INVESTIGANDO SISTEMAS DINÂMICOS EM UM CURSO DE BIOLOGIA

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1 INVESTIGANDO SISTEMAS DINÂMICOS EM UM CURSO DE BIOLOGIA Débora da Silva Soares 1 Universidade Estadual Paulista - UNESP Resumo: Neste artigo irei discutir algumas das conjecturas que embasam minha pesquisa de doutorado. Utilizarei os resultados de algumas pesquisas realizadas por Wilensky (1998a,1998b, 2001) voltadas para o ensino de sistemas dinâmicos complexos para alunos de ensino médio e superior como ponto de partida para minhas reflexões. Além disso, a noção de seres-humanos-com-mídias (BORBA; VILLARREAL, 2005) e as pesquisas envolvendo o software Modellus (TEODORO, 2002) darão suporte às reflexões aqui elaboradas. Palavras-chave: Educação Matemática; Sistemas Dinâmicos; Biologia; Modellus; Sereshumanos-com-mídias. Introdução A utilização de modelos matemáticos para o estudo de fenômenos de outras áreas científicas configura-se como um recurso para a ciência em geral. Tanto é assim que a Matemática está presente no currículo de diferentes cursos universitários, como as Engenharias, Biologia, Física, Química, entre outros. Um dos objetivos desta presença é que os alunos possam aprender a utilizá-la quando necessária para estudar alguns dos seus problemas. Infelizmente, em geral, as disciplinas de matemática nestes cursos continuam fechadas em si mesmas, sem abordar aplicações ou discussões envolvendo problemas/situações da área em que está inserida. Em outros casos, quando as aplicações existem, resumem-se a situações bastante idealizadas, construídas para que determinado conteúdo matemático seja utilizado para solucioná-las. Conscientes desta realidade vários pesquisadores e educadores matemáticos estudam outras possibilidades de abordagens pedagógicas que explicitem as conexões entre a matemática e as demais áreas de conhecimento. Este mesmo intuito perpassa a proposta 1 Aluna de doutorado do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática Unesp, Rio Claro, SP. Membro do GPIMEM (Grupo de Pesquisa em Informática outras Mídias e Educação Matemática). Bolsista Capes (de Abril a Dezembro de 2009) e bolsista do Emerging Leaders in the Americas Program (Canadá) de Janeiro a Julho de

2 de minha pesquisa de doutorado com relação ao curso de Biologia, que está fundamentada em algumas conjecturas. Estas conjecturas, por sua vez, estão relacionadas com um dos objetivos da pesquisa que é investigar a possibilidade de introduzir o tópico Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) no currículo, juntamente com o uso do software Modellus, mais cedo do que nos currículos tradicionais de matemática (onde primeiramente os alunos aprendem todos os conteúdos de Cálculo). No presente artigo serão discutidas questões relacionadas com o objetivo mencionado, de modo a esclarecer a plausibilidade desta proposta e fundamentá-la teoricamente. Usarei como ponto de partida para minha reflexão os trabalhos de Wilensky (1998a, 1998b, 2001) que, juntamente com colaboradores, desenvolveu uma abordagem pedagógica voltada para o estudo de sistemas dinâmicos complexos por estudantes de nível médio e superior. A noção de seres-humanos-com-mídias proposta por Borba e Villarreal (2005) e a os trabalhos de Vitor Teodoro (2002) e colaboradores também darão suporte às reflexões aqui elaboradas. O ensino de Biologia e a abordagem pedagógica embodied modeling Segundo Wilensky e Reisman (1998a, 1998b), existe uma grande disparidade entre a atividade de um biólogo profissional e as atividades realizadas por alunos para aprender biologia em um contexto escolar. Enquanto biólogos pesquisam, elaboram teorias, e analisam dados e modelos, a atividade principal dos alunos é a memorização de fatos, teorias estabelecidas e nomes. Ou seja, na escola e nos cursos de graduação não existe espaço para que o aluno desenvolva suas próprias teorias, elabore seus próprios modelos e analise-os criticamente. Com o intuito de modificar esta realidade, Wilensky coordena projetos como Connected Mathematics, ConnectedScience e Making sense of Complex Phenomena. Nestes projetos os estudantes aprendem sobre sistemas complexos através da construção de modelos paralelos baseados em objetos [object-based parallel models] (WILENSKY; REISMAN, 1998a, p.2). Os projetos são voltados tanto para o nível médio quanto para os primeiros anos do nível superior. As pesquisas realizadas objetivam investigar como os alunos constroem sua compreensão sobre os fenômenos estudados quando engajados com ferramentas 2

