FERRAMENTA GRÁFICA PARA TRAÇADO DE LINHAS DE INFLUÊNCIA

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1 PIBIC 00/0 Nome do Deprtmento: Engenhri Civi Nome do Auno: André Chn Nunes Nome do Orientdor: Luiz Fernndo Cmpos Rmos Mrth Títuo do Projeto: Ferrment Gráfic pr Trçdo de Linhs de Infuênci

2 FERRAMENTA GRÁFICA PARA TRAÇADO DE LINHA DE INFLUÊNCIA Introdução Diverss estruturs são soicitds por crgs móveis. Eempos são pontes rodoviáris e ferroviáris ou pórticos industriis que suportm pontes rontes pr trnsporte de crgs. Os esforços internos nestes tipos de estrutur não vrim pens com mgnitude ds crgs picds, ms tmbém com posição de tução ds crgs. Portnto, o projeto de um eemento estrutur, como um vig de ponte, envove determinção ds posições ds crgs móveis que produzem vores etremos dos esforços ns seções do eemento. No projeto de estruturs submetids crgs fis, posição de tução de crgs cidentis de ocupção tmbém infuenci n determinção dos esforços dimensionntes. Por eempo, o momento fetor máimo em um determind seção de um vig contínu com vários vãos não é determindo peo posicionmento d crg cident de ocupção em todos os vãos. Posições seecionds de tução d crg cident vão determinr os vores imites de momento fetor n seção. Assim, o projetist terá que determinr, pr cd seção ser dimensiond e pr cd esforço dimensionnte, s posições de tução ds crgs cidentis que provocm os vores etremos (máimos e mínimos de um determindo esforço). Um terntiv pr este probem seri nisr estrutur pr váris posições ds crgs móveis ou cidentis e seecionr os vores etremos. Este procedimento não é prático nem eficiente de um mneir ger, eceto pr estruturs e crregmentos simpes. O procedimento ger e objetivo pr determinr s posições de crgs móveis e cidentis que provocm vores etremos de um determindo esforço em um seção de um estrutur é feito com uíio de Linhs de Infuênci. Linhs de Infuênci (LI) descrevem vrição de um determindo efeito (por eempo, um reção de poio, um esforço cortnte ou um momento fetor em um seção) em função d posição de um crg unitári que pssei sobre estrutur. Assim, LI de momento fetor em um seção é representção gráfic ou nític do momento fetor, n seção de estudo, produzid por um crg concentrd unitári, germente de cim pr bio, que percorre estrutur. Isso é eempificdo n figur, que mostr LI de momento fetor em um seção indicd. Nest figur, posição d crg unitári P = é dd peo prâmetro, e um ordend genéric d LI represent o vor do momento fetor em em função de, isto é, LIM = M (). Em ger, os vores positivos dos esforços ns inhs de infuênci são desenhdos pr bio e o vores negtivos pr cim. P = M () Figur Linh de Infuênci de momento fetor em um seção de um vig contínu. Com bse no trçdo de LI s, é possíve obter s chmds envotóris imites de esforços que são necessáris pr o dimensionmento de estruturs submetids crgs móveis ou cidentis. As envotóris imites de momento fetor em um estrutur descrevem, pr um conjunto de crgs móveis ou cidentis, os vores máimos e mínimos de momento fetor em cd um

