TRIÂNGULO RETÂNGULO. (PINKER, Steven. Como a Mente Funciona. São Paulo: Companhia das Letras, 1998, p. 9.)

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1 TRIÂNGULO RETÂNGULO TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Qualquer livro intitulado Como a mente funciona deveria começar com uma nota de humildade; começarei com duas. Primeiro, não entendemos como a mente funciona nem de longe tão bem quanto compreendemos como funciona o corpo, e certamente não o suficiente para projetar utopias ou curar a infelicidade. Então, por que esse título audacioso? O linguista Noam Chomsky declarou certa vez que nossa ignorância pode ser dividida em problemas e mistérios. Quando estamos diante de um problema, podemos não saber a solução, mas temos insights, acumulamos um conhecimento crescente sobre ele e temos uma vaga ideia do que buscamos. Porém, quando defrontamos um mistério, ficamos entre maravilhados e perplexos, sem ao menos uma ideia de como seria a explicação. Escrevi este livro porque dezenas de mistérios da mente, das imagens mentais ao amor romântico, foram recentemente promovidos a problemas (embora ainda haja também alguns mistérios!). Cada ideia deste livro pode revelar-se errônea, mas isso seria um progresso, pois nossas velhas ideias eram muito sem graça para estar erradas. Em segundo lugar, eu não descobri o que de fato sabemos sobre o funcionamento da mente. Poucas das ideias apresentadas nas páginas seguintes são minhas. Selecionei, de muitas disciplinas, teorias que me parecem oferecer um insight especial a respeito dos nossos pensamentos e sentimentos, que se ajustam aos fatos, predizem fatos novos e são coerentes em seu conteúdo e estilo explicativo. Meu objetivo foi tecer essas ideias em um quadro coeso, usando duas ideias ainda maiores que não são minhas: a teoria computacional da mente e a teoria da seleção natural dos replicadores. (PINKER, Steven. Como a Mente Funciona. São Paulo: Companhia das Letras, 998, p. 9.). Num projeto hidráulico, um cano com diâmetro externo de 6 cm será encaixado no vão triangular de uma superfície, como ilustra a figura abaixo. Que porção x da altura do cano permanecerá acima da superfície? a) cm b) cm c) cm d) cm e) cm. Considere um triângulo ABC retângulo em C e o ângulo BAC. ˆ Sendo AC sen( ), quanto vale a medida da hipotenusa desse triângulo? e Página de 7

2 a) b) c) 0 d) 4 e). Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual. A figura ilustra essa situação: Suponha que o navegante tenha medido o ângulo 0º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será a) 000 m. b) 000 m. c) 000 m. d) 000 m. e) 000 m. 4. Um indivíduo em férias na praia observa, a partir da posição P, um barco ancorado no horizonte norte na posição B. Nesta posição P, o ângulo de visão do barco, em relação à praia, é de 90, como mostrado na figura a seguir. Página de 7

3 Ele corre aproximadamente 000 metros na direção oeste e observa novamente o barco a partir da posição P. Neste novo ponto de observação P, o ângulo de visão do barco, em relação à praia, é de 45. Qual a distância PB aproximadamente? a) 000 metros b) 04 metros c) 44 metros d) 74 metros e) 44 metros 5. Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo sob um ângulo de 60º, conforme a figura. Dados: sen 60º ; cos 60º ; tg 60º. A altura em que se encontra o foguete, após ter percorrido km, é a) 600 dam b).000 m c) dm d) cm Página de 7

4 6. A trigonometria estuda as relações entre os lados e os ângulos de um triângulo. Em um cat. oposto cat. adjacente triângulo retângulo, sabemos que senθ, cosθ e hipotenusa hipotenusa cat. oposto tgθ. Considere o triângulo abaixo e as proposições I, II e III. cat.adjacente I. o ΔABC é retângulo em B. II. cosâ 0,8 III. sen  tg  5 Assinale a alternativa correta. a) Apenas a proposição I é verdadeira. b) Apenas as proposições II e III são verdadeiras. c) Apenas as proposições I e III são verdadeiras. d) Apenas a proposição II é verdadeira. e) Todas as proposições são verdadeiras. 7. Uma baixa histórica no nível das águas no rio Amazonas em sua parte peruana deixou o Estado do Amazonas em situação de alerta e a Região Norte na expectativa da pior seca desde 005. [...] Em alguns trechos, o Rio Amazonas já não tem profundidade para que balsas com mercadorias e combustível para energia elétrica cheguem até as cidades. A Defesa Civil já declarou situação de atenção em 6 municípios e situação de alerta etapa imediatamente anterior à situação de emergência em outros nove. Porém, alguns trechos do rio Amazonas ainda permitem plenas condições de navegabilidade. Texto adaptado de: Acesso em: 0 nov. 00. Considerando que um barco parte de A para atravessar o rio Amazonas; que a direção de seu deslocamento forma um ângulo de 0º com a margem do rio; que a largura do rio, teoricamente constante, de 60 metros, então, podemos afirmar que a distância AB em metros percorrida pela embarcação foi de... Dados: Página 4 de 7

