O TEOREMA DE PITÁGORAS E SUAS DEMONSTRAÇÕES EM SALA DE AULA

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1 O TEOREMA DE PITÁGORAS E SUAS DEMONSTRAÇÕES EM SALA DE AULA 1 Rodrigo Amaral Leal 2 Rondineli dos Anjos Nunes 3 Wildson Pombo Sousa 4 RESUMO Este artigo científico tem objetivo relatar sobre o contexto histórico e a vida de um dos personagens que atualmente é uma das referências no campo do conhecimento matemático, Pitágoras. Que ao seu tempo observou e revolucionou não só a matemática, mas também a filosofia por meio de estudos e pesquisas investigativas. Pitágoras aprofundou seus estudos em diversas regiões e países como: Egito, Babilônia e talvez a Índia. Pouco se sabe sobre a origem do Teorema, que o qual institui seu nome. No entanto, há registros pelas antigas civilizações em tabletes de barros no qual se utilizavam como meio de escritas naquela época. Nestas escritas existem algumas formas que há relação com o Teorema de Pitágoras. O Teorema de Pitágoras, o mais famoso da geometria plana, tem muitas e variadas demonstrações. Um exemplo das demonstrações encontram-se em O livro The Pythagorean Proposition de Elisha S. Loomis, 2ª edição, 1940, classificou 367 demonstrações do teorema de Pitágoras. Nessa perspectiva propomos uma abordagem deste teorema em sala de aula onde incluem os materiais didáticos manipuláveis que fortalecem a motivação do aluno para a aprendizagem, aumentam a autoconfiança e a concentração e contribuem no desenvolvimento das competências cognitivas e lógicas. Palavras-chave: O Teorema de Pitágoras. Demonstrações. Aplicações. 1 Professor Orientador Steve Wanderson Calheiro de Araujo Universidade Federal do Amapá (UNIFAP). Steve@unifap.br 2 Acadêmico da Universidade Federal do Amapá (UNIFAP). rodrigoamaral@gmail.com 3 Acadêmico da Universidade Federal do Amapá (UNIFAP). rodinelinunesl@gmail.com 4 Acadêmico da Universidade Federal do Amapá (UNIFAP). wilpsousa@yahoo.com.br 16

2 1. INTRODUÇÃO Figura 1. Pitágoras de Samos Fonte: 17 O Teorema de Pitágoras é através deste trabalho que propomos apresentar a vivencia de Pitágoras em busca do conhecimento e algumas demonstrações e propostas de aplicações do Teorema de Pitágoras para alunos do 9º ano do Ensino Fundamental da Escola Municipal Raimunda Rodrigues Capiberibe em Laranjal do Jari, estado do Amapá. Partindo do desenvolvimento de materiais que sejam atrativos e lúdicos aos alunos. Por meio de métodos alternativos como atividades na forma de oficina que podem ser utilizadas tanto por docentes quanto discentes em aulas sobre o Teorema de Pitágoras. A ideia dessas oficinas é familiarizar o aluno com esse resultado através da resolução de problemas. Quando se fala de Pitágoras viajamos na linha do tempo, voltamos à história principalmente da Matemática no qual atribuí o Teorema de Pitágoras. Segundo Baroni e Nobre (1994), afirmam que a história é também uma área de conhecimento, e não pode ser deixada de lado: [...] apesar da História da Matemática estar ganhando destaque no meio acadêmico- educacional e se destacando como instrumento para propostas didático-pedagógicas, bem como a Modelagem Matemática, a Etnomatemática, a Informática, entre outras, não se deve esquecer que antes de tudo a História da Matemática é uma área do conhecimento matemático, um campo de investigação e, portanto, não pode ser analisado simplesmente como um instrumento metodológico (BARONI; NOBRE, 1994; p.129). Deste modo, propomos aos alunos uma atividade em que, ele é convidado a decompor os quadrados construídos sobre os catetos em alguns pedaços e depois reagrupar essas peças exatamente sobre o quadrado construído sobre a hipotenusa. Ao final do trabalho apresentaremos algumas atividades interessantes para chamar a atenção de que demonstração matemática não pode