3 A. Chn Nunes & L. F. Mrth Ferrment Gráfic pr Trçdo de Linhs de Infuênci ds seções d estrutur, de form náog o que descreve o digrm de momentos fetores pr um crregmento fio. Assim, o objetivo d Anáise Estrutur pr o cso de crgs móveis ou cidentis é determinção de envotóris de máimos e mínimos de momentos fetores, esforços cortntes etc., o que possibitrá o dimensionmento d estrutur submetid este tipo de soicitção. As envotóris são, em ger, obtids por interporção de vores máimos e mínimos, respectivmente, de esforços ccudos em um determindo número de seções trnsversis o ongo d estrutur. A determinção de vores máimos e mínimos de um esforço interno em um seção de estudo é eempificd pr o cso do momento fetor n seção d figur nterior. O crregmento permnente, constituído do peso próprio d estrutur, é representdo por um crg uniformemente distribuíd g, t como indic figur. g LIM Figur Crg permnente uniformemente distribuíd tundo em um vig contínu. Considerndo que ordend de LIM (= M ()) é função de um crg concentrd unitári, o vor do momento fetor em devido o crregmento permnente pode ser obtido por integrção do produto d crg infinitesim gd por M () o ongo d estrutur: M g = 0 M ( ) gd = LIM gd 0 Considere que eiste um crregmento cident de ocupção que é representdo por um crg uniformmente distribuíd q. Por ser cident, crg q pode tur prcimente o ongo d estrutur. O que se busc são s posições de tução d crg q que mimizm ou minimizm o momento fetor em. O vor máimo de M é obtido qundo crg q está posiciond sobre ordends positivs d LIM, e o vor mínimo é obtido qundo crg q está posiciond sobre ordends negtivs d LIM. Isso é mostrdo ns figurs 3 e. q q LIM Figur 3 Posicionmento de crg cident uniformemente distribuíd pr provocr máimo momento fetor em um seção. q LIM Figur Posicionmento de crg cident uniformemente distribuíd pr provocr mínimo momento fetor em um seção. Os vores máimos e mínimos de M devidos somente o crregmento cident podem ser obtidos por integrção do produto LIM qd nos trechos positivos e negtivos, respectivmente, d inh de infuênci: q ( M ) = LIM qd + má 9 q ( M ) = LIM mín 0 qd 9 LIM qd

4 A. Chn Nunes & L. F. Mrth Ferrment Gráfic pr Trçdo de Linhs de Infuênci 3 Assim, os vores máimos e mínimos finis de M provocdos peo crregmento permnente e peo crregmento cident são: g q ( M ) má = M + ( M ) má g q ( M ) mín = M + ( M ) mín Um método ger utiizdo pr determinção de LI é o Princípio de Müer-Bresu (White et., 976; üssekind, 977), tmbém conhecido como método cinemático pr o trçdo de LI. O objetivo deste trbho foi impementr este método no progrm Ftoo ( O Ftoo é um progrm gráfico-intertivo pr fzer náise estrutur de pórticos pnos. O progrm é desenvovido peo Prof. Luiz Fernndo Mrth e está sendo utiizdo n PUC-Rio e em diverss outrs instituições como ferrment de ensino de náise estrutur e tmbém como ferrment uiir pr fse de náise de um projeto estrutur. Linhs de infuênci pr um vig bipoid A determinção ds epressões nítics de inhs de infuênci é retivmente simpes pr o cso de estruturs isostátics. Neste cso, um enfoque bsedo no equiíbrio epícito d estrutur submetid um crg concentrd unitári pode ser utiizdo pr determinr s inhs de infuênci. Tome por eempo vig bipoid mostrd n figur 5. O equiíbrio de forcs verticis e de momentos em reção o ponto A, por eempo, determin os vores ds reções de poio = ( ) / e V B = /. Ests equções nd mis são do que s própris epressões nítics ds inhs de infuênci ds reções de poio, pois epressm vrição de e V B em função d posição d crg concentrd unitári. A P = B V B LI () = ( ) / LIV B V B () = / Figur 5 Linhs de Infuênci de reções de poio em um vig bipoid. A imposição diret do equiíbrio tmbém pode ser utiizd pr determinr s inhs de infuênci do esforço cortnte e do momento fetor em um seção genéric d vig bipoid, t como mostrdo n figur 6. Pr isso, dus situções são considerds, um qundo crg concentrd unitári está à esquerd d seção e outr qundo crg está à direit: Esforço cortnte P = à esquerd de ( < ) Q = V B LIQ = LIV B = /. P = à direit de ( > ) Q = + LIQ = +LI = ( ) /. Momento fetor P = à esquerd de ( ) M = +b V B LIM = +b LIV B = b /. P = à direit de ( ) M = + LIM = + LI = ( ) /.

