A PRODUÇÃO DO CONHECIMENTO ACERCA DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA A PARTIR DE UMA ABORDAGEM GRÁFICA

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1 X Enontro Nionl de Edução Mtemáti Edução Mtemáti, Cultur e Diversidde Slvdor BA, 7 9 de Julo de 010 A PRODUÇÃO DO CONHECIMENTO ACERCA DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA A PARTIR DE UMA ABORDAGEM GRÁFICA Sndr Mlt Bros 1 Universidde Estdul de Londrin UEL Resumo: Este rtio present um resultdo de um pesquis que investiou omo o oletivo, ormdo por lunos e Tenolois d Inormção e Comunição, produz o oneimento er do domínio de um unção ompost prtir de um ordem rái. Este resultdo é reliondo à produção de dois lunos que trlrm om um tividde que eplorv deomposição de um unção em dus unções omponentes, utilizndo o reurso de nimção de um sotwre ráio. A tividde propost, evidenid pelo proesso de visulizção, possiilitou erção de onjeturs er do domínio de um unção ompost prtir dos ráios de possíveis unções omponentes. Este resultdo mostr omo Mtemáti produzid por umnos om omputdores é qulittivmente dierente d produzid por umnos om ppel e lápis. Plvrs-ve: Deomposição de Funções; Domínio de Função, Visulizção; Animção; Tenolois d Inormção e Comunição. INTRODUÇÃO Neste trlo o resultdo presentdo é reltivo à investição er d produção do oneimento elordo pelo oletivo ormdo pelos lunos e pels Tenolois d Inormção e Comunição (TIC) o eplorr um tividde reliond o domínio de um unção ompost prtir de um ordem rái. A metodoloi dotd ness investição oi qulittiv (ALVES-MAZZOTTI, 1999; ARAÚJO; BORBA, 00), pois, trt-se de um estudo em que o ojeto está putdo prtir d perspetiv do indivíduo. Como proedimento de olet dos ddos oi utilizdo eperimentos de ensino (STEFFE; THOMPSON, 000) om lunos inressntes no Curso de Mtemáti, de um Universidde do Estdo de São Pulo, e que estvm ursndo disiplin Cálulo I. 1 Doente d Universidde Estdul de Londrin (UEL). Doutordo (009) pel UNESP Rio Clro (SP). Anis do X Enontro Nionl de Edução Mtemáti Comunição Cientíi 1

2 X Enontro Nionl de Edução Mtemáti Edução Mtemáti, Cultur e Diversidde Slvdor BA, 7 9 de Julo de 010 Interpretr o que os lunos dizem e zem, por meio de um diáloo desendedo prtir ds tividdes e ds questões elords pelo pesquisdor, em um tenttiv de entender omo eles elorm seus oneitos mtemátios, é prte essenil em pesquiss desenvolvids trvés de eperimentos de ensino. Sendo ssim, um tividde oi propost om o intuito de nlisr omo o oletivo, ormdo pelos lunos e o sotwre Winplot, eplor deomposição de um unção ompost em dus outrs unções, qui denominds de unções omponentes. O desenvolvimento d tividde propost possiilitou veriição do domínio um unção ompost prtir ds representções ráis. O sotwre dotdo ness investição ondiionou visulizção dos ráios ds unções omponentes e erção de um onjetur er do domínio d unção ompost. REFERENCIAL TEÓRICO A ordem visul de um oneito mtemátio pode ser onsiderd, tulmente, omo um dos elementos que rterizm novos modos ou estilos de produção do oneimento. Pr Guzmán (00), o uso d visulizção é enéio do ponto de vist d presentção pr outros e mnipulção o resolver prolems. Visulizção sure deste modo, não só omo lo solutmente nturl no nsimento do pensmento mtemátio, ms tmém n desoert de novs relções entre ojetos mtemátios e, tmém, no proesso de trnsmissão e omunição que é próprio à tividde mtemáti. (GUZMÁN, 00, p.-3). A visulizção sure om um peso de interpretção, odiição e deodiição, o qul intervém um mundo inteiro de interâmios pessois e soiis. Em Villrrel (1999) e Bor e Villrrel (005) podemos enontrr um vst litertur sore este tem. Pr esses utores, o omponente visul pree ser o prinipl oo desde que os omputdores pssrm ter monitor de vídeo. A visulizção, relçd pels TIC, pode lnçr um nov dimensão, onde nimção, proporiond pelos reursos omputionis, onstitui um elemento primordil, qundo s imens são vists de orm dinâmi e interpretds Anis do X Enontro Nionl de Edução Mtemáti Comunição Cientíi

