Processos de Amplificação Linear e Paramétrica

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA Interação do Átomo com o Campo Submetido aos Processos de Amplificação Linear e Paramétrica Fernando Rogério de Paula 2002

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA Interação do Átomo com o Campo Submetido aos Processos de Amplificação Linear e Paramétrica Fernando Rogério de Paula Dissertação apresentada ao departamento de Física da Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de Mestre em Física. Orientador: Prof. Dr. Miled Hassan Youssef Moussa São Carlos 2002

3 Banca Examinadora Prof. Dr. Miled H. Y. Moussa - Orientador Departamento de Física - UFSCar Prof. Dr. Norton G. de Almeida Departamento de Matemática e Física - UCG Profa. Dra. Kyoko Furuya Instituto de Física Gleb Wataghin - UNICAMP

4 Esta dissertação é dedicada à Sandra Maria Job i

5 Agradecimentos No desenvolvimento deste trabalho, gostaria de agradecer as passoas que contribuíram para minha formação acadêmica. Ao Prof. Dr. Miled H. Y. Moussa por seu apoio neste dois anos; as pessoas que contribuíram de algum modo para a realização deste trabalho. São elas: Celso, a quem devo grande parte do meu aprendizado neste dois anos, Mickel, por seu apoio e amizade, Roberto, Marcos, dentre outros. Finalmente agradeço ao CNPq pelo suporte nanceiro desta pesquisa. ii

6 Resumo Tratamos nesta dissertação da interação de um átomo de dois níveis com o campo em uma cavidade de alto fator de qualidade submetido aos processos de ampli cação linear e paramétrica. Apresentamos uma técnica para a preparação e controle de estados do tipo gato de Schrödinger do campo na cavidade. Os processos de ampli cação são utilizados para a manipulação do estado do campo após a interação deste com o átomo. Neste trabalho inauguramos a possibilidade de obtenção de grandes taxas de compressão do campo em eletrodinâmica quântica em cavidades. iii

7 Abstract In this work we consider the process of interaction of two-level atom with a cavity eld which is subjected to linear and parametric ampli cation. We present a technique to prepare and to control Schrödinger gat-like states of the cavity eld. The processes of linear and parametric ampli cation are used to manipulate the cavity- eld state after the atom- eld interaction. This work opens the possibility to obtain high rates of squeezing of the eld in cavity quantum electrodynimics. iv

8 Conteúdo 1 Introdução 1 2 Eletrodinâmica Quântica de Cavidade (EQC) Átomos de Rydberg Zonas de Ramsey Detectores Seletivos Campo Armadilhado em Cavidade de Alto Fator de Qualidade Ampli cações Linear e Paramétrica Estados do Campo Eletromagnético e suas Representações Quantização do Campo Eletromagnético Estados do Campo Eletromagnético Estado de Número Estado Coerente Estado Coerente Comprimido Estados de Gato de Schrödinger Representações dos Estados do Campo A Interação doátomo com ocamposujeitoà Ampli cação Linear e Paramétrica Interação Átomo-Campo Resolvendo a Equação de Schrödinger Via Invariantes Dependentes do Tempo (DT) O Hamiltoniano Transformado v

9 4.4 O Operador Evolução Evolução do Estado Átomo-Campo Soluções das Equações Características A Função de Wigner e as Flutuações das Quadraturas Análisedos Resultados - Análise das Características Essenciais dos Estados Preparados Associados aos Processos de Ampli cação Protocolo para a Geração de Estados do tipo Gato de Schrödinger Estados Mesoscópicos Robustos 63 6 Conclusão 67 A O Hamiltoniano de Interação Átomo-Campo 69 A.1 Quantização do Campo Eletromagnético A.1.1 Equações de Maxwell A.2 Interação dos Átomos com um Campo Eletromagnético A.3 A aproximação de Dipolo e o Hamiltoniano H i = ¹ A A.4 Quantização do Campo de Elétrons A.5 Hamiltoniano de Jaynes-Cummings A.6 Hamiltoniano de Interação Dispersiva A.7 Zonas de Ramsey B Óptica Não-Linear 86 C Decomposição da Equação de Schrödinger 90 D Transformações 93 D.1 Transformação Unitária do Invariante D.2 Transformação Unitária da Fase E O Hamiltoniano Transformado 95 F Soluções das Equações Diferenciais 100 F.1 Caso ressonante: vi