3 ser dada exclusivamente através da interpretação de uma ilustração. Por exemplo, somente as atividades de recortar e colar, apresentados nas oficinas propostas, não constituem demonstrações completas para o Teorema de Pitágoras. Veremos que é realmente importante demonstrar que as peças se encaixaram perfeitamente e que não existe alguma falha ou sobreposição de peças. 2. O CONHECIMENTO DOS BABILÔNIOS DO TRIÂNGULO 3, 4 e 5 Há provas que os babilônios antigos, antes mesmo de Pitágoras, já conheciam então o que seria o famoso Teorema de Pitágoras. Muitos tabletes de barro datados do período de 1800 a 1600 a.c. foram encontrados, decifrados e hoje se encontram em diversos museus. Um deles, chamado Plimpton 322 está na Universidade de Columbia e o fragmento que foi preservado mostra uma tabela de 15 linhas e 3 colunas de números. Os pesquisadores descobriram que esta tabela continha ternos pitagóricos, ou seja, lados de um triângulo retângulo. Há relatos históricos que estes pedaços que restaram de um tablete deveriam fazer parte de um conjunto de tabletes, não se sabe como esses números foram encontrados. Mas, uma pista é evidente de que os babilônios conheciam alguma forma de encontrar esses números, o tablete encontra-se guardado hoje no Museu Britânico. Nesse tablete está escrito o seguinte: 4 é o comprimento 5 é a diagonal Qual é a altura? 4 vezes 4 dá 16 5 vezes 5 dá 25 Tirando 16 de 25 o resto é 9 Quanto vezes quanto devo tomar para ter 9? 3 vezes 3 dá 9 3 é a altura Segundo Lima ET at (2006) outro tablete que merece atenção está no museu da Universidade de Yale. É o único que contém figuras: um quadrado e suas 18

4 diagonais. Neste fragmento de tablete que se pode ver na figura 2, o lado do quadrado é tomado como igual a 30 e o comprimento da diagonal aparece como 42, 25, 35. Isto nos leva a pensar que os babilônios tinham conhecimento da relação entre os lados de um triângulo retângulo. Não há nenhuma demonstração, naturalmente, pois isto ainda estava longe de ser uma preocupação dos matemáticos da época. Eles conheciam receitas que davam certo e, com elas, resolviam inúmeros problemas. Como os babilônios escreviam os números na base 60, o comprimento da diagonal é, na nossa notação decimal, 24+ Isto, dividido por 30, dá 1, , uma aproximação excepcional para com seis casas decimais corretas. Figura 2. Tablete de barro de 1800 a 1600 a.c Fonte: 19

5 3. ORIGEM E A VIDA DE PITÁGORAS Figura 3. Localização de Samos Fonte: Pitágoras nasceu na ilha de Samos, na costa da Ásia Menor, por volta do ano 572 a.c. Samos nessa época, era uma rica cidade-estado mercantil, mas, talvez justamente por isso, sua vida intelectual era muito limitada, apesar de viverem ali muitos homens de talento. Esse fato, aliado ao duro regime político sob o qual Samos vivia, deve ter sido o motivo que levou Pitágoras, que sempre revelara pendores místicos e filosóficos, a deixar a cidade. Assim, aos 18 anos de idade ele mudou para a ilha de Lesbos, onde por dois anos estudou filosofia. Depois disso seguiu para Mileto, possivelmente para usufruir os ensinamentos de Tales, que era mais velho do que ele cerca de cinquenta anos. Talvez aconselhado por Tales, rumou então para o Egito, para tentar aprender o saber local, concentrado nas mãos das ordens sacerdotais. Segundo Asger Aaboé (2002) : Pitágoras de Samos, que atingiu seu ápice produtivo em torno de 530 e de seus seguidores os pitagóricos. Suas realizações foram em ciências, particularmente na matemática, e na religião, e seus preceitos religiosos eram fortemente condimentados por ingredientes dos matemáticos ou místicos numéricos. Seus gostos em matemática tendem para aritmética e a álgebra, é obvia uma forte influencia babilônica. Em verdade, diz-se que Pitágoras visitou o Egito e a Babilônia, e embora lenda conte que ele aprendeu sua matemática no Egito e suas crenças místicas na Babilônia, é claro que foi na Babilônia que obteve suas inspirações matemáticas. (p. 42). Depois de vencer duras provas acabou sendo aceito como aluno em Tebas, na Grécia, onde permaneceu por cerca de vinte anos. Depois disso Pitágoras voltou a Samos, onde pretendia se dedicar ao ensino. Mas, confirmando talvez o desinteresse dos Samios pelo saber, Pitágoras só conseguiu um aluno e, assim mesmo, tendo de pagar-lhe para que ele assistisse às suas aulas. Esse fato, somado à situação da política de Samos, levou-o a emigrar mais uma vez, indo 20