3 X Enontro Nionl de Edução Mtemáti Edução Mtemáti, Cultur e Diversidde Slvdor BA, 7 9 de Julo de 010 pelos lunos em outrs orms de produzir o oneimento. A ordem rái, n produção do oneimento er de unção ompost, potenilizd pels TIC, onstituiu um lterntiv à ordem estritmente léri. Ao se onstituir um miente om omputdor, eistem váris mneirs de usá-lo n produção do oneimento. Pr Bor e Villrrel (005), os omputdores e umnos não são onsiderdos seprdmente, onstituindo-se uniddes disjunts. Pr os utores, os omputdores não são pens ssistentes dos umnos o se zer Mtemáti, pois eles mudm nturez do que é eito, suerindo que dierentes oletivos de umnos om mídis produzem dierentes mtemátis. Por eemplo, Mtemáti produzid por umnos om ppel e lápis é qulittivmente dierente d produzid por umnos om omputdores, prtir de simulções e eperimentções. Bor e Villrrel (005), o proporem que produção do oneimento oorre prtir d noção de oletivo pensnte seres-umnos-om-mídi, undmentm-se ns idéis de reornizção de Tikomirov (1981) e n visão de oletivo pensnte de Lévy (1993). A teori de reornizção, propost por Tikomirov (1981) sei-se n idéi de que errment não é simplesmente diiond à tividde umn, ms trnsorm-. O utor deende que os proessos mentis, no ser umno, mudm qundo os proessos d tividde práti mudm. Como resultdo do uso do omputdor, trnsormção d tividde umn oorre e novs orms de tividdes emerem (TIKHOMIROV, 1981, p.71). O utor rument que o omputdor proporion novs possiiliddes à tividde umn, omo eedks e resultdos intermediários que não podem ser oservdos eternmente e, ssim, o proesso de produção do oneimento é modiido. A estrutur d tividde inteletul umn é lterd pelo uso do omputdor, reornizndo os proessos de rição, de us e de rmzenmento de inormções. Pr Lévy (1993), o oneimento é produzido pel simulção e pel eperimentção. A mnipulção dos prâmetros e simulção de tods s irunstânis possíveis dão o usuário de um prorm um espéie de intuição, e de iminção, sore s relções de us e eeito presentes em um determindo modelo. O utor entiz que n medid em que inormtizção vnç, melorndo sus interes, novs iliddes preem e onição se trnsorm. Pr o utor nenum tipo de oneimento é Anis do X Enontro Nionl de Edução Mtemáti Comunição Cientíi 3

4 X Enontro Nionl de Edução Mtemáti Edução Mtemáti, Cultur e Diversidde Slvdor BA, 7 9 de Julo de 010 independente do uso ds tenolois inteletuis (orlidde, esrit e inormáti) e só é possível pensr dentro de um oletivo, pois o pensmento já é relizção desse oletivo. No que tne onstrução do oneimento mtemátio, Steinrin (005) deende que este não é previmente ddo, ms onstruído por meio de tividdes soiis e interpretções individuis no qul está onetdo om o onteto soil, onde são desenvolvidos sinis e símolos. Pr o utor, prender mtemáti requer olr mtemáti omo proesso tivo de onstrução, no qul, trvés d interpretção intertiv dos oneitos e notções mtemátios, se desenvolve o novo oneimento. METODOLOGIA O eperimento de ensino oi relizdo om um dupl de estudntes que desenvolveu um tividde e pr este estudo presento nálise do oletivo ormdo pel dupl de estudntes, Vitor e Frniele, tividde e o sotwre Winplot. A tividde propost onsistiu em, dd um unção, tentr desorir s unções e que ompõem unção, zendo simulções pel inserção ds unções e e vrindo os oeiientes, e. Ess tividde oi desenvolvid por Vitor e Frniele, que trlrm om váris unções, porém não se lemrm d deinição de unção ompost er do domínio. Isto é, sendo A, B e C onjuntos e sendo s unções : A B e : B C. A unção : A C tl que, om A, é md de unção ompost d unção om unção. O domínio d unção é o onjunto de todos os números, no domínio d unção, tl que estej no domínio d unção, ou sej, Im D. Seundo Luus (006), s rterístis esseniis presentds pelos estudntes denotm um ordem meâni no trtmento de omposição de unções. A reerêni à deinição de unção, domínio e imem omo um pré-requisito, pree ser um releo meânio em oposição o oneimento oneitul dos tópios mtemátios. Emor em luns livros de Cálulo, sej entizdo que omposição d unção om unção só é Anis do X Enontro Nionl de Edução Mtemáti Comunição Cientíi