10 F.2 Caso fora da ressonância: G A Função de Wigner 104 H Estimativa do Tempo de Decoerência 107 vii

11 Lista de Figuras 2-1 Níveis de energia para átomos de Rydberg (E n ), em que a freqüência do campo (!) é ressonante com a transição atômica (! ± ): O campo seleciona os níveis atômicos jgi e jei, ocorrendo transições apenas entre eles Níveis de energia para átomos de Rydberg (E n ), na qual a freqüência do campo (!) é diferente da freqüência de transição atômica (! 0 ): Representação de um estado coerente, onde as variâncias nas quadraturas apresentam o mesmo valor (1/2) Representação de um estado coerente comprimido, onde a elipse representa a compressão do ruído na quadratura Y 1 : Arranjo experimental para a construção de estados de gato de Schrödinger do campo em cavidades supercondutoras. Neste arranjo, B representa uma fonte de átomos de Rydberg preparados no estado jei pelo feixe de laser, C uma cavidade de alto fator de qualidade, R 1 e R 2 constituem zonas de Ramsey. D g e D e são os detectores dos estados atômicos. As cavidades C, R 1 e R 2 são alimentadas por uma fonte de microondas F Função de distribuição de Wigner para o estado de número, n = 1: Função de distribuição de Wigner para o estado coerente, = 1: Função de distribuição de Wigner para o estado coerente comprimido, com = 1 e fator de compressão r = 2: Função de distribuição de Wigner para o estado de superposição tipo gato de Schrödinger, com = 5: viii

12 4-1 O esquema para o processo de engenharia de estados do campo em uma cavidade. Neste esquema, B representa uma fonte de átomos de Rydberg excitados para o estado jei pelo feixe laser, C uma cavidade de alto fator de qualidade, R 1 e R 2 constituem zonas de Ramsey e D g e D e são detectores dos estados atômicos. S é a fonte de ampli ca ção linear e P a fonte de ampli cação paramétrica Função de Wigner em t 2 para o estado de superposição (4.46) com amplitudes de probabilidade c 1 = c 2 = 1= p 2; na ausência de ampli cação linear e paramétrica. Neste caso temos ausência de ampli cação linear (F = 0) e de squeezing ( X1 = 1 e X2 = 10) Função de Wigner em t 2 para o estado de superposição (4.46) com diferentes amplitudes de probabilidade c 1 = p 0:7 e c 2 = p 0:3; na ausência de ampli cação linear e paramétrica. Assim como na Fig. 4.2, temos ausência de ampli cação linear (F = 0) e de squeezing ( X1 = 1 e X2 = 9:2) Função de Wigner em t 2 para o estado de superposição (4.46), com amplitudes de probalidade c 1 = c 2 = 1= p 2, sob o efeito da ampli cação linear ({ = Â). Obtivemos F = 0:8, X 1 = 10:8 e X 2 = 10: Função de Wigner em t 2 para o mesmo caso apresentado na Fig. 4.4, mas com relação aos eixos Y 1 e Y 2 Temos Y 1 = 1 e Y 2 = 15 e, evidentemente, o mesmo fator de ampli cação da Fig Função de Wigner em t 2 para o estado de superposição (4.46), com amplitudes de probalidade c 1 = c 2 = 1= p 2, sob o efeito da ampli caç ão paramétrico ( = Â=20). Temos F = 0:74, X 1 = 14:6 e X 2 = 13:3. O fator de compressão em t 2 é r(t 2 )= 1: Função de Wigner em t 2 para o mesmo caso apresentado na Fig. 4.6, mas com relação aos eixos Y 1 e Y 2. Temos Y 1 = 0:6 e Y 2 = 19:7 e evidentemente F = 0:74 e r(t 2 )= 1: Função de Wigner para o mesmo caso apresentado na Fig. 4.7, mas em t 3. Obtivemos F = 0:96, r(t 3 )= 2:0, Y 1 = 0:2 e Y 2 = ix

