TEORIA DAS TENSÕES UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS PROF DR. NILSON TADEU MASCIA

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE AMPINAS FAULDADE DE ENGENHARIA IVIL,ARQUITETURA E URBANISMO Departamento de Estruturas TEORIA DAS TENSÕES PROF DR. NILSON TADEU MASIA AMPINAS, JANEIRO DE 006

2 Índice 1. Introdução Definição de Tensão.... Estado simples ou linear das tensões Representação Gráfica do Estado simples de tensão - írculo de Mohr Estado Duplo ou Plano de Tensões Tensões Principais Tensões máimas de cisalhamento (ou tangenciais) Eemplo nº Representação Gráfica do Estado Plano de Tensões írculo de Mohr onstrução do círculo de Mohr para o estado plano de tensões Eercício nº Estado triplo ou geral ou triaial de tensões Eercício nº Aplicação do Estudo de Tensões em Vigas Bibliografia

3 TEORIA DAS TENSÕES 1. Introdução 1.1 Definição de Tensão O conceito de tensão se origina do conceito elementar de pressão, como, por eemplo, a hidrostática que consiste numa força normal por unidade de área. Por tensão, entende-se uma etensão dessa idéia para os casos em que a força por unidade de área pode não ser, necessariamente, normal. omo ilustração do conceito de tensão, considera-se um corpo sólido, em equilíbrio, sujeito a um certo número de ações (forças eternas), conforme a Fig. 1. Fig. 1 - Sólido em equilíbrio Isolando-se uma parte deste sólido, conforme a Fig., o equilíbrio é garantido pelo princípio da ação e reação (Lei de Newton), por se tratar de uma parte de um sólido em equilíbrio. Fig. - Ação e reação no sólido

4 De maneira geral, pode-se dizer que uma área elementar ds é responsável por uma parcela df daquelas forças transmitidas (ação e reação). Na Fig. 3 é mostrada a parcela df segundo suas componentes nos eios,, z, com "origem" no centro da área do elemento ds. O sistema Oz é cartesiano. Fig. 3 - Decomposição de força Dividindo-se as componentes da força pela área elementar ds, definem-se as seguintes grandezas: z lim ds 0 dfz ds df z lim (1) ds 0 ds z lim ds 0 df ds como pode ser ilustrada na figura 4. Fig.4 - Tensões num sistema de referência. 3

5 onvém observar que, as definições epressas por (1) são colocadas na forma de um processo limite, e essa colocação parte da suposição da eistência de continuidade do corpo sólido. Outro fato é que df pode variar de direção e de sentido ao longo da área S, porém, na passagem ao limite tais características ficam definidas no ponto em consideração (continuidade). A grandeza z é chamada tensão normal e as grandezas e são chamadas tensões tangenciais (cisalhantes). Nota-se que nestas grandezas os índices tem o seguinte significado: ij onde, i indica o plano normal (tensão normal) j indica o eio (sentido) da tensão tangencial.. Estado simples ou linear das tensões onsiderando-se, agora, uma barra sem peso tracionada por uma força aial F igual 1 A, conforme a fig. 5. Fig. 5 - Barra tracionada Numa seção transversal genérica aparecem tensões normais 1, necessárias para manter o equilíbrio. Num corte oblíquo α,, temos a seguinte situação: Fig. 6 - Tensões num corte oblíquo. 4

6 Na seção temos que a força A 1 (equilíbrio) deve ser igual a força interna agindo em. Interessante observar que a área vale, agora A/cos α. Pode-se, também, eprimir a tensão na seção pelas componentes normal e a componente tangencial, como mostra a fig. 7. Fig. 7 - omponentes de tensão Aplicando-se a condição de equilíbrio: somatório das forças igual a zero e considerando-se os eios das fig. 7 b) tem-se: eio - : como: e: vem: α α α α α α α + α α + α α α + 5

7 e daí: eio - : + α α α α α (I) como: senα cosα senα vem: α (II) Estas duas fórmulas dão a variação das componentes de tensão em função da posição do plano de corte (1-3). Estas fórmulas permitem uma representação gráfica muito útil, chamada círculo de Mohr (1895), apresentadas a seguir..1 Representação Gráfica do Estado simples de tensão - írculo de Mohr. Um estudo simples mostra que as equações I e II representam uma circunferência escrita na forma paramétrica (ou seja, em função de α). Assim: podem serem escritas da seguinte maneira: + α α + α α α Elevando-se ao quadrado e somando-se tem: + α + α + (III) omparando-se esta equação com a da circunferência, escrita num sistema de eios (,) resulta: + 6

