Algoritmo Simplex - versão 2.7.2

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1 Introdução ao Algoritmo Simplex Versão.7.: 5 de novembro de 9 : Introdução à Programação Linear Algoritmo Simplex - versão.7. Leônidas de Oliveira randão leo/pl 5 de novembro de 9 :9 Sumário Índice Remissivo 4 Introdução ao Algoritmo Simplex 4. Troca de bases viáveis Como garantir viabilidade Como garantir base viável Como gerar a primeira base viável Algoritmo Simplex Simplex Tabular Índice Remissivo N :=,,..., n} \ Cap. 4, γ N := c N A N(A ) c Cap. 4, 3 λ := (A ) c Cap. 4, 9 π := A ak Cap. 4, 3 γ i := c i c A ai = c i (a i ) (A ) c (para i N) Cap. 4, 3 base Cap. 4, base viável Cap. 4, ciclagem Cap. 4, Regra de land Cap. 4, Simplex Tabular Cap. 4, tableau Cap. 4, vértice gerado por Cap. 4, variável básica Cap. 4, variável fora da base Cap. 4, variável não básica Cap. 4,

2 Capítulo 4 Introdução ao Algoritmo Simplex Neste capítulo sistematizaremos os resultados anteriores visando a obtenção de um algoritmo mais eficaz na resolução de problemas lineares. Nosso objetivo é desenvolvermos o primeiro algoritmo genérico de programação linear, introduzido por George. Dantzig em 95. Este algoritmo tem pior caso exponencial, porém se comportando muito bem na prática. Fixados uma matriz A IR m n, b IR m e c IR n, para simplificar a notação adoremos as seguintes convenções:. Denotaremos o problema canônico por (PLC): max c x A x = b x = >.. Admitiremos sempre que m = < n e fixados m elementos de,,..., n}, representaremos estes pela letra, muitas vezes como uma lista = (j, j,..., j m ), noutras como um conjunto = j, j,..., j m }. Sempre que estiver implicito a existência do conjunto/lista, definiremos por N :=,,..., n} \ (usando a forma de conjunto). 3. A razão da convenção acima está associada com a matriz A formada pelas colunas indexadas por, neste caso utilizada como uma lista, pois, por exemplo, a inversa (se existir) de a j a j a j 3 pode ser diferente da inversa de a j a j a j 3. Já a forma de conjunto é útil quando desejarmos, por exemplo, apenas analisar se a i } i é l.i. Analogamente definiremos x como o vetor do IR m, cuja componente i é x ji. Da mesma forma, se N := (l, l,..., l n m ), então a i-ésima componente de x N é x li. 4. Fixada a lista, := (j, j,..., j m ), diremos que: é base a j } j é l.i. é base viável é base e A b > =. 5. Se é uma base viável, diremos que cada componente de x é uma variável básica e cada linha de x N é uma variável não básica ou variável fora da base. Além disso, da caracterização de vértice por colunas l.i. é fácil ver que, se é base viável e x o vértice associado, então x := A b = > (4.) x N :=, (4.) Maximization of a Linear Function of Variables Subject to Linear Inequalities, em Activity Analysis of Production and Allocation, pp , John Wiley & Sons, 95.