13 4-9 Função de Wigner em t 2 para o estado de superposição (4.46) com diferentes amplitudes de probabilidade c 1 = p 0:7 e c 2 = p 0:3, sob o efeito da ampli cação paramétrica ( = Â=20). Temos F = 0:74, X 1 = 13:4 e X 2 = 12:2 e r(t 2 )= 1: Análogo à Fig 4.9, mas com relação aos eixos Y 1 e Y 2. Temos F = 0:74, r(t 2 )= 1:0, Y 1 = 0:5 e Y 2 = 18: Função de Wigner em t 2 para o estado de superposição (4.46) com amplitudes de probalidade c 1 = c 2 = 1= p 2, sob os efeitos das ampli cações linear ({ = Â=20) e paramétrica ( = Â=20). Temos F = 0:72, r(t 2 )= 1:0, X 1 = 13:6 e X 2 = 13: Função de Wigner em t 2 para o mesmo caso da Fig 4.11, com relação aos eixos Y 1 e Y 2. Temos F = 0:72, r(t 2 )= 1:0, Y 1 = 0:7 e Y 2 = Função de Wigner em t 2 para o estado de superposição (4.46), com amplitudes de probalidade c 1 = c 2 = 1= p 2, sob o efeito da ampli cação paramétrica. Fixamos j' 1 =2 ' 2 =2j = 0 através do ajuste de t 2 = 1: s e = Â=20. Obtivemos F = 0:9, X 1 = 21:5 e X 2 = 23:7 e r (t 2 ) = 1: Análoga à Fig. 4.14, mas com relação aos eixos Y 1 e Y 2. Temos assim diferentes valores para as variâncias: Y 1 = 0:31 e Y 2 = 32: Função de Wigner em t 2 para o estado de superposição (4.46), com amplitudes de probalidade c 1 = c 2 = 1= p 2, sob o efeito da ampli cação paramétrica. Fixamos j' 1 =2 ' 2 =2j = ¼=2 através do ajuste de t 2 = 1: s e = Â=20. Obtivemos F = 0:9, X 1 = 6:8 e X 2 = 20:7 e r (t 2 ) = 1: Função de Wigner em t 2 para o estado de superposição (4.46), com amplitudes de probalidade c 1 = c 2 = 1= p 2, sob o efeito da ampli cação paramétrica. Fixamos j' 1 =2 ' 2 =2j = ¼=2 com o ajuste de t 2 = 1: s e = Â=20. Obtivemos F = 1, X 1 = 2:6, X 2 = 2:6 e r (t 2 ) = 1: x

14 Capítulo 1 Introdução Os avanços que ocorreram na eletrodinâmica quântica de cavidade (EQC), tanto no que se refere ao desenvolvimento teórico quanto às realizações experimentais, possibilitaram um grande domínio das técnicas de preparação de estados do campo eletromagnético em cavidades através da interação átomo-campo, o que constitui um passo crucial no que diz respeito a aplicações em óptica quântica. Os experimentos que envolvem engenharia de estados, tipo gato de Schrödinger[1], possibilitaram, por exemplo, a observação do processo de decoerência de superposições mesoscópicas envolvendo campos eletromagnéticos com fases clássicas distintas através da interação átomo-campo [2]. Estes avanços também contribuiram para a demonstração experimental da geração e deteção de estados de Fock do campo de radiação [3]. Também foi possível observar as oscilações de Rabi de átomos circulares de Rydberg no vácuo e em campos coerentes fracos em cavidades de alto fator de qualidade (alto-q) [4]. Conseqüentemente, esses avanços permitiram um melhor entendimento da natureza quântica do campo de radiação [5]. Paralelamente às realizações em EQC, o domínio na manipulação dos estados eletrônicos e vibracionais dos íons aprisionados através de campos clássicos tem permitido um controle dos fenômenos quânticos fundamentais, oferecendo possibilidades para uma nova fase em tecnologia. Vale citar a demonstração da operação de uma porta lógica quântica (controlled-not) de dois qubits (bits quânticos), que foi demostrada experimentalmente utilizando, para codi car os qubits, os graus de liberdade externos (vibracional) e internos (eletrônicos) de umíon aprisionado [6]. Deve-se mencionar também a geração de uma superposição de estados coerentes harmônicos tipo gato de Schrödinger espacialmente separados [7], bem como de outros estados não clássicos 1