8 sendo: a e b constantes que representam a posição do centro da circunferência e o raio, respectivamente, resulta: Desta forma, tem-se uma circunferência de ordenadas ( 1, 0 ) e o raio, cuja representação num sistema de eio e fica: Fig. 8 - Representação de tensões através do írculo de Mohr Desta forma análoga, para um ponto genérico T tem-se T( ), onde a abcissa corresponde a tensão e a ordenada a tensão. Podemos, então, tirar importantes conclusões relativas ao estado de tensão em um ponto. 1. A maior tensão normal possível é 1 para α 0;. A maior tensão tangencial possível é 1 e ocorre quando α ± 45º 3. O raio do círculo vale 3. Estado Duplo ou Plano de Tensões onsidera-se, agora, um estado de tensão mais geral num elemento onde não só atua tensão normal em uma direção mas em duas direções. Tal situação é conhecida como tensões biaiais. Distinguindo-se, assim da tensão em uma direção, ou uniaial. 7

9 As tensões biaiais aparecem em análise de vigas, eios, chapas etc. No momento, o interesse é determinar as tensões normais e tangenciais num dado plano de um estado de tensão. Seja, então, uma chapa retangular com espessura unitária com tensões normais e tangenciais atuando sob esta chapa com uma convenção de sinais definida seguindo a Fig. 9 Fig. 9 - Tensões no estado Plano Tensão Normal: > 0 TRAÇÃO < 0 OMPRESSÃO Tensão Tangencial: Escolhe-se uma face, se for de tração e concordar com o eio ou para ser positivo. aso seja de compressão e concordar com o eio ou, para ser positivo, terá de discordar do sentido positivo de ou de. De um modo geral, o objetivo do estudo é obter as tensões normais e/ou tangenciais em um plano genérico que corta a chapa numa direção qualquer. Graficamente temos: 8

10 Fig Tensões no estado Plano Fig Tensões no estado plano Obs: Teorema de auch: este teorema garante a igualdade de tensões tangenciais em planos normais entre si. Assim por equilíbrio de momentos no.g. da chapa Analisando agora o equilíbrio de forças na região, pela transformação das tensões atuantes em forças temos a seguinte situação: F 0 da da cosθ cosθ + da θ θ + θ θ 9

11 da dacos θ + da sen θ + da sen θ ou: θ + θ + θ ou: + θ θ + + θ e finalmente: + ( ) + ( ) cos θ + sen θ Analogamente: θ θ θ θ + θ θ θ θ ou: sen θ sen θ da da + + (cosθ senθ da ) ou: sen θ + cos θ Estas equações são as epressões gerais para tensão normal e tangencial, respectivamente, em qualquer plano definido pelo ângulo 0 e provocadas por um elenco de tensões conhecidas. Essas equações também podem ser retratadas como as epressões de transformação de tensão de um conjunto de eios coordenados a outro (no caso (.) para ( e ). Sinteticamente: conhece-se e e se quer:, e Para o cálculo de utiliza-se o ângulo: 10

12 Fig. 1 - Tensão α θ + 90º, substituindo-se na equação de. Assim: θ + + θ + + θ + ou θ + θ θ e finalmente: + ( + ) + cos θ sen θ Pode-se colocar as epressões de transformação de coordenadas na forma matricial, escrevendo: onde: 11

13 θ θ θ θ sendo [M] a matriz de transformação e [M] T a sua transposta. 4. Tensões Principais Freqüentemente, no estudo das tensões, o interesse está voltado para a determinação da maior e da menor tensão, dadas pelas epressões de e (caso plano) e, também, em que planos ocorrem tais tensões. Para isto se faz: ou: 0 sen tgθ 1 θ + cos θ 0 d 0 cos dθ tgθ 1 θ + sen θ 0 assim concluímos que: θ 1 é o ângulo que determina qual o plano onde atuam as tensões máimas. θ 1 pode ser dois valores e estes se defasam de 180 º. Num certo valor de θ' 1 atua a máima tensão normal e noutro valor θ'' 1 defasado de 90 º atua a mínima tensão normal. Para saber qual o plano em que atua uma determinada tensão, por eemplo 1, basta substituir + na fórmula + cos θ + sen θ, o valor de θ por θ 1 e determinar o e comparar com 1 e, se der 1 então θ 1 indica o plano de 1. Para θ 1 que determina as máimas tensões normais as tensões tangenciais são nulas. 1

