LEILA ELEANOR MONTEIRO VEIGA LICENCIATURA EM ENSINO DE MATEMÁTICA

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1 LEILA ELEANOR MONTEIRO VEIGA LICENCIATURA EM ENSINO DE MATEMÁTICA PRAIA, SETEMBRO DE 006

2 TRABALHO CIENTÍFICO APRESENTADO AO ISE PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE LICENCIATURA EM ENSINO DE MATEMÁTICA Memóri preetdo pel Leil Eleor Moteiro Veig ob orietção d Doutor TetyV K Mede Goçlve PRAIA, SETEMBRO DE 006

3 LEILA ELEANOR MONTEIRO VEIGA Aprovdo pelo membro do Júri e homologdo pelo Preidete do Itituto Superior de Educção, como requiito prcil à obteção do gru de Licecitur em Eio de Mtemátic O Júri Pri de de 006

4 Ídice Itrodução 4 I Abordgem Hitóric do úmero de ouro 7 II O úmero de ouro do poto de vit d teori elemetr de úmero Número de ouro como frcção cotíu ifiit Rácio dourdo irrciolidde qudrátic 9 III Exteõe qudrátic de corpo e cotrutividde do úmero 3 3 Coiderçõe geri 3 3 Cotruçõe geométric com jud de itrumeto euclideo Cotrução do úmero de ouro Divião de um egmeto em médi e extrem rzão 39 IV Proporção divi cotruçõe de figur geométric 43 4 Rectâgulo de ouro Rzão áure um rectâgulo 43 4 Trigulo de ouro Petgrm pitgórico 0 44 Decágoo regulr 4 Epirl mrvilho 3 Cocluão Fote bibliográfic 7

5 À Volt do Número de Ouro 4 INTRODUÇÃO Dede o tempo primitivo, o er humo tem procurdo etbelecer um ordem e comprção etre o objecto que o rodeim No proceo de comprção é eceário um critério epecil, deomid medid A medid ão pdrõe epecífico que relciom cd objecto com outro de etrutur emelhte Como belez é ubjectiv, o er humo procur demotrr u hrmoi prtir de medid comprtiv, etbelecid como proporçõe N tettiv de etbelecer proporçõe chegou-e o úmero de ouro O úmero de ouro, tmbém cohecido como rácio dourdo ou proporção divi, é um úmero irrciol miterioo e eigmático que o urge um ifiidde de elemeto d turez em form de um rzão, edo coiderd por muito como um ofert de Deu o mudo Cotum-e repreetr pel letr greg miúcul (fi) e correpode metde d om d riz qudrd de cico com uidde É um úmero irrciol, ddo pel dízim ifiit ão periódic, , A deigção doptd pr ete úmero, é iicil do ome de Fídi que foi ecultor e rquitecto ecrregdo d cotrução do Párteo, em Ate Um exemplo det mrvilh é o fcto de que e deehrmo um rectâgulo cujo ldo tehm um rzão ete i igul o úmero de Ouro ete pode er dividido um qudrdo e

6 À Volt do Número de Ouro outro rectâgulo cuj rzão etre o doi ldo coecutivo é tmbém igul o úmero de Ouro Ete proceo pode er repetido idefiidmete mtedo-e mem rzão O úmero de ouro é iterete em vário pecto Tod e mrvilh e id mi lgum curioidde citd em bixo etiverm origem d ecolh dee tem, que erá dedicdo o etudo dee feómeo, trvé de álie d diferete propriedde e crcterític do memo O ciclo metrul d mulher é de 8 di, portto de 8 erá 7, di, ode é fe fil de mdurecimeto, edo grtid fertilizção A rzão etre ltur de um peo e medid do eu umbigo o chão é igul o úmero de ouro Aim propomo como etrutur do trblho o eguite prdigm: O primeiro cpítulo vi ecerrr um pouco d hitóri do úmero de ouro e obervção de lgu polígoo áureo e d epirl de ouro pitur e turez; o cpítulo erá dedicdo à repreetção do citdo úmero pel frcção cotíu ifiit e u preetção como um irrciolidde qudrátic, um úmero lgébrico e id prov que ele é um úmero irrciol; o cpítulo 3 erá cogrdo à exteõe qudrátic de corpo, cotrução de úmero com jud de régu e compo, em prticulr úmero de ouro e divião de um egmeto em médi e extrem rzão; Cotrução do rectâgulo de ouro, triâgulo de ouro, petgrm pitgórico, decágoo regulr e epirl mrvilho ão explicdo o último cpítulo É de otr que deigçõe ão própri em cd cpítulo Com et bordgem pretedemo foclizr mi vrid perpectiv do úmero de ouro (rácio dourdo) e lir u plicbilidde/ fuciolidde Pr tl julgmo er

7 À Volt do Número de Ouro 6 fudmetl ocorrer de diver fote bibliográfic que eformm obre o etudo que e predem com o fbuloo úmero tmbém cohecido por proporção divi Fzedo recuro diver grvur e perpectiv emergete do etudo obre o úmero de ouro, procurremo dr cot quer do eu etido mítico/ mitológico e em últim itâci do eu etido técicocietífico

8 À Volt do Número de Ouro 7 I ABORDAGEM HISTÓRICA DO NÚMERO DE OURO O úmero de ouro é um úmero irrciol muito prticulr Foi udo pelo Egípcio cotrução d u pirâmide Pr o Grego er um úmero mágico e uvm-o cotrução do eu edifício Tmbém foi udo Arte ( pitur, por exemplo), e prece iúmer veze ligdo um cocepção etétic, bem como Biologi e cotrução de violio OS EGÍPCIOS O Egípcio coidervm o úmero de ouro grdo, tedo um importâci extrem u religião, e chmvm-o ão de úmero de ouro, m im de "úmero grdo" Utilizvm-o pr cotrução de templo e epulcro pr o morto, poi coidervm que co ito ão cotecee, o templo poderi ão grdr o deue, ou lm do flecido ão coeguiri chegr o Além Pr lém dio, o Egípcio coidervm-o muito grdável eteticmete, udo-o tmbém o eu item de ecrit e decorção do eu templo