3 Introdução ao Algoritmo Simplex Versão.7.: 5 de novembro de 9 : e o vértice x definido pela equação acima será dito vértice gerado por. Gostaríamos de resolver o (PLC) e já sabemos que vértices desempenham um papel chave nesta resolução. Além disso: () Para um dado x X := x IR n / Ax = b, x = > }, podemos reescrever a identidade Ax = b separando as colunas de A segundo I(x), b = Ax = x i a i + x i a i. Do capítulo anterior, sabemos que, i I(x) i I(x) se x é vértice de X, então a i } i I(x) é l. i. () Por outro lado, também sabemos gerar vértices a partir de bases do IR n formadas por colunas de A. Dado um conjunto, para o qual a i } i é base, podemos verificar se existe um x V (X) associado a esta base. Para isso reordenaremos as colunas de A e os correspondentes multiplicadores x i, colocando nas primeiras posições as colunas de. Assim, seja x = (x, x N ) definido por x = A b e x N =. Deste modo teremos Lema 4. Se a i } i é uma base, então qualquer que seja x IR n, vale a equivalência b = Ax = A x + A N x N x = A (b A N x N ) = A b A A Nx N. (4.3) Lembre que, se colocarmos x N := e obtivermos x := A b > =, então teremos x V (X) (a base será viável). A partir da caracterização de vértice por colunas l.i. e das definições (4.) e (4.), podemos deduzir um primeiro algoritmo (combinatório) para resolver o (PLC). Algoritmo 4. Algoritmo combinatório para seleção do melhor vértice do (PLC) // Para decidir o melhor vértice e se X rode com Ax = b, x = > // Para decidir se problema ilimitado rode com C // Rodar algoritmo para gerar todas as combinações de n tomados m a m, armazenado em P P := : é lista com m elementos,,..., n}, sem repetições } c ot enquanto P primeiro (P ) P P \ Seja A tal que a i = a j i, j i (i =,,..., m). se det(a) então // A forma base de IR m x A b x N se x > = então // x é vértice de X se c x > c ot então c ot c x x ot x x otn // fim enquanto

4 Introdução ao Algoritmo Simplex Versão.7.: 5 de novembro de 9 : 3 Entretanto os resultados expostos nos itens () e (), acima, podem ser aproveitados para derivar um algoritmo mais eficiente que esse. Usando a equação (4.3) na função objetivo c x, conseguiremos uma identidade envolvendo o valor objetivo de x e de x (associado à ), c x = c x + c Nx N (4.3) = c (A b A A Nx N ) + c Nx N = c A b + (c N c A A N)x N. (4.4) Se definirmos γ N := c N A N (A ) c e usarmos as equações (4.) e (4.), da última identidade vem que c x (4.4) = c A b + γ Nx N (4.) = c x + γ Nx N (4.) = c x + γ Nx N. No restante deste texto, sempre que usarmos γ N deverá estar implicito a existência de uma base viável. Note que podemos calcular γ i := c i c A ai = c i (a i ) (A ) c também para i, e isso resulta sempre em: γ =. Deste modo, fixada uma base viável, tomando γ N definido por γ i := c i c A ai = c i (a i ) (A (para i N), então qualquer que seja x X, podemos calcular a função objetivo em x pela equação abaixo ) c c x = c x + γ Nx N. (4.5) Usando esta equação podemos decidir se x é melhor ou pior que x: x é melhor: c x > c x, se γ N x N > ; x é melhor: c x = < c x, se γ N x < N = ; Mais ainda, a relação (4.5) nos fornece uma condição suficiente para otimalidade de um vértice qualquer. Se fixarmos uma base e denotarmos por x o vértice associado, devemos notar que c x = c x = c A b e γ N são constantes. Portanto, acabamos de produzir um critério de parada para qualquer algoritmo baseado em vértices: para um dado vértice v V (X), com := I v = i : v i } γ = < = v é ótimo. Lema 4. Se x é o vértice gerado por, com γ N < =, então x é uma solução ótima do (PLC). Demonstração Trivial a partir dos resultados anteriores. Deste modo, sobra a questão: o que fazer quando γ N < =? Iremos analisar separadamente γ N < = em dois casos:. γ k > e A ak < = ; e. γ k > e A ak < =. O primeiro caso produz um nova condição de parada, desta vez detectando ilimitação, enquanto o segundo terá desdobramentos a serem explorados nas próxima subseção. Para algum k N, definiremos π := A ak.