14 Os planos em que atuam as máimas tensões são chamados de planos principais de tensão e as tensões máimas são chamadas tensões principais. Análise Gráfica de tg θ 1 Fig Análise gráfica de tg θ 1 Assim: 1 / 4( ) + r sen θ ' sen θ 1 ' 1 (1/ 4( ) + r cos θ ' cos θ' 1/ ( ) (1/ 4( ) + 1/ ( ) r substituindo-se em + + cos θ + sen θ vem: ( ) r + ( ) r ( ) r + r 13

15 1 1 [( ) + ] (( ) + r ( ) + ) onde: r ( ) + daí: + ± ( ) + São as tensões principais. e: 1 - tensão máima - tensão mínima 5. Tensões máimas de cisalhamento (ou tangenciais) Fazendo-se um estudo análogo ao das tensões principais, a tensão tangencial em qualquer plano θ é dada por: sen θ + cos θ d se fizermos: 0 dθ temos que: tg θ ( ) assim θ indica qual plano a tensão tangencial é máima ou mínima. oncluímos, desse modo que: θ tem dois valores e chamando de θ' e θ'', estes valores estão defasados de 90 º. omparando-se tg θ 1, e tg θ temos que: θ θ θ θ 14

16 daí: θ 1 e θ diferem de 90 º. Assim os planos de máima tensão tangencial estão a 45 º dos planos principais de tensão. Fig Tensões máimas de cisalhamento. substituindo-se θ em tem-se: ma min ( ) + ( ) Dessa forma a máima tensão tangencial difere da mínima apenas pelo sinal. Do ponto de vista físico esses sinais não tem significado e por esta razão a maior tensão tangencial será chamada de tensão máima tangencial ou de cisalhamento. Ao contrário das tensões principais, para as quais não eistem tensões de cisalhamento (tangenciais), as máimas tensões de cisalhamento atuam em planos não livres de tensões normais. Tomando-se a equação: + + cos θ + sen θ e aplicando 15

17 Fig Análise gráfica de tensões normais e tangenciais Assim: +! θ ± "! θ " ±! r r temos: ( + ), tensões normais. Obs1: Determinação de ma em tem-se que: ( ) + r e: ( ) / r + / r 1 ( ) [ + ] r 16

18 se:!! + +! Obs: Se 1 e são tensões principais então: ( ) ( ) + 1 ( ) + ma 6. Eemplo nº 1 Um elemento está sujeito as seguintes tensões planas: 160 kn/cm, 60 kn/cm e 40 kn/cm, como mostra a figura: alcular: Fig Estado de tensão no elemento. a) as tensões e os planos principais b) as tensões que atuam no elemento a 45 º c) as tensões máimas de cisalhamento Mostrar cada resultado em um diagrama. SOLUÇÃO: Em primeiro lugar suponhamos ser este elemento de uma chapa ou de uma viga para um melhor entendimento. 17

19 a) Definição dos planos principais: Utilizando-se de: θ, resulta que: Tensões Principais 1) $ θ& & θ # % % θ&& & θ + θ + θ θ θ& & % & + % & + $ & 174,0 kn / cm ) θ θ&& & % & + % & + $ & 45,96 kn / cm onclusão: 1 174,0 kn/cm 45,96 kn/cm Fig Tensões e direções principais 18

20 b) as tensões no elemento a 45 º Utilizando-se a mesma epressão de a) b1) para θ 45º % $' + % $' + $ $' 150 kn / cm para θ 135º % ' + % ' + $ ' 70 kn / cm b) θ + θ com θ 45º kn / cm Esquematicamente: c) Tensões máimas cisalhantes (tangenciais) Fig Tensões à 45º tg ( ) θ (160 60) 40 1,5 19

21 daí: θ 18 40' θ ' 64 0' θ '' 154 0' 160 cos 64 0' + 60 sen 64 0' + 40 sen 64 0' 110 kn / cm 110 kn / cm sen 18 40' + cos 18 40' 64 kn / cm Esquematicamente: Fig Tensões máimas de cisalhamento. 7. Representação Gráfica do Estado Plano de Tensões írculo de Mohr. Neste item serão reeaminadas as equações de e a fim de interpretá-las graficamente. Os objetivos básicos são dois: primeiro, com a interpretação gráfica dessas 0

22 equações será atingido uma melhor compreensão do problema geral da transformação de tensão; segundo, com a ajuda da construção gráfica, é possível obter, freqüentemente, uma solução mais rápida para os problemas de transformação de tensão. Do mesmo modo, sua análise do estado simples de tensão, as equações: + ( ) + cos θ + sen θ ( ) sen θ + cos θ representam a equação de um "círculo" (circunferência) na forma paramétrica em termos de θ, num sistema (, ). Daí: + ( ) cos θ + sen θ ( ) sen θ + cos θ Elevando-se ao quadrado e somando-se as equações acima tem-se: + + ( ) ( ) + Portanto: + Posição do centro do "círculo":, 0 ( ) Raio do círculo ao quadrado: + R Temos num sistema de eios (, ) a representam gráfica, através do círculo de Mohr, das tensões normais e tangenciais num plano genérico θ. Esquematicamente: 1