9 À Volt do Número de Ouro 8 Fig A Arte Egípci Durte mior prte d hitóri do Egipto, proporçõe d figur hum form relciod com lrgur d plm d mão, e bevm-e o "úmero grdo" Fig O Egípcio uvm medid etbelecid pel proporçõe do corpo humo devido o fcto de et erem proporcioi, de cordo com rzão de ouro (068), tordo u obr eteticmete mi grdávei Et idei form utilizd pelo cotrutore e rteão, pr etbelecer mlh qudrgulre que uvm pr proporciolidde do eu trblho

10 À Volt do Número de Ouro 9 O Hieróglifo Muito hieróglifo têm proporçõe bed o úmero de ouro O Egípcio utilizvm o úmero de ouro pr que foe mi fácil que todo coeguiem ecrever de cordo com mem proporçõe Egípci Fig3 N figur 3, letr "h" é, de fcto, um epirl de ouro Outro ímbolo, como o "p" e "h" ão rectâgulo de ouro O uo d mão e do pé o hieróglifo motr que o Egípcio tihm cohecimeto que o corpo humo etá relciodo de diver form com o úmero de ouro 3 O Templo Obervdo fig 4 ão viívei N fchd do templo vário rectâgulo de ouro, e exitem iúmer rcd crid por cete de pilre, todo ele proporcioi o rectâgulo de ouro Em egípcio tigo, Phile igific o fim, e defii froteir ul do Egipto Ete templo er dedicdo à deu Ii, epo de Oiri e mãe de Horu

11 À Volt do Número de Ouro 0 Fig4-Templo de Phile A figur, o Templo de Dedr foi cohecido como mord de Hthor, deu do mor, felicidde e belez A rcd ão proporcioi o rectâgulo de ouro, e o iterior do templo exite um ecdri em epirl, com um form muito emelhte à d epirl de ouro Fig-Templo de Dedr OS GREGOS O Prthéo, gor em ruí, é um do templo que foi cotruído em Ate por volt de 447 e 433 C Nele podemo obervr proporção áure, o rectâgulo que cotem fchd, o que revel preocupção de relizr um obr bel e hrmoio

12 À Volt do Número de Ouro Fig- Prthéo Poteriormete, o grego coiderrm que o rectâgulo cujo ldo preetvm et relção preetv um epecil hrmoi etétic que lhe chmrm rectâgulo áureo ou rectâgulo de ouro, coiderdo et hrmoi como um virtude excepciol Edoxu foi um mtemático grego que e torou cohecido devido à u teori d proporçõe e o método d exutão, criou um érie de teorem geri de geometri e plicou o método de álie pr etudr ecção que e credit er ecção de ouro O Pitgórico O Pitgórico urm tmbém ecção de ouro cotrução d etrel petgol (Fig6) Ete ão coeguirm exprimir rzão exitete etre o ldo do petágoo regulr etreldo (petáculo) e o ldo do petágoo regulr icrito um circuferêci como quociete etre doi úmero iteiro udo chegrm et cocluão ficrm muito eptdo, poi tudo ito er muito cotrário tod lógic que cohecim e defedim e por io lhe chmrm irrciol Ete úmero er o úmero ou ecção de ouro

13 À Volt do Número de Ouro Fig6 3 ARTE O Rectâgulo de Ouro é um d form geométric mi tiftóri viulmete Vário perito têm ecotrdo exemplo do rectâgulo de ouro quer em fchd de cotruçõe d Gréci Atig, quer em obr-prim d ecultur e d pitur Leordo d Vici e Piet Modri pevm mbo que Arte deve mifetr belez e movimeto Aim, mbo exprevm movimeto itroduzido rectâgulo de ouro u obr, poi o fcto dete poderem defiir epiri que curvm té o ifiito dão um eção de movimeto Ao itroduzir ecção de ouro u pitur, permitim que et e torem mi grdávei à vit Leordo d Vici Oberve fce do eboço de um homem idoo de Leordo d Vici, preetdo (Fig7) Ete deehou et fce um qudrdo, que por u vez foi ubdividido em vário rectâgulo, lgu do qui com dimeõe muito próxim d do rectâgulo de ouro Leordo DA VINCI (4-9) Itlio, foi Pitor, Ecultor, Arquitecto e Egeheiro Piet MONDRIAN (87-944) Holdê

14 À Volt do Número de Ouro 3 Fig7 Oberve pitur de Mo Li, (Fig8) ot-e que é poível deehr um qudrilátero que eglobe o roto d Mo Li O qudrilátero reultte é exctmete o rectâgulo de ouro É fácil obervr que trê pricipi áre d pitur (o roto, do pecoço à zo memo cim d mão, do decote do vetido té à zo imeditmete bixo d mão) podem defiir tmbém rectâgulo de ouro A dimeõe do qudro em i tmbém coicidem com dimeõe do rectâgulo de ouro Fig8 D Vici etudou iteivmete proporçõe do corpo humo No eboço bixo é poível cofirmr plicção d ecção de ouro Fig9

15 À Volt do Número de Ouro 4 Net obr de Leordo d Vici, e dividirmo ditâci do pé té o umbigo do homem pel ditâci do umbigo té o topo d cbeç, obtemo proximdmete o vlor 068 Piet Modri Piet Modri utilizou lih pret horizoti e vertici pr delimitr bloco de puro brco, vermelho, zul ou mrelo, exprimido u cocepção d hrmoi e do equilíbrio pleo Compoição em Vermelho, Amrelo e Azul Et obr foi cocebid em 94, ecotrdo-e gor em Lodre Pretede motrr o equilíbrio exitete etre Nturez e cotruçõe hum Pode-e verificr exitêci de lgu rectâgulo de ouro pitur A Cidde de New York Et obr foi ipird pel viit que Modri efectuou Nov Iorque Aper de form geométric já erem meo rígid e mi complex, id é poível ecotrr pitur lgu rectâgulo de ouro

16 À Volt do Número de Ouro 4 BIOLOGIA 4 Girói e Pih A epirl de ouro pode er ecotrd quer pih, quer o girói Pode-e ver que emete pih precem formr epiri que curvm quer pr direit quer pr equerd Tedo emete dipot det meir, formdo epiri, permite que emete e ecotrem ditribuíd uiformemete, ão e ecotrdo cocetrd demi o cetro e diper demi o bordo, tedo tod emete o memo tmho Ete pdrão ão é perfeito miori do girói, m e e coeguir ecotrr um bom epecíme verific-e que u emete formm epiri, curvdo quer pr equerd quer pr direit, de form etrem tod equiditte Afirm-e que et dipoição permite melhorr eficiêci do girói cptção quer de águ, quer de luz

