A Matemática na Grécia

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1 A Matemática na Grécia Tales, Pitágoras, Euclides, Arquimedes, Eratóstenes, Apolônio, Hiparco, Ptolomeu, Herão, Diofanto, Papus e Menelau (professora Elisabete eguerato@globo.com)

2 Helenismo Designa-se por período helenístico (do grego, hellenizein "falar grego", "viver como os gregos") o período da história da Grécia compreendido entre a morte de Alexandre III (O Grande) da Macedónia em 323 a.c. e a anexação da península grega e ilhas por Roma em 147 a.c.. Caracterizouse pela difusão da civilização grega numa vasta área que se estendia do mar Mediterrâneo oriental à Ásia Central. De modo geral, o helenismo foi a concretização de um ideal de Alexandre: o de levar e difundir a cultura grega aos territórios que conquistava. Foi naquele período que as ciências particulares têm seu primeiro e grande desenvolvimento. Foi o tempo de Euclides e Arquimedes. O helenismo marcou um período de transição para o domínio e apogeu de Roma.

3 Os Filósofos da Ágora Ágora era a praça principal na constituição da pólis, a cidade grega da Antigüidade clássica; Nas Ágoras de Atenas e outras cidades-estado, os filósofos ensinavam seus discípulos e lançaram novas idéias; Sem dúvida nenhuma, os maiores cientistas do mundo antigo viveram na pequena Grécia, uma reunião de cidades-estado encarapitadas por sobre uma miscelânea de ilhas rochosas e penínsulas no extremo leste do mar Mediterrâneo, bem nos limites da civilização do Oriente Médio.

4 Contribuições dos Gregos Antigos A revolução agrícola alcançou a Grécia, vinda do Egito e do Oriente Médio, por volta de 2000 a.c., pouco depois da fundação do Império Babilônico pelos amoritas. O Período helênico (de 800 a 336 a.c.) apresentou um progresso intelectual e científico surpreendente, uma das épocas mais notáveis da história em termos de realizações humanas. Foi nessa época que se escreveram histórias reais pela primeira vez: a descrição otimista das gloriosas vitórias gregas sobre os invasores persas feitas por Heródoto (484? -424? a.c.);

5 É dessa época o relato angustiado da luta fratricida entre Esparta e Atenas feita por Tucícides (460? 400? a.c.); O raciocínio dedutivo é usado pela primeira vez em matemática, por Tales de Mileto (640? 564? a.c.) e por Pitágoras (586? 500? a.c.); Hipócrates de Quio ( a quem se deve o famoso juramento médico hipocrático) lançou os fundamentos da medicina moderna; A lógica foi sistematizada num tratamento de Aristóteles; Foi um período de literatura e teatro excelentes, em que pontificaram dramaturgos como Sófocles (496? 406? a.c.) e Aristófanes (445? 385? a. C.).

6 O Berço da Matemática Demonstrativa Mudanças políticas e econômicas ocorrem nos últimos séculos do II milênio a.c.; Algumas civilizações desaparecem e o poder dos egípcios e dos babilônios declinou; Outros povos, especialmente os hebreus, os assírios, os fenícios e os gregos passaram para primeiro plano; Inventou-se o alfabeto e se introduziram as moedas; Numa atmosfera de racionalismo crescente, o homem começa a indagar como e por que?

7 Os homens começam a formular questões fundamentais, como: Por que os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais? Por que o diâmetro de um círculo divide esse círculo ao meio? Os processos antigos do oriente eram suficientes para responder o como mas não bastavam para responder indagações mais científicas na forma de por que? A característica fundamental da matemática (sua feição dedutiva) passou ao primeiro plano.

8 Localização da Grécia Antiga

9 Comparação entre as diversas matemáticas antigas Matemática egípcia Matemática babilônica Matemática grega papiros Tábuas com escrita cuneiforme Não dispõe de fonte primária Nos apoiamos em manuscritos e relatos escritos vários séculos depois de os originais terem sido produzidos

10 A Matemática Grega Há evidências que baseou-se na sabedora oriental (egípcios e babilônios); Principal fonte de informação: Sumário Eudemiano de Proclo (breve resumo do desenvolvimento da geometria grega desde seus primeiros tempos até Euclides); Proclo viveu no século V d.c., mas teve acesso a muitos trabalhos históricos e críticos que de então para cá se perderam, salvo alguns fragmentos preservados por ele próprio e outros.