23 Fig. 0 - Representação do círculo de Mohr Assim, para um círculo de Mohr com base nas advindas pela figura acima, parte (a), temos: - O centro está totalizado em [( + )/,0] e raio igual a r calculado. - O ponto T do círculo corresponde às tensões na face direita do elemento dado, quando θ 0º. Para esse ponto e. Da figura (b) no triângulo TJ temos que TJ /[( ) / ], portanto, o ângulo TJ é igual a θ I 1 - om θ 90º passa a direcionar-se na vertical e aponta para esquerda. om estas coordenadas e -, temos o ponto B do círculo As coordenadas T e B satisfazem a equação do círculo. O mesmo procedimento pode ser feito para outros pontos correspondentes e outras tensões. Dessa forma, podem ser realizados importantes conclusões, enumeradas a seguir, do círculo de mohr, relativas ao estado plano de tensões em um ponto: - A maior tensão normal possível é 1 ; a menor é, ambas para θ 0º e com a tensão tangencial igual a zero. - A maior tensão de cisalhamento ma é numericamente igual ao raio do círculo ( 1 - ) / - Se 1 o círculo de Mohr passa a um ponto, e não se desenvolve tensões tangenciais. - Se + 0 o centro do círculo de Mohr coincide com a origem de coordenadas -, e eiste um estado de cisalhamento puro - A soma de tensão normais em quaisquer dos planos mutualmente normais é invariante, isto é, constante (INVARIANTE DE TENSÃO)

24 8. onstrução do círculo de Mohr para o estado plano de tensões Regras Práticas, conceito de polo e determinação de cálculo de tensões em um plano genérico. Seja o seguinte estado plano de tensão: Fig. 1 - Estado de tensão Para traçar o círculo de Mohr, via regra prática, considera-se os seguintes itens: 1 - Estabelecer um sistema de coordenadas do tipo: - eio horizontal - eio vertical sem circulação - olocar no sistema de eio, os pontos T e T cujas coordenadas são os valores (, ), (, ) da seguinte maneira: a) Percorrendo-se o elemento no sentido de encontraremos o primeiro par (, ) e marca-se a abcissa de de acordo com o seu sinal ( > 0 tração, < 0 compressão). A ordenada deve ser alocada para cima ou para baio conforme orientação no elemento. Temos então T b) Pecorrendo-se o elemento no sentido de giro de vamos encontrar outro par. (, ) ou seja o ponto T. Aloca-se de acordo com seu sinal e será alocado em posição oposta a do ponto T em relação ao eio. 3. om T e T acham-se o centro da circunferência e a desenha. Esquematicamente: 3

25 Fig. - írculo de Mohr 4. Posição do Polo Polo é um ponto P do círculo de Mohr, que se por este ponto se traçar uma reta paralela a direção de um plano qualquer no elemento em questão, onde se deseja saber as tensões atuantes. Esta reta cortará o círculo num ponto, que representa e atuantes naquele referido plano. A localização de P é simétrica a T ou T, se este ou aquele for o primeiro par. Regra Prática Escolhe-se um eio paralelo a uma das bordas do elemento e percorre-se, no sentido do eio deste eio, o desenho do elemento. O primeiro encontrado indica a ordenada a ser colocada para se obter T, o polo P está em posição oposto. 4

26 Fig. 3 - Eemplo: Determinação das P e das direções principais. No esquema precedente pode-se determinar as direções principais através do ponto P. Uma eplicação geométrica desta teoria se baseia no seguinte desenho. Fig. 4 - Direções principais 5

27 5. Pode-se colocar os elementos importantes do estado plano da tensão no desenho construído, ficando então. Fig. 5 - Elementos importantes no círculo de Mohr Obs: onsiderações a respeito do Polo Adota-se sem sinal ou sentido. Para < 0 (compressão) pode-se adotar um eio com um determinado sentido. Fig. 6 - Orientação de eios oloca-se o ponto T(- ; ) seguindo a orientação do desta face(1). oloca-se então o Polo P em posição simétrica com relação ao eio. A seguir coloca-se o ponto T de tal maneira que a distância T - T seja o diâmetro do círculo. 6