17 À Volt do Número de Ouro 6 4 A coch mrih (Nutilu) O primeiro digrm motr um coch mrih O egudo digrm motr que é poível deehr um epirl o logo d coch, que é exctmete epirl de ouro Ito cotece devido o fcto de o crecimeto d coch er proporciol o crecimeto do orgimo que cotém 43 O embrião humo Coforme e vi deevolvedo o embrião humo, é poível obervr ete crecimeto um pdrão emelhte o que permite trçr epirl de ouro, à medid que e ft cd vez mi do cetro Nete co, o pdrão ocorre o deevolvimeto do embrião humo devido o fcto de o crecimeto do orgimo er proporciol o tmho do orgimo

18 À Volt do Número de Ouro 7 44 A Mão Hum Um exemplo muito iterete é o d mão hum Pr explicá-lo, devemo pegr, como Secção Áure, lih qui miore ão fi veze meore, como motrdo figur: Agor vej rdiogrfi de um dedo idicdor Cd prte do dedo é mior que prte terior de cordo com Secção Áure A Rzão etre medid d mão e medid do brço é rzão áure 4 A Orelh hum É poível obervr orelh um pdrão emelhte o que permite trçr epirl de ouro

19 À Volt do Número de Ouro 8 SERIE DE FIBONACCI A cotribuição de Fibocci 3 pr o úmero de ouro etá relciod com olução de um problem por ele formuldo que veio dr origem um uceão que poteriormete e ociou o eu ome - Fibocci - ficdo im cohecid hitóri como Suceão de Fibocci O problem é: "uto pre de coelho erão produzido um o, começdo com um ó pr, e em cd mê cd pr ger um ovo pr que e tor produtivo prtir do egudo mê?" Todo ete problem coider que o coelho etão permete fechdo um certo locl e que ão ocorrem morte Leordo proeguiu pr o cálculo: o primeiro mê, teremo um pr de coelho que e mterá o egudo mê, tedo em coiderção que e trt de um cl de coelho jove; o terceiro mê de vid drão origem um ovo pr, e im teremo doi pre de coelho; pr o qurto mê ó temo um pr reproduzir, o que frá com que obtehmo o fil dete mê, trê pre Em relção o quito mê erão doi, o pre de coelho reproduzir, o que permite obter cico pre dete imi o fil dete mê Cotiudo det form, ele motr que teremo 33 pre de coelho o fim de um o de vid do pr de coelho com que prtimo Litdo uceão,,, 3,, 3,, 34,, 89, 44, 33 mrgem do eu potmeto, ele obervou que cd um do úmero prtir do terceiro é obtido pel dição do doi úmero teceore, e im podemo fzê-lo em ordem um ifiidde de úmero de mee Se dividirmo cd um dete úmero pelo eu tecedete, reprmo que e rzão vi teder pr um certo vlor Ito é, e fizermo F /F =; F 3 /F =; F 4 /F 3 =,; F /F 4 =,6(6); F 6 /F =,6 e e cotiurmo im uceivmete, obtemo eguite equêci de úmero:, ;, ;,00 000;, ;, ; 6 000;,6 38;,69 048;,67 647;,68 8;,67 978;,68 06;,68 06;,68 037;,68 033; Etão F + /F proxim-e cd vez mi de (Phi) Et expão deciml prologr-e-á em uc e repetir (logo é um úmero irrciol) De fcto, qudo e prologm et "rzõe de Fibocci" idefiidmete, o vlor gerdo proxim-e cd vez mi do úmero de ouro 3 Leordo de pi (Fibocci) (7 0) - ceu em Pi (Itáli)

20 À Volt do Número de Ouro 9 6 O NÚMERO DE OURO E A CONSTRUÇÃO DE VIOLINOS Não há como egr belez do itrumeto violio Prece que ó, ere humo, percebemo belez ou etimo belez de um form qudo egue um pdrão ou lgo que ão bemo defiir, que etá embutido em oo er, provvelmete porque et form mtém relçõe em u lih que o cum e eção do belo Aim, um violio é um de peç udo o violio foi crido etétic d proporçõe foi objecto de preocupção de vário rtit Algu violio form crido prtir do que foi chmdo "O Número de Ouro" e em u lih pode-e obervr e relçõe Vejmo como ete violocelo, com et medid, tem relçõe métric que ão relçõe áure Relção Áure: 34, = ;, 68 34

21 À Volt do Número de Ouro = 89;, 68

22 À Volt do Número de Ouro II O NÚMERO DE OURO DO PONTO DE VISTA DA TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS NÚMERO DE OURO COMO UMA FRACÇÃO CONTÍNUA INFINITA Sedo o úmero de ouro um úmero Rel, é poível preetá-lo ob form de um frcção cotíu ifiit Defiição Ao úmero ecrito ob form: 0 3 ()

23 À Volt do Número de Ouro ode 0,,, ão úmero iteiro ti que: ),,, (, i edo i, chm-e frcção cotíu ifiit Podemo tmbém ecrever () ob form [ 0 ;,, ] ode o úmero 0 ;,, ão elemeto de um frcção cotíu com prte iteir 0 Pr um frcção cotíu ifiit (), vmo coiderr frcçõe próxim:,,,, A A A Defiição éim frcção próxim ( 0 ) pr um frcção cotíu ifiit () é d form: A P 0 () Ode P 0, P, P e 0,,,, defiid por recorrêci, podo:, P P P, (3) Com codiçõe iicii: ,,, P P (4) É fácil ver que (3) e (4) determim uivocmete o úmero P 0, P, P e 0,,, prtir do elemeto,,, 0 A 3 0