6 estabelecer-se agora na colônia grega de Crotona, no sul da Itália. Nessa cidade fundou uma escola que, apesar de seu misticismo, iria ter uma influência muito grande nos rumos da filosofia e da ciência, especialmente da matemática. Pitágoras não apreciava o isolamento e acabou subornando um menino para ser seu primeiro aluno. A identidade do garoto e incerta, mas alguns historiadores sugerem que ele também se chamaria Pitágoras [...] Pitágoras, o mestre, pagava ao seu aluno três ébolos para cada aula a que ele comparecia. Logo percebeu que, à medida que as semanas se passavam, a relutância inicial do menino em aprender se transformava em entusiasmo pelo conhecimento. Para testar seu pupilo, Pitágoras fingiu que não podia mais pagar o estudante e que teria de interromper as aulas. Então o menino se ofereceu para pagar por sua educação. O pupilo tornarase discípulo. Infelizmente este foi o único adepto que Pitágoras conquistou em Samos. Ele chegou a estabelecer temporariamente uma escola conhecida como o Semicírculo de Pitágoras, mas suas ideias de reforma social eram inaceitáveis e o filosofo foi obrigado a fugir com sua mãe e seu único discípulo. (SINGH, 2008, p.30). Pitágoras é considerado o pai da matemática e da música, e é considerado também um dos mais importantes filósofos daquela época, como menciona o filósofo Bertrand Russel, que classificou Pitágoras como um dos homens mais importantes de todos os tempos no plano intelectual. Por volta do ano 500 a.c., quando a escola estava no auge de seu esplendor, foi fechada sob a acusação de apoiar a aristocracia, contrária ao governo. Pitágoras teve então de se refugiar em Metaponto, cidade em que ficaria até morrer, por volta do ano 497 a.c. Mas durante quase dois séculos seus ensinamentos continuaram a serem transmitidos por seus discípulos, que se espalharam por diversas regiões. De acordo com Russel e Strathern (1998, p.7): 4. A ESCOLA PITAGÓRICA O primeiro matemático, o primeiro filósofo e o primeiro a praticar a metempsicose. E isso, não por ter sido a primeira pessoa a usar números, a primeira a buscar uma explicação racional para o mundo ou a primeira a acreditar que numa vida anterior sua alma havia habitado uma planta, um faraó ou algo do gênero. Foi ele quem inventou, ou usou pela primeira vez as palavras; matemático, filósofo e metempsicose nos sentidos hoje aceitos e logo aplicou a si mesmo. Também inventou a palavra cosmos, que aplicava ao mundo. Em grego, Kosmo significa ordem e Pitágoras usou o termo para designar o mundo por causa de sua perfeita harmonia e ordenação. Durante suas passagens por diversos países em busca de conhecimento, Pitágoras fundou em Crotona a Escola Pitagórica. Esta escola era politicamente conservadora e mantinha um princípio de conduta muito rígido, ou seja, era uma 21