28 Traça-se o círculo. Por P traça-se retas até os pontos de interseção com do círculo com o eio. Nestes pontos tem-se 1 e os planos das direções principais. Fig. 7 - Posição do polo. Face (1). O ângulo α 1 é tirado no sentido anti-horário da vertical por 1 até a reta P-1. As tensões 1 e são normais a estas respectivas retas. Face O eio tem sentido de < 0 Fig. 8 - Posição do polo. Face (). Face 3 tem sentido para cima pois >0 (tração) 7

29 Fig. 9 - Posição do Polo. Face (3). Face 4 tem sentido para baio pois > 0 (tração) Fig Posição do polo. Face (4) Notar que qualquer sentido de entrada para se desenhar o círculo de Mohr (qualquer face) nas direções das retas P-1 e P- são sempre paralelas. Para o elemento de chapa tem-se, desse modo, o seguinte desenho: Fig onclusão final. 8

30 Sob esta ótica, basta escolher um sentido de entrada no elemento, geralmente aquele em que se conhece as tensões normal e tangencial, e desenha-se o círculo de Mohr. 9. Eercício nº onsiderando-se os seguintes estados planos de tensão. Fig. 3 - Estados de tensão Determinar as tensões principais e os planos que elas atuam. Solução: a) utilizando-se as epressões do estado plano de tensões: 1 + ± ( ) + Para o estado A 1 0,5 1,0 ± 0,5 + 1,0 ( ) + 0,6 0,71 1,1 (kn / cm ). 0,6 θ1 38,65 tg θ 1 0, 8 e θ ' 19, 3 0,5 + 1,0 θ '1 19 1,3 Para o estado B 1 1 > 1,6 + 0,8 ± ( 1,6 0,8) + 0,3 0,83 kn / cm < 1,63 kn / cm 9

31 tg 0,3 θ 1 0,5 θ 1 14, ,8 θ1 7,01 θ1 '' 83 1 b) Utilizando-se o írculo de Mohr * Para o Estado A Fig Tensões no Estado A Obs: Para saber se θ 1 indica o plano de atuação de 1 ou, basta substituir em e comparar se ou Pelo círculo de Mohr o resultado é imediato. 30

32 Fig Tensões no Estado B. Eercício nº 3 Nos cortes indicados ocorrem as seguintes tensões normais I 10 kn / cm II 0 III 10 kn / cm alcular: a) tensão tangencial no corte II b) os ângulos que os cortes principais formam com o corte I 31

33 Fig Planos de cortes Solução: Para se determinar as tensões normais e tangenciais em qualquer plano que passe por um ponto, utiliza-se no caso plano das tensões, as epressões: + ( ) + cos θ + sen θ ( sen θ + ) cos θ Analisando-se os dados do problema e aplicando-se as epressões tem-se: Do corte II tem-se: Fig orte II (10+ ) (10 ) 0 + cos 60 + II sen 60 (10+ ) (10 ) (1) 3

34 Do corte III tem-se Fig orte III (10+ ) (10 ) III 10 + cos10 + sen10 (10+ ) (10 ) ( 1) III _() De (1) e () tem-se 10 kn / cm e kn / cm Temos o estado de tensão representado por: Fig Estado de tensão Aplicando-se a epressão de ( tem-se: 33

35 + II ( ) cos 60 sen 3 II 11,5 kn / cm e as direções dos cortes principais: ou: θ 1 ' -105 θ 1 '' 75 ( 10 3 / 3) 3 tgθ1 θ1 30º θ ' Fig Direções principais. Portanto: θi D.P 15 ou θii-op 105 (θii - DP 45 ou θii - DP 75 ) São os ângulos do corte I com as direções principais Obs. Utilizando o círculo de Mohr Resolve-se facilmente para qualquer corte na região estudada W 34

36 Fig írculo de Mohr Eercício nº 4 Para a viga da figura, determinar as tensões principais nos pontos 1 e indicando os planos onde elas atuam. Estes pontos estão na seção transversal do apoio B. 35

37 Fig Estrutura analisada Solução: A obtenção das tensões (normal e tangencial) nos pontos 1 e da seção transversal do apoio B, eige a determinação do momento fletor e da força cortante nessa seção obtidos a seguir: Fig. 4 - Equilíbrio de forças M A 0 RB 00 0, R B 15, 65 kn F 0 RA + RB 0,1 50 RA 5 15, 65 R A 9, 375 kn aracterísticas geométricas da seção transversal Momento de Inércia e momento estático I z cm 4 S 1 0 S ,5 175 cm 3 36

38 Fig Diagramas M e V. Fig Seção transversal. Ponto 1 álculo das Tensões (1) VB.S biz 0 MB Iz ( 1) Y 0, kn / cm A tensão (1) será negativo porque o ponto 1 está abaio da linha neutra, região da seção em que MB causará compressão (ver diagrama de momento fletor) 1 0,038 ± 0,038 ( ) ,038 kn / cm Estado de Tensão 37

