Cap. 4 Considerações adicionais sobre Juros

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1 Cap. 4 Considerações adicionais sobre Juros 4.1. Introdução No capítulo anterior já analisamos juros efetivos, nominais e equivalência entre taxas de juros. No entanto existem outros aspectos que devem ser analisados com mais detalhes antes de avançarmos em técnicas de análise e, portanto entrarmos em Engenharia Econômica. 4.2 TAXAS COBRADAS ANTECIPADAMENTE Infelizmente, nem sempre o uso dos conceitos de taxas efetivas e taxas nominais podem ser utilizadas para resolver todas artimanhas e malabarismos aplicados pelo mercado para encobrir a verdadeira taxa de juros. É usual que instituições financeiras se utilizem de uma grande variedade de artifícios para encobrir taxas de juros mais altas por eles cobradas efetivamente. Um dos meios usuais é cobrar os juros antecipadamente. O conceito é muito simples que pode ser facilmente acompanhado num exemplo. Exemplo 4.1 Calcule a taxa efetiva mensal de juros referente a um empréstimo de R$ ,00 com prazo de carência de três meses, sabendo que é cobrado antecipadamente uma taxa de 22%. Calcule a taxa efetiva anual. Solução: Ao se tomar o empréstimo de R$ ,00 em verdade o banco estará descontando antecipadamente 22% deste empréstimo o que significará a disponibilidade de usufruirmos de: R$ ,00(1-22%) R$ ,00. Após 3 meses do empréstimo restituiremos ao banco R$ ,00. Tem-se, pois, o seguinte fluxo de caixa: V f então 1 + i V (1 + i) a 1, ,0863 i (1 + i) 8,63%a.m 3 (1 + i) 3 1, i a (1 + 8,63%) 12 i a 170% 33

2 Em operações bancárias de desconto de duplicatas, com freqüência é utilizado este artifício. 4.3 AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS A disponibilidade de recursos é um fator imperativo para a concretização de um investimento. Ao se construir uma casa própria, ou reformá-la, ou ao se adquirir um equipamento industrial, é necessário que se tenha disponibilidade suficiente de recursos. Se a pessoa, no caso da casa própria, ou a empresa, no caso do equipamento, dispuserem de recursos num investimento, como, por exemplo, caderneta de poupança ou depósito bancário, poderão utilizá-lo para efetivarem seus investimentos. Porém, na falta desses recursos, ou se esses forem insuficientes, terão que recorrer a empréstimos. O valor desses empréstimos (denominado de Principal) terá que ser restituído ao agente financeiro, acrescido de uma remuneração, que são os juros. As formas de devolução do principal mais juros chama-se Sistema de Amortização. Os sistemas de amortização mais usuais e praticados por instituições bancárias serão vistos neste Capítulo. Evidentemente que nos empréstimos pessoais pode ocorrer variações de formas de amortização, principalmente em pequenas transações, que pela sua particularidade não serão aqui analisadas SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (Sistema Price) Este sistema também é conhecido pelos nomes de Sistema Price ou Sistema de Prestação Constante, e é muito utilizado nas compras a prazo de bens de consumo e crédito direto ao consumidor. Nesse sistema, as prestações são constantes e correspondem, pois, a uma série uniforme A. Uma das razões de se estudar amortização de dívidas é se obter respostas às perguntas: Qual o estado da dívida? Quanto já foi amortizado? Quando uma dívida é saldada em prestações, o devedor restituirá o principal mais os juros. As prestações pagas são compostas de uma parcela de juros e uma parcela de amortização. A amortização corresponde à parcela da prestação que é descontada do principal. Em verdade não será apresentada inovação no cálculo, o que veremos é apenas um detalhamento adicional que permite responder às duas perguntas feitas acima. Vejamos um exemplo. EXEMPLO 4.2 Uma dívida de R$ ,00 deve ser paga em 5 prestações anuais iguais, à taxa de 10% a.a. Organizar o plano de pagamentos, juros e amortização segundo o sistema Price. 34

3 Como no exemplo anterior: A V a ( 1 + i) n i(1 + i) n 1 A 0, ( + 0,10) 5 ( 1 + 0,10) Conforme explicado no exercício anterior, podemos compor a seguinte tabela: Ano Saldo Devedor Prestações Juros Col.2 *10% 5 1 R$2638,00 Amortização Reposição do Capital Col.3-Col.4 (5) Soma dos Valores Coluna (5) (1) (2) (3) (4) 0 R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ 836 R$ R$ R$ R$ R$ 656 R$ R$ R$ R$ R$ 458 R$ R$ R$ R$ 240 R$ R$ Em linhas gerais o sistema Price fornece a seguinte representação dos desembolsos: EXEMPLO 4.3 Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ ,00 a ser pago em 20 prestações iguais e semestrais a uma taxa de juros efetiva de 50% a.a. Calcule: a) qual a taxa semestral; b) qual o valor das prestações; c) qual a parcela da primeira prestação que é amortização, e qual a que é relativa aos juros. Solução: 35