7 irmandade estreitamente unida por ritos secretos e cerimônias, nenhum dos seus discípulos jamais violou a regra até mesmo depois da morte de Pitágoras e do fim da escola. Além disso, a escola era totalmente vegetariana, aceitando assim a doutrina da metempsicose, ou seja, transmigração das almas. Todas as proibições estabelecidas por Pitágoras em sua religião na escola eram seguidas com muito rigor. Era uma espécie de escola com caráter duplo, pois se dedicava a questões espirituais e, além disso, aos estudos de Matemática, Astronomia e Música. (BOYER, 1996). Pitágoras também foi o responsável pela formalização da escala musical que usamos hoje. O instrumento mais importante da antiga musica helênica era o tetracordio, ou lira de quatro cordas. Antes de Pitágoras, os músicos tinham percebido que certas notas, quando soavam juntas, criavam um efeito agradável e afinavam suas liras de modo que ao tocarem duas cordas pudessem produzir tal harmonia. Contudo, os antigos músicos não compreendiam por que certas notas, em especial, eram harmônicas e não tinham nenhum meio preciso de afinar seus instrumentos. Eles afinavam suas liras pelo ouvido, até conseguirem um estado de harmonia um processo que Platão chamava de torturar as cravelhas. (SINGH, 2008, p.35) Pitágoras observou que quando os comprimentos das cordas estavam em algumas proporções, elas soavam de forma harmônica. Ele notou que se uma corda produzia uma nota qualquer, outra corda com o dobro do tamanho produziria a mesma nota em uma oitava abaixo. Este mesmo princípio e utilizado hoje em harpas e pianos. Pitágoras formalizou as notas musicais que conhecemos da seguinte forma: dada uma corda que produzia um Do, uma corda com o dobro do comprimento levaria a um Do uma oitava abaixo e de forma ascendente, uma corda com 16:9 de seu tamanho produziria um Ré, 8:5 para Mi, 3:2 para Fá, 4:3 para Sol, 6:5 para La e 16:15 para Si.Todas estas descobertas fizeram com que a escola pitagórica ganhasse notoriedade na Grécia antiga, porem junto com este prestigio muita inveja também era atraída. Cyrino (2006, p. 52) diz: Da mesma maneira que os pitagóricos conseguiram ascensão política, os inimigos surgiram. Um dos senhores mais ricos de Crotona, chamado Cilon, empreendeu um ataque a uma casa onde se reuniam os pitagóricos e muitos foram assassinados. Pitágoras foi para Tarento e dai, para Metaponto, onde perdeu a vida, aproximadamente, em 500 a.c. 22

8 Pitágoras e os pitagóricos foram pessoas que deixaram um legado matemático e filosófico muito grande, porém esta historia importante da Matemática e envolta em muitas lendas, pelo fato de muitas de suas descobertas ficarem em segredo, além da perda da maioria dos documentos. Há uma lenda que diz que, neste ataque aos pitagóricos, toda a casa foi incendiada, queimando os registros de Pitágoras e sua escola. Os pitagóricos tinham por costume atribuir todas as descobertas ao fundador, por isso hoje é tão difícil saber se foi realmente Pitágoras que fez estas descobertas ou se foram outros membros que na época eram chamados de seus seguidores. (EVES, 1997). Ainda segundo Eves (1997), afirma que os pitagóricos em seus estudos, chegaram à conclusão de que tudo é número. Eles acreditavam que toda uma série de realidades e fenômenos naturais são traduzível por relações numéricas, como por exemplo, os fenômenos musicais, a periodicidade do movimento celeste e os fenômenos da vida, deduzia-se que os elementos dos números eram os elementos da realidade: A filosofia pitagórica baseava-se na suposição de que a causa última das várias características do homem e da matéria são os números inteiros. Isso levava a uma exaltação e ao estudo das propriedades dos números e da aritmética (no sentido de teoria dos números), junto com a geometria, a música e a astronomia, que constituíam as artes liberais básicas do programa de estudos pitagórico. Esse grupo de matérias tornou-se conhecido na Idade Média como quadrivium, ao qual se acrescentava o trivium, formado de gramática, lógica e retórica. Essas sete artes liberais vieram a ser consideradas como a bagagem cultural necessária de uma pessoa educada. (EVES, 1997, p. 97). Para entrar na escola o candidato era submetido a rudes provas, tanto psicológicas como físicas e se fosse aprovado nestes testes era chamado de acusmático, ou seja, era obrigado a passar um período de cinco anos de contemplação, guardando perfeito silêncio. O pentagrama ou pentágono estrelado era o símbolo da Escola Pitagórica, que representava o sigilo e companheirismo entre os pitagóricos e segundo Pitágoras o pentagrama possui muitas propriedades interessantes. Boyer (1996), diz que este pentagrama é obtido traçando as diagonais de um pentágono regular. Através das intersecções dos segmentos da diagonal se 23

