Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de

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1 Capítulo 11 Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de Variação 11.1 Introdução Até aqui entendemos a derivada de uma função como a inclinação da reta tangente ao seu gráfico. Veremos a seguir que o conceito de derivada está relacionado a muitas outras interpretações. Dentre estas, talvez a mais importante seja o problema de calcular a velocidade de um objeto móvel. Os conceitos de velocidade e de aceleração, definidos como taxas de variação instantânea, desempenharam um papel de primordial importância no desenvolvimento do Cálculo feito por Newton, em seus esforços para descobrir os princípios da Dinâmica e compreender os movimentos dos planetas. As idéias a serem discutidas nesta seção mostram que a interpretação da derivada como taxa da variação entre duas quantidades, ou melhor, como uma razão de variação entre a variável dependente e a variável independente é importante em vários ramos da Ciência, incluindo as Ciências Biológicas e Sociais e a Economia. 11. Velocidade média Suponha que você faça uma viagem de carro do Rio a São Paulo pela Via Dutra. Quando parte do Rio você zera o hodômetro e começa a cronometrar o tempo. Considere s a distância percorrida pelo carro, dada em km, como uma função do tempo decorrido t, dado em horas. Veja a tabela que indica, para algumas localizações do carro durante o percurso, o tempo transcorrido e a distância percorrida. Percurso Rio B. do Piraí Resende Taubaté A. do Norte S. Bernardo SP t s(t) A partir dos dados desta tabela é possível calcular a velocidade média desta viagem. Como sabemos, a velocidade média é definida como: velocidade média = distância percorrida tempo trancorrido Neste caso, portanto, a velocidade média desenvolvida pelo automóvel no percurso completo do Rio a S. Paulo, foi 5 = 8 km/h. Façamos uma análise da viagem estudando o gráfico da distância como função do tempo: de 1 1 5

2 15 Cap. 11. Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de Variação Podemos calcular, facilmente, a velocidade média, v m, entre cada cidade do percurso assinalada na tabela. Assim, a velocidade média desenvolvida por este automóvel no trecho Rio-Barra do Piraí foi de 1 = 66, 67; no trecho Barra 1, do Piraí-Resende, = 1; no trecho Resende-Taubaté, = 18, 6, e assim por diante. 1, 5, 7 Note que estas velocidades médias correspondem às declividades das retas que ligam os pontos cujas coordenadas fornecem, respectivamente, o tempo transcorrido e a distância percorrida pelo automóvel, para cada cidade assinalada no percurso. Por exemplo, no percurso do Rio (que corresponde no gráfico ao ponto (,) = (,s())) a Barra do Piraí (ponto (1.5, 1) = (1,5; s(1.5)), no gráfico) a velocidade média desenvolvida pelo automóvel foi de 66.7 km/h pois, distância percorrida tempo transcorrido = s(1.5) s() 1, 5 = 1 = 66, 67. 1, 5 Geometricamente, este valor representa a inclinação da reta que liga os pontos (, ) a (1.5, 1). De modo geral, a velocidade média, desenvolvida pelo automóvel, no percurso Rio de Janeiro, ponto (t, s(t )), a cada uma das cidades destacadas na tabela, ponto (t, s(t)), é dada pela fórmula v m = s(t) s(t o) t t o = s t. A velocidade média nos fornece uma medida da velocidade desenvolvida pelo automóvel durante todo o trajeto, ou parte dele, mas a questão que se coloca agora é como determinar a velocidade que o velocímetro do automóvel indicava no exato instante em que passava por um determinado ponto do percurso, por exemplo, pelo kilômetro 78 da rodovia. A leitura do velocímetro mede o que chamamos de velocidade instantânea, ou, simplesmente, velocidade do automóvel, e é este conceito que abordaremos no exemplo estudado na próxima seção. 11. Velocidade instantânea Suponha que uma bola é lançada verticalmente para cima. Sua distância ao solo em cada instante t (em segundos) é conhecida e dada por s(t) = t + t metros. 5 > s:=t->-t^+*t; s := t t + t > plot(s(x),x=..5,s=..5); s x O problema que queremos resolver é o de determinar a velocidade da bola em cada instante de tempo t, isto é, determinar a velocidade instantânea da bola para cada t fixado, por exemplo em t = 1 segundo. Já que não sabemos, até o momento, como calcular velocidades instantâneas e nem mesmo como definir matematicamente este conceito, vamos tentar, pelo menos, obter uma resposta aproximada para este problema. Parece razoável tomar como aproximação para a velocidade da bola no instante t = 1, a velocidade média calculada sobre um intervalo de tempo t = t t, com t próximo de t. Por exemplo, para t = segundos, temos t = 1 e Calculando este valor, obtemos: > s()-s(1); v m = Para t = 1, 5 segundos, temos t =, 5 e Calculando este novo valor, obtemos: > (s(1.5)-s(1))/.5; v m = s(1 + t) s(1) t 1 s(1 + t) s(1) t = = s() s(1). s(1, 5) s(1)., 5

