A FUNÇÃO SIMPLEX PARA O SOFTWARE R: ensino e análise. THE SIMPLEX FUNCTION FOR R SOFTWARE: teaching and analysis

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1 A FUNÇÃO SIMPLEX PARA O SOFTWARE R: ensino e análise THE SIMPLEX FUNCTION FOR R SOFTWARE: teaching and analysis Mateus Pimenta Siqueira Lima 1 ; Cássia de Souza Santos; Eric Batista Ferreira 3 ; Andrea Cardoso 4 1 Graduando em Matemática Licenciatura, Instituto de Ciências Exatas, Universidade Federal de Alfenas (Unifal-MG), mateuspimenta-2007@hotmail.com 2 Graduanda em Matemática Licenciatura, Instituto de Ciências Exatas, Universidade Federal de Alfenas (Unifal-MG), cassiaunifal@yahoo.com.br 3 Docente do programa de Pós-graduação em Estatística Aplicada e Biometria, Instituto de Ciências Exatas, Universidade Federal de Alfenas (Unifal-MG), eric.ferreira@unifal-mg.edu.br Resumo 4 Docente do curso de Matemática, Instituto de Ciências Exatas, Universidade Federal de Alfenas (Unifal-MG), eric.ferreira@unifal-mg.edu.br Recebido em: 02/02/ Aprovado em: 07/04/ Disponibilizado em: 15/07/2015 A Pesquisa Operacional é um método científico de tomada de decisão, sendo muito requisitada nos últimos anos e tem como uma de suas principais ferramentas o estudo da Programação Linear. A Programação Linear é uma formulação matemática que determina um montante fixo de recursos que satisfaça certa demanda de tal modo que uma função-objetivo seja otimizada e ainda satisfaça a outras condições pré-definidas pelo problema. Diante do rol de softwares disponíveis para tratar problemas e típicos de Pesquisa Operacional, figuram centenas de nomes. Entretanto, a maior parte destes softwares é de uso proprietário, ou seja, seu código não é livre e sua utilização acontece mediante pagamento. Tais características limitam seu uso em instituições públicas de ensino e/ou pesquisa. O presente trabalho descreve em detalhes o método Simplex e como a função pode ser programada em linguagem R visando o ensino e análise de problemas da Pesquisa Operacional e otimização. Palavras chave: Pesquisa Operacional. Software Livre. Programação Linear. Abstract Operations Research is a scientific method of decision making, being much in demand in recent years and has as one of its main tools to study the Linear Programming. Linear Programming is a mathematical formula that determines a fixed amount of resources that satisfy some demand so that an objective function is optimized and still satisfy the other conditions pre-defined problem. Given 2

2 the list of software available to address issues and topics of Operational Research, included hundreds of names. However, most of these software is proprietary use, ie your code is not free (the user has no access) and its use (full or partial) happens upon payment. These characteristics limit their use in public education and/or research. This paper describes in detail the Simplex method and how a function can be programmed in R language aimed at teaching and problem analysis and optimization of Operational Research. Keywords: Operational Research. Free Software. Linear Programming. 1. Introdução A Pesquisa Operacional (PO) é uma ciência que objetiva fornecer ferramentas quantitativas ao processo de tomada de decisões. É constituída por um conjunto de disciplinas isoladas, tais como Programação Linear, Teoria das Filas, Simulação, Programação Dinâmica, Teoria dos Jogos, entre outras. No conjunto de disciplinas que é constituída, tem-se a Programação Linear, que é uma técnica de planejamento que vem se constituindo como uma das mais poderosas em quase todo ramo da atividade humana. Seus benefícios são exatamente aqueles procurados por qualquer empresa: diminuição dos custos e aumento dos lucros. A sobrevivência de empresas é dependente da busca de vantagens competitivas em relação a suas concorrentes, para criarem atividades diferenciadas com maior eficiência e menor custo. Dentro da Programação Linear pode-se destacar o método simplex, que é uma técnica utilizada para se determinar, numericamente a solução ótima para um determinado modelo. O uso de softwares para a resolução de Problemas de Programação Linear é indispensável, pois a maioria dos problemas podem apresentar funções de várias variáveis, o que tornaria quase impossível resolver tal problema com papel e caneta. Mas muitos desses softwares apresentam código fechado e deixam de apresentar uma solução de forma didática para o usuário. Portanto o objetivo desse trabalho é apresentar a construção da função simplex no software R que é um software livre, sendo essa função de caráter didático e analítico do método simplex por trazer todos os quadros passo a passou do método auxiliando tal usuário a fim de conferir seus cálculos, e esta função fará parte de um pacote denominado PO.pt (Pesquisa Operacional em português), destinado para a disciplina de Pesquisa Operacional a fim de atender as necessidades de cursos de graduação que utilizam tal método em suas disciplinas. 3