24 À Volt do Número de Ouro 3 Teorem Se 0,,, ão elemeto d frcção cotíu (), etão uceão de úmero P 0, P, P,, 0,,,, defiid pel fórmul (3) e (4) tem propriedde eguite: pr todo ( ) o úmero rciol N equêci dio vem defiição 3: P é igul -éim frcção próxim () Defiição 3 A frcção cotíu ifiit () chm-e covergete e exitir e for fiito o limite d u frcçõe próxim, ito é, e exitir um úmero tl que: lim P () Aim e o vlor de () for igul, ecreve-e = [ 0,,, ] Exemplo Pr o úmero de ouro ( ) que e decompõe em frcção cotíu ifiit [;,,, ] ecotrm-e eguite frcçõe próxim: P Teorem ulquer frcção cotíu ifiit é covergete Defiição 4 Sej = [ 0 ;,, ]; o quociete complet decompoição de chmremo de,, 3,, defiido pel iguldde 0 3 0, 0 pr Teorem 3 Sej = ;,,, + quociete completo decompoição de, etão: 0

25 À Volt do Número de Ouro 4 (7) (6) P P e P P Ode P,, P -, - ão o umerdore e deomidore de -éim e (-)-éim frcçõe próxim Teorem 4 Cd úmero rel e decompõe um frcção cotiu (fiit ou ifiit) Demotrção IR Se é um úmero rciol etão exite um úic frcção cotíu fiit igul Coideremo o co qudo é um úmero irrciol Deigemo por 0 prte iteir de e por, 0 logo, 0 Aim como é um úmero irrciol, 0 e, tmbém, é irrciol, lém dio, Dee modo, pr qulquer irrciol, é poível ecotrr um úmero iteiro 0 = [ ] e um úmero irrciol ti que 0 Determido, d mem meir, pr o úmero: = [ ] e, pr o úmero: = [ ] e 3 >, etc, obtemo: 8, 0 0

26 À Volt do Número de Ouro Ode pr todo o úmero irrcioi Dee modo, pr todo o ti o úmero O úmero 0,,, formm um uceão ifiit do iteiro e, edo que pr e verific, podemo, prtir dee úmero, formr um frcção cotíu ifiit 0 que egudo o teorem é covergete Motremo gor que o vlor de frcção é igul o úmero ddo Relmete, d iguldde (8) obtemo: 0 P P e tedo em cot o teorem 3:, P P P P Aim como, o ( ) S P vlor de, com o crecimeto de, tor-e meor do que qulquer que ej úmero poitivo ddo, ito é, P lim Exemplo Ecotrr o qutro primeiro elemeto d decompoição em frcção cotíu do úmero, Ecotremo primeiro, 0 = ; =, ; ; =, ; ;

27 À Volt do Número de Ouro 6 3 =, ; ; 3 3 Dete modo, Ou r r 4 r r r 3 = [;,,, ] Sedo r i = i Teorem Sej = [ 0;,,] Deigemo por = [ ;,,] Etão: [ ;,,,, ], ito é = repreet o -éimo quociete completo (i) 0 decompoição de ; (ii) = [ ] pr todo Coideremo quetão iver eguite: Exemplo 3 Determir um úmero rel correpodete à frcção cotíu ifiit Segudo o teorem 4 temo:

28 À Volt do Número de Ouro 7 P3 P = Utilizdo tbel teriormete preetd, ecotrmo: P 3 3 Logo P 3 =, P = 3, 3 =3 e =, ode = 0,,,3 3 Aim, úic e edo que 0, obtemo: Teorem 6 Pr qulquer úmero rel, frcção cotiu que o repreet é Teorem 7 Pr qulquer úmero rel, exite um cojuto de frcçõe rcioi ti que: b - (i) b b Demotrção: Comecemo por decompor em frcção cotíu Motremo que de trê quiquer frcçõe próxim vizih P pelo meo um poderá ervir como b deiguldde (i) A demotrção erá feit pelo método de redução o burdo Supohmo que pr quiquer trê frcçõe próxim vizih e verificm deiguldde: P, P e P ( ii) Como P e deiguldde (ii) e upodo pr vem que: P e itum em ldo opoto de, etão prtir d

29 À Volt do Número de Ouro 8 P P O que o permite cocluir que em mbo o co temo, P P Se multiplicrmo por ( 0 ) vem, dode logo 0 O que igific, Ou que dode Porque e ão úmero iteiro, etão iguldde uc tem lugr podedo ocorrer pe, (iii) P / e / P itum-e em ldo opoto de, etão pel deiguldde de(ii) obtém-e: (iv) Tedo em cote que, vem que, O fcto de termo upoto que ocorrim trê deiguldde de (ii) levou-o um cotrdição Aim, podemo cocluir que pelo meo, pr, pr um d trê frcçõe

30 À Volt do Número de Ouro 9 próxim P /, P /, P /, tomdo como / b, devem tifzer deiguldde (i) Ao tribuir, vlore diferete, obtemo um cojuto ifiito de frcçõe que tifzem deiguldde (i) RÁCIO DOURADO IRRACIONALIDADE UADRÁTICA iteiro O úmero rcioi ão ríze d equçõe liere: x b 0, com coeficiete No cojuto do úmero irrcioi detc-e um cle de irrciolidde que ão ríze d equçõe qudrátic com coeficiete iteiro A ti úmero vmo chmr irrciolidde qudrátic Defiição Um úmero rel chm-e irrciolidde qudrátic e é riz irrciol de um equção d form: x bx c 0 () com coeficiete iteiro que ão ão igui zero imultemete É clro, que pr tl erá 0, c 0 O coeficiete, b, c de () podem er tomdo primo etre i; ee co o dicrimite d equção () D = b 4c vmo chmr de dicrimite de b b 4c b b 4c A ríze de () ão: e Logo, qulquer irrciolidde P D qudrátic pode er repreetd ob form, ode P e ão úmero iteiro,

31 À Volt do Número de Ouro 30 P D (D> ) iteiro que ão é qudrdo de um úmero iteiro À riz, chm-e irrciolidde qudrátic cojugd com OBS : N defiição d irrciolidde qudrátic é fudmetl que o coeficiete d equçõe qudrátic ejm úmero iteiro Lembremo lgu fcto importte ee cotexto: Defiição Chm-e úmero lgébrico todo o úmero que ej olução de um equção do tipo: 0x x x x 0 com o coeficiete, 0,,,, iteiro OBS o eu gru é o meor úmero poível em () A equção de meor gru pr um ddo úmero lgébrico é eecilmete úic Outr equçõe poívei ão que e obtêm prtir dquel, multiplicdo- por diferete fctore Defiição 3 Um poliómio míimo de um úmero lgébrico é poliómio móico de gru míimo, com coeficiete rcioi que tem como u riz 0 () Exemplo O úmero de ouro é lgébrico de gru e tmbém um irrciolidde qudrátic poi é riz de um equção do º gru com coeficiete iteiro O eu poliómio míimo é: x x 0, de coeficiete iteiro (ver pág3) E equção tem um outr riz que é É fácil motrr que o úmero de ouro é um úmero irrciol Pr provr e firmção, utilizemo o rciocíio de redução o burdo Supohmo que é um rciol, ito é, com, b iteiro, e mdc (, b )=, b ou ej, e b ão têm fctore comu, e é um frcção irredutível b b b Como b b b b b, etão

