AVALIAÇÃO DE UMA MEDIDA DE EVIDÊNCIA DE UM PONTO DE MUDANÇA E SUA UTILIZAÇÃO NA IDENTIFICAÇÃO DE MUDANÇAS NA TAXA DE CRIMINALIDADE EM BELO HORIZONTE

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1 versão imressa ISSN / versão online ISSN AVALIAÇÃO DE UMA MEDIDA DE EVIDÊNCIA DE UM PONTO DE MUDANÇA E SUA UTILIZAÇÃO NA IDENTIFICAÇÃO DE MUDANÇAS NA TAXA DE CRIMINALIDADE EM BELO HORIZONTE Rosangela H. Loschi * Flávio B. Gonçalves Frederico R. B. Cruz Deartamento de Estatística Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Belo Horizonte MG * Corresonding author / autor ara quem as corresondências devem ser encaminhadas Recebido em 9/24; aceito em 6/25 aós revisão Received Setember 24; acceted June 25 after one revision Resumo A robabilidade a osteriori de um instante ser um onto de mudança foi roosta or Loschi & Cruz (25) como uma medida de evidência de que o comortamento de uma seqüência de dados mude em tal instante. A roosta deste trabalho é avaliar a eficiência desta medida na identificação de mudanças na taxa da distribuição Poisson, em dados seqüencialmente observados e comará-la com a medida roosta or Hartigan (99), isto é, com a robabilidade a osteriori da artição aleatória formada elos ontos de mudança. Cenários ou seqüências de dados com e sem ontos de mudanças são considerados. Em cenários sem ontos de mudanças, assumem-se taxas equenas e grandes ara avaliar a eficiência da medida roosta na resença de ouca e muita variabilidade. Em cenários com ontos de mudanças, consideram-se tanto mudanças estruturais quanto observações atíicas. Conclui-se que, em geral, a medida roosta teve melhor desemenho ara identificar ontos de mudança. Uma análise ara dados de criminalidade da cidade de Belo Horizonte também é feita utilizando-se o modelo roosto e observou-se que esta taxa muda freqüentemente ao longo do temo. Palavras-chave: amostrador de Gibbs; modelo artição roduto; mudança estrutural; observação atíica. Abstract The osterior robability of each instant being a change oint was roosed by Loschi & Cruz (25) as a measure of evidence that a change occurred in that instant. In this aer, the efficiency of such a measure is evaluated and it is comared with the measure roosed by Hartigan (99). Poisson data sequences, with and without changes, are considered. The method is evaluated in the resence of both structural changes and atyical observations. The roosed method over erforms Hartigan s roosal. A series of violent crimes data from Belo Horizonte is analyzed by the roosed method. It was observed that the rate of violent crimes changes frequently throughout the time. Keywords: observation. Gibbs samling; roduct artition model; structural change; atyical Pesquisa Oeracional, v.25, n.3, , Setembro a Dezembro de

2 . Introdução O modelo artição roduto (MPP) introduzido or Hartigan (99) em sua forma mais geral é, entre os roostos na literatura (or exemlo, os modelos threshold e o método considerado or Hawkins, 2), o mais flexível ara o estudo de roblemas de onto de mudança (mudança estrutural ou observação atíica). Sua flexibilidade se deve ao fato de que considera como variáveis aleatórias tanto o número de ontos de mudança como também os instantes em que as mudanças ocorreram (instantes estes identificados or uma artição aleatória do conjunto de índices das observações). Por esta razão, este modelo vem sendo amlamente utilizado. Veja, or exemlo, Barry & Hartigan (993), Crowley (997), os quais alicam o MPP ara a identificação de ontos de mudança na média de dados normalmente distribuídos, Quintana & Iglesias (23), ara uma alicação do MPP na identificação de outliers em modelos de regressão, Loschi et al. (23), ara a identificação de ontos de mudança na média e variância de dados seqüencialmente observados e normalmente distribuídos entre outros. Ao estudar roblemas de ontos de mudanças utilizando o MPP, constata-se, no entanto, que a robabilidade a osteriori da artição aleatória que indica os instantes em que as mudanças ocorreram medida de evidência de mudança sugerida or Hartigan (99) e Barry & Hartigan (992) ode não fornecer uma idéia recisa sobre os instantes em que, de fato, tais mudanças ocorreram. Este roblema surge or que várias artições odem ocorrer com mesma robabilidade a osteriori dificultando a tomada de decisão sobre os instantes em que as mudanças ocorreram. Numa tentativa de solucionar este roblema surgiram duas alternativas. Quintana & Iglesias (23) roõem uma maneira de escolher a artição ótima usando técnicas de Teoria de Decisão e, osteriormente, Loschi & Cruz (25) roõem avaliar a evidência de uma mudança ter ocorrido calculando a robabilidade a osteriori de cada instante ser um onto de mudança. Este artigo estende ara o caso Poisson os resultados obtidos em Loschi & Cruz (25) e aresenta um estudo sobre a eficiência desta medida na identificação de ontos de mudança. Serão consideradas seqüências de dados gerados da distribuição de Poisson, indeendentemente. Seqüências ou cenários contendo ou não ontos de mudanças são considerados. Em cenários sem ontos de mudanças, consideram-se seqüências com diferentes variabilidades e em cenários com uma ou mais mudanças estudam-se tanto mudanças estruturais quanto observações atíicas. Para ilustrar a metodologia, utiliza-se o modelo roosto na análise de dados de criminalidade registrados na 7ª Cia da Polícia Militar de Belo Horizonte (região que inclui o camus da UFMG). O interesse é estudar o comortamento da taxa de criminalidade nesta região ao longo do temo e avaliar se o rograma instituído elo Comando da Polícia Militar do Estado de Minas Gerais no final de 999 foi eficiente ara reduzir a criminalidade na área. Este trabalho está assim organizado. Na seção 2, aresenta-se o MPP, em sua versão aramétrica introduzida or Barry & Hartigan (992), com as coesões de Yao (984) e os métodos comutacionais utilizados ara a obtenção das distribuições a osteriori de interesse. Na seção 3, avalia-se o comortamento e a eficiência da medida roosta ara detecção de ontos de mudança. Para este estudo, consideram-se dados gerados, indeendentemente, de distribuições de Poisson. Na seção 4, alica-se o modelo roosto ara analisar o comortamento da taxa de criminalidade da cidade de Belo Horizonte de janeiro de 998 a setembro de 2. Para finalizar, na seção 5, aresentam-se as rinciais conclusões. 45 Pesquisa Oeracional, v.25, n.3, , Setembro a Dezembro de 25