3 2 Referencial Teórico O termo Pesquisa Operacional (PO) designa uma área do conhecimento que consiste no desenvolvimento de métodos científicos de sistemas complexos, com a finalidade de prever e comparar estratégias ou decisões alternativas, cujo objetivo é dar suporte à definição de políticas e determinação de ações (CARDOSO, 2011). Porém, outras definições de Pesquisa Operacional podem ser encontradas na literatura. Para Ehrlich (1982), Pesquisa Operacional é uma metodologia de estruturar processos aparentemente não estruturados por meio da construção de modelos. Utiliza um conjunto de técnicas quantitativas com o intuito de resolver os aspectos matemáticos dos modelos. Já para Sacomano et al. (2004) é a aplicação do método científico, por equipes interdisciplinares a problemas que dizem respeito ao controle de sistemas organizados (homem-máquina), com a finalidade de obter as soluções que melhor satisfaçam aos objetivos da organização, como um todo. Embora haja discordâncias sobre sua definição, sua origem é bem conhecida. Durante a Segunda Guerra Mundial, um grupo de cientistas foi convocado na Inglaterra para estudar problemas de estratégia e de tática associados com a defesa do país. O objetivo era decidir sobre a utilização mais eficaz de recursos militares limitados. A convocação deste grupo marcou a primeira atividade formal de pesquisa operacional. Desenvolveram então a ideia de criar modelos matemáticos, apoiados em dados e fatos, que lhes permitissem perceber os problemas em estudo, simular e avaliar o resultado hipotético de estratégias bem como propor decisões alternativas. Em 1941 a Inglaterra inaugura a Seção de Pesquisa Operacional do Comando da Força Aérea de Combate para trabalhar com problemas de operações de guerra, manutenção e inspeção de aviões, melhoria da probabilidade de destruição de submarinos, controle de artilharia antiaérea, dimensionamento de comboios de frota, entre outros (CARDOSO, 2011). Os resultados positivos conseguidos pela equipe de pesquisa operacional inglesa motivaram os Estados Unidos a iniciarem atividades semelhantes. Apesar de ser creditada à Inglaterra a origem da Pesquisa Operacional, sua propagação deve-se principalmente à equipe de cientistas liderada por George B.Dantzig, dos Estados Unidos, convocada durante a Segunda Guerra Mundial. Face ao seu caráter multidisciplinar, atualmente as contribuições da PO (Pesquisa Operacional) estende-se por praticamente todos os domínios da atividade humana. Os ramos mais importantes desenvolvidos em PO são: Programação Matemática, Programação Linear, Análise Estatística, Programação Não Linear, Teoria dos Jogos, Programação Dinâmica, Teoria das Filas, Programação Inteira, Simulação, Otimização Global e Gestão de estoques. 4

4 Segundo Gouveia (2005), nesse sentido a Pesquisa Operacional é utilizada com ferramenta para estudar operações envolvidas nas atividades empresariais, com objetivo de oferecerem aos gestores resultados quantitativos que auxiliem na tomada de decisões a partir da criação de modelos que permitem a simulação e avaliação de alternativas de ação que possam ser implantadas de modo a alcançar vantagens competitivas. Resumidamente, podemos dizer que o objetivo principal da PO é determinar a programação otimizada de atividades ou recursos, fornecendo um conjunto de procedimentos e métodos quantitativos para tratar de forma sistematizada problemas que envolvam a utilização de recursos escassos. Para apoiar a tomada de decisão, a PO busca a solução de problemas que podem ser representados por modelos matemáticos (CARDOSO, 2011). 2.1 Programação Linear Segundo Lisboa (2002), o problema de programação linear (PPL) é utilizado para otimizar (maximizar ou minimizar) uma função linear de variáveis, chamada de função objetivo, sujeita a uma série de equações ou inequações lineares, chamadas restrições. A formulação do problema a ser resolvido por programação linear segue alguns passos básicos. deve ser definido o objetivo básico do problema, ou seja, a otimização a ser alcançada. Por exemplo, maximização de lucros, minimização de custos, de perdas, de tempo; para que esta função objetivo seja matematicamente especificada, devem ser definidas as variáveis de decisão envolvidas. Por exemplo, número de máquinas, a área a ser explorada, as classes de investimento à disposição, etc. Normalmente, assume-se que todas estas variáveis possam assumir somente valores positivos; estas variáveis normalmente estão sujeitas a uma série de restrições, geralmente representadas por inequações. Por exemplo, quantidade de equipamento disponível, tamanho da área a ser explorada, capacidade de um reservatório, exigências nutricionais para determinada dieta, etc. Todas essas expressões, entretanto, devem estar de acordo com a hipótese principal da programação linear, ou seja, todas as relações entre as variáveis devem ser lineares. Isto implica proporcionalidade das quantidades envolvidas. 5

5 O problema geral de programação linear pode ser definido por, Maximizar (minimizar) Sujeito a Em que são as restrições, são as restrições do problema j=1,...n são os coeficientes da função objetivo, são os coeficientes das restrições, k=1,...n são as variáveis do problema, e ~ é de = ou de ou. O desenvolvimento de um método (ou algoritmo) que determine a solução de um PPL torna necessária a redução do problema a uma forma tal que permita a aplicação direta deste algoritmo. No caso de programação linear, o algoritmo mais utilizado é o Simplex. Para que o Simplex seja aplicado, é fundamental reduzir o PPL à sua forma padrão, definida a seguir. De acordo com Bregalda, Oliveira e Bornstein (1988), o modelo de um PPL encontra-se na forma-padrão quando ele é formulado da seguinte maneira: Minimizar Sujeito a em que transformar restrições do tipo transformar restrições do tipo são chamadas variáveis de folga, quando são utilizadas para em igualdades; ou variáveis de excesso quando são utilizadas para em igualdades. 6

6 Em geral quando o problema de programação linear se apresenta em apenas duas variáveis, embora seja raro, ele pode ser resolvido através da solução gráfica, que se trata de analisar as restrições utilizando a função objetivo. 2.2 Resolução Gráfica de Problemas de Programação Linear Quando um problema de programação linear é dependente apenas de duas variáveis, a solução para tal problema pode ser construída graficamente, onde as variáveis e se tornam coordenadas gráficas para o problema. Segundo Taha (2008), o processo gráfico inclui duas etapas: Determinação da região de soluções viáveis; Determinação da solução ótima entre todos os pontos viáveis da região de soluções. Em primeiro lugar levamos em conta as restrições de não negatividade e, em que o eixo horizontal e o eixo vertical representam as variáveis do problema. Assim, a não negatividade das variáveis restringe a área da região de soluções ao primeiro quadrante que se encontra acima do eixo e à direita de. Para se levarem em conta as demais restrições, em primeiro lugar substitua cada desigualdade por uma equação e depois represente no gráfico a linha reta resultante localizando dois pontos distintos na mesma. Em seguida, considere o efeito da desigualdade. Tudo que ela faz é dividir o plano em dois semiplanos, um de cada lado da reta representada no gráfico. Só uma dessas duas metades satisfaz a desigualdade. Para determinar o lado correto, tome (0,0) como um ponto de referência. Se ele satisfizer a desigualdade, o lado no qual ele se encontra é a meia-região viável; caso contrário, viável é o outro lado. A aplicação do procedimento do ponto de referência a todas as restrições do modelo produz as restrições. A região de soluções viáveis do problema representa a área do primeiro quadrante na qual todas as restrições são satisfeitas simultaneamente. Considere o exemplo que apresenta o gráfico do conjunto de soluções viáveis de um determinado problema de maximização. 7

