Hooke s Law: Modulus of Elasticity

Transcrição

1 Hooke s Law: Modulus of Elasticity Below the yield stress σ = Eε E = Youngs Modulus or Modulus of Elasticity Strength is affected by alloying, heat treating, and manufacturing process but stiffness (Modulus of Elasticity) is not. Lecture Power Points to accompany Beer/Johnston/DeWolf MECHANICS OF MATERIALS, 3rd ed. 1

2 Elastic vs. Plastic Behavior If the strain disappears when the stress is removed, the material is said to behave elastically. The largest stress for which this occurs is called the elastic limit. When the strain does not return to zero after the stress is removed, the material is said to behave plastically. Lecture Power Points to accompany Beer/Johnston/DeWolf MECHANICS OF MATERIALS, 3rd ed. 2

3 Deformations Under Axial Loading From Hooke s Law: σ σ = E ε ε = = E P AE Lecture Power Points to accompany Beer/Johnston/DeWolf MECHANICS OF MATERIALS, 3rd ed. From the definition of strain: δ ε = L Equating and solving for the deformation, PL δ = AE With variations in loading, crosssection or material properties, P = il δ i A E i i i 3

4 Thermal Stresses A temperature change results in a change in length or thermal strain. There is no stress associated with the thermal strain unless the elongation is restrained by the supports. Treat the additional support as redundant and apply the principle of superposition. δ T = α ( T ) L α = thermal expansion coef. δ = δ α T + δ P PL AE = 0 ( T ) L + = 0 δ P = PL AE The thermal deformation and the deformation from the redundant support must be compatible. δ = δt + δ P = 0 P = AEα( T ) P σ = = Eα A ( T ) 4

5 Poisson s Ratio For a slender bar subjected to axial loading: σ ε = x x σ y = σ z = 0 E The elongation in the xdirection is accompanied by a contraction in the other directions. Assuming that the material is isotropic (no directional dependence), ε y = ε z 0 Poisson s ratio is defined as lateral strain ε y ν = = axial strain ε x = ε z ε x Lecture Power Points to accompany Beer/Johnston/DeWolf MECHANICS OF MATERIALS, 3rd ed. 5

6 Generalized Hooke s Law For an element subjected to multiaxial loading, the normal strain components resulting from the stress components may be determined from the principle of superposition. This requires: 1) strain is linearly related to stress 2) deformations are small With these restrictions: σ νσ x y νσ ε z x = + E E E νσ σ x y νσ ε z y = + E E E νσ νσ x y σ ε z z = + E E E 6

7 Shearing Strain A cubic element subjected to a shear stress will deform into a rhomboid. The corresponding shear strain is quantified in terms of the change in angle between the sides, τ = xy ( ) f γ xy A plot of shear stress vs. shear strain is similar the previous plots of normal stress vs. normal strain except that the strength values are approximately half. For small strains, τ = Gγ τ = Gγ τ = Gγ xy xy yz yz where G is the modulus of rigidity or shear modulus. zx zx Lecture Power Points to accompany Beer/Johnston/DeWolf MECHANICS OF MATERIALS, 3rd ed. 7

8 Relation Among E, ν, and G Lecture Power Points to accompany Beer/Johnston/DeWolf MECHANICS OF MATERIALS, 3rd ed. An axially loaded slender bar will elongate in the axial direction and contract in the transverse directions. An initially cubic element oriented as in top figure will deform into a rectangular parallelepiped. The axial load produces a normal strain. If the cubic element is oriented as in the bottom figure, it will deform into a rhombus. Axial load also results in a shear strain. Components of normal and shear strain are related, E 2G = ( 1+ν ) 8

9 Stress Concentration: Hole Discontinuities of cross section may result in high localized or concentrated stresses. σ K = σ max ave 9