3 W.Bianchini, A.R.Santos 155 Para t = 1, 1 segundos, temos t =, 1 e 1.5 v m = s(1 + t) s(1) t = s(1, 1) s(1), 1 e daí, obtemos: > (s(1.1)-s(1))/.1; 1.9 Prosseguindo com este raciocínio, tomando valores de t cada vez mais próximos de 1, isto é, fazendo t se aproximar cada vez mais de zero, obteremos uma seqüência de valores para v m que parece convergir para dois, como mostra a tabela a seguir: t vm Para obter aproximações cada vez melhores para a velocidade instantânea em t = 1, basta calcularmos a velocidade média sobre intervalos de tempo progressivamente mais curtos. Estas observações indicam que é possível definir a velocidade em t = 1 como o limite destas velocidades médias. Assim, temos: v(1) = lim t 1 s(t) s(1) t 1 e este limite é precisamente a derivada da função s(t) calculada em t = 1. Assim, podemos escrever, simplesmente: v(t) = s (t) = lim t s t. Portanto, no problema que estamos estudando, a velocidade da bola em t = 1 s, é dada por ou, usando o Maple: > v:=d(s); v(1) = s (1) = D t ( t + t) t=1 = t + t=1 = m/s, v := t t + > v(1); De um modo geral, a velocidade instantânea em um ponto t qualquer é definida por: v(t ) = lim t s(t + t) s(t ) t = lim t t s(t) s(t ) t t = s (t ). Como vimos no parágrafo anterior, conhecendo-se a função s(t), que fornece, para cada instante de tempo t, a distância percorrida por uma partícula em movimento, a velocidade média desta partícula, calculada em um intervalo de tempo t = t t, coincide com a inclinação da reta secante ao gráfico da função s(t) que passa pelos pontos (t, s(t )) e (t, s(t)). Sabemos que, à medida que estes dois pontos se aproximam um do outro, isto é, quando t, a inclinação da reta secante ao gráfico de s(t) se aproxima da inclinação da reta tangente à curva em t = t. Assim, o valor da velocidade instantânea coincide com o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de s(t) no instante t = t.

4 156 Cap. 11. Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de Variação Resumindo, se a função s(t) fornece, para cada instante de tempo t, a distância percorrida por uma partícula em movimento, a sua derivada s (t ) fornece a velocidade da partícula neste instante, e esta velocidade pode ser interpretada, geometricamente, como a inclinação da reta tangente ao gráfico da função s no ponto t. Tornando a observar o gráfico da função s(t), vemos que, em determinados pontos, por exemplo, em t =, a inclinação da reta tangente à curva é negativa, isto indica que a velocidade da bola, neste instante, também é negativa. - Como é possível interpretar, fisicamente, este resultado? Exemplo Considere uma bola lançada do solo, cuja altura em cada instante t (segundos) é dada por s(t) = t + t (metros). (a) Qual a velocidade da bola no instante do lançamento? (b) Em que instante sua velocidade é igual a zero? (c) Em que intervalos de tempo a velocidade da bola é positiva? Em que intervalos é negativa? (d) Qual a altura máxima atingida pela bola? (e) Estude geometricamente o movimento da bola. Solução Vamos resolver este problema usando o Maple para efetuar os cálculos necessários (a) Primeiro, definimos a função s, que fornece a altura da bola para cada instante de tempo t: > s:=t->-*t^+*t; s := t t + t A velocidade da bola é dada pela derivada de s: > v:=unapply(diff(s(t),t),t); v := t 8 t + No instante do lançamento, temos t =. Conseqüentemente, a velocidade da bola neste instante será dada por: > v(); (b) Para calcular o instante em que a velocidade é zero, precisamos resolver a equação v(t) =. Assim > fsolve({v(t)=},{t}); {t =.5} (c) Calcular os intervalos de tempo onde a velocidade é positiva e onde ela é negativa é equivalente a resolver as desigualdades v(t) > e v(t) <, para t variando no intervalo onde s(t) a função deslocamento é positiva. Resolvendo estas desigualdades, temos: > solve(v(t)>); > solve(v(t)<); RealRange(, Open( 5 )) RealRange(Open( 5 ), ) Como s(t) >, para t em (, 5), temos que v(t) > para t em [,.5) e v(t) < para t em (.5, 5). (d) A bola atingirá a altura máxima quando a velocidade for zero, ou seja, para t =.5. Até este instante a bola estará subindo (velocidade positiva). A partir deste instante ela começa a cair (velocidade negativa). A altura máxima será, portanto, dada por > s(.5)); 5 (e) Os gráficos fornecem, respectivamente, a posição e a velocidade da partícula para cada instante de tempo t e descrevem, geometricamente, o seu movimento.