7 Maximizar Sujeito a Figura 1: Espaço de soluções do problema Fonte: Os autores Onde as restrições (1), (2), (3), (4),(5) e (6) retas no gráfico da Figura 1. A região viável da Figura 1 é delimitada pelos segmentos de reta que unem os pontos A, B, C, D, E e F. Qualquer ponto dentro ou sobre o contorno do espaço ABCDEF é viável. Como a região viável ABCDEF consiste em um número infinito de pontos, precisa-se de um procedimento sistemático para identificar a solução ótima. A determinação da solução ótima requer a identificar a direção na qual a função objetivo do problema aumenta (lembrando que é um problema de maximização). Um procedimento para identifica a direção na qual a função objetivo está aumentando está em encontrar a direção em que aponta o vetor gradiente da função objetivo, ou seja, e traçar retas perpendiculares a esse vetor a medida que ele aumenta. A solução ótima ocorre no ponto C, que é o ponto na região de 8

8 soluções além do qual qualquer aumento adicional levará z para fora dos contornos ABCDEF, como descrito na Figura 2. Figura 2: Solução do Problema de Maximização Fonte: Os autores Os valores de e relacionados com o ponto ótimo C são determinado pela resolução das equações relacionadas com as retas (1) e (2). A solução é e com Uma característica importante da solução de Problemas Lineares é que ela sempre está relacionada com um ponto extremo da região de soluções, O Teorema que afirma isso é: Teorema do Ponto Extremo: Se um problema de programação linear admitir solução ótima, então pelo menos um ponto extremo (vértice) do conjunto de pontos viáveis é uma solução ótima do problema. Se por acaso, a função objetivo for paralela a uma restrição. Por exemplo, se a função objetivo for, que é paralela à restrição (1), a solução ótima ocorre no ponto extremo C ou no ponto extremo D. Na verdade, qualquer ponto sobre segmento de reta CD será uma alternativa ótima. Para problemas de minimização, o procedimento para a resolução de forma gráfica funciona semelhante ao anterior. Inicialmente, encontre a área da região viável de acordo com as restrições do problema. No momento de encontrar o vetor gradiente da função objetivo, como estamos em um problema de minimização, então queremos o ponto onde vamos gerar um menor valor para a função 9

9 objetivo, então basta traçar o vetor gradiente no sentido negativo, levando-o no ponto (0,0), e logo após traçar retas perpendiculares a esse vetor no sentido que ele decresce. A solução para o problema é o ponto onde qualquer decréscimo a mais da função objetivo levará z para fora do contorno em destaque que é a região viável para o nosso problema. Observe o exemplo. Minimizar Sujeito a Então efetuando todo o processo de encontrar as retas associadas às restrições e verificando as desigualdades das restrições para encontrar a região viável, chega-se a resolução gráfica, ilustrada na Figura 3. Figura 3: Resolução do problema de minimização Fonte: Os autores De acordo com a figura 3, podemos ver que a solução ótima ocorre no ponto (470.59, ), que é o ponto na região de soluções além do qual qualquer decrescimento adicional levará z para fora do contorno em destaque que é a região viável do nosso problema. 10

10 Os valores de e relacionados com o ponto ótimo (470.59, ) são determinado pela resolução das equações relacionadas com as retas (1) e (2). A solução é e com. 2.3 O uso de softwares na Pesquisa Operacional No rol de softwares disponíveis para tratar problemas e tópicos da Pesquisa Operacional, figuram centenas de nomes. Dentre os mais utilizados estão, segundo IGNÁCIO e FERREIRA FILHO, (2004): Solver (macro dos softwares Excel e BrOffice Calc); AMPL (A Modeling Language for Mathematical Programming); TORA (Toolkit for Oracle); AIMMS (Advanced Integrated Multidimensional Modeling Software); GAMS (General Algebraic Modeling System); Xpress Mosel (FICO Xpress Optimization Suite); MPL Modeling System (Mathematical Programming Language); OPL studio (Optimization-based analytical decision support applications); Lindo (Linear Optimization Models); Lingo (Optimization Modeling Software for Linear, Nonlinear, and Integer Programming). Entretanto, a maior parte destes softwares é de uso proprietário, ou seja, seu código não é livre (o usuário não tem acesso) e sua utilização (total ou parcial) acontece mediante pagamento. Tais características limitam seu uso em instituições públicas de ensino e/ou pesquisa. Entre os citados anteriormente, um dos mais utilizados é o Solver, que é um software de uso gratuito, quando se utiliza no modelo BrOffice, e pago quando se utiliza o Office. Porém quanto no BrOffice tanto no Office, esses softwares apresentam uma característica em comum de não ser de código livre, o que faz com os usuários não tenham a liberdade de aperfeiçoarem tais softwares. O Solver do Excel apresenta a resolução de problemas de programação linear como ilustrado na Figura 4. O que se pode notar é que a solução para tal problema é. Estes são os valores ótimos para o problema de maximização com o valor da função objetivo igual a

11 Figura 4: Resolução de modelo de P.L. no Solve Fonte: Os autores O software Solver para resolução de modelos de Programação Linear apresenta uma estrutura exemplificada da solução, porém quando voltado para o ensino, o usuário não sabe como se chegou a tal solução. Outro software que se pode exemplificar é o Lindo, só que um problema desse software é que ele não é gratuito, e o código dele também é fechado ao usuário. Um exemplo de resolução de problemas de Programação Linear pelo Lindo é ilustrado na Figura 5. Figura 5: Resolução me modelo de P.L. no Lindo Fonte: Os autores 12