11 Tales de Mileto (624 a.c a.c.)

12 Resultados em Geometria Atribuídos a Tales Qualquer diâmetro efetua a bissecção do círculo em que é traçado; Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais; Ângulos opostos pelo vértice são iguais; Se dois triângulos têm dois ângulos e um lado em cada um deles respectivamente iguais, então esses triângulos são iguais; Um ângulo inscrito num semi-círculo é reto. (resultado conhecido pelos babilônios cerca de 1400 anos antes)

13 Tales de Mileto (624 a.c a.c.) A geometria demonstrativa começou com Tales de Mileto, um dos sete sábios da Antiguidade, durante a primeira metade do Século VI a.c.; Tales começou sua vida como mercador, tornando-se rico o bastante para dedicar a parte final da sua vida ao estudo e a algumas viagens; Viveu por algum tempo no Egito, e despertou admiração ao calcular a altura de uma pirâmide por meio da sombra.

14 Importância de Tales para a Matemática Tales obteve os resultados mediante alguns raciocínios lógicos e não pela intuição ou experimentalmente. Exemplo: Nos tempos pré-helênicos a igualdade de ângulos opostos pelo vértice era considerada tão óbvia que, se acaso alguém tivesse dúvidas a respeito, bastaria para convencer esse alguém, recortar os ângulos e sobrepor um ao outro.

15 Disney e a Matemágica Donald no País da Matemágica. (Donald in Mathmagic Land, EUA, 1959), filme que prima pela simplicidade da exposição das idéias e por combinar a magia de Walt Disney com a Magia dos números. O resultado é um filme que encantou o mundo e ainda marca crianças e adultos pela profundidade e seriedade de seu conteúdo. Donald no País da Matemágica aborda temas desde proporções, entre elas a famosa Proporção Áurea até as origens do surgimento da música e jogos matemáticos como o bilhar e o xadrez. O curta ainda mostra o quão mais próxima a Matemática pode estar, na natureza e no dia a dia, do que muitos imaginam.

16 Pitágoras de Samos ( a.c)

17 Pitágoras de Samos ( a.c) Mencionado no Sumário Eudemiano; Envolto numa névoa de misticismo; É possível que tenha sido discípulo de Tales; Parece que residiu por algum tempo no Egito; Fundou a famosa Escola Pitagórica: além de um centro de estudos de filosofia, matemática e ciências naturais era também uma irmandade estreitamente unida por ritos secretos e cerimônias; A irmandade continuou a existir por pelo menos dois séculos após a morte de Pitágoras.

18 Números inteiros A Filosofia Pitagórica Causa última das várias características do homem e da matéria Exaltação e estudo das propriedades dos números e da aritmética junto com a geometria, a música e a astronomia. Estas matérias constituíam as artes liberais básicas do programa de estudo pitagórico.

19 Quadrivium (Idade Média) Artes liberais básicas do programa de estudo pitagórico Gramática Lógica Retórica

20 Aritmética Pitagórica Arte prática de calcular com números X Estudo das relações abstratas envolvendo os números Obs: Nos EUA e Inglaterra, até hoje há esta distinção, sendo que a logística é chamada de Teoria dos Números.

21 Teorias com Números Atribuídas a Pitágoras Números amigáveis (cada um deles é a soma dos divisores próprios do outro) Ex: 284 e 220 Números perfeitos (é igual à soma dos seus divisores próprios) Ex: 6, 28, 246 Números deficientes (excede a soma dos seus divisores próprios) Ex: 8 Números abundantes (é menor que a soma de seus divisores próprios)

22 Curiosidades Sobre os Números Perfeitos Se 2 n -1 é um número primo, então 2 n-1 (2 n -1) é um número perfeito; Esta fórmula está nos Elementos de Euclides e leva apenas a números pares; A existência ou não de números perfeitos ímpares é uma das questões abertas da teoria dos números e, se existir, um número desse tipo, ele não tem menos de 200 dígitos; Hoje, conhece-se trinta números perfeitos.