5 A. Chn Nunes & L. F. Mrth Ferrment Gráfic pr Trçdo de Linhs de Infuênci A P = b B M M Q V B Q () = / + Q () = ( ) / LIQ M () = b / b/ M () = ( ) / b LIM Figur 6 Linhs de Infuênci de esforço cortnte e momento fetor em um seção d vig bipoid. Método cinemático pr o trçdo de LI O Princípio dos Desocmentos Virtuis (PDV) oferece um método terntivo pr o trçdo de inhs de infuênci. Considere que vig bipoid d seção nterior sofreu um cmpo de desocmentos virtuis v(), conforme indicdo n figur 7, onde o poio d esquerd é desocdo virtumente pr bio de um unidde de distânci. Como vig bipoid é isostátic, o movimento do poio vi impor um desocmento de corpo rígido pr vig. Isto é, vig permnece ret e não eistem deformções interns. Deve-se observr que, por um questão de consistênci com convenção dotd pr o trçdo de LI s, está sendo considerdo como positivo um desocmento trnsvers v() pr bio, e negtivo pr cim. A P = B v() = ( ) / V B Figur 7 Cmpo de desocmentos virtuis pr determinr LI de reção de poio de um vig bipoid. O PDV diz que o trbho virtu produzido pes forçs eterns (reis) d estrutur peos correspondentes desocmentos eternos virtuis é igu à energi de deformção intern virtu, que no cso é nu (não eistem deformções interns virtuis). Portnto, o trbho virtu ds forçs eterns é nuo, isto é: + P v() + V B 0 = 0 () = ( ) /.

6 A. Chn Nunes & L. F. Mrth Ferrment Gráfic pr Trçdo de Linhs de Infuênci 5 Vê-se que picção do PDV resutou n epressão nític encontrd nteriormente pr LI. Não podi deir de ser dest mneir, pois o PDV nd mis é do que um form terntiv pr se impor condições de equiíbrio. As inhs de infuênci do esforço cortnte e do momento fetor em um seção d vig bipoid tmbém podem ser determinds peo PDV. O cmpo de desocmentos virtuis pr obtenção de LIQ está mostrdo n figur 8. P = M Q / b/ Q M v() = ( ) / V B b P = v() = / M Q / b/ Q M V B Figur 8 Cmpo de desocmentos virtuis pr determinr LI de esforço cortnte em um seção de um vig bipoid. O cmpo de desocmentos virtuis d figur 8 é t que vig é cortd n seção e é imposto um desocmento trnsvers retivo nest seção igu um unidde de distânci. Com seção cortd, por ser vig isostátic, e se trnsform em um mecnismo (em um cdei cinemátic) que não oferece resistênci o movimento imposto. Portnto, os movimentos virtuis dos dois segmentos de vig pós o corte são de corpo rígido (sem deformção virtu intern). Aém disso, s incinções dos dois segmentos de vig à esquerd e à direit de devem permnecer iguis pr que não hj rotção retiv nest seção, dest form evitndo que o momento fetor M produz trbho virtu. Not-se tmbém n figur 8 que o desocmento trnsvers retivo n seção é contrário às direções positivs do esforço cortnte Q, isto é, o segmento à esquerd de sobe de /, enqunto o segmento à direit desce de b /. A picção do PDV à estrutur d figur 8 resut em: P = à esquerd de ( < ): Q / Q b / + M / M / P / V B 0 = 0 Q () = /. P = à direit de ( > ): Q / Q b / + M / M / + P ( ) / V B 0 = 0 Q () = ( ) /. Como pode-se notr, ests epressões são s mesms obtids nteriormente pr LIQ por picção de condições de equiíbrio diretmente. O cmpo de desocmentos virtuis pr determinr inh de infuênci de momento fetor em um seção d vig bipoid é mostrdo n figur 9. Este cmpo de desocmentos é t que continuidde de rotção d vig é iberd n seção e é impost um rotção retiv unitári ( rd) nest seção (consider-se pequenos desocmentos, isto é, um rco de círcuo é pro-