5 W.Bianchini, A.R.Santos y pos. x tempo 1 5 x 1 1 vel. x tempo 1 5 x 11. Taxas de variação A velocidade média e a velocidade instantânea são exemplos dos conceitos de taxa de variação média e taxa de variação instantânea, respectivamente, que são básicos para todas as ciências. Nas aplicações, encaramos o quociente s(t) s(t ) t t como uma taxa de variação média da função s(t) quando t varia num intervalo do tipo [t, t]. Tomando o limite desta razão quando t = t t tende a zero, encontramos a taxa de variação da função s(t), no instante t. Quando s é uma função que fornece a posição de um objeto móvel, para cada instante de tempo t, a diferença s(t) s(t ) é uma mudança de posição. Dividindo esta diferença pelo tempo t t, gasto para atingir a nova posição, temos a velocidade média deste objeto (razão entre variação do espaço percorrido e o tempo transcorrido), calculada sobre o intervalo [t, t] ou, em outras palavras, a taxa de variação média de s sobre este intervalo. Nessa terminologia, a velocidade instantânea é, simplesmente, a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo. (Quando o tempo é a variável independente, omitimos, freqüentemente, a frase com relação ao tempo e falamos somente taxa de variação.) De um modo geral, se f é uma função da variável independente x, então lim x f(a + x) f(a) x = lim x é chamado de taxa de variação instantânea de y = f(x) em relação a x, calculada no ponto x = a. Como o limite acima é a derivada da função f no ponto a, esta derivada pode ser interpretada como a taxa de variação instantânea da função em relação a sua variável, neste ponto. Intuitivamente, esta é a variação em y, que seria produzida por um acréscimo de uma unidade em x, se a derivada de f permanecesse constante. f x 5 y f (a) 1 x = 1 1 x 5 A notação de Leibniz (Veja Cap. 9 ) é particularmente apropriada nessas aplicações. Por exemplo, se s(t) é a função que fornece a posição de um móvel no instante t, então, na notação de Leibniz, a velocidade no instante t (a derivada da função posição) é representada por ds dt. Esta notação tem a vantagem de exibir as unidades apropriadamente: se s é dado em metros e t em segundos, a velocidade ds dt é dada em metros/segundo, como é sugerido pela notação Exemplos Exemplo 1 Um tanque cilíndrico contém inicialmente litros de água. Suponha que uma torneira existente na base do tanque seja aberta no instante t =. Suponha ainda que o volume V de água no tanque, após t minutos, seja dado por V(t) = ( 1 )( t) litros. Sabendo que este tanque leva minutos para esvaziar completamente após a torneira ser aberta, calcule: 1. A taxa média de escoamento da água do tanque durante os 1 minutos entre os instantes t = 1 e t = minutos.. A taxa instantânea segundo a qual a água está escoando do tanque nos instantes t = 1 e t =. Veja a animação no texto eletrônico que ilustra esquematicamente este problema.

6 158 Cap. 11. Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de Variação Solução O volume da água contida no tanque em qualquer instante de tempo t é dado por: > v:=t->1/*(-t)^; Observe o gráfico desta função: > plot(v(t),t=..5); V := t 1 ( t) 1 1 t Para achar a taxa média de escoamento da água do tanque durante o intervalo de tempo dado, precisamos calcular a razão V() V(1) 1. Assim, temos: > Vm:=(v()-v(1))/1; Vm := 5 = 1.5 A taxa negativa significa que o volume d água no tanque está diminuindo, ou seja, a água está escoando a uma velocidade média de 1, 5 l/min. A taxa de variação instantânea nos instantes t = 1 e t = será dada por V (1) e V (), respectivamente. Usando o Maple para fazer estes cálculos, teremos: > Diff( V(t),t)=D(V)(t); > Diff( V(1),t)=D(V)(1); > Diff( V(),t)=D(V)(); t V (t) = + 1 t t V (1 ) = 15 t V ( ) = 1 Exemplo 1. Determine a taxa de variação média do volume de uma esfera em relação ao seu raio r, quando o raio varia entre e metros.. Mostre que a taxa de variação instantânea do volume da esfera em relação ao seu raio é igual à área da superfície da esfera. Solução (a) O volume de uma esfera de raio r (metros) é dado por V (r) = π r (metros cúbicos). Assim a taxa média de variação do volume da esfera, quando o raio r varia de a metros é dada pelo quociente V() V(). Utilizando o Maple para efetuar estes cálculos, teremos: > V:=r->/*Pi*r^; > taxa_media:=(v()-v())/; V := r π r taxa media := 11 π (b) A taxa de variação instantânea do volume da esfera em relação ao seu raio será dada pela derivada da função V(r) e, portanto, será igual a > taxa_instantanea:=diff(v(r),r);