3 2. Modelo Estatístico O MPP foi introduzido em sua forma mais geral or Hartigan (99). Na sua forma geral, este modelo considera, em sua estrutura, todas as artições ossíveis do conjunto de dados levando em conta tanto blocos contíguos quanto não-contíguos. Posteriormente, Barry & Hartigan (992) articularizam o MPP ara a situação em que os dados são seqüencialmente observados e aenas blocos contíguos são ermitidos. Neste contexto eles introduzem uma versão aramétrica ara o MPP em que os blocos resentes na artição são induzidos ela igualdade dos arâmetros que indexam as distribuições das observações. Para ilustrar o uso do MPP, Barry & Hartigan (993) alicam o MPP em sua versão aramétrica ara identificar mudanças na média de dados seqüencialmente observados e normalmente distribuídos com variância comum. Nesta seção serão brevemente aresentados o MPP e sua alicação à seqüência de dados distribuídos segundo uma distribuição de Poisson e também o método comutacional utilizado ara obter-se as distribuições a osteriori de interesse. 2. Modelo artição roduto ara coesões de Yao Seja X,...,X n uma seqüência de dados observados e considere o conjunto de índices I={,...,n}. Denote or ρ = {i,...,i b } a artição aleatória do conjunto de índice I tal que = i < ii < ib = n e or B a variável aleatória que denota o número de blocos em ρ. Assuma que cada artição divide a seqüência X,...,X n em B = b subseqüências contíguas, as ' quais serão denotadas aqui or X[ ij] = ( Xi+,..., X j ). Seja C ij a coesão a riori associada ao bloco [i j] = {i+,...,j}, ara i, j I { }, e j > i. Por coesão entende-se o grau de similaridade que se julga existir entre as observações em um mesmo bloco, que ode ser interretada, aqui, como as robabilidades de transição na cadeia de Markov definida or ontos de mudança (Barry & Hartigan, 992). Considere, ara, a robabilidade de que uma mudança ocorra em um instante qualquer. A coesão a riori ara o bloco [i j] roosta or Yao (984) e dada or: C ij j i < ( ), j n, = j i ( ), j = n, () ara todo i, j I, i < j. Essas coesões a riori imlicam que a seqüência de ontos de mudança estabelece um rocesso de renovação, com temos de ocorrência idêntica e geometricamente distribuídos. Conseqüentemente, tais coesões odem ser utilizadas quando acredita-se que ontos de mudança já ocorridos não são informativos sobre ontos de mudanças futuros. Seja θ,..., θ n, uma seqüência de arâmetros desconhecidos, condicionalmente nos quais, as variáveis aleatórias, X,..., X n, têm densidades condicionais marginais dadas or f( X θ),..., fn( Xn θ n), resectivamente. A distribuição a riori de θ,..., θ n é construída como segue. Dado uma artição ρ = { i,..., i b }, ara b I, tem-se que θ =, ara todo i i i r < r, r =,...,b, e que [ ii ] [ ib ib] i θ[ ir ir] θ,..., θ são indeendentes entre si e de. Assuma que Pesquisa Oeracional, v.25, n.3, , Setembro a Dezembro de 25 45

