CONTROLE VETORIAL PARA VELOCIDADE DE UM MOTOR DE INDUÇÃO TRIFÁSICO UTILIZANDO ESTIMADOR FILTRO DE KALMAN

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA CONTROLE VETORIAL PARA VELOCIDADE DE UM MOTOR DE INDUÇÃO TRIFÁSICO UTILIZANDO ESTIMADOR FILTRO DE KALMAN FLÁVIO GONÇALVES DANTAS Natal, RN Brasil Agosto / 2011

2 Seção de Informação e Referência Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede Dantas, Flávio Gonçalves Controle vetorial para velocidade de um motor de indução trifásico utilizando estimador filtro de Kalman / Flávio Gonçalves Dantas. Natal, RN, f.; il. Orientador: Andres Ortiz Salazar. Dissertação (Mestrado) Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica. 1. Controle vetorial Dissertação. 2. Motor de indução trifásico Dissertação. 3. Estimador Dissertação. 4. Filtro de Kalman Dissertação. 5. Controle de velocidade sensorless Dissertação. I. Salazar, Andres Ortiz. II. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. III. Título. RN/UF/BCZM CDU 681,5 ii

3 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA CONTROLE VETORIAL PARA VELOCIDADE DE UM MOTOR DE INDUÇÃO TRIFÁSICO UTILIZANDO ESTIMADOR FILTRO DE KALMAN FLÁVIO GONÇALVES DANTAS Orientador: Prof. Dr. Sc. Andres Ortiz Salazar UFRN CT DCA. Dissertação submetida ao corpo docente da Coordenação do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da UFRN (Área de concentração: Automação e Sistemas) como parte integrante dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica. Natal, RN Brasil Agosto / 2011 iii

4 FLÁVIO GONÇALVES DANTAS CONTROLE VETORIAL PARA VELOCIDADE DE UM MOTOR DE INDUÇÃO TRIFÁSICO UTILIZANDO ESTIMADOR FILTRO DE KALMAN Dissertação submetida ao corpo docente da Coordenação do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte integrante dos requisitos necessários para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica. Aprovado por: Prof. Andres Ortiz Salazar, D.Sc.(UFRN) - Orientador Prof. Jose Andres Santisteban Larrea, D.Sc.(UFF-RJ) - Examinador Externo Prof. André Laurindo Maitelli, D.Sc.(UFRN) Natal, RN Brasil Agosto / 2011 iv

5 Agradecimentos Ao Deus Pai Criador, entrego os meus mais jubilosos louvores de gratidão! A Ele dou graças por mais essa grande conquista. Ao Mestre dos mestres, Filho de Deus, Senhor e Salvador, Jesus Cristo. Ao Consolador de todas as horas, Espírito Santo. À minha querida e amada esposa, Sara Liziany, por todo seu amor e dedicação. Aos meus pais Fernandes e Severina, meus irmãos Flademir e Fernanda, meus sogros Francisco Júnior e Maria das Dores, meu cunhado Joás Letelier, e aos meus demais familiares, por sempre acreditarem que seria possível alcançar esse ideal. Ao Professor Andres Ortiz Salazar, por sua orientação, confiança e paciência. Aos Professores Rasiah Ladchumananandasivam e Marcos Silva, pelo incentivo e apoio, além do Superintendente de Infraestrutura da UFRN, Gustavo Rosado, pela compreensão e apoio. Aos meus estimados amigos e irmãos em Cristo, em especial a Emanuel Jônatas, Emerson Natã, Isaque Leonardo e Fábio Barbosa, além de todos aqueles que se lembram de mim em suas orações. E aos companheiros da pós-graduação que pesquisam no LAMP e no LECA pela colheita e partilha do conhecimento. v

6 Aos meus amados pais, Fernandes e Severina, e meus irmãos; À minha adorável esposa, Sara Liziany. Porque Deus amou o mundo de tal maneira que deu seu Filho unigênito, para que todo aquele que nele crê não pereça, mas tenha a vida eterna. João 3.16 vi

7 Sumário Sumário Lista de Figuras e Tabelas Lista de Símbolos Resumo Vii ix xi xiii Capítulo 1 - Introdução Estimação de Velocidade Objetivos da Dissertação Organização da Dissertação 3 Capítulo 2 - Modelagem do Motor de Indução Trifásico Introdução Equações do Motor de Indução Trifásico Transformação αβ Transformação d q Modelo Vetorial do Motor Orientado pelo Fluxo do Rotor Conclusões 18 Capítulo 3 - Filtro de Kalman (KF) Introdução Definição Matemática do Filtro de Kalman (KF) Estimador Filtro de Kalman (KF) 22 vii

8 3.4. Discretização do Estimador Filtro de Kalman (KF) Conclusões 26 Capítulo 4 - Filtro de Kalman Estendido (EKF) Introdução Estimador Filtro de Kalman Estendido (EKF) Conclusões 32 Capítulo 5 - Estimação de Grandezas do Motor de Indução Trifásico Utilizando o Algoritmo Filtro de Kalman Estendido 5.1. Introdução Discretização do Modelo do Motor Conclusões 39 Capítulo 6 - Resultados Obtidos Introdução Parâmetros do Motor Inicialização das Matrizes do EKF Projeto Proposto para Simulação Resultados da Simulação Conclusões 50 Capítulo 7 - Conclusões Finais Trabalhos Futuros 52 Referências Bibliográficas viii

9 Lista de Figuras e Tabelas Figura Pág. 2.1 Esquema elétrico do motor de indução trifásico 6 2.2a Máquina trifásica simétrica 9 2.2b Máquina equivalente de duas fases simétricas Seção transversal do motor de indução com enrolamentos bifásicos Representação vetorial de uma grandeza elétrica do motor Referência estacionária, transformação de eixos a-b-c para αβ Transformação da referência estacionária αβ para referência de rotação síncrona d q As correntes do motor nos diferentes referenciais abordados O ciclo contínuo do Filtro de Kalman discreto Um quadro completo da operação do Filtro de Kalman, combinando o diagrama de alto-nível com as equações de (3.13) à (3.17) Um quadro completo da operação do EKF, combinando o diagrama de alto-nível com as equações de (4.21) a (4.25) Estrutura do Sistema de Controle do EKF Projeto utilizado para simulação Estrutura interna do bloco Inversor a IGBT 42 ix

10 6.3 Estrutura interna do bloco Controle de Pulsos Comparação da velocidade pelo Sistema de Controle Escalar (Referência) com a velocidade do Controle Vetorial EKF (Velocidade Estimada) com aumento de carga Comparação das correntes de campo e quadratura do Controle Escalar (Referência) com as correntes de campo e quadratura do Controle Vetorial EKF (Estimada) sem aumento de carga Comparação do torque do Sistema de Controle Escalar (Referência) com o torque do Controle Vetorial EKF (Estimada) sem aumento de carga Comparação da velocidade do Sistema de Controle Escalar (Referência) com a velocidade do Controle Vetorial EKF (Velocidade Estimada) com aumento de carga Tabela Pág. 6.1 Parâmetros do motor usado na simulação 41 x