12 Podemos perceber que a solução para tal problema é e o valor da função objetivo é igual à 26,777. Ele também apresenta o número de iterações necessárias para solucionar o problema, que neste problema foram 2 iterações. Além de um software matemático e estatístico, o software R é um ambiente de programação baseado na linguagem S. Das principais vantagens de tal software, destacam-se as características de ser livre, de código aberto e totalmente gratuito (R DEVELOPMENT CORE TEAM, 2011). Não é surpreendente, portanto, que o R seja um dos softwares estatísticos mais utilizados nos dias de hoje. O software R conta com alguns pacotes que tratam tópicos da Pesquisa Operacional, a saber: orloca - Operations Research LOCational Analysis models (PALACIN; MARQUEZ, 2014); linprog - Linear Programming/Optimization (HENNINGSEN, 2012); quadprog - Functions to solve Quadratic Programming Problems (WEINGESSEL, 2013); BB - Nonlinear Equations and High-Dimensional Nonlinear Objective Function (VARADHAN; GILBERT, 2009); boot - Bootstrap Functions (CANTY; RIPLEY, 2013); kernlab - Kernel Methods (KARATZOGLOU et al., 2004); limsolve - Linear Inverse Models (SOETAERT; MEERSCHE; OEVELEN, 2009); LowRankQP - Low Rank Quadratic Programming Problems (ORMEROD; WAND, 2012); rcdd - Computational Geometry (GEYER; MEEDEN, 2014); Rglpk - R/GNU Linear Programming Kit Interface (THEUSS; HORNIK, 2014), dentre outros. Dois pacotes dos citados anteriormente, os quais pode-se exemplificar, que resolvem problemas de Programação Linear, são o linprog e o Rglpk. Na Figura 6, é apresentado um exemplo de um modelo de programação linear (P.L.) resolvido pelo pacote linprog - Linear Programming/Optimization. O problema trata de bois e vacas e é encontrado no help da função linprog no software R. 13

13 Figura 6: Resolução de modelo de P.L. no linprog Fonte: Os autores Pode-se notar que a solução para tal problema é a quantidade de vacas igual a 44 e bois iguais a 24, o que faz a função objetivo obter um máximo de Esse pacote no R também nos da o número de iterações que foram necessárias para determinar tal solução que no caso são 2. Este pacote nos dá uma solução mais detalhada para a análise, mas em relação ao ensino, ele não nos dá um detalhamento de todos os quadros da resolução via método simplex, como é ensinado nas salas de aula na disciplina de Pesquisa Operacional. O Rglpk - R/GNU Linear Programming Kit Interface faz uma interface com o software Excel, utilizando a macro Solver do Excel para fazer determinados cálculos, o qual é ilustrado na figura 7, que no caso é um problema de maximização que está contido no help da função, e esse exemplo é do tipo, Minimizar $z = 2x_1 + 4x_2 + 3x_3$ Sujeito a 14

14 Figura 7: Resolução de modelo de P.L. no Rglpk Fonte: Os autores Podemos notar que a solução para tal problema é de, o que faz a função objetivo obter um máximo de 76,666. O mesmo apresenta um status que no caso determina se a solução é a mais ótima possível que se pode obter. Sendo igual a 0 significa que a solução a mais ótima possível que se pode obter. Vemos que a são dada pelo Rglpk é mais simples, mas não há um detalhamento dos quadros do método simplex, o que o torna desaconselhado para o ensino. 2.4 Software livre O termo Software Livre se refere aos softwares que são fornecidos aos seus usuários com a liberdade de executar, estudar, modificar e repassar (com ou sem alterações) sem que, para isso, os usuários tenham que pedir permissão ao autor do programa. Em geral, Software Livre se assemelha a domínio público, embora haja certas diferenças, apesar de que Software de Domínio Público é também Software Livre. Atualmente os softwares livres estão sendo implantados em grande parte das empresas no Brasil e também no mundo. Isso é possível por que a maioria de suas distribuições é livre, ou seja, gratuitas e por oferecer os mesmos desempenhos de um software normal do segmento. Especialistas em segurança em GNU/Linux, afirma ser mais seguro usar software livre, pois é possível modificar o sistema de acordo com as necessidades de cada um (FIGUEREDO et al., 2005 apud MARCELO, 2004). 15

15 Quando é um caso de software com o código fonte fechado ou proprietário, o usuário não tem informações sobre o programa, além de pagar, na maioria dos casos altíssimos custos com licenças por ele exigido. Mais precisamente, Software Livre se refere a quatro tipos de liberdade para os usuários do software, definidas pela Free Software Foundation: A liberdade de executar o programa para qualquer propósito (liberdade no. 0); A liberdade de estudar como o programa funciona e adaptá-lo para as suas necessidades (liberdade no. 1). Acesso ao código-fonte é um pré-requisito para esta liberdade; A liberdade de redistribuir cópias de modo que você possa ajudar ao seu próximo (liberdade no. 2); A liberdade de aperfeiçoar o programa e liberar os seus aperfeiçoamentos, de modo que toda a comunidade se beneficie (liberdade no. 3). Acesso ao código-fonte é um pré-requisito para esta liberdade. As vantagens do software livre são inúmeras a implementação de um sistema pode sair muito mais barata do que a implementação de sistemas proprietários. O uso do software aberto é mais seguro, pois a tecnologia não depende de terceiros. Como acontece com alguns bancos, a chave da segurança não fica na mão do fabricante do software e sim do próprio banco (FIGUEREDO et al., 2005, apud MARCELO, 2004). 2.5 Software R O R é uma linguagem e ambiente de computação estatística e construção de gráficos, sendo considerada uma variante da linguagem S (Laboratórios Bell, desenvolvida por John Chambers e seus colegas). Surge pela criação da R Foundation for Statistical Computing, com o objetivo de criar uma ferramenta gratuita e de utilização livre, para análise de dados e construção de gráficos. O R é compatível com diversas plataformas: UNIX, Windows e MaCOS e permite a ligação de interfaces de diferentes formatos: Excel, Access, SPSS, SAS, SQL Server. Sendo fonte aberta, permite ao utilizador alterar funcionalidades existentes, bem como criar novas funcionalidades para responder aos seus problemas específicos de forma mais eficaz. Isso é possível graças à possibilidade de o R se estender a partir de um crescente conjunto de livrarias (packages) que 16