7 W.Bianchini, A.R.Santos 159 que é a área da superfície desta esfera. taxa instantanea := π r, 11.5 Aceleração e outras taxas de variação Aceleração A velocidade é importante para estudar o movimento de um móvel ao longo de uma reta, mas a maneira como a velocidade varia também é muito importante. Em física, a aceleração é definida como a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, isto é, se a velocidade no instante t é dada por v(t), então a aceleração neste instante será v (t). No caso de um objeto em queda livre, veremos que a velocidade é um polinômio do primeiro grau, v(t) = a + b t. Neste caso, a aceleração é v v(t) v(t ) (t) = lim = b. t t t t Densidade Em física, definimos densidade linear de uma barra, haste ou fio como sendo a sua massa por unidade de comprimento. Além disso, uma barra, haste ou fio de um material qualquer é dito não-homogêneo quando algumas de suas partes são mais pesadas por unidade de comprimento do que outras. Suponha que uma haste reta, não-homogênea, de comprimento L, esteja disposta ao longo do eixo dos x de tal maneira que uma de suas extremidades coincida com a origem e todos os seus pontos possam ser indentificados com um número do intervalo [, L]. Como é possível encontrar a densidade linear da haste em um ponto c qualquer da mesma? É fácil obter uma resposta aproximada para este problema: poderíamos cortar um pequeno pedaço da haste, por exemplo o pedaço de c até c + h, com h >, pesar este pedaço e dividir a massa por h (comprimento do pedaço). Quanto menor for o comprimento do pedaço melhor será a aproximação para a densidade no ponto c Vamos chamar de M(x) a massa do pedaço da haste entre e qualquer um de seus pontos x. Então, M(c + h) M(c) é a massa do pedaço compreendido entre c e c + h, e conforme explicamos acima, M(c+h) M(c) h é uma aproximação da densidade desta haste em c. Esta aproximação melhora à medida que h se torna pequeno. Assim, a densidade em c pode ser obtida fazendo-se na razão acima h, isto é, se M(x) é a função que fornece a massa da haste em cada pedaço do tipo [, x], a densidade desta haste no ponto c é definida como: Densidade em c = M M(c + h) M(c) (c) = lim. h h Exemplo Uma haste está situada entre os pontos x = e x = 1 do eixo das abscissas e a sua massa em cada pedaço do tipo [, x] é dada por M(x) = 5 x x. (a) Ache a densidade da haste em qualquer um dos seus pontos x. (b) Qual das suas extremidades é mais densa x = ou x = 1. Solução (a) A densidade em qualquer ponto x da haste é dada por m (x) = 5 x. (b) A densidade em x = e em x = 1 é dada, respectivamente, por M () e M (1). Como M () = 5 e M (1) = 1, concluímos que a densidade em x = é maior que a densidade no ponto x = Crescimento populacional Uma função que fornece o número de objetos em alguma coleção sobre um certo intervalo de tempo é chamada uma função de população. As funções que fornecem o número de habitantes da Terra, o número de bactérias numa colônia ou o número de reais em uma conta bancária, num determinado instante de tempo, são exemplos de funções deste tipo. A taxa de variação de funções de população é geralmente dada como um aumento ou decréscimo percentual na unidade de tempo. Por exemplo, tomando-se como base os dados do censo de 1991, sabemos que a população do Brasil está aumentando a uma taxa de 1,7% ao ano; tomando-se por base a meia-vida do radio radioativo, podemos