15 de umúnico átomo [8]. Além disso, encontra-se na literatura a reconstrução da matriz densidade e a função de Wigner de vários estados quânticos do movimento harmônico de um íon aprisionado [9]. No domínio da Óptica Quântica observou-se também um grande desenvolvimento no que tange ao domínio de ondas propagantes. Este desenvolvimento deve-se, entre outras coisas, a necessidade de preparação de estados quânticos de referência para medir propriedades do campo sinal [10], o que foi possível graças às realizações de processos não-lineares tais como, conversão paramétrica ascendente (parametric up-conversion) e conversão paramétrica descendente (downconversion). Com estes avanços tornou-se realidade o desenvolvimento de esquemas de medidas quânticas não demolidoras (QND) do número de fóton do campo sinal, empregando o efeito Kerr ótico [11]; além disso, possibilitou o desenvolvimento de processos paramétricos que são responsáveis pela obtenção de estados comprimidos do campo eletromagnético [12]. Estas mesmas medidas quânticas não demolidoras (QND) do número de fótons também foram realizadas no domínio de EQC [13]. As realizações que ocorreram em processos não-lineares possibilitaram a produção de e- maranhados quânticos em um processo paramétrico tipo down conversion. Através dessas realizações também foi possível demonstrar a violação da desigualdade de Bell com dois fótons com visibilidade de franjas superior a 97% [14]; também houve a produção de emaranhados de Greenberger-Horne-Zeilinger de três fótons [15] e a realização experimental de processos de teleportação [16]. A teleportação realizada no domínio de ondas propagantes deve-se à facilidade na preparação tanto do canal quântico como dos estados a serem teleportados e também à facilidade na aquisição de dados a partir das medidas do tipo Bell. No que diz respeito, ao grande avanço experimental em EQC, pode-se dizer que ele possibilitou um controle mais preciso na geração de estados quânticos, despertando um interesse crescente nos processos quânticos, tais como, a comunicação e a teleportação de estados. No entanto, um dos maiores obstáculos à realização experimental de tais processos quânticos está relacionado ao fenômeno da perda de coerência dos estados quânticos. Isto se deve ao inevitável acoplamento com o meio ambiente [17, 18, 19] ou às utuações nos parâmetros de interação [20, 21]. Motivados pelo atual domínio experimental, esquemas teóricos têm sido sugeridos para a 2