4 A taxa semestral pode ser calculada diretamente pela fórmula: 1 1 is a 2 2 ( 1 + i ) 1 (1 + 0,50) 1 22,5 % O valor das prestações pode ser determinado pela fórmula A V a ( 1 + i) n i(1 + i) n 1 A 0, ( + 0,225) 20 ( 1 + 0,225) 20 1 R$22895,39 Como as prestações são fixas o montante se decompõe numa parte como sendo a amortização da dívida e outra parte a parcela de juros. No caso como na primeira parcela o montante da dívida é de R$ ,00 teremos como juros R$ ,00 resultando como amortização da dívida o valor R$ 22895,39-R$ ,00R$ 395,39 Então o conjunto de pagamentos seria: Parcela Saldo Devedor Pagamento Juros Amortização , , , ,5 396, , , ,3 485, , , ,2 594, , , ,5 728, , , ,7 892, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,4 20 0, , , ,2 O gráfico correspondente aos pagamentos dos juros e amortizações ficaria: 36

5 Fluxo Monetário R$ Pagamentos SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) Este sistema foi popularizado pelo Sistema Financeiro de Habitação (SFH), que o adotou nos financiamentos de compra da casa própria. Atualmente, ele é muito utilizado para financiamentos de longo prazo. Como as amortizações são constantes, seu valor é obtido dividindo o principal P pelo número de prestações n. Igualmente ao sistema Price a prestação é composta da amortização e juros. O Juros é determinado sobre o saldo devedor no momento do pagamento, e então: Prestação Amortização + Juros Como o saldo devedor vai decaindo ao longo do tempo, os juros irão decaindo e, portanto as prestações também decaem, embora a amortização seja constante. EXEMPLO 4.4 Considere um empréstimo de R$ ,00 a ser pago pelo SAC em 20 prestações semestrais, sendo a taxa de 22,5% ao semestre. (Compare com o Exemplo 4.3). a) Qual o valor da primeira prestação e das prestações subsequentes? c) Qual o saldo devedor imediatamente após a quinta prestação? Solução: 37

6 Neste caso a amortização que é constante é dada por: K R$ R$ Para determinarmos os pagamentos precisamos calcular os juros e então adicionarmos à amortização. Vejamos como fica através de uma tabela: Saldo Parcela Devedor Pagamento Juros Amortização , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0 20 0, , , ,0 Graficamente, os comportamentos da prestação e do saldo devedor podem ser apresentados da seguinte forma: 38

7 Fluxo Monetário R$ Pagamentos EXEMPLO 4.5 Refazer o exemplo 4.2 pelo sistema SAC (reposição do capital). O valor de amortização será K Então: R$ R$ Parcela Saldo Devedor Pagamento Juros Amortização , , , , , , ,0 800, , , ,0 600, , , ,0 400, ,0 5 0, ,0 200, ,0 Se calcularmos o EUA das parcelas segundo o sistema SAC encontramos: A V a ( 1 + i) n i(1 + i) n 1 A 0, ( + 0,10) 5 ( 1 + 0,10) 5 1 R$2638,00 e, portanto os dois sistemas são equivalentes em termos de desembolsos. 39

8 EXEMPLO 4.6 Se eu tomar emprestados R$ para serem pagos em 5 parcelas anuais e juros de 10% a. a., será preferível pagar pelo sistema PRICE ou pelo SAC? Evidentemente, isto depende das oportunidades que eu tiver para investir este dinheiro (custo de oportunidade). Sou indiferente aos sistemas se o custo de oportunidade for 10% a.a., pois verificamos a equivalência dos dois sistemas. Se pudesse investir rendendo 6% a. a., como seria o caso da caderneta de poupança, então deveria efetuar uma análise dos desembolsos de pagamentos em cada um dos casos: Sistema Price Sistema SAC Parcela Pagamento Sobra Poup Pagamento Sobra Poup , , , , , , , , , , , , , , ,0 749, , , , ,4 Dentro das opções disponibilizadas preferiria sistema SAC. Claro que como o custo de oportunidade que tenho disponível é menor que o custo do capital estarei perdendo reservas. Se agora tiver um custo de oportunidade de 15% preciso analisar qual alternativa é melhor para aumentar meu retorno: Sistema Price Sistema SAC Parcela Pagamento Sobra Poup Pagamento Sobra Poup , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,6 neste caso, prefiro pagar pelo sistema PRICE SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM ou SACRE) O Sistema de Amortização Misto (SAM) é a média aritmética entre o sistema SAC e o sistema PRICE. Consiste num sistema de Amortização Crescente daí a denominação SACRE. Aos interessados recomendamos literatura mais específica como por ex: Matemática Financeira Aplicações à Análise de Investimentos Pearson-Prentice Hall - Samanez, C. P., 3ª edição 2002, São Paulo pág