23 Números Figurados Se originaram com os membros mais antigos da escola pitagórica; Expressam o número de pontos em certas configurações geométricas; Elo de ligação entre a geometria e a aritmética. Pode-se estabelecer muitos teoremas interessantes relativos a números figurados. Exemplo: Todo número quadrado é a soma de dois números triangulares sucessivos.

24 Alguns números figurados Números triangulares Números quadrados Números pentagonais Números hexagonais

25 O Teorema de Pitágoras e os Ternos Pitagóricos Embora atribuído a Pitágoras, esse teorema já era conhecido pelos babilônios dos tempos de Hamurabi, mais de um milênio antes de Pitágoras; Mas, sua primeira demonstração geral pode ter sido dada por Pitágoras; Desde os tempos de Pitágoras muitas demonstrações desse teorema foram apresentadas. Em 1940, o matemático americano E. S. Loomis publicou 370 demonstrações, mas ainda há mais.

26 A demonstração clássica (Esta simples e engenhosa demonstração pode ter sido a que os pitagóricos imaginaram) Dado um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c, considere o quadrado cujo lado é b + c. Na figura da esquerda, retiramos do quadrado de lado b + c quatro triângulos iguais ao triângulo retângulo dado, restando um quadrado de lado a. Na figura da direita, retiramos também do quadrado de lado b + c os quatro triângulos iguais ao triângulo retângulo dado, restando um quadrado de lado b e um quadrado de lado c. Logo, a área do quadrado de lado a é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados medem b e c.

27 Os Ternos Pitagóricos O problema dos ternos pitágóricos consiste em encontrar números inteiros a, b e c que possam representar os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo; A análise da tábua de Plimpton 322 oferece evidências razoavelmente convincentes de que os babilônios antigos sabiam como calcular esses ternos. Credita-se aos pitagóricos a fórmula: Fórmula ideada por Platão (c. 380 a.c.) para determinação desses ternos: (2m) 2 + (m 2 1) 2 = (m 2 + 1) 2 Obs: Nenhuma dessas fórmulas fornece todos os ternos pitagóricos.

28 Outros Conhecimentos Matemáticos Atribuídos aos Pitagóricos Descoberta da existência de números irracionais; Parte considerável da álgebra geométrica que se espalha por vários dos livros dos Elementos de Euclides (demonstrações algébricas envolvendo elementos geométricos); Exemplo: (a + b) 2 =a 2 + 2ab + b 2

29 Resolução geométrica de equações quadráticas; Transformações de áreas; Sólidos regulares: o tetraedro, o cubo e o dodecaedro se devem aos pitagóricos embora sejam erroneamente atribuídos a Platão; O raciocínio postulacional: método de raciocínio que tornou-se a verdadeira essência da Matemática Moderna.

30 Os Sólidos Regulares Um poliedro se diz regular se suas faces são polígonos regulares e se seus ângulos são poliédricos são todos congruentes; Só há 5 poliedros regulares diferentes: Tetraedro Hexaedro regular (cubo) Dodecaedro Atribuídos aos pitagóricos Octaedro Icosaedro Atribuídos a Teeteto

31 Os Poliedros de Platão Tetraedro: associado ao fogo, o mais seco dos elementos Dodecaedro: associado ao Universo por ter 12 faces e o zodíaco ter 12 seções Hexaedro regular (cubo): associado à terra, o mais estável dos elementos Interpretações feitas por Johan Kepler ( ) Octaedro: associado ao ar devido a sua instabilidade Icosaedro: associado à água por ser o mais úmido dos elementos

32 Euclides (anos de nascimento e morte são desconhecidos) Interior da antiga Biblioteca de Alexandria.

33 Fundação de Alexandria Com a Guerra do Peloponeso, entre Atenas e Esparta, (de 431 a 404 a.c.) e vitória de Esparta, acaba a hegemonia de Atenas; A Grécia passa a pertencer a Macedônia que tem como rei Alexandre Magno; Com as conquistas de Alexandre, a Grécia toma contato com muitas outras culturas e dá origem à cultura helenística; Com a morte de Alexandre, a Grécia divide-se em três grandes reinos: Reino do Egito, Reino da Síria e Reino da Macedônia.