11 Lista de Símbolos Símbolo Descrição δ Defasagem angular entre o enrolamento da fase a do estator e a fase a do rotor φ Defasagem angular no referencial genérico αβ Coordenadas Bifásicas d q Eixos direto e quadratura i s e i r Corrente do estator e do rotor V s e V r Tensão do estator e do rotor R s e R r Resistências de estator e de rotor por fase λ s e λ r ω θ Fluxo de enlace do estator e rotor Velocidade angular do referencial genérico ω mec e ˆmec ω Velocidade angular do rotor medida e estimada ω mr L H L s e L r T e K d n p J m l σ T s T r KF EKF Velocidade angular referente à corrente de magnetização do rotor Indutância de mútua entre enrolamentos de estator e rotor Indutâncias próprias do estator e do roto por fase Torque Eletromagnético Coeficiente de atrito dinâmico Número de pares de pólos Momento de inércia do rotor Carga constante imposta ao motor Fator de dispersão Constante de tempo do estator Constante de tempo do rotor Filtro de Kalman Filtro de Kalman Estendido xi

12 v( k ) e w( k ) x( k ) e z( k ) xɶ ( k) e zɶ ( k) xˆ( k ) Ruídos do processo e da medida Vetores de medida e estado atuais Vetores de medida e estado aproximados Estimativa de estado anterior xˆ( k + 1) Estimativa de estado atual y( k ) e yˆ( k ) Valores das saídas reais e estimadas u( k ) e uˆ( k ) Valores das entradas de controle reais e estimados A, B e C Matrizes de relações do Filtro de Kalman A d, B d e C d R Q P K T e x( k ) e z( k ) Matrizes de relação A e B discretizadas Matriz de ruídos de medição Matriz de ruídos de estados Matriz de covariância Matriz ganho de Kalman Intervalo de amostragem e Erro de processo e de medida e ˆx ( k ) e e ˆz ( k ) Erro estimado de processo e de medida i s e i r Vetor de correntes do estator e do rotor V s e V r λs e λr d dt sen x e cos x e (x) Vetor de corrente de estator e do rotor Vetor de fluxo do estator e do rotor Operador de derivação de uma função ou variável Operador de integração de uma função ou variável Funções seno e cosseno de um ângulo x genérico Função exponencial de uma variável x genérica xii

13 Resumo Dissertação de Mestrado Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Universidade Federal do Rio Grande do Norte Controle Vetorial Para Velocidade De Um Motor de Indução Trifásico Utilizando Estimador Filtro de Kalman Autor: Eng. Flávio Gonçalves Dantas Orientador: D. Sc. Andres Ortiz Salazar Esta dissertação apresenta o desenvolvimento de uma simulação computacional com a finalidade de demonstrar o funcionamento do controle vetorial para velocidade de um motor de indução trifásico utilizando método de estimação pelo Filtro de Kalman Estendido, bem como os procedimentos necessários para sua implementação prática. A motivação maior que influenciou a pesquisa está na utilização de um sistema de controle inovador que não necessita de sensores no eixo da máquina (técnica sensorless), proporcionando desta forma uma considerável redução nos custos de acionamentos e manutenção, aumento da confiabilidade, da robustez e da imunidade a ruídos em relação ao controle de motores convencionais com sensores. Palavras-chave: Controle vetorial, motor de indução trifásico, estimador, filtro de Kalman, controle de velocidade sensorless xiii

14 Abstract Master Thesis on Electrical Engineering Post-Graduate Program of Electrical Engineering Federal University of Rio Grande of Norte Speed Vector Control of Triphasic Induction Motor Estimator Using Kalman Filter Author: Eng. Flávio Gonçalves Dantas Research Supervisor: D. Sc. Andres Ortiz Salazar This paper describes the study, computer simulation and feasibility of implementation of vector control speed of an induction motor using for this purpose the Extended Kalman Filter as an estimator of rotor flux. The motivation for such work is the use of a control system that requires no sensors on the machine shaft, thus providing a considerable cost reduction of drives and their maintenance, increased reliability, robustness and noise immunity as compared to control systems with conventional sensors. Keywords: vector control, triphasic induction motor, estimator, Kalman filter, speed control sensorless. xiv

15 Capítulo 1 Introdução Na atualidade diversas pesquisas são realizadas na área de controle para velocidade de motores de indução trifásico com a finalidade de se obter um desempenho mais próximo possível do comportamento do motor de corrente contínua, mantendo as grandes vantagens do motor de indução como a robustez, construção simples, necessidade de pouca manutenção e possibilidade de fornecer um motor totalmente fechado (motor de gaiola), permitindo assim suprir uma maior demanda de aplicações, como em lugares mais profundos ou submetidos à alta poluição. Em aplicações onde se faz necessário um alto desempenho dinâmico, respostas rápidas e alta precisão de regulação de velocidade, o motor elétrico deve fornecer essencialmente um controle preciso de torque para uma faixa extensa de condições de operação. Para tais aplicações os acionamentos com corrente contínua sempre representaram uma solução ideal, pois a proporcionalidade da corrente de armadura, do fluxo e do torque num motor de corrente contínua proporcionam um meio direto para o seu controle. Contudo, a busca por avanços tecnológicos significativos tem diminuído esta hegemonia e, gradativamente, estão aparecendo opções de novas alternativas, como o uso de acionamentos em corrente alternada do tipo controle vetorial (Weg, 2004). Em razão do controle vetorial nas máquinas de corrente alternada, as componentes das correntes que produzem o torque e o fluxo são desacopladas, 1

16 desta forma as características de resposta transitória são similares às das máquinas de corrente contínua de excitação independente. O sistema poderá se adaptar a qualquer variação de carga e/ou variação do valor de referência tão rápido quanto à máquina de corrente contínua (Gonzalez, 2004). Para a aplicação do controle vetorial é de suma importância conhecer a posição exata das componentes dos eixos d q, ou seja, a posição correta do fluxo do rotor (se este for utilizado como referência). Assim, se faz necessário ter o conhecimento de algum parâmetro que auxilie a encontrar o ângulo do fluxo do rotor ou a posição dele, obrigando desta forma a medir ou estimar a velocidade do rotor, e, com o cálculo da velocidade do escorregamento, determinar a velocidade do fluxo do rotor Estimação da Velocidade No setor industrial é essencial a redução de custos em sistemas de acionamentos. Isto pode ser obtido substituindo sensores mecânicos por técnicas de estimação de velocidade. Esse processo de estimação sem o auxílio de sensores é denominado técnica sensorless. Uma possível alternativa para determinação da velocidade rotórica do motor é a utilização do Filtro de Kalman Objetivos da Dissertação A meta principal deste trabalho é analisar a possibilidade de implementação de um sistema para controle da velocidade de um motor de indução trifásico sem a utilização de sensores no eixo da máquina (sensorless) pelo uso do algoritmo estimador Filtro de Kalman (na sua forma estendida, que será abordada no capítulo 4), o que proporcionaria uma economia nos custos de acionamentos e manutenção, além do aumento da confiabilidade e robustez no controle da velocidade. Para tal objetivo, foi projetado e simulado na plataforma computacional Simulink do Software Matlab um sistema para controle da velocidade rotórica composto pelo modelo do motor, dispositivos eletrônicos de potência e de 2