4 θ [ ij] tem distribuição a riori π[ ij] ( θ), θ Θ [ ij], em que Θ [ ij] é o esaço aramétrico corresondente ao arâmetro comum θ [ ij] que indexa a densidade condicional de X [ ij], ou seja, θ[ ij] = θi+ =... = θ j. Então, seguindo Barry & Hartigan (992) define-se o modelo artição roduto ara coesões a riori de Yao como segue:. Dado, a distribuição a riori de ρ é a seguinte distribuição roduto: b b P(ρ = {i,i,...,i } ) = ( ), (2) ara toda artição { i,..., i b }, satisfazendo = i < i <... < ib = n. 2. condicionalmente em ρ = { i,..., i b } e, a seqüência X,..., X n é indeendente de e tem densidade conjunta dada or: n b b n b i( j ) ij i( j ) ij j= f( X,...,X ρ = {i,...,i }, ) = f (X ), (3) em que f ( X ) = f ( X θ ) π ( θ) dθ. [ ij] [ ij] Θ [ ij] [ ij] [ ij] [ ij ] Barry & Hartigan (992) também mostram que a eserança a osteriori (ou estimativa roduto) ara θ k, k=,..., n, é dada or: s n k n [ij] k [ij] i= j= E(θ X,..., X ) = r* E(θ X ), s =,...,n, (4) em que r* [ ij] = P([ ij] ρ X,..., Xn ) denota a relevância a osteriori ara o bloco [ij]. Assuma que tem distribuição a osteriori Beta com arâmetros α e β. Como conseqüência dessa consideração, segue que as distribuições a osteriori de ρ e B são, resectivamente, dadas or: b Γ(α+ β) Γ(α + b ) Γ ( n+ β b) P ρ = {i,...,i } X,...,X f (X ), ( ) b n i(j ) ij i(j ) ij Γ(α)Γ(β) Γ(n + β+ α ) j= n Γ(α+ β) Γ(α + b ) Γ ( n+ β b) P B b X,...,X f (X ). b = n i(j ) ij i(j ) ij b Γ(α)Γ(β) Γ(n + β+ α ) j= ( ) A distribuição a osteriori ara é dada or: (5) b b+ α 2 n b+ β π( X,...,X n ) f(x, j ij i ) ( ) (6) = j em que a soma é sobre todas as artições de {,...,n} em b blocos com ontos finais em i, i,... i b, satisfazendo à condição = i< i<... < ib = n. A robabilidade a osteriori de cada instante i ser um onto de mudança é: Γ(α+ β) Γ(α + b ) Γ (n+ β b) P(A X,..., X ) f(x ), (7) Γ(α)Γ(β) Γ(n + β + α ) n i n = ij ij Ci j= em que C i é o conjunto de todas as artições que incluem o i-ésimo instante como onto de mudança. Para maiores detalhes ver Loschi & Cruz (25). 452 Pesquisa Oeracional, v.25, n.3, , Setembro a Dezembro de 25

5 2.2 Estimativas roduto ara a taxa da distribuição Poisson Assuma que, dadas as taxas em cada instante k, θ,...,θ n, as observações, X,...,X n, são indeendentes e tais que X k θ k ~ Poisson(θ k ), ara k=,...,n. Assuma também que, a riori, o arâmetro comum θ [ij], que indexa a distribuição das observações do bloco [ij], tem distribuição gama com arâmetros τ> e φ>, a qual será denotada or θ [ij] ~ Gama(τ, φ) e cuja função densidade é dada or: f(θ [ij] τ, φ) = τ ϕ τ.(θ [ij] ) ex( ϕθ [ij] ). Γ( τ ) Como conseqüência tem-se que a distribuição reditiva a riori de X [ij], necessária ara o cálculo das distribuições a osteriori exibidas na seção anterior, é a seguinte: em que j j τ X k Γ( τ*) ϕ k=+ i ( [ ij] ) =, k=+ i X k! Γ( τ) ϕ* ϕ* f X ϕ* = ϕ+ j, j τ* = τ + X k, k=+ i ara todo i =,...,n- e j = i+,...,n. Também segue como conseqüência das suosições feitas que, dadas as observações do X [ij], a distribuição a osteriori or bloco de θ [ij] é a distribuição gama com arâmetro τ* e φ*, isto é, θ [ij] X [ij] ~ Gama (τ*, φ*). Conseqüentemente, as estimativas a osteriori ou estimativas roduto ara a taxa θ no instante k, θ k, ara todo k=,...,n são dadas or : ˆ τ * θ = (,..., ) =. (8) k n * k E θk X Xn r[ ij] i= j= k ϕ * 2.3 Métodos comutacionais Considere a quantidade aleatória auxiliar U l, de forma que U l =, se θ l = θ l + e U l =, se θl θ l + ara l =,..., n-. Note que a artição aleatória ρ é imediatamente identificada ao considerar vetores U = ( U,..., Un ) dessas quantidades aleatórias. Cada artição s s ( U,..., Un ), s, é gerada usando o amostrador de Gibbs como segue. Partindo do valor s inicial ( U,..., Un ), no asso s, o r-ésimo elemento, U r, é gerado considerando a seguinte razão: R r b 2 n b+ f[ xy] ( X[ xy] ) ( ) dπ ( ) = = b n b f[ xr] ( X[ xr] ) f[ ry] ( X[ ry] ) ( ) dπ ( ), r,...,n -. (9) Pesquisa Oeracional, v.25, n.3, , Setembro a Dezembro de

