A Matemática na Grécia

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "A Matemática na Grécia"

Transcrição

1 A Matemática na Grécia Tales, Pitágoras, Euclides, Arquimedes, Eratóstenes, Apolônio, Hiparco, Ptolomeu, Herão, Diofanto, Papus e Menelau (professora Elisabete

2 Helenismo Designa-se por período helenístico (do grego, hellenizein "falar grego", "viver como os gregos") o período da história da Grécia compreendido entre a morte de Alexandre III (O Grande) da Macedónia em 323 a.c. e a anexação da península grega e ilhas por Roma em 147 a.c.. Caracterizouse pela difusão da civilização grega numa vasta área que se estendia do mar Mediterrâneo oriental à Ásia Central. De modo geral, o helenismo foi a concretização de um ideal de Alexandre: o de levar e difundir a cultura grega aos territórios que conquistava. Foi naquele período que as ciências particulares têm seu primeiro e grande desenvolvimento. Foi o tempo de Euclides e Arquimedes. O helenismo marcou um período de transição para o domínio e apogeu de Roma.

3 Os Filósofos da Ágora Ágora era a praça principal na constituição da pólis, a cidade grega da Antigüidade clássica; Nas Ágoras de Atenas e outras cidades-estado, os filósofos ensinavam seus discípulos e lançaram novas idéias; Sem dúvida nenhuma, os maiores cientistas do mundo antigo viveram na pequena Grécia, uma reunião de cidades-estado encarapitadas por sobre uma miscelânea de ilhas rochosas e penínsulas no extremo leste do mar Mediterrâneo, bem nos limites da civilização do Oriente Médio.

4 Contribuições dos Gregos Antigos A revolução agrícola alcançou a Grécia, vinda do Egito e do Oriente Médio, por volta de 2000 a.c., pouco depois da fundação do Império Babilônico pelos amoritas. O Período helênico (de 800 a 336 a.c.) apresentou um progresso intelectual e científico surpreendente, uma das épocas mais notáveis da história em termos de realizações humanas. Foi nessa época que se escreveram histórias reais pela primeira vez: a descrição otimista das gloriosas vitórias gregas sobre os invasores persas feitas por Heródoto (484? -424? a.c.);

5 É dessa época o relato angustiado da luta fratricida entre Esparta e Atenas feita por Tucícides (460? 400? a.c.); O raciocínio dedutivo é usado pela primeira vez em matemática, por Tales de Mileto (640? 564? a.c.) e por Pitágoras (586? 500? a.c.); Hipócrates de Quio ( a quem se deve o famoso juramento médico hipocrático) lançou os fundamentos da medicina moderna; A lógica foi sistematizada num tratamento de Aristóteles; Foi um período de literatura e teatro excelentes, em que pontificaram dramaturgos como Sófocles (496? 406? a.c.) e Aristófanes (445? 385? a. C.).

6 O Berço da Matemática Demonstrativa Mudanças políticas e econômicas ocorrem nos últimos séculos do II milênio a.c.; Algumas civilizações desaparecem e o poder dos egípcios e dos babilônios declinou; Outros povos, especialmente os hebreus, os assírios, os fenícios e os gregos passaram para primeiro plano; Inventou-se o alfabeto e se introduziram as moedas; Numa atmosfera de racionalismo crescente, o homem começa a indagar como e por que?

7 Os homens começam a formular questões fundamentais, como: Por que os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais? Por que o diâmetro de um círculo divide esse círculo ao meio? Os processos antigos do oriente eram suficientes para responder o como mas não bastavam para responder indagações mais científicas na forma de por que? A característica fundamental da matemática (sua feição dedutiva) passou ao primeiro plano.

8 Localização da Grécia Antiga

9 Comparação entre as diversas matemáticas antigas Matemática egípcia Matemática babilônica Matemática grega papiros Tábuas com escrita cuneiforme Não dispõe de fonte primária Nos apoiamos em manuscritos e relatos escritos vários séculos depois de os originais terem sido produzidos

10 A Matemática Grega Há evidências que baseou-se na sabedora oriental (egípcios e babilônios); Principal fonte de informação: Sumário Eudemiano de Proclo (breve resumo do desenvolvimento da geometria grega desde seus primeiros tempos até Euclides); Proclo viveu no século V d.c., mas teve acesso a muitos trabalhos históricos e críticos que de então para cá se perderam, salvo alguns fragmentos preservados por ele próprio e outros.

11 Tales de Mileto (624 a.c a.c.)

12 Resultados em Geometria Atribuídos a Tales Qualquer diâmetro efetua a bissecção do círculo em que é traçado; Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais; Ângulos opostos pelo vértice são iguais; Se dois triângulos têm dois ângulos e um lado em cada um deles respectivamente iguais, então esses triângulos são iguais; Um ângulo inscrito num semi-círculo é reto. (resultado conhecido pelos babilônios cerca de 1400 anos antes)

13 Tales de Mileto (624 a.c a.c.) A geometria demonstrativa começou com Tales de Mileto, um dos sete sábios da Antiguidade, durante a primeira metade do Século VI a.c.; Tales começou sua vida como mercador, tornando-se rico o bastante para dedicar a parte final da sua vida ao estudo e a algumas viagens; Viveu por algum tempo no Egito, e despertou admiração ao calcular a altura de uma pirâmide por meio da sombra.

14 Importância de Tales para a Matemática Tales obteve os resultados mediante alguns raciocínios lógicos e não pela intuição ou experimentalmente. Exemplo: Nos tempos pré-helênicos a igualdade de ângulos opostos pelo vértice era considerada tão óbvia que, se acaso alguém tivesse dúvidas a respeito, bastaria para convencer esse alguém, recortar os ângulos e sobrepor um ao outro.

15 Disney e a Matemágica Donald no País da Matemágica. (Donald in Mathmagic Land, EUA, 1959), filme que prima pela simplicidade da exposição das idéias e por combinar a magia de Walt Disney com a Magia dos números. O resultado é um filme que encantou o mundo e ainda marca crianças e adultos pela profundidade e seriedade de seu conteúdo. Donald no País da Matemágica aborda temas desde proporções, entre elas a famosa Proporção Áurea até as origens do surgimento da música e jogos matemáticos como o bilhar e o xadrez. O curta ainda mostra o quão mais próxima a Matemática pode estar, na natureza e no dia a dia, do que muitos imaginam.

16 Pitágoras de Samos ( a.c)

17 Pitágoras de Samos ( a.c) Mencionado no Sumário Eudemiano; Envolto numa névoa de misticismo; É possível que tenha sido discípulo de Tales; Parece que residiu por algum tempo no Egito; Fundou a famosa Escola Pitagórica: além de um centro de estudos de filosofia, matemática e ciências naturais era também uma irmandade estreitamente unida por ritos secretos e cerimônias; A irmandade continuou a existir por pelo menos dois séculos após a morte de Pitágoras.

18 Números inteiros A Filosofia Pitagórica Causa última das várias características do homem e da matéria Exaltação e estudo das propriedades dos números e da aritmética junto com a geometria, a música e a astronomia. Estas matérias constituíam as artes liberais básicas do programa de estudo pitagórico.

19 Quadrivium (Idade Média) Artes liberais básicas do programa de estudo pitagórico Gramática Lógica Retórica

20 Aritmética Pitagórica Arte prática de calcular com números X Estudo das relações abstratas envolvendo os números Obs: Nos EUA e Inglaterra, até hoje há esta distinção, sendo que a logística é chamada de Teoria dos Números.

21 Teorias com Números Atribuídas a Pitágoras Números amigáveis (cada um deles é a soma dos divisores próprios do outro) Ex: 284 e 220 Números perfeitos (é igual à soma dos seus divisores próprios) Ex: 6, 28, 246 Números deficientes (excede a soma dos seus divisores próprios) Ex: 8 Números abundantes (é menor que a soma de seus divisores próprios)

22 Curiosidades Sobre os Números Perfeitos Se 2 n -1 é um número primo, então 2 n-1 (2 n -1) é um número perfeito; Esta fórmula está nos Elementos de Euclides e leva apenas a números pares; A existência ou não de números perfeitos ímpares é uma das questões abertas da teoria dos números e, se existir, um número desse tipo, ele não tem menos de 200 dígitos; Hoje, conhece-se trinta números perfeitos.

23 Números Figurados Se originaram com os membros mais antigos da escola pitagórica; Expressam o número de pontos em certas configurações geométricas; Elo de ligação entre a geometria e a aritmética. Pode-se estabelecer muitos teoremas interessantes relativos a números figurados. Exemplo: Todo número quadrado é a soma de dois números triangulares sucessivos.

24 Alguns números figurados Números triangulares Números quadrados Números pentagonais Números hexagonais

25 O Teorema de Pitágoras e os Ternos Pitagóricos Embora atribuído a Pitágoras, esse teorema já era conhecido pelos babilônios dos tempos de Hamurabi, mais de um milênio antes de Pitágoras; Mas, sua primeira demonstração geral pode ter sido dada por Pitágoras; Desde os tempos de Pitágoras muitas demonstrações desse teorema foram apresentadas. Em 1940, o matemático americano E. S. Loomis publicou 370 demonstrações, mas ainda há mais.