16 preparação de estados arbitrários do campo em EQC através de interações átomo-campo a partir de uma cavidade inicialmente vazia [22], por exemplo, ou por escultura de um estado coerente previamente injetado na cavidade [23]. Além desses esquemas, uma variedade de outras propostas para preparar estados de movimento arbitrários de íons armadilhados tem sido apresentadas [24], mesmo levando em consideração as in uências dos erros que surgem devido às utuações das intensidades dos pulsos de laser [21]. Estratégias para a engenharia de estados quânticos arbitrários de campos propagantes [25] e para estados ópticos truncados [26, 27] têm sido desenvolvidas empregando apenas elementos ópticos lineares. Um dispositivo de ltro de Fock, baseado no efeito de não linearidade Kerr, que permitiu produzir estados de número e superposições de poucos estados de número, bem como medir a distribuição de fótons e a matriz densidade de um sinal genérico, foi também relatado [28]. Mediante estes avanços tanto no desenvolvimento teórico como experimental, apresentaremos neste trabalho uma técnica para manipulação de estados quânticos do campo de radiação aprisionado em uma cavidade, via interação dispersiva (não ressonante) átomo-campo juntamente com as ampli cações linear e paramétrica do campo. A manipulação desses estados quânticos será realizada através do controle da interação átomo-campo, assim como das ampli cações linear e paramétrica. No desenvolvimento dessa técnica, utilizaremos inicialmente um átomo de Rydberg de dois níveis, preparado em uma zona de Ramsey em um estado de superposição (c 1 j1i + c 2 j2i). Em seguida, este átomo interagirá com um campo eletromagnético inicialmente injetado em uma cavidade de alto-q que será continuamente ampli cada por campos clássicos. Após a interação com o campo na cavidade o átomo cruza uma outra zona de Ramsey e logo após é detetado, projetando o estado do campo na cavidade. A resolução desse problema será realizada pela diagonalização do Hamiltoniano do sistema através do método dos Invariantes proposto por Lewis e Riesenfeld [29]. Esta técnica possibilitará a obtenção do operador de evolução temporal associado à equação de Schrödinger. Para alcançar e compreender questões relacionadas ao objetivo proposto, no capítulo 2 a- presentaremos os sistemas físicos envolvidos neste trabalho, assim como uma breve introdução sobre ampli cação linear e paramétrica. Já no capítulo 3 realizaremos uma breve revisão da quantização do campo eletromagnético e introduziremos alguns dos estados dentro deste forma- 3

17 lismo, tais como estado de número, estado coerente e estado coerente comprimido. Neste mesmo capítulo ressaltaremos as diferentes representações desses estados: a distribuição de Wigner, a distribuição de Glauber-Sudarshan ou função-p e a função generalizada de Husimi ou função-q. Também faremos uma revisão sobre a geração e detecção de estados de superposição tipo gato de Schrödinger do campo em cavidades. No capítulo 4, alvo desse trabalho, encontra-se a descrição dos processos de preparação e controle do campo na cavidade, assim como da técnica de Invariantes para a resolução do problema proposto. Finalmente no capítulo 5 apresentamos as conclusões gerais e no nal do volume os apêndices. 4

18 Capítulo 2 Eletrodinâmica Quântica de Cavidade (EQC) As pesquisas realizadas em Óptica Quântica são voltadas para o estudo do campo elétromagnético e sua interação com a matéria. Trata-se de uma linha de pesquisa que tem permitido a observação experimental de alguns efeitos quânticos fundamentais. Entre estes, pode-se citar o paradoxo de Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) em medidas de desigualdade de Bell, experiências de complementariedade e medidas não demolidoras (para estes ver Ref [30]). Atualmente a Óptica Quântica compreende diversos tópicos de pesquisas fundamentais, tais como a espectroscopia de alta resolução e espectroscopia não-linear, a produção de átomos altamente excitados (átomos de Rydberg [31]), o resfriamento de átomos por laser, as armadilhas de átomos, a geração de radiação com baixo ruído quântico (estados comprimidos) e a eletrodinâmica quântica de cavidades. Essas pesquisas resultaram em aplicações tecnológicas em diferentes áreas, como comunicação ( bra óptica), medicina, computação, entre outros. Grande parte deste desenvolvimento foi propiciado pela invenção do laser em dezembro de [32]. Essa fonte de luz produz radiação com características extremamente diferentes das lâmpadas incandescentes ou a gás, no que se refere à monocromaticidade, direcionalidade, intensidade e propriedades estatísticas. Dentro da Óptica Quântica, a Eletrodinâmica Quântica de Cavidade (EQC) estuda, entre outras coisas, fenômenos envolvendo o acoplamento de um átomo com um modo do campo eletromagnético e suas aplicações em processos quânticos tais como a teleportação e a engenharia 5