5 0º 45º 60º Seno Cosseno Tangente a) 60 metros. b) 40 metros. c) 0 metros. d) 0 metros. e) 40 metros. 8. Uma pessoa cujos olhos estão a,80 m de altura em relação ao chão avista o topo de um edifício segundo um ângulo de 0 com a horizontal. Percorrendo 80 m no sentido de aproximação do edifício, esse ângulo passa a medir 60. Usando o valor,7 para a raiz quadrada de, podemos concluir que a altura desse edifício é de aproximadamente: a) 59 m b) 6 m c) 65 m d) 69 m e) 7 m 9. Um balão atmosférico, lançado em Bauru (4 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, Franca, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição. Disponível em: Acesso em: 0 maio 00. Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60 ; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 0. Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? a),8 km b),9 km c), km d),7 km e) 5,5 km Página 5 de 7

6 0. O valor de cos45 sen0 é: cos60 a) b) c) 4 d) e) 0. Na figura, a seguir, um fazendeiro (F) dista 600 m da base da montanha (ponto B). A medida do ângulo A ˆF B é igual a 0º. Ao calcular a altura da montanha, em metros, o fazendeiro encontrou a medida correspondente a a) 00. b) 00. c) 50. d) 50.. Em parques infantis, é comum encontrar um brinquedo, chamado escorrego, constituído de uma superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de uma escada que dá acesso à rampa. No parque de certa praça, há um escorrego, apoiado em um piso plano e horizontal, cuja escada tem m de comprimento e forma um ângulo de 45º com o piso; e a rampa forma um ângulo de 0º com o piso, conforme ilustrado na figura a seguir. De acordo com essas informações, é correto afirmar que o comprimento (L) da rampa é de: a) m b) m c) m d) 4 m Página 6 de 7

7 e) 5 m. Sobre um plano inclinado deverá ser construída uma escadaria. Sabendo que cada degrau da escada deverá ter uma altura de 0 cm e que a base do plano inclinado mede 80 a) 0 degraus. b) 8 degraus. c) 4 degraus. d) 54 degraus. e) 6 degraus. cm, conforme mostra a figura, então a escada deverá ter: 4. Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de km x km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura. Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a (considere a) 50%. b) 4%. c) 7%. d) %. e) 9%. = 0,58) Página 7 de 7

8 5. Para representar as localizações de pontos estratégicos de um acampamento em construção, foi usado um sistema de eixos cartesianos ortogonais, conforme mostra a figura a seguir, em que os pontos F e M representam os locais onde serão construídos os respectivos dormitórios feminino e masculino e R, o refeitório. Se o escritório da Coordenação do acampamento deverá ser equidistante dos dormitórios feminino e masculino e, no sistema, sua representação é um ponto pertencente ao eixo das abscissas, quantos metros ele distará do refeitório? a) 0 b) 0 c) 9 d) 9 e) 8 6. Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um raio em direção ao ponto mais alto da torre. O ângulo determinado entre o raio e o solo foi de ل = π radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros em direção à torre e o ângulo então obtido foi de â radianos, com tg â =. É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 Página 8 de 7

9 e) 8 7. Dois edíficios, X e Y, estão um em frente ao outro, num terreno plano. Um observador, no pé do edifício X (ponto P), mede um ângulo á em relação ao topo do edifício Y (ponto Q). Depois disso, no topo do edifício X, num ponto R, de forma que RPTS formem um retângulo e QT seja perpendicular a PT, esse observador mede um ângulo â em relação ao ponto Q no edifício Y. Sabendo que a altura do edifício X é 0 m e que tg á = 4 tg â, a altura h do edifício Y, em metros, é: a) 40. b) c) 0. d) 40. e) As medidas dos lados dos triângulos a seguir são dadas em cm. O valor de x + y é: a) 8 cm. b) 0 cm. c) cm. d) 9 cm. e) cm. 9. Uma empresa de engenharia deseja construir uma estrada ligando os pontos A e B, que estão situados em lados opostos de uma reserva florestal, como mostra a figura a seguir. Página 9 de 7