7 A. Chn Nunes & L. F. Mrth Ferrment Gráfic pr Trçdo de Linhs de Infuênci 6 imdo por su cord). Not-se n figur 9 que o segmento de vig à esquerd d seção sofre um giro com um ânguo igu b / no sentido horário, que é contrário à direção positiv de M n etremidde do segmento. Observ-se tmbém que o segmento à direit de gir de / no sentido nti-horário, que é contrário à direção positiv de M n porção d direit. M M P = Q V B b v() = b / v() = ( ) / b/ b Figur 9 Cmpo de desocmentos virtuis pr determinr LI de momento fetor em um seção de um vig bipoid. Apicndo o PDV à estrutur d figur 9, obtem-se: P = à esquerd de ( ): +Q b / Q b / M b / M / + P b / V B 0 = 0 M () = b /. P = à direit de ( ): +Q b / Q b / M b / M / + P ( ) / V B 0 = 0 M () = ( ) /. Isso resut ns mesms epressões pr LIM obtids nteriormente. Pode-se resumir obtenção de inhs de infuênci de um efeito (reção de poio, esforço cortnte ou momento fetor) n vig bipoid por picção do PDV d seguinte mneir (üssekind, 977): Pr se trçr inh de infuênci de um efeito E (esforço ou reção), procede-se d seguinte form: rompe-se o víncuo cpz de trnsmitir o efeito E cuj inh de infuênci se desej determinr; n seção onde tu o efeito E, tribui-se à estrutur, no sentido oposto o de E positivo, um desocmento generizdo unitário, que será trtdo como sendo muito pequeno; configurção deformd (eástic) obtid é inh de infuênci. O desocmento generizdo que se fz referênci depende do efeito em considerção, t como indicdo n figur 0. No cso de um reção de poio, o desocmento generizdo é um desocmento bsouto d seção do poio. Pr um esforço cortnte, o desocmento generizdo é um desocmento trnsvers retivo n seção do esforço cortnte. E pr um momento fetor, o desocmento generizdo é um rotção retiv entre s tngentes à eástic djcentes à seção do momento fetor. Est mneir de se determinr inhs de infuênci, embor só tenh sido mostrd pr um vig bipoid, se pic pr ququer tipo de estrutur, incusive estruturs hiperestátics. Este método foi formudo por Müer-Bresu no fin do sécuo 9 e por isso é chmdo de

8 A. Chn Nunes & L. F. Mrth Ferrment Gráfic pr Trçdo de Linhs de Infuênci 7 Princípio de Müer-Bresu (White et., 976; üssekind, 977), tmbém conhecido como método cinemático pr o trçdo de LI. Efeito Reção de poio V Desocmento generizdo Esforço cortnte Q Q Momento fetor M M Figur 0 Desocmentos generizdos utiizdos no método cinemático pr trçdo de LI. A demonstrção do Princípio de Müer-Bresu pr estruturs hiperestátics vi ser feit utiizndo-se o Teorem de Betti, que é um conseqüênci do PDV. Considere s dus vigs contínus hiperestátics com mesmo comprimento mostrds n figur. A vig () tem um crg concentrd unitári P =, picd um distânci do início d vig. A vig () difere d primeir pe ineistênci do primeiro poio, sendo que nest posição é picd um crg concentrd P que provoc, no seu ponto de picção, um desocmento pr bio de um unidde de distânci. () P = v () () P v () Figur Apicção do Teorem de Betti dus vigs contínus. O PDV é picdo pr s vigs () e () d figur, sendo que os cmpos de desocmentos virtuis utiizdos são os desocmentos d outr vig, isto é, o cmpo de desocmentos virtuis imposto à vig () é eástic v () d vig () e pr vig () é impost eástic v () como cmpo de desocmentos virtuis. Considerndo um comportmento eástico-iner, s epressões do PDV pr s dus vigs são: MM F v d + EI QQ = d GA MM F v d + EI QQ = d GA c c