32 À Volt do Número de Ouro 3 b logo b o que é um burdo, poi por hipótee e b ão têm fctore comu A cotrdição obtid prov firmção

33 À Volt do Número de Ouro 3 III EXTENSÃO UADRÁTICA DE CORPOS CONSTRUTIVIDADE DOS NÚMEROS 3 CONSIDERAÇÕES GERAIS Defiição 3 Se riz de um equção do egudo gru obre um corpo, ão pertece, etão exteão imple lgébric ( ), obtid de por jução, chme exteão qudrátic de Teorem 3 Se exteão qudrátic de etão qulquer ξ e exprime por rdici qudrático obre o corpo x Demotrção: Se é um exteão qudrátic de, etão = ( ), ode riz de bx c 0 ode,b, c, 0,, b É óbvio que ( ), poi

34 À Volt do Número de Ouro 33 b (egudo fórmul de Viett 4 ) c, 0 Logo, ( ) ( ) é o corpo de decompoição de f ( x) x bx c, poi cotém tod ríze de f( x ) e qulquer úmero de ( ) e exprime por rdici qudrático obre, poi, e exprimem em rdici qudrático obre Teorem 3 Um úmero ξ exprime-e por rdici qudrático obre um corpo e exite um uceão fiit de corpo,,, (i) - exteão qudrátic de ; ti que: (ii) i - exteão qudrátic de i ; (i =, ); (iii) ξ udo é que um úmero é cotrutível ou ão obre um corpo : Se, repot é obvi Se, etão coideremo um exteão imple ( ), Se é cotrutível obre, etão todo o úmero de ( ), ão cotrutívei uer dizer poibilidde de cotruir obre é equivlete poibilidde de cotruir todo o úmero de ( ) obre Teorem 33 Um úmero ξ IR é cotrutível obre um corpo IR, e ξ e exprime por rdici qudrático obre Codição uficiete: Demotrção: Supohmo que ξ e exprime por rdici qudrático obre, ito é, ξ e obtém como reultdo de um uceão fiit d operçõe de extrcção de riz qudrátic do úmero de e outr operçõe ritmétic Sbedo que o reultdo d operçõe rcioi obre úmero cotrutívei ão, tmbém, cotrutívei e riz qudrd de um úmero cotrutível 0 é, tmbém, cotrutível (poi o egmeto de comprimeto é poível cotruir com jud de régu e 4 Viett (Fru) Mtemático Frcê (40-603)

35 À Volt do Número de Ouro 34 compo como médi geométric etre egmeto do comprimeto e ), podemo cocluir que ξ é, tmbém, cotrutível Codição eceári Sej ξ é cotrutível obre Io igific que é cohecid um uceão fiit d cotruçõe com régu e compo que lev do poto de um cojuto (de coorded de ) o poto com coorded ξ A utilizção d régu ão lev for de Com um jud do compo podemo cotruir úmero que pertecem ou exteão qudrátic de Aplicdo o memo rciocíio, obtemo que é um exteão qudrátic de D mem meir obtemo 3, 4,, i, um uceão d exteõe qudrátic em que cd i é um exteõe qudrátic de i- ( i I ) Aim como uceão d cotruçõe é fiit, um determido po chegmo k que cotem ξ Logo, exite um fio de exteõe qudrátic tl que k Segudo o teorem 3, ξ exprime-e por rdici qudrátic obre k 3 CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS COM AJUDA DE INSTRUMENTOS EUCLIDEANOS O problem geométrico de cotrução com régu ão grdud e compo podem er iterpretd lgebricmete, utilizdo o método de coorded O objectivo d cotruçõe geométric é cotrução pedid prtir do objecto iicilmete ddo

36 À Volt do Número de Ouro 3 Em cd problem de cotrução podemo ditiguir doi item de poto: o Sitem do poto ddo o Sitem do poto procurdo ( cotruir) Se coiderrmo o poto um item de coorded (plo crteio rel) podemo dizer que é ddo um cojuto do úmero rei (coorded do poto ddo) e precimo de determir o outro cojuto do úmero rei (coorded do poto procurdo) udo um problem de cotrução é olúvel por meio de itrumeto euclideo (régu e compo), podemo dizer que cd úmero procurdo pode er cotruído prtir do úmero do cojuto ddo Defiição 3 Dizemo que um umero IR é cotrutível obre um cojuto M IR e, bedo coorded de m poto (que pertecem M), é poível cotruir com régu e compo pelo meo um poto que tem como um d coorded Tommo: (0,) M M T M Deigemo por TM o cojuto de todo o úmero rei cotrutívei obre M, ode OBS 3: T M é empre um corpo umérico Poi com, b (b 0) T M São cotrutívei o úmero b; b; b; ; b Em prticulr, ão cotrutívei todo o úmero rcioi poi cotém (0,) OBS 33: Se PM é corpo umérico míimo que cotem M, etão cd úmero PM é cotrutível (poi PM T por defiição de corpo míimo ) M Em prticulr, qulquer úmero rciol é cotrutível, poi é um corpo míimo que cotém (0,)