39 Fig Estado de tensão. Ponto Fig Estado de tensão V ( ) B M S ,050 kn / cm b Iz Mb 15 4 ( ) 0,0138 kn / cm I z O estado de tensões em torno do ponto pode ser representado por um elemento de área como se mostra na figura e respeitados as convenções de sinais para esforços solicitantes e tensões, resultam os sentidos indicados. Estado de Tensão no ponto Fig Estado de tensão. 38

40 Fig Estado de tensão. 1 0,0138 ± 0,0138 ( ) + (0,050) 0, ,0435 kn / cm kn / cm Obs.: > 0 e V < 0, isto ocorre devido a convenção de sinais adotado para tensão tangencial e força cortante írculo de Mohr Ponto 1: não é necessário determinar as direções principais, visto que, (1) e 0 Ponto : 0,050 tgθ 1 7,4 0,0138 θ 1 41,07 Fig írculo de Mohr 10. Estado triplo ou geral ou triaial de tensões Diz-se que um elemento está em estado de tensões triaial quando se encontra sujeito a tensões,, e z. A figura a seguir mostra um elemento d, d, dz retirado de um sólido solicitado a este estado de tensão. 39

41 Fazendo abstração das forças volumétricas e das diferenciais de tensão, o equilíbrio permite concluir que os respectivos vetores de tensão, em cada uma das seis faces do elemento, serão iguais em valor e de sentido oposto. (Equilíbrio de forças). R Fig. 50 Estado triplo de tensões. A notação usada é a mesma do caso plano de tensões. O equilíbrio do elemento é epresso por 6 equações Já utilizamos 3 condições ao adotarmos valores iguais em faces opostas. Ainda restam as três condições de nulidade de momentos aplicados ao elemento. Assim: e analogamente para, z e z, z tem-se que: ) *) +),-. Este teorema de igualdade recíproca das tensões tangenciais, ou Teorema de auch reduz o nº de parâmetro que determinam o estado triplo de tensão a 6:,, z,, z e z 40

42 Fig Equilíbrio de tensões A prova da suficiência destes seis parâmetros será vista a seguir. Direções Principais Sendo conhecidos os seis componentes de tensão de um elemento orientado segundo os eios, e z procuramos o vetor de tensão numa face oblíqua. Para isto, estudaremos o equilíbrio do elemento tetraédico da figura. A direção da face obliqua é dada mediante um vetor unitário (,, z) com direção normal ao plano; os cosenos diretores do plano seguem a: + + z 1 chamando-se de da a área da face obliqua do elemento, as outras faces terão áreas da, da e zda. No tetraedo vemos estas representações bem como das tensões. Fig. 5 - Tensões no tetraedro 41

43 Assim tem-se: * tensão total no plano oblíquo t ( t, t, t z) e t + t + tz * No plano obliquo: t + Vamos agora determinar os componentes t,t e tz fazendo-se o equilíbrio de forças no elemento: * Equilíbrio em tda da + da + zzda t + + zz * Analogamente para e z: O fato do vetor possa ser calculado por t, t e tz mostra a suficiência dos parâmetros para representação do estado triplo de tensão. Procuraremos agora um plano onde não há tensões de cisalhamento. A tensão normal referente a direção principal será chamada de, ou seja 1, e 3 no estado triplo. O vetor tensão principal terá o valor e a sua direção coincidirá com a do vetor (normal ou plano) e suas componentes serão, e z. Assim: 4

44 43 Fig Tensão principal fazendo-se: z z z z z z z z z t t t igual ao valor anterior tem-se: z z z z z z z z z (*) ou: ) ( 0 ) ( 0 ) ( z z z z z z z z três homogêneas em equações. Portanto: (,, z) 0 z z z z z