5 X Enontro Nionl de Edução Mtemáti Edução Mtemáti, Cultur e Diversidde Slvdor BA, 7 9 de Julo de 010 possível se restrição Im D or válid, pree que ess restrição não é levd em ont dinte de um tividde que se pede pr lulr omposição de dus unções. Depois de lums tenttivs, Vitor e Frniele esreverm unção o, denotndo unção omo e unção omo. Porém, o inserir esss unções no Winplot, Vitor e Frniele otiverm o ráio d unção ompost o que, no entnto, teve um dierenç em relção o que se esperv que onteesse, pois somente um prte do ráio d ompost se sorepôs o ráio d unção, onorme Fiur 1. Fiur 1. Gráios ds unções om 0 e 0 (zul), (vermelo), (verde) e (vino). Anis do X Enontro Nionl de Edução Mtemáti Comunição Cientíi 5

6 X Enontro Nionl de Edução Mtemáti Edução Mtemáti, Cultur e Diversidde Slvdor BA, 7 9 de Julo de 010 Ao serem questiondos se o ráio d unção er o mesmo d unção, Vitor e Frniele responderm que seri pens o ldo direito. Vitor: Só do ldo de á [pontndo pr o ldo direito]. Sndr: Como voê se? Vitor: Por us d or. Sndr: Por quê? Vitor: Se or netivo... Frnielle: Se or netivo... Ms o nimrem o prâmetro, notrm que isso não lterv unção. Vitor: Só vle pr positivo, que se or pr netivo... el [unção ompost ] iou iulzin unção [unção ] só que pr positivo, né! Sndr: Porque será que isso ontee? Vitor: Porque t n riz né... Sndr: E isso lter lum ois? Vitor: Não... porque í o... se o or netivo... vi dr positivo do mesmo jeito... ele vi elevr o qudrdo. Peree-se que Vitor tin um perepção do domínio d unção, porém não si se epressr ormlmente. Vitor: Eu tin pensdo ssim... Se voê elevr o o qudrdo e izer riz qurt, ms tmém dí não vi dr netivo... vle pr netivo... ms í não vi dr dierente o ráio. Anis do X Enontro Nionl de Edução Mtemáti Comunição Cientíi 6

7 X Enontro Nionl de Edução Mtemáti Edução Mtemáti, Cultur e Diversidde Slvdor BA, 7 9 de Julo de 010 Vitor inseriu um mudnç d unção. Modiiou unção pr, e o ompor om unção, oteve o ráio d unção ompost, oinidindo om o ráio d unção, pr 0. Pr vlores 0, o ráio d unção ompost oinidi om o ráio d unção somente pr vlores de 0. Podemos notr que emor não osse esse o ojetivo dess tividde, os lunos inerirm sore outrs unções e puderm onsttr lums onjeturs er de domínio e imem de unções omposts. A Fiur 1 mostrou um imem estáti do Cmtsi Studio, no qul os ráios orm erdos pelo Winplot e os lunos estvm sendo ilmdos. Os ráios ds unções om 0 e 0, (vermelo), (verde) e (vino), orm erdos pelo reurso do Winplot. A eperimentção deste pdrão ráio possiilitou onrontção de um ordem léri om um ordem rái, onde oi possível pereer neessidde de se onsiderr restrição Im D n deinição de um unção ompost. CONCLUSÃO Este episódio mostr que o reurso de nimção do sotwre Winplot teve um ppel undmentl n veriição d restrição Im D n deinição de um unção ompost, pois o ráio pôde ser mnipuldo de orm dinâmi. Ess dinmiidde possiilitou os lunos onrontrem s representções léris e ráis, e oservção e nálise desse onronto orm eits junto om o omputdor, suerindo que oneimento, er d deinição de um unção ompost, levndo Anis do X Enontro Nionl de Edução Mtemáti Comunição Cientíi 7