37 À Volt do Número de Ouro 36 Sedo que poibilidde de cotruir um úmero ξ prtir do cojuto M do úmero ddo é equivlete à u cotrutividde prtir de P M coiderr o cojuto de úmero ddo como um corpo, podemo A eêci lgébric de uo de régu e compo em cotruçõe geométric crcteriz-e pel firmçõe eguite: É impoível cotruir um ovo úmero obre um corpo (úmero que ão pertece ) com jud de um ó régu (ão grdud) Se um úmero é cotrutível obre com jud de compo, etão pertece ou um exteão qudrátic de Et firmçõe ão coequêci do fcto de que equçõe de rect ão liere, e equçõe d circuferêci ão do º gru Por io, coorded do poto de iterecção de ti lih exprimem-e pel coorded do poto que determim e lih, e ão rcioi ou obtém-e por extrcção de ríze qudrátic Teorem 3 Um úmero IR, é cotrutível obre um corpo IK IR e e exprime por rdici qudrático obre IK OBS 34: A reolubilidde de um problem de cotrução com régu e compo e reolubilidde de um equção lgébric por meio de rdici qudrático ão pecto de um memo problem OBS 3: No cotexto do trblho, coiderdo quetão de cotrutividde de úmero expreo por rdici qudrático, lembremo o lgoritmo de cotrução de : Po Cotruímo AB e BC ti que AB C e AB, BC ; Po Com cetro em M (poto médio de AC ) e rio MA MC, trçmo circuferêci (M, MA) Po 3 Tirmo um perpediculr AC em B que iterect circuferêci em doi poto, D e D Po 4 O egmeto BD tem comprimeto igul Demotrção: A jutificção d vercidde do proceo cim decrito bei-e o eguite: Sej BD = x,

38 À Volt do Número de Ouro 37 Como (critério AA) e tem x BD BC, dode x, i é, x BD AB BD x 33 CONSTRUÇÃO DO NÚMERO DE OURO Tedo em cot fudmetção teóric, cim expot podemo firmr que o úmero de ouro pertece ( ) (exteão qudrátic de ) poi expre-e ob form b, ode, b e pode er cotruído com jud itrumeto euclideo Como é que e reliz tl cotrução? O procedimeto é eguite: Po : Coider-e um egmeto de rect AB de comprimeto igul à uidde

39 À Volt do Número de Ouro 38 Po : Determi-e o poto médio, M, do egmeto de rect AB Po 3: Com o compo em B e bertur igul o comprimeto do egmeto de rect AB, trç-e um circuferêci Po 4: Trç-e um rect perpediculr o egmeto de rect AB, que pe por B, e determie-e um poto T de iterecção d rect com circuferêci Po : Ue-e o poto M com o poto T Com o compo em M e bertur té T trç-e o rco, e determi-e o poto G = AB ( M, MT)

40 À Volt do Número de Ouro 39 AG - é procurdo Porque é que AG? Demotrção: Motremo que o comprimeto do egmeto AG é igul o úmero procurdo Relmete, Se AB etão MB = Do Teorem de Pitágor vem: MT MB BT MT MT MT MT 4 Como MT é um comprimeto, etão o eu vlor tem de er poitivo Dode MT D cotrução relizd (po ), be-e que MT MG Logo, AG AM MG AG AG 34 DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM MÉDIA E EXTREMA RAZÃO Euclide, ecreveu um colecção de 3 (treze) volume obre geometri, itituld Elemeto Euclide Mtemático Grego (36 C 300 C)

41 À Volt do Número de Ouro 40 Et é um d obr mtemátic mi importte té o oo éculo A geometri euclide etá ete em defiiçõe báic (oçõe primitiv) e xiom ou potuldo A prtir dete o mtemático provou outro fcto o qui chmou de propoiçõe Aim edo, ecotrmo o Livro 6, Defiição3 que é defiição de divião de um egmeto de rect em médi e extrem rzão Defiição 34 Um egmeto de rect diz-e dividido em médi e extrem rzão qudo o comprimeto totl do egmeto de rect etá pr o mior, im como o egmeto mior etá pr o meor AB AC AC CB Como dividir um egmeto em médi e extrem rzão? Ddo um egmeto de rect AB procur-e ecotrr um poto C AB tl que AB AC () AC CB Divide-e o egmeto de rect AB em doi egmeto, de modo que o meor dele ej BC e o mior AC Supõe-e que b b b Fz-e Logo, b x AB e AC b etão de () vem que x x x x x x x 0 x x x Como e etá trtr de medid, exclui-e x Etão b x Como x b b b

42 À Volt do Número de Ouro 4 Not-e que fzedo = vem b A ete vlor chm-e rzão de ouro, ou rzão áure Pr e ecotrr o poto C, bt fzer eguite cotrução geométric: Po Trç-e o egmeto AB e cotrói-e o qudrdo ABA'B'; Po Cotrói-e M como o poto médio de AA'; Po 3 Prolog-e o egmeto AA' e cotrói-e circuferêci de cetro M e rio MB'; Po 4 Ach-e o poto X de iterecção d circuferêci com emi-ret AA'; Po Cotrói-e o qudrdo de ldo A'X; Po 6 O prologmeto do ldo DD' determi o poto C em AB que eccio o egmeto rzão deejd Jutificção d cotrução Sej o triâgulo MAB, fzedo AB e MX d, Pelo teorem de Pitágor vem que: d d 4 d

43 À Volt do Número de Ouro 4 logo: ( ) AX Fzedo = temo AX

44 À Volt do Número de Ouro 43 VI PROPORÇÃO DIVINA NAS CONSTRUÇÕES DE FIGURAS GEOMÉTRICAS Relciod com o Número de Ouro etão lgum figur geométric muito cohecid e utilizd Mtemátic, como por exemplo o rectâgulo, o triâgulo, petágoo e o decágoo De eguid erá preetdo um etudo d referid figur geométric 4 RECTÂNGULO DE OURO RAZÃO ÁUREA NUM RECTÂNGULO Defiição 4: Um rectâgulo é de ouro e rzão etre o comprimeto e lrgur é igul o úmero de ouro

45 À Volt do Número de Ouro 44 Como cotruir um rectâgulo de ouro? O Grego tihm um proceo imple de cotruir rectâgulo de ouro Vejmo o po eceário do referido proceo: Po Deeh-e um qudrdo ABEF cujo comprimeto do ldo coidermo igul à uidde Po Mrc-e o poto médio de um do ldo, ecolhe-e por exemplo o ldo BF Po 3 Do poto médio M, do egmeto BF trç-e um rco cujo comprimeto é igul ME Po 4 Complet-e o rectâgulo ABCD

