Palavras-chave: Modelagem Matemática, Cálculo, Biologia.

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1 A CONSTRUÇÃO DE SIGNIFICADOS DE CONCEITOS DO CÁLCULO DIFERENCIAL NA BIOLOGIA: UMA APLICAÇÃO DO MODELO PRESA-PREDADOR Waldir Henrique Fernandes de Souza Vanderléa Mendes de Lima Acadêmicos de Matemática - UEM Lilian Akemi Kato Luzia Marta Bellini Professoras do Programa de Mestrado em Educação para a Ciência e o Ensino de Matemática - UEM Resumo O ensino de Cálculo Diferencial, para estudantes do Curso de Ciências Biológicas, além de contribuir para a construção e raciocínios lógicos, também deve favorecer a utilização dos conceitos e ferramentas da Matemática em diversas situações dentro da Biologia apresentando a importante e interessante relação entre a Matemática e a Ecologia. Este trabalho apresenta o relato de uma atividade, norteada pela modelagem matemática, realizada, com um grupo de acadêmicos ingressantes do curso de Ciências Biológicas da Universidade Estadual de Maringá, objetivando mostrar alguns significados biológicos dos conceitos do Cálculo por meio da aplicação de um modelo matemático, encontrado na literatura, sobre controle biológico. Palavras-chave: Modelagem Matemática, Cálculo, Biologia. Introdução A disciplina de Cálculo, obrigatória nos cursos de Ciências Biológicas, é importante para o desenvolvimento do raciocínio lógico e visa à utilização dos conceitos e ferramentas da Matemática em diversas situações dentro da Biologia. No entanto essa importância não é entendida pelos estudantes porque esta disciplina geralmente é tratada de forma independente daquelas específicas da área, sendo a ênfase dada às técnicas de resolução, não oportunizando ao aluno a percepção da utilidade dos conceitos matemáticos em sua vida profissional. Isso resulta num alto índice de desistência e reprovação na disciplina de Cálculo além do desinteresse e

2 descomprometimento com as possíveis relações que podem ser estabelecidas entre o Cálculo e as diversas áreas do conhecimento. Uma reclamação comum dos estudantes, em relação a esta disciplina, é a falta de um ensino de Cálculo sincronizado com o contexto biológico e a não visualização de aplicações na Biologia. Embora, atualmente as pesquisas em Ciências Biológicas tenham contemplado a importância da Matemática nas argumentações científicas, esta visão é ainda uma prática não muito comum nos cursos superiores desta área. Constatou-se que a Matemática pode ser um instrumento muito útil para os estudos em Biologia, sendo que a Biologia apresenta à Matemática uma série de desafios, como problemas descontínuos, instáveis, não lineares e a Matemática oportuniza possibilidades, direções e tendências para a Biologia, tornando o ensino-aprendizagem, seja da Matemática ou Biologia, mais criativo e gratificante e, também visando à formação qualificada de um pesquisador nesta área e principalmente um educador de Ciências. Este trabalho apresenta o relato de uma atividade, norteada pela modelagem matemática, realizada com um grupo de estudantes ingressantes no curso de Ciências Biológicas, em que se utilizou um modelo, encontrado na literatura, sobre controle biológico com ênfase na atribuição de significados dos conceitos do Cálculo Diferencial. Referencial Teórico O estudo sobre Dinâmica Populacional analisa e interpreta as variações na quantidade de indivíduos de uma população, em que entendemos ser um grupo de indivíduos da mesma espécie que têm uma grande probabilidade de interação entre si, e as forças que provocam estas variações. Além disso, esta teoria oferece uma ferramenta que nos ajuda a compreender o que ocorre em um sistema ecológico em equilíbrio. Dinâmica Populacional é por natureza uma ciência preocupada com números: compreender, explicar, predizer alterações no tamanho da população. Utilizamos para o estudo de Dinâmica Populacional modelos matemáticos (MANCERA, 2002). O estudo de Dinâmica Populacional teve um grande impulso e reconhecimento a partir do trabalho Huston et al. (1988). Este tipo de modelagem tem encontrado várias aplicações tanto dentro da Ecologia e também fora dela (GIACOMINI, 2007). 14