8 X Enontro Nionl de Edução Mtemáti Edução Mtemáti, Cultur e Diversidde Slvdor BA, 7 9 de Julo de 010 em ont restrição Im D, oi produzido por um oletivo seres-umnos-om-mídis ssim omo sustentm Bor e Villrrel (005). Além disso, podemos pereer que os estudntes, emor já souessem deinição de unção ompost, orm onrontdos em um proesso tivo de onstrução, no qul, trvés d interpretção intertiv dos oneitos e notções mtemátios, desenvolverm um novo oneimento, ssim omo deende Steinrin (005). Conordndo om os utores supritdos, entendo que não é o ser umno sozino que pens, ms o oletivo, ormdo por umnos e mídis, é que pens. E nesse sentido todo o miente ísio, s pessos, s TIC e o onteúdo, om su interpretção tiv, interem n produção do oneimento. Nesse proesso, muits vezes, eiste um mudnç, qulittivmente dierente pr d mídi e, dependendo do eedk, novmente repenso tudo, em um movimento. Entendo ess mudnç omo proposto por Tikomirov (1981), um reornizção, que trnsorm tod tividde umn, e onsequentemente, produção do oneimento er d omposição de unções. REFERÊNCIAS ALVES-MAZZOTTI, A. J. O método ns iênis soiis. In: ALVES-MAZZOTTI, A. J.; GEWANDSZNAJDER, F. O método ns iênis nturis e soiis: pesquis quntittiv e qulittiv..ed. São Pulo: Pioneir Tomson Lernin, Prte II, p ARAÚJO, J. L.; BORBA, M. C. Construindo pesquiss oletivmente em edução mtemáti. In: BORBA, M. C.; ARAÚJO, J. L. (Or.) Pesquis qulittiv em edução mtemáti. Belo Horizonte: Autênti, 00. Cp.1, p p. (Coleção Tendênis em Edução Mtemáti, 9). BORBA, M. C.; VILLARREAL, M. E. Humns-wit-medi nd te reorniztion o mtemtil tinkin: inormtion nd ommunition tenoloies, modelin, eperimenttion nd visuliztion. New York: Spriner, p. (Mtemtis Edution Lirry, 39). GUZMÁN, M. Te role o visuliztion in te tein nd lernin o mtemtil nlysis. In: Interntionl Conerene on te Tein o Mtemtis t te Anis do X Enontro Nionl de Edução Mtemáti Comunição Cientíi 8

9 X Enontro Nionl de Edução Mtemáti Edução Mtemáti, Cultur e Diversidde Slvdor BA, 7 9 de Julo de 010 Underrdute Level,., 00, Hersonissos. Proeedins o nd Interntionl Conerene on te Tein o Mtemtis t te Underrdute Level. Hersonissos: University o Crete, 00. p.1-. Disponível em: <ttp://www.mt.uo.r/~itm/> Aesso em: 9 mi LÉVY, P. As tenolois d inteliêni: o uturo do pensmento n er d inormáti. Trdução de C. I. Cost. Rio de Jneiro: Ed. 3, p. (Coleção Trns). LUCUS, C. A. Is sujet mtter knowlede eted y eperiene? Te se o omposition o untions. In: Conerene o te Interntionl Group or te Psyoloy o Mtemtis Edution, 30., 006, Prue, Proeedins 30t Conerene o te Interntionl Group or te Psyoloy o Mtemtis Edution. Prue: PME, 006. v., p STEFFE, L. P.; THOMPSON, P. W. Tein eperiment metodoloy: underlyin priniples nd essentil elements. In: LESH, R.; KELLY, A. E. Reser Desin in Mtemtis nd Siene Edution. Hillsdle: Erlum, 000. p STEINBRING, H. Te onstrution o new mtemtil knowlede in lssroom intertion: n epistemoloil perspetive. Dordret: Spriner, p. (Mtemtis Edution Lirry, 38). TIKHOMIROV, O. K. Te psyoloil onsequenes o omputeriztion. In: WERTSCH, J. V. (Ed.) Te onept o tivity in soviet psyoloy. New York: M. E. Srpe, p VILLARREAL, M. E. O pensmento mtemátio de estudntes universitários de álulo e tenolois inormátis. Rio Clro, Tese (Doutordo em Edução Mtemáti) - Instituto de Geoiênis e Ciênis Ets, Universidde Estdul Pulist Júlio de Mesquit Filo. Anis do X Enontro Nionl de Edução Mtemáti Comunição Cientíi 9

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