Proposições compostas

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1 Proposições compostas Nesta aula iremos rever o que são proposições e aplicar algumas regras que facilitarão o desenvolvimento de aplicações futuras. Negação de uma proposição composta Já sabemos negar uma proposição simples. Mas, e se for uma proposição composta, como você acha que deveremos fazer? Dependerá da estrutura em que deparamos essa proposição. Veremos agora como ficaria uma a uma: Negação de uma proposição conjuntiva: (p e q) Para negar uma proposição no formato de conjunção (p e q), faremos sempre o seguinte: Passo 1. Vamos Negar a primeiro membro, no caso p ; Passo 2. Negaremos a segunda parte q ; Passo 3. Trocaremos e por ou. Daí, a questão na forma usual ficará desta forma: p: Pedro é médico. q: Maria é dentista. (p. q) = Não é verdade que Pedro é médico e Maria é dentista. Agora vamos encontrar, entre as opções de resposta, aquela frase que seja logicamente equivalente a esta fornecida. Analisemos o começo da sentença não é verdade que.... Ora, dizer que não é verdade que... é nada mais nada menos que negar o que vem em seguida. E o que vem em seguida? Uma estrutura de conjunção! Daí como negará que Pedro é médico e Maria é dentista? Da forma explicada acima: 1. Nega-se a primeira parte p = Pedro não é médico; 2. Nega-se a segunda parte q = Maria não é dentista; 3. Troca-se E por OU, e o resultado final será o seguinte: Pedro não é médico ou Maria não é dentista. Traduzindo para a linguagem da lógica, dizemos que:(p. q) = p + q

2 Como poderemos chegar a esta conclusão? Só poderemos concluir esta operação por meio da comparação de tabelas verdades das duas proposições acima. Vejamos como ficará esta situação. Tudo começa com aquele formato já conhecido. Daí faremos a próxima coluna, que é a da conjunção p. q. p.q Por fim, construiremos a coluna que é a negação desta terceira. p. q (p. q)' Agora vamos precisar guardar a última coluna para que possamos comparar com o outro resultado que será obtido. Faremos agora as duas colunas das negativas das proposições p e q. p' q'

3 Agora precisaremos lembrar de como funciona a estrutura da disjunção. A disjunção para ser 1 basta que uma das sentenças assuma o valor lógico 1. Dai teremos; p' q' p + q Finalmente, compararemos as duas últimas colunas e chegaremos à conclusão que elas são equivalentes. (p. q)' p + q Negação da operação da Disjunção. "ou p ou q" Para negarmos uma proposição no formato disjunção "p ou q", faremos o seguinte: Passo 1. Vamos Negar a primeiro membro, no caso p ; Passo 2. Negaremos a segunda parte q ; Passo 3. Trocaremos ou por e. Daí, a questão na forma usual ficará desta forma: p: Pedro é médico. q: Maria é dentista. (p + q) = Não é verdade que Pedro é médico ou Maria é dentista. Só poderemos concluir esta operação por meio da comparação de tabelas verdades das duas proposições acima. Da mesma forma que solucionamos acima poderemos realizar a construção da tabela e comparar seus resultados, e como somos muitos curiosos é claro que desenvolveremos a construção

4 desta tabela para provarmos que o que dissemos é verdade. Vejamos como ficará esta situação. Tudo começa com aquele formato já conhecido. Agora, vamos construir a terceira coluna "p ou q" p + q Finalizando esta construção, faremos a negação da coluna disjunção. p + q (p + q)' 0 0 Guardaremos essa resposta para que possamos comparar com a segunda análise. Teremos, a princípio, novamente o seguinte. Agora iremos construir as colunas de negações. p' q' Finalmente, faremos a conjunção p' e q', e vamos obter o seguinte resultado.

5 p' q' p'. q' Concluindo poderemos perceber que os resultados obtidos são equivalentes. Negação da operação da condicional. Para negarmos uma proposição condicional deveremos seguir os seguintes passos: Passo 1: repete-se a primeira parte Passo 2: troca-se o conectivo por e e nega-se a segunda parte. Vejamos este exemplo: Se sou inteligente então passarei de ano. p: Sou inteligente q: Passarei de ano Negando-a, temos; Sou inteligente e não passarei de ano Da mesma forma que provamos que as proposições acima são equivalentes utilizando as tabelas, não será diferente neste caso. Agora se caso queiram provar a veracidade desta informação você poderão seguir os procedimentos adotados acima e construir estas tabelas. Agora vamos ao próximo conteúdo que será a construção de tabelas verdades, e que este assunto abordado possa facilitar o desenvolvimento. Referências BIBLIOGRAFIA BÁSICA: Daghlian, J. Lógica e álgebra de Boole. 2ª d. São Paulo: Paz e Terra, p. Alencar Filho, E. de. Iniciação à lógica matemática. 18ª d. São Paulo: Nobel, p. Souza, J.N. de. Lógica para ciência da computação: fundamentos de linguagem, semântica e sistemas de dedução. Rio de Janeiro: Elsevier, p. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR: Costa, N.C.A. Ensaios sobre os fundamentos da Lógica. 2ª d. São Paulo: Paz e Terra, p. Rosen, K.H. Matemática discreta e suas aplicações. 6ª d. São Paulo: McGraw- Hill, p.

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