9 SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZAÇÃO (SAA) O Sistema Americano considera que periodicamente são pagos juros sobre o montante emprestado, e depois de um certo período o principal é devolvido. EXEMPLO 4.7. Considere o valor da operação como $ prazo da operação 3 anos. Taxa de juros contratada 10%a.a. Pagamento Dívida Pagamento Juros Amortização TAXA DE JUROS E INFLAÇÃO A inflação é a perda do poder aquisitivo da moeda com o tempo. Várias podem ser suas causas, tais como aumento da demanda de um bem sem condições de se aumentar proporcionalmente sua produção, aumento de custos de fatores de produção de alguns produtos, especulação com estoques ou excesso de circulação de moeda, entre outras. Na matemática financeira, a inflação é considerada nos empréstimos através da correção monetária. A correção monetária, teoricamente, é um instrumento de correção da moeda na exata medida do efeito da inflação. Porém, os índices oficiais de correção monetária podem não refletir realmente a inflação. Por esta razão, na análise de investimentos usa-se a inflação, medida através de índices de preço, em vez da correção monetária. A variação cambial, ou seja, a valorização relativa de uma moeda perante outra moeda, aparecerá nos problemas de empréstimos de forma análoga à correção monetária. Imaginemos que invisto R$ por um ano num empreendimento que paga 6% ao ano e mais correção monetária devida à inflação. Imaginemos que ao fim de um ano a inflação tenha sido de f 5%. Solução 1000 R$ 1.000,00 ao fim de um ano vale menos (em poder aquisitivo); vale 952, 38, 1 + 5% devido à inflação. O empreendimento paga ao fim de um ano 1000 (1 + 5%)(1 + 6%) 1113, 00 o que inclui a correção monetária. 41

10 De modo que meu poder aquisitivo é: 1000(1 + 5%)( % 6%) 1000(1 + 6%) 1006 Vemos, pois, que podemos raciocinar com dinheiro a valor constante (em termos de poder aquisitivo), já que numa política econômica justa a correção monetária compensa a inflação. Evidentemente, esta nossa convenção pressupõe que todos os preços, custos, contratos etc. sejam reajustados no fim de cada período exatamente como a correção monetária que compensa a inflação. Este tipo de análise é certamente válido nos casos em que os cálculos são feitos em UPC (unidade-padrão de capital), ou com reajustes contratuais segundo a inflação. Caso contrário, é necessário proceder às análises com juros totais (inclusive a inflação) f e valores monetários, em vez de valores a poder aquisitivo constante. Quando compramos um imóvel ou outro objeto qualquer com contrato que considere parcelas com correção monetária, isto significa que as mudanças nas parcelas consideradas entre os períodos t e t-l são tais que P i P i-1 (1 + f), onde f é o fator de correção monetária. Se imaginarmos um processo que considera pagamentos de juros i mais correção monetária f sobre um capital K, observamos que o montante correspondente aos juros mais a correção monetária é, ao fim de um período, K (1 + j) K(1 + i)(1 + f) K(1 + i + f + j é a taxa global de juros que considera a remuneração do capital investido mais a perda monetária (inflação, ou desvalorização da moeda). Se imaginarmos que a moeda de análise é uma moeda que se deteriora ao longo do tempo com relação a uma outra que se mantém constante como por exemplo, ouro, libra esterlina, podemos entender a inflação como a desvalorização monetária frente a estes parâmetros. A observação acima é importante, pois freqüentemente vemos as contas serem feitas empregando-se o fator j (i + f), e esquecendo-se da parcela (if). Se os valores de i e de f forem próximos, o erro poderá ser considerável, principalmente se i e f forem grandes. Se, por exemplo, f 5% ao mês e i 1 % ao mês, o fator multiplicativo para o total ao fim de um mês será (1 + 0,05) (1 + 0,01) 1,0605; isto é, 6,05% ao mês, e não apenas 6% a mês. Ao fim de n períodos, a quantia total, em termos monetários, será n K (1 + j) K(1 + i) (1 + n f) n if) Se nada for especificado em contrário neste curso, sempre estaremos raciocinando em termos de i e não de j. Isto corresponde a raciocinar em UPC em vez de valor monetário. 42

