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1 UFPel IFM DME Análise Real I Lista 1 Conjuntos e Funções Prof. Dr. Bruno H Cervelin 1. Sejam A, B, C e D conjuntos quaisquer, mostre que a) A = A b) A A = A c) A B = B A d) A (B C) = (A B) C e) A B = A B A f) Se A C e B D, então A B C D g) A (B C) = (A B) (A C) h) A = i) A A = A j) A B = B A k) (A B) C = A (B C) l) A B = A A B m) Se A C e B D, então A B C D n) A (B C) = (A B) (A C) Obs.: Lembre-se de considerar os casos em que os conjuntos são vazios. 2. Sendo Ω o conjunto universo e A, B Ω conjuntos quaisquer, mostre que a) c = Ω b) (A c ) c = A c) A B B c A c d) (A B) c = A c B c e) (A B) c = A c B c 3. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Prove ou dê contra-exemplo: (a) A B = B A; (b) A = A = (c) (A B) C = (A C) (B C) (d) (A B) C = (A C) (B C) 4. Verifique se as funções definidas a seguir são bijeções, prove o resultado: Obs.: Considere o conjunto P como o conjunto dos naturais pares e o conjunto I dos naturais ímpares (a) a : Z Z (e) e : N N x 2x (b) (c) b : N N c : N Z (f) f : N P x 2x (d) d : Z N (g) g : Z I x 2 x 1 5. Seja f : X Y um função qualquer. Tome A, B X. Mostre que (a) f(a B) = f(a) f(b); (b) f(a B) f(a) f(b) (c) A B f(a) f(b); (d) f( ) =. 6. Seja f : X Y um função qualquer. Tome A, B Y. Mostre que (a) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B); (b) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B); (c) f 1 (A c ) = (f 1 (A)) c ; (d) A B f 1 (A) f 1 (B); (e) f 1 (Y ) = X; (f) f 1 ( ) =. 1

2 7. Se f : X Y e g : Z X são invertíveis, mostre que: (a) f 1 é invertível; (b) inversa de f 1 é f; (c) (g 1 f 1 ) f g = Id (d) f g é invertível; (e) (f g) 1 = g 1 f 1. 2

3 Resolução: 1. a) Suponha A =, então se x A, então x A ou x, logo, x A, absurdo, pois A =, segue que A. Como A, temos que A = A. Suponha agora, A, daí, logo A = A. x A x A ou x x A b) Se A =, exercício anterior mostra a validade do resultado. Suponha A, daí, ou seja, A A = A. x A x A ou x A x A A c) Se A e B são vazios, o resultado segue do exercício 1.a). Sem perda de generalidade, suponha B, daí A B e B A. Daí x A B x A ou x B x B ou x A x B A ou seja, A B = B A. d) No caso em que alguma união é vazia, o resultado segue do exercício anterior. Suponha A B e B C. Daí x A (B C) x A ou x B C x A ou x B ou x C ou seja, A (B C) = (A B) C. x A B ou x C x (A B) C, e) No caso em que B = o resultado segue trivialmente, suponha B. ( ) Suponha A B = A, tome x B, então x A ou x B, ou seja, x A B, como A B = A, temos que x A, ou seja, B A. ( ) Suponha que B A, daí por hipótese, x B = x A, então segue que A B = A. x A B x A ou x B x A B x A ou x A x A f) Se A =, então A B = B D C D. O mesmo raciocínio pode ser aplicado se B =. Suponha A e B. Daí, como A C e B D, então Segue que A B C D x A B x A ou x B x A B = x C ou x D x C D. g) Suponha A (B C) =, então A = e B C =. Por outro lado (A B) (A C) = ( B) ( C) = B C =, logo o resultado é válido. Suponha A (B C), daí x A (B C) x A ou x B C x A ou x B e x C x A ou x B e x A ou x C x A B e x A C x (A B) (A C), ou seja, A (B C) = (A B) (A C) 3

4 h) Suponha A, então existe x A, daí x A e x, absurdo, pois x /, segue que A =. i) No caso em que A é vazio o resultado segue do exercício anterior, suponha não vazio, daí Segue que A A = A. x A A x A e x A x A. j) Suponha A B = e B A, então existe x B A, ou seja, x B e x A ou, de forma equivalente, x A e x B, ou seja, x A B, absurdo, pois x /, logo, A B = = B A. Suponha A B. Daí ou seja, A B = B A. x A B x A e x B x B e x A x B A, k) Vamos supor que (A B) C, a demonstração para o caso vazio é análoga usando demonstração por absurdo. x (A B) C x A B e x C x A e x B e x C logo, (A B) C = A (B C) x A e x B C x A (B C) l) O resultado segue trivialmente no caso em que A é vazio. Suponha A. ( ) Suponha A B = A, tome x A, então, pela hipótese, x A e x B, daí x B, ou seja, A B. ( ) Suponha A B, daí, x A x A e x A x A e x B x A B logo, A B = A. neste passo usamos a hipótese m) Se A B =, temos que o conjunto vazio é subconjunto de todos os outros conjuntos. Suponha A B, daí, se x A B, então x A ex B, usando a hipótese, temos que x C e x D, logo x C D. Portanto, A B C D n) Vamos demonstrar para o caso não vazio, o caso vazio sai de forma análoga usando demonstração por absurdo. 2. a) Seja x A (B C) x A e x B C A e x B ou x C x A e x B ou x A e x C x A ou x A C x (A B) (A C). logo, A (B C) = (A B) (A C). logo, c = Ω x c x Ω e x / x Ω, b) No caso em que A =, temos que A c = Ω e Ω c =, ou seja, (A c ) c = A. Suponha x, daí x A x / A c x (A c ) c logo (A c ) c = A. c) Se B c = o resultado segue trivialmente, suponha não vazio. Se x B c, então x / B, logo, pela hipótese, x / A, ou seja, x A c. Portanto, B c A c. Note que a recíproca sai diretamente do fato que o complementar do complementar é o conjunto original. 4