9 A. Chn Nunes & L. F. Mrth Ferrment Gráfic pr Trçdo de Linhs de Infuênci 8 Nests epressões, o somtório do do esquerdo do sin de igudde represent o trbho virtu ds forçs eterns, isto é, ΣF v é o trbho ds forçs d vig () com os correspondentes desocmentos eternos d vig (), e ΣF v é o inverso. As integris do do direito do sin de igudde representm energi de deformção virtu intern. A primeir integr é e- nergi de deformção por feão e segund é energi de deformção por cishmento. M e Q são os digrms de momento fetor e esforço cortnte d vig (), e M e Q são os digrms d vig (). O prâmetro E é o móduo de esticidde do mteri, o prâmetro G é o móduo de cishmento, I é momento de inérci d seção trnsvers e A c é áre efetiv pr cishmento d seção trnsvers. Observ-se que s energi de deformção virtu intern ds dus epressões são iguis. Portnto: v = F v F. Est é epressão do Teorem de Betti, que só é váido pr estruturs eástics-ineres: o trbho d forçs eterns de um estrutur com os correspondentes desocmentos eternos de outr estrutur é igu o trbho ds forçs eterns d outr estrutur com os correspondentes desocmentos d primeir. Apicndo o Teorem de Betti pr s dus vigs d figur, tem-se: + P v () = P 0 () = v () LI = v (). Como eástic v () d vig () corresponde justmente à imposição de um desocmento unitário n direção opost à reção de poio (com iberção do víncuo ssocido), fic demonstrdo que o Princípio de Müer-Bresu tmbém é váido pr vigs hiperestátics. Demonstrções náogs poderim ser feits pr inhs de infuênci de esforço cortnte e momento fetor, ou mesmo pr outros tipos de estruturs, como pórticos hiperestáticos. Um fto importnte ser destcdo, e que trnsprece d figur, é que s inhs de infuênci pr estruturs hiperestátics são formds por trecho curvos, enqunto que pr estruturs isostátics es são formds por trechos retos, conforme menciondo nteriormente. O método cinemático fornece um epicção intuitiv pr isso. No cso de estruturs isostátics, iberção do víncuo ssocido o efeito que se quer determinr LI resut em um estrutur hipostátic, que se comport como um cdei cinemátic qundo o desocmento generizdo é imposto. Como cdei cinemátic não oferece resistênci gum o desocmento imposto, s brrs d estrutur sofrem movimentos de corpo rígido, isto é, permnecem rets. Assim, s LI pr estruturs isostátics são formds por trechos retos. Entretnto, iberção do víncuo no cso de um estrutur hiperestátic resut em um estrutur que ind oferece resistênci o desocmento generizdo imposto. Isto signific que estrutur sofre deformções interns pr se justr o desocmento imposto, isto é, s brrs se feionm. e forem desprezds deformções por cishmento e considerndo brrs prismátics (seções trnsversis constntes), equção diferenci que govern o comportmento de brrs à feão é Equção de Nvier: d v( ) q( ) =, d EI onde v() é o desocmento trnsvers d brr, q() é t de crregmento trnsvers distribuído, E é o móduo de esticidde do mteri e I é o momento de inérci d seção trnsvers. Como no cso do método cinemático pr o trçdo de LI t de crregmento distribuído é nu, eástic resutnte (que é própri LI) é regid pe seguinte equção diferenci: d v( ) d LI = = 0. d d Portnto, no cso ger, s LI s pr estruturs hiperestátics são formds por trechos curvos que são descritos mtemticmente por poinômios do 3º gru.