3 computacionais que permitem a simulação de modelos que foram desenvolvidas através dos projetos mencionados. Uma destas ferramentas é o StarLogoT, que é uma linguagem de modelagem de propósito geral. Através deste software os alunos podem representar os diferentes agentes envolvidos em um fenômeno. Os agentes são chamados de turtles (tartarugas) e podem obedecer comandos como mudar de cor, movimentar-se, gerar outras tartarugas, etc. Elas estão localizadas em um ambiente bidimensional chamado grid (grade). Cada célula da grade chama-se patch e pode obedecer a comandos semelhantes aos das tartarugas, com exceção de movimentar-se. A grande variedade de comandos e de rotinas que podem ser criadas para os agentes permite que diversos sistemas dinâmicos possam ser simulados através do StarLogoT (WILENSKY; REISMAN, 1998). As pesquisas desenvolvidas pelo grupo mostram que os alunos são capazes de elaborar modelos bastante interessantes e plausíveis mesmo não tendo muito conhecimento do fenômeno com o qual estão trabalhando. Uma das etapas do trabalho consiste em consultar bibliografias relevantes para acurar o modelo, mas os alunos são incentivados a primeiro analisarem seu próprio modelo antes de partirem para a pesquisa. Segundo os autores, os estudantes se surpreendem de quão próximo eles chegam dos resultados estabelecidos na literatura. Ainda, segundo os autores a abordagem pedagógica embodied modeling permite que os alunos pensem sobre o fenômeno do ponto de vista de cada indivíduo que participa dele, ao invés de pensar no fenômeno de forma global. Por exemplo, ao construir uma simulação da interação predador-presa o estudante irá pensar como cada predador deve se comportar e como cada presa deve se comportar, ao invés de pensar em suas populações como ocorre na elaboração dos modelos matemáticos. Deste modo, mudanças no comportamento de cada indivíduo serão simuladas e irão gerar efeitos no comportamento da população como um todo. Para os pesquisadores, pensar no comportamento dos indivíduos é mais natural para os estudantes pois não exige que eles raciocinem em cima de quantidades abstratas como taxas e densidades populacionais. Além disso, ao remover as barreiras da matemática formal esta abordagem possibilita que os alunos compreendam de forma significativa os fenômenos biológicos analisados. 3

4 O papel dos modelos matemáticos As pesquisas realizadas por Wilensky e seus colaboradores proporcionam uma nova abordagem para o ensino de Biologia, em particular para o estudo de sistemas complexos. Como os próprios pesquisadores salientam, a abordagem elaborada por eles promove diversos processos de raciocínio que são centrais para a ciência: desenvolvimento de hipóteses originais, formalização de ideias, pesquisa de soluções existentes e análise crítica dos resultados (WIKENSKY; REISMAN, 1998b, p.24). Porém os modelos matemáticos parecem não exercer um papel relevante durante o trabalho, tendo em vista que em nenhum dos exemplos apresentados pelos autores houve espaço para análise dos mesmos. Além disso, os próprios pesquisadores ressaltam que um dos pontos positivos desta abordagem é a não necessidade de os alunos lidarem com a matemática envolvida nos modelos (WILENSKY; REISMAN, 1998b; WILESKY, 2001). Minha opinião é que o trabalho com os modelos matemáticos é importante, pelo menos e principalmente com alunos de graduação em Biologia. O uso de modelos matemáticos como um modo de compreender um determinado problema tem se disseminado nos últimos anos. Diversas áreas do conhecimento como a Física, a Química e a Biologia, utilizam a Matemática como uma ferramenta para descrever e interpretar vários de seus fenômenos (BASSANEZI, 2002). Por isso, é provável que em algum momento de suas vidas profissionais os estudantes de Biologia irão se deparar com artigos e pesquisas que utilizam modelos matemáticos para descrever e compreender fenômenos biológicos. É possível também que alguns destes futuros biólogos venham a trabalhar em colaboração com matemáticos desenvolvendo modelos sobre fenômenos biológicos. Deste modo, a análise de modelos matemáticos, o entendimento do comportamento de suas soluções, a conexão entre este comportamento e o fenômeno biológico em questão, são aptidões importantes para a formação de um biólogo. Refletindo sobre conjecturas Dentre os sistemas complexos, em particular destacam-se os sistemas dinâmicos. Estes são formados por EDO que são equações que envolvem funções e suas derivadas. A Biologia apresenta uma grande variedade de fenômenos de grande interesse que podem ser modelados matematicamente por sistemas dinâmicos, como o crescimento populacional de 4