34 Ptolomeu, em 306 a.c., começou a governar o Egito e escolheu Alexandria para ser sua capital; Construiu a Universidade de Alexandria para atrair homens de saber para o local; A Universidade tinha organização e objetivos semelhantes aos das universidades atuais; Com a sua biblioteca bem habilitada tornou-se a metrópole intelectual da raça grega; Convidou intelectuais de Atenas para desenvolve os campos de estudos, sendo que Euclides, provavelmente foi escolhido para chefiar o departamento de Matemática.

35 Euclides Pouco se sabe sobre ele; Não se sabe ao certo sobre seu local e data de nascimento; Autor de pelo menos 10 trabalhos, mas textos razoavelmente completos de apenas 5 deles chegaram até nós; Trabalho que lhe trouxe fama: Elementos.

36 Os Elementos de Euclides Obra-prima de Euclides, superou qualquer outra criada anteriormente a ela; Nenhum outro trabalho, exceto a Bíblia foi tão largamente usado e estudado como esse; Nenhum outro trabalho exerceu influência maior no pensamento científico; Desde a primeira edição (1482), mais de mil edições apareceram e por mais de dois milênios esse trabalho dominou o ensino da geometria.

37 Sobre os Elementos Nunca se encontrou nenhuma cópia que date da época de Euclides; Edições modernas baseiam-se numa revisão feita por Têon de Alexandria que viveu quase 7 séculos depois de Euclides; Em 1808 foi encontrada na biblioteca do Vaticano uma cópia do século X, anterior à revisão de Têon; Um estudo desse material mostra que embora tenha havido alterações no texto de Euclides, a essência do trabalho continua a mesma de quando Euclides o escreveu.

38 Trabalhos Anteriores aos Elementos Primeira tentativa feita por Hipócrates de Quio e a seguinte por Lêon (em alguma época entre Platão e Eudoxo); A academia de Platão tinha também seus Elementos escritos por Teúdio de Magnésia; A obra de Teúdio foi a precursora imediata à de Euclides que teve acesso a ela, pois estudou na escola de Platão; Como Euclides teve acesso a trabalhos importantes de Teeteto e Eudoxo, seu trabalho provavelmente uma compilação bem sucedida e um arranjo sistemático de trabalhos anteriores; O grande mérito desse trabalho reside na seleção feliz de proposições e no seu arranjo numa seqüência lógica.

39 O conteúdo dos Elementos Conteúdo: geometria, teoria dos números e álgebra elementar (geométrica); O livro é composto de por 465 proposições distribuídas em 13 livros; Os textos de geometria dos livros I, III, IV, VI, XI e XII sobre geometria plana e espacial estão nos livros das escolas secundárias americanas; O material do livro I foi desenvolvido pelos pitagóricos antigos; No livro I aparece, pela primeira vez uma demonstração por reductio ad absurdum que é empregada com freqüência por Euclides.

40 Outros trabalhos de Euclides Além dos elementos, alguns livros escritos por Euclides sobrevivem até hoje: Os Dados; Divisão de Figuras; Outros trabalhos se perderam e foram conhecidos apenas por comentários posteriores: Pseudária (ou livro das falácias geométricas), Cônicas e Lugares de Superfície; Os outros trabalhos referem-se a Matemática Aplicada, sendo que dois deles ainda existem: Os Fenômenos e a Óptica; Supõe-se também que Euclides tenha escrito um trabalho com o título: Elementos de Música.

41 Arquimedes (287 a. C. 212 a. C.) Pintura de Domenico Fetti (1620)

42 Arquimedes (287 a. C. 212 a. C.) Natural da cidade grega de Siracusa (atual Sicília); Maior matemático da antiguidade, figura entre os maiores matemáticos de todos os tempos; Era filho de um astrônomo e desfrutava de alto prestígio junto ao rei Hierão; Há registros segundo os quais, esteve algum tempo no Egito, provavelmente na Universidade de Alexandria; Famoso pela história da coroa do rei Hierão e o ourives (primeira lei da hidrostática).