3 Nesse sentido, GOMES (2002) afirma que a Dinâmica Populacional é uma ciência de números e de variações: nascimentos, mortos, remoções de indivíduos pelo homem ou por predadores, migrações, novas infecções, etc. As questões levantadas envolvem um grande número de variáveis e não é possível dar-lhes resposta sem recurso a instrumentos rigorosos, capazes de integrar muita informação em simultâneo desta forma que SARIEGO (2003) diz que devemos procurar encontrar modelos matemáticos que representem a ação da reprodução e da mortalidade sobre esta população, com três importantes propriedades: generalidade, validade e simplicidade. Aqui entendemos que a simplicidade matemática não implica necessariamente em simplicidade no comportamento de um modelo. Esses modelos devem estar assentados em hipóteses, isto é, informações básicas e certas sobre os quais se elaboram os raciocínios. A validade do modelo sempre dependerá das hipóteses adotadas, que estabelecem as condições de sua aplicabilidade. Pra que são utilizados esses modelos? Atualmente eles são freqüentemente empregados para a Análise de Viabilidade Populacional cujo interesse consiste em acessar o risco de extinção de espécies ameaçadas, possibilitando avaliar a influência de diversos cenários de interesse (GIACOMINI, 2007). Segundo BASSANEZI (2002) modelos matemáticos que levem em conta a biodiversidade de um ecossistema podem ser impraticáveis, tanto do ponto de vista de uma formulação biologicamente coerente quanto da busca de alguma solução matemática. Um modelo matemático deve ser razoável, não tão simples que comprometa qualquer interpretação nem tão complexo que impossibilite obter qualquer informação básica. Do ponto de vista instrucional, o modelo Lotka-Volterra é ainda o mais recomendado, funcionando como um indicador do processo de aprendizado do fenômeno. Modelo Lotka-Volterra O modelo presa-predador trata da interação entre duas espécies, onde uma (presa) dispõe de alimentos em abundância e a segunda espécie (predador) tem como suprimento alimentar exclusivamente a população de presas (BASSANEZI, 2002). Vamos admitir que em um intervalo de tempo t, o meio não deve mudar favorecendo uma das espécies e que qualquer adaptação biológica é completamente lenta. Segundo MURRAY (1993), as hipóteses para este modelo são: 15

4 (i) A presa na ausência de algum predador cresce exponencialmente como descreve o modelo de Malthus; onde a razão para este crescimento exponencial da presa é dada por an na equação (1). (ii) O efeito de predadores reduzirem-se e o crescimento per capita das presas é a razão proporcional da população de presas e de predador; a razão é bnp na equação (1). (iii) Na ausência de alguma presa para sustentar os predadores, temos a morte dos predadores, e a razão exponencial para esse decaimento é o termo dp da equação (2). (iv) As presas contribuem para o crescimento dos predadores, a razão é cnp em (2). As variações das populações são dadas pelas seguintes equações: (1) dn = an bnp = N ( a bp ) dp = dp + cnp = P(2) ( cn d ) (*) Em que a, b, c, d são constantes positivas. E também: a = a taxa natural de crescimento das presas se não há predadores; b = a taxa de decréscimo de presas devido ao encontro com os predadores; c = a taxa natural de decaimento da população de predadores se não há presas; d = o produto da eficiência com que os predadores convertem encontros com presas em alimento com o próprio número de encontros presa-predador (caçadas bemsucedidas). O uso de modelos matemáticos nos possibilita ter uma visão geral de um sistema biológico e permite, também, que se tenha uma noção do sistema real, o modelo presapredador vem sendo usado para se combater, por exemplo, uma praga com eficácia, sendo que se considera uma espécie como praga quando a densidade populacional desta espécie em questão causa danos econômicos. O controle biológico tem por objetivo reduzir e estabelecer a densidade populacional de pragas. Em casos bem sucedidos, as pragas e seus predadores devem buscar interações estáveis e com uma baixa densidade da população de pragas. E desta forma, sabendo que existem inúmeras pragas que atacam a cana-deaçúcar, mas a de mais difícil controle é a broca - Diatraea saccharalis pois se trata de um inseto que passa a maior parte de sua vida no interior da cana, tornando difícil seu combate por meio de agentes químicos. Ultimamente, a forma mais eficiente de combate deste tipo de broca tem sido o controle biológico (utilização de meios naturais para diminuir a 16