17 acionamentos, bem como o algoritmo estimador Filtro de Kalman Estendido (EKF) inserido no bloco Embedded Function do Simulink destinado para programação Organização da Dissertação No Capítulo 2 são apresentadas as equações que determinam o comportamento das grandezas eletromecânicas do motor de indução trifásico, bem como as transformações necessárias para implementação do modelo do motor no Flitro de Kalman e para o controle vetorial da máquina. O Capítulo 3 apresenta uma introdução do Filtro de Kalman, aborda seus conceitos matemáticos bem como seu princípio de funcionamento e introduz os conhecimentos que serão aplicados no estimador Filtro de Kalman. No Capítulo 4 é abordada a variação estendida do Filtro de Kalman que será aplicada ao modelo vetorial do motor de indução. No Capítulo 5 são demonstradas as equações discretizadas e o algoritmo do Filtro de Kalman Estendido que será usado para o controle sem sensor da velocidade do motor e em seguida é apresentado o desenvolvimento de uma simulação através da ferramenta Simulink/Matlab. Já no capítulo 6 comprovam-se através de simulações os resultados do funcionamento do controle da velocidade através do algoritmo estimador Filtro de Kalman Estendido. No Capítulo 7 são expostas as conclusões oriundas dos trabalhos realizados, assim como propostas para futuros trabalhos. 3

18 Capítulo 2 Modelagem do Motor de Indução Trifásico 2.1. Introdução A facilidade de controle de fluxo e conjugado através das correntes de campo e de armadura e o menor custo de implantação dos acionamentos de corrente contínua, fizeram do motor de corrente contínua o mais utilizado nas aplicações onde se exige rapidez de resposta e operação com alto desempenho, sobretudo em baixas velocidades (Stopa, 1997). Por outro lado, as desvantagens inerentes à existência de comutadores e escovas no motor de corrente contínua, com manutenção excessiva, nãoaplicabilidade a ambientes corrosivos e explosivos, capacidade limitada de comutação em altas velocidades e limitações a tensões e/ou sobrecargas elevadas, levaram à procura de soluções que empregassem motores de corrente alternada. As máquinas de corrente alternada, entre elas os motores de indução trifásico, são amplamente utilizados nas mais variadas aplicações em instalações industriais e comerciais. Eles são adequados para o uso em cargas que exigem velocidades constantes ou variáveis, ou ainda, com as que exigem reversões e variadas velocidades. Existem muitos tipos disponíveis, os quais cobrem uma larga faixa de características de conjugado e podem ser projetados para operar em muitos 4

19 tipos de fontes de alimentações com diferentes combinações e valores de número de fases, freqüências e tensões (De Almeida, 2001). Os principais obstáculos à aplicação da máquina de indução em acionamentos onde se empregavam máquinas de corrente contínua eram associados ao limitado desempenho dinâmico das técnicas de controle até então existentes. O fato das correntes de excitação e de carga na máquina de indução circularem no mesmo enrolamento e não em enrolamentos separados, como na máquina de corrente contínua, dificultava o controle. O desenvolvimento das técnicas de controle vetorial mostrou ser possível o controle da velocidade nos motores de corrente alternada com desempenho competitivo com o motor de corrente contínua, despertando a atenção para o uso de motores de corrente alternada em acionamentos controlados. As vantagens do controle vetorial são (Weg, 2004): Boa regulação de velocidade; Alto desempenho dinâmico; Controle de torque linear para aplicações de posição ou de tração; Operação suave em baixa velocidade e sem oscilações de torque, mesmo com variação de carga. O motor de indução com o rotor em gaiola de esquilo, em particular, por ser uma das máquinas de corrente alternada mais barata e robusta, disponível em várias as faixas de potência, é uma alternativa bastante interessante. Os avanços na área de eletrônica de potência, com o barateamento dos semicondutores de potência e também na área de processamento digital de sinais, com o surgimento de processadores com velocidades cada vez maiores e a custos decrescentes, tornaram os motores de corrente alternada uma opção aos de corrente contínua em acionamentos com velocidades controladas. Entre as principais vantagens dos motores de indução trifásicos, podemos citar: menor custo, manutenção mais simples e menos freqüente, menor relação peso/potência, potências maiores, mais simples de proteger em ambientes com risco de explosão, além de potências limites superiores ao de corrente contínua, entre outras (De Almeida, 2001). 5

20 2.2. Equações do Motor de Indução Trifásico Para a modelagem matemática de um motor de indução trifásico é necessário conhecer sua estrutura física e o comportamento dinâmico das grandezas internas como a corrente e tensão, os enlaces dos fluxos, o torque eletromagnético além da velocidade e posicionamento do eixo do motor. Ainda devem ser consideradas as seguintes informações (Krishnan, 2001): O entreferro do motor precisa ter tamanho uniforme; Os enrolamentos do estator devem ser idênticos; A saturação e mudanças de parâmetros não são consideradas. O motor de indução escolhido para o desenvolvimento deste trabalho foi do tipo rotor em gaiola, conforme as razões explicadas anteriormente. Este tipo de motor apresenta curto-circuito nos terminais do rotor, o que torna a tensão nos terminais do rotor nula, ou seja, V r =0. O modelo para este tipo de motor possui bobinas trifásicas no rotor e no estator, conforme representado na figura 2.1, onde δ é a defasagem angular entre o enrolamento da fase a do estator e a fase a do rotor, e θ é a defasagem angular no referencial genérico, e V é a tensão entre os terminais da bobina, referida s para estator e r para rotor, assim como sua respectiva fase ( a, b ou c ). Figura 2.1 Esquema elétrico do motor de indução trifásico 6