45 A resolução dá uma equação do 3º grau em do tipo: 3 I1 + I I3 0 com: 1 > > 3 ; 1,, 3 raízes. São os autovalores que associados com versores resultam em atuto-vetores, indicando o módulo e o sentido das tensões principais (Planos principais). Os termos I 1, I, I 3 são chamados de invariantes de tensão e valem: I1 + + z I + z + z z z I3 det z z z z z Representação gráfica - írculo de Mohr Uma vez provada a eistência de 1, e 3, não se procurará determiná-las a partir das 6 componentes de tensão. Esta procura é complicada e de pouco interesse prático. Admitir-se-á dado um estado de tensão mediante suas tensões principais e procurar-se-á a representação gráfica do vetor encontrado num plano de direção genérica. Supor-se-á:., como já visto, é a componente de perpendicular ao plano de atuação e a componente tangencial no referido plano, por eemplo, no plano z: z + z Nas direções principais colocamos os eios coordenados X 1, X, X 3 com origem no ponto no qual se estudam as tensões. A direção do plano genérico será determinada mediante o vetor unitário ( 1,, 3) com direção perpendicular ao plano. Os ângulos diretores serão 1,, 3, sendo 1 cosα 1 cosα e 3 cosα 3, com Para obter as componentes do vetos de tensão basta substituir em (*), 1 ; ; z 3 e suprimir as parcelas que contém tensões de cisalhamento, nulas nos planos coordenados dos eios X 1, X, X 3 : t

46 t t A tensão normal pode ser obtida proptando os componentes t 1, t, e t 3 na direção de obtendo: ( t. ) 1 c1 + c 3 c3 + O módulo de é dado por: t t. t t + t1 + t + t3 ou: t Desenvolvendo o sistema formado pelas epressões incógnitas 1,, 3 resulta: 1 t + ( )( 3 ) ( 1 )( 1 3 ) t + ( 3 )( 1 ) ( )( ) t + ( 1 )( ) ( 3 1 )( 3 ) sendo: omo 1 é positivo e o denominador da 1ª equação também o é, resulta em: + ( )( 3) 0 que pode ser escrita como: ( +3 + ) 0 Esta epressão, é a equação resultante de um círculo de raio ( 3) no plano (, ). 45

47 Fig írculo de Mohr Portanto, a desigualdade implica que os pontos (, ) estão situados fora desse círculo. omo é positivo e o denominador da segunda equação é negativo, o numerador também deverá ser negativo, assim: ( 1 3) ( ) levando a pontos (, ) dentro do círculo. Fig írculo de Mohr Analogamente para a 3ª equação ter-se-á: ( 1 ) ( ) Fig írculo de Mohr 46

48 resultando pontos (, ) fora do círculo. Fazendo-se a superposição pode-se afirmar que os pontos T(, ) possíveis, referentes a todos os planos genéricos estão situados na região hachurada da figura abaio: Fig írculo de Mohr Pode-se obter o ponto T graficamente utilizando os ângulos diretores α1 e α3. Fig írculo de Mohr. onstrução Apresenta-se a seguir alguns casos particulares de estado triplo: 47

49 TRAÇÃO SIMPLES OMPRESSÃO SIMPLES ISALHAMENTO PURO Fig írculo de Mohr. asos particulares. Observações no caso geral da solicitação por tensões: a) Seria sempre necessário considerar (a não ser em casos particulares freqüentes) os três círculos, pois o estudo da variação de tensões em um dos três planos pode não eibir as tensões etremas. b) A maioria dos casos de estruturas correntes estarão considerados em normas técnicas, com indicações razoáveis sobre os procedimentos a adotar. onforme foi mencionado em a) há casos particulares freqüentes em que basta o estudo de tensões em um dos planos principais. É o caso das vigas (não vigas parede!). Nelas a solicitação típica será do tipo: Fig Tensões em vigas 48

50 É fácil de ver que mesmo se nos preocupássemos com o estado triplo o outro valor de tensão principal 3 (abandonando a convenção 1 3 ) seria nulo e os dois círculos restantes seriam internos. Então, em casos como este, o estudo das tensões do plano de 1, já fornece tensões etremas (em módulo), tanto quanto. Para certas finalidades, como no caso do dimensionamento ou verificações, usando RITÉRIOS DE RESISTÊNIA, esse fato também será levado em conta, embora pudesse passar desapercebido. O eercício seguinte pretende mostrar os detalhes de como seria a procura de 1,, 3, a partir do conhecimento de,, assim como mostrar outra maneira de rever o que foi feito no chamado "estado duplo" ou "plano de tensões". 11. Eercício nº 5. Seja um prisma de dimensões a, a e a. Solicitando-se este prisma por sapatas conforme a figura (desprezando-se o atrito), determinar a máima tensão de cisalhamento atuante. Fig Forças no elemento Solução: a) Esforços no prisma Fig. 6 - Equilíbrio de forças 49

51 Nó 1: F F 0 N 1 N15 cos 45 0 N15 F / cos 45 N F 1 N15 F Nó : F N 0 N 1 6 F cos45 F 0 N3 N 6 cos 45 F Por simetria : N37 N15 F N 34 N 1 F N 48 N 6 F Esquematicamente: Figura 63 Forças em equilíbrio Este elemento fica sujeito a um estado triplo de tensões. Seria errado supor um estado plano do tipo: (ESTADO TRIPLO EST. DUPLO) No círculo de Mohr seria: 1 F F 0 a 50