6 Então, cada amostra da distribuição a osteriori de é gerada da seguinte distribuição: s s s b n b n X,..., X ~ ( ) π ( ), s ara s, em que b é o número de blocos no s-ésimo vetor U e é obtido notando-se que o número de blocos em ρ é dado or: n B = + ( U ). l= As estimativas roduto odem ser obtidas comutando a relevância a osteriori do bloco [i j], i, j =,...,n, i < j, como segue: M r *[ ij] =, () T e a estimativa da robabilidade a osteriori de cada instante i ser um onto de mudança utilizando os métodos comutacionais citados acima é: N PA ( i ) = () T ara i =,...,n-, em que N é o número de vetores U ara os quais é observado que Ui =, M é o número de vetores U ara os quais é observado Ui =, Ui+ =... = U j =, e U j = e T é o número total de vetores U gerados. Ver detalhes em Loschi et al. (23) e Loschi & Cruz (25). Veja Gamerman (997) ara uma exlicação geral sobre o amostrador de Gibbs. l 3. Avaliação da Medida de Evidência de uma Mudança Nesta seção comaram-se as robabilidades a osteriori de (i) cada instante ser onto de mudança (Loschi & Cruz, 24) e (ii) da artição aleatória formada elos instantes de mudança (Hartigan, 99). O objetivo é avaliar se a medida roosta or Loschi & Cruz (25) tem a mesma eficiência que a medida roosta or Hartigan (99) na identificação de ontos de mudança, sejam estes observações atíicas, sejam mudanças estruturais. Serão simuladas várias seqüências de dados de tamanho 5 com nenhum, um, dois ou quatro ontos de mudanças. Os dados serão gerados, indeendentemente, de diferentes distribuições de Poisson. Como distribuição a riori de ara os casos em que se tem nenhuma ou uma mudança será considerada uma distribuição Beta(2,98); ara os casos em que se tem duas mudanças, considera-se distribuição Beta(2,48) e, ara os casos em que se tem quatro mudanças, distribuição Beta (2,23) será considerada. Estas distribuições a riori concentram a maior arte de suas massas em valores equenos de, indicando que, a riori, esera-se que a robabilidade de mudança em um instante qualquer seja baixa. Além disto, se ~ Beta(α, β ), o número eserado de blocos a riori é dado or: α B = ( n ). α + β 454 Pesquisa Oeracional, v.25, n.3, , Setembro a Dezembro de 25

7 Sendo assim, tem-se como conseqüência que, a riori, ocorre, 2 e 4 ontos de mudanças na seqüência de dados, resectivamente. Assume-se que a distribuição a riori ara o arâmetro θ, em todos os casos, é a distribuição Gama(2,) que tem eserança e variância iguais a 2. Esta distribuição foi escolhida de tal forma que seu valor médio fosse um valor intermediário entre os valores escolhidos ara a taxa θ da qual geraram-se as distribuições Poisson e de tal forma que fosse mais róxima do valor da taxa da qual mais freqüentemente geraram-se os dados de uma mesma seqüência. Em cada cenário, serão analisados três gráficos. No rimeiro são aresentados a taxa real (linha cheia), a taxa estimada (linha tracejada) e os dados observados (ontos). No segundo são exibidas as distribuições a riori e a osteriori de. No terceiro, mostra-se a artição mais rovável (ontos) e a robabilidade de cada instante ser um onto de mudança (linha cheia). Deve ser lembrado, neste terceiro gráfico, que um onto no valor zero significa que uma mudança ocorreu. A Figura aresenta os resultados ara cenários sem mudança quando θ =,5 e θ =, resectivamente. taxa =,5 taxa =,5 taxa =,5 3, 5 osteriori, 2,5 2,,5, Densidade riori rob.,8,6,4,5,2,, ,,,2,3,4,5,6,7,8,9, taxa = taxa = taxa = 7,5 5, 2,5, 7,5 Densidade riori osteriori rob.,,8,6,4 =,26 =,27 =,47 5,,2, ,,5,, Figura Cenário sem mudança. No caso em que θ =,5 nota-se que as robabilidades de cada instante ser um onto de mudança é muito baixa em todos os instantes, confirmando que θ não sofre mudanças. Percebe-se, também, que a artição mais rovável em cada caso indica que o comortamento da taxa θ não sofre mudanças ao longo do temo. Nota-se que tal artição tem alta robabilidade a osteriori de ocorrência (robabilidade 9%). No caso θ =, a artição mais rovável indicou a ocorrência de três mudanças, as quais são registradas nos instantes 2, 2 e 35. Porém, a robabilidade de ocorrência desta artição foi de aenas 4,8%. Além disso, nos instantes em que a artição detectou mudanças, as robabilidades a osteriori de tais instantes serem ontos de mudança são de aenas 26%, 28% e 47%, resectivamente, indicando ara os dois rimeiros uma robabilidade muito baixa de que sejam, de fato, ontos de mudança. Observa-se, ainda, que a robabilidade a osteriori de que o instante 22 seja um onto de mudança foi 45% o que indica haver uma grande incerteza sobre este onto ser ou não um onto de mudança. Ressaltamos que este onto não foi indicado ela artição Pesquisa Oeracional, v.25, n.3, , Setembro a Dezembro de