21 Admitindo-se um referencial trifásico genérico θ, o comportamento dinâmico da máquina, expresso em função das variáveis de estado velocidade, fluxo do rotor e correntes do estator, é apresentado nas equações a seguir (Maschio, 2006): d Vs = Rsis + λs + ωθ Kmλs (2.1) dt = d R i + K dt λ + ω λ (2.2) 0 r r r 2 m r λ = L i + L i (2.3) s s s H r λ = L i + L i (2.4) r H s r r T = n λ K i = n λ K i (2.5) T T e p s m s p r m r d ω dt 1 = ( T K ω m ) (2.6) J mec e D mec l Com: ω = ω n ω (2.7) ele θ p mec K m = (2.8) Onde: R s = Resistência do estator; R r = Resistência do rotor; V s = Tensão no estator; V r = Tensão no rotor; i s = Corrente do estator; i r = Corrente do rotor; λ s = Fluxo de enlace do estator; λ r = Fluxo de enlace do rotor; ω θ = Velocidade angular do referencial genérico; 7

22 ω mec = Velocidade angular do rotor; n p = Número de par de pólos do motor; L H = Indutância mútua entre enrolamentos de estator e rotor; L s = Indutância própria do estator; L r = Indutância própria do rotor; T e = Torque eletromagnético; J = Momento de inércia do motor; K d = Coeficiente de atrito dinâmico; m l = Carga constante imposta ao motor; As equações do motor podem ser descritas em diferentes referenciais. Os casos mais adotados são: Referência no estator (estacionária): ω θ = 0 Referência no rotor: ω = npωmec Referência no campo do estator (síncrona): θ ωθ = ω ele No processo de estimação de velocidade são necessárias medições de tensões e correntes no estator da máquina, por esse motivo o referencial mais adequado será o estacionário Transformação αβ Modelar um motor de indução trifásico de corrente alternada é consideravelmente complexo, em razão das três fases do circuito rotórico mover-se em relação às três fases do circuito estatórico. O fato do comportamento dinâmico do motor apresentar equações diferenciais com indutâncias mútuas variando no tempo dificulta ainda mais sua modelagem. Porém, um motor de três fases pode ser representado por uma máquina equivalente de duas fases, como mostrado na figura 2.2. Essa representação é denominada Transformação αβ 0. 8

23 (a) (b) Figura 2.2 (a) Máquina trifásica simétrica; (b) Máquina equivalente de duas fases simétricas. Fisicamente a transformação αβ 0 transforma o motor trifásico simétrico em uma máquina simétrica bifásica, representado na figura 2.3, com mesma potência mecânica, torque, velocidade e número de pólos (Barbi, 1985). Esse tipo de abordagem no motor é também designado de Transformação de Clarke. Figura Seção transversal do motor de indução com enrolamentos bifásicos. As grandezas que descrevem o modelo do motor passam a ter representação como entidades complexas, sendo o eixo Real a projeção em α e o eixo Imaginário a projeção em β, conforme ilustrado na figura

24 Figura 2.4 Representação vetorial de uma grandeza elétrica do motor. As equações das grandezas do motor representadas no plano complexo, considerando que a fase a coincida com o eixo real do plano, são apresentadas a seguir: 2 ( 2 a b c ) V = Vα + jvβ = V + αv + α V (2.9) 3 2 ( 2 ) 3 a b c i = iα + jiβ = i + αi + α i (2.10) Com: 2 ( 2 a b c ) λ = λα + jλβ = λ + αλ + α λ (2.11) 3 j2 /3 α = e π (2.12) 2 j 4 /3 α = e π (2.13) correspondentes à direção espacial geométrica nas fases b e c, equivalente aos operadores de deslocamento espacial de 120º e 240º, respectivamente. Aplicando a transformada αβ 0 nas equações (2.1) a (2.6) para o referencial estacionário ( ω θ = 0 ), ou referencial fluxo do estator, obtém-se: d V = s Rsi + s s dt λ d dt λ ω λ λ s = Lsis + LH ir λ = L i + L i 0 = Rri + r r jnp mec r r H s r r 3 3 Te = np Im is s = np ir r 2 2 ( λ * ) Im ( λ * ) (2.14) (2.15) (2.16) (2.17) (2.18) 10

25 d ω dt 1 = ( T K ω m ) (2.19) J mec e D mec l O modelo do motor de indução no domínio contínuo pode ainda ser escrito na forma de equações de estado, que será necessário para a implementação do Filtro de Kalman, segmentando em parte real e imaginária em função das variáveis corrente do estator e fluxo do rotor, obtendo-se: d σ LH L i H s = V s + i s + λr ωr λr dt Lsσ Tsσ Trσ Ls LrTrσ LsLrσ α α α α β (2.20) d σ LH L i H s = V s + i s + λr ωr λr dt Lsσ Tsσ Trσ LsLrTrσ LsLrσ β β β β α Com: 2 LH σ = 1 T T L 1 LH rα rα is α r rβ r r (2.21) d λ = λ + + ω λ (2.22) dt T T d L λ = λ + ω λ (2.23) dt T T 1 H rβ rβ isβ r rα r r 3 Te = LH np ( λr αisβ λrβis α ) (2.24) 2L L L s r r é o fator de dispersão; (2.25) s s = é a constante de tempo do estator; (2.26) Rs L r r = é a constante de tempo do rotor; (2.27) Rr Representando as equações acima através de vetores e matrizes, obtémse o resultado a seguir (Kubota, 1993): d x = Ax + Bu (2.28) dt y = Cx (2.29) 11

26 Onde: sα sβ rα rβ T x = i i λ λ (2.30) sα sβ T u = V V (2.31) sα sβ T y = i i (2.32) a1 0 a2 a3ω mec 0 a1 a3ω mec a 2 A = a4 0 a5 npωmec 0 a4 npωmec a5 1/ σ Ls 0 0 1/ σ L s B = C = Sendo os coeficientes da matriz A definidos por: (2.33) (2.34) (2.35) 1 1 σ a1 = + (2.36) Tsσ Trσ a a L H 2 = (2.37) Ls LrTrσ 3 a a L = (2.38) H np L s L r σ L H 4 = (2.39) Tr 5 1 = (2.40) T r 2.4. Transformação d q Se para o processo de estimação da velocidade é ideal o referencial estacionário (orientado pelo fluxo do estator) em coordenadas αβ, por outro lado no controle vetorial é necessária a orientação pelo fluxo do rotor em coordenadas d q. Para proporcionar o desacoplamento entre os controles de 12

27 torque e fluxo, transforma-se o modelo da máquina de indução em um modelo similar ao das máquinas de corrente contínua, cujo controle é bem mais simples e eficaz, tanto para altas como para baixas rotações. O controle vetorial é executado através das componentes d q das correntes de campo e quadratura, oriundas da transformação trifásica para bifásica αβ estacionária e em seguida para coordenadas d q, designada de Transformação d q. A seguir é apresentado o método para obtenção dessas correntes em coordenadas d q. Considere uma máquina de indução de três fases simétricas, com os eixos as-bs-cs estacionário, defasados de um ângulo de 2π/3, como mostrado na figura 2.5. O objetivo é transformar as variáveis as-bs-cs da estrutura de referência estacionária das três fases em variáveis αβ da estrutura de referência estacionária de duas fases e então, transformá-la na estrutura d q de referência de rotação síncrona e vice-versa. Fisicamente, será a transformação da máquina bifásica com enrolamentos estatóricos fixos e enrolamentos rotóricos girantes em enrolamentos estatóricos fixos e rotóricos pseudoestacionários (Barbi, 1985). Essa abordagem da máquina é também denominada de Transformação de Park. Figura Referência estacionária, transformação de eixos a-b-c para αβ. 13