11 Considerando que as análises, na maioria das vezes, se referem a expectativas futuras para as quais desconhecemos, é mais conveniente raciocinar em valor a poder aquisitivo constante e empregar i como taxa de juros nos cálculos. Nem sempre conseguiremos, para fins de raciocínio, fugir da inflação e analisar situações a poder aquisitivo constante. Vamos exemplificar com um caso. EXEMPLO 4.8 Um estudante pode ter seus cinco anos de estudos financiados pela Caixa Econômica com juros de j 6% ao ano, o que já engloba uma correção monetária pré-fixada. Observe que estes juros totais inferiores à inflação correspondem a um subsídio. A devolução será iniciada um ano após a formatura. Assim, a quantia emprestada no início do primeiro ano deverá ser devolvida no início do sétimo ano. A primeira anuidade cobrada pela escola é de R$ ,00. É de se esperar reajustes anuais da ordem de f 10% devido à inflação. O custo de oportunidade do capital é de 8% ao ano (depósito bancário a prazo fixo). Calcule a redução percentual nas anuidades da escola a que correspondem estes empréstimos a juros baixos da Caixa Econômica. A B C D Anuidades em Devolução para Valor do Desconto Reais a Caixa Econômica 6 Empréstimo 6 C B períodos depois (taxa de períodos mais tarde 6% ao ano) (taxa 8%) C 1 ano ,6% 2 ano ,6% 3 ano ,6% 4 ano ,6% 5 ano ,6% 43

12 De fato, o estudante que deixar de pagar no primeiro ano e depositar esta quantia a prazo fixo durante seis anos receberá R$ ,00, mas só terá de devolver R$ ,00 à Caixa Econômica, por ter tido sua anuidade paga pela Caixa Econômica. Observe que a coluna D pode ser calculada devido às parcelas B e C estarem referidas ao mesmo ponto no tempo. EXEMPLO 4.9. Uma empresa brasileira fez um empréstimo equivalente a R$ ,00 em um banco alemão, nas seguintes condições: Juros de 2,8% ao trimestre; Pagamentos em cinco prestações anuais pelo SAC, em Euros. Se a valorização do Euro em relação à R$ nos próximos anos for estimada em 5% a.a., calcule o valor em R$ das prestações a serem pagas. Solução: Taxa equivalente anual: Valor das amortizações: i 4 ( 1 + 2,8% ) 1 11,68% a R$ K R$ Os juros da primeira parcela é R$ *11,68%R$ ,80 A primeira parcela antes da desvalorização corresponderia a R$ ,80. Sobre este montante devemos aplicar a correção monetária que é de 5% R$ ,80*1,05 R$ ,10. Neste instante o saldo devedor ficou R$ ,00. Os juros desta parcela serão calculados por R$ *11,68%R$ ,90 resultando como parcela de pagamento antes da correção monetária R$ ,90. Como se passaram dois períodos devemos corrigir este montante por 1,05*1,05, isto é: R$ ,90 * (1 + 5%) 2 Procedendo-se igualmente para as demais parcelas encontramos: R$ ,80 Parcela Saldo Devedor Valor Juros Amortização Pagamento 0 R$ ,0 1 R$ ,0 R$ ,8 R$ ,8 R$ ,0 R$ ,1 2 R$ ,0 R$ ,9 R$ ,9 R$ ,0 R$ ,8 3 R$ ,0 R$ ,9 R$ ,9 R$ ,0 R$ ,2 4 R$ ,0 R$ ,9 R$ ,9 R$ ,0 R$ ,0 5 R$ 0,0 R$ ,0 R$ ,0 R$ ,0 R$ ,6 44

13 EXEMPLO 4.10 Qual deve ser a taxa global anual a ser cobrada por um banco que quer 1% ao mês de juros além da correção monetária que é prevista em 3% ao trimestre? Solução ( 1 + j) ( 1 + i) (1 + f) (1 + 1%) (1 + 5%) j 36,97% 4.5 ÍNDICES DE CORREÇÃO MONETÁRIA A partir de 1964, o Brasil passou a adotar oficialmente a correção monetária, baseada na variação dos valores das ORTNs Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacional. Posteriormente, em 1986, foram criadas as OTNs Obrigações do Tesouro Nacional e, em 1989, passaram a ser utilizadas as variações dos BTNs, Bônus do Tesouro Nacional. A partir de 1991, em vez de um índice, passou-se a utilizar Taxas Referenciais, a exemplo das taxas internacionais, como a LIBOR ou Prime Rate. Primeiro foi a TRD Taxa Referencial Diária e após a TJLP Taxa de Juros de Longo Prazo. Mas o mais comum é utilizar-se diretamente um índice de inflação, como o Índice Geral de Preços (IGP-Dl), apurado pela Fundação Getúlio Vargas. EXEMPLO 4.10 Uma empresa obteve, em primeiro de fevereiro de 2005, um empréstimo de R$ sujeito a correção monetária pelo IGP-Dl a ser devolvido de uma vez em com juros de 5% ao ano. Qual o montante (F) nessa data? Dados: IGP_DI anualizado (FGV_SP) Janeiro ,13% Janeiro ,22% Janeiro ,79% Janeiro ,89% Janeiro ,10% Estimativa para Janeiro de ,5% Assim o montante a ser devolvido é R$ * (1 + 5%) 5 (1 + 1,22%)(1 + 3,79%)(1 + 7,89%)(1 + 9,10%)(1 + 8,5%) R$ ,30 45