52 Fig írculo de Mohr Eercício nº 6 Determinar as direções e as tensões principais no ponto P submetido a: 10 MPa 10 MPa 0 MPa z 0 z 0 z 0 a) Determinação das tensões principais Fig Tensões no ponto Vê-se que neste caso, z é uma das direções principais (A) 1ª raiz 3 0 álculo das raízes: 51

53 ( )( ) 0 ( + ) ± ( ) + Numericamente: ,18 6, ,18 3,8 MPa MPa 3 0 b) álculo das direções principais b1) om em (A): z (B) e observando que: I) então eiste solução não trivial. II) Na realidade (B) é formado por sistemas homogêneos: (B1) e: (B) 5

54 mas (B) se resume em 0 0 ( 3 0) e não serve para determinar cz. Substituindo em (B1) os valores numéricos: portanto, 0 ou α ± 90º e α ± 90º isto, com a informação + + z 1, fornece z ± αz 0 ou αz ± 180º Então, como esperado, a direção z associada a 0 é a do eio z. b) com 1 6,18 Mpa em (B) 16, , ,18 0 z Desenvolvendo: 99, há solução na trivial. Desmembrando o sistema acima em independentes: 16, ,18 0 (B3) e -6,18 cz 0 cz 0 ou αz ± 90º a normal ao plano onde atua 1 está no plano (). Em (B3) 0, mas obedecendo c + c + cz 1 Vem com (B4) e (B3): (B4) De (B4): ± na 1ª de (B3). 16, ,18 ± ,18 ± ,79 ± 100(1 ) ± ,79 ± α ± 58,6 0,56 α ± 11,74 Para decidir sobre sinais verifique-se que em (B3) só servem valores de e de mesmo sinal. 53

55 Basta conhecer aquele de α para definir a direção associada a (já que, com o resultado anterior, 1 e estarão no plano ) Fig Ângulos α 1. A direção de, neste caso particular, não precisa ser determinada com a consideração de 3,8 em (B) pois, já se sabe que atua no plano e sua direção é perpendicular à de 1 54

56 Fig írculo de Mohr onfirmando com cálculo prático e mais usual no que se refere à varação das tensões no plano. tg θ 10 31,7 10 θ Este é o ângulo entre a direção de uma das tensões principais e a direção do plano de (ou a direção do eio ). om: cos θ senθ cosθ + sen Temos: 10 cos ( 31,7) 10 sen( 31,7) + 0 sen ( 31,7) 3, 8 θ MPa Fig Tensões principais 1. Aplicação do Estudo de Tensões em Vigas Eaminaremos elementos de uma seção transversal de uma viga sob fleão estática. 55

57 i Fig Tensões na viga Observação: Na parte superior tem-se o elemento 1 com apenas atuante. Os elementos e 4 acham-se sob e. No elemento 3 na LN age apenas, valendo ma Ao acharmos as tensões principais, para cada estado plano de tensão interiores da peça, teremos tensões de compressão e de tração este estudo torna-se importante em certos 56

58 materiais frágeis à tração, como o concreto, podendo ocorrer fissuras a 45º. Neste caso são colocadas barras de aço inclinadas a 45º. Para elucidar mais o assunto, pode-se representar a variação das direções das tensões principais, na viga, por eemplo, sujeita a uma carga distribuída. As linhas cheias da figura são direções de tração e as pontilhadas, as compressão. Estas linhas são chamadas de ISOSTÁTIAS ou URVAS DE TRAJETÓRIA DE TENSÕES. Estas curvas representam as direções de tensões em cada ponto da viga, ou seja, um conjunto de curvas que indicam as tangentes em cada ponto e sua mudança de direção. Fig urvas Isostáticas Nota-se as tensões principais em direções perpendiculares (90º). Na linha neutra 0 e as linhas que cortam a LN estão a 45º da horizontal, representam ma ou "cisalhamento puro". Outra observação importante para tensões em viga e que a tensão vale aproimadamente zero. Se utilizarmos a teoria da Elasticidade, chegaríamos a seguinte + +, sendo /, que podemos considerá-lo 0 para vigas Fig Tensão Bibliografia FEODOSIEV, V.I. Resistencia de Materiales. Moscou: Editora Mir, 1980, 583p. 57

59 POPOV, E.G. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Editora Edgard Blucher Ltda, p. SHIEL, F. Introdução à Resistência dos Materiais. São Paulo: Harpet & Row do Brasil, p. 58