19 de estados, computação e criptogra a quânticas. Neste capítulo abordaremos especi camente os elementos fundamentais envolvidos no problema proposto neste trabalho: 1) Átomos de dois níveis em estados de Rydberg; 2) Zonas de Ramsey; 3) Detectores seletivos; 4) Cavidade de alto fator de Qualidade; 5) Ampli cações Linear e Paramétrica. 2.1 Átomos de Rydberg Átomos de Rydberg, em geral, são elementos alcalinos que possuem o número quântico principal n elevado (n > 15 é bastante satisfatório). São átomos com propriedades incomuns: podem ser 10 mil vezes maiores que átomos no estado fundamental e sua vida média pode vir a ser maior que 10 2 segundos [31]. As energias dos níveis internos seguem o comportamento E n ¼ 1=n 2 e o momento de dipolo de transição entre dois estados de Rydberg n! n 1 [31] é igual a: d» = n 2 ea 0 (2.1) com e sendo a carga do elétron e a 0 o raio atômico. Uma classe especial desses átomos é constituida pelos átomos circulares que possuem o momento angular orbital l; cuja projeção no eixo z, m, tenha valores máximos: m = l = n 1. Sendo assim, pela regra de seleção de dipolo elétrico l = 1, esses estados só podem se acoplar aos estados circulares imediatamente superiores (n + 1) ou inferiores (n 1) e por possuirem um momento de dipolo elevado permitem um forte acoplamento com o campo eletromagnético. Conseqüentemente, experimentos em eletrodinâmica quântica de cavidade (EQC), na maioria das vezes, utiliza-se de átomos de Rydberg com números quânticos principais adjacentes n = 50 (estado fundametal jgi) e n = 51 (estado excitado jei), dessa forma, esses átomos são considerados átomos de dois níveis, uma vez que a cavidade é projetada de forma que um dado modo interaja apenas com estes níveis, sendo os outros níveis transparentes para o campo de radiação. 6

20 2.2 Zonas de Ramsey Para a manipulação dos estados internos de um átomo utilizam-se campos eletromagnéticos aprisionados em cavidades de baixo fator de qualidade (Q» 10 3 ) denominadas Zonas de Ramsey [33]. O baixo fator de qualidade faz com que ocorram perdas substanciais para as paredes da cavidade, sendo necessário uma contínua ampli cação do campo eletromagnético na cavidade, mantendo assim as propriedades puramente clássicas do campo mesmo para um número médio de fótons baixo (da ordem de um ou dois fótons). O efeito que ocorrerá na interação átomo-campo na zona de Ramsey pode ser descrito pelo operador de rotação [33] U zr (Á;') = cos(á=2)i i sin(á=2) e i' ¾ + + e i' ¾ ; (2.2) sendo Á o angulo da rotação desejada, I a matriz identidade e ¾ + e ¾ são os operadores de Pauli, análogo aos operadores de spin, ¾ + = jeihgj; (2.3) ¾ = jgihej: (2.4) Com isto, se um átomo cruzar tal campo seus níveis internos serão transformados segundo: U zr (Á;')jgi = cos(á=2)jgi ie i' sin(á=2)jei; (2.5) U zr (Á;')jei = cos(á=2)jei ie i' sin(á=2)jgi: (2.6) 2.3 Detectores Seletivos A detecção dos estados atômicos dá-se através de detectores seletivos que são constituídos por duas placas metálicas nas quais se aplica um campo elétrico. Aqui são utilizados dois detectores, devido a sua baixa e ciência e pela necessidade de discriminar entre dois estados atômicos, jei e jgi. A deteção dos estados atômicos dá-se pela aplicação, no primeiro detector, de um campo elétrico capaz de ionizar o átomo se este se encontrar no estado excitado (jei), mas insu ciente para ionizá-lo caso se encontre no estado fundamental (jgi). Para o segundo detector, colocado 7