28 Supondo que os eixos αβ sejam orientados pelo ângulo θ, como mostrado na figura 2.5, as correntes is α e is β podem ser expressas em componentes as-bs-cs e representadas na forma de matriz por: ias cosθ senθ 1 i sα i bs = cos ( θ 120º ) sen( θ 120º ) 1 isβ i cos ( θ 120º ) sen ( θ 120º ) 1 cs + + i s0 (2.41) A relação inversa correspondente é dada por: s0 ( ) ( ) ( 120º ) ( 120º ) i sα cosθ cos θ 120º cos θ + 120º ias 2 isβ senθ sen θ sen θ i = bs 3 + i i cs (2.42) i s0 é adicionado como componente de seqüência zero, que talvez esteja presente ou não. A tensão e o fluxo podem ser transformados por equações semelhantes. É conveniente fixar θ=0, de modo que o eixo α esteja alinhado com o eixo as. Ignorando a componente de seqüência zero, a relação de transformação pode ser simplificada como: i as = (2.43) is α 1 3 ibs = is α isβ (2.44) 2 2 e inversamente: 1 3 ics = is α + isβ 2 2 (2.45) i s ias bs cs as 3 α i i i 3 3 (2.46) 1 1 i i s 3 β i bs 3 (2.47) 14

29 A figura 2.6 mostra os eixos d velocidade síncrona ele q em rotação síncrona, que giram com ω com relação aos eixos αβ e o ângulo θ = ω t. As ele ele duas fases do enrolamento αβ são transformadas em um enrolamento hipotético projetados nos eixos d transformadas para uma estrutura de eixos d q. As correntes nos eixos αβ podem ser q, como mostrado a seguir: Figura 2.6 Transformação da referência estacionária αβ para referência de rotação síncrona d q. Com base no diagrama acima, aplica-se a Transformação de Park : i = i cosθ i senθ (2.48) qs sα ele sβ ele i = i senθ + i cosθ (2.49) ds sα ele sβ ele E a relação inversa, que também é conhecida como Transformação Inversa de Park, é obtida por: i α = i cosθ i senθ (2.50) s qs ele ds ele i β = i senθ + i cosθ (2.51) s qs ele ds ele 15

30 2.5. Modelo Vetorial do Motor Orientado pelo Fluxo do Rotor Após as transformações αβ durante a modelagem do motor de indução de corrente alternada foi estabelecida uma relação entre o torque eletromagnético e as grandezas fluxo do rotor e corrente do estator, conforme exposta na equação T = (3 / 2 L ) L n [ λ i λ i ]. No entanto, para obter um e r H p rα sβ rβ sα controle de velocidade idêntico ao do motor de corrente contínua, é necessário o desacoplamento entre o torque e o fluxo do rotor, sendo este último o referencial para o referido controle. É possível esta orientação estimando a magnitude e a posição exata desse fluxo do rotor girante baseado no modelo vetorial do motor, método pelo qual executa o Filtro de Kalman (KF). Representando as correntes do motor nos diferentes referenciais abordados e no mesmo diagrama vetorial, obtém-se o esquema da figura 2.7: Figura 2.7 As correntes do motor nos diferentes referenciais abordados Onde: ω mec é a velocidade mecânica do rotor; ω mr é a velocidade do campo girante do rotor; i mr é a corrente de magnetização que está relacionada com a magnitude do campo girante do rotor, calculada como: 16

31 i mr = λr L H (2.52) Entretanto, se λ r = LH is + Lrir, então a nova equação para i mr será: L i = i + i r mr s r LH (2.53) Observando o diagrama vetorial, tem-se que: i = i + ji s sd sq (2.54) De maneira análoga, aplica-se também: i = i + ji r rd rq (2.55) Substituindo (2.54) e (2.55) em (2.53), obtem-se: Lr i = ( i + ji ) + ( i + ji ) = i + ji L mr sd sq rd rq mrd mrq H (2.56) Adotando o referencial solidário com fluxo do rotor, orientado por considera-se que i mr possui apenas parte real, pode-se obter então: ω mr, L i = i + i (2.57) r mrd sd rd LH Lr imrq = isq + irq = 0 (2.58) L H Com intuito de encontrar as componentes d (2.57) e (2.58), obtem-se as seguintes equações: q da corrente rotórica em 17

32 LH ird = ( imrd isd ) (2.59) L r L H rq = isq (2.60) Lr i E finalmente, o modelo vetorial contínuo do motor de indução orientado pelo fluxo do rotor, segmentado em parte real e imaginária, é mostrado a seguir: Onde: d 1 i mr = ( i mr i sd ) (2.61) dt T ω T r i = + n ω (2.62) sq mr p mec Trimr e = K i i (2.63) m mr sq K m 3 = (1 σ ) Ls (2.64) 2 Como se observa na equação (2.63), o torque eletromagnético T e é determinado em função da corrente de magnetização i mr (que depende da corrente i ds ) e da componente em quadratura da corrente do estator i sq, consequentemente promovendo o desacoplamento entre os vetores fluxo e torque, o que permitirá o controle vetorial independente de um em relação ao outro, aproximando-se de um sistema de controle para máquina de corrente contínua Conclusões Neste capítulo foi apresentado o modelo vetorial contínuo do motor de indução na forma de equações de estado em coordenadas αβ de referencial estacionário, explicitado nas equações (2.28) a (2.40) e que serão utilizados na implementação do estimador Filtro de Kalman Estendido. Também foi abordada a transformação d q do mesmo modelo para obtenção das correntes de 18

33 campo i ds, que é a responsável pela produção de fluxo, e quadratura i qs, que é a responsável pela produção de torque, ambas no referencial síncrono (fluxo do estator) e que serão aplicadas no controle vetorial da máquina. 19