26 A demonstração clássica (Esta simples e engenhosa demonstração pode ter sido a que os pitagóricos imaginaram) Dado um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c, considere o quadrado cujo lado é b + c. Na figura da esquerda, retiramos do quadrado de lado b + c quatro triângulos iguais ao triângulo retângulo dado, restando um quadrado de lado a. Na figura da direita, retiramos também do quadrado de lado b + c os quatro triângulos iguais ao triângulo retângulo dado, restando um quadrado de lado b e um quadrado de lado c. Logo, a área do quadrado de lado a é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados medem b e c.

27 Os Ternos Pitagóricos O problema dos ternos pitágóricos consiste em encontrar números inteiros a, b e c que possam representar os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo; A análise da tábua de Plimpton 322 oferece evidências razoavelmente convincentes de que os babilônios antigos sabiam como calcular esses ternos. Credita-se aos pitagóricos a fórmula: Fórmula ideada por Platão (c. 380 a.c.) para determinação desses ternos: (2m) 2 + (m 2 1) 2 = (m 2 + 1) 2 Obs: Nenhuma dessas fórmulas fornece todos os ternos pitagóricos.

28 Outros Conhecimentos Matemáticos Atribuídos aos Pitagóricos Descoberta da existência de números irracionais; Parte considerável da álgebra geométrica que se espalha por vários dos livros dos Elementos de Euclides (demonstrações algébricas envolvendo elementos geométricos); Exemplo: (a + b) 2 =a 2 + 2ab + b 2

29 Resolução geométrica de equações quadráticas; Transformações de áreas; Sólidos regulares: o tetraedro, o cubo e o dodecaedro se devem aos pitagóricos embora sejam erroneamente atribuídos a Platão; O raciocínio postulacional: método de raciocínio que tornou-se a verdadeira essência da Matemática Moderna.

30 Os Sólidos Regulares Um poliedro se diz regular se suas faces são polígonos regulares e se seus ângulos são poliédricos são todos congruentes; Só há 5 poliedros regulares diferentes: Tetraedro Hexaedro regular (cubo) Dodecaedro Atribuídos aos pitagóricos Octaedro Icosaedro Atribuídos a Teeteto

31 Os Poliedros de Platão Tetraedro: associado ao fogo, o mais seco dos elementos Dodecaedro: associado ao Universo por ter 12 faces e o zodíaco ter 12 seções Hexaedro regular (cubo): associado à terra, o mais estável dos elementos Interpretações feitas por Johan Kepler ( ) Octaedro: associado ao ar devido a sua instabilidade Icosaedro: associado à água por ser o mais úmido dos elementos

32 Euclides (anos de nascimento e morte são desconhecidos) Interior da antiga Biblioteca de Alexandria.

33 Fundação de Alexandria Com a Guerra do Peloponeso, entre Atenas e Esparta, (de 431 a 404 a.c.) e vitória de Esparta, acaba a hegemonia de Atenas; A Grécia passa a pertencer a Macedônia que tem como rei Alexandre Magno; Com as conquistas de Alexandre, a Grécia toma contato com muitas outras culturas e dá origem à cultura helenística; Com a morte de Alexandre, a Grécia divide-se em três grandes reinos: Reino do Egito, Reino da Síria e Reino da Macedônia.

34 Ptolomeu, em 306 a.c., começou a governar o Egito e escolheu Alexandria para ser sua capital; Construiu a Universidade de Alexandria para atrair homens de saber para o local; A Universidade tinha organização e objetivos semelhantes aos das universidades atuais; Com a sua biblioteca bem habilitada tornou-se a metrópole intelectual da raça grega; Convidou intelectuais de Atenas para desenvolve os campos de estudos, sendo que Euclides, provavelmente foi escolhido para chefiar o departamento de Matemática.

35 Euclides Pouco se sabe sobre ele; Não se sabe ao certo sobre seu local e data de nascimento; Autor de pelo menos 10 trabalhos, mas textos razoavelmente completos de apenas 5 deles chegaram até nós; Trabalho que lhe trouxe fama: Elementos.

36 Os Elementos de Euclides Obra-prima de Euclides, superou qualquer outra criada anteriormente a ela; Nenhum outro trabalho, exceto a Bíblia foi tão largamente usado e estudado como esse; Nenhum outro trabalho exerceu influência maior no pensamento científico; Desde a primeira edição (1482), mais de mil edições apareceram e por mais de dois milênios esse trabalho dominou o ensino da geometria.

37 Sobre os Elementos Nunca se encontrou nenhuma cópia que date da época de Euclides; Edições modernas baseiam-se numa revisão feita por Têon de Alexandria que viveu quase 7 séculos depois de Euclides; Em 1808 foi encontrada na biblioteca do Vaticano uma cópia do século X, anterior à revisão de Têon; Um estudo desse material mostra que embora tenha havido alterações no texto de Euclides, a essência do trabalho continua a mesma de quando Euclides o escreveu.

38 Trabalhos Anteriores aos Elementos Primeira tentativa feita por Hipócrates de Quio e a seguinte por Lêon (em alguma época entre Platão e Eudoxo); A academia de Platão tinha também seus Elementos escritos por Teúdio de Magnésia; A obra de Teúdio foi a precursora imediata à de Euclides que teve acesso a ela, pois estudou na escola de Platão; Como Euclides teve acesso a trabalhos importantes de Teeteto e Eudoxo, seu trabalho provavelmente uma compilação bem sucedida e um arranjo sistemático de trabalhos anteriores; O grande mérito desse trabalho reside na seleção feliz de proposições e no seu arranjo numa seqüência lógica.

39 O conteúdo dos Elementos Conteúdo: geometria, teoria dos números e álgebra elementar (geométrica); O livro é composto de por 465 proposições distribuídas em 13 livros; Os textos de geometria dos livros I, III, IV, VI, XI e XII sobre geometria plana e espacial estão nos livros das escolas secundárias americanas; O material do livro I foi desenvolvido pelos pitagóricos antigos; No livro I aparece, pela primeira vez uma demonstração por reductio ad absurdum que é empregada com freqüência por Euclides.

40 Outros trabalhos de Euclides Além dos elementos, alguns livros escritos por Euclides sobrevivem até hoje: Os Dados; Divisão de Figuras; Outros trabalhos se perderam e foram conhecidos apenas por comentários posteriores: Pseudária (ou livro das falácias geométricas), Cônicas e Lugares de Superfície; Os outros trabalhos referem-se a Matemática Aplicada, sendo que dois deles ainda existem: Os Fenômenos e a Óptica; Supõe-se também que Euclides tenha escrito um trabalho com o título: Elementos de Música.

41 Arquimedes (287 a. C. 212 a. C.) Pintura de Domenico Fetti (1620)

42 Arquimedes (287 a. C. 212 a. C.) Natural da cidade grega de Siracusa (atual Sicília); Maior matemático da antiguidade, figura entre os maiores matemáticos de todos os tempos; Era filho de um astrônomo e desfrutava de alto prestígio junto ao rei Hierão; Há registros segundo os quais, esteve algum tempo no Egito, provavelmente na Universidade de Alexandria; Famoso pela história da coroa do rei Hierão e o ourives (primeira lei da hidrostática).

43 Amigos de Arquimedes Cônon Dositeo Eratóstenes Sucessores de Euclides Bibliotecário da Universidade Arquimedes comunicou muitas de sua descobertas a esses homens.

44 Engenhocas Atribuídas a Arquimedes (podem ser apenas lendas) Catapulta móvel de alcance ajustável; Grandes guindastes que içavam os navios da superfície do mar; Grandes espelhos ustórios (ustório = que queima, que facilita a combustão) para incendiar navios de guerra inimigo (pode ser verdadeiro).

45 Frase Famosa Dê-me uma alavanca que moverei a Terra

46 Trabalhos de Arquimedes Cerca de 10 tratados de Arquimedes se preservaram até hoje e há vestígios de outros extraviados. Talvez a mais notável contribuição feita à Matemática por esses tratados se traduzam no desenvolvimento inicial de alguns dos métodos de Cálculo integral Há razões para se acreditar que alguns dos teoremas de Arquimedes estejam preservados no Liber Assumptorum, uma obra que chegou a nós através dos árabes.

47 Tratados Remanescentes de Arquimedes Na geometria plana: A medida de um círculo (método clássico para cálculo de π); A quadratura da parábola; Sobre as espirais; Na geometria espacial: Sobre a esfera e o cilindro; Sobre os cones e os esferóides;

48 Opúsculos (opúsculo= pequena obra, folheto) sobre aritmética: Introduz um novo sistema de numeração para trabalhar com números muito grandes; (o outro se perdeu) Trabalhos sobre matemática aplicada: Sobre o equilíbrio de figuras planas; Sobre os corpos flutuantes (aplicação da matemática à hidrostática).