9 obtém um novo pentágono regular, que é proporcional ao original pela razão áurea ou secção áurea: Se começarmos com um polígono regular ABCDE (Fig. 2) e traçarmos as cinco diagonais, essas diagonais se cortam em pontos A B C D E, que formam outro pentágono regular. Observando o triângulo BCD, por exemplo, é semelhante ao triângulo isósceles BCE e observando também os muitos pares de triângulos congruentes no diagrama, não é difícil ver que os pontos A B C D E dividem as diagonais de um modo notável. Cada um deles divide uma diagonal em dois segmentos desiguais, tais que a razão da diagonal toda para o maior é igual à deste para o menor. Essa subdivisão das diagonais é a bem conhecida secção áurea de um segmento [...]. (BOYER, 1996, p. 34). Eves (1997) nos diz sobre o fim da escola: [...] com o tempo, a influência e as tendências aristocráticas da irmandade tornaram-se tão grandes que forças democráticas do sul da Itália destruíram os prédios da escola fazendo com que a confraria se dispersasse. [...]. Foi neste período que Pitágoras então foi expulso de Crotona e fugiu para Metaponto. Vários nomes que fizeram parte da escola pitagórica, entre eles alguns foram destaque:filolaus de Tarento que nasceu por volta de 470 a.c. e morreu 390 a.c.; Arquitas de Tarento nasceu em 428 a.c. e Hipasus de Metapontum que viveu por volta de 400 a.c..alguns séculos mais tarde, a Escola Pitagórica voltou a reviver e seus membros passaram a ser chamados então de neo-pitagóricos, um destes membros que mais se destacou foi Nicômaco de Gerasa, que viveu em torno do ano 100. Há relatos históricos que a Escola Pitagórica tenha existido por mil anos uma das grandes contribuições da escola pitagórica à matemática foi organizar algumas partes da geometria das paralelas, por meio do método demonstrativo, ou seja, por meio de teoremas. Mas apesar de sua importância, nenhum escrito sobre a escola pitagórica sobreviveu, as informações que conhecemos vieram de fontes indiretas muito posteriores. 5. O ENUNCIADO DO TEOREMA DE PITÁGORAS Seja em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos. Se a é a medida da hipotenusa e se b e c são as medidas dos catetos, o enunciado do Teorema de Pitágoras nos afirma que a² = b²+c² 24