16 podem ser acessadas pelo utilizador, entre outras. Além dos procedimentos estatísticos ele permite operações matemáticas, e manipulação de vetores e matrizes, bem como construção de gráficos. Apesar de existirem muitas facilidades de ajuda na comunidade de utilizadores do R, este tipo de linguagem não tem suporte técnico assegurado (CAMPOS; SOUZA, 2009). 2.6 O Ensino de Pesquisa Operacional No Brasil, existem vários cursos que utilizam Pesquisa Operacional (PO) como uma disciplina, dentre eles estão: Sistema de Informação, Engenharia de Produção, dentre outras engenharias, Ciência da Computação, Administração, Matemática, dentre outros. Na Universidade Federal de Alfenas (UNIFAL-MG), essa disciplina compõe a dinâmica apenas dos cursos de Licenciatura em Matemática, e Ciência da Computação. Quando se fala em ensino de PO a atenção se volta, principalmente, para a modelagem, solução e análise de problemas decisórios, sendo que um estudo de caso completo corresponde à realização de experimentos numéricos com modelos lógico-matemáticos. Este experimento envolve o uso de fórmulas e técnicas matemáticas, que se não forem bem explicadas, corre o risco da não compreensão dos alunos. E essa modelagem permite que o aluno possa aprender passo a passo cada fase de construção da resolução de certo problema. Segundo Dávalos (2002), o ensino de PO deve dar ao estudante uma grande visão de modelagem, solução e análise de problemas decisórios a partir dos conhecimentos adquiridos nas disciplinas dos cursos, tais como Cálculo, Economia, Probabilidade e Estatística, Linguagens de Programação e aquelas que estão destinadas a dar a base teórica e aprofundamento dos problemas e sistemas típicos, abordados no ensino. O ensino usa a teoria onde o aluno torne-se construtor do próprio conhecimento, onde o professor deixa de ser o centro irradiador do conhecimento, e o aluno passa a ser o centro de construção desse conhecimento. Segundo Pimentel et al. (2014), o ensino matemático lúdico cria um ambiente atraente, servindo de estímulo para o desenvolvimento integral da criança, agindo como facilitador, colaborando para trabalhar bloqueios que os alunos apresentam em relação a alguns conteúdos matemáticos. No ensino de PO é muito utilizado o apelo visual com quem esta aprendendo, pois é importante o aluno saber o que está acontecendo em tal problema graficamente. Para problemas de 17

17 programação linear é muito importante quando os problemas apresentados são apenas de duas variáveis é possível resolvê-los pelo método gráfico. Quando o problema apresenta mais de duas variáveis existe a necessidade de utilizar métodos algébricos para resolvê-los. No caso de programação linear, utiliza-se o método simplex, que é um método trabalhoso por exigir muitos cálculos. Pela complexidade, o simplex necessita de métodos iterativos para a sua resolução, pois a exigência de muitos cálculos faz com que o método seja de alto índice de fonte de erro. Por isso é importante ter softwares a disposição para auxiliar o ensino. 3 Metodologia O presente trabalho faz parte de um projeto maior que é um pacote no software R para o ensino de Pesquisa Operacional, que abordará os principais tópicos da ementa da disciplina que são: O Método Simplex, Programação Inteira, Análise de Sensibilidade e Problemas de Transporte. O projeto maior contou com três Iniciações Científicas, um Trabalho de Conclusão de Curso, e um Programa de Iniciação Científica Junior. Particularmente, o presente trabalho trata do desenvolvimento da função simplex, a qual apresenta importante ramo da disciplina de Pesquisa Operacional, pois em quase todos os outros tópicos da disciplina utilizam o método para solucionar problemas. O método utilizado é descrito a seguir, sendo dividido em duas etapas: (3.1) Problemas na forma padrão: que contém apenas restrições do tipo " "; (3.2) Problemas que não estão na forma padrão, que contém restrições do tipo " " ou "=". 3.1 O método Simplex na forma padrão O Simplex pode ser entendido como um algoritmo cuja finalidade é gerar soluções básicas viáveis cada vez melhores (BREGALDA et al., 1988). Em vez de enumerar todas as soluções básicas do PPL, o método Simplex investiga, de forma iterativa, somente algumas dessas soluções, potenciais candidatas à solução ótima (TAHA, 2008). De acordo com Cardoso (2011), o método Simplex é um procedimento algébrico que fornece a solução exata de qualquer PPL em um número finito de iterações. O método é composto por critérios específicos para escolha da solução que melhorem o desempenho do modelo e de um teste de otimalidade. É também capaz de indicar se o problema tem solução ilimitada, se não tem 18

18 solução ou se possui infinitas soluções. Tais características permitem sua implementação em algoritmos extremamente rápidos e eficientes, possibilitando a soluções de problemas com centenas de variáveis de decisão. Atualmente extensões do método são capazes de analisar sistemas com centenas de milhares de variáveis. O método foi desenvolvido pelo matemático americano George Dantzig em 1947, e resultou em uma economia de bilhões de dólares para a indústria e o governo americano. Taha (2008) afirma que os cálculos do método Simplex são particularmente tediosos, repetitivos e, acima de tudo, maçantes. Esse autor diz ainda que os programas de computador são ferramentas indispensáveis para o usuário do Simplex. O algoritmo Simplex Considerando o sistema de inequações escrito na forma matricial como Simplex segue o seguinte algoritmo (ARENALES et al., 2007):\\, o método Fase I: Determine inicialmente uma partição básica factível básicos e não-básicos: e. Os vetores das variáveis básicas e não-básicas são, respectivamente: de vetores de índices e Fase II: Início da iteração Simplex Passo 1: Cálculo da solução básica Passo 2: Cálculo dos custos relativos 2.1) Vetor multiplicador simplex 2.2) Custos relatives 19

19 2.3) Determinação da variável a entrar na base ( a variável Passo 3: Teste de otimalidade Se, então: pare, a solução na iteração atual é ótima. Passo 4: Cálculo da direção simplex Passo 5: Determinação do passo e variável a sair da base Se, então pare, o problema não tem solução ótima finita: Caso contrário, determine a variável a sair da base pela razão mínima: A variável sai da base. Passo 6: Atualização: nova partição básica, troque a coluna de pela coluna de Nova matriz básica: Nova matriz não básica: Retorne ao Passo Os passos para o método simplex Os passos abordados a seguir referem-se a um P.P.L. de minimização. Para iniciar o Método Simplex necessita-se de uma solução básica viável inicial, a qual é um dos pontos extremos. Este método verifica se a presente solução é ótima. Se esta não for é porque um dos demais pontos extremos adjacentes (vértice) fornece valor menor para a função objetivo que a atual, quando o 20