14 4.6 TAXAS PREFIXADAS E PÓS-FIXADAS Uma questão, muito comum, é a comparação entre taxas pré e pós-fixadas. Vejamos a interpretação através de um exemplo. EXEMPLO 4.11 Uma financeira oferece duas modalidades de financiamento pagáveis em um ano: 1. correção monetária + 12% (pós-fixada); 2. 28,80% (prefixada). Se é indiferente para a financeira emprestar numa ou noutra modalidade, em quanto ela está estimando a correção monetária para os próximos doze meses? Solução: ( ,8% ) (1 + 12%)(1 + p) p 15%a.a OUTROS ÍNDICES ECONÔMICOS Apresentamos abaixo os índices econômicos mais utilizados em transações no Brasil, inclusive relacionando o agente responsável pela sua emissão. Índices Econômicos Agente Emissor Dolar BACEN Euro BACEN FGTS CEF IGP-M FGV IGP-DI FGV IR SRF INCC-DI FGV INPC IBGE IPC FIPE IPCA IBGE IPCA-15 IBGE Poupança BACEN Selic COPOM Juros de Mora ITCMD TJLP SRF TBF BACEN UFESP SFESP UFIR SRF URV BACEN Deixamos para os alunos interessados obter outras informações a respeito destes índices e sua aplicabilidade. 4.8 Exercícios 46

15 4.8.1 Um empréstimo de R$ ,00 à taxa de juros de 2% ao mês será saldado mediante 5 parcelas mensais iguais mais um pagamento de R$ 8.000,00 no final do 6. mês. Que parcela da dívida terá sido amortizada após o pagamento da terceira parcela mensal? Resposta a) R$ 7.149, João tomou emprestado R$ para pagar em 10 meses, à taxa de 10% a.m., com prestações constantes. Após ter pago a 5ª prestação resolveu alterar o plano de pagamento de forma a pagar amortização constante e juros sobre saldo devedor. Calcule o valor das prestações. Resposta 5* R$ 1.302,00; R$ 1.481,00; R$ 1.382,00; R$ 1.283,00; R$ 1.184,00; R$1.086, Um indivíduo comprou um apartamento por R$ ,00, pagando ,00 de entrada e o restante em 10 pagamentos (um por ano) pelo Sistema SAC, com juros de 10% a.a. Após o pagamento da quarta prestação ele muda para o Sistema PRICE mantendo o prazo e a taxa de juros. a) Calcule o total da 3ª prestação. b) Calcule o saldo devedor logo após o pagamento da 8ª prestação. c) Calcule o total de juros que terá pago ao fim da 10ª prestação. Resposta a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ , A Superloja Ali-Babá anuncia a venda de Bugigangas Especiais por R$ 8.000,00 (preço oficial), pagáveis em cinco vezes, parcelas iguais, sem acréscimo (primeira parcela paga no instante da compra). Se pagar tudo a vista, é possível obter um desconto de 12%: a) Calcule a taxa de juros mensais que a loja está cobrando. b) Supondo que a loja seja consistente com os juros que cobra, calcule o valor das parcelas que deverá cobrar para financiamento a prazo, em quinze pagamentos mensais iguais, sendo o primeiro pago no instante da compra. c) No seu anúncio, a loja diz cobrar juros que corresponderiam à prestação calculada no item anterior para equivalência com um valor a vista de Çr$ 8.000,00, e como se a primeira parcela vencesse um mês após a compra. Calcule esta taxa de juros mensais anunciada. d) A loja está sendo pressionada para baixar seus juros anunciados para 2/3 no tem anterior do calculado. Entretanto, a loja pretende manter o plano de pagamento em quinze vezes no mesmo valor das parcelas calculadas no item b. Para isto a loja vai aumentar o valor anunciado de R$ 8.000,00 por Bugiganga Especial. Calcule este novo valor. 47