49 Invenção Mecânica Mais Conhecida Bomba de água em parafuso, ideada por ele para irrigar campos, drenar charcos e retirar água de porões de navios. Este engenho é usado até hoje no Egito. Conhecido como Parafuso de Arquimedes.

50 Eratóstenes (276 a.c. 196? a.c.)

51 Eratóstenes (276 a.c. 196? a.c.) Natural de Cirene, na costa sul do Mar Mediterrâneo; Passou grande parte de sua vida em Atenas; Aos 40 anos foi convidado por Ptolomeu III do Egito a instala-se em Alexandria e ser tutor de seu filho e bibliotecário-chefe da Universidade local. Por volta de 194 a.c. uma oftalmia o deixou quase cego. Desgostoso, suicidou-se deixando voluntariamente de se alimentar.

52 A biblioteca tinha rolos de papiros; Como bibliotecário, teve acesso a relatos sobre viagens, por isso deixou muitas contribuições para a geografia, além da matemática; Refez o mapa do mundo conhecido na época, em substituição ao feito por Heródoto (450 a.c.); O mapa de Eratóstenes trazia a Alexandria no seu centro, circundada pela Grécia, o Egito e o Oriente Médio.

53 Matemático Astrônomo Poeta Eratóstenes Filósofo Geógrafo Atleta (conhecido como Pentathlus) Historiador

54 Trabalhos Atribuídos a Eratóstenes Medida da circunferência da Terra; Crivo de Eratóstenes (para determinação dos números primos menores do que um número n dado.

55 Apolônio de Perga (262 a.c. 190 a.c.)

56 Apolônio de Perga (262 a.c. 190 a.c.) Um dos três gigantes da matemática do século III a.c., junto com Euclides e Arquimedes; Nasceu em Perga cerca de 25 anos depois de Euclides; Estudou com os sucessores de Euclides em Alexandria; Astrônomo notável, mas que escreveu sobre múltiplos assuntos em matemática também;

57 Contribuições de Apolônio Sua fama se deve principalmente á sua obra: Secções Cônicas, que lhe rendeu o cognome de O grande geômetra ; Escreveu 8 livros, sendo que apenas os primeiros 7 chegaram até nós (quatro em grego e três em uma tradução árabe do século IX). Primeiro a usar o cone circular duplo, reto ou oblíquo para obter as cônicas;

58 Outros Livros de Apolônio Sobre secções proporcionais (apenas esse sobreviveu, em árabe); Sobre secções espaciais; Sobre secções determinadas; Tangências; Inclinações; Lugares planos. Muitos outros trabalhos, além desses citados, se perderam.

59 A Trigonometria Grega (Hiparco, Menelau e Ptolomeu) As origens da trigonometria são obscuras; Encontra-se no Papiro de Rhind alguns problemas envolvendo co-tangente; Na Tábua Plimpton 322 encontra-se uma tábua de secantes; No século IV, o comentador Teon estudou a trigonometria na Grécia Antiga.

60 Hiparco de Nicéia (190 a.c. 120 a.c.)

61 Hiparco de Nicéia (190 a.c. 120 a.c.) Provavelmente o mais eminente astrônomo da Antiguidade; Observador extremamente cuidadoso, determinou a duração do mês lunar médio com erro de aproximadamente 1 em relação ao aceito hoje; Fez um cálculo acurado da inclinação da elíptica; Descobriu uma estimativa da precessão anual dos equinócios; Calculou a paralaxe lunar; Fez a determinação do perigeu e do movimento médio da Lua; Organizou o catálogo de 850 estrelas; Provavelmente foi quem introduziu na Grécia a divisão do círculo em 360 partes; Localizava pontos na superfície da Terra por longitude e latitude.

62 Realizações de Hiparco na Matemática Quase nenhum dos seus escritos chegou até nós. O que sabemos de suas realizações científicas provêm de fontes indiretas; Na matemática, sua maior importância foi no desenvolvimento da trigonometria; Atribui-se a ele um tratado em 12 livros que se ocupa da construção de uma tabela de cordas (tabela de senos trigonométricos).

63 Cláudio Ptolomeu ( d.c.)

64 Cláudio Ptolomeu ( d.c.) Sua obra mais importante é a Síntese Matemática, compêndio astronômico composto de 13 livros, nos quais apresenta e desenvolve argumentos a favor da teoria geocêntrica do universo. Conhecido até hoje como Almagesto. 1º Livro: teoria geocêntrica; 2º Livro: tabela de cordas e rudimentos de trigonometria esférica; 3º Livro: movimento do Sol e duração do ano; 4º e 5º Livros: movimento da Lua e duração dos meses, bem como distância do Sol á Lua; descreve o astrolábio; 6º Livro: eclipses do Sol e da Lua e contém uma tabela desses acontecimentos; 7º e 8º Livros: catálogo de 1022 estrelas; 9º ao 13º Livros: exposição detalhada da teoria geocêntrica.

65 Ptolomeu e a Ciência A tábua de cordas de Ptolomeu é posterior à de Hiparco e baseia-se nela; Ela nos fornece os senos dos ângulos de 0º a 90º, com incrementos de 15 ; O Almagesto manteve-se um trabalho-modelo sobre astronomia até os tempos de Copérnico e Kepler; Ptolomeu escreveu ainda sobre mapas (por meio de projeções), óptica e música.

66 Menelau de Alexandria (viveu por volta de 100 d.c.)

67 Menelau de Alexandria (viveu por volta de 100 d.c.) Publicou também um tratado sobre cordas de um círculo, em 6 livros; Foi contemporâneo de Plutarco; Esses livros se perderam, mas felizmente, porém os 3 livros de seu tratado Sphaerica se preservaram numa versão árabe; Estes livros são como um foco de luz intensa sobre o desenvolvimento da Trigonometria.

68 Herão de Alexandria (10-70 d.c.)

69 Herão de Alexandria (10-70 d.c.) Enciclopedista das áreas de Matemática e Física; Era egípcio com formação grega; Seus escritos enfatizam mais as aplicações práticas do que o acabamento teórico; Forneceu fundamentação científica para a engenharia e a agrimensura; Cerca de 14 tratados de Herão chegaram até nós e outros se perderam.

70 Trabalhos de Herão Podem ser divididos em duas classes: os mecânicos e os geométricos; Mecânicos: descrição de aparelhos mecânicos engenhosos; Geométricos: a maioria são trabalhos de mensuração.

71 Trabalhos de Geometria de Herão O trabalho mais importante foi A Métrica, em três livros; Esta obra só foi descoberta em 1896, em Constantinopla por R. Schöne; Livro I: medida de áreas de polígonos regulares, quadriláteros, círculos, elipses e segmentos parabólicos, cálculo da superfície de sólidos geométricos e cálculo aproximado da raiz quadrada de um inteiro que não é quadrado perfeito; Livro II: volumes de sólidos geométricos; Livro III: aborda o problema da divisão de certas áreas e volumes em partes que estão entre si numa razão dada.

72 Livros de mecânica Pneumatica: descrição de cerca de 100 engenhos mecânicos e brinquedos; Dioptra: descrição e aplicação à engenharia de uma forma antiga de teodolito; Catoptrica: propriedades elementares de espelhos e problemas relativos à construção de espelhos objetivando satisfazer certos requisitos.

73 Álgebra Grega Antiga G.H.F. Nesselmann (1842) caracterizou 3 estágios no desenvolvimento da notação algébrica; Álgebra retórica Álgebra sincopada Álgebra simbólica

74 Notação Algébrica Álgebra retórica (anterior a Diofanto): os argumentos da resolução de um problema são escritos em prosa pura; Álgebra sincopada (criação de Diofanto): adotam-se abreviações para algumas das quantidades e operações que se repetem mais frequentemente; Álgebra simbólica (século XVI): as resoluções se expressão numa espécie de taquigrafia matemática formada por símbolos que aparentemente nada têm a ver com os entes que representam. Este estilo só se impôs pela metade do Século XVII.

75 Diofanto de Alexandria (Século III d.c.) EPITÁFIO DE DIOFANTO Viajante! Aqui estão as cinzas de Diofanto. É milagroso que os números possam medir a extensão da sua vida. Um sexto dela foi uma bela infância. Depois de 1/12 da sua vida, a sua barba cresceu. Um sétimo da sua vida passou-se num casamento sem filhos. Mas, cinco anos após isso, nasceu o seu primeiro filho. Que viveu uma vida feliz durante apenas metade do tempo de vida do seu pai. E, em profundo pesar, o pobre velho terminou os seus dias na Terra, quatro anos após perder o seu filho.

76 Diofanto de Alexandria (Século III d.c.) Pouco se sabe sobre época e local do seu nascimento; Sua importância foi enorme para o desenvolvimento da álgebra; Influenciou grandemente os europeus que posteriormente se dedicaram à Teoria dos Números. Escreveu 3 trabalhos: Aritmética (13 livros dos quais remanesceram 6), Sobre Números Poligonais (do qual remanesceu apenas fragmentos) e Porismas (que se perdeu).