8 16 Cap. 11. Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de Variação afirmar que a quantidade de radio numa determinada amostra decresce a uma taxa de 5% por milênio e que uma determinada quantia aplicada em caderneta de poupança rende 6% de juros reais ao ano. Estas taxas são dadas em percentual em lugar de valores absolutos, porque, ao menos em curto prazo, taxas percentuais são mais constantes que taxas absolutas. Esta afirmação é particularmente verdadeira no caso de amostras radiativas. Na realidade, a lei do decaimento radiativo estabelece que o decréscimo percentual no número de átomos de um determinado elemento radiativo presentes em uma amostra é realmente uma constante dada por A(t) A(t+h) A(t ), onde A(t) é a função que fornece o número de átomos presentes na amostra no instante t. A razão acima depende somente de h, portanto, podemos escrever A(t ) A(t + h) A(t ) = f(h). Como A(t +h) A(t ) h = f(h) A(t ) h, fazendo h tender a zero, obtemos a seguinte relação entre a função A(t) e a sua derivada: A A(t + h) A(t ) (t ) = lim = k A(t ), h h f(h) onde k é uma constante dada por k = lim h h. O projeto O Método de Euler e o Paraquedista (Cap. 19) estabelece um método de reconstruirmos a função A(t) a partir da relação acima. Posteriormente, neste texto, aprenderemos como obter, analiticamente, a função A(t) a partir desta relação. Para obter a relação acima, consideramos intervalos de tempo suficientemente pequenos, isto é, tomamos o limite quando t. Há uma objeção séria a este raciocínio. Para um intervalo de tempo suficientemente pequeno, a variação da população é um ou zero e o seu gráfico é parecido com a figura: As retas tangentes a este gráfico são todas ou horizontais ou verticais. Considerar que a função A(t), neste caso, é derivável exige uma hipótese simplificadora: o gráfico verdadeiro é substituído por uma curva suave x 5 Repare, ainda, que esta é uma hipótese bastante razoável considerando que, em comparação ao grande número de átomos presentes em qualquer amostra, a variação de um átomo é praticamente desprezível. Com algumas outras hipóteses simplificadoras, a mesma espécie de lei se aplica ao crescimento de populações, como a de pessoas ou de bactérias, isto é, podemos considerar que o crescimento (ou decrescimento) de uma população é proporcional ao seu tamanho naquele instante. Chamando de P (t) o número de indivíduos ou bactérias que compõem a população em estudo, teremos que P (t) = k P (t), onde k representa a taxa de crescimento vegetativo da população, isto é, a diferença entre a taxa de natalidade e a de mortalidade daquela população, podendo, portanto, pode ser positivo ou negativo Taxa de reação Uma reação química, chamada produto, resulta da formação de uma ou mais substâncias iniciais, chamadas reagentes. Por exemplo, a equação H + O H O indica que duas moléculas de hidrogênio e uma molécula de oxigênio formam uma molécula de água.

9 W.Bianchini, A.R.Santos 161 Considere a reação A + B C, onde A e B são os reagentes e C é o produto. A concentração de um reagente A é o número de moles (6, 1 moléculas) por litro e é denotada por [A]. A concentração varia durante uma reação. Desse modo [A], [B] e [C] são todas funções do tempo t. A taxa média de reação do produto C no intervalo t 1 t t é dada por [C] t = [C](t ) [C](t 1 ) t t 1. Em Química, porém, estamos mais interessados na taxa de reação instantânea, d [C], que é obtida tomando-se o limite da taxa média de reação quando o intervalo de tempo t se aproxima de zero, isto é d [C] = lim t [C] t]. Como a concentração do produto aumenta, à medida em que a reação prossegue, a derivada d [C] é positiva. A concentração dos reagentes, entretanto, ( ) decresce ( durante ) a reação, e como [A] e [B] decrescem à mesma taxa em que [C] aumenta, temos que d [C] +. então = d [A] d [B] Mais geralmente, se temos uma reação da forma 1 a d [A] a A + b B c C + d D, 1 b d [B] = 1 c d [C] 1 d d [D]. Existem técnicas que permitem, a partir da taxa de reação, determinar uma fórmula explícita para a concentração como função do tempo. O projeto O Método de Euler e o Paraquedista (Cap. 19) mostra como isto pode ser feito numérica e graficamente Aplicações à Economia Em Economia, a taxa de variação de uma quantidade Q com relação a uma conveniente variável independente é chamada, usualmente, Q marginal. Assim, temos custo marginal, receita marginal, lucro marginal, etc. Considere, por exemplo, uma operação de venda em que as quantidades a serem medidas são o número x de itens vendidos, o custo de sua produção C(x), a receita obtida com a venda R(x) e o lucro líquido (L(x)) resultante. Então as derivadas C (x), R (x) e L (x) são chamadas, respectivamente custo marginal, receita marginal e lucro marginal. Em muitos casos, x é um número grande, e assim 1 é pequeno comparado com x, daí, C (x) = dc dx é aproximadamente igual a C(x + 1) C(x). Por esta razão, muitos economistas descrevem o custo marginal como o custo de produzir uma peça a mais. Esta mesma observação vale para a receita e o lucro marginais. Enquanto R for maior que C, o lucro pode ser aumentado pela produção (e venda) de mais itens, pois R > C significa, simplesmente, que um pequeno aumento no número de itens produzidos e vendidos causa um aumento maior na receita do que nos custos. Se R < C, menos itens deveriam ser produzidos. Quando R = C, podemos ter esperança de que o lucro esteja maximizado. A objeção ao fato de tomarmos derivadas, que foi levantada na discussão do aumento populacional, se aplica aqui ainda mais fortemente. Sua refutação é a mesma: o processo exige uma hipótese simplificadora, que é razoável se uma grande quantidade de itens é fabricada e vendida Atividades de laboratório Usando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo labtaxa.mws da versão eletrônica deste texto Exercícios 1. Considere o gráfico da função k:

10 16 Cap. 11. Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de Variação 6 F 5 D E 1 A B C 1 5 x (a) Entre quais pares de pontos consecutivos a taxa média de variação de k é maior? (b) Entre quais pares de pontos consecutivos a taxa média de variação de k é negativa? (c) Entre quais pares de pontos consecutivos a taxa média de variação de k é próxima de zero? (d) Entre quais pares de pontos consecutivos as taxas médias de variação de k são próximas?. Um boêmio, perambulando pela calçada numa noite escura, observa ao passar sob um poste iluminado que o comprimento de sua sombra varia com sua posição em relação ao poste. Suponha que o poste tenha 9 metros de altura e o boêmio 1,8 metros. Considere ainda que o boêmio caminhe a uma velocidade de 1 m/s. Pede-se: (a) a velocidade com que sua sombra cresce; (b) a velocidade com que a sombra de sua cabeça se afasta do poste; (c) a velocidade com que a sombra de sua cabeça se afasta da lâmpada do poste.. Prove que a taxa de variação do volume de um cubo em relação ao comprimento de sua aresta é igual à metade da área da superfície do cubo.. Considere um cilindro cuja altura é sempre igual ao dobro do seu raio. Mostre que a taxa de variação de seu volume em relação ao raio é igual à area de sua superfície total. 5. Uma bola é lançada num instante t = (s) de cima de um edifício de altura 6 metros. Sua altura do chão em cada instante é dada por s(t) = t + 8 t + 6. Calcule a velocidade de impacto quando a bola toca o chão. 6. Uma pedra é lançada em um lago, gerando uma onda circular que se propaga a partir do ponto de impacto a m/s. A que taxa m /s a área do círculo está aumentando, decorridos segundos após o lançamento? 7. Uma bola de neve com raio de 6 metros começa a degelar e seu raio decresce numa taxa constante. Ela demora horas para derreter totalmente. Calcule a taxa de variação do volume da bola depois de horas. 8. Uma bola de bilhar é atingida e movimenta-se em linha reta. Se s cm for a distância da bola de sua posição inicial após t segundos, então, s = 1 t + 1 t. Com que velocidade a bola atingirá a tabela, a partir da posição inicial que está a 9 cm? 9. Se a água de uma piscina está sendo escoada e V litros é o volume de água na piscina t minutos após o escoamento ter começado, onde V = 5( t), encontre com que rapidez a água flui da piscina 5 minutos após o escoamento ter começado? 1. Se um cilindro reto de base circular tem altura de 1 cm, encontre a razão de variação instantânea do volume em relação ao raio de sua base quando o raio é 5 cm Problemas propostos 1. A figura a seguir mostra o gráfico de três funções posição s(t), de três funções velocidade v(t) e de três funções aceleração a(t), mas a velocidade em uma coluna não corresponde necessariamente à função posição da mesma coluna, o mesmo acontecendo para as funções aceleração. Para cada função posição no primeiro grupo, escolha a velocidade e a aceleração que lhe corresponde no segundo e terceiro grupos, respectivamente. Função Posição