10 Stress Concentration: Fillet Lecture Power Points to accompany Beer/Johnston/DeWolf MECHANICS OF MATERIALS, 3rd ed.

11 dureza dos materiais propriedade característica de um material (sólido), que expressa a sua resistência a deformações permanentes e está directamente relacionada com a força de ligação dos átomos 11

12 A Escala de Mohs quantifica a dureza dos minerais, isto é, a resistência que um determinado mineral oferece ao risco, ou seja, a retirada de partículas da sua superfície. Por exemplo: O diamante risca o vidro, portanto, este é mais duro que o vidro. Esta escala foi criada em 1812 pelo mineralogista alemão Friedrich Mohs com minerais de diferentes durezas existentes na crosta terrestre. Atribuiu valores de 1 a. O valor de dureza 1 foi dado ao material menos duro que é o talco, e o valor dado ao diamante que é a substância mais dura existente na natureza. Esta escala não corresponde à dureza absoluta de um material (por exemplo, o diamante tem dureza absoluta 1500 vezes superior ao talco). 12

13 A Escala de Mohs Dureza 1 Mineral Talco (pode ser arranhado facilmente com a unha) Fórmula química Mg 3 Si 4 O (OH) Gesso (pode ser arranhado com unha com um pouco mais de dificuldade) Calcite (pode ser arranhado com uma moeda de cobre) Fluorite (pode ser arranhada com uma faca de cozinha) Apatite (pode ser arranhada dificilmente com uma faca de cozinha) CaSO 4 2H 2 O CaCO 3 CaF 2 Ca 5 (PO 4 ) 3 (OH, F, Cl) Feldspato / Ortoclase (pode ser arranhado com uma liga de aço) Quartzo (capaz de arranhar o vidro. Ex.: Ametista) Topázio (a Esmeralda também possui esta dureza) KAlSi 3 O 8 SiO 2 Al 2 [(F,OH)2SiO 4 ] 9 Corindo (safira e rubi são formas de corindo) Al 2 O 3 Diamante (é o mineral natural mais duro) C 13

14 A escala de dureza Mohs é usada em mineralogia, no entanto, existem outras escalas de dureza utilizadas em ciência dos materiais, utilizando os chamados ensaios de penetração para a medição da dureza: Dureza Brinell Dureza Rockwell Dureza Rockwell superficial Dureza Vickers etc. São comuns usar os seguintes processos: Dureza Brinell Rockwell Vickers Knoop Shore Barcol IRHD Materiais Metais Metais Metais, Cerâmicos Metais, Cerâmicos Polímeros, Elastómeros, Borrachas Alumínio, Borrachas, Couro, Resinas Borrachas 14

15 15

16 O durómetro Shore foi desenvolvido em 1920, pelo fabricante de instrumentos Albert F. Shore, e é amplamente utilizado na medição da dureza de polímeros, elastómeros e borrachas. O método consiste em medir a profundidade da impressão deixada no material com a aplicação da carga e é dependente de outros factores além da dureza, como das propriedades viscoelásticas e da duração do ensaio. Existem diversas escalas utilizadas em materiais com propriedades diferentes. As mais comuns são a A e D, sendo a A utilizada em plásticos macios e a D em plásticos rígidos. No entanto, a norma ASTM D 2240 contém 12 escalas, dependentes da intenção de uso, sendo elas: A, B, C, D, DO, E, M, O, OO, OOO, OOOS e R. Cada escala resulta em um valor entre 0 e 0, sendo que valores maiores indicam um material mais duro. A "dureza" de um pneu de automóvel varia entre 50A e 70A, dependendo da aplicação. 16

17 DURÓMETRO SHORE "A" PARA BORRACHAS DIGITAL PORTÁTIL DURÓMETRO SHORE "A" PARA BORRACHAS PORTÁTIL 17

18 Dureza Brinell Este método foi proposto em 1900, pelo engenheiro sueco Johan August Brinell penetrador esférico com mm de diâmetro, feito de aço de elevada dureza ou de carboneto de tungsténio A carga aplicada varia entre 500 e 3000 kgf e, durante o teste, a carga é mantida constante por um período entre e 30 segundos. O número Brinell de dureza (HB) é função da carga aplicada e do diâmetro da impressão resultante: onde P é o valor da carga aplicada (em kgf), D é o diâmetro do penetrador e d é o diâmetro da impressão resultante, ambos em milímetros. 18