10 A. Chn Nunes & L. F. Mrth Ferrment Gráfic pr Trçdo de Linhs de Infuênci 9 O método cinemático é bstnte úti pr determinção do specto de um LI, isto é, qundo se desej obter pens form d LI. Isto é freqüente utiizdo no projeto de estruturs submetids crgs cidentis uniformemente distribuíds, conforme foi eempificdo n introdução deste trbho. No eempo mostrdo, form d LI de momento fetor n seção de estudo é suficiente pr determinr os posicionmentos d crg cident que mimizm ou minimizm o momento fetor n seção. Os vores máimos e mínimos do momento fetor n seção não precism ser ccudos necessrimente com bse n LI; ququer outro método poderi ser utiizdo. Assim, somente os spectos d LI s possibiitm determinção de vores máimos e mínimos de esforços o ongo d estrutur. Pr eempificr forms típics de LI s, s figurs 7 mostrm LI s pr um vig Gerber isostátic e pr um vig contínu hiperestátic. As figurs e 3 mostrm LI s de reções de poio. A B V B LI LIV B Figur Linhs de infuênci de reções de poio pr um vig Gerber isostátic. A B V B LI LIV B Figur 3 Linhs de infuênci de reções de poio pr um vig contínu hiperestátic. As figurs e 5 mostrm LI s de esforços cortntes. No cso de seções de poio, como eiste um descontinuidde d LI nestes pontos, sempre são considerds seções imeditmente à esquerd e à direit dos pontos dos poios. Observ-se nests figurs que s inhs de infuênci de esforços cortntes pr seções de um determindo vão entre poios têm um comportmento típico. Assim, seção A dir do primeiro vão pós o bnço tem LI de esforço cortnte com descontinuidde ocizd próim o poio A, sendo que for do vão LI é igu às LI s ds seções e B esq, ou de ququer outr seção do mesmo vão. Em outrs pvrs, dus seções de

11 A. Chn Nunes & L. F. Mrth Ferrment Gráfic pr Trçdo de Linhs de Infuênci 0 um mesmo vão têm LI s de esforço cortnte diferindo pens pe ocizção d descontinuidde, que fic sobre seção. A esq A dir B esq B dir LIQ Aesq LIQ Adir LIQ LIQ Besq LIQ Bdir Figur Linhs de infuênci de esforços cortntes pr um vig Gerber isostátic. A esq A dir B esq B dir LIQ Aesq LIQ Adir LIQ LIQ Besq LIQ Bdir LIQ Figur 5 Linhs de infuênci de esforços cortntes pr um vig contínu hiperestátic.

12 A. Chn Nunes & L. F. Mrth Ferrment Gráfic pr Trçdo de Linhs de Infuênci E, finmente, s figurs 6 e 7 mostrm LI s de momentos fetores. A B LIM A LIM LIM B Figur 6 Linhs de infuênci de momentos fetores pr um vig Gerber isostátic. A B C LIM A LIM LIM B LIM LIM C Figur 7 Linhs de infuênci de momentos fetores pr um vig contínu hiperestátic.

13 A. Chn Nunes & L. F. Mrth Ferrment Gráfic pr Trçdo de Linhs de Infuênci Metodoogi pr cácuo de LI s peo método cinemático A seção nterior mostrou que o Princípio de Müer-Bresu é úti pr determinção quittiv do spectos de inhs de infuênci. Entretnto, este método cinemático tmbém pode ser utiizdo pr determinr equções e vores de LI s de um mneir ger. A metodoogi descrit seguir foi presentd peo Prof. B. Ernni Diz (98), que demonstrou que o método cinemático pode ser impementdo computcionmente, com poucs modificções, em ququer progrm genérico pr náise de estruturs reticuds. A determinção de um LI bsed no método cinemático é feit pe superposição de dus configurções deformds (eástics) pr um mesm estrutur. Isto é eempificdo pr o cso d LI de esforço cortnte em um seção genéric de um vig contínu, que é indicd n figur 8. M M V V (I) M M V V (II) V V M M (I)+(II) Figur 8 Determinção de LI de esforço cortnte de um seção de um vig contínu por superposição de efeitos. Nest figur, vig contínu é submetid dois tipos de soicitções, mostrds nos csos (I) e (II). O cso (I) corresponde um desocmento generizdo (pr o trçdo d LI) imposto ocizdmente à brr que contém seção de estudo. No eempo d figur, considerou-se deiberdmente que brr em questão não brnge todo o vão centr entre poios. Dess form, está se considerndo um situção mis ger. O cmpo de desocmentos imposto no cso (I) fic restrito à brr d seção de estudo pois ee corresponde um situção de engstmento perfeito d brr, isto é, como se e fosse biengstd. Pode-se notr que est situção corresponde o cso (0) d metodoogi de cácuo do Método dos Desocmentos (Mrth, 00). Assim, s reções de poio (V, M, V e M ) d brr biengstd submetid o desocmento generizdo imposto são os chmdos termos de crg desse método. O cso (II) d superposição consider o efeito gob do desocmento generizdo imposto. Este efeito gob é determindo peo cácuo d eástic gob d estrutur devid um soicitção onde s reções de engstmento do cso (I) são picds os nós etremos d brr em questão com seus sentidos opostos, t como indic figur 8. Ests forçs e momentos, com os sentidos opostos, são chmdos de crgs equiventes nodis pr soicitção do cso (I).