5 população de organismos considerados pragas), no Brasil, o controle da broca vem sendo efetuado principalmente pela utilização da vespa indiana Apanteles flavipes. O parasitismo se inicia por uma picada da vespa, ocasião em que um lote de ovos é depositado no corpo da lagarta (broca). Desses ovos eclodem as larvas que se desenvolvem a custa dos tecidos da lagarta hospedeira. A fim de estudar o controle biológico da broca da cana-de-açucar foi utilizado o modelo clássico de Lotka-Volterra para descrever a dinâmica populacional da broca (presa) e da vespa (predador). O modelo descreve a interação entre duas espécies, onde uma delas a presa, (neste caso, a broca) - dispõe de alimento em abundância e a segunda espécie - o predador (neste caso, a vespa), alimenta-se exclusivamente da primeira. Para determinarmos modelos do tipo presa-predador de Lotka-Volterra necessitamos de algumas hipóteses, para o nosso caso, broca x vespa, considerando que: B = B(t): a população de brocas numa região limitada de um canavial, num instante t; V = V(t): a população de vespas que convivem com as brocas no mesmo canavial, num instante t. Assumiremos as seguintes hipóteses para este problema: a. A quantidade de alimento (cana-de-açúcar) para a broca (presa) é bastante grande, não existindo uma auto- regulação de seu crescimento específico; b. A vespa tem na broca sua alimentação básica e na ausência desta a vespa morre; c. A broca só é predada pela vespa. Á partir destas hipóteses pode-se formular o sistema de equações diferenciais para o modelo contínuo: (**) db = ab bbv dv = dv + cbv A solução gráfica do nosso sistema de equações diferenciais do modelo de Lotka- Volterra é dada por: Figura1: Solução do modelo presa-predador. 17

6 Este gráfico nos diz que: cada população descreve ciclos com amplitude determinada pelos tamanhos populacionais iniciais, de tal forma que o predador atinge o máximo quando a presa já diminui para a metade do seu máximo e vice-versa. Para conseguirmos obter esta solução, primeiramente devemos determinar os valores dos parâmetros para que se possa obter uma solução com ciclos do tipo do gráfico acima, significando que as duas populações estão em equilíbrio. Desenvolvimento Com o intuído de atribuir significado aos conceitos do Cálculo Diferencial na Biologia, elaboramos um modelo matemático do tipo presa-predador com dados encontrados em (BASSANEZI, 2002). Este modelo representa a interação entre duas espécies: broca da cana-de-açúcar (presa) e vespa indiana (predador). Juntamente com uma turma de estudantes do primeiro ano do curso de Biologia da Universidade Estadual de Maringá, desenvolvemos um trabalho apresentando uma aplicação da Matemática na Ciência Biológica que foi encontrado em Bassenezi, explicitando a importância do Cálculo, a 1 a, 2 a e 3 a etapa conforme descreveremos á seguir. 1 a Etapa: Apresentação do problema Os alunos do curso de Biologia têm no seu currículo básico a disciplina de Cálculo, mas em geral, esta disciplina é dada sem muita ênfase em aplicações na sua área, fato que gera reclamações entre eles. Entre essas reclamações, destaca-se a falta de interação entre a matemática e a Biologia incluindo aí o desconhecimento das aplicações dos conceitos do Cálculo nas ciências. Nesse sentido, este projeto teve a preocupação em despertar o interesse desses estudantes, por meio de uma atividade de modelagem com um problema da área da Biologia, pelas aplicações da matemática atribuindo significados aos conceitos do Cálculo. Para tanto apresentamos o problema do controle biológico da broca da cana-deaçúcar descrito em BASSANEZI (2002), explorando inicialmente os conhecimentos que os estudantes já tinham sobre o fenômeno. Nesta etapa os alunos contribuíram com experiências de outros trabalhos além de relatos de seus conhecimentos sobre o assunto, 18