11 W.Bianchini, A.R.Santos 16 (i) (ii) (iii) Função Velocidade (I) (II) (III) Função Aceleração (a) (b) (c). A posição de uma partícula se deslocando durante 1 minutos em linha reta é dada em cada instante por s(t) = t 1 t + 5 t. Analise graficamente o movimento da partícula respondendo às seguintes questões: (a) A partícula está se afastando ou se aproximando do seu ponto de partida para t entre e 6? E entre t = 1 e t =? Por quê? (b) Para quais valores de t a velocidade da partícula é zero? A que distância do ponto de partida isto ocorre? (c) Para quais valores de t a velocidade é positiva e para quais ela é negativa? (d) O gráfico da velocidade mostra que a partícula está se aproximando ou se distanciando do ponto de partida para t > 8? Que propriedade geométrica do gráfico evidencia esta questão? (e) Para que valores de t, a partícula atinge a maior velocidade? E a menor?. A população de uma cidade t anos após a década de 198 é dada por P (t) = + t, 1 t +, 1 t (milhares). (a) O gráfico de P (t) mostra que a população cresceu na década de 8? Explique sua resposta. (b) O gráfico da derivada P (t) confirma a resposta dada em (a)? Explique por quê. (c) Observando o gráfico de P (t), em que ano se deu a menor taxa de crescimento da população durante a década de 198? (d) Que pontos do gráfico de P (t) correspondem ao(s) instante(s) em que a taxa instantânea de variação de P é igual à sua taxa média de variação durante a década de 198?. Uma função custo C(x) é conhecida para um determinado produto. Em cada um dos ítens abaixo, ache a função custo marginal e compare o custo marginal da produção de 1 ítens desse produto com o custo marginal da produção de 11 ítens. (a) C(x) = + 1, 5 x +, x (c) C(x) = 5 + x (b) C(x) = 1 + x 1 + x 1 5. A figura a seguir fornece o gráfico do custo C(x) de produção de x ítens (pontilhado) e o gráfico da receita R(x) da venda de x ítens.

12 16 Cap. 11. Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de Variação (a) Em que intervalo a operação dá lucro? (b) Quando o lucro é máximo? (Primeiro procure o lucro máximo diretamente no gráfico, depois use a condição R = C ). (c) Construa o um gráfico do lucro líquido. (Note que L(x) = r(x) C(x).) (d) Esboce o gráfico do lucro marginal. y x 1 6. Se uma molécula do produto C é formada de uma molécula do reagente A e uma molécula do reagente B e a concentração inicial de A e B é dada por [A] = [B] = a moles/l, então [C] = a, onde k é uma constante. (a) Ache a taxa de reação em um instante t. (b) Se [C] = x, mostre que d x = k (a x). k t a k t+1 7. Se R denota a reação de um corpo a qualquer estímulo de magnitude x, a sensitividade S é definida como a taxa de variação da reação em relação à x. Por exemplo, quando uma fonte luminosa aumenta de intensidade, o olho humano reage decrescendo o raio R da pupila. A fórmula experimental R = + x, 1 + x, descreve a dependência de R em relação a x, onde R é medido em mm e x pela unidade apropriada de brilho. (a) Ache a sensitividade. (b) O que acontece com os valores de R e de S para valores pequenos de x? 8. Investigando a queda dos corpos, Galileu Galilei descobriu, experimentalmente, que este movimento era governado pela lei s = c t, onde s era o espaço percorrido pelo objeto em queda em t segundos. Em 16, no auge da sua carreira científica Galileu conjecturou que no movimento retilíneo acelerado a velocidade aumentava proporcionalmente à distância percorrida pelo móvel. (a) Prove que Galileu estava errado: se um corpo percorre uma distância s(t) em t segundos e s (t) é proporcional a s, então s não pode ser uma função da forma s(t) = c t. (b) Se s é da forma s(t) = a t, prove que: i. s (t) = a (a aceleração é constante). ii. s (t) = a s(t) (c) Se um objeto se move de tal maneira que sua velocidade v está relacionada com a sua posição s pela equação v = g s + c, onde g e c são constantes, mostre que a sua aceleração é constante Um pouco de história: Velocidade instantânea, movimento contínuo e o princípio da incerteza A velocidade instantânea é um conceito teórico, uma abstração que não corresponde precisamente ao que se passa no mundo real. Quando medimos velocidades, realmente calculamos velocidades médias considerando intervalos de tempo muito pequenos. Tal procedimento não fornece uma resposta exata, mas esta resposta pode estar tão próxima do valor limite quanto queiramos (lembre-se de que a velocidade s (t) não é s(t) s(t o) t t para nenhum valor de t, mas este quociente se aproxima de s (t) à medida que t se aproxima de t. Por outro lado, quando descrevemos um movimento por meio de funções deriváveis e portanto, contínuas, estamos criando uma idealização da situação física. A idéia do movimento contínuo não é tão simples como pode parecer à primeira vista. A idéia de velocidade, como vimos acima, está necessariamente ligada à consideração do que se passa com a partícula em um certo intervalo de tempo, por menor que ele seja. Por outro lado, quando consideramos a posição de uma partícula, temos de imaginá-la num determinado instante de tempo, portanto, sem se mover! Assim, se determinarmos a posição perdemos o controle sobre a velocidade; esta, por sua vez, só pode ser determinada num intervalo de tempo t, quando não sabemos a posição exata da partícula. Tais fatos nos conduzem a uma contradição, visto que o movimento de uma partícula é determinado por sua posição e sua velocidade, em cada instante de tempo t.