14 A. Chn Nunes & L. F. Mrth Ferrment Gráfic pr Trçdo de Linhs de Infuênci 3 Not-se que, n superposição dos dois csos, s forçs e momentos picdos os nós d brr se cncem, resutndo somente no desocmento generizdo imposto à vig como um todo. Dess form, pode-se observr que metodoogi dotd pr o cácuo d LI peo método cinemático segue o formismo do Método d Rigidez Diret (Mrth, 00): no cso (I) e considerdo o efeito d soicitção etern e no cso (II) estrutur é resovid gobmente soicitd por crgs equiventes nodis. A únic novidde é que soicitção etern neste cso é um desocmento generizdo imposto à brr que contém seção de estudo com s etremiddes engstds. Por esse motivo, ququer progrm de computdor que impemente o Método d Rigidez Diret (procedimento pdrão) e determine vores d eástic pode ser fcimente modificdo pr ccur LI s peo método cinemático. Portnto, pr impementr computcionmente este método, é necessário fornecer souções de engstmento perfeito pr inhs de infuênci típics em um brr. Ests souções devem conter s reções de engstmento perfeito e equção d eástic devid um desocmento generizdo imposto. Isso é feito seguir pr LI s de esforço cortnte e momento fetor em um seção genéric de um vig biengstd. Linh de infuênci de esforço cortnte em vig biengstd A figur 9 mostr soução de um vig biengstd à qu é imposto um desocmento generizdo pr o trçdo de LI de esforço cortnte em um seção genéric. A brr é considerd prismátic, com móduo de esticidde E e momento de inérci d seção trnsvers I. A convenção de sinis dotd pr reções de poio é t que reções forçs verticis são positivs qundo orientds pr cim e negtivs pr bio. Reções momentos são positivs qundo no sentido nti-horário e negtivs no sentido horário. A convenção de sinis pr eástic é t que desocmentos trnversis v() são positivos qundo pr bio e negtivos pr cim. Como dito nteriormente, inversão d convenção pr desocmentos trnsversis se deve um costume de se indicr ordends positivs de inhs de infuênci pr bio. M v esq() M v dir() V V Figur 9 oução de um vig biengstd pr determinção de LI de esforço cortnte em um seção. A soução pr eástic d vig d figur 9 foi obtid considerndo seguinte equção diferenci (equção de Nvier com t nu de crregmento trnsvers distribuído) e s seguintes condições de contorno e de continuidde: Equção diferenci d v( ) = 0 d Condições de contorno v ( 0) = 0 v ( ) = 0 b dv(0) = 0 d dv( ) = 0 d

15 A. Chn Nunes & L. F. Mrth Ferrment Gráfic pr Trçdo de Linhs de Infuênci Condições de continuidde (à esquerd e à direit d seção considerd) v dir ( ) v ( ) = esq dv dv dir ( ) esq ( ) = d d Isso resut n seguinte soução pr eástic d vig, isto é, pr inh de infuênci do esforço cortnte em um seção genéric: 3 LIQ = vesq( ) = 3 + pr 0 < 3 LIQ = vdir ( ) = 3 + pr < N figur 9, s reções de poio são mostrds com o sentido físico correspondente à LI indicd. Considerndo convenção de sinis dotd, s reções de engstmento têm os seguintes vores: EI V = 3 EI V = 3 EI M = 6 EI M = 6 Linh de infuênci de momento fetor em vig biengstd A determinção d LI de momento fetor em um seção ququer d vig biengstd é náog o que foi feito pr LI de esforço cortnte. Isto é mostrdo n figur 0. M v esq() v dir() M V V b Figur 0 oução de um vig biengstd pr determinção de LI de momento fetor em um seção. A equção diferenci e s condições de contorno são s mesms d LI de esforço cortnte. A- pens s condições de continuidde são diferentes: Condições de continuidde (à esquerd e à direit d seção considerd) v ( ) v ( ) esq = dir dvesq ( ) dvdir ( ) = d d A soução pr inh infuênci de momento fetor é mostrd bio: 3 LIM = vesq ( ) = pr 0