5 uma espécie, interação predador-presa, competição entre espécies, dinâmica de vírus e de doenças transmissíveis por vetores, entre outros. Nesta sessão vou utilizar o modelo predador-presa de Lotka-Volterra como uma forma de ilustrar os meus argumentos. Este é um modelo clássico e simplificado sobre a interação entre duas espécies, sendo a primeira predadora da segunda (por exemplo, tubarões e sardinhas). O modelo clássico tem algumas restrições iniciais, a saber: a população de sardinhas cresce de forma ilimitada quando os tubarões não a mantêm sob controle; os tubarões dependem da presença das sardinhas para sobreviverem; a taxa de predação depende da probabilidade da presa ser encontrada pelo predador; a taxa de crescimento da população de tubarões é proporcional à ingestão de alimento. (EDELSTEIN-KESHET, 1988). Escrever um modelo significa pensar como cada uma das populações varia. De modo geral, podemos pensar que a variação de uma população é determinada pela diferença entre a quantidade de indivíduos que nasce e a quantidade de indivíduos que morrem dentro de um intervalo de tempo. Assim, podemos escrever: Variação da População ao longo do tempo = (nº de indivíduos que nascem) (nº de indivíduos que morrem) Esta mesma ideia, associada às hipóteses iniciais, foi utilizada por Lotka e Volterra (independentemente) para escrever o modelo que é dado pelas seguintes equações: dx = a x b x y dt dy = c x y d y dt onde x(t) = número de presas no instante t, y(t) = número de predadores no instante t, e a, b, c, d são constantes positivas. Na primeira equação temos que: o termo a.x representa o número de presas que nascem em cada instante t que, segundo a primeira hipótese, aumenta de forma ilimitada sem o controle dos predadores. 5

6 o termo b.x.y representa o número de presas que morrem em cada instante t; como o único modo das sardinhas morrerem é sendo alimento dos tubarões, este termo representa a taxa de encontros entre as duas espécies. Cada vez que elas se encontram as sardinhas podem ser comidas o que causa um decréscimo na população. Na segunda equação temos que: o termo c.x.y representa o número de predadores que nascem em cada instante t; neste caso a população de tubarões tende a crescer quando eles se alimentam. O termo d.y representa o número de predadores que morrem em cada instante t, sendo que aqui consideramos que a população de tubarões depende da presença de sardinhas. Neste exemplo as equações do sistema são ambas de primeira ordem, isto é, envolvem apenas a primeira derivada das funções. O conceito de derivada está vinculado a duas principais interpretações: (i) o valor da derivada de uma função f em um determinado ponto indica a inclinação da reta tangente ao gráfico de f naquele ponto; (ii) a derivada de uma função f com relação a variável independente desta função indica a variação instantânea da função com relação à variável. Neste caso a interpretação mais razoável para as derivadas do sistema é a segunda. Portanto ao olharmos para o sistema podemos lê-lo da seguinte forma: este modelo me diz como as populações de presas e de predadores variam ao longo do tempo. Minha primeira conjectura é que este tipo de raciocínio elaborado anteriormente pode ser desenvolvido juntamente com os alunos do primeiro ano do curso de Biologia como um ponto de partida para o estudo do modelo, mesmo que eles ainda não tenham estudado derivadas. Na verdade, mais tarde, o modelo será uma motivação para o estudo mais acurado deste conteúdo. Assim, o primeiro passo do trabalho seria compreender, ainda que de modo intuitivo, o que cada termo das equações quer dizer com relação ao fenômeno para que o comportamento das soluções do modelo possam então ser analisadas. Eis aí uma aparente dificuldade, tendo em vista que este é um sistema não-linear (as equações possuem termos mistos, a saber b.x.y e c.x.y) e encontrar soluções analíticas para EDO e sistemas de EDO não é em geral uma tarefa fácil. Além disso, nos casos específicos em que é possível encontrar as soluções analíticas, em geral elas não são intuitivas. 6

7 Para que seja possível trazer a noção de EDO mais cedo no currículo é importante superar este obstáculo, pois é o estudo das soluções do modelo que irá proporcionar aos alunos a oportunidade de estabelecerem relações entre o modelo e o fenômeno biológico de modo mais profundo. Nesta situação, o uso de softwares de modelagem é uma solução bastante interessante. Nesta pesquisa pretendo utilizar o software Modellus 2, que foi desenvolvido por Vitor Duarte Teodoro na Universidade Nova de Lisboa. Ele permite a análise e criação de modelos matemáticos que envolvam funções, derivadas, taxas de variação, equações diferenciais ordinárias e equações a diferenças finitas. Suas ferramentas incluem a construção de gráficos, tabelas e animações/simulações (TEODORO, 2002). Deste modo, utilizando o Modellus é possível visualizar graficamente e tabularmente as soluções de um sistema de EDO. Também é possível visualizar o seu plano de fase, caso o sistema tenha duas equações. Nas imagens a seguir é possível ver a representação gráfica e tabular das soluções do sistema fornecida pelo Modellus (Fig.1), onde a curva azul representa a população de presas e a curva rosa a população de predadores. Neste exemplo as constantes valem a=1.5, b=c=1, d=3 e as condições iniciais são x(0)=10 e y(0)=5. Também é possível visualizar a representação gráfica do plano de fase do mesmo sistema (Fig.2). 2 Endereço eletrônico: 7