8 mais rovável como sendo um onto de mudança. Para os demais instantes observou-se uma robabilidade menor que 25% de ser onto de mudança indicando forte evidência que tais instantes não são ontos de mudança. Nota-se ainda que as estimativas roduto ara a taxa, nos dois casos, são bem róximas do valor real, aresentando mudança aenas no caso em que a taxa (variabilidade) é alta. Vê-se também que as distribuições a osteriori de indicam, com era de se eserar, equena robabilidade a osteriori que uma mudança ocorra em um instante qualquer. A Figura 2 mostra o resultado obtido ara cenários contendo aenas uma mudança estrutural nos instantes e 25, resectivamente. Neste caso, as observações antes da mudança são geradas de uma distribuição Poisson com arâmetro θ = e as observações aós a mudança são geradas de uma distribuição com taxa θ = 4. 2 riori, 32 9 osteriori,75 6 densidade 24 6 rob.,5 =,5 3 8,25 =,6, ,,5,, densidade riori osteriori rob.,,75,5 =,85 2,25, ,,5,, Figura 2 Cenário com uma mudança estrutural. No cenário em que θ sofre mudança no instante, a artição mais rovável a osteriori indica erroneamente mudanças nos instantes e 33. Porém tal artição tem robabilidade de ocorrência a osteriori de aenas 2%. No entanto, considerando a robabilidade a osteriori de cada instante ser onto de mudança, nota-se que o instante é um onto de mudança com robabilidade 5%. Os demais instantes (inclusive o 33) têm robabilidade inferior % de ser onto de mudança. Para o cenário com mudança no instante 25 nota-se que a artição mais rovável a osteriori indica corretamente os instantes de mudança e esta artição ocorre com robabilidade a osteriori de 52%. Nota-se também que este instante tem robabilidade a osteriori de 85% de ser onto de mudança e os demais instantes tem robabilidade a osteriori inferior a 5% de serem ontos de mudança. Ou seja, neste último cenário a distribuição a osteriori de ρ e a robabilidade a osteriori de cada instante ser onto de mudança conduzem à mesma decisão. Porém, a robabilidade a osteriori de cada instante ser onto de mudança fornece uma melhor informação. Percebe-se que quanto maior for a quantidade de observações antes das mudanças, mais eficientes na indicação de mudanças são os dois métodos considerados. Resultados similares (não mostrados) foram obtidos quando, aós a mudança, geramos os dados de uma distribuição com maior variância. A Figura 3 mostra o resultado obtido ara cenários contendo duas mudanças estruturais nos instantes e 2, e 3 e 4, resectivamente. Neste caso, as observações antes da rimeira 456 Pesquisa Oeracional, v.25, n.3, , Setembro a Dezembro de 25