43 Amigos de Arquimedes Cônon Dositeo Eratóstenes Sucessores de Euclides Bibliotecário da Universidade Arquimedes comunicou muitas de sua descobertas a esses homens.

44 Engenhocas Atribuídas a Arquimedes (podem ser apenas lendas) Catapulta móvel de alcance ajustável; Grandes guindastes que içavam os navios da superfície do mar; Grandes espelhos ustórios (ustório = que queima, que facilita a combustão) para incendiar navios de guerra inimigo (pode ser verdadeiro).

45 Frase Famosa Dê-me uma alavanca que moverei a Terra

46 Trabalhos de Arquimedes Cerca de 10 tratados de Arquimedes se preservaram até hoje e há vestígios de outros extraviados. Talvez a mais notável contribuição feita à Matemática por esses tratados se traduzam no desenvolvimento inicial de alguns dos métodos de Cálculo integral Há razões para se acreditar que alguns dos teoremas de Arquimedes estejam preservados no Liber Assumptorum, uma obra que chegou a nós através dos árabes.

47 Tratados Remanescentes de Arquimedes Na geometria plana: A medida de um círculo (método clássico para cálculo de π); A quadratura da parábola; Sobre as espirais; Na geometria espacial: Sobre a esfera e o cilindro; Sobre os cones e os esferóides;

48 Opúsculos (opúsculo= pequena obra, folheto) sobre aritmética: Introduz um novo sistema de numeração para trabalhar com números muito grandes; (o outro se perdeu) Trabalhos sobre matemática aplicada: Sobre o equilíbrio de figuras planas; Sobre os corpos flutuantes (aplicação da matemática à hidrostática).

49 Invenção Mecânica Mais Conhecida Bomba de água em parafuso, ideada por ele para irrigar campos, drenar charcos e retirar água de porões de navios. Este engenho é usado até hoje no Egito. Conhecido como Parafuso de Arquimedes.

50 Eratóstenes (276 a.c. 196? a.c.)

51 Eratóstenes (276 a.c. 196? a.c.) Natural de Cirene, na costa sul do Mar Mediterrâneo; Passou grande parte de sua vida em Atenas; Aos 40 anos foi convidado por Ptolomeu III do Egito a instala-se em Alexandria e ser tutor de seu filho e bibliotecário-chefe da Universidade local. Por volta de 194 a.c. uma oftalmia o deixou quase cego. Desgostoso, suicidou-se deixando voluntariamente de se alimentar.

52 A biblioteca tinha rolos de papiros; Como bibliotecário, teve acesso a relatos sobre viagens, por isso deixou muitas contribuições para a geografia, além da matemática; Refez o mapa do mundo conhecido na época, em substituição ao feito por Heródoto (450 a.c.); O mapa de Eratóstenes trazia a Alexandria no seu centro, circundada pela Grécia, o Egito e o Oriente Médio.

53 Matemático Astrônomo Poeta Eratóstenes Filósofo Geógrafo Atleta (conhecido como Pentathlus) Historiador

54 Trabalhos Atribuídos a Eratóstenes Medida da circunferência da Terra; Crivo de Eratóstenes (para determinação dos números primos menores do que um número n dado.

55 Apolônio de Perga (262 a.c. 190 a.c.)

56 Apolônio de Perga (262 a.c. 190 a.c.) Um dos três gigantes da matemática do século III a.c., junto com Euclides e Arquimedes; Nasceu em Perga cerca de 25 anos depois de Euclides; Estudou com os sucessores de Euclides em Alexandria; Astrônomo notável, mas que escreveu sobre múltiplos assuntos em matemática também;

57 Contribuições de Apolônio Sua fama se deve principalmente á sua obra: Secções Cônicas, que lhe rendeu o cognome de O grande geômetra ; Escreveu 8 livros, sendo que apenas os primeiros 7 chegaram até nós (quatro em grego e três em uma tradução árabe do século IX). Primeiro a usar o cone circular duplo, reto ou oblíquo para obter as cônicas;

58 Outros Livros de Apolônio Sobre secções proporcionais (apenas esse sobreviveu, em árabe); Sobre secções espaciais; Sobre secções determinadas; Tangências; Inclinações; Lugares planos. Muitos outros trabalhos, além desses citados, se perderam.