5 Introdução ao Algoritmo Simplex Versão.7.: 5 de novembro de 9 : 4 Lema 4.3 Se = (j, j,..., j m ) é uma base viável, para a qual γ k > e π = A ak = <, então o (PLC) π jl, i = j l é ilimitado e h, definido por h i :=, i = k, é uma direção de ilimitação., i k} ( i N \ k}) Demonstração Seja v o vértice gerado por = (j, j,..., j m ) e notemos que h = h i e i + h j e j = m π i e j i + e s (com k = j s, ou seja, coluna a k está na posição s de N). Mostraremos que o vetor h, acima i= definido é uma direção de ilimitação, provando que: x λ := v + λh X ( λ = > ) e que lim λ c x λ = +. De fato: x λ > = e Ax λ = Av+λAh = b+λ(a h +A N h N ) = b+λ( A π+a N e s ) = b+λ( A A a k +a k ) = b. c x λ = c v + λc h π=a ak = c v + λ( c π + c N h N ) = c v + λ( c A ak + c k ) = c v + λγ k λ + Quanto ao segundo caso, γ k > e π = A ak = <, podem ocorrer dois casos: existir um vértice melhor que v ou existir outra base para o mesmo vértice (neste caso é um vértice degenerado). A ocorrência deste último caso não implica necessariamente v não ser ótimo, conforme pode ser observado no exercício abaixo. i j N Exercício 4. Sejam A := ( ) e b := ( ).. prove (pela definição!) que x := (,,, ) é vértice de X (logo = (, 3) ou = (, ));. construa c, de modo que: x é vértice ótimo com γ N < = ; 3. construa c, de modo que: x é vértice ótimo com γ N < = ; 4. (PLC) ilimitado, com γ N > =. Tente justificar os itens a 4 (quem é γ N e por que a solução é ótima ou o problema é ilimitado); note que γ N < = ou γ N > = implica que γ N. No caso, k N, γ k > e A ak < =, a equação (4.5) dá uma pista sobre como melhorar a função objetivo: se encontrarmos um novo ponto viável para o qual x k > e x i =, para i N \ k}, então o valor objetivo deste será maior que o do vértice gerado por. Isso será examinado na próxima subseção. 4. Troca de bases viáveis Nesta seção analisaremos o caso apontado no quadro anterior. Sendo x o vértice gerado pela base viável = (j, j,..., j m ), se < γ k = c k c A ak, k j i (i,,..., m}), e π := A ak < =, gostaríamos de obter um novo ponto viável x, preferivelmente vértice, de tal forma que x k > e x i =, para i N \ k}. Com um tal procedimento poderemos melhorar substancialmente o algoritmo 4., nunca enumerando um vértice pior (menor valor objetivo) que o anterior. Observe que a ji é a i-ésima coluna da lista.

6 Introdução ao Algoritmo Simplex Versão.7.: 5 de novembro de 9 : 5 Lema 4.4 Sejam x X, =(i,i,...,i m ) uma base viável, k =j s em N =(j,j,...,j n m ) e x o vértice gerado por. Se γ k > e x N = x k e s > = 3 então c x > = c x. Demonstração Como gera x V (X), segue que x = A b > =, x N = e assim c x = c x + c N x N = c A b. Além disso, da definição de x, x k > =, x j =, j N \ k}, portanto, usando a equação (4.4) para separar x segundo os índices em, segue que ( ) ( ) concluindo a demonstração. c x = c A b + γ Nx N ( ) = c x + γ Nx N ( ) = c x + γ k x k > = c x, Devemos notar que um mesmo vértice degenerado 4 pode ter mais de uma base garadora, e como a condição suficiente de otimalidade depende apenas da base (γ N = c N A N (A ) c < = ). Ou seja, é possível existir um vértice ótimo degerado que não satisfaça esta condição sob determinada base enquanto sob outra base a condição se verifique. O resultado abaixo mostra em que circunstância ocorre esta múltipla representação: quando o vértice for degenerado (componentes nulas na base). Lema 4.5 Se I,,..., n} é tal que a i } i I é l.i. e b C( a i } i I ), então para toda base, tal que I, tem-se que x : A x = b x i =, i I. Demonstração Como b C( a i } i I ), existe α IR n para o qual b = n α i a i = α i a i + α i a i = α i a i, i= i I i I i I notando que, para i I, α i não influe na soma, ou seja, α i =, i I. Tome agora uma base qualquer (não necessariamente viável), contendo I (vem daqui a necessidade da hipótese a i } i I ser l.i.). Então qualquer que seja α IR n, para o qual b = Aα, teremos n b = α i a i = α i a i + α i a i + α i a i α i=,i = α i a i + α i a i = A α. i= i I i \I i i I i \I Como A é não singular, o sistema A α = b tem solução única α = A b. deste sistema, daí segue a tese: α i = α i, i,,..., n} e em particular, α i = α i ( ) =, i i. ( ) Entretanto ( ) é uma solução Devemos notar que no algoritmo 4., o invariante mais importante do laço (enquanto) é: ser base viável. Deste modo, para conseguirmos aprimorar o referido algoritmo de modo a nunca gerar um vértice pior (usando a direção h := π ji e i + e k obtida no lema 4.3), devemos responder às seguintes questões: i. como gerar x que seja viável (com as propriedades desejadas: viável e com x N = x k e s = > )?. como garantir que x seja vértice? 3. como gerar a primeira base viável? 3 Supomos k N na posição s (j s = k) e note que a dimensão de x N = x k e s é n m e deste modo e s IR n m. Isso implica que A N x N = i N xiai = x k a k. 4 x i =, para algum i, base geradora de x.