34 Capítulo 3 Filtro de Kalman (KF) 3.1. Introdução Conforme explicado anteriormente, será aplicado um algoritmo estimador de velocidade denominado Filtro de Kalman Estendido (EKF), que é um método derivado do Filtro de Kalman (KF) convencional. Portanto, para se compreender o funcionamento do EKF será imprescindível dominar a metodologia utilizada pelo KF. A seguir será abordada a teoria que envolve as características do estimador Filtro de Kalman. O Filtro de Kalman é um conjunto de equações matemáticas que fornece uma solução recursiva para o problema de estimação de estados para um processo. A principal vantagem do método recursivo é sua eficiência computacional em comparação com métodos clássicos, como os mínimos quadrados, por exemplo. Outra característica importante é que no método clássico, todas as medidas devem ser conhecidas de antemão para a estimação, enquanto que o Filtro de Kalman atualiza os cálculos a cada nova medida que é fornecida pelo sistema de observação. O filtro é muito importante em vários aspectos como: estimação de estados passados, presentes e futuros, mesmo quando a natureza do sistema modelado não seja conhecida. O objetivo deste capítulo é fornecer uma conceituação teórica para a utilização do Filtro de Kalman (Oliveira, 2004). 20

35 3.2. Definição Matemática do Filtro de Kalman (KF) O Filtro de Kalman é utilizado em um problema geral da tentativa do cálculo do estado n x R de um controle discreto de processo que é governado por uma equação diferencial estocástica linear (Welch, 2004): x( k) = Ax( k 1) + Bu( k 1) + w( k 1) (3.1) e com uma medida m z R dada por: z( k) = Hx( k) + v( k) (3.2) As variáveis aleatórias w e v representam ruídos do processo e da medida (respectivamente). É assumido que os mesmos são independentes um do outro, são do tipo branco, e com distribuições de probabilidade normais: p( w) N(0, Q) (3.3) p( v) N(0, R) (3.4) Na prática, as matrizes de covariância do ruído Q e a covariância do ruído R, podem mudar a cada passo de tempo ou medida, porém aqui são assumidas como constantes. A matriz A nxn na equação diferencial (3.1) relaciona os estados no instante k-1 com o estado do passo k, na ausência de uma função ativadora ou ruído de processo. A matriz B nxl relaciona a entrada de controle l u R ao estado x. A matriz H nxm na equação da medida (3.2) relaciona o estado com a medida z. Como as matrizes R e Q, a matriz H também pode mudar a cada passo de tempo, mas aqui assumimos que ela é constante. 21

36 3.3. Estimador Filtro de Kalman (KF) n Definindo xˆ( k) R (notação super menos ) como sendo o estimador de estado a priori no passo k, determinando o conhecimento do processo antes n do passo k, e xˆ( k) R como sendo o estimador de estado a posteriori no passo k, após a medida z( k ). Então se podem definir os erros dos estimadores a priori e a posteriori como: e( k) x( k) xˆ ( k) (3.5) e( k) x( k) xˆ ( k) (3.6) A covariância do erro no estimador a priori é dada por: T P( k) = E[ e( k) e( k) ] (3.7) e a covariância do erro no estimador a posteriori como: T P( k) = E[ e( k) e( k) ] (3.8) Ao derivar as equações para o Filtro de Kalman, tem-se como meta encontrar uma equação que calcule uma estimativa de estado a posteriori xˆ( k ), como uma combinação linear do estimador a priori xˆ( k) e uma diferença ponderada entre a medida atual z( k ) e uma predição de medida H xˆ( k), como mostrado na equação (3.9): xˆ ( k) = xˆ ( k) + K[ z( k) Hxˆ ( k) ] (3.9) A diferença [ z( k) Hxˆ ( k) ] em (3.9) é chamada de inovação medida ou residual. O resíduo reflete a discrepância entre a predição da medida H xˆ( k) e a medida atual z( k ). 22

37 A matriz K nxm em (3.9) é escolhida para ser o ganho ou fator de mistura que minimiza a covariância do erro a posteriori (3.8). Essa minimização pode ser realizada primeiramente substituindo (3.9) na definição do erro e( k ), e em seguida em (3.8), executando as expectativas indicadas, levando a derivada da substituição do resultado com relação a K, colocando o resultado igual a zero e resolvendo então para K. Uma forma para K que resulta na minimização de (3.8) é dada por: K( k) P( k) H [ HP( k) H R] T T 1 = + ou K( k) = T P( k) H T HP( k) H + R (3.10) Observando (3.10), pode-se notar que se a covariância do erro na medida R( k ) se aproxima de zero, o ganho K atua sobre o resíduo mais intensamente, especificamente: lim K( k) R( k ) 0 1 = H (3.11) Por outro lado, quando a covariância do erro do estimador a priori P( k) aproxima-se de zero, o ganho K atua menos intensamente no resíduo, especificamente: lim K( k) = 0 (3.12) P( k ) 0 Outro modo de pensar sobre a atuação de K é que quando a covariância do erro de medida R se aproxima de zero, a medida atual z( k ) é cada vez mais confiável, enquanto a predição da medida H xˆ( k) é cada vez menos confiável. Por outro lado, quando a covariância do erro do estimador a priori P( k) se aproxima de zero, a medida atual z( k ) é cada vez menos confiável, enquanto a predição da medida H xˆ( k) é cada vez mais confiável. 23

38 3.4. Discretização do Estimador Filtro de Kalman (KF) O Filtro de Kalman faz as estimativas de um processo usando uma forma de controle de realimentação: o filtro estima o estado do processo em algum momento e então obtém a realimentação na forma de medidas (ruidosas). Como tal, as equações para o Filtro de Kalman se dividem em dois grupos: equações de atualização de tempo e equações de atualização de medida. As equações de atualização de tempo são responsáveis para projetar adiante o estado atual, e o estimador da covariância do erro para obter um estimador a priori para o próximo instante. As equações de atualização de medida são responsáveis pela realimentação, isto é, por incorporar uma medida nova na estimativa a priori para obter um estimador melhorado a posteriori. As equações de atualização de tempo também podem ser vistas como equações de predição, enquanto as equações de atualização de medida podem ser vistas como equações de correção. Realmente o algoritmo final de estimação se assemelha a um algoritmo de predição-correção para resolver problemas numéricos como mostrado na figura 3.1. As atualizações de tempo projetam o estimador de estado atual à frente no tempo. A atualização de medida ajusta o estimador projetado, por uma medida atual naquele momento. As equações específicas para as atualizações de tempo e medida são apresentadas abaixo: xˆ ( k) = Axˆ ( k 1) + Bu( k 1) (3.13) T P( k) = AP( k 1) A + Q (3.14) Novamente nota-se que as equações de atualização de tempo (3.13) e (3.14) projetam o estimador de estado e a covariância do erro de estado do passo de tempo k-1 para o passo k. K( k) P( k) H [ HP( k) H R] T T 1 = + (3.15) xˆ ( k) = xˆ ( k) + K( k)[ z( k) Hxˆ ( k) ] (3.16) P( k) = [ I K( k) H ] P( k) (3.17) 24