77 Sobre as Obras de Diofanto A Aritmética é uma abordagem analítica da teoria algébrica dos números que eleva o autor à condição de gênio em seu campo; A parte remanescente do trabalho se dedica à resolução de 130 problemas que levam a equações de 1º e 2º graus; Diofanto só admitia respostas entre os números racionais positivos e, na maioria dos casos satisfazia-se com uma resposta apenas do problema; Em Porismas há o teorema (sem prova) A diferença entre dois cubos racionais é também a soma de dois cubos racionais que mereceu a atenção de Viète, Bachet e Fermat.

78 Papus de Alexandria ( d. C.)

79 Papus de Alexandria ( d. C.) Depois de Euclides, Arquimedes e Apolônio, começa o declínio da Geometria e os novos desenvolvimentos limitam-se à astronomia, à trigonometria e à álgebra; Perto do Século III d.c. surge um outro grande geômetra: Papus de Alexandria que, com competência, reacende o interesse por sua matéria; Papus escreve comentários sobre Os Elementos e Os Dados de Euclides e sobre O Almagesto e Planisfério de Ptolomeu.

80 O Grande Trabalho de Papus Foi a Coleção Matemática composta de 8 livros: um guia da geometria da época, acompanhado de comentários, com numerosas proposições originais, aprimoramentos, extensões e notas históricas; Dos oito livros perderam-se o primeiro e parte do segundo; No livro V encontra-se uma passagem interessante sobre abelhas, envolvendo propriedades de máximo e mínimo e os alvéolos dos favos de mel.

81 A Escola de Atenas (Rafael 1510/11)

Profa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1

Profa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1 Profa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1 Aula 14: A Matemática Grega: Pitágoras e os Pitagóricos 17/04/2015 2 Pitágoras de Samos Aproximadamente 572 a.c. Discípulo de Tales de Mileto,

Leia mais

Vestibular1 A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br Breve Introdução Histórica aos Sólidos Platônicos

Vestibular1 A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br Breve Introdução Histórica aos Sólidos Platônicos Breve Introdução Histórica aos Sólidos Platônicos Cerca de 600 A.C. nas colônias gregas da Jônia, na costa oeste da Turquia, surgem dois dos principais matemáticos gregos: Tales de Mileto e Pitágoras de

Leia mais

O TRIÂNGULO E A NATUREZA: UMA RELAÇÃO ABSTRATA OU CONCRETA

O TRIÂNGULO E A NATUREZA: UMA RELAÇÃO ABSTRATA OU CONCRETA O TRIÂNGULO E A NATUREZA: UMA RELAÇÃO ABSTRATA OU CONCRETA MOURA, William da Silva GALDINO, Luiz da Silva RESUMO Este estudo trata de uma pesquisa bibliográfica que tem como objetivo investigar a existência

Leia mais

Educação Matemática. Prof. Andréa Cardoso 2013/2

Educação Matemática. Prof. Andréa Cardoso 2013/2 Educação Matemática Prof. Andréa Cardoso 2013/2 UNIDADE I Educação Matemática e Ensino HISTÓRIA DA ESCOLA Quando e como surgiram as escolas? ESCOLA, do grego SKHOLE que significa LAZER EDUCAR, do latim

Leia mais

ESCALAS. Escala numérica objeto. é a razão entre a dimensão gráfica e a dimensão real de um determinado. d/d = 1/Q

ESCALAS. Escala numérica objeto. é a razão entre a dimensão gráfica e a dimensão real de um determinado. d/d = 1/Q ESCLS Importância da escala: O uso de uma escala é indispensável quando se faz necessário representar um objeto graficamente mantendo a proporção entre suas partes ou em relação a outros objetos. Escala

Leia mais

CONTEÚDOS DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA

CONTEÚDOS DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA CONTEÚDOS DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA 6ºANO CONTEÚDOS-1º TRIMESTRE Números naturais; Diferença entre número e algarismos; Posição relativa do algarismo dentro do número; Leitura do número; Sucessor e antecessor;

Leia mais

Elementos de Astronomia

Elementos de Astronomia Elementos de Astronomia Astronomia Antiga, Esfera Celeste, Coordenadas e Movimento Diurno dos Astros Rogemar A. Riffel Sala 1316 e-mail: rogemar@ufsm.br http://www.ufsm.br/rogemar/ensino.html Por que estudar

Leia mais

3ª parte Nome: ESTUDO DIRIGIDO 2

3ª parte Nome: ESTUDO DIRIGIDO 2 Disciplina: Educação Matemática Quadro de Notas Assunto: A Matemática Grega (parte 1) Valor Nota Professor: Andréa Cardoso 1ª parte 5,0 Data: 14 de agosto de 2015 2ª parte 5,0 Discussão: 17 de agosto de

Leia mais

(professora Elisabete eguerato@globo.com) A MATEMÁTICA NA CHINA NOS DIFERENTES PERÍODOS

(professora Elisabete eguerato@globo.com) A MATEMÁTICA NA CHINA NOS DIFERENTES PERÍODOS (professora Elisabete eguerato@globo.com) A MATEMÁTICA NA CHINA NOS DIFERENTES PERÍODOS A HISTÓRIA CHINESA De 2000 a 600 a.c. China Antiga De 600 a.c. a 221 d.c. China Clássica De 221 a 1911 China Imperial

Leia mais

17º Congresso de Iniciação Científica O CONHECIMENTO GEOMÉTRICO EM PORTUGAL NO SÉCULO XVI E SUAS APLICAÇÕES NA CARTOGRAFIA MARÍTIMA

17º Congresso de Iniciação Científica O CONHECIMENTO GEOMÉTRICO EM PORTUGAL NO SÉCULO XVI E SUAS APLICAÇÕES NA CARTOGRAFIA MARÍTIMA 17º Congresso de Iniciação Científica O CONHECIMENTO GEOMÉTRICO EM PORTUGAL NO SÉCULO XVI E SUAS APLICAÇÕES NA CARTOGRAFIA MARÍTIMA Autor(es) FLÁVIA DE ALMEIDA LUCATTI Orientador(es) JOANA DARC DA SILVA

Leia mais

Panorama dos pré-socráticos ao helenismo

Panorama dos pré-socráticos ao helenismo Panorama dos pré-socráticos ao helenismo Heidi Strecker* A filosofia é um saber específico e tem uma história que já dura mais de 2.500 anos. A filosofia nasceu na Grécia antiga - costumamos dizer - com

Leia mais

Os Sólidos de Platão. Colégio Santa Maria Matemática III Geometria Espacial Sólidos Geométricos Prof.º Wladimir

Os Sólidos de Platão. Colégio Santa Maria Matemática III Geometria Espacial Sólidos Geométricos Prof.º Wladimir Sólidos Geométricos As figuras geométricas espaciais também recebem o nome de sólidos geométricos, que são divididos em: poliedros e corpos redondos. Vamos abordar as definições e propriedades dos poliedros.

Leia mais

Cartografia terrestre e celeste

Cartografia terrestre e celeste Cartografia terrestre e celeste André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon 16 de março de 2011 Representação do mundo habitável Todos nós já olhamos um globo terrestre, mapas de diferentes

Leia mais

PITÁGORAS DE SAMOS: SEU MITO E SUA HERANÇA CIENTÍFICO CULTURAL

PITÁGORAS DE SAMOS: SEU MITO E SUA HERANÇA CIENTÍFICO CULTURAL PITÁGORAS DE SAMOS: SEU MITO E SUA HERANÇA CIENTÍFICO CULTURAL Carla Regina Gomes Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro - Campus Nova Iguaçu caregomes@yahoo.com.br 1. Introdução Admite-se que os

Leia mais

Educação Matemática. Profª. Andréa Cardoso MATEMÁTICA - LICENCIATURA 2015/2

Educação Matemática. Profª. Andréa Cardoso MATEMÁTICA - LICENCIATURA 2015/2 Educação Matemática Profª. Andréa Cardoso MATEMÁTICA - LICENCIATURA 2015/2 UNIDADE I: EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E ENSINO Influência Grega e Árabe no Ensino de Matemática da Idade Média PRÉ-HISTÓRIA Período que

Leia mais

DAS CORDAS PARA O SENO: UMA EXPERIÊNCIA DE ENSINO EM TRIGONOMETRIA

DAS CORDAS PARA O SENO: UMA EXPERIÊNCIA DE ENSINO EM TRIGONOMETRIA DAS CORDAS PARA O SENO: UMA EXPERIÊNCIA DE ENSINO EM TRIGONOMETRIA Bernadete Barbosa Morey Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN bernadetemorey@gmail.com Severino Carlos Gomes Instituto Federal

Leia mais

Geometria Espacial Elementos de Geometria Espacial Prof. Fabiano

Geometria Espacial Elementos de Geometria Espacial Prof. Fabiano Geometria Espacial Elementos de Geometria Espacial Prof. Fabiano A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo

Leia mais

MATERIAL DE DIVULGAÇÃO DA EDITORA MODERNA

MATERIAL DE DIVULGAÇÃO DA EDITORA MODERNA MATERIAL DE DIVULGAÇÃO DA EDITORA MODERNA Professor, nós, da Editora Moderna, temos como propósito uma educação de qualidade, que respeita as particularidades de todo o país. Desta maneira, o apoio ao

Leia mais

A Geometria e as distâncias astronômicas na Grécia Antiga

A Geometria e as distâncias astronômicas na Grécia Antiga A Geometria e as distâncias astronômicas na Grécia Antiga Geraldo Ávila Qual é o mais distante: o Sol ou a Lua? Quais os tamanhos da Terra, Sol e Lua? A busca das respostas à essas perguntas intrigantes

Leia mais

Educação Matemática. Prof. Andréa Cardoso 2013/2

Educação Matemática. Prof. Andréa Cardoso 2013/2 Educação Matemática Prof. Andréa Cardoso 2013/2 UNIDADE I Educação Matemática e Ensino HISTÓRIA DA ESCOLA Quando e como surgiram as escolas? ESCOLA, do grego SKHOLE que significa LAZER EDUCAR, do latim

Leia mais

Matemática 2. 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um. 02. Abaixo temos uma ilustração da Victoria Falls Bridge.