7 dentre essas participações destacamos o relato de um aluno que fazia um projeto envolvendo esta lagarta, no qual confirmou os dados encontrados na literatura sobre a lagarta (broca), porém ele também disse que não conhecia este tipo de mosca citada no texto. No seu projeto eles trabalhavam com um tipo de mosca bem menos eficiente, pois sua taxa de crescimento além de ser menor sua predação a broca é feita em menor quantidade. Os dados numéricos apresentados em BASSANEZI (2002) foram discutidos com os estudantes a fim de verificar como esses acadêmicos analisavam o problema em questão. Nesta etapa de debate surgiram questões a respeito da quantidade de vespas necessárias para se fazer o controle biológico das brocas, e outras conseqüências decorrentes deste tipo de interação. Aproveitamos essas discussões para explorarmos dados qualitativos em relação às informações obtidas do problema, como por exemplo, a quantidade de vespas adequada para se fazer o controle biológico das brocas, a taxa de controle das brocas pelas vespas e a de redução da vespa após a predação da broca e discutimos possíveis formas de analisar estas questões. Nenhum aluno apontou como forma de analisar o problema um modelo matemático, demonstrando que ainda possuem muitas dificuldades em transpor as informações biológicas, por exemplo, a taxa de eficiência do controle da broca pela vespa, em informações numéricas. Os alunos apresentaram dificuldades em aceitar e entender as hipóteses do problema porque em Biologia trabalha-se de forma diferente em relação a analise dos eventos. Hipótese para eles é algo que acreditam ser verdadeiro, ou seja, uma suposição, já do ponto de vista da Matemática, hipótese é o conjunto de condições para poder iniciar uma demonstração. Finalizada esta etapa podemos então começamos a determinação dos parâmetros que aparece na equação (**). 2 a Etapa: Determinação dos parâmetros: 19

8 Para a determinação dos parâmetros a e b usou-se a equação diferencial das brocas, na ausência de vespa, db ab = e a equação diferencial das brocas na presença da vespa, db = ab bbv. A primeira equação nos diz que a taxa de variação da população de brocas, na ausência de vespas, em relação ao tempo, é proporcional à população de brocas no instante t. Desta mesma equação diferencial das brocas na ausência de predador (vespa) pode se concluir supostamente como a população da lagarta (broca) reagirá ao passar do tempo, para isto é necessário primeiramente separar as variáveis da equação diferencial das brocas na ausência da vespa, e depois integrar em ambos os lados e assim obter a seguinte at expressão B() t = B0e, que nos diz que a população de broca no instante t é proporcional a seu crescimento exponencial. Desta forma, é o que podemos observar graficamente: Figura 2: Gráfico da população de brocas, na ausência de vespas, em relação ao tempo. Já a segunda equação nos diz que a variação da população de brocas, na presença de vespas, em relação ao tempo, depende da população de brocas mas também sobre interferência da predação das brocas pelas vespas no instante t. Para a determinação dos parâmetros c e d, utilizou-se a equação diferencial das vespas, na ausência de brocas, dv = dv e a equação diferencial das vespas na a presença da broca, dv = dv + cbv. A primeira destas duas últimas equações nos diz que a taxa de variação da população de vespas, na ausência de brocas, em relação ao tempo, é proporcional à população de vespas no instante t. Então, desta mesma equação diferencial das vespas na ausência de presa (broca) pode se concluir supostamente como a população vespa reagirá ao passar do tempo, para isto é necessário primeiramente separar as variáveis e integrar em ambos os lados e assim obter a seguinte expressão Vt () = Ve 0, que nos diz que a população de vespa no instante t é proporcional o seu decrescimento exponencial. Desta forma, é o que podemos observar graficamente: 20

9 Figura 3: Gráfico da população de vespas, na ausência de brocas, em relação ao tempo. Graficamente pode-se observar que na ausência de brocas, a população de vespas, sem alimento, decresce. Esse decrescimento se dá, também, exponencialmente. Já a segunda equação nos diz que a variação da população de vespas, na presença de brocas, em relação ao tempo, depende da diminuição da vespa mas também sobre interferência da predação de brocas pelas vespas. 3 a Etapa: Construção e interpretação dos gráficos Para construirmos a tabela da quantidade de brocas e vespas em relação ao tempo e os gráficos para o modelo matemático broca x vespa, utilizamos as equações diferenciais do sistema (**) na forma discreta para que fosse possível tabular esses dados. Obtendo as equações: B(t+1) = B(t) + ab(t) bb(t)v(t) V(t+1) = V(t) dv(t) + cb(t)v(t) Considerando os valores, com arredondamento, dos parâmetros: a = 0,03, b = 0,000015, c = 0,0007 e d = 1,2. Obtemos, substituindo na equação discreta para a população de brocas e vespas, a seguinte tabela: TEMPO (t em dias) Broca (B(t)) Vespa (V(t)) , , ,4 6963, ,1 6091, ,8 4841, ,8 21