16 A. Chn Nunes & L. F. Mrth Ferrment Gráfic pr Trçdo de Linhs de Infuênci 5 v LIM dir + + = = 3 ) ( pr E, finmente, s reções de engstmento perfeito têm os seguintes vores (consistentes com convenção de sinis dotd): 6 EI V = 6 EI V + = EI M = 6 EI M = 6 N figur 0, s reções estão indicds com o sentido físico correspondente à LI eempificd. Concusão Este trbho de pesquis desenvoveu epressões pr o Princípio de Müer-Bresu e estendeu o progrm Ftoo ( pr o trçdo de Linhs de Infuênci. As figurs mostrds form obtids utiizndo est etensão do Ftoo. Est ferrment já está em uso n discipin de Anáise e Estruturs d PUC-Rio, com eceentes resutdos. A figur mostr um imgem d te do Ftoo onde são indicdos os comndos pr cionr inhs de infuênci. Figur Imgem d te do progrm Ftoo mostrndo os comndos pr cionr inhs de infuênci. N nov versão do Ftoo o usuário tem opção de dois modos de visuizção de resutdos. O primeiro é o modo de Digrm, que corresponde à visuizção de digrms de esforços internos (norm, cortnte e momento fetor) e d configurção deformd (eástic) pr um con-

17 A. Chn Nunes & L. F. Mrth Ferrment Gráfic pr Trçdo de Linhs de Infuênci 6 junto de crregmentos tuntes. Este modo er o único disponíve n versão nterior do progrm (por isso não hvi seeção de modos). O segundo modo de visuizção é o modo de Linh de Infuênci. Neste cso, o crregmento tunte é desconsiderdo e, por isso, não é desenhdo. O progrm fic esperndo por um ção do usuário, que deve indicr um seção pr trçr inh de infuênci. Dependendo do botão de respost que estiver seeciondo (esforço norm, esforço cortnte ou momento fetor), o progrm desenh LI correspondente pr seção seeciond. Ququer inh de infuênci ou digrm pode ter vores pontuis consutdos d te, ou então os vores podem ser eportdos pr um rquivo. Um outro resutdo muito importnte deste trbho foi dedução ds equções de LI s e reções de poio em vigs biengstds. Isso é importnte porque ququer progrm de computdor que impemente o Método d Rigidez Diret (procedimento pdrão) e determine vores d eástic pode ser fcimente modificdo pr ccur LI s, conforme o Prof. Ernni Diz report em seu trbho (98). Utiizndo metodoogi propost, LI é ccud pe superposição de dus eástics: um gob, que é determind por um náise peo Método d Rigidez Diret (neste trbho feit peo Ftoo), e outr oc, que são s souções de vigs biengstds fornecids neste trbho. Referêncis bibiográfics Ernni Diz, B., Observção sobre determinção de inhs de infuênci com uíio de progrms de náise de estruturs, Revist RBE, 98. Ftoo, homepge do progrm Ftoo Two-dimension Frme Anysis Too, puc-rio.br/ftoo, 00. Mrth, L.F., Nots de u do curso de Anáise de Estruturs II, Deprtmento de Engenhri Civi, PUC-Rio, 00. üssekind, J.C., Curso de Anáise Estrutur, Editor Gobo, 977. White, R.N., Gergey, P. e esmith, R.G., tructur Enginnering, John Wiey, New York, 976.