20 problema considerado é de minimização. Ele então faz uma mudança de vértice na direção que mais diminua a função objetivo e verifica se este novo vértice é ótimo. O processo termina quando estando num ponto extremo, todos os outros pontos extremos adjacentes fornecem valores maiores para a função objetivo. Portanto, a troca de vértice, faz uma variável não básica crescer (assumir valor positivo) ao mesmo tempo em que zera uma variável básica (para possibilitar a troca) conservando a factibilidade do Problema de Programação Linear. Para isso, escolhe-se uma variável, cujo custo relativo é mais negativo (não é regra geral), para entrar na base, e as trocas de vértices são feitas até que não exista mais nenhum custo relativo negativo. A variável que sairá da base é aquela que ao se anular garante que as demais continuem maiores ou iguais a zero, quando se aumenta o valor da variável que entra na base (respeitando a factibilidade). O Método Simplex compreenderá, portanto, os seguintes passos: ii. i) Achar uma solução factível básica inicial; ii) Verificar se a solução atual é ótima. Se for, pare. Caso contrário, siga para o passo iii. iii) Determinar a variável não básica que deve entrar na base; iv) Determinar a variável básica que deve sair da base; v) Atualizar o sistema à fim de determinar a nova solução factível básica, e voltar ao passo Casos Especiais do Método Simplex Empate na entrada Quando houver empate na escolha da variável que entra na base, deve-se tomar a decisão arbitrariamente. A única implicação envolvida é que pode-se escolher um caminho mais longo ou mais curto para se chegar à solução ótima. Empate na saída Poderá ocorrer que durante a escolha de uma variável para sair da base, ter empate, isto é, duas ou mais variáveis se anulam com o crescimento da variável que está entrando na base. Neste 21

21 caso ocorre o que chama-se de degeneração (tem-se uma solução básica factível degenerada). A escolha também é arbitrária (uma das variáveis básicas assume valor zero). Tem-se então, que a mesma solução é obtida através de bases diferentes. Isso ocorre devido à hiper determinação de pontos extremos. 3.2 O método Simplex duas fases Nos problemas onde as restrições são do tipo (menor ou igual) é sempre possível obtermos uma submatriz (identidade) com o auxilio das variáveis de folga, e assim a solução inicial é óbvia. Porém, quando não se tem uma solução inicial óbvia, ou seja, não consegue-se uma submatriz base (identidade) assim é necessário um procedimento para desenvolvê-la. Isto ocorre quando o problema de Programação Linear tiver restrições de "=" (igualdade) e ou restrições do tipo (maior ou igual). Exemplo: Maximizar Sujeito a Passando o problema para a forma padrão, termos: Minimizar Sujeito a Portanto, não tem solução inicial óbvia. Como obter a solução inicial? Para resolvê-lo utiliza-se um procedimento chamado Fase 1 do Método Simplex, que consiste em explorar um problema auxiliar, equivalente ao PPL inicial, com região factível ampliada. 22

22 Introdução das variáveis artificiais É introduzido no problema de programação linear (já na forma padrão) variáveis artificiais nas restrições do tipo "=" e " ". No exemplo anterior: Minimizar Sujeito a Esse problema de programação linear é denominado relaxado ou artificial, ou seja, a região factível é ampliada. No quadro a seguir. Obtêm uma solução inicial óbvia fazendo-se, com Diz-se que as restrições: e. a) b) Foram relaxadas pois: a) Se e então Se e então 23

23 b) Se Se então então Consequentemente relaxou-se o conjunto das restrições (ampliou-se esse conjunto), como é visto na figura 8. Figura 8: Conjunto de soluções ampliado Fonte: Os autores O Método Simplex duas fases resolve o problema de programação linear relaxado (ou auxiliar) até zerar as variáveis artificiais (Fase 1), obtendo assim uma solução factível para o problema de Programação Linear inicial, podendo ser a solução ótima caso não exista custo relativo negativo (Fase 2). Observações: 1) O Problema de Programação Linear inicial tem solução factível se as variáveis artificiais se anularem. Problema de Programação Linear inicial na forma padrão: minimizar sujeito a (1) Problema de Programação Linear relaxado: minimizar sujeito a (2) Problema de Programação Linear inicial tem solução ótima se, e somente se, De (1) tem-se 24

24 De (2) tem-se Então: se, e somente se,. 2) Seja o problema original de maximização ou de minimização, o problema auxiliar sempre será de minimização; 3) O problema auxiliar é sempre viável (sempre admite solução); 4) Se atingirmos a solução ótima com as variáveis artificiais diferentes de zero, portanto com o valor da função objetivo artificial diferente de zero, o problema original é um problema inviável. A função objetivo artificial é formada pela soma das variáveis artificiais, ou seja: com 4 Resultados e discussão Esse tópico se destina à explicação detalhada do código resultante da execução do presente trabalho. Nele, serão explicadas linha a linha todas as ações do algoritmo proposto para a resolução de problemas de otimização via simplex. A todo instante, o leitor será remetido ao Apêndice, que contém todo o código na íntegra. Para utilizar a função simplex, o usuário deve informar primeiramente os coeficientes da função objetivo na forma de vetor denominado ob, no comando matrix os coeficientes das restrições denominado cr seguida da ordem da matriz, um vetor contendo as restrições denominado r, um vetor direcao informando sequencialmente se as restrições são do tipo " ", " " ou "=" se é um problema de maximização pelo comando lógico true ou false em maiúsculo pelo comando max. Além disso, o usuário poderá optar pela resposta final, na qual ele terá três opções de saídas da mesma, sendo: saida=1 - visualização solução ótima sem os quadros da iteração; saida=2 - visualização do último quadro resposta; saida=3 - visualização de todas as iterações até a solução ótima. 25