10 Figura 4. Prova do Teorema de Pitágoras através de quadriculações Fonte. A figura do triângulo retângulo acima mostra que as áreas dos quadrados construídos sobre os catetos é igual à área da hipotenusa. 6. DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS Nas ciências naturais, uma demonstração e algo que pode ser observado e repetido uma grande quantidade de vezes, e tomado como verdade, claro que muitas vezes de forma não absoluta. As descobertas cientificas na maioria das vezes, foram feitas desta forma. Em 1927 (quando já era professor universitário), Loomis publicou A proposição pitagórica, livro contendo 230 provas; em 1940, então aos 87anos, Loomis publicou uma segunda edição, com 370 provas. [...] A última frase de sua segunda edição e: E ainda não chegamos ao fim. Loomis estava certo; não era o fim. O site Guinness World Records, sob o titulo Maior quantidade de provas do teorema de Pitágoras, recentemente apontou um grego que diz ter descoberto 520 provas distintas. (CREASE, 2011, p. 24 e 25). Uma conjectura e proposta e verificada muitas vezes, para o maior número de casos, até que seja considerada verdadeira. Mas na Matemática, uma conjectura só e considerada verdadeira quando for demonstrada com argumentos lógicos, sem deixar qualquer margem de duvida. Ou seja, realizar testes com casos particulares, por maior que seja a quantidade destes testes, não serve como demonstração ou prova de qualquer afirmação matemática....em matemática o conceito de prova e muito mais rigoroso e poderoso do que o que usamos em nosso dia-a-dia e até mesmo mais preciso do que o conceito de prova como entendido pelos físicos e químicos. A diferença entre prova científica e prova matemática e ao mesmo tempo sutil e profunda. Ela e crucial para 25

11 que possamos entender o trabalho de cada matemático, desde Pitágoras. A ideia de demonstração matemática clássica começa com uma série de axiomas, declarações que julgamos serem verdadeiras ou que sejam verdades evidentes. Então, através da argumentação lógica, passo a passo, e possível chegar a uma conclusão. Se os axiomas estiverem corretos e a lógica for impecável, então a conclusão será inegável. (SINGH, 2008,p.41). 6.1 Demonstração Clássica do Teorema de Pitágoras A demonstração clássica nos mostra que um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c, cujo lado é b + c. Figura 5. Demonstração Clássica do Teorema de Pitágoras Fonte: Obra de Eduardo Wagner Teorema de Pitágoras e Áreas Observe o quadrado: Tem a mesma área, já que o lado de cada quadrado mede (b + c) seguinte forma: Cancelamos 2bc, obtemos: 6.2 Demonstração pelo caso de congruência Considere um quadrado ABCD de lado. Sobre os lados desse quadrado marque pontos, M, N, P, Q como na figura a seguir, de modo que: AM = BN =CP = DQ =b MB= NC = PD = QA =c 26

12 Pelo caso de congruência LAL os triângulos retângulos QAM, MBN, NCP e PDQ são congruentes ao triângulo retângulo da hipótese. Daí segue que MN = NP = PQ = QM = α. Isso implica que o quadrilátero MNPQ é um losango. Vamos mostrar que, de fato, ele é um quadrado. Suponhamos que os ângulos agudos do triângulo de hipótese sejam: α e β Figura 6. Congruência dos Triângulos Retângulos Fonte: Obra de Eduardo Wagner Teorema de Pitágoras e Áreas Pela congruência dos triângulos QAM, MBN, NCP e PDQ descritos acima, os ângulos agudos destes triângulos retângulos medem α e β, de acordo com a figura acima. Como α + β = 90º segue que cada ângulo interno do quadrilátero MNPQ deve ser reto. Isso demonstra que MNPQ é um quadrado de lado α. Daí a área do quadrado de lado b +c é igual à soma da área do quadrado de lado α com a área de quatro triângulos retângulos de catetos b e c. Isto é:, como queríamos demonstrar. 6.3 Demonstração por semelhança de triângulos Este próxima demonstração faz uso da semelhança de triângulos, é mais freqüente em livros didáticos. A partir de um triângulo ABC, retângulo em A, 27

13 traçamos a altura AH e verificamos que os triângulos AHB e AHC são semelhante ao triângulo ABC. Figura 7: Semelhança de triângulos Fonte: Obra de Eduardo Wagner Teorema de Pitágoras e Áreas A figura acima nos mostra que a semelhança do ABC AHC Da semelhança do ABC ABH Logo; Esta demonstração é bastante frequente em livros didáticos e aplicado nas escolas, isso porque permite um esclarecimento, mas detalhado e simples do Teorema de Pitágoras aos alunos, como também encontrar as relações importantes do triângulo retângulo. Além das duas relações, que deram origem à demonstração do teorema, obtemos a relação bc = ah, que também se interpreta com o conceito de 28