10 A seguir segue as representações gráficas das populações de brocas e vespas: Figura 4: Gráfico da quantidade de vespas em relação ao tempo Figura 5: Gráfico da quantidade de brocas em relação ao tempo. Figura 6: Gráfico da quantidade de brocas e de vespas em relação ao tempo Por meio desses gráficos observou-se que inicialmente a quantidade de vespas é bem maior do que a de brocas, uma pequena diminuição da quantidade de brocas provoca uma grande diminuição na quantidade de vespas, mas um pequeno aumento na quantidade de brocas provoca uma rápida recuperação da população de vespas. Ou seja, para que a população de vespas e de brocas mantenha-se em equilíbrio é necessário um número muito maior de vespas em relação ao número de brocas. Considerações Finais Inicialmente os alunos se assustaram com a idéia de falar de Cálculo em uma aula de Biologia. Alguns alunos não haviam cursado a disciplina, mas a maioria sim. Os que já tinham conhecimento da disciplina pareciam estar curiosos para saber como poderia se falar de Cálculo juntamente com Biologia, pareciam ter uma visão do Cálculo como algo que não é importante no curso de Biologia. No início da atividade, onde foram apresentadas as definições de controle biológico e controle químico, os alunos se mostraram muito interessados. A atividade prosseguiu com a exposição e descrição das espécies a serem inseridas no modelo (broca, vespa indiana). Ao ser revelado aos alunos que seria utilizado um modelo presa-predador, para estudar o controle biológico da broca da cana-de-açúcar e descrever a dinâmica populacional da broca (presa) e da vespa (predador), os alunos ficaram curiosos para saber como isso seria feito. No entanto, de início, os alunos apresentaram dificuldades para entender e aceitar as hipóteses do modelo, pois estas hipóteses não é exatamente o que 22

11 ocorre na prática, fato, esse, de difícil aceitação para biólogos. Também tiveram dificuldades em relacionar as informações do problema com as equações matemáticas. Entender o conceito de derivada foi outra dificuldade apresentada pelos alunos. Por exemplo, à expressão db atribuíram o significado: número de indivíduos que existem em um determinado tempo. Os alunos que já haviam cursado a disciplina mostraram-se mais receptivo à idéia de utilizar derivadas para representar uma dinâmica populacional, mesmo assim ficaram surpresos com a forma tratamento. As técnicas de resolução das equações diferenciais utilizadas no modelo foram facilmente percebidas pelos estudantes, porém sem fazer nenhuma conexão com o problema, apenas a compreensão da manipulação matemática. Para a obtenção dos gráficos utilizou-se as equações discretas, para que fosse possível determinar, discretamente, passo a passo, a quantidade de indivíduos em cada instante, e com esses dados gerar os gráficos, apresentados nas Figuras 4, 5 e 6. Todos os estudantes tiveram dificuldades em compreender o significado dos gráficos obtidos. Por exemplo, não percebiam, ao relacionar os gráficos, que enquanto uma população aumentava a outra diminuía, que com os parâmetros calculados foi possível manter as duas populações em equilíbrio e que era necessário um número muito maior de vespas para que houvesse o controle da broca. Não apenas neste caso em particular, mas em geral os alunos tem dificuldade em construir e analisar gráficos de funções quaisquer. Este fato pôde ser verificado no questionário aplicado nos alunos ao final da atividade, onde havia uma análise de um gráfico simples e nenhum dos alunos a fez corretamente. Nesse sentido, a interpretação dos gráficos, foi uma tarefa ainda mais árdua, pois é preciso olhar o gráfico e entender o que ele nos diz a respeito do fenômeno. São vários os motivos que nos faz compreender a dificuldade e desinteresse dos alunos na aprendizagem do Cálculo. Um deles seria que o Cálculo tem sido comumentemente introduzido por meio de aulas expositivas tradicionais que seguem o protocolo: definições, teoremas, propriedades, exemplos e exercícios, o que tem contribuído para um alto índice de abandono e repetência, devido à falta de motivação para este estudo. 23