46 À Volt do Número de Ouro 4 Demotrção: O rectâgulo obtido é o rectâgulo de ouro Porquê? Se BF = etão MF = Pelo Teorem de Pitágor vem que ME MF FE ME ME ME ME 4 Como ME é um comprimeto, etão o eu vlor tem e er poitivo Dode ME Pel cotrução feit, be-e que ME Etão MC BC BM MC BC BC, que é o comprimeto do rectâgulo A lrgur do referido rectâgulo é Logo rzão etre o comprimeto e lrgur do rectâgulo é:, que é o úmero de ouro OBS 4: Um rectâgulo de ouro pode torr-e um qudrilátero e outro rectâgulo de ouro Dete modo FCDE é igulmete um rectâgulo de ouro Ete proceo pode er cotiudo repetidmete

47 À Volt do Número de Ouro 46 Pr lém do proceo cim decrito, exite um outro que permite obter um rectâgulo com medid muito próxim à do rectâgulo de ouro Po Começ-e com um qudrdo de ldo uitário Po Jut-e um qudrdo de rectâgulo ldo uitário de form formr um Ete rectâgulo ão é o rectâgulo de ouro, um vez que rzão etre o comprimeto e lrgur é Po 3 Cotiu-e jutr, uceivmete, qudrdo cujo ldo têm medid do comprimeto do rectâgulo comprimeto 3 Ete rectâgulo ão é um rectâgulo de ouro um vez que, l rg ur Ete rectâgulo ão é o rectâgulo de ouro, porque comprimet o,(6) l rg ur 3

48 À Volt do Número de Ouro 47 Ete rectâgulo tmbém ão é o rectâgulo de ouro, comprimeto 8 poi,6 l rg ur comprimeto 3 Ete rectâgulo ão é o rectâgulo de ouro, poi, 6 No etto é um l rg ur 8 vlor que é muito próximo do Número de Ouro À medid que o comprimeto umet, umet tmbém lrgur, e rzão etre o comprimeto e lrgur e proxim mi do úmero de ouro Um problem que tmbém é btte iterete, é o que eguir e cit:

49 À Volt do Número de Ouro 48 Ddo um rectâgulo qulquer e um triâgulo icrito o rectâgulo ddo, de form que qudo removido deix trê triâgulo todo com mem áre Será que o ldo do rectâgulo etão dividido mem rzão? E qul é e rzão? Sejm: ACEF um rectâgulo e AB Demotrção: x ACEF AB x BC y CD w DE z uidde de medid x () A áre do triâgulo ABF é A= w z y w () A áre do triâgulo é A= z (3) A áre do triâgulo é A= x y Iguldo áre igui do triâgulo ABF, BCD e DEF obtemo: y w x w z x w y z x y x( w y) yw x w z z x y yw x xw zy w z yw y w x w z x z Dode e coclui que o doi ldo do rectâgulo ão dividido mem rzão Tedo em cot ee reultdo, etmo em codiçõe de determir referid rzão y w w z w w zw w w Relmete, w z zw 0 yw z w z z z z z w z

50 À Volt do Número de Ouro 49 w Deigdo rzão por X, últim equção tom form: X X 0 e terá como z olução poitiv o Número de Ouro, ou ej, w Coclui-e que z que é o Número de ouro y x, ito é, cd ldo do rectâgulo é dividido mem rzão, 4 TRIÂNGULO DE OURO Defiição 4 Um triâgulo diz-e de ouro e rzão etre be e um do eu ldo é igul o úmero de ouro Propoição 4: O triâgulo iócele cujo âgulo têm de mplitude 7º, 7º e 36º é um triâgulo de ouro Demotrção: Biect-e o âgulo ADC, obtém-e im o triâgulo um vez que tem doi âgulo com mem mplitude, que tmbém é iócele, Aim DF DC iócele, logo ADF, AF DF ˆ 36 A DF, ˆ DAF 36 e ˆ 08 A FD Etão o triâgulo é

51 À Volt do Número de Ouro 0 Tem-e que DF DC e AF DF, etão DF DC AF O triâgulo é emelhte o triâgulo porque têm de um pr o outro doi âgulo repectivmete igui ( DCF ˆ DCˆ A e DFC ˆ ACˆ D ) Como triâgulo triâgulo etão têm de um pr o outro o repectivo ldo proporcioi, ito é, CD FC CA AD AF CA AD Como DF AF e DC AF vem que r DF DC FC AF AF AF AF Fz-e FC etão r r AF r FC AC AF FC AC r CA r 4 r r r r r r 0 r r r AF r Como r é um úmero egtivo e por defiição r é poitivo, logo ecolhe-e r, que é o úmero de ouro Logo AD, ito é, rzão etre medid de um do ldo do triâgulo e medid d DC u be é o Número de Ouro 43 PENTAGRAMA PITAGÓRICO O Petgrm é um ímbolo muito mi tigo do que e pode per Pr o Pitgórico, o Petgrm, er um ímbolo grdo que motrv hrmoi etre o corpo e lm Er tmbém udo como um ímbolo de recohecimeto etre ele O Pitgórico tribuím virtude epecii o petgrm, porque é um figur que pode er cotruíd com um úic lih fechd etrelçd, por io é coiderd por ele como um ímbolo de perfeição

52 À Volt do Número de Ouro O Petgrm cotém o Número de Ouro Coidere-e um petágoo regulr, com repectiv digoi: Propoição 43: O quociete etre u digoi e o eu ldo é o Número de Ouro Demotrção: Como já é oo cohecido d geometri, mplitude de um âgulo itero de polígoo 360 regulr com ldo é igul : 80 Nete co etão O triâgulo é iócele, um vez que AE ED, etão DAE ˆ ADˆ E, e logo Como A om do âgulo itero de um triâgulo é igul 360, ˆ ˆ ˆ AED DAE ADE ADE ˆ 08 ˆ 7 ˆ ˆ ADE ADE ADE 36 DAE ˆ ADˆ E etão DÂE 36 º ˆ 08 A ED O triâgulo é geometricmete igul o triâgulo, porque AED ˆ ABˆ C, AB AE e BC ED Etão ˆ BAC 36 e B CA ˆ 36