Matemática 2. 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um. 02. Abaixo temos uma ilustração da Victoria Falls Bridge. Matemática 2 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um paralelepípedo retângulo acoplado a um prisma triangular. 1,6m 1m 1,4m Calcule o volume da estrutura, em dm 3, e indique

Leia mais

A Física na Grécia Antiga Quarta Parte: Período Helenístico. Antônio Roque USP Ribeirão Preto

A Física na Grécia Antiga Quarta Parte: Período Helenístico. Antônio Roque USP Ribeirão Preto A Física na Grécia Antiga Quarta Parte: Período Helenístico Antônio Roque USP Ribeirão Preto Escolas atenienses: Período Helenístico Academia (388 a.c. a ~83 a.c.): fundada por Platão (refundada por neoplatônicos

Leia mais

Pitágoras e os pitagóricos

Pitágoras e os pitagóricos Pitágoras e os pitagóricos ΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣ Mais do que um estudioso, Pitágoras foi um profeta, um místico, nascido na ilha de Samos (570 a.c).

Leia mais

Anexo B Relação de Assuntos Pré-Requisitos à Matrícula

Anexo B Relação de Assuntos Pré-Requisitos à Matrícula Anexo B Relação de Assuntos Pré-Requisitos à Matrícula MINISTÉRIO DA DEFESA EXÉRCITO BRASILEIRO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO E CULTURA DO EXÉRCITO DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PREPARATÓRIA E ASSISTENCIAL RELAÇÃO

Leia mais

FÓRMULA DE BHÀSKARA E RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU INSPIRADOS EM PROCEDIMENTOS DO PAPIRO DE MOSCOU E RHIND

FÓRMULA DE BHÀSKARA E RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU INSPIRADOS EM PROCEDIMENTOS DO PAPIRO DE MOSCOU E RHIND FÓRMULA DE BHÀSKARA E RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO º GRAU INSPIRADOS EM PROCEDIMENTOS DO PAPIRO DE MOSCOU E RHIND Hélio Oliveira Rodrigues SEE/PE helio/baixoofr@ig.com.br José Roberto da Silva UPE; FAINTVISA/PE;

Leia mais

HISTORIA da GEODESIA. Geodesia na Antiguidade Idade Média na Geodesia O Renascimento na Geodesia A era Moderna na Geodesia

HISTORIA da GEODESIA. Geodesia na Antiguidade Idade Média na Geodesia O Renascimento na Geodesia A era Moderna na Geodesia HISTORIA da GEODESIA Idade Média na Geodesia O Renascimento na Geodesia A era Moderna na Geodesia É a mais antiga das Ciências da Terra (geociência) Compreender a geometria da Terra... observando o céu!

Leia mais

Fundamentos da Matemática Fernando Torres. Números Complexos. Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508

Fundamentos da Matemática Fernando Torres. Números Complexos. Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508 Fundamentos da Matemática Fernando Torres Números Complexos Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508 Sumário 1. História...3 2.Introdução...4 3. A origem de i ao quadrado igual a -1...7 4. Adição, subtração,

Leia mais

Matriz Curricular de Matemática 6º ao 9º ano 6º ano 6º Ano Conteúdo Sistemas de Numeração Sistema de numeração Egípcio Sistema de numeração Romano Sistema de numeração Indo-arábico 1º Trimestre Conjunto

Leia mais

DESCOBRINDO OS POLIEDROS DE PLATÃO

DESCOBRINDO OS POLIEDROS DE PLATÃO DESCOBRINDO OS POLIEDROS DE PLATÃO Thatielle Demski Martins 1 Viviane Goldoni 2 RESUMO Neste mini-curso, propomo-nos a apresentar um pouco mais sobre a geometria. Iremos explorar os Poliedros de Platão,

Leia mais

LEGADOS / CONTRIBUIÇÕES. Democracia Cidadão democracia direta Olimpíadas Ideal de beleza Filosofia História Matemática

LEGADOS / CONTRIBUIÇÕES. Democracia Cidadão democracia direta Olimpíadas Ideal de beleza Filosofia História Matemática LEGADOS / CONTRIBUIÇÕES Democracia Cidadão democracia direta Olimpíadas Ideal de beleza Filosofia História Matemática GEOGRAFIA, ECONOMIA E POLÍTICA Terreno montanhoso Comércio marítimo Cidades-estado

Leia mais

A Escola de Pitágoras

A Escola de Pitágoras Quem foi Pitágoras? Pitágoras, um dos maiores filósofos da Europa antiga, era filho de um gravador, Mnesarco. Nasceu cerca de 580 anos a.c., em Samos, uma ilha do mar Egeu, ou, segundo alguns, em Sidon,

Leia mais

Introdução À Astronomia e Astrofísica 2010

Introdução À Astronomia e Astrofísica 2010 CAPÍTULO 7 ÓRBITA DOS PLANETAS. LEIS DE KEPLER E DE NEWTON. Movimento dos Planetas. O Modelo Geocêntrico. O Modelo Heliocêntrico. Leis de Kepler. Isaac Newton e Suas Leis. Recapitulando as aulas anteriores:

Leia mais

PESQUISA EM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: UMA EXPERIÊNCIA NO ENSINO MÉDIO

PESQUISA EM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: UMA EXPERIÊNCIA NO ENSINO MÉDIO ISSN 2316-7785 PESQUISA EM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: UMA EXPERIÊNCIA NO ENSINO MÉDIO Sandra Regina Figueiredo de Miranda EEEFM Coronel Sarmento/SEDUC sandramir2005@yahoo.com.br Nazareno Messias amoras Magina

Leia mais

Disciplina de Matemática Professora: Dora Almeida

Disciplina de Matemática Professora: Dora Almeida Disciplina de Matemática Professora: Dora Almeida Escola Secundária de D. Luísa de Gusmão Trabalho elaborado por: -Andreia Domingos nº 4 -Cátia Santos nº 7 10ºB 1 O que é o Número de Ouro...pág 3, 4 e

Leia mais

Aplicações de Combinatória e Geometria na Teoria dos Números

Aplicações de Combinatória e Geometria na Teoria dos Números Aplicações de Combinatória e Geometria na Teoria dos Números Nesse artigo vamos discutir algumas abordagens diferentes na Teoria dos Números, no sentido de envolverem também outras grandes áreas, como

Leia mais

UMA ANÁLISE METODOLÓGICA DO ENSINO DAS CÔNICAS NO ENSINO BÁSICO

UMA ANÁLISE METODOLÓGICA DO ENSINO DAS CÔNICAS NO ENSINO BÁSICO UMA ANÁLISE METODOLÓGICA DO ENSINO DAS CÔNICAS NO ENSINO BÁSICO Cicero da Silva Pereira Universidade Estadual da Paraíba - UEPB cspmat@hotmail.com Deodório Souza da Costa Escola Estadual Dom Adauto deodoriosouza@hotmail.com

Leia mais

ALEXA X NDR D E, E O G RANDE D

ALEXA X NDR D E, E O G RANDE D ALEXANDRE, O GRANDE A Macedônia é um país nos Balcãs, leste da Europa, que faz fronteira com a Grécia, Sérvia,Albânia e Bulgária. Foi anexada à Iugoslávia e no século XX, tornou-se independente LOCALIZAÇÃO

Leia mais

ROTEIRO DE ESTUDO - 2013 VP4 MATEMÁTICA 3 a ETAPA 6 o ao 9º Ano INTEGRAL ENSINO FUNDAMENTAL 1º E 2º ANOS INTEGRAIS ENSINO MÉDIO

ROTEIRO DE ESTUDO - 2013 VP4 MATEMÁTICA 3 a ETAPA 6 o ao 9º Ano INTEGRAL ENSINO FUNDAMENTAL 1º E 2º ANOS INTEGRAIS ENSINO MÉDIO 6 o ANO MATEMÁTICA I Adição e subtração de frações: Frações com denominadores iguais. Frações com denominadores diferentes. Multiplicação de um número natural por uma fração. Divisão entre um número natural

Leia mais

O mundo à nossa volta é povoado de formas as mais variadas tanto nos elementos da natureza como nos de objetos construídos pelo homem.