9 mudança e aós a segunda mudança são geradas de uma distribuição Poisson com arâmetro θ =, e entre as mudanças são geradas de uma distribuição com taxa θ = 4. No rimeiro caso, em que θ sofre mudança nos instantes e 2, a artição mais rovável a osteriori tem robabilidade % de ter ocorrido e indica mudanças nos instantes 9 e 2. Para os instantes 9 e 2 observe-se que suas robabilidades a osteriori de serem onto de mudança são 57% e 79%, resectivamente. No instante esta robabilidade é 23% e nos demais instantes são menores que 5%. No outro caso, a artição mais rovável a osteriori indicou mudanças aenas nos instantes em que estas realmente ocorrem com robabilidade 9%. Neste caso, as robabilidades a osteriori de que os instantes 2 e 3 sejam ontos de mudança são 42% e 43%, resectivamente, e menor que 5% nos demais instantes. Nota-se ainda que, as estimativas roduto ara a taxa, em cada cenário, são bem razoáveis e, como era eserado, as distribuições a osteriori de indicam que a robabilidade de que uma mudança ocorra em um instante qualquer é maior que nos casos anteriores. 7 2 riori, 6 osteriori =, densidade rob.,5 =,57 2, ,,5,,5,2, riori, 6 5 osteriori 4 3 densidade rob.,5 =,42 =,43 2, ,,5,,5,2, Figura 3 Cenário com duas mudanças estruturais. A Figura 4 mostra o resultado obtido ara cenários contendo dois ontos atíicos nos instantes 24 e 26, e 2 e 29, resectivamente. Os onto atíicos são gerados de uma distribuição Poisson com arâmetro θ = e as demais observações são geradas considerando taxa θ =. No caso em que os ontos atíicos estão nos instantes 24 e 26, a artição mais rovável a osteriori indicou mudanças aenas nos instantes 23 e 26, com robabilidade 9%, e observou-se que as robabilidades a osteriori de que estes instantes sejam ontos de mudança são de 79% e 98%, resectivamente. Nos instantes 24 e 25, quando também ocorrem mudanças, as robabilidades a osteriori de mudança foram 3,% e 2,7%, resectivamente, e, ara os demais instantes, esta robabilidade foi semre menor que 2%. Perceba que, neste caso, as estimativas roduto dão uma idéia de que houve uma mudança estrutural e não duas observações atíicas muito róximas. No outro caso a artição, mais rovável a osteriori indicou mudanças exatamente nos instantes em que elas ocorrem, com robabilidade %, e a robabilidade a osteriori de mudança nestes instantes foi semre maior que 6%. Observa-se então que foram necessárias elo menos três observações entre Pesquisa Oeracional, v.25, n.3, , Setembro a Dezembro de

10 os ontos atíicos ara detectar-se todas as mudanças, tanto quando consideramos a artição mais rovável a osteriori, como quando utilizamos a robabilidade a osteriori do instante ser onto de mudança. Perceba também que a robabilidade a osteriori de que uma mudança ocorra em um instante qualquer é de cerca de %. 2 4, riori =,98 9 3,75 =,79 6 densidade 2,5 3,25 osteriori, ,,,2,3,4, , 4, 7,5 3 riori,75 =,78 artição rob. 5, Densidade 2,5 =,6 =,62 =,66 2,5,25 osteriori,, ,,,2,3,4, Figura 4 Cenário com dois ontos atíicos. A Figura 5 mostra o resultado obtido ara cenários contendo duas mudanças estruturais nos instantes 5 e 3, considerando valores crescentes ara a taxa. No rimeiro (segundo) cenário as observações antes da rimeira mudança são geradas de uma distribuição Poisson com arâmetro θ = (θ = ), aós a rimeira mudança são geradas de uma distribuição com taxa θ = 4 (θ = 6) e aós a segunda mudança são geradas de uma distribuição com θ = 7 (θ = 2). 2 riori, osteriori 5 Densidade rob.,5 =,65 =,27, ,,5,,5,2, , =,99 rob. densidade rob.,5 =,3 =,3, ,,,2, Figura 5 Cenário com duas mudanças e taxa crescente. 458 Pesquisa Oeracional, v.25, n.3, , Setembro a Dezembro de 25