39 Figura O ciclo contínuo do Filtro de Kalman discreto. A primeira tarefa durante a atualização de medida é calcular o ganho de Kalman, K( k ). Note que a equação dada em (3.15) é igual a (3.10). O próximo passo é medir de fato o processo para obter z( k ), e então gerar um estimador de estado a posteriori incorporando a medida como em (3.16). Novamente (3.16) simplesmente é (3.9) repetida aqui. O passo final é obter um estimador da covariância de erro a posteriori calculado por (3.19). Depois de cada par de atualizações de tempo e de medida, o processo é repetido com o estimador a posteriori anterior usado para projetar ou predizer o novo estimador a priori. Esta natureza recursiva é uma das características muito atraentes do Filtro de Kalman e torna a implementação prática muito mais viável. O Filtro de Kalman recursivamente condiciona a estimativa atual em todas as medidas passadas. A figura 3.2 oferece um quadro completo da operação do filtro, combinando o diagrama de alto-nível da figura 3.1 com as equações (3.13), (3.14), (3.15), (3.16) e (3.17). 25

40 Figura 3.2 Um quadro completo da operação do Filtro de Kalman, combinando o diagrama de alto-nível com as equações de (3.13) à (3.17) Conclusões Os conhecimentos adquiridos neste capítulo auxiliarão na compreensão da versão estendida do Filtro de Kalman, pois o princípio de funcionamento do Filtro de Kalman Estendido (EKF) é semelhante à versão convencional abordada neste capítulo, divergindo apenas nas aproximações executadas pela estendida que serão explicadas no próximo capítulo. 26

41 Capítulo 4 Filtro de Kalman Estendido (EKF) 4.1. Introdução Como descrito no capítulo anterior, o Filtro de Kalman é utilizado em um problema geral da tentativa do cálculo do estado n x R de um controle discreto de processo que é governado por uma equação diferencial estocástica linear. Mas, e se o processo a ser estimado e/ou o relacionamento das medidas do processo for não-linear? Algumas das aplicações mais interessantes e bem sucedidas da filtragem de Kalman tem sido nessas situações. O Filtro de Kalman que lineariza determinado modelo de processo, sobre a covariância e o modelo corrente, é conhecido como Filtro de Kalman Estendido ou EKF. O Filtro de Kalman Estendido é basicamente, um observador estocástico de ordem completa apropriado para estimação ótima recursiva de estado de sistemas dinâmicos não-lineares (em tempo real), usando sinais que são corrompidos por ruídos. De certa forma, relacionado com as Séries de Taylor, é possível linearizar a estimação em torno da estimativa atual, usando derivadas parciais do processo e funções medidas para computarem estimativas (mesmo diante de relacionamentos não-lineares). Assumindo que o processo tem um vetor de estado n x R, mas agora é governado por uma equação diferencial estocástica não-linear (Welch, 2004): 27

42 x( k) = f [ x( k 1), u( k 1), w( k 1)] (4.1) E com uma medida m z R dada por: z( k) = h[ x( k), v( k)] (4.2) As variáveis aleatórias w( k ) e v( k ) novamente representam o ruído do processo e da medida (respectivamente), como em (3.3) e (3.4). Neste caso, a função não-linear da equação (4.1) relaciona o estado no instante k-1 com o estado no instante k. Isso inclui como parâmetros algumas direções de funções u( k 1) e o ruído do processo w( k ) médio nulo. A função não-linear h da equação (4.2), relaciona o estado x( k ) com a medida z( k ). Na prática, não se conhecem os valores individuais dos ruídos w( k) e v( k ) para cada passo. No entanto, podem-se aproximar os vetores de estado e medidas sem eles, como: xɶ ( k) = f [ xˆ ( k 1), u( k 1),0] (4.3) E: zɶ ( k) = h[ xɶ ( k),0] (4.4) Onde xˆ( k ) é qualquer estimativa a posteriori do estado (vindo do passo no instante k). É importante notar que uma falha fundamental do EKF, é que a distribuição (ou densidade no caso contínuo) das várias variáveis aleatórias, não é normal depois de submeterem-se as respectivas transformações nãolineares Estimador Filtro de Kalman Estendido (EKF) Para estimar um processo com relacionamento de medidas e equações diferenças, novas equações devem ser escritas para governar esta linearização: 28

43 Onde: e (4.4); x( k) xɶ ( k) + A[ x( k 1) xˆ ( k 1)] + WW ( k 1) (4.5) z( k) zɶ ( k) + H[ x( k) xɶ ( k)] + VV ( k ) (4.6) x( k ) e z( k ) são os vetores de medida e estado atuais; xɶ ( k) e zɶ ( k) são vetores de medida e estado aproximados de (4.3) xˆ( k ) é uma estimativa a posteriori do estado no passo k; As variáveis aleatórias w( k) e v( k) representam os ruídos das mediadas e do processo como em (3.3) e (3.4); A é a matriz Jacobiana das derivadas parciais de f referente a x, calculado como: δ f = [ ˆ( 1), ( 1),0] (4.7) [ i] A[ i, j] x k u k δ x[ j] W é a matriz Jacobiana das derivadas parciais de f referente a w, calculada como: δ f = [ ˆ( 1), ( 1),0] (4.8) [ i] W[ i, j] x k u k δ w[ j] H é a matriz Jacobiana das derivadas parciais de h referente à x, calculada como: H δ h [ i] [ i, j] = [ xɶ ( k),0] (4.9) δ x[ j] V é a matriz Jacobiana das derivadas parciais de h referente à v, calculada como: V δ h [ i] [ i, j] = [ xɶ ( k),0] (4.10) δ v[ j] Para simplificar a notação, não foi usado subscrito do passo no tempo k com as matrizes Jacobianas A, W, H e V mesmo sendo elas diferentes em cada passo de tempo. Agora definindo uma nova notação para a predição do erro: eɶ x( k ) x( k) xɶ ( k) (4.11) 29

44 E a medida residual: eɶ z( k ) z( k) zɶ ( k) (4.12) Relembrando que na prática, não se tem acesso a x( k ) em (4.11), ele é o vetor de estado atual, por exemplo, a grandeza a ser estimada. Por outro lado, tem-se acesso a z( k ) em (4.12), que é a medida atual usada para estimar x( k ). Usando (4.11) e (4.12), as equações do processo de erro tornam-se: eɶ A[ x( k 1) x( k 1)] + ε ( k) (4.13) ˆ x( k ) eɶ z( k ) Heɶ x( k ) +η( k) (4.14) Onde ε ( k) e η ( k) representam novas variáveis aleatórias, tendo matrizes de covariância WQW T e VRV T, com Q e R como em (3.3) e (3.4), respectivamente. Note que as equações (4.13) e (4.14) são lineares, e são muito parecidas com as equações de medida e diferença (3.1) e (3.2) do Filtro de Kalman Discreto. Isso motiva a usar a medida atual residual eɶ ( k) em (4.13) e um segundo Filtro de Kalman (hipotético) para estimar a predição do erro eɶ ( k) dado por (4.13). Esta estimativa, chamada de eˆ( k ), poderia ser usada junto com (4.11) para obter uma estimativa do estado a posteriori para um processo nãolinear como: z x xˆ ( k) = xɶ ( k) + eˆ ( k) (4.15) As variáveis aleatórias de (4.13) e (4.14) tem aproximadamente as seguintes probabilidades de distribuição: p[ eɶ ] N[0, E( eɶ eɶ )] (4.16) T x( k ) x( k ) x( k ) T p[ ε ( k)] N[0, WQ( k) W ] (4.17) T p[ η( k)] N[0, VR( k) V ] (4.18) 30