7 Introdução ao Algoritmo Simplex Versão.7.: 5 de novembro de 9 : 6 Nas duas próximas subseções trabalharemos com as seguintes premissas: Fixado uma base viável e denotando por x o vértice gerado por, lembrando que γ N := c N A N (A ) c, suporemos a existência de um índice k N tal que < γ k = c k c (A ) a k e π := A ak < =. (4.6) 4.. Como garantir viabilidade Para garantir a viabilidade do novo vetor, x, precisamos assegurar que: considerando o lema 4.4, desejamos que x > k = e A N x N = x k a k. x > = e Ax = b. Entretanto, Lema 4.6 Sejam uma base qualquer 5, λ > =, s e k N (com k = j s ). Se x := b λπ := A b λa ak > = e x N = λe s > =, então x X := x IR n / Ax = b, x > = }. Demonstração Por construção x > =, resta examinarmos se Ax = b: Logo, x X. Ax = A x + A N x N = A (A b λa ak ) + λa N e s = A A b λa A ak + λa k = b. Em função deste lema, para conseguirmos x viável basta escolhermos um λ > =, tal que, λπ < = b. Considerando uma base viável e sendo x o vértice gerado por esta base, teremos x := b := A b > =. Deste modo, para escolher um tal λ > =, devemos nos preocupar apenas com os índices dentre i : π i > }, uma vez que, para todo i tal que π i < =, segue que x i = b i λπ i > = b i > =, λ > =. Lema 4.7 Sejam uma base viável qualquer, s arg min i :π i > bi π i } e λ := bs π s ( > = ). Se x é definido por: x := b λπ e x N := λe js então x X. k N = (j,..., j i = k,..., j n m ) tal que π := A ak < =, Demonstração Inicialmente note que existe s com a propriedade desejada, pois estamos supondo π < =. Usando os mesmos argumentos do lema 4.6, podemos mostrar que Ax = b. Assim, resta mostrarmos que x > =. Analisaremos separadamente os conjuntos: n := j i : π i < = } e p := j i : π i > }. b s π s < = b j π j Como λ > =, para os índices j i n, teremos x i = b i λπ i > = b i > =, (b j > =, j λ = bs π s Portanto, x X. > = ), segue que x i = b i λπ i = π i ( b i π i λ) = π i ( b i π i b s π s ) > =, para todo j i p (π i > ). e para j i p, lembrando que Assim, quando tivermos uma base viável para a qual γ k > e π := A ak < =, se tomarmos s como no lema acima, obteremos um ponto viável com valor objetivo nunca menor que o vértice gerado pela base. 5 Note que não precisa gerar vértice, por tanto, pode-se considerar um base não viável.