25 Caso o usuário não insera nenhuma destas opções o código imprimirá como default a saida=3. Dessa forma, o usuário roda a função simplex da seguinte maneira: simplex(ob, cr, r, direcao, max, saida), para a visualização da resolução de um problema de programação linear. Para apresentação e visualização da utilização da função simplex, vamos ilustrar um exemplo inicialmente de problema de maximização que contenha somente restrições do tipo " ". Figura 9: Introduzindo os valores do problema de maximização Fonte: Os autores O código se inicia com a criação de uma função auxiliar, capaz de criar a matriz identidade de ordem n. Tal matriz será necessária mais adiante, no programa. O código dessa função pode ser visto nas linhas de 1 a 5 do Apêndice. A partir destes dados o R percorrerá o código da função simplex nas linhas 1 a 17, e nas linhas 7 a 12 verifica se há alguma restrição negativa (linha 7), se isso ocorrer na inequação, a desigualdade mudará se for " " passa a ser " " (linhas 8 e 9) e vice-versa, assim os coeficientes da restrição e a restrição são multiplicados por menos um (linhas 10 e 11), resumindo as equações e/ou inequações são multiplicadas por menos um. Esse caso foi verificado através de um problema testado durante a segunda parte da programação, problemas de minimização, em que é feito este processo. Desta forma foi orientado pela co-orientadora Andrea Cardoso em que todos os casos de restrição negativa a equação/inequação devem ser transformadas. Após esta verificação, na parte verificando a dimensão da matriz de restrições, o código irá criar a matriz para o quadro inicial, em que o número de restrições (nr) será a dimensão das linhas da matriz e o número de variáveis (nv) a dimensão das colunas através dos coeficientes de restrição (cr) informado pelo usuário (linhas 13 e 14). Nas linhas de 15 a 20 é feita a contagem de sinais "=", " " e " " para determinar quantas variáveis de folga, de excesso e artificiais serão necessárias. 26

26 Por ser um problema de maximização com restrições de " " a função simplex irá percorrer o código a partir linha 58 onde é verificado se as direções informadas estão de acordo com um problema de maximização, se ao verificar o vetor direção o número de = (ni) e o número de (mi) forem iguais à zero, ou seja, não constar nenhuma dessas restrições nesse vetor, confirma que é um problema de maximização e percorre somente esta parte do código. A partir da linha 24 é feito um quadro inicial com as informações dadas pelos usuários, sendo elas: a linha da função objetivo (ob) já transformada, as linhas dos coeficientes das restrições (cr) e coluna das restrições (r), já contendo as variáveis de folga. Para a construção deste quadro é requerida a função auxiliar identidade (Id), para criar a matriz identidade de acordo com o número de restrições. Cada parte do quadro foi colado juntamente com a matriz identidade e com um vetor numeric de zeros de acordo com o número de restrições, como ilustrado na Figura 10. Figura 10: Quadro inicial com todos os dados inseridos pelo usuário Fonte: Os autores A partir deste quadro, é feita uma lista, pois no software o comando lista oferece uma estrutura em que há possibilidade de agrupar dados diferentes (numérico, matrix, vetor, caractere, etc). Logo, ao inserir dados como a função objetivo que é um vetor, os coeficientes das restrições como matrizes e as restrições como vetor, foram agrupados juntamente com um vetor de zeros e a matriz identidade, e são colocados os nomes das linhas e colunas, permitindo também a iteração entre os quadros a partir do algoritmo simplex. Na lista foi atribuído para variáveis de folga, z para função objetivo, para variáveis e b para restrições (linhas 61 a 64), para colocar os índices nos nomes das variáveis de folga e variáveis será feito de acordo com o número de restrições (nr) e número de variáveis (nv) verificado pela dimensão da matriz (linhas 13 e 14), respectivamente. 27

27 A iteração do procedimento de otimização gera os quadros parciais do simplex (até seu quadro final) e alimenta a lista que poderá ser impressa pelo usuário ao final do processo (linhas 65 e 66). Para identificação da variável que entra e sai do quadro inicial para iteração do algoritmo simplex, esta ocorre nas linhas 67 e 68 onde a variável que entra (var.entra) da base é o índice de menor valor da linha da função objetivo já transformada, e em seguida é feita a divisão (div) entre a coluna das restrições pela coluna da variável que entra até a linha da função objetivo, assim o mínimo dessa divisão e sendo ela positiva vai ser a variável que sai (var.sai). Logo a primeira iteração é feita pelo escalonamento, em que após a identificação dessas variáveis onde os nomes são trocados, ou seja, a variável que entra na base ficará no lugar da variável que sai (linhas 71 a 74). A partir daí, o escalonamento será efetuado primeiro com a divisão da linha da variável que sai pelo número pivô na intersecção da linha da variável que sai e coluna da variável que entra. No exemplo em questão, a linha será dividida por 3. Após esta divisão, o escalonamento será desta linha pivotal (linha.esc) pelas demais linhas do quadro (linha 75 a 79). Assim o processo de escalonamento será percorrido enquanto houver na linha da função objetivo algum coeficiente negativo, caso não tenha mais a iteração encontrou a solução ótima aparecendo a solução de acordo com o solicitado no início. Para problemas de maximização que apresentem restrições do tipo e/ou = (linhas 23 a 57), podendo também conter restrições do tipo o código é resolvido através do Método Simplex das Duas Fases. Após o usuário introduzir as informações do problema no R console, conforme explicado anteriormente, é percorrido no código as linhas 13 a 21 para obter as dimensões dos componentes do quadro inicial. Nesta parte a partir do número de desigualdades e igualdades é que serão introduzidas as variáveis de folga, excesso e artificiais. Através da linha 23 é feita a verificação do vetor direção em que se o número de = (ni) e o número de (nmi) forem maiores que zero ele percorrerá esta parte do código para resolver por duas fases. Além disso, o problema exemplificado a seguir contém restrições negativas. Para situações como essa, o código possui uma proteção (linhas 7 a 12) que evita problemas de não convergência. Na fase 1 é feito o quadro inicial. Neste quadro estão contidos: (1) a matriz dos coeficientes de restrição; 28