21 após o primeiro, um campo elétrico mais intenso é aplicado, su ciente para ionizar o átomo no estado fundamental. 2.4 Campo Armadilhado em Cavidade de Alto Fator de Qualidade Em cavidades de alto fator de qualidade o tempo de vida do campo eletromagnético será tanto maior quanto maior for o fator de qualidade da cavidade, o que pode ser determinado pela equação Q = v!; (2.7) onde Q é o fator de qualidade, v o tempo de vida e! a frequência do campo armadilhado. Quando resfriadas a temperaturas de aproximadamente 0; 5 K por meio de um criostato de 3 H e, cavidades supercondutoras de Nióbio apresentam baixo número médio de fótons térmicos, da ordem de 0; 15, em frequências da ordem de 20 GHz e fator de qualidade Q» 10 8 [34]. Este fator de qualidade permite fazer com que os campos de radiação com freqüências na região de microondas! c» Hz possuam um tempo de vida da ordem de 10 3 a 10 2 segundos [34]. As freqüências do campo e das transições atômicas podem ser ajustadas de modo a obter dois tipos de interações radiação-matéria: interação ressonante e dispersiva. Na interação ressonante a frequência do campo é igual à frequência de transição atômica (veja Fig 2-1). Isto é possível quando se ajusta o modo dentro da cavidade com uma freqüência igual à transição atômica jgi Ã! jei. Obtendo-se, desta forma, uma interação com troca de fótons entre o campo e o átomo. Este tipo de interação átomo-campo é descrito pelo Hamiltoniano de Jaynes-Cummings [35] H JC = }g a + ¾ + a¾ + ; (2.8) onde } é a constante de Planck dividida por 2¼, g a freqüência de Rabi, a + e a são, respectivamente, os operadores de criação e de aniquilação de fótons do campo eletromagnético e ¾ = jgihej e ¾ + = jeihgj são os operadores de abaixamento e levantamento dos níveis atômicos, respectivamente. Desta forma, a interação átomo-campo leva à evolução dos estados je;ni 8

22 e jg;ni segundo U( )je;ni = e ih JC =} je;ni = cos g p n + 1 je;ni i sin g p n + 1 jg;n + 1i; U( )jg;ni = e ih JC =} jg;ni = cos (g p n)jg;ni i sin (g p n)je;n 1i; (2.9) em que indica o tempo de interação átomo-campo. Níveis de Energia Níveis transparentes ao campo. e g ω 0 = ω Níveis transparentes ao campo. Figura 2-1: Níveis de energia para átomos de Rydberg (E n ), em que a freqüência do campo (!) é ressonante com a transição atômica (! ± ): O campo seleciona os níveis atômicos jgi e jei, ocorrendo transições apenas entre eles. Pode-se obter também uma interação fora da ressonância (veja Fig 2-2) através do Efeito Stark. Para isso, aplica-se um campo elétrico nas paredes da cavidade, obtendo-se um alargamento entre os níveis de energia do átomo, o que faz com que a freqüência de transição atômica seja diferente da do campo na cavidade, tornando possível a obtenção de uma interação dispersiva entre o átomo e o campo. Neste tipo de interação não há troca de fótons entre o átomo e o campo, porém o átomo pode ganhar fases em seus níveis internos que depende do número de fótons dentro da cavidade. Esse tipo de interação é utilizada para medidas quânticas nãodemolidoras e para a geração de superposição de estados quânticos do campo na cavidade. Nesta interação, a freqüência do modo na cavidade é ajustado apropriadamente de modo que somente transições virtuais ocorram entre os níveis jei e jgi. Nesse caso, o Hamiltoniano de interação é 9