16 4.8.5 Uma loja vende um Ti por R$ ,00, aceitando cartão de crédito, ou por R$ ,00 a vista em dinheiro. Eu compro por cartão de crédito, recebo a conta um mês após a compra, e pago 10% do montante da minha dívida. O cartão de crédito cobra 4% ao mês sobre o saldo devedor, incorporando os juros ao saldo devedor. Eu pretendo pagar todo mês 10% do saldo devedor e liquidar o total da dívida no 12. mês após a compra. Faça o programa de desembolsos e calcule o custo em que estou incorrendo com este plano Uma firma pode ter as seguintes alternativas: a) Comprar um equipamento que vaie em 20 prestações iguais pagas no início de cada mês. Após os 20 meses de uso este equipamento será revendido por R. b) Alugá-lo durante 20 meses, pagando o aluguel no fim de cada mês. O valor do aluguel é R$ 6.115,67 por mês. Utilizando uma taxa de desconto tal que se composta mensal mente resulta em 26,8% ao ano, calcule o valor de R tal que a firma fique indiferente entre o aluguel e a compra. Resposta R Uma dívida de incorrida em t 0 deve ser paga em 10 prestações com juros de 10% sobre o saldo devedor. Calcule o total de juros pagos nas seguintes condições: a) Primeira prestação paga em t 1. Planeja-se usar o sistema PRICE, mas logo após o pagamento da quinta prestação, muda para SAC. b) Repetir o item anterior quando começa com SAC e depois passa para PRICE. c) Repetir o item a quando a primeira prestação é paga em t 0. d) Repetir o item b quando a primeira prestação é paga em t 0. Resposta a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ , Um equipamento foi comprado por R$ à vista. Este equipamento será utilizado numa tarefa cujo pagamento foi acertado em R$ constantes (em reais) por mês durante 20 meses. Para esta tarefa incorrerão custos de operação e manutenção de valor igual a R$ por mês, crescendo com a inflação. Após 20 meses o equipamento será vendido. O valor, hoje, de um equipa mento com 20 meses de uso é de R$ Qual o valor atual do lucro, sabendo-se que a taxa de oportunidade do capital é i 2% ao mês e que a inflação é suposta como sendo f 6% a. m. Resposta R$ ,00 48

17 4.8.9 Para a execução de um serviço com dez meses de duração, temos duas alternativas: 1) Comprar um equipamento por à vista mais dez prestações de Após os dez meses será vendido pela quantia de Todos estes valores não terão correção monetária. ii) Alugar o equipamento por dez meses, pagando no fim de cada mês corrigidos mensalmente pela inflação. Considere taxa de inflação f 10% ao mês e taxa real de juros i 5% ao mês. a) Qual o valor atual da primeira alternativa? b) Qual o valor atual da segunda alternativa? c) Qual o equivalente uniforme da segunda alternativa? Resposta a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ , Um fogão de inox custa 12 x 493,50, ou R$ 4.500,00, que é o valor anunciado a vista e o valor sobre o qual se calculam as prestações com um juro mensal anunciado em j 4,5% a.m. a) Acontece que, se o fogão for pago realmente a vista, a loja faz um desconto de 10%. Neste caso, quanto se paga de juros? b) Para piorar a situação, a primeira parcela tem vencimento à vista. Quais os juros realmente cobrados nesta situação? c) Caso se pague com cartão de crédito, o desconto de 10% não é dado; neste caso, qual o custo se pagarmos o cartão após um mês sem juros. Resposta a) 110%a.a. b) 146%a.a. c) 11%a.m Uma firma tem um custo de oportunidade de 15% a.a. Um projeto de fabricação exige um investimento de R$ e o custo variável de produção será de R$ 100 por peça. Observando que as peças poderão ser vendidas por R$ 500 cada uma e que o projeto terá 5 anos de duração, calcule o ponto de equilíbrio ( break-even ) no volume de peças a ser produzido. Resposta 746 peças Que taxa nominal de juros mensal composta trimestralmente equivalente a uma taxa de 9,4% a.m. (composta mensalmente)? Resposta 10,3% 49

18 Uma taxa de juros nominal de 52% a.a., paga trimestralmerite, durante um ano, cuja inflação foi de 40%, equivale a que taxa de juros mensal efetiva realmente paga? Caso os 52% sejam pagos mensalmente, qual seria a taxa mensal real paga? Resposta a) 1,28%a.m. efetivo real; b) 1,45% a.m. efetivo real Dados os fluxos: a) R$ em t 0, R$ em t 1, R$ em t 2, R$ em t 3, R$ em t 4, R$ em t 5; b) R$ em t 0, R$ em t 1, R$ em t 2, R$ em 3, R$ 2.100em t 4, R$ em t 5. pede-se para calcular os equivalentes uniformes anuais dos dois fluxos com i 15%. Observando que a soma das parcelas é idêntica para os dois fluxos, explique por que os equivalentes anuais calculados resultaram diferentes Dada uma taxa de desconto i 10%, calcular o equivalente uniforme anual do fluxo: V 0 V 1 V 2 V 3 100; V 4 150; V 5 200; V 6 250; V 7 300; V 8 350; V 9 400; V Resposta R$208, Uma obra pública, financiada a uma taxa de juros de 12% ao ano, iria resultar, segundo o Projeto, no seguinte fluxo anual em milhares de reais: V 0 R$ 1.000; V 1 R$ 3.000; V 2 V 3...V 20 R$ 770; V 27 V Porém, devido a contratempos, resultou em: V 0 R$ 1.000; V 1 R$ 3.600; V 2 R$ 800; V 3 0; V 4 V 5...V 28 R$ 731,50 Qual a percentagem de diminuição do benefício líquido? (Sugestão: Calcule valores atuais.) Resposta V a1 R$ ,00; V a2 - R$ ,00 Diminui 145% Uma companhia deve optar por um dos investimentos A ou B abaixo descritos. Seja, i o custo de oportunidade (ou taxa mínima de retorno aceitável) com que a companhia raciocina. Para que valores de i o investimento A será preferível ao investimento B? Resposta 5,74% T A B