59 A Trigonometria Grega (Hiparco, Menelau e Ptolomeu) As origens da trigonometria são obscuras; Encontra-se no Papiro de Rhind alguns problemas envolvendo co-tangente; Na Tábua Plimpton 322 encontra-se uma tábua de secantes; No século IV, o comentador Teon estudou a trigonometria na Grécia Antiga.

60 Hiparco de Nicéia (190 a.c. 120 a.c.)

61 Hiparco de Nicéia (190 a.c. 120 a.c.) Provavelmente o mais eminente astrônomo da Antiguidade; Observador extremamente cuidadoso, determinou a duração do mês lunar médio com erro de aproximadamente 1 em relação ao aceito hoje; Fez um cálculo acurado da inclinação da elíptica; Descobriu uma estimativa da precessão anual dos equinócios; Calculou a paralaxe lunar; Fez a determinação do perigeu e do movimento médio da Lua; Organizou o catálogo de 850 estrelas; Provavelmente foi quem introduziu na Grécia a divisão do círculo em 360 partes; Localizava pontos na superfície da Terra por longitude e latitude.

62 Realizações de Hiparco na Matemática Quase nenhum dos seus escritos chegou até nós. O que sabemos de suas realizações científicas provêm de fontes indiretas; Na matemática, sua maior importância foi no desenvolvimento da trigonometria; Atribui-se a ele um tratado em 12 livros que se ocupa da construção de uma tabela de cordas (tabela de senos trigonométricos).

63 Cláudio Ptolomeu ( d.c.)

64 Cláudio Ptolomeu ( d.c.) Sua obra mais importante é a Síntese Matemática, compêndio astronômico composto de 13 livros, nos quais apresenta e desenvolve argumentos a favor da teoria geocêntrica do universo. Conhecido até hoje como Almagesto. 1º Livro: teoria geocêntrica; 2º Livro: tabela de cordas e rudimentos de trigonometria esférica; 3º Livro: movimento do Sol e duração do ano; 4º e 5º Livros: movimento da Lua e duração dos meses, bem como distância do Sol á Lua; descreve o astrolábio; 6º Livro: eclipses do Sol e da Lua e contém uma tabela desses acontecimentos; 7º e 8º Livros: catálogo de 1022 estrelas; 9º ao 13º Livros: exposição detalhada da teoria geocêntrica.

65 Ptolomeu e a Ciência A tábua de cordas de Ptolomeu é posterior à de Hiparco e baseia-se nela; Ela nos fornece os senos dos ângulos de 0º a 90º, com incrementos de 15 ; O Almagesto manteve-se um trabalho-modelo sobre astronomia até os tempos de Copérnico e Kepler; Ptolomeu escreveu ainda sobre mapas (por meio de projeções), óptica e música.

66 Menelau de Alexandria (viveu por volta de 100 d.c.)

67 Menelau de Alexandria (viveu por volta de 100 d.c.) Publicou também um tratado sobre cordas de um círculo, em 6 livros; Foi contemporâneo de Plutarco; Esses livros se perderam, mas felizmente, porém os 3 livros de seu tratado Sphaerica se preservaram numa versão árabe; Estes livros são como um foco de luz intensa sobre o desenvolvimento da Trigonometria.

68 Herão de Alexandria (10-70 d.c.)

69 Herão de Alexandria (10-70 d.c.) Enciclopedista das áreas de Matemática e Física; Era egípcio com formação grega; Seus escritos enfatizam mais as aplicações práticas do que o acabamento teórico; Forneceu fundamentação científica para a engenharia e a agrimensura; Cerca de 14 tratados de Herão chegaram até nós e outros se perderam.

70 Trabalhos de Herão Podem ser divididos em duas classes: os mecânicos e os geométricos; Mecânicos: descrição de aparelhos mecânicos engenhosos; Geométricos: a maioria são trabalhos de mensuração.