8 Figura 1: Soluções Figura 2: Plano de Fase Uma análise destas representações permite a identificação de algumas características do modelo. Como exemplo, primeiramente podemos notar que as soluções 8

9 desta equação são funções x(t) e y(t) que representam a densidade populacional de presa e de predador, respectivamente, ao longo do tempo. Ambas as funções possuem um comportamento oscilatório interdependente: o decrescimento/crescimento da curva azul implica no decrescimento/crescimento da curva rosa. Este mesmo comportamento também fica evidenciado no plano de fase. Em termos do fenômeno isso significa que o aumento/decrescimento de uma população implica no aumento/decrescimento da outra população, e esse processo se repete ciclicamente. Minha segunda conjectura é que através da manipulação dos parâmetros, gráficos e tabelas, o coletivo alunos-de-biologia-com-software pode analisar e compreender o comportamento das soluções do sistema associando-as matematicamente de forma significativa com o fenômeno biológico em estudo. O coletivo alunos-de-biologia-com-software reporta-se à ideia de seres-humanoscom-mídias proposta por Borba e Villarreal (2005). Este construto teórico sugere que a unidade produtora de conhecimento é um coletivo formado por humanos e pela mídia com a qual se está trabalhando. Mudando a mídia associada ao coletivo seres-humanos-commídias, mudar-se-á o tipo de conhecimento produzido (BORBA, 2002). O construto seres-humanos-com-mídias também traduz uma relação de mútua influência entre o serhumano e a mídia. Quer dizer, a mídia é moldada pelo ser-humano que a utiliza e, concomitantemente, ela molda o ser-humano e modifica sua forma de pensar. Neste sentido, existe uma interação entre seres humanos e mídias de modo que as tecnologias (lápis-e-papel, computadores com softwares, calculadoras gráficas, etc.) são vistas como atores no processo de produção de conhecimento (BORBA; PENTEADO, 2001). Assim, construímos uma ponte que permite trazer o conteúdo de EDO mais cedo no currículo: um fenômeno biológico modelado matematicamente por EDO, que pode ser compreendido intuitivamente como a descrição de como determinada grandeza varia ao longo do tempo, cujos parâmetros e soluções podem ser analisados qualitativamente por coletivos alunos-de-biologia-com-software (um software de modelagem), de modo a gerar conclusões que podem ser relacionadas com o fenômeno original. Considerações Finais A ideia de estudar sistemas complexos e taxas de variação em níveis mais elementares de escolaridade está sendo discutida por alguns pesquisadores. Sua relevância 9

10 reside na importância que estes conceitos têm para diferentes áreas do conhecimento e para a vida diária das pessoas. Com esta pesquisa espero contribuir para que estes conceitos possam ser discutidos entre alunos que poderão usá-los em suas vidas profissionais, relacionando-os de forma significativa. Referências BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, BORBA, M. C. O computador é a solução: mas qual é o problema? In: SEVERINO, A. J.; FAZENDA, I. C. Formação Docente: Rupturas e Possibilidades. Campinas: Papirus Editora, p BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. (Coleção Tendências em Educação Matemática). 3. ed. 2. reimp. Belo Horizonte: Autêntica, BORBA, M. C.; VILLARREAL, M. Humans-with-Media and the Reorganization of Mathematical Thinking. New York: Springer p. ELDESTEIN-KESHNET, L. Mathematical Models in Biology. New York, USA: Ramdon House, p. JACOBSON, M. J.; WILENSKY, U. Complex Systems in Education: Scientific and Educational Importance and Implications for the Learning Sciences. The Journal of the Learning Sciences, v.15, n.1, p.11-34, TEODORO, V. D. Modellus: Learning Physics with Mathematical Modelling p. Tese (Doutorado em Ciências da Educação especialidade de Teoria Curricular e Ensino das Ciências) - Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa, Lisboa, WILENSKY, U. Modeling Nature s Emergent Patterns with Multi-agent Languages. Paper presented at EuroLogo Linz, Austria Disponível em Acesso em Fev./2010. WILENSKY, U.; REISMAN, K. ConnectedScience: Learning Biology through Constructing and Testing Computational Theories an Embodied Modeling Approach. In: BAR-YAM, Y. (Ed.) Proceedings of the Second International Coonference on Complex Systems. Nashua, NH: New England Complex Systems Institute, p.1-13, 1998a. WILENSKY, U.; REISMAN, K. Thinking like a Wolf, a Sheep or a Firefly: ConnectedScience: Learning Biology through Constructing and Testing Computational Theories an Embodied Modeling Approach. Cognition & Instruction. v.24, n.2, p , 1998b. 10

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