19 Usando uma taxa de desconto de 10%, calcule o ponto de equilíbrio (quantidade de peças) entre as alternativas: a) comprar a peça fora a um custo unitário de R$ 100; b) fabricar por meio da compra de uma máquina por R$ , que irá durar oito (8) anos e produzirá a um custo variável unitário de R$ 20. Resposta R$ 2.343, Uma imposição do Governo, com o intuito de limitar os juros cobrados nas vendas a prestação, foi a de estabelecer que o montante pago pelo cliente não poderia exceder 30% a mais que o valor da mercadoria à vista. Analisemos a estratégia de um lojista. Seja V o preço à vista de uma mercadoria, já incluindo o lucro normal do lojista. Seja 0,20V a entrada e o restante a ser pago em 10 prestações mensais iguais 0,11V. Determine a taxa de juros real cobrada ao ano. Resposta 100%a.a Considere uma dívida de R$ ,00 a ser resgatada em 25 prestações com 4% de juros ao período. Depois de quantas prestações o valor da prestação do sistema PRICE passa a ser superior ao do SAC? Resposta: Após dez prestações Uma pessoa fez um empréstimo de X a juros de 4% ao mês e saldou a dívida pelo SAC em dez prestações. A soma dos valores nominais das prestações foi de R$ ,00. Se a mesma dívida tivesse sido paga pelo Sistema PRICE, qual seria a soma dos valores nominais das prestações? Resposta: R$ , R$ ,00 foram financiados em 20 prestações mensais pelo SAC com juros de 80% a.a. através de uma financeira. A financeira pretende vender os títulos da dívida por R$ ,00. Qual a taxa que a pessoa que comprar os títulos irá ganhar? Resposta:i3,8% Uma dívida de R$ ,00 foi contraída nas seguintes condições: pagamentos em oito prestações mensais, iguais (sistema Price ); juros de 12% ao mês. 51

20 Após o pagamento da terceira prestação, o saldo devedor foi renegociado nos seguintes termos: o saldo devedor seria pago em 15 prestações ( Price ) mensais; -juros de 15% ao mês. Calcule o valor da prestação da dívida renegociada. Resposta: R$ , Uma dívida de R$ ,00 foi amortizada pelo SAC com juros de 5% ao semestre. Foram pagas pontualmente quatro das doze prestações semestrais e então a dívida foi renegociada pelo sistema Price em 10 prestações semestrais com juro de 6% a.s. Qual o saldo devedor após o pagamento da quinta prestação pelo Sistema Price? Resposta.: R$ , Um empréstimo de R$ ,00 nas seguintes condições: Sistema Price; 25 prestações mensais; juro de 2% ao mês; taxa de abertura de crédito de R$ 250,00. Foi saldado pontualmente até a décima prestação. Juntamente com a décima prestação, o devedor saldou a dívida pagando R$ 6.500,00. Calcule: a) o custo do dinheiro para o tomador (quantos por cento ao mês o tomador pagou considerando o negócio como um todo?) b) qual era o saldo devedor? c) se um terceiro tivesse adquirido os 15 títulos restantes por R$ 6.000,00 qual teria sido a taxa de retorno dele (desse terceiro)? Resposta: a) i 2,25% b) R$ 6.581,00 c) i3,26% Qual a taxa efetiva mensal de 24% a.a. capitalizados semestralmente? Resposta: 1,9068%a.m Num empréstimo com prazo de três meses, são descontados 22% antecipadamente. Qual a taxa efetiva mensal? 52

