V.V. Dodonov, J. Opt. B 4 (00) R1. [3] V.V. Dodonov, I.A. Malkin, V.I. Man ko, Physica 7 (1974) 597. [4] J. Peřina, Quantum Statistics of Linear and Nonlinear Optical Phenomena, Dordrecht, Reidel, 1984, p. 78. [5] M. Hillery, Phys. Rev. A 36 (1987) [6] C.C. Gerry, J. Mod. Opt. 40 (1993) [7] M.S. Kim, K.S. Lee, V. Bužek, Phys. Rev. 47 (1993) 430. [8] V.V. Dodonov, V.I. Man ko, D.E. Nikonov, Phys. Rev. A 51 (1995) 338. [9] V.I. Man ko, in: V.V. Dodonov, V.I. Man ko (Eds.), Theory of Nonclassical States of Light, Taylor & Francis, London, 003, pp [10]N.A.Ansari,L.DiFiore,M.A.Manko,V.I.Manko,S.Solimeno,F.Zaccaria,Phys. Rev. A 49 (1994) 151. [11] W.J. Munro, K. Nemoto, G.J. 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132 Physica A 390 (011) Contents lists available at SciVerse ScienceDirect Physica A journal homepage: Controlling statistical properties of a Cooper pair box interacting with a nanomechanical resonator C. Valverde a,b,c,, A.T. Avelar c, B. Baseia c a Universidade Paulista, Rod. BR 153, km 7, Goiânia, GO, Brazil b Universidade Estadual de Goiás, Rod. BR 153, 3105, Anápolis, GO, Brazil c Instituto de Física, Universidade Federal de Goiás, Goiânia, GO, Brazil a r t i c l e i n f o a b s t r a c t Article history: Received 15 April 011 Received in revised form 7 June 011 Available online 5 July 011 Keywords: Quantum entropy Power spectrum Excitation inversion Cooper pair box Nanomechanical resonator We investigate the quantum entropy, its power spectrum, and the excitation inversion of a Cooper pair box interacting with a nanomechanical resonator, the first initially prepared in its excited state, the second prepared in a Schrödinger-cat state. The method employs the Jaynes Cummings model with damping, with different decay rates of the Cooper pair box and different ranges of detuning, going from resonant to off-resonant cases, including time dependent detunings. Concerning the entropy, it is found that the time dependent detuning turns the entanglement more stable in comparison with previous results in the literature. With respect to the Cooper pair box excitation inversion, while the presence of detuning destroys the collapses and revivals, it is shown that convenient time dependent detunings recover such effects in a nice way. 011 Elsevier B.V. All rights reserved. 1. Introduction In the past years, there has been great interest in producing new nonclassical states of quantized electromagnetic field, one of several interesting topics of Quantum Optics. In spite of the quantized field in 195, the quantum optical effects were observed only seven decades later, the first of them being the antibunching effect, as predicted by Carmichael and Walls in 1976 [1], experimentally confirmed by the group of Kimble [] in A second nonclassic optical effect was observed in 1985 in Ref. [3], theoretically anticipated in Ref. [4] in A third one, oscillations in the photon statistical distribution, was observed in 1987 in Ref. [5]. Since then, various nonclassical states of the quantized electromagnetic field were studied, including their practical realization in laboratories in different systems one of them being the celebrated Schrödinger-cat (SC) state, whose generation was first suggested in Ref. [6], the pioneer experimental observation being obtained by the group of Haroche [7]. More recently, the community became aware of the experimental observation of the decoherence of the SC state, in both domains: in optical [8] and atomic physics [9], constituting the first observation of the passage through the frontier that separates the quantum and classical realms. After this, another interesting topic emerged in the literature, as the quantum teleportation of states, first suggested in Ref. [10], based on the nonlocal character of quantum mechanics and contextualized by the EPR entangled states [11]. This somewhat bizarre effect was first observed experimentally in 1997, by the group of Zeilinger [1], concerned with the teleportation of a single photon state; the effect was later extended for atomic states and also for a huge quantity of photons [13]. Then, several publications in this line appeared in the literature [14 17]. Besides the nonclassical effects exhibited by the light field states, many researchers became interested in the study of new states and new effects they could exhibit, mainly concerned with their potential applications [18]. Then, the study of Corresponding author at: Universidade Paulista, Rod. BR 153, km 7, Goiânia, GO, Brazil. Tel.: address: (C. Valverde) /$ see front matter 011 Elsevier B.V. All rights reserved. doi: /j.physa

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