14 área, e h² = mn, que revela o importante fato de que a altura é média geométrica entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 6.4 A demonstração de Perigal Em 1873 Henry Perigal, um livreiro em Londres, publicou a demonstração que se pode apreciar na figura abaixo. Trata-se da forma mais evidente de mostrar que a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos preenchem o quadrado construído sobre a hipotenusa. Figura 8: Demonstração Perigal Fonte: Obra de Eduardo Wagner Teorema de Pitágoras e Áreas Na sua demonstração, Henry Perigal, faz uso de cortes do quadrado construído sobre o maior cateto por duas retas passando pelo seu centro, uma paralela à hipotenusa do triângulo e outra perpendicular, dividindo esse quadrado em quatro partes congruentes. Essas quatro partes e mais o quadrado construído sobre o menor cateto, preenchem completamente o quadrado construído sobre a hipotenusa. 7. APLICAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS EM SALA DE AULA Com as constantes mudanças que há no cenário educacional, cabe ao professor se adaptar às mesmas, e buscar sempre a melhorar transposição didática do conteúdo desejado aos seus alunos. E quando se trata do conhecimento sobre o Teorema de Pitágoras, muitos alunos sentem dificuldade em solucionar o X da questão. Então, foi com essa proposta, de quebrarmos essa barreira, que levamos 29

15 aos alunos do 9º ano do ensino fundamental da Escola Municipal Raimunda Rodrigues Capiberibe, com a autorização da direção da escola e do professor de matemática, a proposta de aplicação do Teorema de Pitágoras e relacioná-lo com a realidade vivida e praticá-las em situações do seu cotidiano. De acordo com o Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN, 1998). A Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, e diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento. (BRASIL, PCN de Matemática, 1998). Durante as duas primeiras semanas de agosto com início no dia 03 e término no dia 14 de agosto de 2015, estivemos no período vespertino na Escola Municipal Raimunda Rodrigues Capibaribe, localizada em Laranjal do Jarí, no sul do estado do Amapá, com o objetivo de realizarmos o trabalho de campo, onde propomos aos alunos do 9º ano da turma D, o conhecimento sobre o Teorema de Pitágoras e suas aplicações. O trabalho de demonstração do teorema de Pitágoras foi desenvolvido por meio práticos usando figuras geométricas, desenhos e recortes. No período em que estivemos em sala de aula com os discentes, especificamente na primeira semana de agosto do referido ano, propomos aos alunos o contexto dos fatos históricos do conhecimento sobre a vida de Pitágoras e também sobre o triângulo retângulo. Assim como, suas viagens em busca do conhecimento por várias regiões do mundo antigo, como: Egito, Babilônia e Grécia. Falamos sobre a Escola Pitagórica, que foi fundada em Crotona, hoje atual sul da Itália, onde a mesma pregava uma rígida doutrina similar ao militarismo, com obrigações a cada membro da escola que obedecia ao seu mestre. Após a explicação de todo esse contexto histórico sobre Pitágoras, aplicamos um exercício por meio de perguntas e respostas entre os alunos e nós acadêmicos, com o objetivo de verificarmos o que os alunos assimilaram da explicação. Colocamos os alunos em círculo e cada aluno em sua carteira e iniciamos o debate. As perguntas dirigidas foram do tipo: Onde nasceu Pitágoras? Qual foi sua contribuição para a área da matemática? Quais os lugares onde 30