5 d) Veja que logo, (A B) c = A c B c e) Veja que logo, (A B) c = A c B c x (A B) c x / A B x / A ou B x / A e x / B x A c e x B c x (A B) c x A c B c x / A B x / A e B x / A ou x / B x A c ou x B c x A c B c 3. (a) Tome A = {1} e B = { }, veja que A B = {(1, )} {(, 1)} = B A, logo a afirmação é falsa. (b) Suponha (x, y) A, ou seja, x A e y /, absurdo, pois y /, daí A =. demonstração para A = é análoga. (c) Veja que (x, y) (A B) C x A B e y C x A ou x B e y C x A e y C ou x B e y C (x, y) A C ou (x, y) B C então, (A B) C = (A C) (B C). (d) Veja que (x, y) (A C) (B C) (x, y) (A B) C x A B e y C x A e x B e y C x A e y C e x B e y C (x, y) A C e (x, y) B C então, (A B) C = (A C) (B C) (x, y) (A C) (B C) 4. (a) Seja a Z, tal que a < 0, então a = n para algum n N. Sabemos que a 2 = ( n) 2 = n 2 > 0, daí, a não é bijeção pois não é sobrejeção (os inteiros negativos não podem ser obtidos pela função a). (b) Sabemos que 2 N, queremos encontrar n N tal que b(n) = n 2 = 2. Dado n N, temos (n + 1) 2 = n 2 + 2n + 1 > n 2 logo b(n) < b(n + 1) para todo n N. Por outro lado, temos que b(2) = 2 2 = 4. Com essa afirmação concluímos que o valor n desejado é menor que 2, como deve ser natural, o único candidato é 1, mas b(1) = 1 2 = 1, segue que não existe natural cujo quadrado é 2. Com isso concluímos que a função b também não é sobrejetora e, consequentemente, não é bijetora. (c) Veja que o mesmo argumento usado no item anterior não vale para esse item. Portanto, c não é sobrejeção. (d) De maneira análoga ao exercício anterior, vemos que se n 1, d(n) < d(n + 1) e se n 1, então d(n) < d(n 1). Como d(2) = d( 2) = 4, concluímos que os únicos candidatos possíveis para resolver a equação d(n) = 2 são 1, 0, 1. Como d( 1) = d(1) = 1 e d(0) = 0, concluímos que não existe inteiro cujo quadrado vale 2, portanto, d não é sobrejeção. (e) Como 3 N, como 3 é ímpar, então não existe n N tal que 2 n = 3, ou seja, 3 / e(n), portanto, e não é sobrejeção. (f) Seja x P, então x = 2n para algum n N, segue que f(n) = 2n = x, portanto, x f(n), logo f é sobrejeção. Tome x, y N tal que f(x) = f(y), logo 2x = 2y, ou ainda, x = y, portanto, g é injetora. Como f é injeção e sobrejeção, é bijeção. A 5

6 (g) Veja que 0 Z e g(0) = = 1 / I. Segue que a função está mal definida. 5. (a) Veja que y f(a B) x A B : f(x) = y x A ou x B : f(x) = y x A : f(x) = y ou x B : f(x) = y y f(a) ou y f(b) y f(a) f(b) logo, f(a B) = f(a) f(b). (b) Veja que y f(a B) x A B : f(x) = y x A e x B : f(x) = y x A : f(x) = y e x B : f(x) = y y f(a) e y f(b) y f(a) f(b) logo, f(a B) f(a) f(b). (c) Tome y f(a), então existe x A tal que f(x) = y, como x A, então x B, pois A B, segue que existe x B tal que f(x) = y, ou seja, y f(b), portanto, f(a) f(b); (d) Suponha f( ). Tome y f( ), então existe x tal que f(x) = y, absurdo, logo f( ) =. 6. (a) Veja que x f 1 (A B) f(x) A B f(x) A ou f(x) B x f 1 (A) ou x f 1 (B) x f 1 (A) f 1 (B), logo, f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B); (b) Veja que x f 1 (A B) f(x) A B f(x) A e f(x) B x f 1 (A) e x f 1 (B) x f 1 (A) f 1 (B), logo, f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B); (c) Veja que logo, f 1 (A c ) = (f 1 (A)) c ; x f 1 (A c ) f(x) A c f(x) / A x / f 1 (A) (d) Seja x f 1 (A), então f(x) A, pela hipótese, f(x) B, logo, x f 1 (B), segue que f 1 (A) f 1 (B); (e) Sabemos que f 1 (Y ) X pela definição. Tome x X, então f(x) Y, pois f é função, ou seja, x f 1 (Y ), segue que f 1 (Y ) = X; (f) Suponha f 1 ( ), tome x f 1 ( ), então f(x), absurdo, segue que f( ) =. 7. (a) Veja que f f 1 (y) = y y Y e f 1 f(x) = x x X, logo, pela definição de função invertível, f 1 é invertível e sua inversa é f. (b) Resolvida no item anterior. (c) (g 1 f 1 ) f g = g 1 (f 1 f) g = g 1 Id g = g 1 g = Id (d) De maneira análoga ao item anterior, podemos mostrar que f g (g 1 f 1 ) = Id, logo, f g é invertível e sua inversa é g 1 f 1 (e) Provado no item anterior. 6

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