8 Introdução ao Algoritmo Simplex Versão.7.: 5 de novembro de 9 : Como garantir base viável Com a teoria até aqui examinada, sabemos gerar um novo ponto viável a partir de uma base (que nem precisa ser viável). Entretanto, estamos interessado em construir um algoritmo a partir destes resultados, assim, é necessário que x seja não apenas viável, mas também um vértice. Ou seja, associando o vértice x com x i e x com x i+, é necessário que: i base viável x i i = A i b A i A Ni x i N i = A i b > = x i N = i+ base viável x i+ i+ = A i+ b A i+ A Ni+ x i+ N i+ > = x i+ N i+ = Portanto, se numa interação i tivermos uma base = (j, j,..., j m ) para a qual < γ k = c k c A A k e π := A ak = <, para aproveitarmos o ponto viável obtido pela atualização derivada no lema 4.6, precisaríamos que o x obtido fosse vértice (e consequentemente fosse gerado por uma base ). Observando o lema 4.6, notamos que a componente s de x foi zerada em x e a componente x k deixou de ser zero em x k (na verdade x k > λ := bs π s > ). Deste modo, é natural pensar que a js deixa a base, sendo substituida pela coluna a k, e assim pode ser definida por := (j, j,..., j m), sendo j i := ji, i s k, i = s (4.7) faça o papel de i+ na iteração i +. Daí surge nova questão: precisamos impor condição adicionais sobre p = i : π i > } para selecionar um s p de tal forma que acima definida seja base viável? Felizmente, como veremos no lema abaixo, não é necessário qualquer hipótese adicional para garantir que, definido pela equação (4.7), seja base viável. Na verdade, o resultado que assegura esta feliz conclusão para nosso futuro algoritmo é um resultado típico de Álgebra Linear, notando que no caso em estudo: π = A ak A π = a k, com π s >. Lema 4.8 Sejam = (j, j,..., j m ) uma base (i.e., a j i } ji é l.i.) e k. Se a k = α i a j i = A α, com α s (s ), então definido pela equação (4.7) é l.i. j i Demonstração Seja β IR m, tal que, = A β = β i a j i = β s a k + β i a j i = β s j i j i i s = β s α s a js + (β i + β s α i )a j i = β i a j i, j i i s j i j i α i a j i + j i i s β i a j i sendo β definido por: βi + β β i := s α i, i s β s α s, i = s. ( ) Como a j i } ji é l.i., segue que β =. Além disso, α s, por hipótese, e da segunda linha de ( ), teremos β s =. Assim, da primeira linha, = β i + β s α i = β i. Portanto β =, concluindo daí que é base. Deste lema e da subseção anterior, gerado pela equação (4.7) é uma base viável, o que nos fornece ferramentas para construir um algoritmo baseado na geração de vértice x i nunca piores, ou seja: c x i < = c x i+.

9 Introdução ao Algoritmo Simplex Versão.7.: 5 de novembro de 9 : Como gerar a primeira base viável Os resultados das duas subseções anteriores conseguimos detectar vértices ótimos, semi-retas de ilimitação e, se necessário, atualizar uma base viável para outra nunca pior (i.e., com valor objetivo nunca menor que a base anterior - no caso de degenerescência de vértice pode empatar, mas quando o vértice é não degenerado a valor objetivo é estritamente maior). Deste modo, o problema ainda não resolvido é:. detectar conjunto inviável (X = );. se conjunto viável, encontrar uma primeira base viável. Para isso usaremos variáveis artificiais para conseguirmos Ax = b. Se b = >, bastaria tomarmos y := b e x considerarmos o sistema AI = b. Entretanto, se para algum i tivessemos b y i <, ficaríamos com y i <! Deste modo, podemos resolver este problema de dois modos: multiplicar as linhas i, do sistema Ax = b, que tiverem b i < ; ou usar como coluna de i o vetor e i. No restante do texto adotaremos a segunda solução. Assim, dado um problema (A, b, c) IR m n IR m IR n na forma canônica, montaremos um problema auxiliar (fase ), que resolverá os itens e acima apontados. Fase do Simplex: detecta inviabilidade ou obtém base inicial a partir dos dados originais, definem-se as matrizes J IR m m : j i e := i, b > i = e i, b i < ; A = A J IR m n+m : a i a := i, i,,..., n} j k, i = n + k n +,..., n + m} (4.8) (4.9) e resolve-se o (P LC) na fase a partir do problema (P ) que procura zerar as variáveis artificiais y (P ) min y Ax + Jy = b (x, y) > = } (P LC) max( ; )z Az = b z > = (4.) O (P LC) da fase é resolvido através do esquema de Simplex deduzido anteriormente, pois: este problema é sempre viável, com (; b ) pertencente ao poliedro estendido (definindo v como sendo o vetor cuja i-ésima é o módulo de b i, v i := b i ; sendo a base inicial as últimas colunas de A: como J é uma matriz claramente não singular e com inversa simples (J = J), pode-se estender o conceito de base para A, obtendo-se: A = J e A = J. Podemos mostrar que este problema inicial devolve um valor negativo, v = y y... y m <, quando X = e quando X. Lema 4.9 Sendo v o valor ótimo de (P ), X = v <. Lema 4. Sendo v o valor ótimo de (P ), X v =.