53 À Volt do Número de Ouro Coidere-e gor o triâgulo ADC, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 36 ˆ A EAD DAC BAC DAC DAC ˆ ˆ ˆ D EDA ADC 08 ˆ ˆ ˆ C BCA ACD 08 ˆ ˆ 36 ADC ADC 7 36 ˆ ˆ ACD ACD 7 Logo o triâgulo é um Triâgulo de Ouro etão: ˆ DAC 36 AD DC 44 DECÁGONO REGULAR Propoição 44 O ldo do decágoo regulr é áureo em relção o rio d circuferêci circucrit volt dele Demotrção Tedo em cot que um âgulo cetrl reltivo cd ldo do decágoo mede 36º, e o fcto que o triâgulo OAB é iócele (poi AO = OB = rio), d proporçõe trigoométric cohecid vem: e8º, r e8º r r e8º

54 À Volt do Número de Ouro 3 4 A ESPIRAL MARAVILHOSA (logrítmic) A Epirl de Ouro é bed o pdrão de qudrdo que pode er cotruído o iterior de um Rectâgulo de Ouro Coideremo o proceo de cotrução dee feómeo Po : Pr iicir cotrução de um epirl logrítmic com régu e compo, deeh- e um rectâgulo áureo ABCD, mrcdo um poto E em AB, tl que: CE BD; Po : Trç-e um perpediculr EF por E ito é EF AB; Po 3: Com o cetro em E, fz-e o rco BF; Po 4: Com o rio DF, determim-e o Poto G em AD e H em EF;

55 À Volt do Número de Ouro 4 Po : Com o rio HF e cetro em H, trç-e o rco GF Po 6 etc: repete-e uceivmete o procedimeto cim, e determi-e Epirl Logrítmic, Tmbém chmd Epirl Equigulr Ao deehr-e o rco decrito teriormete cotrução do qudrdo, coegue-e cotruir curv logrítmic cohecid pel Epirl de Ouro

56 À Volt do Número de Ouro CONCLUSÃO Defiido etrtégi, umimo um bordgem cetrd o mi vrido prdigm foclizdo cocepção dee úmero e u fução utilitári Iferimo er o úmero de ouro um dimeão complex medid em que ecerr coceito como hrmoi, belez e o equilíbrio que ão, em um, págio d Mtemátic equto ciêci A multidimeiolidde dee úmero reult, em prte, d u múltipl fuçõe, e extrem plicbilidde É um úmero que pode er udo pr reforçr coceito obre item de medição e divião com úmero decimi, equção do º gru literl, progreão geométric e om, efim pode-e tirr proveito dee úmero ftático, obretudo o proceo eio predizgem d dicipli de Mtemátic ode o eu virtuoimo é de grde lcce Or, e Mtemátic cotitui um do pilre d relizção d vid hum, é certo que o úmero de ouro eglob mi vrid vertete de relizção Ee úmero, pel u brgêci, eglob ectore como hitóri, biologi, zoologi, rte cláic e moder, efim, ee úmero, pel u plicbilidde e fuçõe, cb por cotituir im perfeição d coi Pode-e cocluir que é um epécie de úmero ítee d turez, poi o mi vrido ectore de relizção técico-cietífic o úmero de ouro pode er plicdo N rquitectur e egehri ele pode er chve pr equciometo do equilíbrio, e pr o etbelecimeto de vári ituçõe tedete à reolução de vário problem Não podemo deixr de foclizr id o ldo lúdico dee úmero, poi vári fórmul exitete pr u idetificção e pr u plicbilidde ecerrm um etido lúdico, que

57 À Volt do Número de Ouro 6 pode cotituir motivção báic pr depertr o luo o goto pel Mtemátic e o goto pel decobert Não é de e etrhr dificuldde que o luo experimetm o proceo de predizgem, m é de e crer que o profeor devidmete petrechdo pode bem cotribuir pr o depertr de um ov titude fce et dicipli E ei um quetão motivdor idetificção e decobert do úmero de ouro, u plicbilidde e fuciolidde Será empre o úmero de ouro um úmero curioo, pelo eu igificdo, pel u igificâci, e pelo pecto mítico e rei que ele ecerr Atet tl fcto iúmer ituçõe d plicbilidde Provmo er o úmero de ouro um úmero irrciol e prticulr u fuçõe e plicbilidde Dede u idetificção té o oo di, u trjectóri cotiu ter um igificdo crecete Se o Egipto, por exemplo, er coiderdo um úmero grdo (vej-e dimeão mític e mitológic tribuído o úmero), o tempo modero o eu igificdo extrpol de dimeão, pr chegr um dimeão técico-cietífic Bt ver u plicbilidde rquitectur e outro rmo do ber e ctividde hum Podo quetão et perpectiv etmo covicto de que o úmero de ouro tem exercido e cotiu exercer um fução utilitári o vário domíio Seão vejmo: ível d rte A eêci rtític rquitectur e pitur (trço covecioi defiido pelo rtit) é reveldo pelo úmero de ouro Fldo id d virtude que ee fbuloo úmero ecerr (ver grvur etmpd o corpo dete trblho), omo recohecer que u fução utilitári reliz-e um ifiit exteão, e que devidmete explord pode levr o homem plicbilidde ftátic Pode-e eir o luo deehr explordo uce dee úmero, pode-e eir Mtemátic e Geometri plicdo curioidde d turez ode imper eêci dee úmero Efim omo de opiião que o eio de Mtemátic pode cetrr-e o úmero de ouro como elemeto fulcrl d motivção de predizgem, e defedemo eceidde do plo curriculre qulquer ível icluirem coteúdo progrmático que verm à volt de quetão Outroim defedemo id eceidde de todo quele que cohecem virtulidde dee úmero e uirem à volt de um projecto que vi divulgção e projecção de um úmero que cotitui perfeição d coi

58 À Volt do Número de Ouro 7 FONTES BIBLIOGRÁFICOS BURSTAB AA Teori do úmero Mocovo (966) BIEMBENGUT, Mri Slett Número de ouro e ecção Áure coiderçõe e ugetõe pr l de ul Editor d FURB, (996); BOREVITCH, Z I, CHAFAREVITCH, I R Théorie de Nombre Editio Jcque Gby Pri (980) CONWAY, Joh H, RICHARD K Guy O livro do úmero Trduzido por Joé Sou Pito Grdiv uiveridde de Aveiro, (999) LELTCHUK, U I, PALEVTCHENKO, I I Aul prátic de Álgebr e Teori do Número Mik (986) ZAVALO S G, KASTARTTCHUK V N, HATSET B I Álgebr e teori do úmero, Kiev, (980)