28 (2) a matriz identidade que são as variáveis de folga e excesso, para os casos " " e " ", respectivamente; (3) a matriz identidade das variáveis artificiais; (4) vetor coluna das restrições juntamente com o número zero; (5) a linha da função objetivo transformada; (6) e (7) dois vetores linhas de repetição do número zero; (8) e (9) a linha da função objetivo artificial que são vetores de repetição do número zero de acordo com o número de variáveis, variáveis de folga e excesso e um vetor linha de repetição do número um de acordo com o número de variáveis artificiais mais o número zero. Figura 11: Esquema para montar o quadro inicial Método duas fases Fonte: Os autores Para construir a matriz 1 do esquema foram criadas a partir da função auxiliar mencionada neste relatório. Porém, neste caso precisaríamos somente de uma fração desta matriz, logo nas linhas 24 a 26 primeiramente é criada uma matriz identidade de acordo com o número de restrições, em seguida fi percorre o vetor direção e se houver e cria a matriz de acordo com a quantidade e sendo essa linha multiplicada por menos um novamente percorre o vetor direção e verifica se tem =. Caso tenha essa matriz identidade será particionada de acordo com o número de iguais que tiver. Após a criação desta matriz nas linhas 27 a 31 ocorre o agrupamento das partições deste quadro de acordo com as informações passadas pelo usuário. Assim, é feita uma lista desse agrupamento, onde são colocados os nomes das variáveis em questão, onde neste caso foi atribuído para variáveis artificiais. Observe a figura 12 para visualização deste quadro inicial. 29

29 Figura 12: Quadro inicial com todos os dados inseridos pelo usuário Fonte: Os autores Na fase 1, nas linhas de 32 a 38, é criada a primeira posição da lista de quadrados do simplex. Nesse momento, são nomeadas todas as colunas, de acordo com o número de variáveis originais presentes no problema, o número de variáveis de folga e excesso (slacks) e variáveis artificiais. Em seguida, são detectadas quais variáveis começam na base e seus nomes são atribuídos às linhas. Essa detecção é feita verificando-se quais colunas são formadas apenas pelos números 1 e 0, cuja soma é igual a 1, ou seja, são vetores unitários (linha 37). A primeira iteração desta fase ocorre em anular os coeficientes na função objetivo artificial (linhas 39 a 41). Isso é feito pela verificação nas colunas das variáveis artificiais onde obtiver zeros e uns, multiplicar a linha por menos um e somar com a linha da função objetivo artificial. Figura 13: Zerando os coeficientes das variáveis artificiais na linha da função objetivo artificial (za) Fonte: Os autores 30

30 Para o escalonamento, verifica-se primeiramente a entrada e saída das variáveis, a que sairá da base será a que tiver o menor coeficiente negativo (linha 45). Em seguida, será verificado o minímo da divisão da coluna das restrições pela coluna da variável que deverá entrar na base (linha 46) e assim definir qual sairá da base. Assim ocorre divisão pelo número pivô das linhas (mesma maneira para o caso anterior) e o escalonamento, escolhendo a linha pivotal (linha.esc) pelas demais linhas. Esse processo de escalonamento da fase 1 deverá ocorrer enquanto houver variáveis artificiais na base (linha 42). Assim o processo de saída e entrada da base será feito analisando para a função objetivo artificial. Quando não houver variáveis artificiais na base é retirada a linha da função objetivo artificial e as colunas referentes às variáveis artificiais. Isso é verificado na linha 54. Assim o processo de resolução para este caso segue para a fase II, onde o código percorre a parte de resolução de problemas com casos de " " (linhas 66 a 77), sem a necessidade de criar o quadro inicial, somente é feito o processo de iteração até a solução ótima. Na figura 14 o processo é descrito. Figura 14: Fase I e Fase II respectivamente Fonte: Os autores 31

31 O que ocorre na função simplex para problemas de minimização é que a função objetivo é transformada na linha 22, quando max=false, a função objetivo é multiplicada por menos um e assim torna-se um problema de maximização, e na solução final a solução ótima encontrada é multiplicada por menos um. No processo de programação dos tipos de saída da solução do problema (linhas 78 a 93), foi criado a partir do último quadro da iteração, onde é feita uma matriz em que é o vetor coluna do quadro final contendo as restrições (b) até a linha da função objetivo. Para problemas de minimização, a solução final (z) é multiplicada por menos um (linha 81). Logo, o código verifica se há variáveis de folga/excesso na base através da interseção entre os nomes das variáveis que estão na base com um vetor (q) que foi criado inicialmente para colocar nomes nas variáveis de folga/excesso (linha 21). Caso haja, elas são retiradas pois não fazem parte da solução final. Logo a solução final será somente as variáveis (x) que estão na base. Em um problema em que o número de variáveis é maior que o número de restrições, há uma proteção em que se as demais variáveis que não estão na base fazem parte da solução final e são iguais a zero. Por fim, após esta verificação a solução final é ordenação de todos as variáveis (x) e a função objetivo. Figura 15: Solução com saída 1 e solução com saída 2 respectivamente Fonte: Os autores 32

32 Figura16: Solução com saída 3 Fonte: Os autores Ao testar exemplos para visualização da função simplex, foram detectados alguns problemas na programação. Nas linhas 25 e 26, ao criar a fração da matriz identidade foi identificado um erro ao programar foi testado com um problema que tinha uma equação de restrição =. Ao testar problemas que não tinham essa restrição, surgiu que, ao fazer a fração da matriz, ela deixava de ser matriz e passava a ser vetor linha. Assim para construir o quadro inicial necessitava-se de ser matriz, e ao executar esta parte da função era identificado um erro lógico. Portanto, na linha 25 foi programado que se no vetor direção tiver algum = ele deverá retirar de acordo com a quantidade, as colunas dessa matriz identidade, senão a matriz continuará da mesma maneira, logo essa construção da fração da matriz (fi) passará a ser reconhecida como matriz. Nas linhas que identificam as variáveis de saída e entrada (linhas 43 e 44), foi identificado em um problema que havia empate na variável de saída da base, isso ocorreu durante a programação e a função escolhia aleatoriamente, sem programar, mas devido ao surgimento desse 33