10 Introdução ao Algoritmo Simplex Versão.7.: 5 de novembro de 9 : 9 Note que: Se o problema fase retornar v =, podemos construir uma base viável inicial, tomando := (i : (A b) i >, i < = n).. as componentes de z = (x; y) são nulas para i > n, i.e., z j+n = y j =, j,..., m});. se # < m, será necessário completar a base com colunas de A, neste caso o vértice inicial será degenerado. Exercício 4. Prove a afirmação acima. Exercício 4.3 Mostre o porquê da validade da afirmação acima. 4. Algoritmo Simplex Da discussão anterior poderíamos estabelecer alguma melhoria no algoritmo 4. (na página ): Algoritmo 4. Método Simplex - atualização de base viáveis, enumerando vértices melhores. Seja = (j, j,..., j m ) uma base viável i. Calcule A e b A b 3. Defina x i por: x i b e xi N λ := (A ) c γ N := c N A N λ 4. Se γ N < =, então Pare: x i := j b je j é vértice ótimo com valor objetivo c A b 5. Senão Sejam: k N para o qual γ k > e π A ak 6. Se π = <, então Seja h definida por h π e h N e s // coluna a k na posição s de N, i.e., k =j s Pare: x i + λh := ( j b je j + λ j π je j + e s) (λ = > ) semi-reta de ilimitação } 7. Senão Sejam s arg min bi π i : i e π i > e λ bs π s Defina x i+ por: x i+ b λπ e xi+ N λes // coluna k = j s Sejam s} + k} (j,..., j s, k, j s+,..., j m ) e i i + Volte ao passo Algumas observações importantes:. Note que o passo 7 é a única condição de finalização do Simplex que permite verificação rápida da resposta. astaria verificar que x i + λh X e que c (x i + λh) (esta última implicação segue do fato de nesta linha ter-se γ k > e portanto λc h = λ(c h + c N h N ) = λ( c π + c k ) = λ( c A ak + c k ) = λ(c k a k A c + c k ) = λ(c k a k λ) = λγ k λ ).. Note que o passo é o mais caro computacionalmente e por isso merece maior atenção. 3. Note também que a k na base é: a k = A π, pois π := A ak