O mundo à nossa volta é povoado de formas as mais variadas tanto nos elementos da natureza como nos de objetos construídos pelo homem. TRIDIMENSIONALIDADE O mundo à nossa volta é povoado de formas as mais variadas tanto nos elementos da natureza como nos de objetos construídos pelo homem. As formas tridimensionais são aquelas que têm

Leia mais

MESOPOTÂMIA. TERRA ENTRE RIOS Prof. Ive

MESOPOTÂMIA. TERRA ENTRE RIOS Prof. Ive MESOPOTÂMIA TERRA ENTRE RIOS Prof. Ive ASPECTOS FÍSICOS Os dois rios mais importantes são o Tigre e o Eufrates. Localiza-se, predominantemente, no Crescente Fértil, onde hoje está o Iraque. Possui precárias

Leia mais

Planificação de Matemática -6ºAno

Planificação de Matemática -6ºAno DGEstE - Direção-Geral de Estabelecimentos Escolares Direção de Serviços Região Alentejo Agrupamento de Escolas de Moura código n.º 135471 Escola Básica nº 1 de Moura (EB23) código n.º 342294 Planificação

Leia mais

PARA A CIÊNCIA PARA A TECNOLOGIA PARA A SOCIEDADE

PARA A CIÊNCIA PARA A TECNOLOGIA PARA A SOCIEDADE PARA A CIÊNCIA PARA A TECNOLOGIA PARA A SOCIEDADE Essas são atividades de grande influência no desenvolvimento humano. Procura entender os fenômenos e criar teorias adequadas que possam explicar os acontecimentos.

Leia mais

ESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICA COLETÂNEA DE PROVAS DE MATEMÁTICA DO EXAME DE ADMISSÃO AO CURSO DE FORMAÇÃO DE SARGENTOS.

ESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICA COLETÂNEA DE PROVAS DE MATEMÁTICA DO EXAME DE ADMISSÃO AO CURSO DE FORMAÇÃO DE SARGENTOS. ESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICA COLETÂNEA DE PROVAS DE MATEMÁTICA DO EXAME DE ADMISSÃO AO CURSO DE FORMAÇÃO DE SARGENTOS ÁLGEBRA I: 003 a 013 Funções: definição de função; funções definidas por

Leia mais

4ª. Apostila de Filosofia História da Filosofia: Filosofia Grega: Período Helenístico Filosofia Medieval. Introdução

4ª. Apostila de Filosofia História da Filosofia: Filosofia Grega: Período Helenístico Filosofia Medieval. Introdução 1 4ª. Apostila de Filosofia História da Filosofia: Filosofia Grega: Período Helenístico Filosofia Medieval Introdução O último período da Filosofia Grega é o Helenístico (Sec. III a.c.-vi d.c.). É um período

Leia mais

O NÚMERO DE OURO E SUA RELAÇÃO COM A BELEZA E HARMONIA DOS OBJETOS. GT 10 - Docência em Matemática: desafios, contextos e possibilidades

O NÚMERO DE OURO E SUA RELAÇÃO COM A BELEZA E HARMONIA DOS OBJETOS. GT 10 - Docência em Matemática: desafios, contextos e possibilidades O NÚMERO DE OURO E SUA RELAÇÃO COM A BELEZA E HARMONIA DOS OBJETOS GT 10 - Docência em Matemática: desafios, contextos e possibilidades Marília Lidiane Chaves da Costa marilialidiane@gmail.com Izamara

Leia mais

O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT

O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT Prof. Wilker Lima UEPB Setembro 2009 Enunciado do Teorema (UTF) A equação x n +y n = z n, para todo n ϵ N com n>2, não possui soluções inteiras não-nulas; Equivalentemente, se

Leia mais

Educação Matemática. Profª. Andréa Cardoso MATEMÁTICA - LICENCIATURA 2015/2

Educação Matemática. Profª. Andréa Cardoso MATEMÁTICA - LICENCIATURA 2015/2 Educação Matemática Profª. Andréa Cardoso MATEMÁTICA - LICENCIATURA 2015/2 UNIDADE I: EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E ENSINO Escolas da Antiguidade Geometria Aritmética Música Elementos de Euclides (300 a.c.) Geometria

Leia mais

A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA. EPISÓDIO: GÊNIOS DO ORIENTE.

A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA. EPISÓDIO: GÊNIOS DO ORIENTE. A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA. EPISÓDIO: GÊNIOS DO ORIENTE. Resumo Após a queda do Império Grego, o desenvolvimento da Matemática dedutiva sofreu um grande impacto. O oriente, porém, continua a desenvolver

Leia mais

Sumário. Apresentação da Coleção... 23

Sumário. Apresentação da Coleção... 23 Sumário Apresentação da Coleção... 23 INTRODUÇÃO... 25 O que é lógica?... 25 Divisão da Filosofia... 29 Lógica de Aristóteles... 30 Lógica Moderna... 30 Raciocínio lógico matemático... 32 Objeto da lógica...

Leia mais

Geometria Métrica Espacial. Geometria Métrica Espacial

Geometria Métrica Espacial. Geometria Métrica Espacial UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 1. Prismas Geometria Métrica

Leia mais

FRANCA: O ENSINO DE GEOMETRIA HOJE

FRANCA: O ENSINO DE GEOMETRIA HOJE 601 FRANCA: O ENSINO DE GEOMETRIA HOJE Sócrates Eduardo Chieregato (UNI-FACEF) Sílvia R. Viel Rodrigues (Uni-FACEF) Ensino de Geometria no Brasil Em meados da década de 70, o Brasil sofreu um forte declínio

Leia mais

As aventuras do Geodetetive 1: A circunferência da Terra. Série Matemática na Escola

As aventuras do Geodetetive 1: A circunferência da Terra. Série Matemática na Escola As aventuras do Geodetetive 1: A circunferência da Terra Série Matemática na Escola Objetivos 1. Apresentar o método de Eratóstenes (276 194 a.c.) para o cálculo da circunferência da Terra. Este é um exemplo

Leia mais

Escola Secundária de Dona Luísa de Gusmão 10º B

Escola Secundária de Dona Luísa de Gusmão 10º B Escola Secundária de Dona Luísa de Gusmão 10º B David nº9 Ricardo Pereira nº15 Sílvia nº19 1 Introdução...3 O que é o número de ouro...4, 5 e 6 Quem foi Leonardo Fibonacci...7 Leonardo Da Vinci...8 O número

Leia mais

Universidade Estadual de Londrina (Reconhecida pelo Decreto Federal n. 69.324 de 07/10/71)

Universidade Estadual de Londrina (Reconhecida pelo Decreto Federal n. 69.324 de 07/10/71) DELIBERAÇÃO Câmara de Pós-Graduação Nº 06/2013 Reestrutura o Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT). CONSIDERANDO a solicitação da Comissão Coordenadora do Programa,

Leia mais

MATEMÁTICA. 9.º Ano / 8. a Série Ensino Fundamental. Reprodução AUTORES. Nome: Turma: Escola:

MATEMÁTICA. 9.º Ano / 8. a Série Ensino Fundamental. Reprodução AUTORES. Nome: Turma: Escola: MATEMÁTICA 9.º Ano / 8. a Série Ensino Fundamental LIVRO Reprodução AUTORES Luciana Maria Tenuta de Freitas Licenciada e bacharel em Matemática pela UFMG. Mestre em Ensino de Matemática pela PUC Minas.

Leia mais

Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Campus VII - Unidade Timóteo - Engenharia da Computação. Filosofia Antiga

Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Campus VII - Unidade Timóteo - Engenharia da Computação. Filosofia Antiga Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Campus VII - Unidade Timóteo - Engenharia da Computação Filosofia Antiga Leandro de Oliveira Pinto; Gabriela Campos Gama. Orientador: Prof. RIVALDO

Leia mais

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NAS AULAS DE TRIGONOMETRIA

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NAS AULAS DE TRIGONOMETRIA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NAS AULAS DE TRIGONOMETRIA Francisco Canindé de Oliveira Escola Est. Des. Floriano Cavalcanti (Natal, RN) candeoliv@bol.com.br Dra. Bernadete B. Morey.UFRN (Orientadora) bernadetemorey@matrix.com.br

Leia mais

Colégio Anglo de Sete Lagoas Professor: Luiz Daniel (31) 2106-1750

Colégio Anglo de Sete Lagoas Professor: Luiz Daniel (31) 2106-1750 Lista de exercícios de Geometria Espacial PRISMAS 1) Calcular a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo de dimensões 10 cm, 8 cm e 6 cm 10 2 cm 2) Determine a capacidade em dm 3 de um paralelepípedo

Leia mais

Equações do 2º grau a uma incógnita

Equações do 2º grau a uma incógnita Equações do º grau a uma incógnita Proposta de sequência de tarefas para o 9.º ano - 3.º ciclo Julho de 011 Autores: Professores das turmas piloto do 9º ano de escolaridade Ano Lectivo 010 / 011 Novo Programa

Leia mais

M A T E M Á T I C A DIRETRIZES GERAIS

M A T E M Á T I C A DIRETRIZES GERAIS M A T E M Á T I C A DIRETRIZES GERAIS O conteúdo programático de Matemática dos processos seletivos da UFU tem como objetivo identificar a habilidade do estudante em resolver problemas, fazer conexões

Leia mais

A NAVEGAÇÃO ASTRONÔMICA É SIMPLES?