10 A empresa optou por construir dois trechos retilíneos, denotados pelos segmentos AC e CB, ambos com o mesmo comprimento. Considerando que a distância de A até B, em linha reta, é igual ao dobro da distância de B a D, o ângulo á, formado pelos dois trechos retilíneos da estrada, mede a) 0 b) 0 c) 0 d) 40 e) Um avião levanta voo sob um ângulo de 0. Então, depois que tiver percorrido 500 m, conforme indicado na figura, sua altura h em relação ao solo, em metros, será igual a: Considere sen 0 = 0,50 ou cos 0 = 0,87. a) 50 b) 00 c) 400 d) 45. Em um shopping, uma pessoa sai do primeiro pavimento para o segundo através de uma escada rolante, conforme a figura a seguir. Página 0 de 7

11 A altura H, em metros, atingida pela pessoa, ao chegar ao segundo pavimento, é: a) 5 b) 0 c) 5 d) e) Página de 7

12 Gabarito: Resposta da questão : [B] o sen0 AO 6cm AO AO Logo, 6 x 8 x cm. Resposta da questão : [D] Sabendo que AC e sen, vem BC BC AB sen BC. AB AB Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos: AB AB AC BC AB 8 AB 9 AB. 4 Resposta da questão : [B] Δ ABP é isósceles (AB BP 000) Página de 7

13 No ΔPBC temos: sen60 d o d 000 d m Resposta da questão 4: [C] cos 45º 000 x x x x,44 m 000 x Resposta da questão 5: [D] h = altura. o h sen60 h h 6. km = cm Resposta da questão 6: [C] I. (V) - Observar o desenho. Página de 7

14 II. (F) - cos(â) 6 0 0,6 ; III) (V) - sen  tg  ; Resposta da questão 7: [B] o 60 sen60 AB 60 AB 0 AB AB 40 m Resposta da questão 8: [E] sen60 o h 69, x 80,8 x 80. 7m 40.,7 69,m Resposta da questão 9: [C] Página 4 de 7

15 tg60 H,8 H,8. H,m Resposta da questão 0: [A] ( ) Resposta da questão : [A] tg 0 o = x 600 x 600. x 00. m Resposta da questão : [B] x x sen 0 o = x Resposta da questão : [C] L L. Seja n o número de degraus da escada. tg0 0 0 cm Página 5 de 7

16 n Resposta da questão 4: [E] No triângulo assinalado (João) temos: o x tg0,6. A x,6 Em porcentagem,6 6.0,58 9%,6 Resposta da questão 5: [B] Resposta da questão 6: [C] Resposta da questão 7: [D] Resposta da questão 8: [E] Resposta da questão 9: [B] Resposta da questão 0: [A] Resposta da questão : [C] Página 6 de 7

17 Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 7/0/0 às :8 Nome do arquivo: click- trigonometria Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro Q/prova Q/DB Matéria Fonte Tipo Matemática... Ufpr/0... Múltipla escolha Matemática... Ufjf/0... Múltipla escolha Matemática... Enem/0... Múltipla escolha Matemática... Uel/0... Múltipla escolha Matemática... G - cftmg/0... Múltipla escolha Matemática... G - ifsc/0... Múltipla escolha Matemática... G - ifsc/0... Múltipla escolha Matemática... Espm/00... Múltipla escolha Matemática... Enem/00... Múltipla escolha Matemática... Pucrj/00... Múltipla escolha Matemática... Uemg/00... Múltipla escolha Matemática... Ufpb/00... Múltipla escolha Matemática... Udesc/ Múltipla escolha Matemática... Enem/ Múltipla escolha Matemática... Pucsp/ Múltipla escolha Matemática... Fuvest/ Múltipla escolha Matemática... Unesp/ Múltipla escolha Matemática... G - cftsc/ Múltipla escolha Matemática... Ufg/ Múltipla escolha Matemática... Pucmg/ Múltipla escolha Matemática... Ufpb/ Múltipla escolha Página 7 de 7