45 eˆ( k ) é: Dado estas aproximações, a equação do Filtro de Kalman para estimar eˆ( k) = K( k) eɶ z k (4.19) ( ) Substituindo (4.19) em (4.15) e usando (4.12), vê-se que não há necessidade do segundo Filtro de Kalman (hipotético): xˆ( k) = xɶ ( k) + K( k) eɶ = xɶ ( k) + K( k)[ z( k) zɶ ( k)] (4.20) z( k ) A equação (4.20) pode agora ser usada na atualização de medidas do Filtro de Kalman Estendido, com xɶ ( k) e zɶ ( k) vindo de (4.3) e (4.4), e o ganho de Kalman vindo de (3.15), com a substituição apropriada para a covariância do erro medida. O conjunto de equações de atualização de tempo e de medida do EKF é mostrado seguir: xˆ ( k) = f [ xˆ ( k 1), u( k 1),0] (4.21) T T P( k) = A( k) P( k 1) A( k) + W ( k) Q( k 1) W ( k) (4.22) As equações de atualização de tempo (4.21) e (4.22) projetam os estados e a covariância estimada do tempo k-1 para o tempo k. Novamente, f em (4.21) vem de (4.3), já A(k) e W(k) são as Jacobianas no passo k, enquanto Q(k) é a covariância do ruído (3.3) no passo k. K( k) P( k) H ( k) [ H ( k) P( k) H ( k) V ( k) R( k) V ( k) ] T T T 1 = + (4.23) xˆ ( k) = xˆ ( k) + K( k)[ z( k) H ( xˆ ( k),0)] (4.24) P( k) = [ I K( k) H ( k)] P( k) (4.25) As equações de atualização de medidas (4.23), (4.24) e (4.25) corrigem a covariância e os estados estimados com a medida z( k ). Novamente, h em 31

46 (4.24) vem de (4.4), H(k) e V(k) são as Jacobianas medidas no passo k, enquanto R(k) é a medida da covariância do ruído (3.4) no passo k. A figura 4.1 mostra a operação do EKF. Figura 4.1 Um quadro completo da operação do EKF, combinando o diagrama de alto-nível com as equações de (4.21) a (4.25). Uma característica importante do EKF é que a matriz Jacobiana H(k) na equação para o ganho de Kalman K(k), propaga corretamente somente as componentes relacionadas com a informação de medidas. Por exemplo, se não há uma mapeamento um-a-um entre a medida z( k ) e o estado via H, a matriz Jacobiana H(k) afeta o ganho de Kalman, assim somente aumenta a porção da residual z( k) H[ xˆ ( k),0] que afeta o estado. É claro que se as medidas não apresentarem um mapeamento um-a-um entre a medida z( k ) e o estado via H, então o filtro pode divergir rapidamente. Nesse caso o processo não pode ser observado Conclusões Com a teoria apresentada neste capítulo fica evidenciado que, para um sistema de estimação de variáveis aplicadas ao motor de indução, a versão do Filtro de Kalman compatível é a Estendida, já que o modelo da máquina é não- 32

47 linear, devido à variação paramétrica peculiar deste tipo de motor, além da variável de estado ω mec estar inserida na matriz de parâmetros A, modificando esta para A=A(x). O próximo passo é tornar linearizado e discretizado o modelo do motor não-linear contínuo, correspondido pelas equações (2.28) a (2.40), para devida aplicação do EKF. Esse procedimento será apresentado no capítulo a seguir. 33

48 Capítulo 5 Estimação de Grandezas do Motor de Indução Trifásico Utilizando o Algoritmo Filtro de Kalman Estendido 5.1. Introdução O Filtro de Kalman Estendido (EKF) é um estimador de estado ótimo recursivo utilizado em sistemas estocásticos para estimar parâmetros e estados de sistemas dinâmicos não lineares. O EKF é formulado matematicamente em termos de variáveis de estado e sua solução é computada recursivamente, ou seja, cada estado estimado atualizado é computado a partir de valores anteriores estimados e dos novos dados. Em tempo discreto, o EKF fornece um algoritmo para computar a estimativa ótima e o erro de covariância para um sistema linear dinâmico discreto estocático. No caso de sistemas não-lineares um procedimento de linearização pontual pode ser manipulado para se obter o chamado Filtro de Kalman Estendido com as mesmas propriedades do caso estocástico linear. No estudo do motor de indução trifásico o Filtro de Kalman Estendido será aplicado usando a aproximação linearizada no ponto de operação a cada amostragem Discretização do Modelo do Motor No estágio inicial dos cálculos do Filtro de Kalman Estendido, a predição de estados é realizada com a utilização do modelo contínuo discretizado do 34

49 motor. Para isso, utiliza-se o método de Euler nas equações (2.28) e (2.29) do modelo vetorial do motor no referencial estacionário, o que resulta nas equações a seguir: x( k + 1) = A xˆ ( k) + B u( k) (5.1) d d y( k) = Cx( k) (5.2) Sendo que as matrizes discretas de estado e entrada são calculadas utilizando a aproximação até a primeira ordem da Série de Taylor da exponencial matricial como mostrado a seguir: 2 ( AT) Ad = exp[ AT ] = In + AT (5.3) 2 ABT B 1 d = A (exp[ AT ] In ) B = BT (5.4) Nas equações de estado (2.28) e (2.29) as variáveis de estado são as correntes de estator e fluxo de rotor. Com a implementação do Filtro de Kalman, o vetor de estados é estendido para englobar a velocidade do rotor como um estado adicional, conforme será demonstrado na equação (5.8) Utilizando o modelo do motor de indução trifásico, o algoritmo do Filtro de Kalman Estendido será executado através dos seguintes estágios: 1º Estágio: Predição do vetor de estado x( k + 1) = A xˆ ( k) + B u( k) (5.5) d d Onde: 1 a1t 0 a2t a3npωmect a1t a3npωmect a2t 0 Ad = ( I + AT ) = a4t 0 1 a5t npωmect 0 0 a4t npωmect 1 a5t (5.6) 35