21 Resposta: 8,6347%a.m Qual a melhor alternativa: Banco A anuncia 40% a.a. por 30 dias corridos (21 dias úteis); Banco B anuncia 3,25% para 33 dias corridos (24 dias úteis)? Resposta: O banco A rende o equivalente a 3,2564% em 24 dias úteis e praticamente empata com o banco B Qual a taxa de retorno do investimento a seguir: Resposta: 6,6279% no período Em 1/04/09 um investidor adquiriu um título por R$ ,00 para ser resgatado em seis meses a 2% a.m. Em 1/07/09 um segundo investidor propõe ao primeiro a aquisição desse título. Quanto deve oferecer, se sua seu custo de oportunidade é de 2,5% a.m.? Resposta: R$ , Qual a taxa equivalente: a) Anual a 42% ao ano capitalizada mensalmente? b) Trimestral de 50% ao ano capitalizada semestralmente? c) Trimestral de 15% ao mês? d) Semestral da seguinte transação: empresto-te 500 para devolveres em um mês? e) Bimestral de 50% ao ano capitalizada trimestralmente? f) Trimestral de 25% ao mês? Resposta: a) 51,107% a.a. b) 11,803% a.t. c) 52,087% a.t. d) 6,300% a.s. e) 8,169 a.b. f) 95,513% a.t. 53

22 Qual a taxa efetiva global semestral (resultado em %): a) 5% ao mês de correção monetária mais 10% ao trimestre de juros. b) 2% à quinzena de correção cambial mais 15% ao ano de juros. Resposta: a) 62,15 a.s. b) 36% a.s Um empréstimo de US$ feito em 12 de dezembro/97 foi resgatado em 12 de junho/98, sendo a taxa de juros de 2% ao mês. Calcule o valor pago em US$, sabendo que: Valor do US$ em 12 de dezembro de 1997: R$ 1,11 Valor do US$ em 12 de junho de 1998: R$ 1,15 Obs: Cotações hipotéticas. Resposta: R$ 1.295, Qual a taxa efetiva anual de: a) 60% ao ano com capitalização trimestral b) Correção monetária de 1% ao mês e juros de 12% ao ano c) 30% ao semestre com capitalização quinzenal d) 50% ao ano com correção monetária de 15% ao trimestre Resposta: a) 74,90 a.a. b) 26,20% a.a. c) 80,87% a.a. d) 162,35% a.a Um empréstimo de R$ ,00 em dólares deve ser pago no final de dois anos com juros de 1% ao mês. Quanto deverá ser devolvido se a valorização do dólar for de 25% ao semestre em relação à R$? Resposta: R$ , Calcule a taxa global mensal de juros a ser paga por um empréstimo no exterior sujeito a uma taxa de juros prime de 10% ao ano, mais um spread de 1%. Admita que neste empréstimo o banco estrangeiro exija que a empresa aplique 10% do valor do empréstimo na compra de um equipamento que poderia ser comprado no mercado nacional pela metade do valor. Admita ainda que a empresa espera uma valorização do dólar em relação a nossa moeda, de 5% ao mês. O empréstimo será pago de forma integral ao final de um ano. Resposta: 6,37% Um empréstimo de R$ será saldado em três prestações iguais e mensais de R$ 4.000, sendo que a primeira vencerá em 60 dias. Calcule a taxa real de juros (não confundir com taxa global) cobrada, sabendo que foi prevista uma inflação de 3% ao mês no período. 54

23 Resposta: 3,04% ao mês Em fevereiro de 1993, uma pessoa comprou R$ ,00 em dólares e depositou-os em um banco uruguaio, o qual lhe garantiu um rendimento de 3,5% ao semestre. A valorização do dólar em relação a nossa moeda foi de 32% ao mês nesse semestre e a inflação foi de 31,5% ao mês. A diferença entre o preço de compra e venda do dólar é de 1%. Calcule: a) Quantas R$ foram obtidas em agosto com a venda dos dólares depositados. b) Qual o ganho real obtido, expresso em uma porcentagem mensal. Resposta: a) R$ ,53 b) 0,788% Um empréstimo de R$ pelo sistema Price, em 10 prestações trimestrais e taxa de 10% ao trimestre, foi saldado pontualmente até a quarta prestação. Após essa prestação, a dívida foi renegociada pelo SAC em oito prestações na mesma taxa. Calcule o valor da primeira prestação pelo SAC. Resposta: R$ 6379, O banco quer emprestar ganhando 1,5% a.m. acima da inflação. Que taxa anual global deve cobrar para uma inflação estimada em 17% a.a.? Resposta: 39,89% a.a Uma financeira está cobrando 7,5% a.m.. Se a inflação é de 2% a.m., quanto ela está cobrando de taxa real anual? Resposta: 87,8% a.a Considere o seguinte fluxo anual em reais, de um projeto voltado a exportação: Se a estimativa da variação cambial for de 20, 25 e 30% a.a. e a inflação for estimada em 22; 28 e 35% para os próximos três anos, qual a taxa de retorno real estimada? Resposta: 18,97% a.a. 55

24 R$ foram tomados a 11,68% a.a. num banco alemão, mais variação cambial, para serem pagos em cinco prestações anuais pelo SAC. Elabore a planilha financeira para variações cambiais de 36, 35, 38, 40 e 39% para os próximos cinco anos. Resposta: Em milhares de Reais 56