23 descrito por (veja Apêndice A) bh ef = }Âa y a¾ z ; (2.10) sendo a y e a, respectivamente, os operadores de criação e aniquilação de fótons do campo, ¾ z = jeihej jgihgj e  = 2g 2 =± a constante de acoplamento átomo-campo, em que g indica a freqüência de Rabi e ± =! 0! a dessintonia entre as freqüências do átomo (! 0 ) e do campo (!). Níveis de Energia Níveis transparentes ao campo. δ ω e g ω 0 ω (ω 0=ω+δ) Níveis transparentes ao campo. Figura 2-2: Níveis de energia para átomos de Rydberg (E n ), na qual a freqüência do campo (!) é diferente da freqüência de transição atômica (! 0 ): 2.5 Ampli cações Linear e Paramétrica Quando a luz se propaga através de um meio transparente o campo eletromagnético oscilante exerce uma força sobre os elétrons do meio, agindo como uma perturbação. Com fontes de luz ordinárias o campo de radiação é muito menor que o campo inter-atômico e assim age como uma pequena pertubação e as cargas do meio comportam-se como osciladores harmônicos e a polarização induzida P tem um comportamento linear, sendo função da amplitude do campo elétrico E. Porém, com o laser foi possível observar que, na presença de altas intensidades de luz, ocorrem mudanças nas propriedades ópticas do meio. A luz que provoca mudanças nas 10

24 propriedades do material também tem suas propriedades afetadas de um maneira não-linear. Nesta situação, quando a intensidade de luz é alta, de tal forma que o campo de radiação tornase comparável com os campos internos atômicos, as cargas do meio atuam como osciladores não harmônicos e a polarização induzida exibe comportamento não-linear em função da amplitude do campo. Isto equivale a dizer que a suscetibilidade elétrica é uma função do campo [36], ou seja: P =Â (E) E: (2.11) Em um sistema em que não há perda de energia do campo para o reservatório térmico (inevitavelmente acoplado ao campo), a ampli cação linear adiciona fótons inde nidamente ao campo dentro da cavidade. Esta ampli cação linear pode ser implementada através de um guia de onda acoplada à cavidade. O Hamiltoniano efetivo que representa esta ampli cação linear é dado por ³ H I = ~z e i' a y + e i' a ; onde z e ' representam, respectivamente, a intensidade e a fase da ampli cação linear. Na ampli cação paramétrica a cavidade é alimentada emumprocesso envolvendo dois fótons de mesma frequência (caso degenerado em que! a =! b ). Esta ampli cação possui sensibilidade à fase do campo, o que pode gerar compressão de uma de suas quadraturas [37]. O Hamiltoniano efetivo que representa esta ampli cação (veja apêndice B) é dado por VI 0 = ~ ³e 2 iá a y2 + e iá a ; (2.12) onde e Á estão relacionados, respectivamente, à amplitude e a fase do campo de ampli cação. 11

25 Capítulo 3 Estados do Campo Eletromagnético e suas Representações Diversos fenômenos envolvendo efeitos luminosos, tais como efeito fotoelétrico [38], efeito Compton [39] e Lamb shift [40] podem ser explicados por um modelo puramente clássico, onde a luz é descrita como radiação eletromagnética obedecendo às equações de Maxwell e possuindo fase e amplitude bem determinadas. Mesmo após a quantização do campo eletromagnético realizada por P. A. M. Dirac [41] em 1927, o modelo semi-clássico continuou a fornecer explicações satisfatórias para os efeitos luminosos conhecidos. Entretanto, com o trabalho de Kimble, Dagenais e Mandel [42], em 1977 cou claro que certos fenômenos não poderiam ser explicados em termos semi-clássicos. O efeito detectado por Kimble, Dagenais e Mandel foi o de antiagrupamento de fótons (anti-bunching) que pode ser de nido como separação espacial apresentada pelos fótons. Um outro fenômeno que necessita de uma teoria não-clássica é o chamado efeito de compressão [43, 44] que consiste na obtenção da incerteza em uma das quadraturas do campo eletromagnético menor que aquela permitida pelo estado coerente, sem contudo violar a relação de Heisenberg. Este capítulo propõe-se a realizar uma breve revisão da quantização do campo eletromagnético e introduzir alguns dos estados do campo dentro deste formalismo, tais como o estado de número, o estado coerente e o estado coerente comprimido. 12