A NAVEGAÇÃO ASTRONÔMICA É SIMPLES? A NAVEGAÇÃO ASTRONÔMICA É SIMPLES? 2005 Curso de Capitão o Amador: PROGRAMA E INSTRUÇÕES GERAIS PARA O EXAME DE CAPITÃO O exame para a categoria de Capitão Amador constará de uma prova escrita, com duração

Leia mais

Leucipo de Mileto e Demócrito de Abdera. Pércio Augusto Mardini Farias

Leucipo de Mileto e Demócrito de Abdera. Pércio Augusto Mardini Farias Pércio Augusto Mardini Farias Este documento tem nível de compartilhamento de acordo com a licença 2.5 do Creative Commons. http://creativecommons.org.br http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/br/

Leia mais

Disciplina:História Professora: Andréa Alexandre

Disciplina:História Professora: Andréa Alexandre Disciplina:História Professora: Andréa Alexandre Montanhas e costas marítimas; Mar Mediterrâneo, Mar Egeo e Mar Jônico. Costa bastante recortada com 80% de montanhas; Grande numero de Ilhas; Formação

Leia mais

EDITAL 2015 Testes de Português e Matemática - Material: com foto PORTUGUÊS Indicação bibliográfica: Na ponta da língua MATEMÁTICA

EDITAL 2015 Testes de Português e Matemática - Material: com foto PORTUGUÊS Indicação bibliográfica: Na ponta da língua MATEMÁTICA EDITAL 2015 2º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL Testes de Português e Matemática - Material: o candidato deverá trazer: lápis apontados, apontador, borracha e o Compreensão e interpretação de textos; exploração

Leia mais

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Probabilidade 10 (0,95%)

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Probabilidade 10 (0,95%) Distribuição das.08 Questões do I T A 9 (8,97%) 0 (9,9%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais (, 0 (9,6%) Geo. Analítica Conjuntos (,96%) Geo. Espacial Funções Binômio de Newton

Leia mais

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DAS PROVAS / ATIVIDADES PEDAGÓGICAS Processo Seletivo 2016 para Ensino Fundamental e Ensino Médio

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DAS PROVAS / ATIVIDADES PEDAGÓGICAS Processo Seletivo 2016 para Ensino Fundamental e Ensino Médio / ATIVIDADES PEDAGÓGICAS 1º Ano do Ensino Fundamental (Alunos concluintes do 2º Período da Educação Infantil) Escrita do nome completo; Identificar e reconhecer as letras do alfabeto; Identificar e diferenciar

Leia mais

no de Questões A Unicamp comenta suas provas

no de Questões A Unicamp comenta suas provas Cad no de Questões A Unicamp comenta suas provas 99 SEGUNDA FASE 4 de Janeiro de 998 Matemática 0 prova de Matemática do Vestibular Unicamp procura identificar nos candidatos um conhecimento crítico e

Leia mais

Como abrir um túnel se você sabe Geometria

Como abrir um túnel se você sabe Geometria Como abrir um túnel se você sabe Geometria Euclides Rosa A ilha de Samos, que ainda pertence à Grécia, fica a menos de 2 quilômetros da Costa da Turquia. Há 2.500 anos, toda aquela região era habitada

Leia mais

MATEMÁTICA Abril 2015

MATEMÁTICA Abril 2015 152547 - Agrupamento de Escolas D. António Ferreira Gomes 342592 - Escola E.B. 2,3 D. António Ferreira Gomes INFORMAÇÃO - PROVA FINAL A NÍVEL DE ESCOLA MATEMÁTICA Abril 2015 3.º Ciclo do Ensino Básico

Leia mais

TÍTULO DO PROGRAMA. NASCER Série: Lendas da Ciência SINOPSE DO PROGRAMA

TÍTULO DO PROGRAMA. NASCER Série: Lendas da Ciência SINOPSE DO PROGRAMA TÍTULO DO PROGRAMA NASCER Série: Lendas da Ciência SINOPSE DO PROGRAMA O filósofo Michel Serres conduz o documentário ao mundo grego dos séculos 5 e 6 antes de Cristo, para mostrar o momento que ele considera

Leia mais

Desafios Matemáticos! 8º ano

Desafios Matemáticos! 8º ano Desafios Matemáticos! 8º ano Introdução Olá! Eu chamo-me Jaguaretê e sou uma onça. Eu vivo na Amazónia e tenho uma paixão: a Matemática. Neste manual irei ajudar-te a compreender e a admirar esse maravilhoso

Leia mais

COLÉGIO XIX DE MARÇO excelência em educação

COLÉGIO XIX DE MARÇO excelência em educação COLÉGIO XIX DE MARÇO excelência em educação 1ª PROVA PARCIAL DE HISTÓRIA Aluno(a): Nº Ano: 1º Turma: Data: 26/03/2011 Nota: Professora: Élida Valor da Prova: 40 pontos Assinatura do responsável: Orientações

Leia mais

Aristarco e as dimensões astronômicas. Geraldo Ávila. Introdução

Aristarco e as dimensões astronômicas. Geraldo Ávila. Introdução Aristarco e as dimensões astronômicas Geraldo Ávila Introdução Em artigo na RPM 54 falamos de Eratóstenes e seu cálculo do tamanho da Terra. No presente artigo falaremos de Aristarco (± 310 230 a.c.),

Leia mais

CURRÍCULO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO COM BASE NOS PARÂMETROS CURRICULARES DO ESTADO DE PERNAMBUCO

CURRÍCULO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO COM BASE NOS PARÂMETROS CURRICULARES DO ESTADO DE PERNAMBUCO CURRÍCULO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO COM BASE NOS PARÂMETROS CURRICULARES DO ESTADO DE PERNAMBUCO GOVERNADOR DE PERNAMBUCO Eduardo Campos VICE-GOVERNADOR João Lyra Neto SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO Ricardo

Leia mais

INSTITUTO FEDERAL DO PARANÁ IFPR ASSIS CHATEAUBRIAND GRUPO DE PESQUISAS FILOSOFIA, CIÊNCIA E TECNOLOGIAS IF-SOPHIA ASSIS CHATEAUBRIAND

INSTITUTO FEDERAL DO PARANÁ IFPR ASSIS CHATEAUBRIAND GRUPO DE PESQUISAS FILOSOFIA, CIÊNCIA E TECNOLOGIAS IF-SOPHIA ASSIS CHATEAUBRIAND INSTITUTO FEDERAL DO PARANÁ IFPR ASSIS CHATEAUBRIAND GRUPO DE PESQUISAS FILOSOFIA, CIÊNCIA E TECNOLOGIAS IF-SOPHIA ASSIS CHATEAUBRIAND ECONOMIA, SOCIEDADE E RELIGIÃO NA GRÉCIA ANTIGA: O HOMEM GREGO Prof.

Leia mais

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é:

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é: Aluno(a) Nº. Ano: º do Ensino Médio Exercícios para a Recuperação de MATEMÁTICA - Professores: Escossi e Luciano NÚMEROS COMPLEXOS 1) Calculando-se corretamente as raízes da função f(x) = x + 4x + 5, encontram-se

Leia mais

QUESTÃO 11 Veja, na linha do tempo, os períodos em que viveram os matemáticos gregos a seguir:

QUESTÃO 11 Veja, na linha do tempo, os períodos em que viveram os matemáticos gregos a seguir: Nome: N.º: endereço: data: Telefone: E-mail: Colégio PARA QUEM CURSA O 5 Ọ ANO EM 2013 Disciplina: MaTeMÁTiCa Prova: desafio nota: Na Grécia, a Matemática se tornou um saber teórico que lida com entes

Leia mais

Os Descobrimentos, a comunicação a nível global e a Conquista do Espaço

Os Descobrimentos, a comunicação a nível global e a Conquista do Espaço Os Descobrimentos, a comunicação a nível global e a Conquista do Espaço Este ponto é aqui. É a nossa casa. Somos nós, numa imagem tirada a partir de 6 mil milhões de quilómetros da Terra pela sonda Voyager

Leia mais

Qual o Teorema que você conhece?