11 Introdução ao Algoritmo Simplex Versão.7.: 5 de novembro de 9 : 4. Se P for o produto de matrizes elementares (de pivotações) tal que PA = I, então A A N I P I A A N A = I π A c 5. Se estendermos a matriz A m n para uma A m+ n+ := A b = A z x = z c x Ax = max c x : Ax = b x > = e o vetor b para (; b), teremos z max z : A x x = > = b 6. Se notarmos que na definição de γ N := c N A N (A ) c, podemos também definir γ := c A (A ) c =. Deste modo, podemos pensar em atualizar γ N também através da pivotação. Para isso denotando novamente λ := (A ) c, fica fácil obter a inversa de A a partir de A e de λ: A λ = A A A λ = c A I m m =I m+ m+. (4.) Com a matriz estendida podemos obter todas as variáveis do sistema através do produto abaixo, λ A c c N A A N b = c + λ A c N + λ A N λ b A A A A N A b = γ c A b I A A N A b. 7. Será que o procedimento acima, que denominamos apressadamente de algoritmo, efetivamente pára? Nosso objetivo atual é conseguir transformar P em uma matriz P para a qual: P A = I. Para isso basta construir uma matriz elementar que pivote o vetor coluna π, usando como pivô π s >. A razão disso é esquematizada abaixo: se Pe e s π e s+ e m = e e s e s e s+ e m = I, então A A N I P I A A N A Deste modo, para obter A a partir de A basta fazer uma pivotação na sua coluna k, segundo o vetor π como pivô π s. Devemos pivotar a coluna π de modo a produzir a e s : P s (π) = e s = P s (A ) = A Uma vez conhecido um bom método de atualização das inversas de bases, agora em ordem o(n ), devemos nos preocupar com a questão 4 acima: será que o procedimento anterior é finito? Esta questão será respondida com o exemplo 4.4. No próximo exemplo examinaremos uma atualização de inversa a partir de uma pivotação. Exemplo 4. Para a matriz A abaixo definida e a inversa da base = (,, 4), obter a inversa de = (, 3, 4), isto é, entra a coluna 3 e sai a coluna. Logo o pivô deve ser o elemento a, A := 3, então: A = 3, A = 4 4, A a3 =. Pivotando a inversa segundo o elemento a 3,, obteremos A = l l l 5 Apenas para conferir o resultado da pivotação, podemos testar o produto = A.

12 Introdução ao Algoritmo Simplex Versão.7.: 5 de novembro de 9 : A A = =. Exercício 4.4 Considere o seguinte (PLC) max x 7x x 3 x 4 5x 5 x x 5 x 3 + 9x 4 + x 5 + x 6 = x 3 x x 3 + x 4 + x x 7 = x 4 + x 8 = x i > =, i,,..., 8} Para este problema, implemente o procedimento 6 4., usando como base inicial := (6, 7, 8), usando como sequência de entrada/saída na base a tabela abaixo. Se as contas estiverem corretas, deverão obter: todos os γ k > e bs π s = min bi i πi > π i }. Iteração i Entra na base (k) Sai da base (s) ase i = (6, 7, 8) x x 6 = (, 7, 8) x x 7 = (,, 8) 3 x 3 x 3 = (3,, 8) 4 x 4 x 4 = (3, 4, 8) 5 x 6 x 3 5 = (6, 4, 8) 6 x 7 x 4 6 = (6, 7, 8) Para evitar o problema ilustrado no exercício acima (ciclagem), uma regra bastante simples é selecionar sempre os primeiros índices: Regra de land 7 - entrada: selecione o menor índice k, tal que γ k > saída: selecione o menor índice s, tal que min bi i π i > π i }. 4.. Simplex Tabular Da discussão anterior podemos enunciar um algoritmo manual para resolver problemas canônicos, algoritmo este denominado Simplex Tabular. max c x Ax = b x > = max z c A x = > z x Deste modo, se trocarmos a matriz A m n pela sua extensão A m+ n+ := podemos estender o conceito da equivalência A (Ax = b) A (A A N x x N = b c A = b) I A A x N x N e o vetor b por = A b 6 Sugiro usar o Scilab a partir do exemplo leo/scilab/pivoteamento.sci. 7 Para ver uma demonstração de que esta regra evita ciclagem, consulte a seção 5.3 de Programação Linear: um primeiro curso, de Carlos Humes Jr. e Ana Flora P. de Castro Humes, apresentado como mini-curso no IX Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional, realizado em rasília em agosto de 986. b,