16 Pitágoras andou em busca do conhecimento?...etc. As respostas da turma foram bastante satisfatória para nós, pois, pudemos perceber o quanto assimilaram o conteúdo repassado. Isto nos proporcionou uma motivação a mais para continuarmos o trabalho em sala de aula. Na segunda semana procuramos demonstrar o Teorema de Pitágoras através de oficinas, mas antes, explicamos o que é um triângulo retângulo. Mostramos a demonstração de Perigal, semelhança de triângulo, demonstração clássica, a demonstração por meio de quadriculações, e assim, provamos que a soma dos quadrados dos catetos é igual a hipotenusa. A resposta da turma foi surpreendente, no começo da explicação os alunos não sabiam identificar a hipotenusa no triângulo retângulo, após a explicação e aplicação, através das oficinas, puderam perceber a relação das medidas dos lados do triângulo retângulo. Assim, provamos na prática da veracidade do teorema de Pitágoras aos alunos. 8. PRÁTICAS EM SALA DE AULA ABORDANDO O TEOREMA Nas imagens abaixo, foi demonstrado aos alunos o teorema de Pitágoras por meio de peças quadriculadas feitas em madeira, onde convidamos a participarem da construção. Foi dada aos alunos uma folha em branco A4, e pedimos que os mesmos desenhassem um triângulo retângulo de hipotenusa medido 5 e catetos 3 e 4. Logo após a construção e montagem das peças pedimos que explicassem quem era a hipotenusa e os catetos. E resumissem o que entenderam sobre o desenvolvimento da atividade. 31

17 Figura 9: Quadriculações Fonte: Acervo pessoal Figura 10: Acadêmicos e alunos desenvolvendo atividade Fonte: Acervo pessoal 32

18 Figura 11: Exercício de aplicação do Teorema de Pitágoras Fonte: Pitagoras-upt.tripod.com 33

19 Figura 12: Exercício desenvolvido pelos alunos em sala de aula sobre Teorema de Pitágoras Fonte: Acervo pessoal Figura 13: Fotos durante a aplicação em sala de aula Fonte: Acervo pessoal 34

20 CONSIDERAÇÕES FINAIS Durante o período de aplicação do Teorema de Pitágoras em sala de aula na turma do no 9º ano do ensino fundamental, tivemos a certeza que estávamos no caminho certo na construção do conhecimento. Pois, as demonstrações do Teorema de Pitágoras foram abordadas por meios lúdicos, para facilitar o processo de compreensão dos alunos. Assim como, buscamos por meio interativos, o desenvolvimento da capacidade cognitiva. Portanto, as demonstrações do Teorema de Pitágoras, propostas em sala de aula, foram tratadas de forma mais simples possível proporcionando condição de aprendizado aos discentes. Como por exemplo, nas tarefas extraclasses, maneiras de incorporar as relações de medidas de um triângulo retângulo, suas medidas de lados, lado maior, e lado menor, preparando o discente para receber o conteúdo matemático sobre a geometria plana e dinamizando o processo de aprendizagem do assunto, principalmente aquele que exige mais atenção, mas tempo para se trabalhar em sala de aula, como a Geometria em geral. 35

21 REFERÊNCIAS AABOÉ Asger. Episódios da Historia Antiga da Matematica. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, BARONI, Rosa Lúcia Sverzut; NOBRE, Sérgio Roberto, A Pesquisa em História da Matemática e Suas Relações com a Educação Matemática. In: BICUDO, M. A. (org.). Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, BOYER, C. História da Matemática. 2. ed. São Paulo: EdgartBlücher, BOGDAN, Robert; BIKLEN, Sari, Investigação qualitativa em educação: uma introdução ateoria e aos métodos. Lisboa: Porto Editora, CREASE, Robert P. As grandes equações: a história das fórmulas matemáticas mais importantes e os cientistas que as criaram. Rio de Janeiro: Zahar, EVES, H. Introdução à História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Unicamp, LIMA, E. L. Meu Professor de Matemática e outras histórias. 5. Ed. Rio de Janeiro: SBM, p. LIMA, E. L. Coleção do professor de matemática. SBM 40 anos. Temas e problemas elementares / Elon Lages Lima, Paulo Cesar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner, Augusto César Morgano. 2ª ed. Rio de janeiro: SBM, BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais para o ensino médio. Brasilília: MEC/SEMTEC, SINGH, Simon. O Último Teorema de Fermat: a história do enigma que confundiu as maiores mentes do mundo durante 358 anos. 13. ed. Rio de Janeiro: Record,