71 Trabalhos de Geometria de Herão O trabalho mais importante foi A Métrica, em três livros; Esta obra só foi descoberta em 1896, em Constantinopla por R. Schöne; Livro I: medida de áreas de polígonos regulares, quadriláteros, círculos, elipses e segmentos parabólicos, cálculo da superfície de sólidos geométricos e cálculo aproximado da raiz quadrada de um inteiro que não é quadrado perfeito; Livro II: volumes de sólidos geométricos; Livro III: aborda o problema da divisão de certas áreas e volumes em partes que estão entre si numa razão dada.

72 Livros de mecânica Pneumatica: descrição de cerca de 100 engenhos mecânicos e brinquedos; Dioptra: descrição e aplicação à engenharia de uma forma antiga de teodolito; Catoptrica: propriedades elementares de espelhos e problemas relativos à construção de espelhos objetivando satisfazer certos requisitos.

73 Álgebra Grega Antiga G.H.F. Nesselmann (1842) caracterizou 3 estágios no desenvolvimento da notação algébrica; Álgebra retórica Álgebra sincopada Álgebra simbólica

74 Notação Algébrica Álgebra retórica (anterior a Diofanto): os argumentos da resolução de um problema são escritos em prosa pura; Álgebra sincopada (criação de Diofanto): adotam-se abreviações para algumas das quantidades e operações que se repetem mais frequentemente; Álgebra simbólica (século XVI): as resoluções se expressão numa espécie de taquigrafia matemática formada por símbolos que aparentemente nada têm a ver com os entes que representam. Este estilo só se impôs pela metade do Século XVII.

75 Diofanto de Alexandria (Século III d.c.) EPITÁFIO DE DIOFANTO Viajante! Aqui estão as cinzas de Diofanto. É milagroso que os números possam medir a extensão da sua vida. Um sexto dela foi uma bela infância. Depois de 1/12 da sua vida, a sua barba cresceu. Um sétimo da sua vida passou-se num casamento sem filhos. Mas, cinco anos após isso, nasceu o seu primeiro filho. Que viveu uma vida feliz durante apenas metade do tempo de vida do seu pai. E, em profundo pesar, o pobre velho terminou os seus dias na Terra, quatro anos após perder o seu filho.

76 Diofanto de Alexandria (Século III d.c.) Pouco se sabe sobre época e local do seu nascimento; Sua importância foi enorme para o desenvolvimento da álgebra; Influenciou grandemente os europeus que posteriormente se dedicaram à Teoria dos Números. Escreveu 3 trabalhos: Aritmética (13 livros dos quais remanesceram 6), Sobre Números Poligonais (do qual remanesceu apenas fragmentos) e Porismas (que se perdeu).

77 Sobre as Obras de Diofanto A Aritmética é uma abordagem analítica da teoria algébrica dos números que eleva o autor à condição de gênio em seu campo; A parte remanescente do trabalho se dedica à resolução de 130 problemas que levam a equações de 1º e 2º graus; Diofanto só admitia respostas entre os números racionais positivos e, na maioria dos casos satisfazia-se com uma resposta apenas do problema; Em Porismas há o teorema (sem prova) A diferença entre dois cubos racionais é também a soma de dois cubos racionais que mereceu a atenção de Viète, Bachet e Fermat.

78 Papus de Alexandria ( d. C.)

79 Papus de Alexandria ( d. C.) Depois de Euclides, Arquimedes e Apolônio, começa o declínio da Geometria e os novos desenvolvimentos limitam-se à astronomia, à trigonometria e à álgebra; Perto do Século III d.c. surge um outro grande geômetra: Papus de Alexandria que, com competência, reacende o interesse por sua matéria; Papus escreve comentários sobre Os Elementos e Os Dados de Euclides e sobre O Almagesto e Planisfério de Ptolomeu.

80 O Grande Trabalho de Papus Foi a Coleção Matemática composta de 8 livros: um guia da geometria da época, acompanhado de comentários, com numerosas proposições originais, aprimoramentos, extensões e notas históricas; Dos oito livros perderam-se o primeiro e parte do segundo; No livro V encontra-se uma passagem interessante sobre abelhas, envolvendo propriedades de máximo e mínimo e os alvéolos dos favos de mel.

81 A Escola de Atenas (Rafael 1510/11)