13 W.Bianchini, A.R.Santos 165 Os gregos, no século V A.C., já haviam sentido a dificuldade em conceber o movimento contínuo, como ficou evidente no famoso paradoxo de Zenão que prova a impossibilidade do movimento. Zenão argumentava que para ir de uma posição A para outra posição B, o móvel tem que passar por uma posição intermediária C e, antes desta, por uma posição intermediária entre A e C, e assim por diante. Como o móvel tem de passar por uma infinidade de posições intermediárias num tempo finito, ele nunca chega a se mover! Um outro aspecto vulnerável da Mecânica é o próprio conceito de partícula: um ponto dotado de massa! No estudo do movimento planetário, que florescia no século XVII, todos os astros, incluindo o Sol, são considerados partículas, e esta simplificação é factível devido as dimensões destes planetas serem muito pequenas, quando comparadas às suas distâncias relativas. No entanto, no estudo do movimento de um corpo qualquer que em geral tem dimensões não desprezíveis, o que significa a ordenada s = s(t) da sua trajetória? Poderíamos considerá-la como a função que descreve a trajetória do centro de massa do corpo? Neste último caso, não poderíamos assegurar nem a derivabilidade de s(t) e sequer a sua continuidade! No início do século XX, os físicos descobriram que as idéias de ponto material, velocidade instantânea e movimento contínuo, que tinham sido tão bem sucedidas para descrever o fenômeno do movimento em Mecânica Clássica, eram insuficientes para a descrição dos movimentos no domínio atômico e subatômico. Em 196, Werner Heisenberg ( ), um dos fundadores da Mecânica Quântica, formulou um dos princípios básicos deste novo ramo da Ciência, o chamado princípio da incerteza, segundo o qual não é possível determinar, simultaneamente, a posição e a velocidade de uma partícula. Quanto maior for a precisão usada para se especificar a sua posição, maior será o grau de incerteza do seu momento, definido como o produto da sua massa pela sua velocidade. Esta é uma exigência intrínseca da natureza, não importando a precisão das medições realizadas Para você meditar: Calculando velocidades Problema 1 Um certo helicóptero, em condições atmosféricas favoráveis (sem vento), desenvolve uma velocidade de cruzeiro de 1 km/h. Numa certa viagem, de uma cidade A a uma cidade B, localizada 1 km ao norte de A, o piloto do helicóptero enfrenta um vento contrário que sopra a uma velocidade de 5 km/h. Sua velocidade de cruzeiro, em relação ao solo, se reduz, portanto, a 5 km/h. Ao atingir a cidade B, o piloto dá a volta e regressa ao ponto de partida. Agora o vento de 5 km/h sopra a seu favor e o helicóptero desenvolve uma velocidade de 15 km/h, em relação ao solo. Problema 1. Qual a velocidade média desenvolvida pelo helicóptero em todo o percurso (ida e volta)? Atenção: A resposta não é 1 km/h!. Use um argumento vetorial para mostrar que um vento soprando em qualquer direção sempre aumentará o tempo total de um percurso de ida e volta. Numa prova contra-relógio entre duas cidades A e C, distantes 1 km uma da outra, um ciclista queria fazer uma média de km por hora. Uma povoação B fica situada exatamente a meia distância entre A e C, no topo de uma longa subida que começa em A. Quando o ciclista, depois da escalada, atingiu B, calculou que a sua velocidade média não tinha ido além de km/h. A que velocidade o ciclista deve descer de B para C, se ainda quiser atingir a velocidade média global de km por hora? Problema Você está dirigindo por uma auto-estrada e a cada cinco minutos calcula a velocidade média da sua viagem dividindo a distância percorrida desde o começo da viagem pelo tempo em que você está dirigindo. Se a velocidade marcada no seu velocímetro aumenta, isto significa que a velocidade média da sua viagem também está aumentando? Um possível gráfico da distância percorrida (em km) pelo tempo transcorrido (em minutos) é dado a seguir. d t

14 166 Cap. 11. Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de Variação Problema Imagine uma rodovia onde o limite de velocidade é especificado para cada ponto do percurso. Em outras palavras, há uma certa função L tal que, a x quilômetros do começo da rodovia, o limite de velocidade é dado por L(x). Dois carros A e B estão viajando nesta rodovia. A posição do carro A no tempo t é dada por a(t) e a posição do carro B, por b(t). 1. Escreva a equação matemática que expressa o fato do carro A viajar sempre no limite de velocidade permitido. Atenção: A resposta não é a (t) = L(t)!. Suponha que A viaje sempre no limite de velocidade permitido e que a posição do carro B no instante t seja sempre igual a posição do carro A no instante t 1. Mostre que B também viaja no limite de velocidade permitido durante todo o percurso.

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