11 No rimeiro caso a artição mais rovável a osteriori indicou mudanças nos instantes 5 e 3 com robabilidade 7%. A robabilidade a osteriori de que estes instantes sejam ontos de mudança é 65% e 27%, resectivamente. No instante 3 esta robabilidade é 6% e é menor que 25% ara os demais instantes. Nota-se que a artição mais rovável a osteriori detectou a segunda mudança com um equeno atraso e a robabilidade a osteriori de mudança neste instante não foi alta (27%), significando forte evidência de que o instante 3 não seja um onto de mudança. Isto deve ter ocorrido elo fato de as mudanças sofridas or θ terem sido equenas (de ara 4 e de 4 ara 7). No segundo caso, a artição mais rovável a osteriori indica mudanças nos instantes 5, 33 e 46 e ocorre com robabilidade 3%. As robabilidades a osteriori de que estes instantes sejam ontos de mudança são, resectivamente, 99%, 3% e 3%. Observa-se também que o instante 3 é onto de mudança com robabilidade de aenas 29%. Neste caso, a robabilidade da rimeira mudança ocorrer foi bem maior que no rimeiro caso, orém, além da segunda mudança ter sido detectada com atraso, foi detectada uma terceira mudança que não ocorreu na realidade. Nota-se que ara os casos em que θ sofre dois aumentos, a segunda mudança foi detectada com atraso ela artição mais rovável a osteriori e teve robabilidade a osteriori relativamente baixa de ser um onto de mudança. Perceba, ainda que, as estimativas roduto ara a taxa são bem razoáveis e catam relativamente bem as mudanças. Concluindo, ode-se observar através do estudo dos diferentes cenários simulados que a medida roosta teve um bom desemenho geral na detecção de ontos de mudança. Notouse que na maioria dos instantes em que ocorreu mudança, a robabilidade de tal instante ser um onto de mudança foi maior que,5. Percebe-se ainda que as duas medidas de evidência de uma mudança são úteis na análise de ontos de mudança sendo que a medida roosta teve desemenho melhor ou igual ao da artição mais rovável a osteriori. Na róxima seção, alica-se o MPP a dados reais relacionados com a criminalidade na cidade de Belo Horizonte. 4. Análise de Dados Reais Nesta seção utiliza-se a metodologia aresentada na seção 2 ara analisar dados referentes ao número de crimes violentos notificados mês a mês no eríodo de janeiro de 998 a setembro de 2 na 7ª Cia. da Polícia Militar da cidade de Belo Horizonte, que é resonsável elo registro dos crimes cometidos no camus da UFMG e em alguns bairros róximos. O objetivo rincial é verificar se o rograma Policiando com Resultados, introduzido elo Comando da Polícia Militar do Estado no final de 999 (Ward, 2), roduziu uma redução na taxa de criminalidade nesta região. Uma vez que o único evento do qual se tinha conhecimento que oderia ter rovocado uma mudança na taxa de criminalidade era a imlementação do rograma Policiando com Resultados, escolheu-se como distribuição a riori ara (robabilidade de ocorrer uma mudança em um instante qualquer) uma distribuição Beta com arâmetros α=,5 e β=28,5. Esta distribuição reflete que, a riori, a robabilidade de ocorrer uma mudança em um instante qualquer é equena (média =,5 e moda =,78) e tem-se uma grande certeza sobre isto (variância =,5). Conseqüentemente, assume-se que, a riori, o número médio de ontos de mudança na série analisada é. Assume-se também que, dado a taxa de criminalidade θ, o número de crimes cometidos nessa região em cada mês ossui uma distribuição de Poisson. Desde que não se tem informação révia sobre a taxa de criminalidade em Belo Horizonte, adota-se que a riori θ tem uma distribuição Gama, Pesquisa Oeracional, v.25, n.3, , Setembro a Dezembro de

12 ouco informativa, com arâmetros τ =, e φ =,. Conseqüentemente, estima-se que, a riori, a taxa média de crimes violentos cometidos nesta região de Belo Horizonte é de crimes or mês. A Figura 6 mostra as estimativas roduto da taxa de crimes violentos registrados na 7ª Cia. Nota-se que as estimativas roduto ara θ aresentam comortamento crescente no eríodo de janeiro de 998 a junho de 2, atingindo seu máximo neste último mês (82 crimes). No eríodo que vai de junho de 998 a fevereiro de 999, a taxa de criminalidade aresenta maior estabilidade e é de aroximadamente 2 crimes or mês. Aós junho de 2 ercebe-se uma redução na velocidade de crescimento da taxa de criminalidade, a qual oderia ser uma conseqüência do rograma Policiando com Resultados. Em junho de 2 a taxa de criminalidade sofre uma queda significativa caindo de 82 ara 58 crimes or mês. Em março de 2 sofre um forte aumento assando de 5 ara 76 crimes or mês. A artir de maio de 2, a taxa começa a decrescer atingindo a taxa de 45 crimes or mês em setembro desse mesmo ano out/98 ago/99 jun/ abr/ Figura 6 Estimativas roduto da taxa de criminalidade. A Figura 7 aresenta a robabilidade a osteriori de cada mês ser um onto de mudança (linha contínua) juntamente com a artição mais rovável a osteriori. A artição mais rovável a osteriori é indicada através de ontos em que um valor zero reresenta uma mudança naquele mês. Da Figura 7 ercebe-se que, no eríodo junho de 998 a fevereiro de 999, a robabilidade de cada instante ser um onto de mudança é no máximo 26%. Mudanças imortantes na taxa odem ser observadas em maio de 998, com robabilidade 89%, fevereiro, setembro e novembro de 999 com robabilidades 98%, % e %, resectivamente, abril, maio, junho e dezembro de 2 com robabilidades 7%, %, 87% e 98%, resectivamente, março, abril, maio, e agosto de 2, com robabilidades 93%, %, % e 59%, resectivamente. Observa-se que nos instantes em que grandes mudanças nas estimativas roduto da taxa de criminalidade (Figura 6) são ercebidas, as robabilidades destes instantes serem ontos de mudança são bem altas. Já no eríodo em que se observa estabilidade nas estimativas da taxa, tais robabilidades são baixas (menores que 26%). Ou seja, a medida roosta está em acordo com o que é observado no gráfico das estimativas roduto ara a taxa de crimes violentos. A artição mais rovável a osteriori ocorreu com robabilidade,9% e a maioria dos meses indicados como instantes de mudança or esta artição coincide com os meses cuja robabilidade a osteriori de ser onto de mudança é maior do que 5%. Ou seja, as duas medidas levaria a conclusões similares sobre os instantes em que as mudanças ocorreram. 46 Pesquisa Oeracional, v.25, n.3, , Setembro a Dezembro de 25