19 DURÓMETRO DE BANCADA PARA MEDIÇÃO DE DUREZA ROCKWELL NORMAL (HRCHRB HRA) e SUPERFICIAL (HRN HRT) E DUREZA BRINELL (31,25 KGF, 62,5 KGF e 187,5 KGF) EM UM SÓ APARELHO Universal Hardness Testing Machine Brinell, DIN EN 003 ASTM E Vickers, DIN EN ISO 6507 ASTM E92 Rockwell, DIN EN 9 ASTM E18 Plastics test, DIN Ceramic and stone tests 19

20 são simples e de baixo custo Os ensaios de Dureza: não são destrutivos o material não é fracturado ou excessivamente deformado, sendo deixada apenas uma pequena impressão outras propriedades mecânicas podem ser obtidas através dos ensaios de dureza, como a tensão máxima de tracção, que pode ser obtida, para a maioria dos aços, através da seguinte equação: TS (MPa) = 3,45HB 20

21 Dureza Vickers Neste método usase como penetrador: uma pirâmide de diamante com ângulo de diedro de 136º Calculase a área A da superfície impressa pela medição das suas diagonais. A dureza Vickers HV é dada por: onde O mesmo penetrador pode ser usado nos ensaios de diversos materiais, independentemente da dureza; é uma das escalas mais amplas entre as usadas para medição de dureza. A grande vantagem deste método é a pequena impressão deixada, sendo que este procedimento é utilizado em ensaios de micro e nanodureza, na qual é possível analisar cerâmicos e finíssimas camadas de revestimento. 21

22 Dureza Rockwell HR = E e e = permanent increase in depth of penetration due to major load F1 measured in units of mm E = a constant depending on form of indenter: 0 units for diamond indenter, 130 units for steel ball indenter HR = Rockwell hardness number Procedimento do Ensaio 1. Na superfície limpa, aplicase uma précarga de kgf 2. Aplicase uma carga nominal que pode variar entre 60, 0 ou 150 kgf 3. Depois de aproximadamente segundos é retirada a carga 4. Finalmente, é realizada a leitura da dureza do material directamente na máquina, por isso, é um método directo de medição de dureza e um dos mais 22 utilizados nas industrias.

23 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , D HV HRB HRC HB mm MPa Shore Vickers Rockwell Brinell Tensão Máxima de Tração , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , D HV HRB HRC HB mm MPa Shore Vickers Rockwell Brinell Tensão Máxima de Tração

24 Rockwell Hardness Scales Scale Indenter Minor Load F0 kgf Major Load F1 kgf Total Load F kgf Value of E Typical Application A Diamond cone Cemented carbides, thin steel and shallow case hardened steel B 1/16" steel ball Copper alloys, soft steels, aluminium alloys, malleable irons C Diamond cone Steel, hard cast irons, case hardened steel and other materials harder than 0 HRB D Diamond cone Thin steel and medium case hardened steel and pearlitic malleable iron E 1/8" steel ball Cast iron, aluminium and magnesium alloys, bearing metals F 1/16" steel ball Annealed copper alloys, thin soft sheet metals G 1/16" steel ball Phosphor bronze, beryllium copper, malleable irons H 1/8" steel ball Aluminium, zinc, lead K 1/8" steel ball L 1/4" steel ball M P R 1/4" steel ball 1/4" steel ball 1/2" steel ball Soft bearing metals, plastics and other very soft materials S 1/2" steel ball V 1/2" steel ball

25 Vickers and Knoop Microhardness Testing and Case Depth Analysis 25

26 26

27 Microhardness Test 27