13 Introdução ao Algoritmo Simplex Versão.7.: 5 de novembro de 9 : pela seguinte equivalência, c c c N A A A N uma vez que A λ = A z x x N = b γ γ N É recomendável verificar que A é de fato a inversa de A. I A A N z x x N = c A b A b, lembrando que λ = A b e que x é o vértice associado à base.. Dada uma base viável inicial 8, deve-se montar o primeiro tableau c c c n z a, a, a,n b a, a, a,n b..... a m, a m, a m,n b m multiplicada (pela esquerda) por A, dada pela equação (4.), resulta em sendo a ij := (A A) ij, e lembrando que b := A b e λ := c A. = c x x γ γ γ n λ b = c b a, a, a,n b a, a, a,n b..... a m, a m, a m,n b m Para ilustrarmos o Simplex Tabular, consideraremos um caso simples (que pode ser resolvido graficamente). Exemplo 4. Considere o problema linear max x + x : x + x > = x < = x = > }. solução ótima deste problema é dada pelo vértice x = (, ). É fácil ver que a Colocando na forma canônica e usando = (, 4) como base viável inicial (por ser mais simples) obteremos, max x + x x + x x 3 = x + x 4 = x, x, x 3, x > 4 = = A=, A =I=A e λ = c A = (c, c 4 ) = (, ). Deste modo γ N = c N λ A N = (c, c 3 ) (λ + λ, λ ) = (, ) (, ) = (, ), e o tableau inicial fica na forma x = (,,, ) entra x sai x x = (,,, ) entra x 3 sai x 4 x 3 = (,,, ) O algoritmo parou na última configuração em razão obtermos γ N = (, ) < =. Note que a segunda iteração trocou a base de um mesmo vértice e finalmente detectando otimalidade. Mais ainda, como consideramos o mesmo (PLC) do exercício 4., esta é a resposta ao seu item 3: na iteração, apesar do vértice x = (,,, ) ser ótimo, em função de usarmos a base = (, 4) resulta γ N = (, ) < =, enquanto que para a base = (, 3) temos γ N = (, ) < =. Exemplo 4.3 Considerando os dados do (P LC) abaixo, e conhecendo a base numa iteração do Simplex, construa o tableau desta iteração e finalize o algoritmo. 7 A := 3 6, b :=, c := (,,,, ), e sabendo que A (,4,5) = : 8 É sempre possível introduzir m variáveis artificiais para obter esta base..

14 Introdução ao Algoritmo Simplex Versão.7.: 5 de novembro de 9 : 3. construa o tableau do Simplex sabendo que =(, 4, 5). resolva o problema pelo Simplex Tabular a partir do tableau obtido em acima. Resolução. Sabendo que a base inicial é = (, 4, 5), as variáveis do Simplex são: λ := A γ N := c N A N λ = c N = (; ). 7 8 A A = 3 6 = = x = A b = 6 5 = O tableau está apresentando no próximo item. 6 5 c = A (; ; ) = = 7 c x = (,,,, ) = Lembrando que o tableau tem a forma γ c x entra: 3 sai: A A A 4/5 /5 4/5 /5 9/5 /5 6 4/5 /5 solução encontrada, pois γ = < b, segue que o Simplex: Solução: x = 6 c x = No exemplo a seguir, é detectado ilimitaçào. Neste caso é possível provar que a resposta do Simplex é correta, bastando verificar que existe de fato uma semi-reta de ilimitação (provando a viabilidade e a ilimitação). Exemplo 4.4 Considerando os dados do (P LC) abaixo, e conhecendo a base numa iteração do Simplex, construa o tableau desta iteração e finalize o algoritmo. 4 8 A := 4, b :=, c := (,,,, ) : 9 3. construa o tableau do Simplex sabendo que =(3, 4, 5). resolva o problema pelo Simplex Tabular a partir do tableau obtido em acima e, ao final, demonstre o que for possível sobre a resposta. Resolução. Como a base atual é =(3, 4, 5), correspondente a uma matriz identidade, as variáveis do Simplex são: λ := A c = I(; ; ) = γ := c A λ = c = (; ; ; ; ). 8 x = A b = b = c x = (,,,, ) 8 =. 3 3 O tableau está apresentando no próximo item.

15 Introdução ao Algoritmo Simplex Versão.7.: 5 de novembro de 9 : 4. Lembrando que o tableau tem a forma γ c x entra: sai: 3 A A A b, segue que: 3/ /4 / /4 3 8 / 9/4 48 ilimitação detectada, pois: γ > e π =( /; 3; /) = < De fato, x + λh é semi-reta, pois: 4 A(x + λh)= 4 + λ c (x + λh) = (; ; ; ; ) + λ = + λ( Semi-reta: x+λh = λ / 3 / 8 8 = λ + 3 = ) λ.