13 Percebe-se da Figura 8 que a robabilidade de que uma mudança ocorra em um instante qualquer é, a osteriori, maior do que se acreditava a riori. Observe que a distribuição a osteriori de está concentrada em valores mais altos que a distribuição a riori. Note que, a osteriori, em média, é 26%, o que significa dizer que a taxa de criminalidade está mais roensa a mudanças do que se acreditava inicialmente. A distribuição a osteriori do número de blocos (figura não aresentada) indicou a resença de mais ontos de mudança do que se eserava a riori. Notou-se que, em média, a osteriori há 6,55 ontos de mudança com desvio adrão igual a,549.,,5, out/98 ago/99 jun/ abr/ Figura 7 Probabilidade de uma mudança e artição mais rovável, a osteriori. 4 2 riori densidade osteriori,,,2,3,4,5,6,7,8,9, Figura 8 Distribuições a riori e a osteriori de. Concluindo, sob nosso onto de vista, o rograma Policiando com Resultados foi ouco eficiente ara a redução da criminalidade na região estudada uma vez que, aesar de observamos que a taxa de criminalidade de meados de 2 em diante cresce com menor velocidade, a taxa de crimes violentos na região ainda está muito alta. Pesquisa Oeracional, v.25, n.3, , Setembro a Dezembro de 25 46

14 5. Conclusão Neste trabalho estendeu-se ara o modelo Poisson o estudo da eficiência da robabilidade a osteriori de cada instante ser onto de mudança, como uma medida de evidência de que a mudança, de fato, ocorreu. Esta medida, roosta or Loschi & Cruz (25), foi comarada com a artição mais rovável a osteriori, medida roosta originalmente or Hartigan (99) e Barry & Hartigan (992). A avaliação foi feita considerando seqüências de dados Poisson gerados indeendentemente, com e sem a resença de mudanças. Para cenários com ontos de mudança, avaliou-se o comortamento da medida de Loschi & Cruz (25) na resença tanto de observações atíicas, quanto de quebras estruturais. Aós este estudo, aresentou-se uma análise ara dados de criminalidade da cidade de Belo Horizonte. Notou-se que, em geral, a medida de Loschi & Cruz (25) teve desemenho não inferior ara identificar a resença de ontos de mudança. Percebeu-se que na maioria dos instantes em que ocorreu mudança, a robabilidade a osteriori de tal instante ser um onto de mudança foi maior que,5. Observou-se ainda que, quanto maior for a quantidade de observações antes das mudanças, mais eficientes na identificação de ontos de mudança são tanto a artição mais rovável a osteriori, quanto a robabilidade a osteriori de um instante ser onto de mudança. Em seqüência de dados em que observações atíicas ocorrem muito róximas umas das outras, as mudanças odem não ser bem identificadas or qualquer das duas medidas. Além disto, nestes cenários, as estimativas roduto odem dar a idéia errônea de que ocorreu uma mudança estrutural. Notou-se também que ara cenários em que a taxa θ sofre mudanças estruturais aumentando o seu valor em cada mudança, nenhum dos dois métodos teve bom desemenho. Nestes casos, notou-se que as estimativas roduto nem semre estão róximas do valor real da taxa. Na análise da série de número de crimes violentos, registrados mensalmente, cometidos em uma região da cidade de Belo Horizonte, observou-se que a taxa de criminalidade teve tendência ao crescimento de janeiro de 998 até junho de 2. Aós esta data, notou-se que a taxa de criminalidade assou a crescer com menor velocidade. Esta diminuição na velocidade de crescimento ode ter sido conseqüência do rograma Policiando com Resultados introduzido elo Comando da Polícia Militar de Minas Gerais no final de 999. Contrário ao que se eserava na avaliação a riori, a taxa de criminalidade na região estudada exerimentou muitas mudanças no eríodo estudado e continuou alta mesmo aós o rograma Policiando com Resultados ter sido imlantado. Conclui-se que a metodologia é eficiente na identificação de ontos de mudança. Agradecimento Os autores agradecem ao CRISP-UFMG na essoa do Prof. Renato Martins Assunção (EST-UFMG) elo fornecimento dos dados utilizados no trabalho. Rosangela H. Loschi agradece ao CNPq (rocessos 3325/23-7 e 47266/24-8) e PRPq-UFMG (rocesso 3893-UFMG/RTR/FUNDO/PRPq/RECEMDOUTORES/), or arcialmente financiar sua esquisa. Flávio B. Gonçalves é bolsista do Programa de IC do CNPq. Frederico R. B. Cruz tem sua esquisa financiada or CNPq (rocessos 389/96-8, 47266/24-8 e 246/94-6), FAPEMIG (rocessos CEX-289/98 e CEX-855/98) e PRPq-UFMG (rocesso 48-UFMG/RTR/FUNDO/PRPq/99). 462 Pesquisa Oeracional, v.25, n.3, , Setembro a Dezembro de 25

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