12 Esse motivo é, também, a causa do descontentamento dos alunos em relação a esta disciplina, a maioria deles reclamam que a disciplina não é apresentada de uma forma contextualizada havendo falta de visualização das aplicações, não oportunizando ao aluno a percepção da utilidade dos conceitos matemáticos em sua vida profissional. Essa dificuldade não é exclusividade dos estudantes da Biologia, mas de todos das áreas das ciências ditas experimentais. Toda ciência é ciência de observação, mas a Matemática se difere dessas ciências, pois ela possui objetos de observação onde ás vezes podem não admitir representações físicas, ou ainda, objetos de observação que só admitem representações mentais parciais, no entanto isto não ocorre nessas ciências ditas experimentais, onde os objetos de observação possuem representações físicas. A validade de uma teoria em Biologia, por exemplo, depende quase que diretamente da constatação experimental, já a Matemática é uma ciência de demonstrações. Os conceitos nas duas áreas diferem, uma mesma palavra tem seu significado diferenciado dependendo dentro de qual área a considere. Por exemplo, hipótese para biólogos é algo que acreditam ser verdadeiro, ou seja, uma suposição, já do ponto de vista da Matemática, hipótese é o conjunto de condições para poder iniciar uma demonstração. Esses pontos de divergência entre as ciências ditas experimentais e a Matemática, por exemplo, estes generalizam uma conclusão a partir de um número limitado de testes, supondo que um argumento no qual é obtida uma conclusão acerca de uma amostra do grupo é tomado como evidência indutiva esta afirmação para o resto deste grupo, já a Matemática só se concluíra algo depois de demonstrar a validade para qualquer caso em questão, após se provar que algo é verdadeiro para qualquer caso poderemos tomar como verdade para todo resto do grupo, outra dificuldade é a divergência em significados de palavras como já citamos no texto sobre a palavra hipótese, estes são alguns dos motivos da dificuldade de se trabalhar a disciplina de Matemática dentro dessas ciências. A interação estimulada por este trabalho trouxe benefícios para o processo de aprendizagem do Cálculo na medida em que se despertou interesse nos alunos em compreender os conceitos de Cálculo, assimilando-os. Com a atividade os estudantes puderam observar a Matemática mais presente na Biologia, estabelecer relação entre as duas disciplinas e visualizar a aplicabilidade da Matemática em sua área, mas ainda com algum receio, pois esta abordagem ainda é bastante precoce mesmo no ensino superior. 24

13 No entanto, o trabalho despertou a curiosidade nos alunos em conhecer mais situações aonde a Matemática contribui significativamente para seu entendimento e ainda possibilitou aos alunos passassem a ver o Cálculo como uma disciplina importante dentro do curso de Biologia. Outra questão do questionário aplicado nos alunos era se eles consideravam a disciplina de Cálculo importante dentro do curso de Ciências Biológicas, todos afirmaram que sim, algumas respostas foram: Sim, desde que mostrada presente no dia-a-dia de um biólogo, Sim, pois ela facilita a interpretação dos resultados obtidos. Esta nova visão, no entanto, ainda está muito mais relacionada com o tipo de aplicações da Matemática na Biologia, do que pela importância dos conceitos matemáticos na formação acadêmica. Isso se reflete nas reclamações dos estudantes quando dizem que não vêm aplicações do Cálculo na Biologia. Referências bibliográficas BARBOSA, J.C. Modelagem na Educação Matemática: Contribuições para o Debate Teórico. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED 24, 2001, Anais. Caxambu. Rio Janeiro: ANPED, BASSANEZI, R.C. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: Contexto, BLUM, W., NISS, M. Applied Mathematical Problem Solving, Modeling, Applications, and links to other subjects state, trends and issues in Mathematics instruction. Educational Studies in Mathematics, Dordrecht, v. 22, n. 1, p , GIACOMINI, H.C. Sete Motivações Teóricas para o uso da Modelagem Baseada no Indivíduo em Ecologia. Rio Claro, SP GOMES, M.C. Introdução à Dinâmica Populacional. Lisboa: Faculdade de Ciências de Lisboa, MANCERA, P.F.A. Matemática para Ciências Biológicas: um estudo introdutório através de programas de álgebra computacional. Departamento de Bioestatística. Agosto, MOURA, M.O. A atividade de ensino como ação formadora. In: CASTRO, A. & CARVALHO, A (orgs). Ensinar a ensinar: didática para a escola. São Paulo: Editora Pioneira, MURRAY, J. D. Mathematical Biology. Volume 19. Springer,

14 SARIEGO, J.C.L. Dinâmica Populacional. Disponível em: < Acesso em: 27/05/