Qual o Teorema que você conhece? Qual o Teorema que você conhece? Jaqueline Aparecida Campos Especialista em Matemática UFMG Professora do Curso de Matemática- ISED arthur.01@uol.com.br Resumo: Atualmente, é grande o número de pessoas

Leia mais

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS. da - 2. Sólidos de. geométricos. Rodrigo. Roberto. Tetraedro (4) Hexaedro (6) Octaedro (8) Dudecaedro (12) Icosaedro (20)

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS. da - 2. Sólidos de. geométricos. Rodrigo. Roberto. Tetraedro (4) Hexaedro (6) Octaedro (8) Dudecaedro (12) Icosaedro (20) Sólidos Geométricos Poliedros Sólidos de Revolução SÓLIOS GEOMÉTRICOS Regulares Irregulares Cone Cilindro Tetraedro (4) Hexaedro (6) Octaedro (8) udecaedro (12) Icosaedro (20) Prisma Pirâmide Reto Oblíquo

Leia mais

Teste Intermédio Matemática. 9.º Ano de Escolaridade. Versão 1. Duração do Teste: 30 min (Caderno 1) + 60 min (Caderno 2) 21.03.

Teste Intermédio Matemática. 9.º Ano de Escolaridade. Versão 1. Duração do Teste: 30 min (Caderno 1) + 60 min (Caderno 2) 21.03. Teste Intermédio Matemática Versão 1 Duração do Teste: 30 min (Caderno 1) + 60 min (Caderno 2) 21.03.2014 9.º Ano de Escolaridade Indica de forma legível a versão do teste. O teste é constituído por dois

Leia mais

FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS CURSO DE DIREITO VESTIBULAR 2007 PROVA DE RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO. 1 a. fase

FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS CURSO DE DIREITO VESTIBULAR 2007 PROVA DE RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO. 1 a. fase FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS CURSO DE DIREITO VESTIBULAR 007 PROVA DE RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO 1 a. fase Maria Raquel Miotto Morelatti Monica Fürkotter Novembro 006 1 Sumário 1.. Introdução 0 A natureza

Leia mais

CPV O cursinho que mais aprova na fgv

CPV O cursinho que mais aprova na fgv O cursinho que mais aprova na fgv FGV economia a Fase 0/novembro/008 MTEMÁTI 0. umentando a base de um triângulo em 0% e reduzindo a altura relativa a essa base em 0%, a área do triângulo aumenta em %.

Leia mais

A CIVILIZAÇÃO CLÁSSICA: GRÉCIA. Profº Alexandre Goicochea História

A CIVILIZAÇÃO CLÁSSICA: GRÉCIA. Profº Alexandre Goicochea História A CIVILIZAÇÃO CLÁSSICA: GRÉCIA Profº Alexandre Goicochea História ORIGENS O mundo grego antigo ocupava além da Grécia, a parte sul da península Balcânica, as ilhas do mar Egeu, a costa da Ásia Menor, o

Leia mais

Equações do segundo grau

Equações do segundo grau Módulo 1 Unidade 4 Equações do segundo grau Para início de conversa... Nesta unidade, vamos avançar um pouco mais nas resoluções de equações. Na unidade anterior, você estudou sobre as equações de primeiro

Leia mais

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA HABILIDADES CONTEÚDO METODOLOGIA/ESTRATÉGIA HORA/ AULA ANÁLISE GRÁFICA DE FUNÇÕES

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA HABILIDADES CONTEÚDO METODOLOGIA/ESTRATÉGIA HORA/ AULA ANÁLISE GRÁFICA DE FUNÇÕES CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA ENSINO MÉDIO ÁREA CURRICULAR: CIÊNCIA DA NATUREZA, MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS DISCIPLINA: MATEMÁTICA I SÉRIE 1.ª CH 68 ANO 2012 COMPETÊNCIAS:.

Leia mais

GUIA DO PROFESSOR ATIVIDADE: RAIO DA TERRA

GUIA DO PROFESSOR ATIVIDADE: RAIO DA TERRA GUIA DO PROFESSOR ATIVIDADE: RAIO DA TERRA 1 - RESUMO DA ATIVIDADE Como exemplo de um método de medida, vamos mostrar como há três séculos antes de Cristo, Eratóstenes mediu o raio da Terra, utilizando

Leia mais

Prof. Dra. Vera Clotilde Garcia, Acad. Fabiana Fattore Serres, Acad. Juliana Zys Magro e Acad. Taís Aline Bruno de Azevedo.

Prof. Dra. Vera Clotilde Garcia, Acad. Fabiana Fattore Serres, Acad. Juliana Zys Magro e Acad. Taís Aline Bruno de Azevedo. 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA SECRETARIA DE ENSINO À DISTÂNCIA O NÚMERO DE OURO Prof. Dra. Vera Clotilde Garcia, Acad. Fabiana Fattore Serres, Acad. Juliana Zys Magro

Leia mais

As Civilizações Antigas do Oriente II

As Civilizações Antigas do Oriente II As Civilizações Antigas do Oriente II PERSAS, HEBREUS E FENÍCIOS Prof. Alan Carlos Ghedini Os Persas ENTRE CIRO, DARIO E XERXES A Origem Persas e Medos, um povo de origem indo-europeia (árias), estabeleceram-se

Leia mais

Rubens G. Lintz Mc Master University - Canadá CLE Unicamp Brasil.

Rubens G. Lintz Mc Master University - Canadá CLE Unicamp Brasil. Revista Brasileira O conceito de História de da área Matemática de figuras planas na geometria grega Especial n o Festschrift Ubiratan D Ambrosio (dezembro/007) Publicação Oficial da Sociedade Brasileira

Leia mais

PROCESSO DE SELEÇÃO DE CURSOS TÉCNICOS APRENDIZAGEM RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA

PROCESSO DE SELEÇÃO DE CURSOS TÉCNICOS APRENDIZAGEM RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA 0) O tanque de combustível do carro de João tem capacidade de 40 litros. Sabemos que o consumo do carro é de litro para cada 0 quilômetros rodados, se João dirigir a uma

Leia mais

POTENCIAL HISTÓRICO E PEDAGÓGICO DOS TERNOS PITAGÓRICOS PARA O ENSINO DO TEOREMA DE PITÁGORAS

POTENCIAL HISTÓRICO E PEDAGÓGICO DOS TERNOS PITAGÓRICOS PARA O ENSINO DO TEOREMA DE PITÁGORAS POTENCIAL HISTÓRICO E PEDAGÓGICO DOS TERNOS PITAGÓRICOS PARA O ENSINO DO TEOREMA DE PITÁGORAS Georgiane Amorim Silva Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN georgianeamor@hotmail.com John Andrew

Leia mais

Márcio Ronaldo de Assis 1

Márcio Ronaldo de Assis 1 1 A JUSTIÇA COMO COMPLETUDE DA VIRTUDE Márcio Ronaldo de Assis 1 Orientação: Prof. Dr. Juscelino Silva As virtudes éticas derivam em nós do hábito: pela natureza, somos potencialmente capazes de formá-los

Leia mais

Processo Seletivo 2016 Conteúdo Programático - 1º ano do Ensino Fundamental

Processo Seletivo 2016 Conteúdo Programático - 1º ano do Ensino Fundamental Conteúdo Programático - 1º ano do Ensino Fundamental Avaliação do Desenvolvimento e Desempenho da Criança nos aspectos cognitivo, afetivo, socialização e psicomotor, através de atividades compatíveis com

Leia mais

Movimento Annual do Sol, Fases da Lua e Eclipses

Movimento Annual do Sol, Fases da Lua e Eclipses Movimento Annual do Sol, Fases da Lua e Eclipses FIS02010 Professora Ana Chies Santos IF/UFRGS https://anachiessantos.wordpress.com/ensino/fis02010/ Facebook #AstroUFRGS Relembrando... Sistemas de Coordenadas

Leia mais

A arte na Grécia. Capítulo 3

A arte na Grécia. Capítulo 3 A arte na Grécia Capítulo 3 Por volta do século X a. C, os habitantes da Grécia continental e das ilhas do mar Egeu formavam pequenas comunidades, distantes umas das outras, e falavam diversos dialetos.

Leia mais

Roda do Sonho. Série Matemática na Escola

Roda do Sonho. Série Matemática na Escola Roda do Sonho Série Matemática na Escola Objetivos 1. Apresentar o problema do cálculo da área de um círculo e conexões com outros resultados de geometria plana; 2. Apresentar e motivar a busca por aspectos

Leia mais

O EGITO É UMA DÁDIVA DO NILO

O EGITO É UMA DÁDIVA DO NILO CIVILIZAÇÃO EGÍPCIA PARA O HISTORIADOR GREGO HERÓDOTO: O EGITO É UMA DÁDIVA DO NILO DÁDIVA = PRESENTE SIGNIFICADO = Sem as cheias do Nilo, o Egito seria um grande deserto PARA O HISTORIADOR FRANCÊS JEAN

Leia mais

A Antiguidade Oriental Hebreus

A Antiguidade Oriental Hebreus A Antiguidade Oriental Hebreus (Monoteísmo e judaísmo) Mar Mediterrâneo Delta do Nilo Egito NASA Photo EBibleTeacher.com Península nsula do Sinai Mt. Sinai Mar Vermelho Canaã Tradicional Rota do Êxodo

Leia mais

chamados de números racionais.

chamados de números racionais. O Período Pré-Industrial e a Geometria Euclidiana Os números racionais Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse. 0, 13, 35, 98, 1.024, 3.645.872. Como

Leia mais